什么是 minimale veelterm？

Voorbeeld 3.13 (Minimale veeltermen met de hand gevonden)

De minimale veelterm wordt gevonden door achtereenvolgende graden te proberen. Voor de matrix $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ vol enen: $J \neq \lambda I$ (graad $1$ valt af), en $J^2 = 3J$, dus

graad $2$, uiteenvallend, met enkelvoudige nulpunten — dus is $J$ diagonaliseerbaar met spectrum $\{0, 3\}$ (Gevolg 3.17 hieronder), wat Voorbeeld 2.19 bevestigt zonder ook maar één determinant. Voor de verwisselingsmatrix $A$ uit Voorbeeld 3.15: uit $A \neq \pm I$ en $A^2 = I$ volgt $\mu_A = X^2 - 1$. In beide gevallen is het patroon hetzelfde: raad uit de structuur een identiteit van lage graad (rang één dwingt $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ af; een involutie dwingt $A^2 = I$ af) en ga daarna na dat geen echte deler annihileert. Minimale veeltermen worden meestal gevonden, niet uit $\chi$ berekend.

Voorbeeld 3.15 (Het kernlemma met expliciete projectoren)

Zij $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (verwissel de eerste twee coördinaten). Dan is $A^2 = I$: de veelterm $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ annihileert $A$, haar factoren zijn onderling ondeelbaar, en Bézout is expliciet:

Volgens het bewijs van Stelling 3.14 zijn de projecties op $\ker(A - I)$ en $\ker(A + I)$ de veeltermen in $A$

Controle: $\pi_+ + \pi_- = I$, $\pi_+\pi_- = 0$, $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$, en de beelden zijn het vlak $\{x = y\}$ (symmetrische vectoren, eigenwaarde $1$) en de rechte $\R(1, -1, 0)$ (antisymmetrisch, eigenwaarde $-1$). Het kernlemma is geen uitspraak over bestaan alleen: de coëfficiënten van Bézout zijn de formules voor de projectoren.

Voorbeeld 3.20 (Minimaal tegenover karakteristiek)

Voor $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ is $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ maar $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$, want $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (ga het op de canonieke basis na), terwijl geen van beide factoren $D$ alleen doodt. Voor het verschuivingsblok $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$, dat wil zeggen $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$, geldt $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ én $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — het dubbele nulpunt is hier werkelijk nodig, omdat $N'$ aan de kernkant niet diagonaliseerbaar is ($N'e_2 = e_1 \neq 0$). Vuistregel: $\mu$ en $\chi$ hebben dezelfde nulpunten (Propositie 3.12); de multipliciteit in $\mu$ meet de grootte van het grootste nilpotente blok, die in $\chi$ de totale dimensie van de karakteristieke deelruimte.