Potências, ordem de um elemento কী?

Exemplo 7.15

Em $(\C^*, \times)$: $\iu$ tem ordem $4$, com $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; mais geralmente, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ tem ordem $n$ e $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. Em $(\Z, +)$, todo $x \neq 0$ tem ordem infinita. Por que valem as afirmações da definição: se $x$ tem ordem $m$, divida qualquer $k$ por $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, de modo que as potências se repetem com período $m$, os elementos listados são dois a dois distintos pela minimalidade de $m$, e $x^k = e$ força $r = 0$. As ordens de permutações são calculadas no problema de fim de semana abaixo.

Exemplo 7.16 (Ordens dentro de $\mathbb U_{12}$)

Qual é a ordem de $\omega^k$ em $\mathbb U_n$, para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Tem-se $(\omega^k)^m = 1$ se, e somente se, $n \mid km$ e, escrevendo $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ com $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, Teorema 6.8). O menor $m \geq 1$ desses é $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Em $\mathbb U_{12}$, por exemplo, $\omega^8$ tem ordem $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (com efeito, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), ao passo que $\omega^5$ tem ordem $12$: ele gera o grupo inteiro, embora não seja o gerador “padrão”. Contar os geradores — os $k$ com $\gcd(k, n) = 1$ — recupera as contagens de números primos entre si do Exemplo 2.25: a teoria de grupos e a contagem se encontram.

Exemplo 7.6 (As simetrias de um retângulo)

Um retângulo (não quadrado) admite exatamente quatro isometrias sobre si mesmo: a identidade $e$, a reflexão no eixo horizontal $h$, a reflexão no eixo vertical $v$ e a meia-volta $r$ em torno do centro. A composição faz desse conjunto de quatro elementos um grupo: cada elemento é o seu próprio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), e o produto de dois elementos distintos e diferentes do neutro é o terceiro ($hv = vh = r$: refletir nos dois eixos é a meia-volta). A tabela completa é simétrica, de modo que o grupo é abeliano — e no entanto ele não é o mesmo grupo que as rotações $\mathbb U_4$ do Exemplo 7.15: lá, $\iu$ tem ordem $4$, ao passo que aqui todo elemento tem ordem $\leq 2$. Dois grupos do mesmo tamanho podem, assim, ter estruturas multiplicativas genuinamente diferentes — a figura abaixo exibe as duas tabelas lado a lado. Este grupo de quatro elementos volta como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, e o Exercício 7.7 explica por que todo grupo em que os quadrados são triviais deve, como este, ser abeliano.