Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

3Functies

Een functie is een machine die een getal inneemt en een getal uitspuugt, altijd dezelfde output voor dezelfde input. Functies zijn de centrale objecten van de analyse die je de komende jaren opbouwt (Hoofdstuk 10 en verder); dit hoofdstuk zet de woordenschat op — domein, beeld, grafiek, variaties — en traint de essentiële vaardigheid om informatie van een grafiek af te lezen.

3.1 Woordenschat: beelden en originelen

Definitie 3.1 (Functie)

Laat $D$ een verzameling reële getallen zijn. Een functie $f$ gedefinieerd op $D$ koppelt aan elk getal $x \in D$ precies één reëel getal, genoteerd $f(x)$ en het beeld van $x$ genoemd. De verzameling $D$ is het domein van $f$ . We schrijven

f : x \longmapsto f(x).

Als $f(x) = y$ , dan is $x$ een origineel van $y$ .

Opmerking 3.2

Elke $x$ in het domein heeft precies één beeld, maar een getal $y$ kan meerdere originelen hebben, of geen. Voor $f(x) = x^2$ : het beeld van $3$ is $9$ , en $9$ heeft twee originelen, $3$ en $-3$ ; het getal $-4$ heeft geen origineel.

Voorbeeld 3.3 (Een domein vinden)

Wanneer een functie door een formule gegeven is, is haar domein de verzameling van $x$ waarvoor de formule zin heeft.

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ heeft zin voor elke $x$ : het domein is $\R$ .
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ eist $x - 2 \neq 0$ : het domein is alle reëlen behalve $2$ .
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ eist $x - 3 \geq 0$ : het domein is $\intco{3}{+\infty}$ .

Voorbeeld 3.4 (Beelden en originelen berekenen)

Laat $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , gedefinieerd op $\R$ .

Beeld van $5$ : substitueer $x = 5$ : $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ .

Originelen van $3$ : los $f(x) = 3$ op:

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

dus de originelen van $3$ zijn $0$ en $4$ .

3.2 De grafiek van een functie

Definitie 3.5 (Grafiek)

In een coördinatenstelsel is de grafiek (of kromme) van $f$ de verzameling van alle punten $(x, f(x))$ voor $x$ in het domein. Met andere woorden: een punt $(x, y)$ ligt op de grafiek precies wanneer $y = f(x)$ .

Een beeld aflezen op een grafiek: start bij x = 3 op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme, dan horizontaal naar de verticale as om f(3) = 1.25 te lezen. — Een beeld aflezen op een grafiek: start bij $x = 3$ op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme, dan horizontaal naar de verticale as om $f(3) = 1.25$ te lezen.

Methode 3.6 (Een grafiek lezen)

Op de grafiek van $f$ :

beeld van $a$ : ga verticaal van $x = a$ op de horizontale as naar de kromme, dan horizontaal naar de verticale as; de waarde die je daar leest is $f(a)$ ;
originelen van $b$ : teken de horizontale lijn $y = b$ ; de originelen zijn de $x$ -coördinaten van al haar snijpunten met de kromme;
oplossingen van $f(x) = k$ : hetzelfde als de originelen van $k$ ;
oplossingen van $f(x) \leq k$ : de $x$ waarvoor de kromme op of onder de lijn $y = k$ ligt.

f(x) = k grafisch oplossen: de oplossingen x_1 en x_2 zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale lijn y = k. Hier geldt f(x) ≤ k op [x_1, x_2], waar de kromme onder de lijn ligt. — $f(x) = k$ grafisch oplossen: de oplossingen $x_1$ en $x_2$ zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale lijn $y = k$ . Hier geldt $f(x) \leq k$ op $\intcc{x_1}{x_2}$ , waar de kromme onder de lijn ligt.

Voorbeeld 3.7

Ligt het punt $A(2, 5)$ op de grafiek van $f(x) = x^2 + 1$ ? Bereken $f(2) = 4 + 1 = 5$ : ja, want $f(2)$ is gelijk aan de $y$ -coördinaat van $A$ . Het punt $B(3, 8)$ ligt niet op de grafiek, omdat $f(3) = 10 \neq 8$ .

3.3 Variaties van een functie

Definitie 3.8 (Stijgend, dalend)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op een interval $I$ .

$f$ is stijgend op $I$ wanneer voor alle $u, v \in I$ , als $u < v$ dan $f(u) \leq f(v)$ : de outputs groeien met de inputs, en de grafiek klimt van links naar rechts.
$f$ is dalend op $I$ wanneer $u < v$ impliceert $f(u) \geq f(v)$ : de grafiek daalt van links naar rechts.

Met strikte ongelijkheden $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) zeggen we strikt stijgend (resp. dalend).

Definitie 3.9 (Veranderingstabel)

Een veranderingstabel vat samen op welke intervallen $f$ stijgt en daalt, met pijlen $\nearrow$ en $\searrow$ , en noteert de waarden van $f$ in de keerpunten.

Voorbeeld 3.10

Beschouw de hieronder getekende functie op $\intcc{-2}{4}$ .

Een functie gedefinieerd op [-2, 4], eerst stijgend dan dalend. — Een functie gedefinieerd op $\intcc{-2}{4}$ , eerst stijgend dan dalend.

Aflezen van de grafiek: $f$ stijgt van $f(-2) = -1.5$ tot haar maximum $f(1) = 3$ , en daalt daarna tot $f(4) = -1.5$ . Haar veranderingstabel is

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Voorbeeld 3.11 (Een variatie bewijzen)

Toon aan dat $f(x) = 3x + 1$ strikt stijgend is op $\R$ . Neem willekeurige $u < v$ en vergelijk de beelden:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

omdat $v - u > 0$ . Dus $f(u) < f(v)$ : de functie is strikt stijgend. Dezelfde berekening met een negatieve helling, bijv. $g(x) = -2x + 5$ , geeft $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strikt dalend.

3.4 Extrema

Definitie 3.12 (Maximum, minimum)

Laat $f$ gedefinieerd zijn op $D$ en $a \in D$ . De waarde $f(a)$ is het maximum van $f$ op $D$ wanneer $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x \in D$ ; het is het minimum wanneer $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in D$ . Op een grafiek zijn dat de hoogste en laagste punten van de kromme.

Voorbeeld 3.13

Toon aan dat $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ minimum $2$ heeft op $\R$ , bereikt bij $x = 1$ . Voor elke $x$ is het kwadraat $(x-1)^2$ groter of gelijk aan $0$ , dus $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; en $f(1) = 0 + 2 = 2$ , dus de waarde $2$ wordt daadwerkelijk bereikt. Beide feiten samen bewijzen dat $2$ het minimum is.

De kromme van f(x) = (x-1)2 + 2 gaat nooit onder de gestippelde lijn y = 2, en raakt die bij x = 1: het minimum van f is 2. — De kromme van $f(x) = (x-1)^2 + 2$ gaat nooit onder de gestippelde lijn $y = 2$ , en raakt die bij $x = 1$ : het minimum van $f$ is $2$ .

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Laat $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Bereken de beelden van $0$ , $2$ , $-1$ en $\frac12$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$ .

Oefening 3.2 ★

Geef het domein van elke functie:

f(x) = 5x - 2, \qquad g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$f$ : geen beperking, domein $\R$ .

$g$ : eist $x + 4 \neq 0$ , domein alle reëlen behalve $-4$ .

$h$ : eist $2x - 6 \geq 0$ , d.w.z. $x \geq 3$ : domein $\intco{3}{+\infty}$ .

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ verdwijnt nooit, domein $\R$ .

Oefening 3.3 ★

Laat $f(x) = x^2 - 2x$ . Vind alle originelen van $0$ , van $3$ , en van $-1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Originelen van $0$ : $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ , dus $0$ en $2$ .

Originelen van $3$ : $x^2 - 2x = 3$ , d.w.z. $x^2 - 2x - 3 = 0$ , d.w.z. $(x-3)(x+1) = 0$ (controleer door te ontwikkelen), dus $3$ en $-1$ .

Originelen van $-1$ : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ , dus het enige origineel $1$ .

Oefening 3.4 ★

Behoort het punt $A(-1, 4)$ tot de grafiek van $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? En het punt $B(2, 1)$ ? Rechtvaardig met een berekening.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : ja, $A(-1, 4)$ ligt op de grafiek. $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : ja, $B(2, 1)$ ook.

Oefening 3.5 ★

Een functie $g$ gedefinieerd op $\intcc{-3}{5}$ heeft de veranderingstabel

$x$	$-3$		$0$		$3$		$5$
$g$	$1$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Wat zijn het maximum en het minimum van $g$ op $\intcc{-3}{5}$ ?
Vergelijk $g(-1)$ en $g(-0.5)$ zonder hun waarden te kennen.
Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $g(x) = 0$ ten hoogste op elk interval van de tabel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

1. De grootste waarde in de tabel is $4 = g(3)$ (maximum), de kleinste is $-2 = g(0)$ (minimum).

2. Op $\intcc{-3}{0}$ is de functie dalend, en $-1 < -0.5$ , dus $g(-1) \geq g(-0.5)$ .

3. Op elk monotonie-interval neemt $g$ elke waarde ten hoogste één keer aan, dus $g(x) = 0$ heeft ten hoogste één oplossing per interval: ten hoogste $3$ oplossingen in totaal. (Hier ligt $0$ tussen $-2$ en $1$ , tussen $-2$ en $4$ , en tussen $0$ en $4$ , dus er zijn er precies drie.)

Oefening 3.6 ★★

Laat $f(x) = -2x + 7$ . Toon aan, door $f(u)$ en $f(v)$ te vergelijken voor $u < v$ , dat $f$ strikt dalend is op $\R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

Laat $u < v$ . Dan

f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,

omdat $v - u > 0$ . Dus $f(v) < f(u)$ : $f$ is strikt dalend op $\R$ .

Oefening 3.7 ★★

Toon aan dat de functie $f(x) = x^2 + 6x + 11$ een minimum heeft op $\R$ , en geef de waarde en waar die bereikt wordt. (Hint: schrijf $f(x) = (x + 3)^2 + c$ voor de juiste constante $c$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

Voltooi het kwadraat: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , dus

f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .

Voor elke $x$ is $(x+3)^2 \geq 0$ , dus $f(x) \geq 2$ ; en $f(-3) = 0 + 2 = 2$ . Het minimum van $f$ is $2$ , bereikt bij $x = -3$ .

Oefening 3.8 ★★

Een rechthoekige tuin heeft omtrek $40$ m. Laat $x$ de breedte zijn, in meters.

Druk de lengte, daarna de oppervlakte $A(x)$ , uit als functies van $x$ . Voor welke $x$ heeft dit zin?
Bereken $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ en $A(16)$ . Wat vermoed je over de vorm met de grootste oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

1. Lengte $+$ breedte $= 20$ , dus de lengte is $20 - x$ en

A(x) = x(20 - x).

Beide afmetingen moeten positief zijn: $0 < x < 20$ .

2. $A(4) = 64$ , $A(8) = 96$ , $A(10) = 100$ , $A(12) = 96$ , $A(16) = 64$ . De waarden stijgen tot $x = 10$ en dalen dan symmetrisch: de oppervlakte lijkt het grootst voor $x = 10$ , d.w.z. voor een vierkante tuin. (Hoofdstuk 10 bewijst dit vermoeden.)

Oefening 3.9 ★★

Laat $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ , gedefinieerd op $\R$ .

Toon aan dat $0 < f(x) \leq 1$ voor elk reëel getal $x$ .
Heeft $f$ een maximum op $\R$ ? Een minimum? Rechtvaardig.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

1. Voor elke $x$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ , dus $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ is positief, en omdat $x^2 + 1 \geq 1$ , geeft omkeren (beide kanten positief) $f(x) \leq 1$ .

2. Maximum: $f(0) = 1$ en $f(x) \leq 1$ voor alle $x$ , dus $1$ is het maximum, bereikt bij $0$ . Minimum: $f(x) > 0$ altijd, maar geen waarde van $x$ bereikt $0$ (een quotiënt van niet-nul getallen is niet-nul), en $f$ neemt waarden willekeurig dicht bij $0$ voor grote $x$ ; dus $f$ heeft geen minimum.

Oefening 3.10 ★★★

Laat $f(x) = x^2$ op $\R$ .

Laat $0 \leq u < v$ . Ontbind $f(v) - f(u)$ en leid af dat $f$ strikt stijgend is op $\intco{0}{+\infty}$ .
Pas het argument aan om te tonen dat $f$ strikt dalend is op $\intoc{-\infty}{0}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

1. $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Als $0 \leq u < v$ , dan $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (som van een niet-negatief en een positief getal), dus $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .

2. Als $u < v \leq 0$ , dan is $v - u > 0$ nog steeds, maar nu $v + u < 0$ (som van een niet-positief en een negatief getal), dus $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ .