8Bassins versants, rivières et crues

Une rivière peut monter deux jours après la fin de la pluie, dans une ville où il n’est pas tombé une goutte. L’eau qui inonde ses rues est tombée plus tôt, sur des collines loin en amont ; elle a dévalé leurs pentes jusqu’aux ruisseaux, et les ruisseaux se sont réunis en la rivière qui l’a apportée, d’un seul coup, jusqu’à la ville. Pour comprendre une crue, il faut regarder au-delà de la rivière, vers toute la surface qui l’alimente, et y suivre l’eau. Ce chapitre définit cette surface, le bassin versant ; mesure ce qu’une rivière transporte, son débit ; suit une crue à son passage en un point de la rivière ; et montre comment un long relevé des crues indique à quelle fréquence revient une crue donnée.

Tu sais déjà

La pluie qui atteint le sol s’y infiltre, ruisselle à sa surface ou s’évapore ; le cycle de l’eau la ramène à la mer (les livres de physique). L’eau s’infiltre dans les roches perméables et les remplit sous la surface de la nappe, formant des aquifères qui alimentent sources et rivières (livre 1, année 6). Une rivière décrit des méandres dans sa plaine d’inondation plate, qu’elle recouvre lorsqu’elle déborde (livre 1, année 5). Les courbes de niveau joignent les points de même altitude ; les collines de Varden sont la région dessinée sur les cartes de cette série (livre 1, années 2 et 9).

Sécurité

L’eau de crue est bien plus dangereuse qu’elle n’en a l’air. Environ $15\,\mathrm{cm}$ d’eau rapide peuvent renverser un adulte, et environ $30\,\mathrm{cm}$ peuvent emporter une voiture ; la route en dessous s’est peut-être effondrée. Ne jamais marcher ni rouler dans l’eau de crue : faire demi-tour et prendre un autre chemin.

8.1 Le bassin versant

Toute goutte de pluie qui ne s’évapore pas ou ne s’infiltre pas en profondeur descend la pente. Elle suit la plus grande pente du terrain, rejoint une rigole, puis un ruisseau, et les ruisseaux se réunissent en rivières. Toutes les terres dont l’eau aboutit à la même rivière forment une seule unité.

Définition 8.1 (Bassin versant ; ligne de partage des eaux)

Le bassin versant d’un point d’une rivière est toute la surface de terres dont le ruissellement rejoint la rivière en amont de ce point et passe par ce point. La ligne de partage des eaux est la ligne qui sépare deux bassins versants voisins : elle suit les crêtes du relief, et la pluie qui tombe de part et d’autre s’écoule vers des rivières différentes.

Un bassin est toujours défini pour un point de la rivière, son exutoire : le bassin d’une rivière là où elle atteint la mer est le plus grand, et chaque point en amont possède un bassin plus petit inclus dans le premier. Deux gouttes tombées à un mètre l’une de l’autre, de part et d’autre d’une ligne de partage, peuvent finir dans des rivières différentes, et même dans des océans différents.

Le bassin de la rivière Varden

Un ordinateur trouve un bassin versant à partir d’une carte des altitudes en quelques étapes. La carte est découpée en petits carrés, de $50\,\mathrm{m}$ de côté ici. Pour chaque carré, l’ordinateur examine ses huit voisins et envoie l’eau vers celui qu’on atteint par la plus forte pente descendante. (Là où un petit creux n’a aucun voisin plus bas, on le remplit d’abord jusqu’au niveau auquel il déborderait, comme le fait une flaque.) Suivre ces étapes de carré en carré trace le chemin d’une goutte depuis n’importe quel point de la carte. Les carrés dont les gouttes atteignent la rivière forment le bassin.

Le bassin couvre $66\,\mathrm{km}^{2}$ des $80\,\mathrm{km}^{2}$ de la carte, environ les quatre cinquièmes. Au nord, la ligne de partage suit les crêtes des collines et passe par leurs sommets ; au-delà, le terrain descend dans la direction opposée à la rivière et son eau s’écoule vers une autre vallée. Dans le coin sud-ouest, une petite surface s’écoule aussi hors de la carte. La rivière elle-même entre sur la carte par l’ouest, si bien que son bassin complet est plus grand : il comprend aussi les terres d’amont, au-delà du bord de la carte.

Les plus grands fleuves

On compare les fleuves par la surface de leur bassin et par l’eau qu’ils transportent. Le plus grand fleuve du monde, de loin, est l’Amazone. Le Mississippi, le plus grand fleuve des États-Unis, draine environ $1\,150\,000$ milles carrés, soit environ 2.98 millions de $\mathrm{km}^{2}$, aux États-Unis et au Canada.

8.2 Le débit

Définition 8.2 (Débit)

Le débit d’une rivière en un point est le volume d’eau qui traverse une section de la rivière en une seconde. Il se mesure en mètres cubes par seconde, $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Un débit de $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ représente mille litres à chaque seconde, soit $86\,400\,\mathrm{m}^{3}$ par jour. L’eau coule le plus vite près de la surface au milieu du chenal et le plus lentement le long du fond et des berges, contre lesquels elle frotte ; la vitesse moyenne est la vitesse moyennée sur toute la section.

Proposition 8.3 (Débit, vitesse et section)

Le débit $Q$ d’une rivière est le produit de la vitesse moyenne $v$ de l’eau par l’aire $A$ de la section mouillée :

$$Q = v\,A.$$

Une rivière de section $50\,\mathrm{m}^{2}$ qui coule à une vitesse moyenne de $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ transporte $1.2 \times 50 = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. En crue, les deux facteurs augmentent : l’eau devient plus profonde et plus large, donc la section grandit, et elle coule plus vite.

Mesurer un débit

Comme la vitesse change d’un bord à l’autre de la rivière, on la mesure en plusieurs points. On découpe la rivière en bandes verticales ; dans chacune, on mesure la profondeur et la vitesse, et on additionne les débits des bandes.

Méthode 8.4 (La méthode vitesse–surface)

1. Tendre un ruban gradué en travers de la rivière et choisir des verticales à intervalles réguliers $w$ le long de celui-ci.
2. Sur chaque verticale, mesurer la profondeur $d$ et, avec un moulinet, la vitesse moyenne $v$ de l’eau sur cette profondeur.
3. Chaque verticale représente une bande de largeur $w$ et d’aire $w\,d$ ; son débit vaut $v\,w\,d$.
4. Additionner les débits de toutes les bandes : $Q = \sum v\,w\,d$. La section vaut $A = \sum w\,d$ et la vitesse moyenne $Q/A$.

Exemple 8.5 (Un jaugeage)

Dans le ruisseau de la figure, les cinq bandes, larges chacune de $2\,\mathrm{m}$, ont pour aires $2 \times 0.4 = 0.8$, $2.0$, $2.8$, $2.2$ et $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ : la section vaut $8.8\,\mathrm{m}^{2}$. Leurs débits sont $0.3 \times 0.8 = 0.24$, $0.6 \times 2.0 = 1.20$, $0.8 \times 2.8 = 2.24$, $0.7 \times 2.2 = 1.54$ et $0.4 \times 1.0 = 0.40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, si bien que le ruisseau transporte $Q \approx 5.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. La vitesse moyenne vaut $5.62/8.8 \approx 0.64\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, moins que les $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ du milieu du ruisseau.

Un jaugeage prend du temps et ne peut se faire en continu. Une station hydrométrique enregistre plutôt le niveau de l’eau, sans interruption. Quelques jaugeages faits à différents niveaux donnent une courbe qui relie le niveau au débit, et la station convertit chaque niveau enregistré en débit.

Les grands fleuves transportent des débits énormes. De 1972 à 2003, l’Amazone a apporté à l’océan Atlantique en moyenne environ $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, à $6\,\%$ près : environ $17\,\%$ de toute l’eau douce que les fleuves du monde apportent à la mer. Le Mississippi apporte en moyenne $593\,000$ pieds cubes par seconde, environ $16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, au golfe du Mexique : l’Amazone en transporte quelque douze fois plus.

8.3 L’hydrogramme

Définition 8.6 (Hydrogramme ; débit de base ; temps de réponse)

Un hydrogramme est le graphique du débit d’une rivière en un point en fonction du temps. Le débit de base est la part du débit alimentée par les eaux souterraines, qui fait couler la rivière entre les pluies. Le temps de réponse d’une crue est la durée qui sépare le maximum de la pluie sur le bassin du maximum du débit.

L’eau d’un orage atteint la rivière à des moments différents. La pluie tombée près du chenal arrive en quelques minutes ou quelques heures ; la pluie tombée loin en amont met bien plus longtemps, puisqu’elle doit descendre les pentes puis suivre la rivière. Le débit monte donc fortement, sur la courbe de montée, pendant que l’eau des pentes proches arrive, atteint son pic quand le plus d’eau arrive à la fois, et redescend plus lentement, sur la courbe de décrue, à mesure que s’écoule la dernière eau des recoins éloignés du bassin et du sol. Plus le bassin est grand, plus le temps de réponse est long : quelques heures pour un petit ruisseau, plusieurs jours pour un grand fleuve.

Certains bassins donnent des crues éclair, avec un pic haut et soudain et un temps de réponse court ; d’autres donnent des crues lentes et étalées. La même pluie donne une crue plus soudaine quand :

• le bassin est petit et pentu, si bien que l’eau a un trajet court et rapide ;
• le sol laisse peu d’eau s’infiltrer : roche nue, argile, sol déjà gorgé d’eau, sol gelé, et surtout les toits, les routes et les parkings d’une ville, qui envoient presque toute la pluie directement dans les égouts et les ruisseaux ;
• le bassin possède un réseau dense de ruisseaux et d’égouts, qui collecte l’eau rapidement.

Les forêts, les sols profonds et perméables et les larges plaines d’inondation font l’inverse : elles retiennent l’eau et la relâchent lentement, ce qui abaisse et retarde le pic.

Une crue réelle

Le Potomac draine un bassin de $11\,560$ milles carrés, environ $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$, en amont d’une station hydrométrique proche de Washington, dans l’est des États-Unis. En janvier 1996, la station a enregistré l’hydrogramme ci-dessous.

Les jours précédant la crue, la rivière transportait environ $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, son débit de base. Le 21 janvier, la moyenne journalière a atteint $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, presque trente fois plus. Répartie sur tout le bassin, l’eau passée à la station ce jour-là formerait une couche $9231 \times 86400 / (29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$, soit environ $27\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur : une forte pluie, livrée en un seul jour par tout le bassin à la fois.

8.4 Les crues et leur période de retour

Quelle crue une ville doit-elle attendre ? La réponse vient du passé : une station hydrométrique qui fonctionne depuis des décennies a enregistré le plus fort débit de chaque année, le pic annuel. Les petits pics reviennent presque chaque année, les grands rarement. Plus une crue est rare, plus elle est forte.

Définition 8.7 (Période de retour)

La période de retour $T$ d’une crue est l’intervalle moyen, en années, entre les années dont le pic annuel l’égale ou la dépasse. Une crue de période de retour $T$, une crue de $T$ ans, a une probabilité $1/T$ d’être égalée ou dépassée au cours d’une année quelconque.

Une crue centennale n’est pas une crue qui vient une fois tous les cent ans, comme un horaire. C’est une crue qui a une chance sur cent d’être égalée ou dépassée chaque année, toutes les années, quoi qu’il se soit passé l’année précédente. Deux peuvent survenir deux années de suite ; un siècle peut passer sans aucune.

Méthode 8.8 (Périodes de retour à partir d’un relevé de pics annuels)

1. Dresser la liste des pics annuels de $n$ années.
2. Les classer du plus grand (rang $m = 1$) au plus petit (rang $m = n$).
3. Attribuer au pic de rang $m$ la période de retour $T = (n + 1)/m$.
4. Tracer les pics en fonction de $T$ sur une échelle logarithmique de $T$, et lire le débit pour la période de retour voulue.

Le plus grand des $n$ pics reçoit ainsi $T = n + 1$ ans : dans un relevé de $95$ ans, $96$ ans. La formule traduit ce que montre le relevé : le pic de rang $m$ a été égalé ou dépassé au cours de $m$ des $n$ années, environ une fois tous les $n/m$ ans. La méthode ne peut pas aller de façon fiable au-delà de la durée du relevé : un relevé de $50$ ans dit peu de chose de la crue de $1000$ ans.

Chiffres de 2026

Dans le relevé du Potomac près de Washington, de 1931 à 2025, les cinq plus grands pics annuels sont survenus en mars 1936 ($13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$), en octobre 1942, en juin 1972, en avril 1937 et en janvier 1996, les deux derniers à égalité, à $9830\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

La probabilité d’une crue sur de nombreuses années

Une maison ou un pont reste debout des décennies. Ce qui compte pour eux n’est pas la probabilité d’une crue en un an, mais sur toute leur durée de vie.

Proposition 8.9 (Au moins une crue en $N$ ans)

Si les années sont indépendantes les unes des autres, la probabilité qu’une crue de période de retour $T$ soit égalée ou dépassée au moins une fois en $N$ ans vaut

$$P = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^{N}.$$

Pour une crue centennale sur trente ans, $(0.99)^{30} \approx 0.740$, et $P \approx 0.26$ : une chance sur quatre. Sur cent ans, $(0.99)^{100} \approx 0.366$ et $P \approx 0.63$ : il est loin d’être certain que la crue centennale survienne en cent ans.

8.5 Barrages et digues

On construit depuis longtemps des ouvrages qui modifient le passage d’une crue. Deux d’entre eux le modifient en sens opposés.

Un barrage retient une retenue d’eau. Quand une crue arrive, une partie de son eau est stockée dans la retenue, dont le niveau monte, puis relâchée ensuite, sur une durée plus longue. En aval passe le même volume d’eau, mais étalé : le pic est plus bas et plus tardif. Une retenue n’abaisse une crue que tant qu’il lui reste de la place ; une fois pleine, toute l’eau qui y entre passe.

Une digue est un remblai de terre construit le long d’une rivière pour tenir ses crues à l’écart de la plaine d’inondation. Entre les digues, l’eau ne peut s’étaler ; pour faire passer le même débit par une section plus étroite, elle doit monter plus haut et couler plus vite. Les terres situées derrière les digues restent au sec, tant que les digues tiennent et ne sont pas submergées. Mais la plaine d’inondation ne stocke plus d’eau pendant la crue, si bien qu’une plus grande part de celle-ci descend vers l’aval, et plus tôt.

8.6 Exercices

Exercice 8.1 ★

Définir un bassin versant et une ligne de partage des eaux. Pourquoi deux gouttes de pluie tombées à un mètre l’une de l’autre peuvent-elles finir dans deux mers différentes ?

Solution

Solution de Exercice 8.1.

Le bassin versant d’un point d’une rivière est toute la surface de terres dont le ruissellement rejoint la rivière en amont de ce point et passe par lui. La ligne de partage des eaux est la ligne, le long des crêtes, qui sépare deux bassins voisins. Deux gouttes tombées à un mètre l’une de l’autre, de part et d’autre d’une ligne de partage, descendent des versants opposés, dans deux bassins différents : leurs rivières peuvent atteindre des mers différentes.

Exercice 8.2 ★

Définir le débit d’une rivière et donner son unité. Combien de litres passent en un jour en un point d’une rivière de débit $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ?

Solution

Solution de Exercice 8.2.

Le débit est le volume d’eau qui traverse une section de la rivière chaque seconde, en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ représente $1000\,\mathrm{L}$ chaque seconde ; en un jour, $1000 \times 86\,400 = 86.4$ millions de litres.

Exercice 8.3 ★

Sur l’hydrogramme du Potomac de janvier 1996, lire le débit de base avant la crue, le débit de pointe et sa date, ainsi que le nombre de jours qu’a duré la montée.

Solution

Solution de Exercice 8.3.

Avant la crue, la rivière transportait environ $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ (entre environ $240$ et $390\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Le pic a été de $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ le 21 janvier. La montée a commencé le 18 janvier ($362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) : elle a duré trois jours.

Exercice 8.4 ★

Quelle est la probabilité qu’une crue de $50$ ans soit égalée ou dépassée l’an prochain ? Une crue de $50$ ans est survenue l’an dernier : est-elle moins probable cette année ?

Solution

Solution de Exercice 8.4.

$1/50 = 0.02$, soit $2\,\%$. Non : les années sont indépendantes ; la probabilité est de nouveau de $2\,\%$ cette année, quoi qu’il se soit passé l’an dernier.

Exercice 8.5 ★

Le Mississippi apporte en moyenne à la mer $593\,000$ pieds cubes d’eau par seconde ($1$ pied = $0.3048\,\mathrm{m}$). Convertir ce débit en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, et le comparer aux $206\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de l’Amazone.

Solution

Solution de Exercice 8.5.

Un pied cube vaut $0.3048^3 \approx 0.028\,32\,\mathrm{m}^{3}$, donc $593\,000 \times 0.02832 \approx 16\,800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. L’Amazone transporte $206\,000/16\,800 \approx 12$ fois plus.

Exercice 8.6 ★★

Une hydrologue jauge un ruisseau avec quatre verticales espacées de $1.5\,\mathrm{m}$. Les profondeurs sont $0.3$, $0.6$, $0.7$ et $0.4\,\mathrm{m}$ ; les vitesses moyennes $0.2$, $0.5$, $0.6$ et $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calculer la section, le débit et la vitesse moyenne.

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Aires des bandes : $1.5 \times 0.3 = 0.45$, $0.90$, $1.05$ et $0.60\,\mathrm{m}^{2}$ : $A = 3.0\,\mathrm{m}^{2}$. Débits : $0.2 \times 0.45 = 0.09$, $0.5 \times 0.90 = 0.45$, $0.6 \times 1.05 = 0.63$, $0.3 \times 0.60 = 0.18$ : $Q = 1.35\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Vitesse moyenne : $1.35/3.0 = 0.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Exercice 8.7 ★★

Un orage déverse $20\,\mathrm{mm}$ de pluie sur tout le bassin de la rivière Varden de la carte, $66\,\mathrm{km}^{2}$. Quel volume d’eau cela représente-t-il ? Si toute cette eau atteignait l’exutoire en deux jours, quel serait le débit supplémentaire moyen ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

$66 \times 10^6 \times 0.020 = 1.32 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$. Deux jours font $2 \times 86\,400 = 172\,800\,\mathrm{s}$ : $1.32 \times 10^6/172\,800 \approx 7.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ en moyenne.

Exercice 8.8 ★★

Les pics annuels d’une petite rivière sur neuf ans sont, en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ : $42$, $65$, $38$, $120$, $51$, $47$, $88$, $35$, $59$. Les classer et donner les périodes de retour des trois plus grands. Quelle est la période de retour du pic médian ?

Solution

Solution de Exercice 8.8.

Classés : 120, 88, 65, 59, 51, 47, 42, 38, 35. Avec $n = 9$, $T = 10/m$ : le plus grand (120) a $T = 10$ ans, le deuxième (88) 5 ans, le troisième (65) environ 3.3 ans. La médiane, 51, a le rang 5 et $T = 2$ ans : elle est égalée ou dépassée une année sur deux.

Exercice 8.9 ★★

Le même orage tombe sur deux bassins de même surface : l’un pentu, couvert par une ville, l’autre en pente douce et boisé. Esquisser leurs deux hydrogrammes sur les mêmes axes et expliquer les différences.

Solution

Solution de Exercice 8.9.

L’hydrogramme de la ville monte plus tôt et bien plus haut, et redescend vite : sur des pentes fortes, des toits et des routes, peu d’eau s’infiltre et le ruissellement atteint le ruisseau vite et d’un seul coup ; son temps de réponse est court. L’hydrogramme du bassin boisé monte plus tard, vers un pic plus bas et plus large : le sol et la forêt absorbent une grande partie de la pluie et la relâchent lentement, et l’eau s’écoule lentement sur des pentes douces. Son débit de base reste plus élevé après l’orage.

Exercice 8.10 ★★

Au pic du 21 janvier 1996, le Potomac transportait $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ depuis un bassin de $29\,900\,\mathrm{km}^{2}$. Quelle hauteur d’eau, répartie sur tout le bassin, représente une journée de ce débit ? Comparer au débit de base de $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

Solution

Solution de Exercice 8.10.

$9231 \times 86\,400 \approx 7.98 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, répartis sur $29\,900 \times 10^6 = 2.99 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$ : environ $0.027\,\mathrm{m}$, soit $27\,\mathrm{mm}$. Le débit de base donne $330 \times 86\,400/2.99 \times 10^{10} \approx 0.001\,\mathrm{m}$, environ $1\,\mathrm{mm}$ par jour : le jour du pic a transporté environ 28 fois plus.

Exercice 8.11 ★★

Quelle est la probabilité qu’une crue de $10$ ans survienne au moins une fois en $10$ ans ? Qu’elle ne survienne pas du tout pendant ces dix ans ?

Solution

Solution de Exercice 8.11.

$P = 1 - 0.9^{10} \approx 1 - 0.349 = 0.651$ : environ $65\,\%$. Elle ne survient pas du tout avec une probabilité $0.9^{10} \approx 0.35$, environ $35\,\%$.

Exercice 8.12 ★★★

Le débit qui entre dans une retenue pendant une crue monte régulièrement de $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ à $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ en un jour, puis redescend régulièrement à $0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ en deux jours (débit de base négligé). Quel volume la crue apporte-t-elle ? Le barrage laisse passer au plus $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, et la retenue peut stocker $60$ millions de $\mathrm{m}^{3}$. Peut-elle retenir tout ce qui dépasse $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ?

Solution

Solution de Exercice 8.12.

L’hydrogramme est un triangle de trois jours de long et de $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de haut : son aire vaut $\tfrac12 \times 1200 \times 3 \times 86\,400 \approx 1.56 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$, soit $156$ millions de mètres cubes. La partie au-dessus de $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ est un triangle plus petit de même forme, trois fois plus petit en hauteur ($400$ au lieu de $1200$) et en durée (un jour au lieu de trois) : $\tfrac12 \times 400 \times 86\,400 \approx 1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{3}$, soit $17$ millions de mètres cubes. C’est moins que les $60$ millions que peut stocker la retenue : oui.

Exercice 8.13 ★★★

Une rivière large de $100\,\mathrm{m}$ est pleine jusqu’à ses berges à $800\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, avec une vitesse de $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Une crue de $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ arrive.

1. Sans digues, les $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ supplémentaires s’étalent sur une plaine d’inondation large de $900\,\mathrm{m}$, où ils coulent à $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Quelle est la profondeur de l’eau sur la plaine ?
2. Avec des digues, toute la crue passe entre elles, à $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Quelle est la profondeur de la rivière, et de combien dépasse-t-elle ses berges ?

Solution

Solution de Exercice 8.13.

Pleine jusqu’à ses berges, la rivière est profonde de $800/(100 \times 2) = 4\,\mathrm{m}$. (1) La plaine d’inondation fait passer $400\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ sur $900\,\mathrm{m}$ à $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : sa profondeur vaut $400/(900 \times 0.5) \approx 0.9\,\mathrm{m}$. (2) Entre les digues : $1200/(100 \times 2) = 6\,\mathrm{m}$ de profondeur, $2\,\mathrm{m}$ au-dessus de ses berges, plus de deux fois la profondeur sur la plaine sans digues.

Exercice 8.14 ★★★

Quelle période de retour $T$ donne à une crue une chance sur deux de survenir au moins une fois en $30$ ans ?

Solution

Solution de Exercice 8.14.

On cherche $(1 - 1/T)^{30} = 0.5$, donc $1 - 1/T = 0.5^{1/30} \approx 0.97716$, $1/T \approx 0.02284$ et $T \approx 44$ ans.

Exercice 8.15 ★★★

Une petite carte est découpée en carrés de $100\,\mathrm{m}$ ; leurs altitudes en mètres sont données ci-dessous (le nord en haut). L’eau quitte chaque carré vers le plus bas de ses quatre voisins (nord, sud, est, ouest) s’il est plus bas ; les carrés à $34\,\mathrm{m}$ (coin nord-ouest) et à $30\,\mathrm{m}$ (coin sud-est) sont les exutoires de deux ruisseaux.

34	38	46	50
37	42	48	47
45	49	44	39
51	46	37	30

Tracer la direction d’écoulement de chaque carré, trouver le bassin de chaque exutoire et sa surface, et tracer la ligne de partage des eaux.

Solution

Solution de Exercice 8.15.

Chaque carré envoie son eau vers son voisin le plus bas (lignes du nord au sud, colonnes de l’ouest à l’est) :

exutoire	ouest	ouest	ouest
nord	ouest	ouest	sud
nord	nord	sud	sud
nord	est	est	exutoire

En suivant les flèches, les carrés 47, 39, 44, 37, 46 et 30 s’écoulent vers l’exutoire sud-est : 6 carrés, $0.06\,\mathrm{km}^{2}$. Les 10 autres carrés s’écoulent vers l’exutoire nord-ouest : $0.10\,\mathrm{km}^{2}$. La ligne de partage part du bord est entre 50 et 47, puis passe entre 48 et 47, entre 48 et 44, entre 49 et 44, entre 49 et 46, et entre 51 et 46 jusqu’au bord sud.

8.7 Problème : la crue centennale

Problème 8.1

Problème du week-end — à quelle fréquence la rivière entre-t-elle en ville ?

Imaginons une ville sur le Potomac, juste en amont de Washington, près d’une station hydrométrique qui enregistre chaque année le plus fort débit de la rivière depuis 1931. Les pics annuels sont représentés ci-dessous ; l’hydrogramme de janvier 1996 est donné dans le chapitre.

Partie I — Le bassin et le débit.

1. Le bassin de la station couvre $11\,560$ milles carrés ($1$ mille = $1.609\,\mathrm{km}$). Convertir cette surface en $\mathrm{km}^{2}$.
2. Quelle ligne d’une carte délimite cette surface ?
3. Le plus grand pic, le 19 mars 1936, était de $484\,000$ pieds cubes par seconde. Le convertir en $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ($1$ pied = $0.3048\,\mathrm{m}$).
4. Le pic annuel médian vaut $3341\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Combien de fois la crue de 1936 dépassait-elle la médiane ?
5. Supposons qu’au pic de 1936 la rivière ait été large de $400\,\mathrm{m}$ et profonde de $8\,\mathrm{m}$ en moyenne à la station. Quelle aurait été sa vitesse moyenne ?

Partie II — Lire la crue de 1996.

6. Sur l’hydrogramme de janvier 1996, quel était le débit de base les jours précédant la crue ?
7. Quel a été le débit journalier de pointe, et quel jour ?
8. Combien de jours a duré la montée, des $362\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ du 18 janvier jusqu’au pic ?
9. Quelle hauteur d’eau, rapportée à tout le bassin, le jour du pic a-t-il fait passer à la station ?
10. Une seconde montée, plus faible, culmine le 29 janvier. Que révèle-t-elle de l’eau qui atteint le bassin ?
11. Le débit était revenu vers $410\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ le 7 février. Combien de temps après le pic était-ce ? Pourquoi la courbe de décrue dure-t-elle plus longtemps que la courbe de montée ?

Partie III — Classer les crues.

12. Le relevé compte $n = 95$ pics annuels. Quelle période de retour la méthode attribue-t-elle au plus grand ?
13. Le pic d’octobre 1942 ($12\,658\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) est classé deuxième. Quelle est sa période de retour ?
14. Le pic de juin 1972 ($10\,166\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$) est classé troisième. Quelle est sa période de retour ?
15. Les crues d’avril 1937 et de janvier 1996 ont été égales ($9826\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Avec les rangs 4 et 5, quelles périodes de retour reçoivent-elles ? Le fait de partager une valeur compte-t-il beaucoup ici ?
16. Sur le diagramme en barres, compter les années dont le pic a dépassé $9500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. Estimer la probabilité d’un tel pic au cours d’une année quelconque, et sa période de retour.

Partie IV — La probabilité d’une crue.

17. Quelle est la probabilité qu’une crue de $100$ ans soit égalée ou dépassée au cours d’une année donnée ?
18. Quelle est la probabilité qu’elle ne le soit pas, cette année-là ?
19. Quelle est la probabilité qu’elle ne survienne pas en $30$ ans, la durée pendant laquelle une famille peut habiter une maison au bord de la rivière ?
20. Quelle est la probabilité d’au moins une crue de $100$ ans en $30$ ans ?

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. $11\,560 \times 1.609^2 \approx 29\,900\,\mathrm{km}^{2}$.

2. La ligne de partage des eaux du bassin situé en amont de la station.

3. $484\,000 \times 0.3048^3 \approx 13\,700\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

4. $13\,705/3341 \approx 4.1$ fois.

5. $A = 400 \times 8 = 3200\,\mathrm{m}^{2}$ et $v = Q/A = 13\,705/3200 \approx 4.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Environ $330\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

7. $9231\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$, le 21 janvier.

8. Trois jours.

9. $9231 \times 86\,400/(29\,900 \times 10^6) \approx 0.027\,\mathrm{m}$ : environ $27\,\mathrm{mm}$.

10. De l’eau nouvelle a atteint la rivière : une autre chute de pluie sur le bassin (ou une fonte de neige) a envoyé une seconde impulsion de ruissellement, plus faible.

11. Dix-sept jours après le pic. La montée vient du ruissellement des pentes proches des ruisseaux, qui arrive vite et d’un seul coup ; sur la courbe de décrue, la rivière reçoit encore l’eau des parties les plus éloignées du bassin et l’eau qui s’écoule lentement hors du sol.

12. $T = n + 1 = 96$ ans.

13. $96/2 = 48$ ans.

14. $96/3 = 32$ ans.

15. $96/4 = 24$ ans et $96/5 = 19.2$ ans. Peu : dans les deux cas, ce débit revient environ une fois en vingt ans.

16. Cinq années (1936, 1937, 1943, 1972 et 1996) : $5/95 \approx 0.053$, environ $5\,\%$ par an, soit une période de retour d’environ $96/5 \approx 19$ ans.

17. $1/100 = 0.01$, soit $1\,\%$.

18. $1 - 0.01 = 0.99$.

19. $0.99^{30} \approx 0.740$.

20. $1 - 0.740 = 0.26$ : la probabilité d’au moins une crue centennale en 30 ans est d’environ $26\,\%$, une sur quatre.