13Les plaques et leurs mouvements

Près du sommet du Mauna Kea, sur l’île d’Hawaï, une antenne fixée à la roche reçoit chaque jour depuis octobre 1996 les signaux des satellites de positionnement. Chaque jour, un ordinateur calcule la position de l’antenne, à quelques millimètres près. Trente ans de positions racontent la même histoire année après année : l’antenne, la montagne et l’île tout entière se déplacent d’environ $7\,\mathrm{cm}$ par an vers l’ouest-nord-ouest, sans s’arrêter et sans tourner. En 2026, l’antenne se trouvait à plus de deux mètres de son point de départ. Ce chapitre mesure de tels mouvements, montre comment ils s’accordent sur une sphère, et lit le même mouvement dans la chaîne de volcans éteints qui s’étire depuis Hawaï à travers le Pacifique Nord.

Tu sais déjà

La lithosphère est découpée en plaques tectoniques qui se déplacent les unes par rapport aux autres de quelques centimètres par an ; leurs limites sont des dorsales, des fosses, des zones de collision et des failles transformantes (livre 1, année 7). Un point chaud est un endroit situé en profondeur dans le manteau qui alimente un volcan sur la plaque qui le surmonte ; la plaque emporte le volcan tandis qu’un nouveau volcan se forme au-dessus du point chaud (livre 1, année 7). Un récepteur de positionnement par satellite calcule sa propre position à partir des signaux de plusieurs satellites (livre 1, année 9). Les bandes magnétiques du fond océanique donnent la vitesse d’expansion d’une dorsale (Chapitre 10), et la lithosphère est l’enveloppe externe rigide de la Terre, épaisse d’environ $100\,\mathrm{km}$ (Chapitre 12). Une vitesse de $1\,\mathrm{cm}$ par an correspond à $10\,\mathrm{km}$ par million d’années, et $1\,\mathrm{mm}$ par an à $1\,\mathrm{km}$ par million d’années.

13.1 Des plaques rigides sur une sphère

Les séismes ne sont pas dispersés au hasard sur la Terre : presque tous se produisent le long de ceintures étroites, les limites de plaques (livre 1, année 7). À l’intérieur d’une plaque, la roche ne se rompt presque jamais. Une plaque n’est donc pas une peau souple qui s’étire et se plisse en se déplaçant, mais un morceau rigide de lithosphère qui se déplace d’un seul tenant.

Définition 13.1 (Plaque rigide)

Une plaque rigide est un morceau de lithosphère qui se déplace d’un seul bloc : les distances entre ses points ne changent pas, et sa déformation est concentrée dans des zones étroites le long de ses limites.

Le modèle des plaques rigides est une approximation. Certaines régions se déforment sur des centaines de kilomètres, comme les hauts plateaux situés derrière l’Himalaya ou l’ouest de l’Amérique du Nord, et le modèle les traite comme des limites larges. Mais sur la plus grande partie de la surface de la Terre, il fonctionne remarquablement bien : les vitesses qu’il prévoit pour des plaques rigides concordent à quelques millimètres par an près avec celles que mesurent les stations satellitaires (Section 13.4), alors que les plaques se déplacent les unes par rapport aux autres de plusieurs centimètres par an.

Comment une calotte rigide peut-elle se déplacer à la surface d’une sphère ? Elle ne peut pas glisser en ligne droite, car une ligne droite quitte la sphère. Quel que soit le mouvement d’une calotte rigide, c’est une rotation autour d’un axe passant par le centre de la Terre. L’axe perce la surface au pôle de rotation de la plaque. Un point de la plaque se déplace le long d’un petit cercle autour de ce pôle, et plus il est loin du pôle, plus son cercle est grand et plus il va vite (figure ci-dessous). La démonstration que tout mouvement d’une calotte rigide est une telle rotation, et l’usage des pôles de rotation pour décrire les limites de plaques, relèvent du livre 3 ; on n’utilise ici que les vitesses.

La vitesse d’un point se calcule facilement. Un point situé à la distance angulaire $\theta$ du pôle se trouve à la distance $R\sin\theta$ de l’axe, où $R = 6371\,\mathrm{km}$ est le rayon de la Terre. Si la plaque tourne de $\omega$ degrés par million d’années, le point parcourt en un million d’années la fraction $\omega/360$ du cercle de rayon $R\sin\theta$ :

Pour $\omega = 1{}^{\circ}$ par million d’années et $\theta = 90{}^{\circ}$, cela donne $\pi \times 6371/180 \approx 111\,\mathrm{km}$ par million d’années, soit $11.1\,\mathrm{cm}$ par an. Une plaque n’a donc pas une vitesse unique : ses points se déplacent à des vitesses qui vont de zéro au pôle de rotation (si le pôle se trouve sur la plaque) à un maximum à $90{}^{\circ}$ de celui-ci. Les failles transformantes d’une dorsale, qui permettent à deux plaques de coulisser l’une contre l’autre, suivent des petits cercles autour du pôle de la rotation relative des deux plaques.

Des jeux de pôles de rotation publiés donnent, pour chaque plaque, la position de son pôle et sa vitesse de rotation. L’un d’eux, construit surtout à partir des vitesses et des directions d’expansion mesurées le long des dorsales, décrit 56 plaques ; la plaque Pacifique tourne de $0.651{}^{\circ}$ par million d’années, la plaque eurasiatique de $0.223{}^{\circ}$. À partir de ces nombres, un ordinateur calcule la vitesse de n’importe quel point de n’importe quelle plaque (carte ci-dessous).

13.2 Mesurer les mouvements

13.2.1 Deux façons de mesurer une vitesse

Les bandes magnétiques du fond océanique donnent la vitesse à laquelle deux plaques s’écartent de part et d’autre d’une dorsale (Chapitre 10) : on divise la distance d’une bande à l’axe de la dorsale par son âge. La vitesse obtenue est une moyenne sur l’âge de la bande, souvent les derniers millions d’années, et c’est une vitesse relative, celle d’une plaque vue depuis l’autre. Les bandes ne disent rien des plaques qui se rencontrent à une fosse ou dans une zone de collision, puisqu’il ne s’y forme pas de fond océanique.

Le positionnement par satellite mesure le mouvement d’un point unique, aujourd’hui, sur quelques années ou décennies. Une station permanente est ancrée dans la roche en place, de sorte qu’elle se déplace avec la plaque ; ses positions quotidiennes, reportées en fonction du temps, s’alignent sur une droite dont la pente est la vitesse de la station.

Méthode 13.2 (Une vitesse d’après une série temporelle de positions)

1. Reporter la position est et la position nord de la station en fonction du temps, sur deux graphiques ou sur le même.
2. Tracer la droite qui suit le mieux chaque série (ou y lire deux points éloignés). Sa pente, en millimètres par an, est la vitesse vers l’est $v_E$ ou la vitesse vers le nord $v_N$ ; une station qui se déplace vers l’ouest ou vers le sud a une vitesse négative.
3. La vitesse de la station vaut $v = \sqrt{v_E^2 + v_N^2}$ ; sa direction fait avec la ligne est–ouest l’angle $\alpha$ tel que $\tan\alpha = |v_N|/|v_E|$, vers le nord si $v_N > 0$ et vers l’est si $v_E > 0$.

Exemple 13.3 (La station du Mauna Kea)

D’octobre 1996 à septembre 2026, les positions mensuelles de la station du Mauna Kea suivent deux droites de pentes $v_E = -63.2\,\mathrm{mm}$ par an (vers l’ouest) et $v_N = +34.5\,\mathrm{mm}$ par an. La vitesse vaut $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72\,\mathrm{mm}$ par an, et $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.546$ donne $\alpha \approx 29{}^{\circ}$ : la station se déplace de $7.2\,\mathrm{cm}$ par an dans une direction située à $29{}^{\circ}$ au nord de l’ouest. Le pôle de rotation de la plaque Pacifique prévoit, en ce lieu, $6.9\,\mathrm{cm}$ par an, à $28{}^{\circ}$ au nord de l’ouest.

Les points s’écartent de quelques millimètres de part et d’autre des droites, bien moins que le mouvement d’une seule année : après quelques années de mesure, la vitesse d’une station est connue à mieux d’un millimètre par an près.

13.2.2 Mouvement relatif et mouvement absolu

Une vitesse se mesure toujours par rapport à quelque chose. La station du Mauna Kea se déplace de $7.2\,\mathrm{cm}$ par an par rapport à un référentiel lié à la Terre entière ; vue depuis une station d’Amérique du Nord, qui se déplace elle-même, sa vitesse est différente.

Définition 13.4 (Mouvement relatif ; mouvement absolu)

Le mouvement relatif d’une plaque $A$ par rapport à une plaque $B$ est son mouvement tel que le voit un observateur placé sur $B$. Le mouvement absolu d’une plaque est son mouvement par rapport à un référentiel lié à la Terre profonde, par exemple un ensemble de points chauds supposés fixes, ou le référentiel dans lequel la lithosphère dans son ensemble ne tourne pas.

Les dorsales, les fosses et les failles transformantes sont façonnées par les mouvements relatifs : ce qui compte à une limite, c’est la façon dont les deux plaques se déplacent l’une par rapport à l’autre. Les vitesses relatives s’additionnent comme les déplacements qu’elles produisent.

Proposition 13.5 (Les vitesses relatives s’additionnent comme des flèches)

Soit $\vec v_{A/B}$ la vitesse de la plaque $A$ par rapport à la plaque $B$, en un point donné de la limite, et de même pour les autres paires. Pour trois plaques quelconques $A$, $B$, $C$,

$$\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}, \qquad\text{et}\qquad \vec v_{B/A} = -\vec v_{A/B}.$$

Méthode 13.6 (Fermer un triangle des vitesses)

1. Écrire chaque vitesse connue avec ses composantes est et nord, toutes mesurées au même point.
2. Pour trouver $\vec v_{A/B}$ à partir des vitesses de $A$ et de $B$ dans le même référentiel $C$, soustraire : $\vec v_{A/B} = \vec v_{A/C} - \vec v_{B/C}$, composante par composante.
3. Sur un dessin, placer l’origine de $\vec v_{A/C}$ et celle de $\vec v_{B/C}$ au même point : la flèche qui va de la pointe de $\vec v_{B/C}$ à la pointe de $\vec v_{A/C}$ est $\vec v_{A/B}$, et elle ferme le triangle.
4. Calculer sa longueur et sa direction comme dans la Méthode 13.2.

Exemple 13.7 (La faille de San Andreas)

En Californie centrale, à $35.5{}^{\circ}$ Nord et $120.5{}^{\circ}$ Ouest, les pôles de rotation donnent à la plaque Pacifique la vitesse $(-42.1, +26.4)$ et à la plaque nord-américaine $(-11.9, -14.8)$, en millimètres par an (est, nord), dans le référentiel de l’ensemble de la lithosphère. La plaque Pacifique se déplace par rapport à l’Amérique du Nord à $(-42.1 + 11.9,\ 26.4 + 14.8) = (-30.2, +41.2)$, soit $\sqrt{30.2^2 + 41.2^2} \approx 51\,\mathrm{mm}$ par an, dans une direction située à $36{}^{\circ}$ à l’ouest du nord (figure ci-dessous). La faille de San Andreas, orientée nord-ouest, absorbe la plus grande partie de ce coulissement.

13.3 Les traces de points chauds

13.3.1 Une plaque au-dessus d’un panache fixe

Hawaï se trouve au milieu de la plaque Pacifique, à plus de $3000\,\mathrm{km}$ de la limite de plaques la plus proche.

Ses volcans sont alimentés par un point chaud (livre 1, année 7). La plaque se déplace au-dessus de lui, et chaque volcan est emporté loin du point chaud tandis qu’un nouveau se forme derrière lui.

Définition 13.8 (Trace de point chaud)

Une trace de point chaud est l’alignement de volcans, et des volcans engloutis appelés monts sous-marins, qu’une plaque emporte loin d’un point chaud en se déplaçant au-dessus de lui : le volcan actif se trouve au-dessus du point chaud, et les volcans sont de plus en plus anciens à mesure qu’on s’en éloigne.

Proposition 13.9 (Vitesse d’après une trace de point chaud)

Si un point chaud reste fixe dans le manteau profond et si la plaque qui le surmonte se déplace à une vitesse $v$ constante dans une direction constante, un volcan qui se trouvait au-dessus du point chaud il y a un temps $t$ se trouve maintenant à la distance

$$d = v\,t$$

du volcan actif, le long de la trace. Les âges des volcans, reportés en fonction de leurs distances, s’alignent sur une droite passant par l’origine dont la pente vaut $1/v$, et $v$ est la vitesse absolue de la plaque.

13.3.2 La chaîne Hawaï–Empereur

Depuis l’île d’Hawaï, un alignement d’îles, de récifs et de monts sous-marins s’étend sur quelque $3400\,\mathrm{km}$ vers l’ouest-nord-ouest, puis tourne brusquement et se poursuit vers le nord sous le nom de monts sous-marins de l’Empereur, le seul mont sous-marin Suiko se trouvant à $4860\,\mathrm{km}$ de Kilauea, jusqu’aux fosses qui longent le Kamtchatka et les Aléoutiennes (image ci-dessous).

La datation potassium–argon de laves de 37 volcans de la chaîne, récoltées sur les îles, draguées sur les monts sous-marins ou prélevées par forage à travers leurs sédiments, donne leurs âges (graphique ci-dessous). Le Mauna Kea a environ $0.4$ million d’années, Kauai $5.1$, Midway $27.7$, et le mont sous-marin Suiko, près de l’extrémité de la chaîne de l’Empereur, $64.7$. Les âges augmentent avec la distance à Kilauea, le volcan actif, comme le prévoit une trace de point chaud.

Le long de la chaîne hawaïenne, jusqu’à environ $3300\,\mathrm{km}$, les points se dispersent autour d’une droite passant par l’origine. La droite qui s’ajuste le mieux aux 26 volcans datés de cette partie monte d’un million d’années tous les $91\,\mathrm{km}$ : d’après la Proposition 13.9, la plaque Pacifique s’est déplacée au-dessus du point chaud à environ $91\,\mathrm{km}$ par million d’années, soit $9.1\,\mathrm{cm}$ par an. Les auteurs des âges, en ajustant toute la chaîne à leur manière, ont trouvé $8.6\,\mathrm{cm}$ par an.

Au-delà du coude, les âges augmentent plus vite avec la distance : le long de la chaîne de l’Empereur, la plaque se déplaçait plus lentement, à environ $6.5\,\mathrm{cm}$ par an en moyenne (meilleure droite passant par les neuf monts sous-marins datés). Et la chaîne change de direction. Si le point chaud est resté en place, le coude enregistre un changement de la direction du mouvement de la plaque Pacifique. Des âges plus récents placent le début du coude près du mont sous-marin Kimmei, il y a environ 50 millions d’années, en même temps qu’une réorganisation des dorsales du Pacifique et que les premiers volcans des arcs insulaires de sa bordure ouest : la plaque a changé de cap.

13.4 Le pouvoir prédictif du modèle

Le modèle des plaques dit que quelques plaques rigides tournent autour de leurs pôles de rotation, et que presque tout se passe à leurs limites. Sa force, c’est que des mesures faites par des méthodes entièrement différentes, sur des durées très différentes, donnent les mêmes réponses.

• Les séismes et les volcans se regroupent le long des limites, et le type de limite prévoit leur type : des séismes superficiels le long des dorsales, des séismes profonds seulement près des fosses (Chapitre 15).
• Le fond océanique est le plus jeune le long des dorsales et de plus en plus ancien à mesure qu’on s’en éloigne, symétriquement des deux côtés (Chapitre 10).
• Les chaînes de montagnes s’élèvent là où les plaques convergent : l’Inde se rapproche encore de l’Eurasie d’environ $4.5\,\mathrm{cm}$ par an à travers l’Himalaya, d’après le calcul fait à partir des pôles de rotation (Chapitre 20).
• Les vitesses concordent d’une méthode à l’autre : le tableau ci-dessous compare les vitesses mesurées aujourd’hui par positionnement par satellite à celles que prévoient les pôles de rotation, dont les vitesses d’expansion viennent surtout des bandes magnétiques et moyennent le mouvement sur les derniers $0.8$ à $3.2$ millions d’années, et à la vitesse qu’enregistre une trace de point chaud sur des dizaines de millions d’années.

Les vitesses tirées des pôles de rotation et celles des stations concordent à $0.3\,\mathrm{cm}$ par an près, bien que les premières soient des moyennes sur des millions d’années et les secondes sur quelques décennies seulement : les plaques se déplacent aujourd’hui comme elles se sont déplacées pendant des millions d’années. La vitesse tirée du point chaud est plus grande : elle est mesurée dans un autre référentiel, celui du point chaud lui-même, et sur une durée bien plus longue.

Une régularité de plus apparaît quand on compare les vitesses de plaques entières. Les plaques les plus rapides, celles des Cocos, de Nazca, du Pacifique, australienne et des Philippines, ont toutes un long bord qui s’enfonce dans le manteau à une fosse ; leurs vitesses moyennes sont en moyenne d’environ $6.5\,\mathrm{cm}$ par an. Les plaques dépourvues d’un tel bord, parmi lesquelles les plaques eurasiatique, nord-américaine, sud-américaine, africaine et antarctique, se déplacent en moyenne à environ $2.4\,\mathrm{cm}$ par an. Cet indice sur ce qui met les plaques en mouvement est repris au Chapitre 15.

13.5 Exercices

Exercice 13.1 ★

Définir une plaque rigide. Où la déformation de la lithosphère est-elle concentrée, et quelle observation sismique courante le montre ?

Solution

Solution de Exercice 13.1.

Une plaque rigide est un morceau de lithosphère qui se déplace d’un seul bloc : les distances entre ses points ne changent pas, et sa déformation est concentrée dans des zones étroites le long de ses limites. Les séismes le montrent : presque tous se produisent le long de ceintures étroites, les limites de plaques, et très peu à l’intérieur des plaques.

Exercice 13.2 ★

La station du Mauna Kea se déplace de $72\,\mathrm{mm}$ par an. Exprimer cette vitesse en kilomètres par million d’années. De combien la station se déplace-t-elle en 30 ans ? En un million d’années ?

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$72\,\mathrm{mm}$ par an correspondent à $72\,\mathrm{km}$ par million d’années. En 30 ans, la station se déplace de $72 \times 30 = 2160\,\mathrm{mm}$, environ $2.2\,\mathrm{m}$ ; en un million d’années, de $72\,\mathrm{km}$.

Exercice 13.3 ★

En dix ans, une station s’est déplacée de $30\,\mathrm{cm}$ vers l’est et de $40\,\mathrm{cm}$ vers le nord. Trouver ses vitesses vers l’est et vers le nord, sa vitesse, et l’angle que fait sa direction avec le nord.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$v_E = 30/10 = 3\,\mathrm{cm}$ par an et $v_N = 40/10 = 4\,\mathrm{cm}$ par an. La vitesse vaut $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ par an. L’angle $\beta$ avec le nord vérifie $\tan\beta = 3/4$, donc $\beta \approx 37{}^{\circ}$ : la station se déplace vers le nord-est, à $37{}^{\circ}$ à l’est du nord.

Exercice 13.4 ★

Définir une trace de point chaud. Le long de la chaîne hawaïenne, où se trouve le volcan le plus jeune, et dans quelle direction les âges augmentent-ils ? Qu’est-ce que cela indique sur la direction dans laquelle se déplace la plaque Pacifique ?

Solution

Solution de Exercice 13.4.

Une trace de point chaud est l’alignement de volcans et de monts sous-marins qu’une plaque emporte loin d’un point chaud en se déplaçant au-dessus de lui, de plus en plus anciens à mesure qu’on s’éloigne du volcan actif. Le volcan le plus jeune, Kilauea, se trouve à l’extrémité sud-est de la chaîne, sur l’île d’Hawaï ; les âges augmentent vers l’ouest-nord-ouest. La plaque emporte ses volcans loin du point chaud dans la direction de son mouvement : la plaque Pacifique se déplace vers l’ouest-nord-ouest.

Exercice 13.5 ★

Kauai se trouve à $519\,\mathrm{km}$ de Kilauea le long de la chaîne, et ses laves les plus anciennes ont $5.1$ millions d’années. En supposant le point chaud fixe, à quelle vitesse moyenne la plaque l’a-t-elle emporté, en kilomètres par million d’années et en centimètres par an ?

Solution

Solution de Exercice 13.5.

$519/5.1 \approx 102\,\mathrm{km}$ par million d’années, soit $102\,\mathrm{mm}$ par an, environ $10\,\mathrm{cm}$ par an.

Exercice 13.6 ★★

Sur le graphique des séries des deux stations, la station de Wettzell s’est déplacée d’environ $63\,\mathrm{cm}$ vers l’est et de $48\,\mathrm{cm}$ vers le nord en 31 ans. Trouver ses vitesses vers l’est et vers le nord, sa vitesse et sa direction. Comparer sa vitesse à celle du Mauna Kea.

Solution

Solution de Exercice 13.6.

$v_E = 63/31 \approx 20.3\,\mathrm{mm}$ par an et $v_N = 48/31 \approx 15.5\,\mathrm{mm}$ par an. La vitesse vaut $\sqrt{20.3^2 + 15.5^2} \approx 25.5\,\mathrm{mm}$ par an ; $\tan\alpha = 15.5/20.3 \approx 0.76$ donne $\alpha \approx 37{}^{\circ}$ : la station se déplace à $37{}^{\circ}$ au nord de l’est, vers le nord-est. Le Mauna Kea se déplace $72/25.5 \approx 2.8$ fois plus vite.

Exercice 13.7 ★★

En Islande, à $64.5{}^{\circ}$ Nord et $18{}^{\circ}$ Ouest, les pôles de rotation donnent à la plaque nord-américaine la vitesse $(-10.5, +20.6)$ et à la plaque eurasiatique $(+7.7, +16.3)$, en millimètres par an (est, nord). (1) Trouver la vitesse de l’Amérique du Nord par rapport à l’Eurasie, sa norme et sa direction. (2) Que représente cette vitesse pour la dorsale qui traverse l’Islande ? (3) Comparer à la vitesse de $2\,\mathrm{cm}$ par an souvent citée pour l’Atlantique Nord.

Solution

Solution de Exercice 13.7.

(1) En millimètres par an,

$$\vec v_{\mathrm{NA/EU}} = (-10.5 - 7.7,\ 20.6 - 16.3) = (-18.2, +4.3).$$

Sa norme vaut $\sqrt{18.2^2 + 4.3^2} \approx 18.7\,\mathrm{mm}$ par an, et $\tan\alpha = 4.3/18.2 \approx 0.24$ donne $13{}^{\circ}$ au nord de l’ouest. (2) Les deux plaques s’écartent de part et d’autre de la dorsale d’environ $1.9\,\mathrm{cm}$ par an : c’est la vitesse d’expansion totale de la dorsale en Islande. (3) Elle concorde avec les $2\,\mathrm{cm}$ par an cités pour l’Atlantique Nord.

Exercice 13.8 ★★

La plaque Pacifique tourne de $0.651{}^{\circ}$ par million d’années. (1) Trouver la vitesse d’un point situé à $90{}^{\circ}$ de son pôle de rotation, en centimètres par an. (2) Et celle d’un point situé à $30{}^{\circ}$ du pôle ? (3) Où la vitesse est-elle nulle sur une plaque ? La vitesse d’une plaque entière peut-elle être donnée par un seul nombre ?

Solution

Solution de Exercice 13.8.

(1) $v = \pi \times 0.651 \times 6371/180 \approx 72.4\,\mathrm{km}$ par million d’années, environ $7.2\,\mathrm{cm}$ par an. (2) $72.4 \times \sin30{}^{\circ} \approx 36.2\,\mathrm{km}$ par million d’années, environ $3.6\,\mathrm{cm}$ par an. (3) Au pôle de rotation, s’il se trouve sur la plaque. La vitesse change d’un point à l’autre, de zéro au pôle à sa valeur maximale à $90{}^{\circ}$ de celui-ci : une plaque entière n’a pas de vitesse unique, seulement une vitesse en chaque point (ou une moyenne sur sa surface).

Exercice 13.9 ★★

Au nord de l’Himalaya, à $28{}^{\circ}$ Nord et $85{}^{\circ}$ Est, les pôles de rotation donnent à la plaque indienne la vitesse $(+40.6, +38.6)$ et à la plaque eurasiatique $(+24.0, -3.3)$, en millimètres par an (est, nord). (1) Trouver la vitesse de l’Inde par rapport à l’Eurasie, sa norme et sa direction. (2) Si elle restait la même, de combien les deux plaques convergeraient-elles en 10 millions d’années ?

Solution

Solution de Exercice 13.9.

(1) En millimètres par an,

$$\vec v_{\mathrm{IN/EU}} = (40.6 - 24.0,\ 38.6 + 3.3) = (+16.6, +41.9).$$

La vitesse vaut $\sqrt{16.6^2 + 41.9^2} \approx 45\,\mathrm{mm}$ par an ; l’angle $\beta$ avec le nord vérifie $\tan\beta = 16.6/41.9 \approx 0.40$, donc $\beta \approx 22{}^{\circ}$ : l’Inde se rapproche de l’Eurasie, à $22{}^{\circ}$ à l’est du nord. (2) $45\,\mathrm{km}$ par million d’années, donc $450\,\mathrm{km}$ en 10 millions d’années.

Exercice 13.10 ★★

Necker se trouve à $1058\,\mathrm{km}$ de Kilauea et a $10.3$ millions d’années ; Midway se trouve à $2432\,\mathrm{km}$ et a $27.7$ millions d’années. Trouver la vitesse de la plaque au-dessus du point chaud entre les époques de construction des deux volcans. Comparer à $9.1\,\mathrm{cm}$ par an.

Solution

Solution de Exercice 13.10.

$(2432 - 1058)/(27.7 - 10.3) = 1374/17.4 \approx 79\,\mathrm{km}$ par million d’années, environ $7.9\,\mathrm{cm}$ par an, un peu moins que $9.1\,\mathrm{cm}$ par an. Les âges sont incertains d’environ un demi-million d’années chacun ; la différence d’âge, $17.4 \pm 1.0$ millions d’années, donne une vitesse comprise entre environ 75 et $84\,\mathrm{km}$ par million d’années. Entre ces deux volcans, la plaque semble s’être déplacée un peu plus lentement qu’en moyenne.

Exercice 13.11 ★★

En un point, la plaque $A$ se déplace de $3\,\mathrm{cm}$ par an vers l’est par rapport à la plaque $B$, et la plaque $B$ de $4\,\mathrm{cm}$ par an vers le nord par rapport à la plaque $C$. (1) Dessiner le triangle des vitesses et trouver la vitesse de $A$ par rapport à $C$ : norme et direction. (2) Quelle est la vitesse de $C$ par rapport à $A$ ?

Solution

Solution de Exercice 13.11.

(1) $\vec v_{A/C} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/C}$ : $3\,\mathrm{cm}$ par an vers l’est plus $4\,\mathrm{cm}$ par an vers le nord. Les deux flèches forment un angle droit, et le troisième côté du triangle a pour longueur $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}$ par an, dans la direction située à $37{}^{\circ}$ à l’est du nord ($\tan\beta = 3/4$). (2) $\vec v_{C/A} = -\vec v_{A/C}$ : $5\,\mathrm{cm}$ par an dans la direction opposée, à $37{}^{\circ}$ à l’ouest du sud.

Exercice 13.12 ★★★

Le Mauna Kea se trouve à $54\,\mathrm{km}$ de Kilauea et a $0.375$ million d’années. (1) Quelle vitesse donne-t-il pour la plaque ? (2) Un volcan mesure quelques dizaines de kilomètres de diamètre, et il grandit pendant plusieurs centaines de milliers d’années. Supposons que sa distance au point chaud soit incertaine de $25\,\mathrm{km}$ : entre quelles valeurs la vitesse se trouve-t-elle alors ? (3) Expliquer pourquoi les volcans jeunes, proches du point chaud, donnent une mauvaise estimation de la vitesse, et pourquoi les volcans éloignés sont meilleurs.

Solution

Solution de Exercice 13.12.

(1) $54/0.375 = 144\,\mathrm{km}$ par million d’années, $14.4\,\mathrm{cm}$ par an. (2) De $29/0.375 \approx 77$ à $79/0.375 \approx 211\,\mathrm{km}$ par million d’années : entre environ 8 et $21\,\mathrm{cm}$ par an. (3) Près du point chaud, la distance n’est pas plus grande que la taille d’un volcan ou de la région dans laquelle le point chaud alimente des volcans, et l’âge n’est pas plus grand que le temps que met un volcan à se construire : tous deux sont très incertains en valeur relative. Loin du point chaud, une erreur de $25\,\mathrm{km}$ sur $2400\,\mathrm{km}$, ou d’un demi-million d’années sur 28 millions, ne fait qu’un ou deux pour cent.

Exercice 13.13 ★★★

Les positions mensuelles d’une station s’écartent d’environ $5\,\mathrm{mm}$ de part et d’autre de leur droite. Un mouvement se voit clairement dès qu’il dépasse dix fois cette dispersion. (1) Combien de temps faut-il mesurer pour voir clairement le mouvement de la station du Mauna Kea, $72\,\mathrm{mm}$ par an ? (2) Et un mouvement de $5\,\mathrm{mm}$ par an, comme à travers une région qui se déforme lentement à l’intérieur d’un continent ? (3) Pourquoi a-t-on mesuré les vitesses des plaques à partir des bandes magnétiques bien avant que les satellites puissent les mesurer ?

Solution

Solution de Exercice 13.13.

(1) Dix fois la dispersion font $50\,\mathrm{mm}$ : $50/72 \approx 0.7$ an, environ huit mois. (2) $50/5 = 10$ ans. (3) En millions d’années, les plaques se déplacent de dizaines à centaines de kilomètres, des distances que les bandes magnétiques enregistrent et qu’il était facile de mesurer en mer ; un positionnement précis à quelques millimètres, qui rend un mouvement visible en quelques mois, est venu bien plus tard.

Exercice 13.14 ★★★

Sur la dorsale médio-atlantique à $30{}^{\circ}$ Sud ($13.5{}^{\circ}$ Ouest), les pôles de rotation donnent à la plaque sud-américaine la vitesse $(-4.9, +11.0)$ et à la plaque africaine $(+27.1, +17.9)$, en millimètres par an (est, nord). (1) Trouver la vitesse de l’Amérique du Sud par rapport à l’Afrique, sa norme et sa direction. (2) En déduire la vitesse d’expansion totale et la demi-vitesse d’expansion de la dorsale. (3) Les sédiments de l’Atlantique Sud ont donné une demi-vitesse d’environ $1.9\,\mathrm{cm}$ par an en moyenne sur les derniers 66 millions d’années (Chapitre 10). Comparer, et proposer une signification à la différence.

Solution

Solution de Exercice 13.14.

(1) En millimètres par an,

$$\vec v_{\mathrm{SA/AF}} = (-4.9 - 27.1,\ 11.0 - 17.9) = (-32.0, -6.9).$$

La vitesse vaut $\sqrt{32.0^2 + 6.9^2} \approx 32.7\,\mathrm{mm}$ par an, et $\tan\alpha = 6.9/32.0 \approx 0.22$ donne $12{}^{\circ}$ au sud de l’ouest. (2) La vitesse d’expansion totale est d’environ $3.3\,\mathrm{cm}$ par an, la demi-vitesse d’environ $1.6\,\mathrm{cm}$ par an. (3) La demi-vitesse des derniers millions d’années, $1.6\,\mathrm{cm}$ par an, est un peu plus faible que les $1.9\,\mathrm{cm}$ par an en moyenne sur 66 millions d’années : l’Atlantique Sud s’est peut-être ouvert récemment un peu plus lentement qu’en moyenne, ou la différence vient peut-être des incertitudes sur les âges des sédiments. Les deux mesures s’accordent à dire que la dorsale est lente.

Exercice 13.15 ★★★

Une station se déplace régulièrement de $20\,\mathrm{mm}$ par an vers l’est. Exactement au milieu de dix ans de mesures, un séisme la décale brusquement de $50\,\mathrm{mm}$ vers l’ouest. (1) Esquisser sa position est en fonction du temps. (2) Quelle vitesse trouverait-on à partir des seules première et dernière positions ? (3) Quelle vitesse donne chacune des deux moitiés de la série prise seule ? (4) Comment un géodésien doit-il traiter un tel saut ?

Solution

Solution de Exercice 13.15.

(1) Une droite qui monte de $20\,\mathrm{mm}$ par an, une chute brusque de $50\,\mathrm{mm}$ au bout de cinq ans, puis une droite qui remonte avec la même pente. (2) La station finit à $10 \times 20 - 50 = 150\,\mathrm{mm}$ à l’est de son point de départ : $150/10 = 15\,\mathrm{mm}$ par an, un quart de trop peu. (3) Chaque moitié donne $20\,\mathrm{mm}$ par an. (4) Le saut est un mouvement distinct et soudain causé par le séisme : le géodésien mesure son ampleur à partir des positions juste avant et juste après lui, le retire de la série (ou ajuste les deux parties avec la même pente et une marche entre elles), et garde $20\,\mathrm{mm}$ par an comme vitesse de la station.

13.6 Problème : lire la chaîne Hawaï–Empereur

Problème 13.1

Problème du week-end — la vitesse d’une plaque écrite en volcans

Le tableau donne la distance à Kilauea, mesurée le long de la chaîne, et l’âge potassium–argon de treize volcans de la chaîne Hawaï–Empereur. Kilauea est le volcan actif situé au-dessus du point chaud ; le coude se trouve entre Abbott et Daikakuji.

volcan	distance ($\mathrm{km}$)	âge ($\mathrm{Ma}$)	volcan	distance ($\mathrm{km}$)	âge ($\mathrm{Ma}$)
Mauna Kea	54	0.375	Abbott	3280	38.7
Kauai	519	5.1	Daikakuji	3493	42.4
Nihoa	780	7.2	Koko (sud)	3758	48.1
Necker	1058	10.3	Ojin	4102	55.2
Laysan	1818	19.9	Nintoku	4452	56.2
Midway	2432	27.7	Suiko (centre)	4860	64.7
Colahan	3128	38.6

Partie I — Âges et distances.

1. Quel est le volcan le plus jeune du tableau, et quel est le plus ancien ? Comment les âges varient-ils le long de la chaîne ?
2. Montrer qu’une distance en kilomètres divisée par un âge en millions d’années est une vitesse en millimètres par an.
3. Calculer la vitesse moyenne $d/t$ que donne Kauai.
4. Calculer $d/t$ pour Necker, Laysan, Midway, Colahan et Abbott.
5. Reporter l’âge en fonction de la distance pour les huit volcans du tableau situés avant le coude. Les points sont-ils proches d’une droite passant par l’origine ?

Partie II — La vitesse de la plaque au-dessus du point chaud.

6. Expliquer pourquoi, pour un point chaud fixe et une plaque qui se déplace à une vitesse $v$ constante, l’âge $t$ et la distance $d$ vérifient $t = d/v$.
7. Calculer la moyenne des cinq vitesses de la question 4.
8. La droite passant par l’origine qui s’ajuste le mieux aux 26 volcans datés de la chaîne hawaïenne donne $91\,\mathrm{km}$ par million d’années. Comparer à la question 7.
9. À cette vitesse, combien de temps la plaque mettrait-elle pour emporter Kauai du point chaud à sa position actuelle ? Comparer à son âge.
10. Dans quelle direction la plaque Pacifique se déplace-t-elle au-dessus du point chaud ?

Partie III — Le coude.

11. Calculer la vitesse moyenne de la plaque entre les époques de construction de Daikakuji et de Suiko (centre).
12. La meilleure droite passant par les neuf volcans datés à partir de Daikakuji donne $65\,\mathrm{km}$ par million d’années. Comparer à la vitesse le long de la chaîne hawaïenne.
13. Des âges plus récents placent le début du coude près du mont sous-marin Kimmei, à $3668\,\mathrm{km}$ de Kilauea, il y a environ 50 millions d’années. Quelle vitesse moyenne cela donne-t-il pour l’ensemble de la chaîne hawaïenne ? Comparer à $91\,\mathrm{km}$ par million d’années, et expliquer pourquoi les deux peuvent être justes.
14. Si le point chaud est resté fixe, qu’enregistre le coude au sujet de la plaque Pacifique ?
15. Les datations plus récentes ont trouvé de grands changements de vitesse le long de la chaîne de l’Empereur, avec peu de changement de direction. Expliquer pourquoi la direction d’une chaîne et l’espacement de ses âges sont deux informations indépendantes.

Partie IV — Comparaison avec la mesure satellitaire actuelle.

16. La station du Mauna Kea se déplace de $-63.2\,\mathrm{mm}$ par an vers l’est et de $+34.5\,\mathrm{mm}$ par an vers le nord. Trouver sa vitesse et sa direction.
17. La chaîne hawaïenne s’étend de Kilauea vers l’ouest-nord-ouest. La direction de la station est-elle cohérente avec elle ?
18. La station donne $7.2\,\mathrm{cm}$ par an, la chaîne $9.1\,\mathrm{cm}$ par an. Donner deux raisons pour lesquelles les deux nombres n’ont pas à être égaux.
19. À $91\,\mathrm{km}$ par million d’années, combien de temps la plaque mettra-t-elle pour éloigner le Mauna Kea de $100\,\mathrm{km}$ de plus du point chaud ?
20. Conclure : à quelle vitesse la plaque Pacifique s’est-elle déplacée au-dessus du point chaud d’Hawaï pendant les 40 derniers millions d’années ?

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. Le Mauna Kea ($0.375$ million d’années) est le plus jeune, Suiko (centre) ($64.7$ millions d’années) le plus ancien. Les âges augmentent avec la distance à Kilauea.

2. $1\,\mathrm{km} = 10^6~\mathrm{mm}$ et un million d’années vaut $10^6$ ans : $1\,\mathrm{km}$ par million d’années vaut $10^6~\mathrm{mm}/10^6$ ans, soit $1\,\mathrm{mm}$ par an.

3. $519/5.1 \approx 102\,\mathrm{mm}$ par an.

4. Necker : $1058/10.3 \approx 102.7$ ; Laysan : $1818/19.9 \approx 91.4$ ; Midway : $2432/27.7 \approx 87.8$ ; Colahan : $3128/38.6 \approx 81.0$ ; Abbott : $3280/38.7 \approx 84.8$ (millimètres par an).

5. Les points (54 ; 0.375), (519 ; 5.1), (780 ; 7.2), (1058 ; 10.3), (1818 ; 19.9), (2432 ; 27.7), (3128 ; 38.6), (3280 ; 38.7) sont proches d’une droite passant par l’origine, avec une certaine dispersion (par rapport à une droite de $91\,\mathrm{km}$ par million d’années, Kauai, Nihoa et Necker se trouvent un peu en dessous, Laysan dessus, Colahan et Abbott un peu au-dessus).

6. Chaque volcan s’est construit au-dessus du point chaud et s’est déplacé avec la plaque depuis. Pendant la durée $t$, la plaque s’est déplacée de $v\,t$ dans une direction constante : le volcan se trouve donc à $d = v\,t$ du point situé maintenant au-dessus du point chaud, et $t = d/v$.

7. $(102.7 + 91.4 + 87.8 + 81.0 + 84.8)/5 \approx 89.5\,\mathrm{mm}$ par an.

8. 89.5 contre $91\,\mathrm{km}$ par million d’années : ils diffèrent de moins de $2\,\%$.

9. $519/91 \approx 5.7$ millions d’années, pour un âge de $5.1$ millions d’années : c’est proche, Kauai étant un peu plus jeune que ne le prévoit la droite moyenne.

10. Les volcans sont de plus en plus anciens vers l’ouest-nord-ouest : la plaque les emporte dans cette direction. La plaque Pacifique se déplace vers l’ouest-nord-ouest au-dessus du point chaud.

11. $(4860 - 3493)/(64.7 - 42.4) = 1367/22.3 \approx 61\,\mathrm{km}$ par million d’années, environ $6.1\,\mathrm{cm}$ par an.

12. $65/91 \approx 0.71$ : le long de la chaîne de l’Empereur, la plaque se déplaçait environ $30\,\%$ plus lentement que le long de la chaîne hawaïenne.

13. $3668/50 \approx 73\,\mathrm{km}$ par million d’années, environ $7.3\,\mathrm{cm}$ par an, moins que $91\,\mathrm{km}$ par million d’années. La droite passant par l’origine utilise les âges de 1987, qui placent la fin de la chaîne hawaïenne entre 39 et 43 millions d’années ; l’âge plus récent d’environ 50 millions d’années pour le début du coude étale la même distance sur une durée plus longue. Les deux sont justes si la plaque s’est déplacée plus lentement au début de la chaîne hawaïenne et plus vite ensuite : la vitesse n’était pas constante.

14. Un changement de la direction du mouvement de la plaque Pacifique, il y a environ 50 millions d’années.

15. La direction de la chaîne est la direction dans laquelle la plaque s’est déplacée ; l’espacement des âges le long de la chaîne donne sa vitesse. Une plaque peut accélérer ou ralentir sans tourner, ou tourner sans changer de vitesse : les deux sont donc indépendantes. Des changements de vitesse sans changement de direction le long de la chaîne de l’Empereur montrent que l’enregistrement de sa vitesse et le coude sont des événements distincts : le coude n’a pas été produit par un ralentissement lié au point chaud.

16. $\sqrt{63.2^2 + 34.5^2} \approx 72.0\,\mathrm{mm}$ par an, et $\tan\alpha = 34.5/63.2 \approx 0.55$ donne $29{}^{\circ}$ au nord de l’ouest.

17. L’ouest-nord-ouest est à $22.5{}^{\circ}$ au nord de l’ouest, le nord-ouest à $45{}^{\circ}$ : la direction de la station, à $29{}^{\circ}$ au nord de l’ouest, se situe entre les deux, près de la direction de la chaîne. Elle est cohérente.

18. La vitesse de la station est mesurée par rapport à un référentiel dans lequel la lithosphère dans son ensemble ne tourne pas, alors que la chaîne donne le mouvement par rapport au point chaud : si les deux référentiels se déplacent l’un par rapport à l’autre, les vitesses diffèrent. Et la station mesure les 30 dernières années, la chaîne les 40 derniers millions d’années, pendant lesquels la vitesse a pu changer. La dispersion des âges laisse aussi une incertitude de quelques millimètres par an sur la vitesse de la chaîne.

19. $100/91 \approx 1.1$ million d’années.

20. La plaque Pacifique s’est déplacée au-dessus du point chaud d’Hawaï à environ $9\,\mathrm{cm}$ par an pendant les 40 derniers millions d’années, vers l’ouest-nord-ouest ; avant le coude, elle se déplaçait plus lentement, et dans une autre direction.