Wiskunde bovenbouw · कक्षा 10–12

3Functies

Een functie is een machine die een getal binnenkrijgt en een getal teruggeeft, altijd hetzelfde antwoord bij dezelfde invoer. Functies zijn de centrale objecten van de analyse die je de komende jaren opbouwt (vanaf Hoofdstuk 10); dit hoofdstuk zet de woordenschat op — domein, beeld, grafiek, verloop — en oefent de onmisbare vaardigheid om informatie van een grafiek af te lezen.

3.1 Woordenschat: beelden en originelen

Definitie 3.1 (Functie)

Zij $D$ een verzameling reële getallen. Een functie $f$ gedefinieerd op $D$ koppelt aan elk getal $x \in D$ precies één reëel getal, geschreven $f(x)$ en het beeld van $x$ genoemd. De verzameling $D$ is het domein van $f$ . We schrijven

f : x \longmapsto f(x).

Geldt $f(x) = y$ , dan heet $x$ een origineel van $y$ .

Opmerking 3.2

Elke $x$ uit het domein heeft precies één beeld, maar een getal $y$ kan meerdere originelen hebben, of geen enkel. Voor $f(x) = x^2$ : het beeld van $3$ is $9$ , en $9$ heeft twee originelen, $3$ en $-3$ ; het getal $-4$ heeft geen enkel origineel.

Voorbeeld 3.3 (Een domein bepalen)

Wordt een functie door een formule gegeven, dan is haar domein de verzameling van de $x$ waarvoor de formule zin heeft.

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ heeft zin voor elke $x$ : het domein is $\R$ .
$g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ vereist $x - 2 \neq 0$ : het domein bestaat uit alle reële getallen behalve $2$ .
$h(x) = \sqrt{x - 3}$ vereist $x - 3 \geq 0$ : het domein is $\intco{3}{+\infty}$ .

Voorbeeld 3.4 (Beelden en originelen berekenen)

Zij $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , gedefinieerd op $\R$ .

Beeld van $5$ : vul $x = 5$ in: $f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$ .

Originelen van $3$ : los $f(x) = 3$ op:

x^2 - 4x + 3 = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 4x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 4) = 0,

dus de originelen van $3$ zijn $0$ en $4$ .

3.2 De grafiek van een functie

Definitie 3.5 (Grafiek)

In een assenstelsel is de grafiek (of kromme) van $f$ de verzameling van alle punten $(x, f(x))$ met $x$ in het domein. Met andere woorden: een punt $(x, y)$ ligt op de grafiek precies wanneer $y = f(x)$ .

Een beeld aflezen op een grafiek: vertrek bij x = 3 op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme en dan horizontaal naar de verticale as om f(3) = -1 af te lezen. — Een beeld aflezen op een grafiek: vertrek bij $x = 3$ op de horizontale as, ga verticaal naar de kromme en dan horizontaal naar de verticale as om $f(3) = -1$ af te lezen.

Methode 3.6 (Een grafiek lezen)

Op de grafiek van $f$ :

beeld van $a$ : ga verticaal van $x = a$ op de horizontale as naar de kromme, en dan horizontaal naar de verticale as; de waarde die je daar afleest is $f(a)$ ;
originelen van $b$ : teken de horizontale rechte $y = b$ ; de originelen zijn de $x$ -coördinaten van al haar snijpunten met de kromme;
oplossingen van $f(x) = k$ : dat zijn de originelen van $k$ ;
oplossingen van $f(x) \leq k$ : de $x$ waarvoor de kromme op of onder de rechte $y = k$ ligt.

f(x) = k grafisch oplossen: de oplossingen x_1 en x_2 zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale rechte y = k. Hier geldt f(x) ≤ k op [x_1, x_2], waar de kromme onder de rechte ligt. — $f(x) = k$ grafisch oplossen: de oplossingen $x_1$ en $x_2$ zijn de abscissen van de snijpunten van de kromme met de horizontale rechte $y = k$ . Hier geldt $f(x) \leq k$ op $\intcc{x_1}{x_2}$ , waar de kromme onder de rechte ligt.

Voorbeeld 3.7

Ligt het punt $A(2, 5)$ op de grafiek van $f(x) = x^2 + 1$ ? Bereken $f(2) = 4 + 1 = 5$ : ja, want $f(2)$ is gelijk aan de $y$ -coördinaat van $A$ . Het punt $B(3, 8)$ ligt er niet op, want $f(3) = 10 \neq 8$ .

3.3 Het verloop van een functie

Definitie 3.8 (Stijgend, dalend)

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ .

$f$ is stijgend op $I$ wanneer voor alle $u, v \in I$ uit $u < v$ volgt dat $f(u) \leq f(v)$ : de uitvoer groeit mee met de invoer, en de grafiek klimt van links naar rechts.
$f$ is dalend op $I$ wanneer uit $u < v$ volgt dat $f(u) \geq f(v)$ : de grafiek zakt van links naar rechts.

Met strikte ongelijkheden $f(u) < f(v)$ (respectievelijk $>$ ) spreken we van strikt stijgend (respectievelijk dalend).

Definitie 3.9 (Verlooptabel)

Een verlooptabel vat samen op welke intervallen $f$ stijgt en daalt, met de pijlen $\nearrow$ en $\searrow$ , en noteert de waarden van $f$ in de keerpunten.

Voorbeeld 3.10

Bekijk de functie waarvan de grafiek hieronder op $\intcc{-2}{4}$ getekend staat.

Een functie gedefinieerd op [-2, 4], eerst stijgend, dan dalend. — Een functie gedefinieerd op $\intcc{-2}{4}$ , eerst stijgend, dan dalend.

Van de grafiek af te lezen: $f$ stijgt van $f(-2) = -1.5$ tot haar maximum $f(1) = 3$ , en daalt daarna tot $f(4) = -1.5$ . Haar verlooptabel is

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Voorbeeld 3.11 (Een verloop bewijzen)

Toon aan dat $f(x) = 3x + 1$ strikt stijgend is op $\R$ . Neem willekeurige $u < v$ en vergelijk de beelden:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

want $v - u > 0$ . Dus $f(u) < f(v)$ : de functie is strikt stijgend. Dezelfde berekening met een negatieve richtingscoëfficiënt, bijvoorbeeld $g(x) = -2x + 5$ , geeft $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strikt dalend.

3.4 Extrema

Definitie 3.12 (Maximum, minimum)

Zij $f$ gedefinieerd op $D$ en $a \in D$ . De waarde $f(a)$ is het maximum van $f$ op $D$ wanneer $f(x) \leq f(a)$ voor alle $x \in D$ ; ze is het minimum wanneer $f(x) \geq f(a)$ voor alle $x \in D$ . Op een grafiek zijn dat het hoogste en het laagste punt van de kromme.

Voorbeeld 3.13

Toon aan dat $f(x) = (x - 1)^2 + 2$ op $\R$ het minimum $2$ heeft, bereikt in $x = 1$ . Voor elke $x$ is het kwadraat $(x-1)^2$ groter dan of gelijk aan $0$ , dus $f(x) = (x-1)^2 + 2 \geq 2$ ; en $f(1) = 0 + 2 = 2$ , zodat de waarde $2$ ook echt bereikt wordt. Samen bewijzen die twee feiten dat $2$ het minimum is.

De kromme van f(x) = (x-1)2 + 2 komt nooit onder de stippellijn y = 2, en raakt haar in x = 1: het minimum van f is 2. — De kromme van $f(x) = (x-1)^2 + 2$ komt nooit onder de stippellijn $y = 2$ , en raakt haar in $x = 1$ : het minimum van $f$ is $2$ .

3.5 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Zij $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Bereken de beelden van $0$ , $2$ , $-1$ en $\frac12$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

$f(0) = 1$ ; $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ ; $f(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ ; $f\!\left(\tfrac12\right) = 2 \times \tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$ .

Oefening 3.2 ★

Geef het domein van elke functie:

f(x) = 5x - 2, \qquad g(x) = \frac{3}{x + 4}, \qquad h(x) = \sqrt{2x - 6}, \qquad k(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

$f$ : geen enkele voorwaarde, domein $\R$ .

$g$ : vereist $x + 4 \neq 0$ , domein alle reële getallen behalve $-4$ .

$h$ : vereist $2x - 6 \geq 0$ , dus $x \geq 3$ : domein $\intco{3}{+\infty}$ .

$k$ : $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ verdwijnt nooit, domein $\R$ .

Oefening 3.3 ★

Zij $f(x) = x^2 - 2x$ . Zoek alle originelen van $0$ , van $3$ en van $-1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

Originelen van $0$ : $x^2 - 2x = x(x-2) = 0$ , dus $0$ en $2$ .

Originelen van $3$ : $x^2 - 2x = 3$ , dus $x^2 - 2x - 3 = 0$ , dus $(x-3)(x+1) = 0$ (ga na door uit te werken), dus $3$ en $-1$ .

Originelen van $-1$ : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ , dus het enige origineel $1$ .

Oefening 3.4 ★

Ligt het punt $A(-1, 4)$ op de grafiek van $f(x) = x^2 - 2x + 1$ ? En het punt $B(2, 1)$ ? Verantwoord met een berekening.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

$f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$ : ja, $A(-1, 4)$ ligt op de grafiek. $f(2) = 4 - 4 + 1 = 1$ : ja, ook $B(2, 1)$ ligt op de grafiek.

Oefening 3.5 ★

Een functie $g$ gedefinieerd op $\intcc{-3}{5}$ heeft de verlooptabel

$x$	$-3$		$0$		$3$		$5$
$g$	$1$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$

Wat zijn het maximum en het minimum van $g$ op $\intcc{-3}{5}$ ?
Vergelijk $g(-1)$ en $g(-0.5)$ zonder hun waarden te kennen.
Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking $g(x) = 0$ hoogstens op elk interval van de tabel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

1. De grootste waarde in de tabel is $4 = g(3)$ (maximum), de kleinste is $-2 = g(0)$ (minimum).

2. Op $\intcc{-3}{0}$ daalt de functie, en $-1 < -0.5$ , dus $g(-1) \geq g(-0.5)$ .

3. Op elk interval waar $g$ monotoon is, neemt ze elke waarde hoogstens één keer aan, dus heeft $g(x) = 0$ hoogstens één oplossing per interval: hoogstens $3$ oplossingen in totaal. (Hier ligt $0$ tussen $-2$ en $1$ , tussen $-2$ en $4$ , en tussen $0$ en $4$ , dus zijn het er precies drie.)

Oefening 3.6 ★★

Zij $f(x) = -2x + 7$ . Toon aan, door $f(u)$ en $f(v)$ te vergelijken voor $u < v$ , dat $f$ strikt dalend is op $\R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

Zij $u < v$ . Dan is

f(v) - f(u) = (-2v + 7) - (-2u + 7) = -2(v - u) < 0,

want $v - u > 0$ . Dus $f(v) < f(u)$ : $f$ is strikt dalend op $\R$ .

Oefening 3.7 ★★

Toon aan dat de functie $f(x) = x^2 + 6x + 11$ een minimum heeft op $\R$ , en geef de waarde ervan en waar het bereikt wordt. (Tip: schrijf $f(x) = (x + 3)^2 + c$ voor de juiste constante $c$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

Vul het kwadraat aan: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , dus

f(x) = x^2 + 6x + 11 = (x + 3)^2 + 2 .

Voor elke $x$ is $(x+3)^2 \geq 0$ , dus $f(x) \geq 2$ ; en $f(-3) = 0 + 2 = 2$ . Het minimum van $f$ is $2$ , bereikt in $x = -3$ .

Oefening 3.8 ★★

Een rechthoekige tuin heeft omtrek $40$ m. Zij $x$ zijn breedte, in meter.

Druk de lengte, en daarna de oppervlakte $A(x)$ , uit als functies van $x$ . Voor welke $x$ heeft dat zin?
Bereken $A(4)$ , $A(8)$ , $A(10)$ , $A(12)$ en $A(16)$ . Wat vermoed je over de vorm met de grootste oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

1. Lengte $+$ breedte $= 20$ , dus is de lengte $20 - x$ en

A(x) = x(20 - x).

Beide afmetingen moeten positief zijn: $0 < x < 20$ .

2. $A(4) = 64$ , $A(8) = 96$ , $A(10) = 100$ , $A(12) = 96$ , $A(16) = 64$ . De waarden stijgen tot $x = 10$ en dalen daarna symmetrisch: de oppervlakte lijkt het grootst voor $x = 10$ , dus voor een vierkante tuin. (Hoofdstuk 10 bewijst dat vermoeden.)

Oefening 3.9 ★★

Zij $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ , gedefinieerd op $\R$ .

Toon aan dat $0 < f(x) \leq 1$ voor elke reële $x$ .
Heeft $f$ een maximum op $\R$ ? En een minimum? Verantwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

1. Voor elke $x$ is $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ , dus is $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ positief; en uit $x^2 + 1 \geq 1$ volgt door omkeren (beide leden positief) dat $f(x) \leq 1$ .

2. Maximum: $f(0) = 1$ en $f(x) \leq 1$ voor alle $x$ , dus is $1$ het maximum, bereikt in $0$ . Minimum: $f(x) > 0$ geldt altijd, maar geen enkele $x$ bereikt $0$ (een quotiënt van getallen verschillend van nul is zelf niet nul), en $f$ neemt voor grote $x$ waarden aan die zo dicht bij $0$ liggen als je wilt; dus heeft $f$ geen minimum.

Oefening 3.10 ★★★

Zij $f(x) = x^2$ op $\R$ .

Zij $0 \leq u < v$ . Ontbind $f(v) - f(u)$ en leid af dat $f$ strikt stijgend is op $\intco{0}{+\infty}$ .
Pas het argument aan om aan te tonen dat $f$ strikt dalend is op $\intoc{-\infty}{0}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

1. $f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)$ . Is $0 \leq u < v$ , dan is $v - u > 0$ en $v + u > 0$ (som van een niet-negatief en een positief getal), dus $f(v) - f(u) > 0$ : $f$ is strikt stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ .

2. Is $u < v \leq 0$ , dan is $v - u > 0$ nog steeds, maar nu is $v + u < 0$ (som van een niet-positief en een negatief getal), dus $f(v) - f(u) < 0$ : $f$ is strikt dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ .

3.6 Opgave: machines die met hun eigen uitvoer gevoed worden

Probleem 3.1

Weekendopgave — vaste punten, iteratie en drie beroemde machines: de verbeteraar van Heron, de kwadrateermachine en de onopgeloste hagelsteen

Een functie is een machine: er gaat een getal in, er komt een getal uit. De boeiendste proeven voeden de machine met haar eigen uitvoer, keer op keer — en dan overheersen twee vragen: komt het proces ergens tot rust (een vast punt), en hoe stuurt het verloop van de machine het daarheen? Een van de machines in deze opgave polijst al tweeduizend jaar vierkantswortels; een andere bewaakt het beroemdste onopgeloste vraagstuk dat de elementaire wiskunde te bieden heeft.

Deel I — De machine van Heron. Bekijk de functie

f(x) = \frac12\left(x + \frac2x\right).

Geef het domein van $f$ , en bereken $f(1)$ , $f(2)$ en $f\!\left(\frac32\right)$ als exacte breuken.
Zoek alle originelen van $\frac32$ : los $f(x) = \frac32$ op (werk de noemer weg en gebruik de methoden van Probleem 2.1).
Een vast punt van $f$ is een getal dat de machine onveranderd laat: $f(x) = x$ . Zoek beide vaste punten van $f$ . Welke oude bekende bewaakt het positieve?
Voed de machine, vertrekkend van $x = 1$ , drie keer met haar eigen uitvoer en noteer de exacte resultaten. Welke rij uit de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume heb je herbouwd — en wat was “het recept van Heron”, in de taal van de functies?
Schets op één tekening de grafiek van $f$ (voor $x > 0$ ) en de diagonale rechte $y = x$ . Waar liggen de vaste punten op die tekening? (Vergelijk met de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume: de temperatuur die op beide schalen hetzelfde aanwees, was hetzelfde idee.)

Deel II — Waarom de machine niet mis kan.

Toon voor $0 < u < v$ , door op één noemer te brengen, aan dat

$f(v) - f(u) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv} ,$

en leid het verloop van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ af: dalend tot aan een punt, daarna stijgend — welk punt? (Dezelfde techniek als in Oefening 3.10.)
Leid af dat de functie $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ een minimum heeft, precies gelijk aan $\sqrt2$ en bereikt in $\sqrt2$ . Wat zegt dat over elke uitvoer van de machine (bij positieve invoer)?
Toon aan dat uit $x > \sqrt2$ volgt dat $\sqrt2 < f(x) < x$ : een te grote schatting wordt altijd verbeterd, nooit voorbijgeschoten. (Voor $f(x) < x$ : vergelijk $\frac2x$ met $x$ .)
Breng de vragen 6–8 samen in de verlooptabel van $f$ op $\intoo{0}{+\infty}$ (Definitie 3.9), minimum inbegrepen.
Een tweede machine: $g(x) = x^2$ . Haar vaste punten zijn $0$ en $1$ (ga na). Itereer $g$ vier keer vanaf $x = 0.9$ , en daarna vier keer vanaf $x = 1.1$ (rekenmachine, drie decimalen). Het ene vaste punt trekt aan, het andere stoot af: welk is welk?

Deel III — De hagelsteenmachine. Definieer op de natuurlijke getallen: $h(n) = \frac n2$ als $n$ even is, en $h(n) = 3n + 1$ als $n$ oneven is. Getallen stuiteren onder $h$ als hagelstenen in een onweerswolk.

Bereken de volledige vlucht van $7$ onder $h$ , tot bij $1$ . Hoeveel stappen duurt ze, en hoe hoog vliegt ze?
Begin de vlucht van $27$ en bereken tien stappen. (De volledige vlucht duurt $111$ stappen en piekt op $9\,232$ — vanaf een startgetal $27$ .) Welke les over eenvoudige regels leren $7$ en $27$ je?
Leg uit waarom elke vlucht die een macht van $2$ bereikt regelrecht naar $1$ neerstort, en wat er in $1$ gebeurt (bereken $h(1)$ , $h(4)$ , $h(2)$ ). Heeft $h$ een vast punt onder de positieve natuurlijke getallen? Wat vormt het einde van elke waargenomen vlucht in de plaats daarvan?
Het vermoeden van Collatz beweert dat elk startgetal uiteindelijk bij $1$ uitkomt. Computers hebben het ver voorbij $10^{20}$ nagegaan; geen mens heeft het bewezen. Welke twee soorten vondsten zouden het weerleggen? En waarom sluit massale verificatie de zaak nog altijd niet (de weekendopgave over het orakel met de luciferstokjes in het onderbouwvolume luidde deze klok al)?
“De wiskunde is nog niet rijp voor zulke vragen”, zei Paul Erdős over dit vermoeden. In één zin: wat scheidt de hagelsteenmachine van die van Heron, waar de vragen 6–8 alles beslechtten?

Deel IV — De handleiding van de machine.

Domeinen als intervallen (in de taal van Probleem 1.1): geef de domeinen van $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ , $x \mapsto \frac{1}{x^2 - 9}$ , $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ .
Terug naar de $f$ van Heron: zoek de exacte originelen van $3$ (los $f(x) = 3$ op door het kwadraat aan te vullen).
Een steen wordt omhoog geworpen: zijn hoogte is $H(t) = 20t - 5t^2$ meter na $t$ seconden. Op welk tijdsinterval heeft de formule fysische zin? Vul het kwadraat aan om de grootste hoogte en het tijdstip ervan te vinden (Definitie 3.12), en geef de verlooptabel.
Hoe lang bevindt de steen zich op minstens $15$ m hoogte? (Los $H(t) \geq 15$ op met een tekentabel, Methode 2.17.)
Slotstuk: deze opgave liet vier machines draaien — de verbeteraar van Heron, de kwadrateermachine, de hagelsteen en de hoogte van de steen. Zeg in twee of drie zinnen wat elke functie heeft (een domein, een voorschrift, een grafiek) en welke twee grote vragen deze opgave aan elk ervan stelde (waar komt de iteratie tot rust? hoe verloopt de functie?) — vragen die de volgende hoofdstukken één voor één opnemen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. Domein: $x \neq 0$ (deling door $x$ ). $f(1) = \frac12(1 + 2) = \frac32$ ; $f(2) = \frac12(2 + 1) = \frac32$ ; $f\!\left(\frac32\right) = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac{17}{12}$ .

2. $\frac12\left(x + \frac2x\right) = \frac32$ geeft $x^2 + 2 = 3x$ , dus $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$ : de originelen van $\frac32$ zijn $1$ en $2$ — zoals vraag 1 al aankondigde.

3. $f(x) = x$ geeft $x + \frac2x = 2x$ , dus $\frac2x = x$ en $x^2 = 2$ : vaste punten $\sqrt2$ en $-\sqrt2$ . Het positieve is de diagonaal van het eenheidsvierkant, irrationaal volgens de weekendopgave over irrationaliteit in het onderbouwvolume.

4. $1 \to \frac32 \to \frac{17}{12} \to \frac{577}{408}$ : de benaderingen van $\sqrt2$ van Heron. Zijn recept “neem het gemiddelde van de schatting en $2/$ schatting” is precies het itereren van de functie $f$ — en het getal dat het proces najaagt is het vaste punt van $f$ .

5. De vaste punten zijn de snijpunten van de grafiek met de diagonaal $y = x$ : de uitvoer opnieuw invoeren laat het punt langs de grafiek naar dat snijpunt wandelen. In de weekendopgave over de twee thermometers in het onderbouwvolume was de aanwijzing $-40^\circ$ hetzelfde idee van het kruisen van de diagonaal, voor de omrekeningsfunctie.

6. $f(v) - f(u) = \frac{v - u}{2} + \frac1v - \frac1u = \frac{v - u}{2} + \frac{u - v}{uv} = (v - u)\left(\frac12 - \frac{1}{uv}\right) = \frac{(v - u)(uv - 2)}{2uv}$ . Voor $0 < u < v \leq \sqrt2$ is $uv < 2$ , is de haak negatief en dus $f(v) < f(u)$ : dalend. Voor $\sqrt2 \leq u < v$ is $uv > 2$ : stijgend. Keerpunt: $\sqrt2$ .

7. Dalend vóór $\sqrt2$ , stijgend erna: $f$ bereikt haar minimum in $\sqrt2$ , met waarde $f(\sqrt2) = \frac12\left(\sqrt2 + \frac{2}{\sqrt2}\right) = \sqrt2$ . Gevolg: elke uitvoer van de machine (bij positieve invoer) is minstens $\sqrt2$ — na één slag aan de zwengel wonen de schattingen in $\intco{\sqrt2}{+\infty}$ .

8. Is $x > \sqrt2$ , dan is $x^2 > 2$ , dus $\frac2x < x$ , en het gemiddelde $f(x)$ van $x$ en $\frac2x$ is kleiner dan $x$ ; en $f(x) \geq \sqrt2$ volgens vraag 7, met gelijkheid alleen in $x = \sqrt2$ . Dus is $\sqrt2 < f(x) < x$ : elke iteratie verbetert strikt zonder voorbij te schieten — de rij uit vraag 4 glijdt neer op $\sqrt2$ .

9. Op $\intoo{0}{+\infty}$ : dalend van $+\infty$ (dicht bij $0$ ) tot het minimum $\sqrt2$ in $x = \sqrt2$ , daarna onbegrensd stijgend.

10. $g(x) = x$ geeft $x^2 = x$ , dus $x(x - 1) = 0$ : vaste punten $0$ en $1$ . Vanaf $0.9$ : $0.81$ , $0.656$ , $0.430$ , $0.185$ — glijdend naar $0$ . Vanaf $1.1$ : $1.21$ , $1.464$ , $2.144$ , $4.595$ — wegvluchtend naar oneindig. Het vaste punt $0$ trekt aan, $1$ stoot af: een haarbreed verschil bij de start, tegengestelde lotsbestemmingen.

11. $7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ : zestien stappen, met een piek op $52$ .

12. $27 \to 82 \to 41 \to 124 \to 62 \to 31 \to 94 \to 47 \to 142 \to 71 \to 214 \to \dots$ — na tien stappen nog altijd klimmend, op weg naar een piek van $9\,232$ en een vlucht van $111$ stappen. De les: een regel van twee regels kan gedrag voortbrengen dat niemand in één oogopslag voorspelt — buurgetallen ( $26$ , $27$ , $28$ ) hebben wild uiteenlopende vluchten.

13. Een macht van $2$ halveert zijn hele ladder af: $2^k \to 2^{k-1} \to \dots \to 2 \to 1$ . Onderaan is $h(1) = 4$ , $h(4) = 2$ , $h(2) = 1$ : de vlucht komt in de cyclus $4 \to 2 \to 1 \to 4$ terecht. Een vast punt zou $\frac n2 = n$ vragen (alleen $n = 0$ ) of $3n + 1 = n$ (negatief): geen enkel onder de positieve gehele getallen — de waargenomen vluchten eindigen niet in een vast punt maar in die kleine cyclus.

14. Een tegenvoorbeeld zou ofwel een vlucht zijn die eeuwig groeit (nooit terug naar $1$ ), ofwel een tweede cyclus los van $4 \to 2 \to 1$ . Verificatie tot $10^{20}$ laat oneindig veel ongeteste getallen over — precies de les over de gebieden in de cirkel uit de weekendopgave over het orakel met de luciferstokjes in het onderbouwvolume: overeenstemming in eindig veel gevallen bewijst niets over alle.

15. Bij de machine van Heron hadden we structuur — een ontbonden verschil (vraag 6) dat het verloop blootlegt, een minimum, een insluiting — terwijl de pariteitsschakelaar van de hagelsteen geen enkel zulk houvast biedt: niemand heeft de structuur gevonden die haar temt.

16. $\sqrt{x - 3}$ : vereist $x - 3 \geq 0$ : $\intco{3}{+\infty}$ . $\frac{1}{x^2 - 9}$ : vereist $x \neq \pm 3$ : $\R$ zonder $-3$ en $3$ . $\sqrt{9 - x^2}$ : vereist $x^2 \leq 9$ : $\intcc{-3}{3}$ .

17. $f(x) = 3$ geeft $x + \frac2x = 6$ , dus $x^2 - 6x + 2 = 0$ , dus $(x - 3)^2 = 7$ : $x = 3 - \sqrt7$ of $x = 3 + \sqrt7$ (beide positief: twee exacte originelen).

18. Fysische zin zolang de steen in de lucht is: $H(t) = 5t(4 - t) \geq 0$ voor $t \in \intcc{0}{4}$ . Kwadraat aanvullen: $H(t) = 20 - 5(t - 2)^2$ : maximum $20$ m in $t = 2$ s. Verloop: stijgend op $\intcc{0}{2}$ van $0$ tot $20$ , dalend op $\intcc{2}{4}$ terug tot $0$ .

19. $20t - 5t^2 \geq 15 \iff t^2 - 4t + 3 \leq 0 \iff (t - 1)(t - 3) \leq 0 \iff t \in \intcc{1}{3}$ : twee volle seconden boven $15$ m.

20. Elke machine heeft een domein (waar het voorschrift mag werken), een voorschrift (de formule of de pariteitsschakelaar) en een grafiek of tabel die haar in haar geheel toont. Aan elk stelden we de twee grote vragen: waar leidt herhaling heen (vaste punten, cycli, aantrekking — opgelost voor Heron, open voor de hagelsteen) en hoe beweegt de uitvoer met de invoer mee (verloop, extrema — de top van de steen, het minimum van Heron). De volgende hoofdstukken verscherpen beide: eerst de referentiefuncties, en in latere jaren de afgeleiden om het verloop te meten en de limieten om te bevestigen waar iteraties belanden.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst