Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

11Functies en hun verloop

Dit hoofdstuk ordent wat je over functies moet weten vóór de analyse: de kleine familie referentiefuncties waarvan de grafieken uit het hoofd gekend moeten zijn, de precieze betekenis van stijgend en dalend, en hoe het verloop zich gedraagt wanneer functies gecombineerd worden.

11.1 Functies en krommen

Definitie 11.1 (Functie, domein, kromme)

Een functie $f$ kent aan elk getal $x$ van een verzameling $D \subseteq \R$ (haar domein) precies één getal $f(x)$ toe. Haar kromme (of grafiek) is de verzameling van de punten $\bigl(x, f(x)\bigr)$ met $x \in D$ .

Voorbeeld 11.2

De formule $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ vereist $x + 2 \geq 0$ (voor de vierkantswortel) en $x \neq 1$ (noemer verschillend van nul): het domein is $\intco{-2}{1} \cup \intoo{1}{+\infty}$ .

11.2 De referentiefuncties

De volgende vijf functies en hun krommen moeten reflexen worden.

Definitie 11.3 (Referentiefuncties)

x \mapsto x^2 \text{ (het kwadraat)}, \quad x \mapsto x^3 \text{ (de derde macht)}, \quad x \mapsto \sqrt{x}, \quad x \mapsto \frac{1}{x}, \quad x \mapsto \abs{x}.

Hun domeinen zijn respectievelijk $\R$ , $\R$ , $\intco{0}{+\infty}$ , $\R \setminus \{0\}$ en $\R$ . De kromme van $x \mapsto \frac1x$ is een hyperbool.

De vijf referentiekrommen: de parabool x2 en de derde macht x3 (links); √ x, x en de hyperbool 1x (rechts). — De vijf referentiekrommen: de parabool $x^2$ en de derde macht $x^3$ (links); $\sqrt x$ , $\abs x$ en de hyperbool $\frac1x$ (rechts).

11.3 Verloop op een interval

Definitie 11.4 (Stijgend, dalend)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ . De functie $f$ heet stijgend op $I$ wanneer ze de orde behoudt:

\text{voor alle } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

en dalend wanneer ze de orde omkeert ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Met strikte ongelijkheden rechts heet $f$ strikt stijgend (respectievelijk dalend). Een functie die op $I$ stijgend of dalend is, heet monotoon op $I$ .

Methode 11.5 (Een verloop uit de definitie bewijzen)

Neem twee willekeurige getallen $u < v$ uit het interval en bepaal het teken van het verschil $f(v) - f(u)$ , meestal door het te ontbinden. Is dat teken constant op het interval, dan mag je besluiten.

Propositie 11.6 (Verloop van de referentiefuncties)

$x^2$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .
$x^3$ is strikt stijgend op $\R$ .
$\sqrt x$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .
$\frac1x$ is strikt dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$ (maar niet op hun vereniging).
$\abs x$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .

Bewijs. Zij $u < v$ . We ontbinden telkens $f(v) - f(u)$ .

1. $v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Op $\intco{0}{+\infty}$ : $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (want $v > u \geq 0$ ), dus $v^2 > u^2$ . Op $\intoc{-\infty}{0}$ : $v + u < 0$ , dus $v^2 < u^2$ .

2. $v^3 - u^3 = (v - u)(v^2 + uv + u^2)$ , en de tweede factor is gelijk aan $\left(v + \frac u2\right)^2 + \frac{3u^2}{4} > 0$ tenzij $u = v = 0$ . Bijgevolg is $v^3 > u^3$ zodra $v > u$ .

3. Voor $0 \leq u < v$ : $\sqrt v - \sqrt u = \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)} {\sqrt v + \sqrt u} = \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0$ .

4. Voor $0 < u < v$ : $\frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0$ , want $u - v < 0$ en $uv > 0$ ; dezelfde berekening geldt voor $u < v < 0$ . Op de vereniging gaat de bewering niet op: $-1 < 1$ , maar $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac11$ .

5. Op $\intco{0}{+\infty}$ is $\abs x = x$ strikt stijgend; op $\intoc{-\infty}{0}$ is $\abs x = -x$ strikt dalend. ∎

Opmerking 11.7

Punt 4 is een klassieke valkuil: “dalend op $\intoo{-\infty}{0}$ en op $\intoo{0}{+\infty}$ ” is niet hetzelfde als “dalend op $\R \setminus \{0\}$ ”. Verloop heeft alleen zin op intervallen.

Voorbeeld 11.8 (Vergelijken zonder rekenen)

Omdat $\sqrt x$ strikt stijgend is, geldt $\sqrt{7} < \sqrt{8}$ ; omdat $x^2$ strikt dalend is op $\intoc{-\infty}{0}$ , geldt $(-3)^2 > (-2)^2$ . Monotonie zet vergelijkingen van beelden om in vergelijkingen van de argumenten.

11.4 Nieuwe functies uit oude

Propositie 11.9 (Transformaties)

Zij $u$ een functie gedefinieerd op een interval $I$ en $k \in \R$ .

$u + k$ heeft op $I$ hetzelfde verloop als $u$ ; haar kromme is die van $u$ , verticaal over $k$ verschoven.
Voor $\lambda > 0$ heeft $\lambda u$ hetzelfde verloop als $u$ ; voor $\lambda < 0$ is het verloop omgekeerd.
Is $u \geq 0$ op $I$ , dan heeft $\sqrt u$ hetzelfde verloop als $u$ .
Is $u \neq 0$ en heeft $u$ een constant teken op $I$ , dan heeft $\frac1u$ het tegengestelde verloop van $u$ .

Bewijs. Zij $x_1 < x_2$ in $I$ , en schrijf $s = u(x_1)$ en $t = u(x_2)$ voor de beelden.

1. $(u+k)(x_2) - (u+k)(x_1) = t - s$ : het verschil van de beelden verandert niet, en dus ook het teken ervan niet.

2. $\lambda t - \lambda s = \lambda(t - s)$ : het teken blijft behouden als $\lambda > 0$ en keert om als $\lambda < 0$ .

3. Is $u$ stijgend en $x_1 < x_2$ , dan is $0 \leq s \leq t$ , en omdat de vierkantswortel stijgend is (Propositie 11.6) geldt $\sqrt s \leq \sqrt t$ . Hetzelfde argument werkt in het dalende geval.

4. Is $u$ stijgend en $0 < s \leq t$ (of $s \leq t < 0$ ), dan is $\frac1s \geq \frac1t$ , want $x \mapsto \frac1x$ is dalend aan elke kant van $0$ : de orde keert om. ∎

Voorbeeld 11.10

Bestudeer $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op $\R$ . De binnenfunctie $u(x) = x^2 + 1$ is positief, dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ (een verschoven kwadraat). Volgens punt 3 heeft $f$ hetzelfde verloop: eerst dalend, dan stijgend, met minimum $f(0) = 1$ .

Transformaties aan het werk: x2 één omhoog schuiven (rood) behoudt het verloop; daarna de vierkantswortel nemen (oranje) behoudt het opnieuw, zoals in . — Transformaties aan het werk: $x^2$ één omhoog schuiven (rood) behoudt het verloop; daarna de vierkantswortel nemen (oranje) behoudt het opnieuw, zoals in Voorbeeld 11.10.

11.5 Even en oneven functies

Definitie 11.11 (Pariteit)

Zij $f$ gedefinieerd op een domein $D$ dat symmetrisch is om $0$ (dus $-x \in D$ zodra $x \in D$ ). De functie $f$ heet even wanneer $f(-x) = f(x)$ voor alle $x \in D$ , en oneven wanneer $f(-x) = -f(x)$ voor alle $x \in D$ .

Propositie 11.12 (Meetkundige betekenis)

De kromme van een even functie is symmetrisch om de $y$ -as; de kromme van een oneven functie is symmetrisch om de oorsprong.

Bewijs. Is $f$ even en ligt $(x, y)$ op de kromme (dus $y = f(x)$ ), dan is $f(-x) = f(x) = y$ : ook het spiegelpunt $(-x, y)$ ligt op de kromme. Is $f$ oneven, dan is $f(-x) = -y$ : het punt $(-x, -y)$ , symmetrisch met $(x,y)$ om de oorsprong, ligt op de kromme. ∎

Voorbeeld 11.13

$x^2$ en $\abs x$ zijn even; $x^3$ en $\frac1x$ zijn oneven; $f(x) = x^2 + x$ is geen van beide: $f(-1) = 0$ terwijl $f(1) = 2$ , dus is $f(-1) \neq \pm f(1)$ . Pariteit halveert het werk: een even of oneven functie hoef je alleen op $\intco{0}{+\infty}$ te bestuderen.

11.6 Oefeningen

Oefening 11.1 ★

Geef het domein van elke functie:

f(x) = \sqrt{3 - x}, \qquad g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}, \qquad h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 5} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.1.

$f$ : nodig is $3 - x \geq 0$ , domein $\intoc{-\infty}{3}$ .

$g$ : nodig is $x^2 - 4 \neq 0$ , dus $x \neq \pm 2$ : domein $\R \setminus \{-2, 2\}$ .

$h$ : nodig is $x \geq 0$ en $x \neq 5$ : domein $\intco{0}{5} \cup \intoo{5}{+\infty}$ .

Oefening 11.2 ★

Vergelijk met het verloop van de referentiefuncties, zonder rekenmachine:

\sqrt{11} \text{ en } \sqrt{13}; \qquad (-2.1)^2 \text{ en } (-2.05)^2; \qquad \frac{1}{0.9} \text{ en } \frac{1}{1.1}; \qquad (-1.01)^3 \text{ en } (-0.99)^3 .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.2.

$\sqrt{11} < \sqrt{13}$ , want de vierkantswortel is stijgend en $11 < 13$ .

$(-2.1)^2 > (-2.05)^2$ , want $x^2$ is dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en $-2.1 < -2.05$ .

$\frac{1}{0.9} > \frac{1}{1.1}$ , want $\frac1x$ is dalend op $\intoo{0}{+\infty}$ en $0.9 < 1.1$ .

$(-1.01)^3 < (-0.99)^3$ , want $x^3$ is stijgend en $-1.01 < -0.99$ .

Oefening 11.3 ★

Bepaal of elke functie even is, oneven, of geen van beide:

f(x) = 3x^4 - x^2, \qquad g(x) = x^3 + x, \qquad h(x) = x^2 + x^3, \qquad k(x) = \frac{x}{x^2+1} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.3.

$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 = 3x^4 - x^2 = f(x)$ : even.

$g(-x) = -x^3 - x = -g(x)$ : oneven.

$h(1) = 2$ en $h(-1) = 1 - 1 = 0$ , dus is $h(-1)$ noch $h(1)$ noch $-h(1)$ : noch even noch oneven.

$k(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -k(x)$ : oneven.

Oefening 11.4 ★

Een functie $f$ heeft het volgende verloop: stijgend op $\intcc{-3}{1}$ van $f(-3) = -2$ tot $f(1) = 4$ , daarna dalend op $\intcc{1}{5}$ tot $f(5) = 0$ . Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $f(x) = 1$ op $\intcc{-3}{5}$ ? En $f(x) = 5$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.4.

Lees de verlooptabel. Op $\intcc{-3}{1}$ klimt $f$ van $-2$ naar $4$ en passeert ze de waarde $1$ precies één keer; op $\intcc{1}{5}$ zakt ze van $4$ naar $0$ en passeert ze $1$ nog een keer: de vergelijking $f(x) = 1$ heeft $2$ oplossingen. Het maximum van $f$ is $f(1) = 4 < 5$ , dus heeft $f(x) = 5$ geen oplossing.

Oefening 11.5 ★★

Bewijs met Methode 11.5 (het teken van $f(v) - f(u)$ ) dat $f(x) = x^2 - 4x$ strikt stijgend is op $\intco{2}{+\infty}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.5.

Zij $2 \leq u < v$ . Dan is

f(v) - f(u) = v^2 - 4v - u^2 + 4u = (v-u)(v+u) - 4(v-u) = (v - u)(u + v - 4).

Beide factoren zijn positief: $v - u > 0$ , en $u + v > 2 + 2 = 4$ want $u \geq 2$ en $v > 2$ . Bijgevolg is $f(v) > f(u)$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{2}{+\infty}$ .

Oefening 11.6 ★★

Geef, zonder ook maar één afgeleide te berekenen, het verloop van

f(x) = \sqrt{5 - x} \ \text{ op } \intoc{-\infty}{5}, \quad g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty}, \quad h(x) = 3 - 2\sqrt{x} \ \text{ op } \intco{0}{+\infty}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.6.

$f = \sqrt{u}$ met $u(x) = 5 - x$ dalend en niet-negatief op $\intoc{-\infty}{5}$ : $f$ is daar dalend (Propositie 11.9).

$g = \frac1u$ met $u(x) = x^2 + 1$ stijgend en positief op $\intco{0}{+\infty}$ : $g$ is daar dalend.

$h = 3 - 2\sqrt x$ : $\sqrt x$ is stijgend, vermenigvuldigen met $-2 < 0$ keert om, en $3$ optellen verandert niets: $h$ is dalend op $\intco{0}{+\infty}$ .

Oefening 11.7 ★★

Zij $f(x) = (x-2)^2 - 3$ op $\R$ .

Geef het verloop van $f$ en haar minimum.
Leid het verloop van $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2+1}$ en haar maximum af. (Merk op dat $g = \frac{1}{f + 4}$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.7.

1. $f$ staat in toppuntsvorm: dalend op $\intoc{-\infty}{2}$ , stijgend op $\intco{2}{+\infty}$ , met minimum $f(2) = -3$ .

2. $g = \frac{1}{u}$ met $u(x) = (x-2)^2 + 1 = f(x) + 4$ . De verschuiving met $4$ behoudt het verloop van $f$ , en $u \geq 1 > 0$ . Het omgekeerde nemen keert het verloop om: $g$ is stijgend op $\intoc{-\infty}{2}$ en dalend op $\intco{2}{+\infty}$ , met maximum $g(2) = \frac{1}{1} = 1$ .

Oefening 11.8 ★★

De kromme van een functie $f$ gaat door de punten $(0, 1)$ , $(2, 3)$ en $(4, 1)$ , en $f$ is stijgend op $\intcc{0}{2}$ en dalend op $\intcc{2}{4}$ . Schets een mogelijke kromme, en schets daarna de krommen van $f + 2$ , van $-f$ en van $2f$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.8.

Elke heuvelvormige kromme door de drie punten voldoet. Vervolgens: $f + 2$ gaat door $(0,3)$ , $(2,5)$ , $(4,3)$ , met hetzelfde verloop (verticale verschuiving); $-f$ gaat door $(0,-1)$ , $(2,-3)$ , $(4,-1)$ met omgekeerd verloop (de top wordt een dal); $2f$ gaat door $(0,2)$ , $(2,6)$ , $(4,2)$ , met hetzelfde verloop maar verticaal uitgerekt.

Oefening 11.9 ★★

Toon aan dat de functie $f(x) = \frac{2x+1}{x+1}$ te schrijven is als $f(x) = 2 - \frac{1}{x+1}$ , en leid haar verloop op $\intoo{-1}{+\infty}$ af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.9.

$2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1) - 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} = f(x)$ . Op $\intoo{-1}{+\infty}$ is $u(x) = x + 1$ stijgend en positief, dus is $\frac1u$ dalend, is $-\frac1u$ stijgend, en verandert $2$ optellen niets: $f$ is strikt stijgend op $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Oefening 11.10 ★★

Waar of niet waar (verantwoord of geef een tegenvoorbeeld)?

De som van twee stijgende functies op $I$ is stijgend op $I$ .
Het product van twee stijgende functies op $I$ is stijgend op $I$ .
Is $f$ stijgend op $I$ , dan is $f^2$ ( $= f \times f$ ) stijgend op $I$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.10.

1. Waar. Is $u < v$ , dan is $(f+g)(v) - (f+g)(u) = \bigl(f(v)-f(u)\bigr) + \bigl(g(v)-g(u)\bigr)$ een som van twee niet-negatieve getallen.

2. Niet waar. $f(x) = g(x) = x$ zijn stijgend op $\R$ , maar hun product $x^2$ is niet stijgend op $\R$ (het daalt op $\intoc{-\infty}{0}$ ). (De uitspraak wordt wel waar als beide functies ook niet-negatief zijn.)

3. Niet waar. Hetzelfde tegenvoorbeeld: $f(x) = x$ is stijgend op $\R$ , maar $f^2(x) = x^2$ niet.

Oefening 11.11 ★★★

Zij $f(x) = x + \frac{1}{x}$ voor $x > 0$ .

Toon aan dat voor $0 < u < v$ geldt: $f(v) - f(u) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}$ .
Leid af dat $f$ strikt dalend is op $\intoc{0}{1}$ en strikt stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ .
Besluit dat $x + \frac1x \geq 2$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid alleen in $x = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 11.11.

1. Voor $0 < u < v$ :

f(v) - f(u) = (v - u) + \frac1v - \frac1u = (v - u) + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(1 - \frac{1}{uv}\right) = (v - u)\,\frac{uv - 1}{uv}.

2. Altijd is $v - u > 0$ en $uv > 0$ . Is $0 < u < v \leq 1$ , dan is $uv < 1$ , dus $uv - 1 < 0$ en $f(v) < f(u)$ : $f$ is strikt dalend op $\intoc{0}{1}$ . Is $1 \leq u < v$ , dan is $uv > 1$ en $f(v) > f(u)$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{1}{+\infty}$ .

3. $f$ daalt vóór $1$ en stijgt erna, dus is $f(x) \geq f(1) = 2$ voor alle $x > 0$ , met gelijkheid precies in $x = 1$ . (Deze ongelijkheid duikt in vele gedaanten op; vergelijk Voorbeeld 10.3 en de raaklijnongelijkheden van Hoofdstuk 22.)

11.7 Opgave: de symmetriefabriek

Probleem 11.1

Weekendopgave — elke functie is een even deel plus een oneven deel: pariteitsregels, het transformatiespel, en minima gewonnen zonder afgeleiden

Sommige functies zijn spiegelsymmetrisch, andere symmetrisch onder een halve draai, de meeste geen van beide — en toch zegt een klein algebraïsch wonder dat elke functie op precies één manier de som is van een spiegelsymmetrisch en een halvedraaisymmetrisch stuk. Deze opgave bewijst het wonder, speelt het transformatiespel op de referentiekrommen (Propositie 11.9), en sluit af met de ontbindingstechniek van Oefening 11.11, die minimaliseringsvraagstukken wint een volledig hoofdstuk voordat de afgeleide arriveert.

Deel I — Vlot met pariteit.

Even, oneven, of geen van beide (Definitie 11.11)? Verantwoord elk geval: $x^4 - 3x^2$ ; $x^3 - x$ ; $x^2 + x$ ; $\abs x$ ; $\frac1x$ .
Formuleer de meetkundige betekenis van elk oordeel (Propositie 11.12): welke symmetrie heeft de kromme van een even functie? En die van een oneven functie?
Pariteit vermenigvuldigt als tekens: bewijs dat het product van twee oneven functies even is, en vul de hele vermenigvuldigingstabel aan (even $\times$ even, even $\times$ oneven, oneven $\times$ oneven).
Snelle gevolgen: is $f$ oneven en in $0$ gedefinieerd, wat is dan $f(0)$ ? Is $f$ even met $f(3) = 7$ , wat is dan $f(-3)$ ? En toon aan dat de enige functie die zowel even als oneven is, de nulfunctie is.
Hoeveel van de kromme van een even functie legt haar volledig vast? Geef een functie die noch even noch oneven is, en leg uit wat er misgaat.

Deel II — De splitsingsstelling. Stel voor een functie $f$ gedefinieerd op een domein dat symmetrisch is om $0$ :

E(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad O(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} .

Bereken $E$ en $O$ voor $f(x) = x^3 + x^2 + 1$ , en ga na: $E$ even, $O$ oneven, $E + O = f$ .
Bewijs de algemene uitspraak: voor elke $f$ is de functie $E$ even, is $O$ oneven, en geldt $f = E + O$ — elke functie splitst in een even en een oneven deel.
Bewijs dat de splitsing uniek is: is $f = E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ met $E_i$ even en $O_i$ oneven, gebruik dan vraag 4 op $E_1 - E_2$ .
Splits $f(x) = \dfrac{1}{1 - x}$ (voor $x \neq \pm 1$ ): breng $E$ en $O$ op de gemeenschappelijke noemer $1 - x^2$ en vereenvoudig.
Een vooruitblik, telkens in één zin: het even en het oneven deel van de exponentiële functie zullen de tweelingfuncties van jaar 12 zijn (de hyperbolische cosinus en sinus); en hetzelfde instinct — splits een object in symmetrische stukken en behandel elk met zijn eigen symmetrie — drijft in de universitaire volumes de analyse van geluid en signalen aan. Waarom is zo’n splitsing in het algemeen nuttig?

Deel III — Het transformatiespel.

Beschrijf, vertrekkend van de kromme van $x \mapsto x^2$ , nauwkeurig de krommen van $(x - 3)^2$ , $x^2 + 2$ , $(x - 3)^2 + 2$ , $-x^2$ , $2x^2$ (Propositie 11.9).
Herleid $f(x) = \abs{x - 2} + \abs{x + 2}$ tot een stuksgewijze formule op de drie intervallen die $-2$ en $2$ afsnijden, en beschrijf haar kromme (ze heeft een beroemde vlakke bodem).
Welke transformaties behouden het even zijn? Beslis, met een bewijs of een tegenvoorbeeld: de horizontale verschuiving $f(x - 3)$ ; de verticale verschuiving $f(x) + 2$ ; de verticale rek $2 f(x)$ (alle toegepast op een even $f$ ).
Los $\abs{x - 2} + \abs{x + 2} = 6$ op met de stuksgewijze formule van vraag 12.
Terugrekenen: een parabool heeft top $(2, -3)$ en gaat door $(0, 1)$ . Reconstrueer haar vergelijking in toppuntsvorm.

Deel IV — Minima zonder afgeleiden.

Spiegel Oefening 11.11 voor $g(x) = x + \dfrac4x$ op $\intoo{0}{+\infty}$ : toon aan dat $g(v) - g(u) = (v - u)\,\dfrac{uv - 4}{uv}$ , bepaal het minimum en geef zijn waarde.
Pas toe: welke rechthoek met oppervlakte $16$ heeft de kleinste omtrek? (Schrijf $P = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ en gebruik de machine van vraag 16.) Een oude bekende besluit.
Bepaal het verloop van $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op heel $\R$ , door een samenstellingsargument op $\intco{0}{+\infty}$ met een pariteitsargument voor de rest te combineren.
Het dichtstbijzijnde punt: zoek het punt van de kromme $y = \sqrt x$ dat het dichtst bij $(3, 0)$ ligt. (Minimaliseer het kwadraat van de afstand — een kwadratische uitdrukking in $x$ — en leg uit waarom het kwadraat minimaliseren geoorloofd is.)
Slotstuk, de rondleiding door de fabriek: de referentiekrommen zijn de grondstof; de transformaties zijn de machines; de pariteit en de splitsing zijn de kwaliteitscontrole; het ontbinden van het verschil is de meetbank. Telkens één zin — en noem het krachtige gereedschap dat het volgende hoofdstuk levert.

Oplossing

Oplossing van Probleem 11.1.

1. $x^4 - 3x^2$ : even ( $(-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2$ ). $x^3 - x$ : oneven. $x^2 + x$ : geen van beide ( $f(-1) = 0 \neq f(1) = 2$ en ook $\neq -f(1)$ ). $\abs x$ : even. $\frac1x$ : oneven.

2. Even: de kromme is symmetrisch om de $y$ -as (spiegeling). Oneven: symmetrisch om de oorsprong (halve draai).

3. Zijn $f$ en $g$ oneven, dan is $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = (-f(x))(-g(x)) = (fg)(x)$ : even. De tabel: even $\times$ even $=$ even; even $\times$ oneven $=$ oneven; oneven $\times$ oneven $=$ even — de tekenregel, maar dan met pariteiten.

4. Oneven in $0$ : $f(0) = -f(0)$ , dus $f(0) = 0$ . Even: $f(-3) = f(3) = 7$ . Zowel even als oneven: $f(x) = f(-x) = -f(x)$ voor alle $x$ , dus $2f(x) = 0$ : $f$ is de nulfunctie.

5. De rechterhelft ( $x \geq 0$ ) legt een even functie volledig vast: de linkerhelft is haar spiegelbeeld. Noch even noch oneven: $x^2 + x$ (vraag 1) — allebei de symmetrieën falen in $x = 1$ .

6. $E(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) + (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^2 + 1$ (even), $O(x) = \frac{(x^3 + x^2 + 1) - (-x^3 + x^2 + 1)}{2} = x^3$ (oneven); hun som is $f$ .

7. $E(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = E(x)$ : even. $O(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -O(x)$ : oneven. En $E(x) + O(x) = f(x)$ door rechtstreeks op te tellen: elke functie splitst.

8. Uit $E_1 + O_1 = E_2 + O_2$ volgt $E_1 - E_2 = O_2 - O_1$ . Het linkerlid is even, het rechterlid oneven — die functie is dus allebei, en bijgevolg nul (vraag 4): $E_1 = E_2$ en $O_1 = O_2$ . Slechts één splitsing.

9. $E(x) = \frac12\left(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\right) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) + (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{1}{1 - x^2}$ , en $O(x) = \frac12 \cdot \frac{(1 + x) - (1 - x)}{1 - x^2} = \frac{x}{1 - x^2}$ . Controle: $E$ is even, $O$ is oneven, en hun som is $\frac{1 + x}{1 - x^2} = \frac{1 + x}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{1}{1 - x} = f(x)$ .

10. Doordat elk stuk aan een symmetrie gehoorzaamt, volstaat voor elk de helft van het werk (en de helft van de gegevens): los het aan één kant op en spiegel naar de andere — en veel bewerkingen (integreren, reeksen, signaalanalyse) behandelen symmetrische stukken veel eenvoudiger dan ruwe functies.

11. $(x-3)^2$ : $3$ naar rechts geschoven. $x^2 + 2$ : $2$ omhoog geschoven. $(x-3)^2 + 2$ : allebei. $-x^2$ : ondersteboven gekeerd. $2x^2$ : verticaal met $2$ uitgerekt (smallere schaal).

12. Voor $x \geq 2$ : $(x - 2) + (x + 2) = 2x$ . Voor $-2 \leq x \leq 2$ : $(2 - x) + (x + 2) = 4$ . Voor $x \leq -2$ : $-2x$ . De kromme daalt met richtingscoëfficiënt $-2$ , loopt tussen $-2$ en $2$ vlak op hoogte $4$ , en klimt daarna met richtingscoëfficiënt $2$ : een dal met een vlakke bodem.

13. Verticale verschuiving: $f(x) + 2$ blijft even ( $f(-x) + 2 = f(x) + 2$ ). Verticale rek: $2f(x)$ blijft even. Horizontale verschuiving: $(x - 3)^2$ is niet even ( $f(-1) = 16 \neq 4 = f(1)$ ): zijwaarts schuiven vernielt de spiegeling.

14. Op de vlakke bodem is de waarde $4 \neq 6$ . Voor $x \geq 2$ : $2x = 6$ , dus $x = 3$ . Voor $x \leq -2$ : $-2x = 6$ , dus $x = -3$ . Oplossingen: $\pm 3$ .

15. $f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ met $f(0) = 4a - 3 = 1$ : $a = 1$ , dus $f(x) = (x - 2)^2 - 3$ .

16. $g(v) - g(u) = (v - u) + 4\,\frac{u - v}{uv} = (v - u)\,\frac{uv - 4}{uv}$ : negatief voor $u < v$ met $uv < 4$ , positief met $uv > 4$ : dalend op $\intoc{0}{2}$ , stijgend op $\intco{2}{+\infty}$ ; minimum in $x = 2$ , met waarde $g(2) = 4$ .

17. Zijden $x$ en $\frac{16}{x}$ : $P(x) = 2\left(x + \frac{16}{x}\right)$ , minimaal (de machine van vraag 16 met $4 \to 16$ , keerpunt $\sqrt{16} = 4$ ) in $x = 4$ : het vierkant $4 \times 4$ , met omtrek $16$ — het antwoord van Dido, nu bewezen voor elke reële zijdelengte.

18. Op $\intco{0}{+\infty}$ stijgt $x \mapsto x^2 + 1$ , en de vierkantswortel stijgt, dus stijgt de samenstelling. En $h(-x) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x)$ : $h$ is even, dus daalt ze door de spiegelsymmetrie op $\intoc{-\infty}{0}$ . Minimum $h(0) = 1$ .

19. Het kwadraat van de afstand van het punt $(x, \sqrt x)$ tot $(3, 0)$ is $d^2(x) = (x - 3)^2 + x = x^2 - 5x + 9$ , minimaal in $x = \frac52$ : het dichtstbijzijnde punt is $\left(\frac52, \sqrt{\frac52}\right)$ , op afstand $\sqrt{\frac{11}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ . Het kwadraat minimaliseren mag, omdat kwadrateren strikt stijgend is op de positieve getallen: $d$ en $d^2$ bereiken hun laagste punt op dezelfde plaats.

20. Grondstof: de referentiekrommen, uit het hoofd gekend. Machines: verschuivingen, spiegelingen en rekkingen die uit oude grafieken nieuwe bouwen. Kwaliteitscontrole: de pariteit en de splitsing in een even en een oneven deel, die elke studie halveren. Meetbank: het ontbinden van $f(v) - f(u)$ , dat verloop en minima rechtstreeks afleest. Het krachtige gereedschap van het volgende hoofdstuk: de afgeleide, die ze in één oogopslag afleest.