11Les ondes sismiques révèlent l’intérieur

Le 8 octobre 1909, un séisme secoua la vallée de la Kupa, à environ $40\,\mathrm{km}$ au sud-est de Zagreb, en Croatie. Quelques mois plus tôt, Andrija Mohorovičić avait installé un nouveau sismographe à l’observatoire météorologique de Zagreb, et l’appareil enregistra tout l’événement. Il demanda ensuite leurs enregistrements à d’autres observatoires et réunit ceux de 41 stations. Sur les enregistrements des stations les plus lointaines, il trouva quelque chose d’inattendu : deux ondes P distinctes, une faible puis une plus forte, là où il aurait dû n’y en avoir qu’une. De cette paire d’ondes, il déduisit que la roche située sous la croûte est différente, et il mesura la profondeur de la limite. Ce chapitre montre comment les instants d’arrivée des ondes sismiques révèlent les couches de la Terre : la base de la croûte, le noyau et sa partie externe liquide, et tout l’intérieur, profondeur par profondeur.

Tu sais déjà

Un séisme naît en un point situé à l’intérieur de la Terre, le foyer ; le point de la surface situé juste au-dessus est l’épicentre. Un sismomètre enregistre les secousses du sol, et la magnitude mesure la taille d’un séisme (livre 1, année 7). La Terre comprend une croûte, un manteau et un noyau ; le noyau a une partie externe liquide et une partie interne solide. Les ondes sismiques sont de deux grands types, les ondes P, plus rapides, et les ondes S, plus lentes, et les ondes S ne peuvent pas traverser un liquide (livre 1, année 6). Une onde qui franchit la limite entre deux matériaux dans lesquels elle se propage aux vitesses $v_1$ et $v_2$ est réfractée : $\sin i_1/v_1 = \sin i_2/v_2$, où les angles sont mesurés à partir de la perpendiculaire à la limite (loi de Snell–Descartes ; les livres de physique).

11.1 Les ondes sismiques et leurs temps de trajet

11.1.1 Deux sortes d’ondes de volume

Un séisme envoie des ondes dans toutes les directions. Certaines se propagent le long de la surface ; d’autres, les ondes de volume, traversent l’intérieur de la Terre, et ce sont elles qui le révèlent.

Définition 11.1 (Onde P ; onde S)

Une onde P est une onde sismique qui comprime et étire alternativement la roche : la roche va et vient dans la direction de propagation de l’onde. Elle traverse les solides, les liquides et les gaz, et c’est l’onde sismique la plus rapide : elle arrive donc la première. Une onde S cisaille la roche : la roche se déplace perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde. Elle ne traverse que les solides, et elle arrive après l’onde P.

Un liquide s’écoule et n’oppose aucune résistance à un changement de forme : il ne peut donc pas transmettre un cisaillement. C’est pourquoi les ondes S s’arrêtent à la surface d’un liquide. Dans la plupart des roches, une onde P va environ $\sqrt 3 \approx 1.7$ fois plus vite qu’une onde S. Dans la croûte supérieure, une onde P se propage à environ $5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et une onde S à environ $3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; juste sous la croûte, elles atteignent environ $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

11.1.2 Les hodochrones

La distance d’un séisme à une station lointaine se mesure par un angle : l’angle $\Delta$, au centre de la Terre, entre l’épicentre et la station, la distance épicentrale. Un degré correspond à $111.2\,\mathrm{km}$ le long de la surface.

Définition 11.2 (Temps de trajet ; hodochrone)

Le temps de trajet d’une onde sismique à une station est la durée qu’elle met pour aller du foyer à la station. L’hodochrone d’une onde est le graphique de son temps de trajet en fonction de la distance épicentrale de la station.

Une station enregistre l’instant où arrive chaque onde ; quand l’instant du séisme est connu, la différence donne le temps de trajet. Des milliers de séismes enregistrés par des milliers de stations ont fourni les hodochrones avec une grande précision. Sur la figure, les courbes sont calculées à partir du modèle de Terre de référence de la Section 11.4, et les points sont des temps de trajet observés lors de séismes réels : les deux concordent partout à deux pour cent près, et le plus souvent à une ou deux secondes près.

La courbe des ondes S monte plus fortement que celle des ondes P, si bien que le délai entre les deux arrivées augmente avec la distance. On obtient ainsi la distance d’un séisme à partir d’un seul enregistrement.

Méthode 11.3 (Distance d’un séisme d’après le délai S–P)

1. Sur l’enregistrement, lire l’instant de la première onde P et celui de la première onde S ; leur différence est le délai S–P.
2. Sur les hodochrones (ou dans une table), chercher la distance épicentrale à laquelle la courbe S se trouve au-dessus de la courbe P de ce délai.
3. Convertir en kilomètres, si nécessaire, avec $111.2\,\mathrm{km}$ par degré.

Avec trois stations, l’épicentre est le point situé à la bonne distance des trois.

Exemple 11.4 (Un séisme à $60{}^{\circ}$)

Les temps de trajet observés sont de $608\,\mathrm{s}$ pour P et de $1101\,\mathrm{s}$ pour S à $60{}^{\circ}$, de $536\,\mathrm{s}$ et $967\,\mathrm{s}$ à $50{}^{\circ}$. Une station qui enregistre une onde S $493\,\mathrm{s}$ (8 minutes 13 secondes) après l’onde P se trouve donc à $60{}^{\circ}$ de l’épicentre : environ $60 \times 111.2 \approx 6670\,\mathrm{km}$. À $50{}^{\circ}$, le délai ne serait que de $431\,\mathrm{s}$.

11.2 La réfraction et le Moho

11.2.1 L’onde qui longe une limite

À l’intérieur de la Terre, la vitesse des ondes sismiques change avec la profondeur, le plus souvent progressivement, mais par endroits d’un coup.

Définition 11.5 (Discontinuité sismique)

Une discontinuité sismique est une surface située à l’intérieur de la Terre à la traversée de laquelle la vitesse des ondes sismiques change brusquement — sur une épaisseur bien plus petite que la longueur des ondes.

À une discontinuité, une partie de l’onde est réfléchie et une partie est réfractée. Soit une couche d’épaisseur $h$ dans laquelle les ondes P se propagent à $v_1$, posée sur une couche où elles sont plus rapides, $v_2 > v_1$. Un rai qui descend avec l’angle $i$ par rapport à la verticale est réfracté avec l’angle $r$ donné par $\sin r = (v_2/v_1)\sin i$ : il s’écarte de la verticale. Quand $\sin i$ atteint $v_1/v_2$, le rai réfracté longe exactement la limite. L’angle

est l’angle critique. L’onde réfractée sous l’angle critique se propage le long du sommet de la couche rapide à la vitesse $v_2$, et, chemin faisant, renvoie des ondes vers le haut dans la couche supérieure, toutes sous l’angle $i_c$ : elles atteignent la surface sous la forme de l’onde conique.

Proposition 11.6 (Temps de trajet de l’onde conique)

Pour une source en surface, une station située à la distance $x \ge 2h\tan i_c$ reçoit l’onde conique au bout de

$$t(x) = \frac{x}{v_2} + \frac{2h\cos i_c}{v_1}.$$

Son hodochrone est une droite de pente $1/v_2$ qui, prolongée en arrière, coupe l’axe des temps au temps d’interception $t_i = 2h\cos i_c/v_1$.

L’onde directe arrive au bout de $x/v_1$ : sa courbe est une droite passant par l’origine, plus pentue que celle de l’onde conique. Près de la source, l’onde directe arrive la première ; au loin, l’onde conique, qui a fait la plus grande partie du trajet à la vitesse la plus élevée, la dépasse.

Proposition 11.7 (Distance de croisement)

L’onde conique arrive avant l’onde directe au-delà de la distance de croisement

$$x_c = 2h\sqrt{\frac{v_2 + v_1}{v_2 - v_1}}.$$

11.2.2 La base de la croûte

Définition 11.8 (Moho)

La discontinuité de Mohorovičić, ou Moho, est la discontinuité sismique située à la base de la croûte, où la vitesse des ondes P passe brusquement d’au plus $7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ environ à environ $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la vitesse du manteau le plus superficiel.

Histoire des sciences — Mohorovičić et les deux ondes P, 1909

Andrija Mohorovičić (1857–1936) découvrit, sur les enregistrements du séisme de 1909, qu’au-delà d’une certaine distance — en général entre 100 et $150\,\mathrm{km}$ — une onde P faible et plus rapide arrivait avant l’onde P forte. Il l’expliqua par une onde qui avait traversé une roche plus rapide située sous la croûte. Il nomma les deux ondes Pg (l’onde directe dans la croûte) et Pn (l’onde conique le long du sommet du manteau), fit de même pour les ondes S, et en déduisit les vitesses des deux couches et la profondeur de la limite qui les sépare. L’onde Pn se propage à environ $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la vitesse du manteau le plus superficiel. Ses articles de 1910 prouvèrent que la croûte et le manteau sont différents ; la limite porte son nom.

Méthode 11.9 (Profondeur du Moho d’après un diagramme des temps de trajet)

1. Reporter les instants des premières arrivées en fonction de la distance à l’épicentre.
2. Tracer la droite de l’onde directe (passant par l’origine) et celle de l’onde conique ; leurs pentes valent $1/v_1$ et $1/v_2$.
3. Prolonger la droite de l’onde conique jusqu’à l’axe des temps : elle le coupe au temps d’interception $t_i$.
4. Avec $\sin i_c = v_1/v_2$, l’épaisseur de la croûte vaut $h = \dfrac{v_1\,t_i}{2\cos i_c}$.

Exemple 11.10 (Une croûte épaisse de $30\,\mathrm{km}$)

Avec $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\sin i_c = 0.765$, $i_c \approx 49.9{}^{\circ}$ et $\cos i_c \approx 0.644$. Un temps d’interception de $6.23\,\mathrm{s}$ donne $h = 6.2 \times 6.23/(2 \times 0.644) \approx 30\,\mathrm{km}$. L’onde conique atteint la surface pour la première fois à $2h\tan i_c \approx 71\,\mathrm{km}$ et dépasse l’onde directe au-delà de $x_c = 60\sqrt{14.3/1.9} \approx 165\,\mathrm{km}$.

Mesuré ainsi dans le monde entier, le Moho ne se trouve qu’à environ $5\,\mathrm{km}$ sous le fond des océans. Sous les continents, il se trouve en moyenne à environ $41\,\mathrm{km}$ de profondeur : vers $30\,\mathrm{km}$ là où la croûte a été étirée, à plus de $45\,\mathrm{km}$ sous les chaînes de montagnes, et jusqu’à environ $100\,\mathrm{km}$ sous les chaînes les plus hautes. La croûte est une mince pellicule : même $41\,\mathrm{km}$ représentent moins d’un pour cent du rayon de la Terre.

11.3 Le noyau

11.3.1 Des rais qui se courbent

Dans le manteau, la vitesse des ondes sismiques augmente avec la profondeur. Un rai qui descend traverse une roche de plus en plus rapide et, d’après la loi de Snell–Descartes, s’écarte à chaque pas un peu plus de la verticale : sa trajectoire se courbe et remonte vers la surface. Plus un rai remonte profond, plus il ressort loin du séisme. La figure montre de tels rais, calculés avec les vitesses du modèle de Terre de référence.

11.3.2 La zone d’ombre et le noyau externe liquide

En 1906, le sismologue Oldham remarqua que les ondes P enregistrées de l’autre côté de la Terre par rapport à un séisme arrivaient en retard sur les temps attendus, et il proposa un noyau central dans lequel elles se propagent plus lentement. En 1912, Gutenberg montra que les ondes P n’atteignent pas toute une bande de distances, entre environ $105{}^{\circ}$ et $143{}^{\circ}$, avec de fortes arrivées juste au-delà de $143{}^{\circ}$ ; en 1914, il plaça le sommet du noyau à $2900\,\mathrm{km}$ de profondeur.

Définition 11.11 (Zone d’ombre)

La zone d’ombre d’une onde sismique est l’intervalle de distances épicentrales que l’onde ne peut pas atteindre directement depuis un séisme, parce que le noyau la dévie ou l’arrête.

Les rais l’expliquent. Les rais P qui remontent juste au-dessus du noyau ressortent à environ $100{}^{\circ}$ du séisme. Un rai un peu plus plongeant entre dans le noyau, où la vitesse des ondes P chute brusquement de $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ à environ $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : d’après la loi de Snell–Descartes, il est dévié vers la verticale, traverse le noyau et ressort bien plus loin, au-delà d’environ $144{}^{\circ}$. Aucun rai P remontant dans le manteau et aucun rai P traversant le noyau ne tombe entre les deux. Dans le modèle de référence, la zone d’ombre des ondes P s’étend de $98.5{}^{\circ}$ à $143.8{}^{\circ}$, près des $105{}^{\circ}$–$143{}^{\circ}$ de Gutenberg.

Les ondes S en disent davantage. Aucune onde S ne traverse le noyau externe : le noyau externe ne transmet pas les ondes de cisaillement, il est donc liquide. En conséquence, aucune onde S n’arrive directement au-delà d’environ $103{}^{\circ}$ dans le modèle de référence — sur toute la face opposée de la Terre.

Définition 11.12 (Limite noyau–manteau ; limite du noyau interne)

La limite noyau–manteau est la discontinuité sismique qui sépare le manteau solide du noyau externe liquide, à une profondeur de $2891\,\mathrm{km}$ ; la vitesse des ondes P y chute d’environ $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ à environ $8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, et les ondes S s’y arrêtent. La limite du noyau interne, à une profondeur de $5150\,\mathrm{km}$, sépare le noyau externe liquide du noyau interne solide ; la vitesse des ondes P y passe brusquement d’environ $10.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ à environ $11.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

La zone d’ombre n’est pas complètement silencieuse : de faibles ondes P y arrivent. Inge Lehmann les expliqua en 1936 par un noyau interne solide dans lequel les ondes P vont plus vite (livre 1, année 6). Les rais montrent comment. Un rai P qui atteint le noyau interne s’écarte de la verticale là où la vitesse augmente brusquement, comme au Moho, et ressort plus tôt du noyau : dans le modèle de référence, les rais qui traversent le noyau interne atteignent la surface à partir d’environ $121{}^{\circ}$, à l’intérieur de la zone d’ombre (courbe en pointillés de la figure des hodochrones).

11.4 Un modèle de Terre de référence

Réunis, des millions de temps de trajet donnent la vitesse des ondes P et S à chaque profondeur. Leurs vitesses dépendent de la roche et de sa masse volumique, et la masse totale de la Terre fixe sa masse volumique moyenne ; ensemble, elles donnent aussi la masse volumique à chaque profondeur.

Définition 11.13 (Modèle de Terre de référence)

Un modèle de Terre de référence est une table de la vitesse des ondes P, de la vitesse des ondes S et de la masse volumique en fonction de la profondeur, identiques dans toutes les directions, choisies pour concorder avec les temps de trajet observés des ondes sismiques et avec la masse de la Terre.

Le plus utilisé est le Preliminary Reference Earth Model (PREM), publié par A. M. Dziewonski et D. L. Anderson en 1981. Les rais et les temps de trajet de ce chapitre ont été calculés avec lui : le temps de trajet des ondes P à $60{}^{\circ}$, par exemple, en ressort à $607\,\mathrm{s}$, contre $608\,\mathrm{s}$ observés.

Lecture du modèle depuis le haut :

• la croûte, où les ondes P vont de 5.8 à $6.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, se termine au Moho (à $24.4\,\mathrm{km}$ dans ce modèle moyen) ;
• dans le manteau, les vitesses augmentent avec la profondeur, avec de plus petits sauts brusques, les plus grands vers $400\,\mathrm{km}$ et $670\,\mathrm{km}$ ;
• à $2891\,\mathrm{km}$, la vitesse des ondes S tombe à zéro et celle des ondes P baisse de plus de $5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : le noyau externe liquide ;
• à $5150\,\mathrm{km}$, les ondes S existent de nouveau : le noyau interne solide, de $1220\,\mathrm{km}$ de rayon.

La masse volumique passe de $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ dans la croûte à $5.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ à la base du manteau, puis saute à $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ au sommet du noyau et atteint $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ au centre. La masse volumique moyenne de l’ensemble du modèle est de $5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, le double de celle des roches de la croûte : l’intérieur profond, et le noyau avant tout, est fait d’une matière bien plus dense que la surface. Le noyau renferme environ un tiers de la masse de la Terre.

11.5 Exercices

Exercice 11.1 ★

Donner deux différences entre les ondes P et les ondes S. Laquelle un sismomètre enregistre-t-il en premier, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 11.1.

Une onde P comprime et étire la roche, qui se déplace dans la direction de propagation ; une onde S la cisaille, et la roche se déplace perpendiculairement à cette direction. Les ondes P traversent les solides et les liquides ; les ondes S ne traversent que les solides. L’onde P est enregistrée la première, parce que c’est la plus rapide des deux.

Exercice 11.2 ★

Une station se trouve à $40{}^{\circ}$ d’un épicentre. À quelle distance est-elle, mesurée le long de la surface ? À combien de degrés se trouve une station située à $8900\,\mathrm{km}$ d’un épicentre ?

Solution

Solution de Exercice 11.2.

$40 \times 111.2 = 4448\,\mathrm{km}$, environ $4450\,\mathrm{km}$. $8900/111.2 \approx 80{}^{\circ}$.

Exercice 11.3 ★

Les temps de trajet observés à $40{}^{\circ}$ sont de $456\,\mathrm{s}$ pour P et de $822\,\mathrm{s}$ pour S. Les convertir en minutes et secondes, et donner le délai S–P.

Solution

Solution de Exercice 11.3.

$456\,\mathrm{s}$ font 7 minutes 36 secondes ; $822\,\mathrm{s}$ font 13 minutes 42 secondes. Le délai S–P vaut $822 - 456 = 366\,\mathrm{s}$, soit 6 minutes 6 secondes.

Exercice 11.4 ★

Une croûte où les ondes P se propagent à $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ repose sur un manteau où elles se propagent à $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calculer l’angle critique.

Solution

Solution de Exercice 11.4.

$\sin i_c = 6.0/8.0 = 0.75$, donc $i_c \approx 48.6{}^{\circ}$.

Exercice 11.5 ★

Dans le modèle de référence, la limite noyau–manteau se trouve à $2891\,\mathrm{km}$ de profondeur et la limite du noyau interne à $5150\,\mathrm{km}$ ; le rayon de la Terre est de $6371\,\mathrm{km}$. Calculer l’épaisseur du noyau externe, le rayon du noyau, et le rayon du noyau en fraction du rayon de la Terre.

Solution

Solution de Exercice 11.5.

Le noyau externe a une épaisseur de $5150 - 2891 = 2259\,\mathrm{km}$. Le rayon du noyau vaut $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$, et $3480/6371 \approx 0.55$ : un peu plus de la moitié du rayon de la Terre.

Exercice 11.6 ★★

Les délais S–P observés sont de $224\,\mathrm{s}$ à $20{}^{\circ}$, $298\,\mathrm{s}$ à $30{}^{\circ}$, $366\,\mathrm{s}$ à $40{}^{\circ}$, $431\,\mathrm{s}$ à $50{}^{\circ}$ et $493\,\mathrm{s}$ à $60{}^{\circ}$. Une station enregistre une onde S 6 minutes 6 secondes après l’onde P. À quelle distance se trouve le séisme, en degrés et en kilomètres ? Pourquoi une seule station ne peut-elle pas dire où se trouve le séisme ?

Solution

Solution de Exercice 11.6.

6 minutes 6 secondes font $366\,\mathrm{s}$ : le séisme est à $40{}^{\circ}$, soit $40 \times 111.2 \approx 4450\,\mathrm{km}$. Un seul délai ne donne que la distance : l’épicentre peut se trouver n’importe où sur un cercle de ce rayon autour de la station. Il faut deux stations de plus pour trouver le seul point situé à la bonne distance des trois.

Exercice 11.7 ★★

Avec les vitesses de l’Exercice 11.4 et une croûte épaisse de $35\,\mathrm{km}$, calculer les temps de trajet de l’onde directe et de l’onde conique à une station située à $200\,\mathrm{km}$ de l’épicentre. Laquelle arrive la première ?

Solution

Solution de Exercice 11.7.

$i_c \approx 48.6{}^{\circ}$ et $\cos i_c \approx 0.661$. Onde directe : $200/6.0 \approx 33.3\,\mathrm{s}$. Onde conique : $200/8.0 + 2 \times 35 \times 0.661/6.0 \approx 25.0 + 7.7 = 32.7\,\mathrm{s}$. L’onde conique arrive la première, environ $0.6\,\mathrm{s}$ plus tôt.

Exercice 11.8 ★★

Pour la croûte de l’Exercice 11.7, calculer la distance critique $2h\tan i_c$ et la distance de croisement. Vérifier que la réponse à l’Exercice 11.7 concorde.

Solution

Solution de Exercice 11.8.

$\tan i_c \approx 1.134$ : la distance critique vaut $2 \times 35 \times 1.134 \approx 79\,\mathrm{km}$. La distance de croisement vaut $2 \times 35 \times \sqrt{14.0/2.0} = 70\sqrt 7 \approx 185\,\mathrm{km}$. La station de l’Exercice 11.7 se trouve à $200\,\mathrm{km}$, au-delà du croisement : l’onde conique arrive la première, comme on l’a trouvé.

Exercice 11.9 ★★

Sous un océan, une croûte épaisse de $6\,\mathrm{km}$, où les ondes P se propagent à $6.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, repose sur un manteau à $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calculer l’angle critique, le temps d’interception et la distance de croisement. Pourquoi les stations doivent-elles être bien plus rapprochées pour trouver le Moho sous un océan que sous un continent ?

Solution

Solution de Exercice 11.9.

$\sin i_c = 6.5/8.0 = 0.8125$, $i_c \approx 54.3{}^{\circ}$ et $\cos i_c \approx 0.583$. Temps d’interception : $2 \times 6 \times 0.583/6.5 \approx 1.1\,\mathrm{s}$. Distance de croisement : $12\sqrt{14.5/1.5} \approx 37\,\mathrm{km}$. Sous un continent, le croisement se situe vers $165\,\mathrm{km}$ : des stations espacées de quelques dizaines de kilomètres saisissent les deux droites. Sous l’océan, l’onde conique arrive déjà la première au-delà d’environ $37\,\mathrm{km}$, et la droite de l’onde directe ne s’étend que sur quelques dizaines de kilomètres : il faut des stations espacées de quelques kilomètres pour la tracer.

Exercice 11.10 ★★

Un rai P dans le manteau le plus profond, où il se propage à $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, rencontre la limite noyau–manteau à $30{}^{\circ}$ de la perpendiculaire. Sous la limite, la vitesse des ondes P est de $8.06\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calculer l’angle du rai réfracté. Le rai est-il dévié vers la perpendiculaire ou s’en écarte-t-il ? S’en servir pour expliquer pourquoi les rais P qui entrent dans le noyau ressortent loin du séisme.

Solution

Solution de Exercice 11.10.

$\sin r = (8.06/13.7)\sin30{}^{\circ} \approx 0.294$, donc $r \approx 17.1{}^{\circ}$ : le rai est dévié vers la perpendiculaire, c’est-à-dire vers le centre de la Terre. Il traverse donc le noyau selon un long trajet proche de son milieu, et ressort loin, de l’autre côté : les rais P qui entrent dans le noyau ressortent bien plus loin du séisme que les rais qui le frôlent.

Exercice 11.11 ★★

Dans le modèle de référence, une onde P qui descend tout droit à travers le centre met $1210\,\mathrm{s}$ pour atteindre le point opposé de la Terre. Combien de temps mettrait-elle si elle parcourait tout le diamètre ($12\,742\,\mathrm{km}$) à $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, la vitesse des ondes P à la base du manteau ? Qu’Oldham a-t-il conclu de tels retards ?

Solution

Solution de Exercice 11.11.

$12\,742/13.7 \approx 930\,\mathrm{s}$, environ 15.5 minutes, alors que l’onde met $1210\,\mathrm{s}$, environ 20 minutes : elle a quelque 280 secondes de retard. Même à la vitesse la plus élevée du manteau, l’onde arriverait bien plus tôt : le milieu de la Terre doit donc la ralentir. Oldham en conclut que la Terre possède un noyau central dans lequel les ondes P se propagent plus lentement que dans le manteau.

Exercice 11.12 ★★★

(1) À partir de la Proposition 11.6, montrer que l’épaisseur de la croûte vaut

$$h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) L’appliquer à $t_i = 6.23\,\mathrm{s}$, $v_1 = 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Solution

Solution de Exercice 11.12.

(1) D’après la proposition, $t_i = 2h\cos i_c/v_1$, et $\cos i_c = \sqrt{1 - v_1^2/v_2^2} = \sqrt{v_2^2 - v_1^2}/v_2$. Donc

$$t_i = \frac{2h\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}{v_1 v_2}, \qquad\text{d'où}\qquad h = \frac{t_i\,v_1 v_2}{2\sqrt{v_2^2 - v_1^2}}.$$

(2) $h = 6.23 \times 6.2 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 38.44}\bigr) \approx 312.9/10.43 \approx 30.0\,\mathrm{km}$.

Exercice 11.13 ★★★

La masse volumique moyenne de la Terre est de $5.52\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. On modélise la Terre par un noyau de rayon $3480\,\mathrm{km}$ et de masse volumique uniforme $\rho_c$, à l’intérieur d’un manteau et d’une croûte de masse volumique uniforme $4.45\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ (la moyenne du modèle de référence). (1) Quelle fraction du volume de la Terre le noyau représente-t-il ? (2) Calculer $\rho_c$. (3) Comparer à la masse volumique au sommet du noyau dans le modèle de référence, $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, et à la masse volumique de la croûte.

Solution

Solution de Exercice 11.13.

(1) $(3480/6371)^3 \approx 0.163$ : le noyau représente environ $16\,\%$ du volume. (2) La masse volumique moyenne est la moyenne pondérée par les volumes : $5.52 = 0.163 \rho_c + 0.837 \times 4.45$, donc $\rho_c \approx (5.52 - 3.72)/0.163 \approx 11.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. (3) C’est plus que $9.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, comme il se doit, puisque la masse volumique du noyau augmente vers le centre (jusqu’à $13.1\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$) ; c’est environ quatre fois la masse volumique de la croûte, $2.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$. Le noyau est fait d’une matière bien plus dense que les roches de la surface.

Exercice 11.14 ★★★

La zone d’ombre des ondes P selon Gutenberg s’étend de $105{}^{\circ}$ à $143{}^{\circ}$. (1) Donner ses limites en kilomètres le long de la surface. (2) Sur une sphère, la surface comprise entre les distances angulaires $a$ et $b$ d’un point est la fraction $(\cos a - \cos b)/2$ de la surface totale. Quelle fraction de la surface de la Terre ne reçoit aucune onde P directe d’un séisme donné ? (3) Pourquoi chaque séisme a-t-il sa propre zone d’ombre ?

Solution

Solution de Exercice 11.14.

(1) $105 \times 111.2 \approx 11\,700\,\mathrm{km}$ et $143 \times 111.2 \approx 15\,900\,\mathrm{km}$. (2) $(\cos105{}^{\circ} - \cos143{}^{\circ})/2 \approx (-0.259 + 0.799)/2 \approx 0.27$ : environ $27\,\%$ de la surface, un anneau autour du point opposé au séisme. (3) La zone d’ombre est un intervalle de distances à l’épicentre : elle se déplace avec le séisme. Chaque séisme a son propre anneau.

Exercice 11.15 ★★★

Sous une haute chaîne de montagnes, une campagne de sismique réfraction trouve $v_1 = 6.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_2 = 8.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et un temps d’interception de $9.5\,\mathrm{s}$. (1) Calculer l’épaisseur de la croûte à cet endroit. (2) Quel temps d’interception donnerait une croûte épaisse de $30\,\mathrm{km}$ avec les mêmes vitesses ? (3) Comparer à l’épaisseur moyenne de la croûte continentale.

Solution

Solution de Exercice 11.15.

(1) $h = 9.5 \times 6.3 \times 8.1/\bigl(2\sqrt{65.61 - 39.69}\bigr) \approx 484.8/10.18 \approx 48\,\mathrm{km}$. (2) $\sin i_c = 6.3/8.1 \approx 0.778$, $\cos i_c \approx 0.629$, et $t_i = 2 \times 30 \times 0.629/6.3 \approx 6.0\,\mathrm{s}$. (3) Sous la chaîne, la croûte est épaisse d’environ $48\,\mathrm{km}$, plus que la moyenne continentale d’environ $41\,\mathrm{km}$ et près de la moyenne des chaînes de montagnes : les hautes chaînes reposent sur une croûte épaisse.

11.6 Problème : trouver le Moho

Problème 11.1

Problème du week-end — l’épaisseur de la croûte d’après quinze stations

Un petit séisme se produit à très faible profondeur sous un continent. Quinze stations alignées à partir de l’épicentre enregistrent les instants d’arrivée de la première onde P et, quand on peut la lire, d’une seconde. Les lectures ci-dessous sont inventées, mais calculées comme les trouverait une vraie campagne, au dixième de seconde près. Pg est l’onde qui traverse la croûte, Pn celle qui a longé le sommet du manteau.

distance ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)	distance ($\mathrm{km}$)	Pg ($\mathrm{s}$)	Pn ($\mathrm{s}$)
20	3.3	—	180	29.0	28.5
40	6.5	—	200	32.3	30.9
60	9.7	—	220	—	33.3
80	12.8	16.2	240	—	35.8
100	16.1	18.6	260	—	38.3
120	19.3	21.1	280	—	40.8
140	22.6	23.6	300	—	43.2
160	25.8	26.0

Partie I — L’onde directe.

1. Sur du papier millimétré, reporter les temps Pg et Pn en fonction de la distance ($1\,\mathrm{cm}$ pour $20\,\mathrm{km}$ et pour $5\,\mathrm{s}$). Comment les points Pg sont-ils disposés ?
2. Pourquoi la droite Pg passe-t-elle près de l’origine ?
3. À l’aide des stations situées à 20 et à $200\,\mathrm{km}$, calculer la pente de la droite Pg en secondes par kilomètre.
4. En déduire la vitesse $v_1$ des ondes P dans la croûte.
5. Si la croûte se prolongeait, quand l’onde Pg atteindrait-elle la station située à $300\,\mathrm{km}$ ?

Partie II — L’onde réfractée.

6. À l’aide des stations situées à 100 et à $300\,\mathrm{km}$, calculer la pente de la droite Pn et la vitesse $v_2$ des ondes P sous la croûte.
7. Comparer $v_2$ à la vitesse de l’onde Pn mesurée par Mohorovičić, environ $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Quelle roche se trouve sous la croûte ?
8. Calculer l’angle critique $i_c$.
9. Aucune station située à moins de $80\,\mathrm{km}$ n’enregistre d’onde Pn. À l’aide de la Proposition 11.6, expliquer pourquoi il existe une plus petite distance à laquelle l’onde conique peut être enregistrée.
10. Entre 80 et $160\,\mathrm{km}$, Pn arrive après Pg. Pourquoi l’enregistre-t-on quand même ?

Partie III — Le croisement.

11. D’après le tableau, entre quelles deux stations la première onde à arriver passe-t-elle de Pg à Pn ?
12. Écrire les équations des deux droites, à l’aide des points situés à $20\,\mathrm{km}$ (Pg) et à $100\,\mathrm{km}$ (Pn).
13. Calculer la distance à laquelle les deux droites se coupent.
14. Au-delà de $200\,\mathrm{km}$, aucune station n’enregistre Pg comme une onde distincte. Quelle onde une station située à $250\,\mathrm{km}$ enregistre-t-elle en premier, et à quel instant ?

Partie IV — La profondeur du Moho.

15. Prolonger la droite Pn jusqu’à l’axe des temps : quel est le temps d’interception $t_i$ ?
16. Calculer $\cos i_c$, et l’épaisseur $h$ de la croûte par la Méthode 11.9.
17. Vérification : avec ce $h$, calculer la distance de croisement à l’aide de la Proposition 11.7 et la comparer à la question 13.
18. Nouvelle vérification : calculer la distance critique $2h\tan i_c$ et la comparer à la station la plus proche qui enregistre Pn.
19. Les sismologues ne donnent $h$ qu’à quelques kilomètres près. Pourquoi une valeur plus fine n’est-elle pas justifiée ?
20. Conclure : à quelle profondeur se trouve le Moho sous cette région ? La croûte y est-elle mince ou épaisse pour un continent ?

Solution

Solution de Problème 11.1.

1. Les points Pg sont alignés sur une droite ; les points Pn sur une autre droite, moins pentue.

2. Le séisme se produit à très faible profondeur sous l’épicentre : une station placée à distance nulle enregistrerait l’onde aussitôt.

3. $(32.3 - 3.3)/(200 - 20) = 29.0/180 \approx 0.161$ $\mathrm{s}$ par kilomètre.

4. $v_1 = 180/29.0 \approx 6.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

5. $3.3 + 280 \times 0.161 \approx 48.4\,\mathrm{s}$.

6. $(43.2 - 18.6)/(300 - 100) = 24.6/200 = 0.123$ $\mathrm{s}$ par kilomètre, donc $v_2 = 200/24.6 \approx 8.13\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

7. Elle est proche de $8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : sous la croûte se trouve la roche du manteau le plus superficiel.

8. $\sin i_c = 6.21/8.13 \approx 0.763$, donc $i_c \approx 49.8{}^{\circ}$.

9. L’onde conique descend sous l’angle $i_c$ et remonte sous le même angle. Le premier point où elle peut revenir à la surface se trouve à $h\tan i_c$ au-delà du point où elle a atteint le Moho, lui-même à $h\tan i_c$ de la source : aucune station plus proche que $2h\tan i_c$ ne peut la recevoir.

10. Un sismomètre enregistre toutes les ondes qui l’atteignent, pas seulement la première ; l’onde Pn arrive après l’onde Pg, mais elle se voit encore comme une onde distincte sur l’enregistrement.

11. À $160\,\mathrm{km}$, Pg ($25.8\,\mathrm{s}$) arrive avant Pn ($26.0\,\mathrm{s}$) ; à $180\,\mathrm{km}$, Pn ($28.5\,\mathrm{s}$) arrive avant Pg ($29.0\,\mathrm{s}$). Le changement se produit entre ces deux stations.

12. Pg : $t = 3.3 + 0.1611\,(x - 20) \approx 0.08 + 0.1611\,x$. Pn : $t = 18.6 + 0.123\,(x - 100) = 6.30 + 0.123\,x$ ($x$ en kilomètres, $t$ en secondes).

13. $0.08 + 0.1611\,x = 6.30 + 0.123\,x$ donne $x \approx 6.22/0.0381 \approx 163\,\mathrm{km}$.

14. Pn, au bout de $6.30 + 0.123 \times 250 \approx 37.1\,\mathrm{s}$.

15. $t_i \approx 6.3\,\mathrm{s}$.

16. $\cos i_c \approx 0.646$, donc $h = 6.21 \times 6.3/(2 \times 0.646) \approx 30.3\,\mathrm{km}$.

17. $x_c = 2 \times 30.3 \times \sqrt{14.34/1.92} \approx 60.6 \times 2.73 \approx 165\,\mathrm{km}$, à $2\,\mathrm{km}$ près des $163\,\mathrm{km}$ de la question 13.

18. $\tan i_c \approx 1.18$ : $2 \times 30.3 \times 1.18 \approx 72\,\mathrm{km}$. La station la plus proche qui enregistre Pn est à $80\,\mathrm{km}$, et celle de $60\,\mathrm{km}$ ne l’enregistre pas : les deux concordent.

19. Les temps sont lus à $0.1\,\mathrm{s}$ près, et une erreur de $0.1\,\mathrm{s}$ sur le seul $t_i$ modifie $h$ d’environ $0.5\,\mathrm{km}$ ; les vitesses, tirées de pentes, sont elles aussi incertaines, et le séisme ne s’est pas produit exactement en surface. La croûte n’est pas non plus parfaitement uniforme. Une précision d’un ou deux kilomètres est le mieux que permettent les données.

20. Le Moho se trouve à environ $30\,\mathrm{km}$ sous cette région : la croûte y est plutôt mince pour un continent, où elle a en moyenne une épaisseur d’environ $41\,\mathrm{km}$ ; $30\,\mathrm{km}$ est une valeur typique des régions où la croûte a été étirée.