الكيمياء المدرسية — من الصف الأول إلى الصف الثاني عشر · Grades 1–12

25المول والكتلة المولية

في نهاية اليوم لا يعدّ المصرف قطعه النقدية قطعةً قطعة: بل يزنها. فإذا كانت كتلة القطعة الواحدة $7.5\,\mathrm{g}$ ، فإن كيسًا من القطع كتلته $7.5\,\mathrm{kg}$ يحوي ألف قطعة، ويكون الميزان قد قام بالعدّ. ويواجه الكيميائيون المشكلة نفسها مع الذرات، لكنها أسوأ بكثير: فملعقة من الماء تحوي من الجزيئات أكثر مما على شواطئ ساحل كامل من حبات الرمل. ويحلّونها بالطريقة نفسها، بالوزن، والكيس الذي يستعملونه يحوي $602\,214\,076\,000\,000\,000\,000\,000$ كيان. يعرّف هذا الفصل ذلك الكيس، أي المول، ويبيّن كيف ننتقل من كتلة على الميزان إلى عدد من الذرات أو الجزيئات.

ما تعرفه من قبل

كتلة الذرة متركزة في نواتها؛ وكتلة كل من البروتون والنيوترون نحو $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ، فكتلة ذرة عددها الكتلي $A$ نحو $A \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ . وتُكتب الأعداد الكبيرة والصغيرة بالكتابة العلمية (الفصل 16). والصيغة الكيميائية تعطي عدد ذرات كل عنصر في الجزيء (الفصل 11).

المصرف يعدّ القطع النقدية بوزنها. والكيميائيون يعدّون الذرات بالطريقة نفسها.

25.1 العدّ بالوزن

مثال 25.1 (كيس من القطع النقدية)

كتلة القطعة النقدية $7.5\,\mathrm{g}$ . وكتلة كيس من هذه القطع $1.80\,\mathrm{kg}$ ، أي $1800\,\mathrm{g}$ ، دون حساب كتلة الكيس نفسه. فهو يحوي

\frac{1800\,\mathrm{g}}{7.5\,\mathrm{g}} = 240 \text{ قطعة.}

وللعدّ يقسم المصرف الكتلة الكلية على كتلة قطعة واحدة.

مثال 25.2 (ملعقة من الماء)

لجزيء الماء، $\ce{H2O}$ ، $2 + 16 = 18$ نوكليونًا (فذرات الأكسجين 16 والهيدروجين 1 تكاد تكوّن الماء الطبيعي كله)، فكتلته نحو $18 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ، أي $3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ . ولذلك فملعقة فيها $5.0\,\mathrm{g}$ من الماء تحوي

\frac{5.0\,\mathrm{g}}{3.0 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}} \approx 1.7 \times 10^{23} \text{ جزيء.}

تجري القسمة كما في القطع النقدية، لكن الجواب عدد لا يستطيع أحد أن يتصوره. فالكيميائيون يحتاجون إلى رزمة من الذرات تناسب عيّنات المختبر.

تعريف 25.3 (كمية المادة والمول)

كمية المادة $n$ في عيّنة تعدّ الكيانات التي تحويها (ذرات، أو جزيئات، أو أيونات، يُذكر نوعها في كل مرة). ووحدتها المول، ورمزه $\mathrm{mol}$ : والمول الواحد يحوي $6.022\,140\,76 \times 10^{23}$ كيانًا بالضبط.

ملاحظة 25.4 (الدزينة والرزمة والمول)

المول وحدة عدّ، مثل دزينة البيض (12) أو رزمة الورق (500 ورقة)، لكنه أكبر بكثير جدًا. فعبارة «مولان من جزيئات الماء» تعني $2 \times 6.022\,140\,76 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{24}$ جزيء، كما تعني عبارة «دزينتان من البيض» 24 بيضة. واذكر دائمًا الكيانات المعدودة: فمول واحد من جزيئات الأكسجين $\ce{O2}$ يحوي مولين من ذرات الأكسجين.

لمحة تاريخية — فرضية أفوغادرو، 1811

اقترح الفيزيائي أميديو أفوغادرو سنة 1811 أن الأحجام المتساوية من غازات مختلفة، في درجة الحرارة والضغط نفسيهما، تحوي العدد نفسه من الجسيمات. وفهم أيضًا أن غازًا مثل الأكسجين مكوّن من جزيئات ثنائية الذرة. وأُهملت فكرته نحو خمسين سنة، حتى استعملها ستانيسلاو كانيتسارو سنة 1860 للحصول على مجموعة متسقة من الأوزان الذرية. وسُمّي الثابت الذي يعدّ كيانات المول لاحقًا باسم أفوغادرو؛ ولم يعرف هو قيمته قط.

25.2 ثابت أفوغادرو

تعريف 25.5 (ثابت أفوغادرو)

ثابت أفوغادرو $N_A$ هو عدد الكيانات في المول الواحد:

N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} .

وقيمته دقيقة، ثابتة بالتعريف. وتُقرَّب في الحسابات إلى $6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ .

قضية 25.6 (عدد الكيانات وكمية المادة)

العيّنة التي تحوي $N$ كيانًا فيها كمية المادة

n = \frac{N}{N_A}, \qquad\text{أي}\qquad N = n \times N_A .

برهان. كل مول يحوي $N_A$ كيانًا، إذن $n$ مولًا تحوي $n \times N_A$ كيانًا؛ والقسمة على $N_A$ تعطي $n$ . ∎

مثال 25.7 (الجزيئات والمولات)

عيّنة تحوي $1.5 \times 10^{24}$ جزيء من ثنائي أكسيد الكربون. فكمية مادة ثنائي أكسيد الكربون فيها $n = 1.5 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.5\,\mathrm{mol}$ . وبالعكس، $0.20\,\mathrm{mol}$ من الحديد تحوي $N = 0.20\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 1.2 \times 10^{23}$ ذرة حديد.

ملاحظة 25.8 (من أين يأتي العدد)

ظل المول أكثر من خمسين سنة يُعرَّف بأنه عدد الذرات في $12\,\mathrm{g}$ بالضبط من الكربون 12، وكان لا بد من قياس $N_A$ . ومنذ 2019 ثُبّت العدد نفسه، فصار المول عدًّا خالصًا. ويتفق التعريفان القديم والجديد بأفضل من جزء من مئة مليون، فلا يزال اثنا عشر غرامًا من الكربون 12 تحوي مولًا واحدًا من الذرات، كما يتحقق القسم التالي.

25.3 الكتلة المولية

تعريف 25.9 (الكتلة المولية)

الكتلة المولية $M$ لنوع كيميائي هي كتلة مول واحد من كياناته، بالغرام لكل مول ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). والكتلة المولية لعنصر، محسوبة على خليطه الطبيعي من النظائر، هي كتلته المولية الذرية؛ وهي مطبوعة في الجدول الدوري.

مثال 25.10 (مول واحد من ذرات الكربون)

كتلة ذرة الكربون 12 نحو $12 \times 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} = 2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ . وكتلة مول واحد منها

2.00 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.20 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg} = 12.0\,\mathrm{g}.

وقد اختير المول بحيث تكون الكتلة المولية للذرة، بالغرام لكل مول، قريبة من عددها الكتلي: نحو $1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ للهيدروجين، و $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ للكربون، و $16\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ للأكسجين.

العنصر	الرمز	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )	العنصر	الرمز	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )
الهيدروجين	$\ce{H}$	1.0	السيليكون	$\ce{Si}$	28.1
الكربون	$\ce{C}$	12.0	الكبريت	$\ce{S}$	32.1
النيتروجين	$\ce{N}$	14.0	الكلور	$\ce{Cl}$	35.5
الأكسجين	$\ce{O}$	16.0	البوتاسيوم	$\ce{K}$	39.1
الصوديوم	$\ce{Na}$	23.0	الكالسيوم	$\ce{Ca}$	40.1
المغنيسيوم	$\ce{Mg}$	24.3	الحديد	$\ce{Fe}$	55.8
الألومنيوم	$\ce{Al}$	27.0	النحاس	$\ce{Cu}$	63.5
			الذهب	$\ce{Au}$	197.0

الكتل المولية الذرية لعناصر شائعة، مقرّبة إلى

0.1\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}

. وهي القيم المستعملة في هذا الكتاب.

ملاحظة 25.11 (لماذا الكلور 35.5)

الكلور الطبيعي خليط من نظيرين: نحو ثلاثة أرباع ذراته كلور 35، وربعها كلور 37 (الفصل 16). وكتلته المولية الذرية هي المتوسط، مرجّحًا بهذه الأنصبة، وهو يقع بين 35 و37: $35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . ولهذا تبتعد بعض الكتل المولية الذرية كثيرًا عن الأعداد الصحيحة.

قضية 25.12 (الكتلة المولية لجزيء)

الكتلة المولية لجزيء هي مجموع الكتل المولية الذرية لكل ذراته، تُحسب كل ذرة بعدد مرات ظهورها في الصيغة. والقاعدة نفسها تعطي الكتلة المولية لجسم صلب أيوني انطلاقًا من وحدة صيغته.

برهان. مول واحد من جزيئات $\ce{A_xB_y}$ يحوي $x$ مولًا من ذرات $\ce{A}$ و $y$ مولًا من ذرات $\ce{B}$ ، ولا شيء غير ذلك؛ فكتلته مجموع كتلها، $x\,M(\ce{A}) + y\,M(\ce{B})$ . ∎

مثال 25.13 (ثلاث كتل مولية)

\begin{align*} M(\ce{H2O}) &= 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{NaCl}) &= 23.0 + 35.5 = 58.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol},\\ M(\ce{C12H22O11}) &= 12 \times 12.0 + 22 \times 1.0 + 11 \times 16.0 = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}. \end{align*}

والأخيرة هي السكروز، سكر المائدة.

25.4 من الكتلة إلى كمية المادة وبالعكس

قضية 25.14 (الكتلة وكمية المادة)

عيّنة كتلتها $m$ من نوع كتلته المولية $M$ تحوي كمية المادة

n = \frac{m}{M}, \qquad\text{أي}\qquad m = n \times M .

وإذا كانت $m$ بالغرام و $M$ بالغرام لكل مول كانت $n$ بالمول.

برهان. كتلة كل مول $M$ ، فكتلة $n$ مولًا $n \times M$ ؛ وهذا هو عدّ المصرف للقطع النقدية، والمول هو القطعة. ∎

طريقة 25.15 (من الكتلة إلى عدد الكيانات)

اكتب صيغة النوع واحسب كتلته المولية $M$ من الجدول.
حوّل الكتلة إلى الغرام إن لزم، ثم $n = m / M$ .
إذا كان المطلوب عدد الكيانات فإن $N = n \times N_A$ .
تحقق من رتبة القدر: بضعة غرامات من جزيء صغير تكون من رتبة عُشر مول، أي نحو $10^{22}$ إلى $10^{23}$ كيان.

كمية المادة n في الوسط: الميزان يعطي m، والكتلة المولية تقود إلى n، وثابت أفوغادرو يقود بعدها إلى عدد الكيانات. — كمية المادة $n$ في الوسط: الميزان يعطي $m$ ، والكتلة المولية تقود إلى $n$ ، وثابت أفوغادرو يقود بعدها إلى عدد الكيانات.

مثال 25.16 (تسعة غرامات من الماء)

كم جزيئًا في $9.0\,\mathrm{g}$ من الماء؟ $M(\ce{H2O}) = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، إذن

n = \frac{9.0\,\mathrm{g}}{18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}} = 0.50\,\mathrm{mol}, \qquad N = 0.50\,\mathrm{mol} \times 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 3.0 \times 10^{23} \text{ جزيء.}

مثال 25.17 (مول على طاولة المختبر)

مول واحد من الماء $18.0\,\mathrm{g}$ ، أي نحو ملعقة كبيرة. ومول واحد من الملح، $58.5\,\mathrm{g}$ ، كومة صغيرة؛ ومول واحد من السكر، $342.0\,\mathrm{g}$ ، يملأ كوبًا؛ ومول واحد من الحديد، $55.8\,\mathrm{g}$ ، مكعب طول ضلعه أقل بقليل من $2\,\mathrm{cm}$ . والأربعة تحوي العدد نفسه من الكيانات: فجزيئات السكر أثقل بكثير من جزيئات الماء فحسب، وذرات الحديد متراصة أكثر بكثير.

مول واحد من كل من الماء والملح (كلوريد الصوديوم) والسكر (السكروز) والحديد، مرسومة مكعبات بأحجامها الحقيقية، وبالمقياس نفسه كلها. ويحوي كل منها 6.02 × 1023 كيانًا. — مول واحد من كل من الماء والملح (كلوريد الصوديوم) والسكر (السكروز) والحديد، مرسومة مكعبات بأحجامها الحقيقية، وبالمقياس نفسه كلها. ويحوي كل منها $6.02 \times 10^{23}$ كيانًا.

25.5 الغازات: الحجم المولي

تعريف 25.18 (الحجم المولي)

الحجم المولي $V_m$ لغاز هو الحجم الذي يشغله مول واحد من ذلك الغاز، في درجة حرارة وضغط معيّنين. ويُعبَّر عنه باللتر لكل مول ( $\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ ).

قضية 25.19 (للغازات كلها الحجم المولي نفسه)

في درجة حرارة وضغط معيّنين، يشغل مول واحد من أي غاز الحجم نفسه تقريبًا، أيًّا كان الغاز. وعند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ والضغط الجوي العادي،

V_m = 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol};

وعند $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ والضغط نفسه $V_m = 22.4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ . وكمية مادة غاز حجمه $V$ هي عندئذ $n = V / V_m$ .

برهان. نقبله هنا: إنها فرضية أفوغادرو لسنة 1811، وقد صارت اليوم قانونًا فيزيائيًا، وقيمة $V_m$ تنتج عن قوانين الغازات المدروسة في كتاب الفيزياء. ∎

ثلاثة بالونات عند 20\, C، في كل منها مول واحد من غاز مختلف. الأحجام متساوية؛ أما الكتل فلا. — ثلاثة بالونات عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، في كل منها مول واحد من غاز مختلف. الأحجام متساوية؛ أما الكتل فلا.

مثال 25.20 (بالون من ثنائي أكسيد الكربون)

يحوي بالون $2.4\,\mathrm{L}$ من ثنائي أكسيد الكربون عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . فكمية مادته $n = 2.4\,\mathrm{L} / 24.1\,\mathrm{L}/\mathrm{mol} = 0.10\,\mathrm{mol}$ ، وكتلته $m = 0.10\,\mathrm{mol} \times 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} = 4.4\,\mathrm{g}$ . والبالون نفسه إذا مُلئ بالهيدروجين يحوي $0.10\,\mathrm{mol}$ نفسها، لكنها لا تزن إلا $0.20\,\mathrm{g}$ من الغاز.

ملاحظة 25.21 (الغازات الثقيلة والخفيفة)

بما أن لترًا من أي غاز يحوي كمية المادة نفسها، فكتلة لتر من الغاز تتناسب مع كتلته المولية. والهواء، وهو خليط من نحو أربعة أخماس نيتروجين ( $28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) وخمس أكسجين ( $32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )، يسلك سلوك غاز كتلته المولية نحو $29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . والغاز ذو الكتلة المولية الأكبر، مثل ثنائي أكسيد الكربون ( $44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )، أكثف من الهواء ويتجمع في أسفل قبو مغلق؛ والغاز ذو الكتلة المولية الأصغر، مثل الهيليوم ( $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )، يرتفع.

25.6 تمارين

تمرين 25.1 ★

احسب الكتل المولية لثنائي الأكسجين $\ce{O2}$ ، وثنائي النيتروجين $\ce{N2}$ ، والميثان $\ce{CH4}$ ، والأمونياك $\ce{NH3}$ ، وثنائي أكسيد الكربون $\ce{CO2}$ .

حل

حل التمرين 25.1.

$M(\ce{O2}) = 2 \times 16.0 = 32.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{N2}) = 2 \times 14.0 = 28.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CH4}) = 12.0 + 4 \times 1.0 = 16.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{NH3}) = 14.0 + 3 \times 1.0 = 17.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $M(\ce{CO2}) = 12.0 + 2 \times 16.0 = 44.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

تمرين 25.2 ★

ما كمية المادة في $36.0\,\mathrm{g}$ من الماء؟ وفي $4.0\,\mathrm{g}$ من الميثان؟

حل

حل التمرين 25.2.

الماء: $n = 36.0 / 18.0 = 2.00\,\mathrm{mol}$ . الميثان: $n = 4.0 / 16.0 = 0.25\,\mathrm{mol}$ .

تمرين 25.3 ★

ما كتلة $0.25\,\mathrm{mol}$ من كلوريد الصوديوم $\ce{NaCl}$ ؟ وكتلة $2.0\,\mathrm{mol}$ من ثنائي أكسيد الكربون؟

حل

حل التمرين 25.3.

$m(\ce{NaCl}) = 0.25 \times 58.5 = 14.6\,\mathrm{g}$ ، أي نحو $15\,\mathrm{g}$ ؛ و $m(\ce{CO2}) = 2.0 \times 44.0 = 88\,\mathrm{g}$ .

تمرين 25.4 ★

كم جزيئًا في $0.50\,\mathrm{mol}$ من ثنائي الأكسجين؟ وما كمية الحديد التي تحوي $3.0 \times 10^{24}$ ذرة حديد؟

حل

حل التمرين 25.4.

$N = 0.50 \times 6.02 \times 10^{23} = 3.0 \times 10^{23}$ جزيء من ثنائي الأكسجين. و $n = 3.0 \times 10^{24} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 5.0\,\mathrm{mol}$ من الحديد.

تمرين 25.5 ★

عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ والضغط الجوي العادي، ما الحجم الذي يشغله $0.50\,\mathrm{mol}$ من ثنائي النيتروجين؟ وما كمية ثنائي الأكسجين في $12\,\mathrm{L}$ من هذا الغاز؟

حل

حل التمرين 25.5.

$V = n \times V_m = 0.50 \times 24.1 = 12\,\mathrm{L}$ . $n = V / V_m = 12 / 24.1 = 0.50\,\mathrm{mol}$ .

تمرين 25.6 ★★

حجم قطرة ماء $0.050\,\mathrm{mL}$ ، وكتلة $1\,\mathrm{mL}$ من الماء $1.0\,\mathrm{g}$ . كم جزيء ماء تحوي القطرة؟

حل

حل التمرين 25.6.

كتلة القطرة $0.050\,\mathrm{g}$ ، إذن $n = 0.050 / 18.0 = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$ و $N = 2.8 \times 10^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} = 1.7 \times 10^{21}$ جزيء.

تمرين 25.7 ★★

أيهما يحوي ذرات أكثر، $10\,\mathrm{g}$ من الألومنيوم أم $10\,\mathrm{g}$ من الحديد؟ علّل دون حساب أولًا، ثم تحقق بالحساب.

حل

حل التمرين 25.7.

ذرة الألومنيوم ( $27.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) نحو نصف ذرة الحديد ( $55.8\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) ثقلًا، فالكتلة نفسها من الألومنيوم تحوي نحو ضعف عدد الذرات. التحقق: الألومنيوم $10/27.0 = 0.370\,\mathrm{mol}$ ، أي $2.23 \times 10^{23}$ ذرة؛ والحديد $10/55.8 = 0.179\,\mathrm{mol}$ ، أي $1.08 \times 10^{23}$ ذرة. فالألومنيوم أكثر، بعامل يقارب 2.1.

تمرين 25.8 ★★

عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، احسب كتلة لتر واحد من ثنائي أكسيد الكربون ولتر واحد من ثنائي النيتروجين. ولماذا يتجمع ثنائي أكسيد الكربون في أسفل قبو مغلق يتخمّر فيه عصير العنب؟

حل

حل التمرين 25.8.

اللتر الواحد $1/24.1 = 0.0415\,\mathrm{mol}$ من الغاز. ثنائي أكسيد الكربون: $0.0415 \times 44.0 = 1.83\,\mathrm{g}$ ؛ ثنائي النيتروجين: $0.0415 \times 28.0 = 1.16\,\mathrm{g}$ . فثنائي أكسيد الكربون أكثف بنحو مرة ونصف من الهواء، الذي تقارب كتلته المولية كتلة ثنائي النيتروجين. والعصير المتخمّر يطلق ثنائي أكسيد الكربون، فيهبط ويتراكم قرب أرضية القبو المغلق، حيث قد يخنق كل من يدخله.

تمرين 25.9 ★★

مستعينًا بشكل الصناديق الثلاثة $m$ و $n$ و $N$ ، أعطِ كتلة $1.0 \times 10^{22}$ جزيء من الغلوكوز $\ce{C6H12O6}$ . واذكر السهمين اللذين اتبعتهما.

حل

حل التمرين 25.9.

$M(\ce{C6H12O6}) = 6 \times 12.0 + 12 \times 1.0 + 6 \times 16.0 = 180.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . السهم $\div N_A$ : $n = 1.0 \times 10^{22} / 6.02 \times 10^{23} = 1.66 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ؛ والسهم $\times M$ : $m = 1.66 \times 10^{-2} \times 180.0 = 3.0\,\mathrm{g}$ .

تمرين 25.10 ★★

قطعة من السكر (السكروز، $\ce{C12H22O11}$ ) كتلتها $5.0\,\mathrm{g}$ . احسب كمية السكروز فيها، ثم عدد جزيئات السكروز، ثم عدد ذرات الكربون.

حل

حل التمرين 25.10.

$M = 342.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، إذن $n = 5.0 / 342.0 = 1.46 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ؛ و $N = 1.46 \times 10^{-2} \times 6.02 \times 10^{23} = 8.8 \times 10^{21}$ جزيء. وفي كل منها 12 ذرة كربون: $12 \times 8.8 \times 10^{21} = 1.1 \times 10^{23}$ ذرة كربون.

تمرين 25.11 ★★

أيهما يحوي كمية جزيئات أكبر: $1.0\,\mathrm{kg}$ من الماء $\ce{H2O}$ أم $1.0\,\mathrm{kg}$ من الإيثانول $\ce{C2H6O}$ ؟ وبأي عامل؟

حل

حل التمرين 25.11.

الماء: $1000 / 18.0 = 55.6\,\mathrm{mol}$ . الإيثانول: $M = 2 \times 12.0 + 6 \times 1.0 + 16.0 = 46.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، إذن $1000 / 46.0 = 21.7\,\mathrm{mol}$ . فللماء الكمية الأكبر، بعامل $55.6 / 21.7 \approx 2.6$ ، وهو ببساطة $46.0 / 18.0$ .

تمرين 25.12 ★★★

خاتم من الذهب كتلته $5.0\,\mathrm{g}$ ؛ ثلاثة أرباع كتلته ذهب، والباقي نحاس. كم ذرة ذهب يحوي؟ وكم ذرة نحاس؟ وأي الفلزين له ذرات أكثر في الخاتم؟

حل

حل التمرين 25.12.

الذهب: $3.75\,\mathrm{g}$ ، $n = 3.75 / 197.0 = 1.90 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ، أي $1.15 \times 10^{22}$ ذرة. النحاس: $1.25\,\mathrm{g}$ ، $n = 1.25 / 63.5 = 1.97 \times 10^{-2}\,\mathrm{mol}$ ، أي $1.19 \times 10^{22}$ ذرة. والمفاجئ أن الخاتم يحوي من ذرات النحاس أكثر قليلًا من ذرات الذهب: فذرة الذهب أثقل من ذرة النحاس بنحو ثلاث مرات.

تمرين 25.13 ★★★

أبعاد قاعة دراسية $8.0\,\mathrm{m}$ في $6.0\,\mathrm{m}$ في $3.0\,\mathrm{m}$ ، والهواء فيها عند $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

ما كمية الغاز التي تحويها ( $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ )؟ وكم جزيئًا؟
إذا اعتبرنا الهواء 78 جزيئًا من ثنائي النيتروجين و21 من ثنائي الأكسجين و1 من الأرغون ( $40.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) في كل مئة، فاحسب الكتلة المولية المتوسطة للهواء.
ما كتلة الهواء في القاعة؟

حل

حل التمرين 25.13.

$V = 8.0 \times 6.0 \times 3.0 = 144\,\mathrm{m}^{3} = 1.44 \times 10^{5}\,\mathrm{L}$ ؛ $n = 1.44 \times 10^{5} / 24.1 = 5.98 \times 10^{3}\,\mathrm{mol}$ ؛ $N = 5.98 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} = 3.6 \times 10^{27}$ جزيء.
$M = (78 \times 28.0 + 21 \times 32.0 + 1 \times 40.0) / 100 = 2896 / 100 = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .
$m = 5.98 \times 10^{3} \times 29.0 = 1.73 \times 10^{5}\,\mathrm{g}$ ، أي نحو $173\,\mathrm{kg}$ : فهواء القاعة يزن ما يزنه شخصان أو ثلاثة بالغون.

تمرين 25.14 ★★★

كرة من السيليكون النقي كتلتها $1.000\,\mathrm{kg}$ بالضبط.

كم ذرة سيليكون تحوي؟
استنتج كتلة ذرة سيليكون واحدة.
قبل 2019 لم يكن ثابت أفوغادرو مثبّتًا بل مقيسًا. اشرح كيف يعطي عدٌّ مستقل لذرات مثل هذه الكرة، التي تُعرف كمية مادتها من كتلتها، قيمةً له.

حل

حل التمرين 25.14.

$n = 1000 / 28.1 = 35.6\,\mathrm{mol}$ ، إذن $N = 35.6 \times 6.02 \times 10^{23} = 2.14 \times 10^{25}$ ذرة.
$m = 1.000\,\mathrm{kg} / 2.14 \times 10^{25} = 4.67 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ .
كتلة الكرة وكتلتها المولية تعطيان كمية مادتها، $n = m / M$ . فإذا عُدّت الذرات $N$ عدًّا مستقلًا (من حجم الكرة والمسافة بين الذرات في البلورة)، كانت النسبة $N / n$ هي ثابت أفوغادرو.

تمرين 25.15 ★★★

يحوي الكلور الطبيعي $75.8\,\%$ من ذرات الكلور 35، وكتلتها المولية قريبة جدًا من $35.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ، و $24.2\,\%$ من ذرات الكلور 37، وكتلتها المولية قريبة جدًا من $37.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ . احسب الكتلة المولية الذرية للكلور الطبيعي، وقارنها بقيمة الجدول.

حل

حل التمرين 25.15.

$M = 0.758 \times 35.0 + 0.242 \times 37.0 = 26.53 + 8.95 = 35.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ : قيمة الجدول.

25.7 مسألة: كأس ماء كلفن

مسألة 25.1

مسألة نهاية الأسبوع — اسكب كأس ماء في البحر، وانتظر حتى يختلط بالمحيطات كلها، ثم املأ الكأس من جديد: كم جزيئًا من الجزيئات الأولى يعود؟

تجربة فكرية شهيرة، تُنسب كثيرًا إلى الفيزيائي اللورد كلفن، تجري هكذا. علّم كل جزيء في كأس من الماء، واسكب الكأس في البحر، وانتظر حتى تنتشر الجزيئات المعلَّمة بانتظام في محيطات العالم كلها. ثم اغمس الكأس في البحر من جديد، في أي مكان. هل تعيد معها جزيئات معلَّمة؟ تسع الكأس $250\,\mathrm{mL}$ ، وكتلة $1\,\mathrm{mL}$ من الماء $1.0\,\mathrm{g}$ . وتحوي المحيطات نحو $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3}$ من الماء. اعتبر ماء البحر ماءً نقيًا في العدّ.

الجزء الأول — الماء في الكأس.

احسب الكتلة المولية للماء.
ما كتلة الماء في الكأس؟
احسب كمية جزيئات الماء في الكأس.
ما كمية ذرات الهيدروجين في الكأس؟ وكمية ذرات الأكسجين؟

الجزء الثاني — الجزيئات في الكأس.

كم جزيء ماء تسع الكأس؟
احسب كتلة جزيء ماء واحد، بالغرام.
تحقق من جوابي 5 و6 بضربهما أحدهما في الآخر: ماذا يجب أن يكون الناتج؟
إذا عددت جزيئًا في كل ثانية، ليلًا ونهارًا، فكم سنة يلزمك لعدّ جزيئات الكأس؟ (السنة نحو $3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ .)

الجزء الثالث — المحيط.

حوّل حجم المحيطات إلى الأمتار المكعبة ( $1\,\mathrm{km}^{3} = 10^{9}\,\mathrm{m}^{3}$ )، ثم إلى اللترات.
بعد أن تنتشر الجزيئات المعلَّمة بانتظام، كم منها في كل لتر من المحيط؟
كم جزيئًا معلَّمًا تعيد الكأس الثانية؟
طريقة ثانية. احسب كمية الماء في المحيطات، معتبرًا كتلة اللتر $1.0\,\mathrm{kg}$ .
ما الكسر الذي تمثله الجزيئات المعلَّمة من كل جزيئات ماء المحيط؟
اضرب هذا الكسر في عدد جزيئات الكأس الثانية، وقارن بجواب السؤال 11.

الجزء الرابع — ماذا يعني ذلك.

كم كأسًا من $250\,\mathrm{mL}$ يمكن أن تُملأ بماء المحيطات؟
قارن هذا العدد بعدد جزيئات كأس واحدة. واشرح في جملة واحدة لماذا تعيد الكأس الثانية هذا العدد الكبير من الجزيئات المعلَّمة.
ما حجم ماء البحر الذي يجب سحبه، في المتوسط، لاستعادة جزيء معلَّم واحد؟ قارنه بقطرة من $0.05\,\mathrm{mL}$ .
لجواب السؤال 11 أرقام كثيرة. لماذا لا ينبغي أن يُعطى إلا رتبةَ قدر؟ أعطِ سببين.
اذكر الجواب النهائي: كم جزيئًا تقريبًا من الكأس الأولى يعود في الثانية؟

حل

حل المسألة 25.1.

1. $M(\ce{H2O}) = 2 \times 1.0 + 16.0 = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ .

2. $m = 250 \times 1.0\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ .

3. $n = 250 / 18.0 = 13.9\,\mathrm{mol}$ .

4. في كل جزيء ذرتا هيدروجين وذرة أكسجين واحدة: $27.8\,\mathrm{mol}$ من ذرات الهيدروجين، و $13.9\,\mathrm{mol}$ من ذرات الأكسجين.

5. $N = 13.9 \times 6.02 \times 10^{23} = 8.36 \times 10^{24}$ جزيء.

6. $m = 18.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol} / 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1} = 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g}$ .

7. $8.36 \times 10^{24} \times 2.99 \times 10^{-23}\,\mathrm{g} = 250\,\mathrm{g}$ ، وهي كتلة الماء في الكأس، كما ينبغي.

8. $8.36 \times 10^{24} / 3.16 \times 10^{7} = 2.6 \times 10^{17}$ سنة: عدد سنوات بسبعة عشر صفرًا، أبعد بكثير من أي عدّ ممكن.

9. $1.335 \times 10^{9}\,\mathrm{km}^{3} \times 10^{9} = 1.335 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{3}$ ، ومع $1\,\mathrm{m}^{3} = 1000\,\mathrm{L}$ نحصل على $1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{L}$ .

10. $8.36 \times 10^{24} / 1.335 \times 10^{21} = 6.26 \times 10^{3}$ جزيء معلَّم في كل لتر.

11. $6.26 \times 10^{3} \times 0.250 = 1.57 \times 10^{3}$ جزيء معلَّم في الكأس الثانية.

12. الكتلة $1.335 \times 10^{21} \times 1.0\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{21}\,\mathrm{kg} = 1.335 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ ؛ و $n = 1.335 \times 10^{24} / 18.0 = 7.42 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$ .

13. $13.9 / 7.42 \times 10^{22} = 1.87 \times 10^{-22}$ .

14. $1.87 \times 10^{-22} \times 8.36 \times 10^{24} = 1.57 \times 10^{3}$ : الجواب نفسه الذي في السؤال 11، كما يجب.

15. $1.335 \times 10^{21} / 0.250 = 5.34 \times 10^{21}$ كأس.

16. $8.36 \times 10^{24} / 5.34 \times 10^{21} \approx 1570$ . فالكأس تحوي من الجزيئات نحو 1600 مرة أكثر مما تحوي المحيطات من الكؤوس؛ وإذا انتشرت جزيئات كأس واحدة بانتظام بقي منها نحو 1600 في كل كأس من ماء المحيط.

17. $1 / 6.26 \times 10^{3} = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{L} = 0.16\,\mathrm{mL}$ ، أي نحو ثلاث قطرات.

18. حجم المحيطات تقدير معروف بثلاثة أرقام أو أربعة في أحسن الأحوال، وقد قُرّب؛ وماء البحر ليس ماءً نقيًا (فهو يحوي أملاحًا)؛ والكأس ليست $250\,\mathrm{mL}$ بالضبط؛ والاختلاط في المحيطات كلها لن يكون أبدًا منتظمًا تمامًا. فلا يُوثق إلا برتبة القدر.

19. يعود نحو 1600 جزيء من الكأس الأولى في الثانية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (852) في المسرد