Differentiaalvorm; lijnintegraal কী?

Voorbeeld 20.4 (Eén integraal, twee parametriseringen, één tekenval)

Bereken $\int_\gamma x\,\dd y$ langs de bovenste eenheidshalfcirkel van $(1, 0)$ naar $(-1, 0)$. Met $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in \intcc0\pi$:

Met de grafiekparametrisering $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$, $x$ van $1$ naar $-1$ (let op de richting!):

($x = \sin u$ herleidt haar tot een integraal van Wallis). Dezelfde waarde, zoals Propositie 20.2 waarborgt — maar alleen omdat beide doorlopen van $(1,0)$ naar $(-1,0)$ gaan; de reis omkeren keert het teken om. Het pad sluiten langs de $x$-as (waar $\dd y = 0$) voegt niets toe, en het totaal $\frac\pi2$ is de oppervlakte van de halve schijf: het eerste geval van de randformules voor oppervlakten van Green–Riemann hieronder.