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Sciences de la Terre et de l’Univers du lycée · শ্রেণি 10–12

1Mesurer la Terre

Sur une plage, regardons un navire s’éloigner vers le large. Il ne se contente pas de rapetisser jusqu’à devenir invisible : sa coque disparaît d’abord, comme s’il sombrait, puis le bas de ses superstructures, et le sommet de son mât en dernier. La mer qui nous sépare du navire n’est pas plane : elle est bombée. Il y a plus de vingt-deux siècles, un savant d’Alexandrie a tiré d’une observation du même genre — la longueur d’une ombre à midi — la mesure de la taille de la planète entière. Ce chapitre suit cette mesure et celles qui l’ont suivie : les chaînes de triangles que les arpenteurs ont tendues à travers des pays entiers, les expéditions envoyées dans l’Arctique et à l’équateur pour savoir si la Terre est aplatie, la naissance du mètre, et les satellites avec lesquels on mesure aujourd’hui la planète.

La Terre photographiée par l’équipage d’Apollo 17 en route vers la Lune, en décembre 1972 : l’Afrique, l’Arabie et les glaces de l’Antarctique. Photographie : NASA (domaine public).

Tu sais déjà

Un lieu de la Terre est repéré par sa latitude, son angle au nord ou au sud de l’équateur, et par sa longitude, son angle à l’est ou à l’ouest d’un méridien de référence ; les méridiens joignent les pôles, les parallèles font le tour de la Terre parallèlement à l’équateur (livre 1). Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite, et les rayons qui nous arrivent du Soleil, très lointain, sont parallèles (les livres de physique). Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le côté opposé divisé par l’hypoténuse, son cosinus le côté adjacent divisé par l’hypoténuse, sa tangente le côté opposé divisé par le côté adjacent (les livres de mathématiques).

1.1 Une Terre ronde

Bien avant que quiconque puisse regarder la Terre depuis l’espace, plusieurs observations montraient qu’elle est ronde.

Les navires sous l’horizon. Un navire qui s’éloigne disparaît par le bas, dans toutes les directions et sur toutes les mers : la surface de la mer est partout courbe.
L’ombre sur la Lune. Lors d’une éclipse de Lune, l’ombre de la Terre tombe sur la Lune. Son bord est toujours un arc de cercle, quelle que soit l’heure de la nuit ; seule une sphère projette une ombre ronde dans toutes les directions.
Les étoiles changent avec la latitude. Un voyageur qui va vers le nord voit l’étoile Polaire monter au-dessus de l’horizon, et des étoiles du ciel austral disparaître sous lui : l’horizon du voyageur s’incline à mesure qu’il se déplace sur une surface courbe.
Le tour du monde et la vue depuis l’espace. Des navires, puis des avions, ont fait le tour du monde dans toutes les directions ; depuis les années 1960, on photographie la planète entière, bien ronde.

Pourquoi un navire disparaît par le bas : l’observateur ne voit que ce qui se trouve au-dessus de la ligne de visée qui frôle la mer à l’horizon. La courbure est très exagérée.

1.2 Ératosthène mesure la Terre

Ératosthène de Cyrène (276–194 av. J.-C.) était le bibliothécaire d’Alexandrie. Il avait appris qu’à Syène, l’actuelle Assouan, loin en amont sur le Nil, le Soleil éclairait à midi tout le fond d’un puits le jour du solstice d’été : il était alors exactement au zénith. À Alexandrie, au même moment, un bâton vertical projetait une ombre courte : les rayons du Soleil faisaient avec la verticale un angle d’environ $7.2{}^{\circ}$ , un cinquantième de tour complet.

Le raisonnement d’Ératosthène. À Syène, le Soleil est au zénith : ses rayons sont dirigés vers le centre de la Terre. À Alexandrie, un bâton vertical, lui aussi dirigé vers le centre, fait un angle avec les rayons. L’angle au centre entre les deux lieux est ce même . L’angle est exagéré : il ne valait que 7.2. — Le raisonnement d’Ératosthène. À Syène, le Soleil est au zénith : ses rayons sont dirigés vers le centre de la Terre. À Alexandrie, un bâton vertical, lui aussi dirigé vers le centre, fait un angle $\alpha$ avec les rayons. L’angle au centre entre les deux lieux est ce même $\alpha$ . L’angle est exagéré : il ne valait que $7.2{}^{\circ}$ .

Proposition 1.1 (La relation d’Ératosthène)

Si deux lieux sont situés sur le même méridien, à une distance $d$ l’un de l’autre, et si les rayons du Soleil à midi font avec la verticale des angles qui diffèrent de $\alpha$ (en degrés), la circonférence de la Terre vaut

C = \frac{360{}^{\circ}}{\alpha}\, d .

Démonstration. Le Soleil est si loin que ses rayons qui atteignent les deux lieux sont parallèles. En chaque lieu, la verticale est dirigée vers le centre de la Terre. Sur la figure, le rayon qui atteint le bâton et le rayon terrestre passant par Syène sont deux droites parallèles, et le rayon terrestre passant par Alexandrie les coupe toutes deux : l’angle $\alpha$ entre le bâton et le rayon lumineux et l’angle au centre entre les deux rayons terrestres sont alternes-internes, donc égaux. L’arc $d$ représente la même fraction de la circonférence entière que l’angle $\alpha$ d’un tour complet : $d/C = \alpha/360{}^{\circ}$ . ∎

Méthode 1.2 (Mesurer une circonférence à partir de deux ombres)

Choisir deux lieux situés (presque) sur le même méridien et mesurer la distance nord–sud $d$ qui les sépare.
Le même jour, au midi local, mesurer en chaque lieu l’angle entre un bâton vertical et les rayons du Soleil : $\tan \theta = s/h$ , où $h$ est la hauteur du bâton et $s$ la longueur de son ombre. Ne jamais regarder le Soleil lui-même : l’angle se lit sur l’ombre seule.
Faire la différence $\alpha$ des deux angles et appliquer $C = (360/\alpha)\,d$ .

Exemple 1.3 (Les nombres d’Ératosthène)

Ératosthène prenait pour distance d’Alexandrie à Syène 5000 stades, une unité de longueur grecque. Avec $\alpha = 1/50$ de tour,

C = 50 \times 5000 = 250\,000 \text{ stades}.

Que valait un stade ? Les historiens en débattent encore. Avec $157.2\,\mathrm{m}$ , $C \approx 39\,300\,\mathrm{km}$ ; avec $166.7\,\mathrm{m}$ , $C \approx 41\,700\,\mathrm{km}$ . La vraie circonférence méridienne est de $40\,008\,\mathrm{km}$ : dans les deux cas, Ératosthène était à quelques pour cent près.

Remarque 1.4 (Les hypothèses)

Ératosthène supposait une Terre sphérique, un Soleil assez lointain pour que ses rayons soient parallèles, Syène exactement sur le tropique (où le Soleil peut passer au zénith) et Syène plein sud d’Alexandrie. Chacune de ces hypothèses était presque vraie, mais pas tout à fait : Assouan est située à environ $3{}^{\circ}$ de longitude à l’est d’Alexandrie. Ce qui compte est la composante nord–sud de la distance, celle qui suit le méridien.

1.3 La triangulation

Mesurer une longue distance au sol avec une chaîne ou une règle est lent, et impossible à travers les fleuves, les forêts et les montagnes. Les angles, en revanche, se mesurent très précisément avec une lunette montée sur un cercle gradué, pointée tour à tour vers deux signaux lointains. À partir du xviii^e siècle, les géomètres s’en sont servis pour mesurer des pays entiers.

Définition 1.5 (Géodésie)

La géodésie est la science qui mesure la forme et les dimensions de la Terre ainsi que la position des points de sa surface, et qui suit leurs variations au cours du temps.

Définition 1.6 (Triangulation)

La triangulation repère des points éloignés par une chaîne de triangles : un côté, la base, est mesuré au sol avec un très grand soin ; tous les angles des triangles sont mesurés depuis leurs sommets ; tous les autres côtés sont ensuite calculés.

Le calcul repose sur une relation entre les côtés et les angles d’un triangle quelconque. Dans un triangle $ABC$ , notons $a$ , $b$ , $c$ les côtés opposés aux sommets $A$ , $B$ , $C$ , et $A$ , $B$ , $C$ aussi les angles en ces sommets.

Proposition 1.7 (La loi des sinus)

Dans tout triangle $ABC$ ,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Démonstration. Traçons la hauteur issue de $C$ , qui coupe la droite $AB$ en $H$ (second panneau de la figure ci-dessous) ; notons $h = CH$ . Dans le triangle rectangle $AHC$ , $\sin A = h/b$ , donc $h = b \sin A$ . Dans le triangle rectangle $BHC$ , $\sin B = h/a$ , donc $h = a \sin B$ . Ainsi $b \sin A = a \sin B$ , c’est-à-dire $a/\sin A = b/\sin B$ . (Si l’angle en $B$ est obtus, $H$ tombe au-delà de $B$ et l’angle du triangle rectangle en $B$ vaut $180{}^{\circ} - B$ , qui a le même sinus.) Le même raisonnement avec la hauteur issue de $A$ donne $b/\sin B = c/\sin C$ . ∎

À gauche : une chaîne de triangles tendue le long d’un méridien à partir d’une base mesurée AB ; les arcs marquent deux des nombreux angles mesurés avec l’instrument. À droite : la hauteur h issue de C, écrite de deux façons, donne la loi des sinus. — À gauche : une chaîne de triangles tendue le long d’un méridien à partir d’une base mesurée $AB$ ; les arcs marquent deux des nombreux angles mesurés avec l’instrument. À droite : la hauteur $h$ issue de $C$ , écrite de deux façons, donne la loi des sinus.

Méthode 1.8 (Calculer une chaîne de triangulation)

Dans le premier triangle $ABC$ , on mesure la base $c = AB$ et les angles en $A$ et en $B$ ; le troisième angle vaut $C = 180{}^{\circ} - A - B$ (et sa mesure contrôle les autres).
La loi des sinus donne les deux autres côtés : $b = AC = c \sin B / \sin C$ et $a = BC = c \sin A / \sin C$ .
Un côté calculé devient le côté connu du triangle suivant, et ainsi de suite le long de la chaîne.
Enfin, on calcule la composante nord–sud de chaque côté avec le cosinus de son angle avec le méridien, et on additionne ces composantes.

Exemple 1.9 (Un triangle)

On mesure une base $AB = 8.000\,\mathrm{km}$ ; depuis $A$ , le signal $C$ est vu à $70{}^{\circ}$ de la direction de $B$ , depuis $B$ à $60{}^{\circ}$ de la direction de $A$ . Alors $C = 50{}^{\circ}$ et

AC = \frac{8.000 \times \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{8.000 \times 0.8660}{0.7660} \approx 9.044\,\mathrm{km}, \qquad BC = \frac{8.000 \times \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 9.814\,\mathrm{km}.

Seule la base a été parcourue à pied.

Exemple 1.10 (Le méridien du mètre)

En mars 1791, le mètre fut défini comme la dix-millionième partie de la distance du pôle à l’équateur le long d’un méridien. Pour connaître cette distance, deux astronomes, Jean-Baptiste Delambre et Pierre Méchain, mesurèrent par triangulation l’arc de méridien de Dunkerque, sur la mer du Nord, à Barcelone, sur la Méditerranée — près de sept ans de travail, Delambre dans les deux tiers nord, Méchain dans le tiers sud. Les deux villes diffèrent de $9.646{}^{\circ}$ de latitude ; sur l’ellipsoïde moderne, l’arc compris entre leurs parallèles mesure $1072.2\,\mathrm{km}$ . Connaître la longueur d’un arc et sa différence de latitude donne la longueur d’un degré ; la forme de la Terre donne ensuite le quart de méridien entier. Des étalons en platine du nouveau mètre furent réalisés en 1799 et déposés aux Archives nationales.

Histoire des sciences — Le cercle répétiteur

Les angles du méridien du mètre furent mesurés avec un cercle répétiteur, un instrument construit par Jean-Charles de Borda : deux lunettes montées sur un cercle gradué, pointées alternativement vers deux signaux un grand nombre de fois, si bien que les erreurs de lecture de la graduation sont divisées par le nombre de répétitions.

Un cercle répétiteur monté pour mesurer des angles horizontaux, tel qu’il est gravé dans le compte rendu de la mesure par Delambre (1807). Domaine public (Wikimedia Commons).

1.4 Une Terre aplatie

Vers 1687, Isaac Newton déduisit de sa théorie de la gravitation qu’une Terre en rotation doit être un sphéroïde aplati aux pôles et renflé à l’équateur. Les mesures de degrés du méridien faites par les astronomes de l’Observatoire de Paris semblaient dire le contraire : une Terre allongée aux pôles. La question fut tranchée en mesurant la longueur d’un degré de latitude en deux lieux aussi éloignés que possible.

Une Terre aplatie, avec un aplatissement très exagéré (le vrai est trop faible pour être visible à cette échelle). La verticale d’un lieu est perpendiculaire à la surface ; elle n’est pas dirigée exactement vers le centre. La latitude du lieu est l’angle entre sa verticale et le plan de l’équateur. — Une Terre aplatie, avec un aplatissement très exagéré (le vrai est trop faible pour être visible à cette échelle). La verticale d’un lieu est perpendiculaire à la surface ; elle n’est pas dirigée exactement vers le centre. La latitude $\varphi$ du lieu est l’angle entre sa verticale et le plan de l’équateur.

La latitude se mesure à l’aide des étoiles : c’est l’angle entre la verticale locale et le plan de l’équateur. Sur une Terre aplatie, la surface est moins courbe près des pôles que près de l’équateur. Là où la surface est moins courbe, il faut la parcourir plus longtemps pour que la verticale tourne d’un degré : un degré de latitude est plus long près des pôles.

Histoire des sciences — Laponie et Pérou

En 1735, l’Académie des sciences de Paris envoya une expédition à l’équateur, dans la province espagnole du Pérou (aujourd’hui l’Équateur) ; elle y travailla neuf ans, jusqu’en 1744. En 1736–1737, une seconde expédition, conduite par Pierre-Louis Moreau de Maupertuis avec le jeune mathématicien Alexis Clairaut, mesura un degré du méridien en Laponie, près du cercle polaire arctique. Le degré de Laponie fut trouvé égal à 57 437 toises (l’ancienne unité de longueur ; environ $111.95\,\mathrm{km}$ ), celui du Pérou à seulement 56 737 toises : le degré est plus long près du pôle, et Newton avait raison. Les deux nombres impliquaient un aplatissement d’environ $1/205$ — trop fort, comme le montrèrent des mesures ultérieures, mais la question du signe était réglée.

La longueur d’un degré de latitude sur l’ellipsoïde de référence de la , de l’équateur au pôle. Calculée à partir de l’ellipsoïde WGS 84. — La longueur d’un degré de latitude sur l’ellipsoïde de référence de la Définition 1.11, de l’équateur au pôle. Calculée à partir de l’ellipsoïde WGS 84.

Définition 1.11 (Ellipsoïde de référence et aplatissement)

Un ellipsoïde de référence est la surface obtenue en faisant tourner une ellipse autour de son petit axe, choisie pour épouser au mieux la forme de la Terre. Son rayon équatorial est $a$ , son rayon polaire $b$ , et son aplatissement vaut

f = \frac{a-b}{a}.

Proposition 1.12 (Les dimensions de la Terre)

L’ellipsoïde de référence utilisé par le positionnement par satellite (WGS 84) a

a = 6378.137\,\mathrm{km}, \qquad b = 6356.752\,\mathrm{km}, \qquad f = \frac{1}{298.257}.

Le rayon polaire est plus court de $21.4\,\mathrm{km}$ que le rayon équatorial. L’équateur mesure $40\,075\,\mathrm{km}$ et un méridien, d’un pôle à l’autre et retour, $40\,008\,\mathrm{km}$ ; le quart de méridien, de l’équateur à un pôle, mesure $10\,001.966\,\mathrm{km}$ . Un degré de latitude mesure $110.574\,\mathrm{km}$ à l’équateur et $111.694\,\mathrm{km}$ aux pôles. Un degré de longitude mesure $111.32\,\mathrm{km}$ sur l’équateur et diminue vers les pôles à peu près comme $\cos \varphi$ .

Exemple 1.13 (Un degré de longitude)

Un parallèle de latitude $\varphi$ est un cercle dont le rayon est la distance à l’axe, environ $R \cos \varphi$ . À $60{}^{\circ}$ N, sa circonférence vaut à peu près la moitié de celle de l’équateur, et un degré de longitude mesure environ $111.32 \times \cos 60^\circ \approx 55.7\,\mathrm{km}$ (l’ellipsoïde donne $55.80\,\mathrm{km}$ ).

Remarque 1.14 (Ronde à quel point ?)

Un aplatissement de $1/298$ est faible. Sur un globe de $30\,\mathrm{cm}$ de diamètre, le diamètre polaire ne serait plus court que de $1\,\mathrm{mm}$ que le diamètre équatorial — invisible. La fosse océanique la plus profonde, à près de $11\,\mathrm{km}$ sous le niveau de la mer, serait une rayure profonde d’environ un quart de millimètre. Pour la plupart des usages, la Terre est une sphère de rayon moyen $6371\,\mathrm{km}$ ; pour des positions précises, l’ellipsoïde est nécessaire.

1.5 La géodésie aujourd’hui

Un géomètre au travail avec un instrument moderne qui mesure les angles et, à l’aide d’un faisceau lumineux, les distances ; un signal géodésique se dresse sur la colline au loin.

Les grandes triangulations des xviii^e et xix^e siècles ont été remplacées par les satellites. Un récepteur au sol capte les signaux de plusieurs satellites dont la position est connue à chaque instant, et calcule sa propre position à partir des durées de trajet des signaux (livre 1). Des réseaux de récepteurs permanents, fixés au socle rocheux partout dans le monde, mesurent leur position en continu. Ils définissent le système de référence dans lequel sont données toutes les cartes et toutes les positions par satellite, et ils bougent : ils montrent que les plaques de la lithosphère dérivent de quelques centimètres par an (Chapitre 13).

Sur le terrain — Mesurer le sol aujourd’hui

Les géodésiens ancrent des antennes sur des piliers de béton scellés dans le socle rocheux, loin des bâtiments et des arbres, et enregistrent leur position toutes les quelques secondes pendant des années. Ils combinent ces données avec les mesures de radiotélescopes qui observent des galaxies très lointaines et avec des faisceaux laser envoyés vers des satellites porteurs de miroirs. Sur les chantiers et dans les campagnes, les géomètres mesurent encore angles et distances avec des instruments sur trépied, et les rattachent au système de référence des satellites.

1.6 Exercices

Exercice 1.1 ★

Donner trois observations, possibles sans quitter le sol, qui montrent que la Terre est ronde. Pour chacune, expliquer en une phrase pourquoi une Terre plate ne pourrait pas la produire.

Solution

Solution de Exercice 1.1.

Un navire disparaît par la coque d’abord : sur une mer plate, il ne ferait que rapetisser, en restant visible tout entier. L’ombre de la Terre sur la Lune lors d’une éclipse est toujours un arc de cercle : un disque plat, vu par la tranche, projetterait une ombre allongée. En allant vers le nord, l’étoile Polaire monte au-dessus de l’horizon : sur une Terre plate, sa hauteur resterait presque la même.

Exercice 1.2 ★

Qu’est-ce que la géodésie ? Qu’est-ce que la triangulation, et quelle est l’unique longueur qu’il faut mesurer au sol dans une triangulation ?

Solution

Solution de Exercice 1.2.

La géodésie mesure la forme et les dimensions de la Terre et la position des points de sa surface, ainsi que leurs variations au cours du temps. La triangulation repère des points par une chaîne de triangles dont tous les angles sont mesurés ; une seule longueur, la base, est mesurée au sol.

Exercice 1.3 ★

Ératosthène a trouvé que l’angle entre les rayons du Soleil et la verticale à Alexandrie valait $1/50$ de tour complet lorsque le Soleil était au zénith à Syène, à 5000 stades de là. Calculer la circonférence en stades, puis en kilomètres, en prenant un stade de $157.2\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 1.3.

$C = 50 \times 5000 = 250\,000$ stades ; $250\,000 \times 157.2\,\mathrm{m} = 39\,300\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.4 ★

Un degré de latitude mesure environ $111\,\mathrm{km}$ . Quelle est la longueur d’une minute de latitude ( $1/60$ de degré) ? Quelle est, à peu près, la longueur du méridien de l’équateur au pôle ?

Solution

Solution de Exercice 1.4.

$111/60 \approx 1.85\,\mathrm{km}$ . Quart de méridien : $90 \times 111 \approx 10\,000\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.5 ★

À partir du rayon équatorial $6378.137\,\mathrm{km}$ et du rayon polaire $6356.752\,\mathrm{km}$ , calculer la différence des deux rayons et l’aplatissement $f = (a-b)/a$ . Écrire $f$ sous la forme de un divisé par un nombre entier.

Solution

Solution de Exercice 1.5.

$a - b = 6378.137 - 6356.752 = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 0.003353 \approx 1/298$ .

Exercice 1.6 ★★

Deux villes sont situées sur le même méridien, à $500\,\mathrm{km}$ l’une de l’autre. À midi, le même jour, un bâton vertical de $1.00\,\mathrm{m}$ de haut projette une ombre de $0.364\,\mathrm{m}$ dans la ville du sud et de $0.456\,\mathrm{m}$ dans la ville du nord. Calculer l’angle entre les rayons du Soleil et la verticale dans chaque ville, puis la circonférence de la Terre.

Solution

Solution de Exercice 1.6.

Au sud : $\tan\theta_1 = 0.364$ , $\theta_1 \approx 20.0{}^{\circ}$ . Au nord : $\tan\theta_2 = 0.456$ , $\theta_2 \approx 24.5{}^{\circ}$ . $\alpha = 4.5{}^{\circ}$ , donc $C = (360/4.5) \times 500 = 80 \times 500 = 40\,000\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.7 ★★

Dans un triangle $ABC$ , la base $AB = 10.00\,\mathrm{km}$ , l’angle en $A$ vaut $62{}^{\circ}$ et l’angle en $B$ vaut $71{}^{\circ}$ . Calculer l’angle en $C$ et les longueurs $AC$ et $BC$ .

Solution

Solution de Exercice 1.7.

$C = 180 - 62 - 71 = 47{}^{\circ}$ . $AC = 10.00 \sin 71^\circ/\sin 47^\circ = 10.00 \times 0.9455/0.7314 \approx 12.93\,\mathrm{km}$ ; $BC = 10.00 \sin 62^\circ/\sin 47^\circ \approx 12.07\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.8 ★★

Un avion vole plein ouest le long du parallèle $60{}^{\circ}$ N, de la longitude $10{}^{\circ}$ E à la longitude $20{}^{\circ}$ O. En prenant un degré de longitude de $111.3 \cos \varphi$ km, calculer la distance parcourue. Quelle longueur aurait le même écart de longitude sur l’équateur ?

Solution

Solution de Exercice 1.8.

L’écart de longitude est $10 + 20 = 30{}^{\circ}$ . À $60{}^{\circ}$ N, un degré mesure $111.3 \times 0.5 = 55.65\,\mathrm{km}$ , donc la distance vaut $30 \times 55.65 \approx 1670\,\mathrm{km}$ . Sur l’équateur : $30 \times 111.3 \approx 3340\,\mathrm{km}$ , deux fois plus.

Exercice 1.9 ★★

L’œil d’un observateur est à $h = 2\,\mathrm{m}$ au-dessus d’une mer calme. La ligne de visée vers l’horizon frôle la mer en $T$ ; le centre de la Terre est $O$ , l’œil $E$ . Expliquer pourquoi le triangle $OTE$ est rectangle en $T$ , puis utiliser le théorème de Pythagore avec $R = 6371\,\mathrm{km}$ pour montrer que la distance à l’horizon vaut environ $\sqrt{2Rh}$ , et la calculer.

Solution

Solution de Exercice 1.9.

La ligne de visée touche la mer en $T$ : une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact, donc l’angle en $T$ est droit. Pythagore : $(R+h)^2 = R^2 + d^2$ , donc $d^2 = 2Rh + h^2$ ; $h$ est minuscule devant $R$ , donc $d \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 2} \approx 5050\,\mathrm{m}$ , environ $5\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.10 ★★

Lire la courbe des longueurs du degré. Entre quelles latitudes la longueur d’un degré varie-t-elle le plus vite ? Expliquer en deux phrases pourquoi un degré de latitude est plus long près des pôles que près de l’équateur.

Solution

Solution de Exercice 1.10.

La courbe est la plus pentue aux latitudes moyennes, entre environ $30{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$ , et plate près de l’équateur et du pôle. Sur une Terre aplatie, la surface est moins courbe près des pôles ; moins la surface est courbe, plus il faut aller loin pour que la verticale (et donc la latitude) tourne d’un degré.

Exercice 1.11 ★★

L’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone couvre $9.646{}^{\circ}$ de latitude et mesure $1072.2\,\mathrm{km}$ . Calculer la longueur moyenne d’un degré le long de cet arc. Si tous les degrés avaient cette longueur, quelle serait la longueur du quart de méridien ? Comparer à $10\,002.0\,\mathrm{km}$ et expliquer le petit écart.

Solution

Solution de Exercice 1.11.

$1072.2/9.646 \approx 111.15\,\mathrm{km}$ par degré ; $90 \times 111.15 \approx 10\,004\,\mathrm{km}$ , soit $2\,\mathrm{km}$ de plus que le vrai quart de méridien. L’arc est centré vers $46{}^{\circ}$ , où un degré est un peu plus long que le degré moyen de l’équateur au pôle ( $10\,002.0/90 \approx 111.13\,\mathrm{km}$ ).

Exercice 1.12 ★★★

Ératosthène a mesuré un angle de $7.2{}^{\circ}$ et une distance de 5000 stades. Si son angle avait été faux de $0.1{}^{\circ}$ (trop petit), de quel pourcentage sa circonférence aurait-elle été fausse, et dans quel sens ? Laquelle de ses deux mesures était, selon vous, la moins précise ?

Solution

Solution de Exercice 1.12.

Avec $7.1{}^{\circ}$ : $C = (360/7.1) \times 5000 \approx 253\,500$ stades au lieu de $250\,000$ : environ 1.4 % de trop (un angle plus petit pour la même distance signifie une Terre plus grande). La distance, estimée au pas par des marcheurs le long du Nil, était bien moins précise que l’angle.

Exercice 1.13 ★★★

Une chaîne de deux triangles : dans $ABC$ , $AB = 6.000\,\mathrm{km}$ , $A = 55{}^{\circ}$ , $B = 75{}^{\circ}$ . Dans le triangle suivant $ACD$ , construit sur le côté $AC$ , l’angle en $A$ vaut $50{}^{\circ}$ et l’angle en $C$ vaut $68{}^{\circ}$ . Calculer $AC$ , puis $AD$ .

Solution

Solution de Exercice 1.13.

Dans $ABC$ : $C = 50{}^{\circ}$ , $AC = 6.000 \sin 75^\circ/\sin 50^\circ \approx 7.566\,\mathrm{km}$ . Dans $ACD$ : l’angle en $D$ vaut $180 - 50 - 68 = 62{}^{\circ}$ , et $AD = 7.566 \sin 68^\circ/\sin 62^\circ \approx 7.945\,\mathrm{km}$ .

Exercice 1.14 ★★★

À quelle latitude un degré de longitude est-il deux fois plus court que sur l’équateur ? À quelle latitude est-il dix fois plus court ? Expliquer pourquoi ces deux réponses ne dépendent pas de la taille de la Terre.

Solution

Solution de Exercice 1.14.

$\cos\varphi = 1/2$ donne $\varphi = 60{}^{\circ}$ ; $\cos\varphi = 0.1$ donne $\varphi \approx 84.3{}^{\circ}$ . Un degré de longitude à la latitude $\varphi$ est le degré sur l’équateur multiplié par $\cos\varphi$ : le rapport ne dépend que de l’angle, pas du rayon.

Exercice 1.15 ★★★

Utiliser les valeurs de l’ellipsoïde : un degré de latitude mesure $110.574\,\mathrm{km}$ à l’équateur et $111.694\,\mathrm{km}$ au pôle. Sur une sphère de même rayon moyen, un degré mesurerait $111.195\,\mathrm{km}$ partout. De combien de mètres se tromperait un géomètre qui supposerait la Terre sphérique, sur un degré à l’équateur et sur un degré au pôle ? Pourquoi une carte qui donne des positions au mètre près doit-elle être calculée sur l’ellipsoïde ?

Solution

Solution de Exercice 1.15.

À l’équateur : $111.195 - 110.574 = 0.621\,\mathrm{km} = 621\,\mathrm{m}$ ; au pôle : $111.694 - 111.195 = 0.499\,\mathrm{km} = 499\,\mathrm{m}$ . Des erreurs de plusieurs centaines de mètres par degré, qui s’additionnent degré après degré, dépassent de loin le mètre : les positions calculées à partir des latitudes et des longitudes doivent utiliser l’ellipsoïde.

1.7 Problème : le mètre et le méridien

Problème 1.1

Problème du week-end — de l’ombre d’Ératosthène à la longueur du premier mètre

Une élève refait l’histoire de la mesure de la Terre avec des nombres modernes. Assouan, l’antique Syène, est située à la latitude $24.09{}^{\circ}$ N et Alexandrie à $31.20{}^{\circ}$ N ; sur l’ellipsoïde moderne, l’arc de méridien compris entre leurs deux parallèles mesure $788\,\mathrm{km}$ . Sur l’ellipsoïde, un degré de latitude mesure $110.57\,\mathrm{km}$ à l’équateur, $111.13\,\mathrm{km}$ à $45{}^{\circ}$ et $111.51\,\mathrm{km}$ à $66{}^{\circ}$ , et le quart de méridien mesure $10\,001.966\,\mathrm{km}$ .

Partie I — Ératosthène, à nouveau.

Calculer la différence de latitude entre Assouan et Alexandrie.
Quelle fraction de tour complet représente-t-elle ? Comparer au $1/50$ d’Ératosthène.
Calculer la circonférence de la Terre que donne la méthode d’Ératosthène avec ces nombres modernes.
Les deux villes ne sont pas sur le même méridien : Assouan est située à environ $3{}^{\circ}$ de longitude à l’est d’Alexandrie. Quelle distance faut-il utiliser dans la méthode : la distance en ligne droite entre les villes ou l’arc de méridien compris entre leurs parallèles ? Pourquoi ?
Pourquoi faut-il mesurer les deux ombres le même jour, au midi local ?

Partie II — Une petite triangulation. On mesure une base $AB = 12.000\,\mathrm{km}$ . Depuis $A$ , le signal $C$ est vu à $58{}^{\circ}$ de $B$ ; depuis $B$ , à $66{}^{\circ}$ de $A$ . Dans le triangle suivant $ACD$ , l’angle en $A$ vaut $47{}^{\circ}$ et l’angle en $C$ vaut $75{}^{\circ}$ . Le côté $AD$ est orienté à $8{}^{\circ}$ à l’est du nord.

Calculer l’angle en $C$ dans le triangle $ABC$ .
Calculer le côté $AC$ .
Calculer le côté $BC$ .
Calculer l’angle en $D$ dans le triangle $ACD$ , puis le côté $AD$ .
Calculer la distance nord–sud entre $A$ et $D$ .
À l’aide de la longueur du degré à $45{}^{\circ}$ , calculer la différence de latitude entre $A$ et $D$ , en degrés et en minutes d’arc.

Partie III — Une Terre aplatie.

De combien de mètres un degré de latitude à $66{}^{\circ}$ est-il plus long qu’un degré à l’équateur ?
Expliquer ce que cet écart montre sur la forme de la Terre.
Sur l’ellipsoïde, $a = 6378.137\,\mathrm{km}$ et $b = 6356.752\,\mathrm{km}$ . Calculer $a - b$ et l’aplatissement.
Expliquer pourquoi, sur une Terre aplatie, le fil à plomb en un lieu de latitude $45{}^{\circ}$ n’est pas dirigé exactement vers le centre de la Terre.

Partie IV — Le premier mètre.

D’après la définition de 1791, quelle devrait être la longueur du quart de méridien, en mètres ?
Le mètre en platine de 1799 a été réalisé à partir d’une valeur mesurée du méridien. Si le quart de méridien mesure en réalité $10\,001.966\,\mathrm{km}$ , que vaut sa dix-millionième partie ?
Le mètre de 1799 était-il trop long ou trop court par rapport à sa propre définition ? De quelle fraction ?
La barre de platine reproduisait fidèlement la longueur calculée dans les années 1790. Le quart de méridien calculé alors était-il trop long ou trop court ? Expliquer.
De combien de millimètres le premier mètre était-il plus court que la dix-millionième partie du vrai quart de méridien ? Comparer à l’épaisseur d’une feuille de papier, environ $0.1\,\mathrm{mm}$ .

Solution

Solution de Problème 1.1.

1. $31.20 - 24.09 = 7.11{}^{\circ}$ .

2. $7.11/360 \approx 0.0198 = 1/50.6$ , très proche du $1/50$ d’Ératosthène.

3. $C = 788 \times 360/7.11 \approx 39\,900\,\mathrm{km}$ .

4. L’arc de méridien entre les parallèles : la différence des angles à midi est la différence de latitude, qui ne mesure que l’écart nord–sud entre les deux lieux ; la composante est–ouest de la distance ne joue aucun rôle.

5. Au midi local, le Soleil est dans le plan du méridien, le même pour les deux lieux ; le même jour, il occupe la même position parmi les étoiles, de sorte que les deux angles ne diffèrent qu’à cause de la courbure de la Terre.

6. $180 - 58 - 66 = 56{}^{\circ}$ .

7. $AC = 12.000 \sin 66^\circ/\sin 56^\circ = 12.000 \times 0.9135/0.8290 \approx 13.223\,\mathrm{km}$ .

8. $BC = 12.000 \sin 58^\circ/\sin 56^\circ \approx 12.275\,\mathrm{km}$ .

9. L’angle en $D$ vaut $180 - 47 - 75 = 58{}^{\circ}$ ; $AD = 13.223 \sin 75^\circ/\sin 58^\circ \approx 15.061\,\mathrm{km}$ .

10. $15.061 \cos 8^\circ \approx 14.914\,\mathrm{km}$ .

11. $14.914/111.13 \approx 0.1342{}^{\circ}$ , soit $0.1342 \times 60 \approx 8.05$ minutes d’arc.

12. $111.51 - 110.57 = 0.94\,\mathrm{km}$ : $940\,\mathrm{m}$ .

13. Près du pôle, la verticale tourne plus lentement avec la distance : la surface y est moins courbe. La Terre est aplatie aux pôles et renflée à l’équateur.

14. $a - b = 21.385\,\mathrm{km}$ ; $f = 21.385/6378.137 \approx 1/298$ .

15. Le fil à plomb est perpendiculaire à la surface de l’ellipsoïde. Sur une ellipse, la perpendiculaire à la courbe ne passe par le centre qu’à l’équateur et aux pôles ; à $45{}^{\circ}$ , elle coupe l’axe sous le centre.

16. $10\,000\,000$ mètres, soit $10\,000\,\mathrm{km}$ .

17. $10\,001\,966/10\,000\,000 \approx 1.000\,196\,6\,\mathrm{m}$ .

18. Trop court : la vraie dix-millionième partie vaut $1.0001966$ fois le mètre de 1799, donc le mètre de 1799 est trop court d’environ $1.97 \times 10^{-4}$ de sa longueur, soit 0.02 %.

19. Trop court. La barre est la dix-millionième partie du quart de méridien tel qu’on le calculait dans les années 1790 ; comme la barre est plus courte que la dix-millionième partie du vrai quart de méridien, le quart de méridien calculé était plus court que le vrai.

20. $1.0001966 - 1 = 0.0001966$ m : le premier mètre était trop court d’environ $0.2\,\mathrm{mm}$ — à peu près deux feuilles de papier sur un mètre, une précision étonnante pour une mesure faite avec des lunettes et des angles à travers tout un pays.

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