24La chaleur interne de la Terre

Entre 1987 et 1995, près du village de Windischeschenbach, en Bavière, des géologues ont foré un trou de $9101\,\mathrm{m}$ de profondeur dans la croûte continentale. Au fond, la roche était à environ $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : trop chaude pour forer plus loin.

Passer d’environ $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en surface à $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $9.1\,\mathrm{km}$, c’est une hausse d’environ $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre, une valeur typique. Partout sur Terre, la température augmente vers le bas : la chaleur sort donc de la Terre en permanence. Ce chapitre mesure ce flux, cherche d’où vient la chaleur, et montre comment elle se déplace.

Tu sais déjà

Le géotherme est la courbe de la température en fonction de la profondeur sous un lieu, et le gradient géothermique la hausse de température par kilomètre ; les forages mesurent 25 à $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre près de la surface (Chapitre 12). Certains atomes sont radioactifs : ils se désintègrent au hasard, leur nombre diminuant de moitié à chaque demi-vie, et chaque désintégration libère de l’énergie, qui finit en chaleur (les livres de physique). Une cellule de convection est une boucle de fluide chauffé par le bas, qui monte, s’étale, se refroidit et redescend (livre 1, année 8). À un point chaud, une plaque se déplace au-dessus d’un panache de manteau chaud (Chapitre 13).

24.1 Gradient et flux géothermique

Définition 24.1 (Flux géothermique)

Le flux géothermique (ou flux de chaleur) en un lieu est la puissance qui sort de l’intérieur de la Terre à travers chaque mètre carré de sa surface en ce lieu. On le mesure en milliwatts par mètre carré ($\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$).

La chaleur va du chaud vers le froid, et plus le gradient de température est fort, plus elle s’écoule vite. La quantité qui passe dépend aussi de la roche : chaque roche a une conductivité thermique $k$, en watts par mètre et par kelvin, que définissent les livres de physique.

Proposition 24.2 (Flux géothermique et gradient)

À travers une roche de conductivité thermique $k$ dans laquelle la température augmente avec la profondeur selon un gradient $G$ (en kelvins par mètre), le flux géothermique dirigé vers la surface vaut

$$q = k\,G .$$

Cette loi de la conduction, due à Fourier, est admise ici ; les livres de physique la démontrent sous une forme générale.

Méthode 24.3 (Un flux géothermique à partir d’un forage)

1. Mesurer la température à plusieurs profondeurs d’un forage, une fois que le trou a eu le temps de revenir à la température de la roche.
2. Tracer la température en fonction de la profondeur et prendre la pente : c’est le gradient $G$, converti en kelvins par mètre.
3. Mesurer la conductivité $k$ de la roche sur des carottes, au laboratoire.
4. Multiplier : $q = kG$, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, puis convertir en $\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Exemple 24.4 (Un forage dans un granite)

Un forage dans un granite de conductivité $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ mesure un gradient de $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre, soit $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. Alors $q = 2.72 \times 0.029 \approx 0.079\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, environ $79\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

Plus de 38 000 mesures de ce type ont été réunies en une carte de la Terre entière. Les continents perdent en moyenne $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, les fonds océaniques $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ; sur toute la surface, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Multiplié par la surface de la Terre, $5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, le total vaut

environ 47 térawatts, à 2 près.

Les fonds océaniques perdent le plus là où ils sont les plus jeunes. La lithosphère nouvelle quitte la dorsale chaude, et se refroidit en s’éloignant ; son flux géothermique diminue comme l’inverse de la racine carrée de son âge.

24.2 D’où vient la chaleur ?

La chaleur a deux sources. La première est la radioactivité.

Définition 24.5 (Production de chaleur radiogénique)

La production de chaleur radiogénique d’une roche est la chaleur libérée en elle par la désintégration de ses atomes radioactifs, par unité de volume et de temps, en microwatts par mètre cube ($\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$). Elle provient presque entièrement de quatre isotopes : l’uranium 238, l’uranium 235, le thorium 232 et le potassium 40.

Ces éléments sont concentrés dans les roches de la croûte continentale. D’après 2188 analyses, la production de chaleur médiane du granite est de $2.43\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, celle du basalte de $0.21\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, et celle des roches ultramafiques du manteau de seulement $0.11\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, environ vingt fois moins que le granite. Une couche de granite de $10\,\mathrm{km}$ d’épaisseur produit $2.43 \times 10^{-6} \times 10\,000 \approx 0.024\,\mathrm{W}$ sous chaque mètre carré, soit $24\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ : le tiers du flux géothermique des continents.

Combien de chaleur la radioactivité produit-elle dans la Terre entière ? KamLAND, un détecteur souterrain installé au Japon et contenant 1000 tonnes de liquide, capte les géoneutrinos, les antineutrinos libérés par la désintégration de l’uranium et du thorium à l’intérieur de la Terre : il a vu les premiers en 2005, puis, en 2135 jours d’enregistrement, environ 106 d’entre eux parmi 841 événements candidats. D’après ce comptage, joint à celui d’un détecteur installé en Italie, l’uranium 238 et le thorium 232 libèrent ensemble environ 20 térawatts. Le potassium 40 échappe au détecteur ; on sait qu’il ajoute environ $4\,\mathrm{TW}$, et l’uranium 235, déduit de l’uranium 238, environ $0.4\,\mathrm{TW}$. La radioactivité fournit donc environ $24\,\mathrm{TW}$, à peu près la moitié des $47\,\mathrm{TW}$ que perd la Terre.

Définition 24.6 (Refroidissement séculaire)

Le refroidissement séculaire de la Terre est la lente perte de la chaleur qu’elle a emmagasinée depuis sa formation, la chaleur primordiale : c’est la part du flux géothermique que la radioactivité ne remplace pas, et par laquelle le manteau et le noyau se refroidissent au fil des âges.

La radioactivité était plus forte dans le passé. Chaque isotope se désintègre : il y en avait donc davantage autrefois ; une demi-vie plus tôt, deux fois plus, et deux fois plus de chaleur. Remonter de $t$ années multiplie la chaleur d’un isotope de demi-vie $T$ par $2^{t/T}$.

Proposition 24.7 (La chaleur radiogénique dans le passé)

Si un isotope de demi-vie $T$ libère aujourd’hui une puissance $H_0$, il libérait

$$H(t) = H_0 \, 2^{t/T} = H_0\, e^{\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T},$$

il y a un temps $t$.

Il y a quatre milliards et demi d’années, la radioactivité libérait environ $116\,\mathrm{TW}$, presque cinq fois la valeur actuelle, et l’essentiel venait de l’uranium 235 et du potassium 40, les deux isotopes à vie courte, qui ont depuis presque disparu. La jeune Terre était bien plus chaude à l’intérieur qu’aujourd’hui.

24.3 Conduction et convection

La chaleur ne peut traverser un solide que par conduction, d’atome en atome, et dans la roche c’est très lent. La chaleur traverse par conduction une distance $L$ en un temps d’environ $L^2/\kappa$, où $\kappa$, la diffusivité thermique de la roche, vaut environ $1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Pour les $2891\,\mathrm{km}$ du manteau,

soit quelque 260 milliards d’années, près de soixante fois l’âge de la Terre. Si le manteau ne faisait que conduire la chaleur, la chaleur de ses profondeurs y serait encore presque entièrement.

Le manteau est solide, mais à l’échelle de millions d’années il flue, très lentement, comme un fluide très visqueux : l’asthénosphère s’écoule (Chapitre 12). Le manteau perd donc sa chaleur comme l’air au-dessus d’un radiateur, en la transportant.

Définition 24.8 (Convection thermique ; convection mantellique)

La convection thermique est le transport de chaleur par le mouvement de la matière elle-même : la matière plus chaude et plus légère monte, la matière plus froide et plus dense descend, comme dans une cellule de convection. La convection mantellique est la convection thermique du manteau solide de la Terre, qui flue à quelques centimètres par an et transporte la chaleur de l’intérieur vers la surface.

Les plaques sont la partie supérieure de cette convection. Aux dorsales, du manteau chaud monte et s’ajoute aux plaques ; la lithosphère se refroidit en s’éloignant, devient dense, et s’enfonce sous son propre poids aux zones de subduction : les panneaux plongeants sont la partie froide et descendante de l’écoulement, et l’imagerie sismique les montre s’enfonçant profondément dans le manteau. On pense que des panaches de roche chaude montent sous les points chauds depuis les profondeurs du manteau, peut-être depuis le voisinage immédiat du noyau.

L’essentiel de la chaleur quitte donc le manteau par convection, et seules les dernières dizaines de kilomètres, à travers la lithosphère rigide, sont traversées par conduction — la conduction que mesurent les forages.

24.4 La géothermie

Définition 24.9 (Énergie géothermique)

L’énergie géothermique (ou géothermie) est la chaleur de l’intérieur de la Terre utilisée par l’homme : de l’eau chaude ou de la vapeur tirée de roches chaudes, remontée par des puits pour le chauffage ou pour produire de l’électricité.

Le flux de chaleur qui sort de la Terre est minuscule là où il atteint la surface, environ $0.1\,\mathrm{W}$ sous chaque mètre carré, bien trop peu pour être utilisé directement. Il devient utilisable là où il est concentré à faible profondeur. Près des volcans, des rifts et des points chauds, et le long des limites de plaques, la roche chaude s’approche de la surface, et l’eau qui circule dans les roches perméables en revient chaude. Une centrale électrique a besoin d’eau très chaude ou de vapeur, d’environ 150 à $370\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; certains champs fournissent de la vapeur sèche, qui fait tourner directement les turbines. La première électricité tirée de la chaleur de la Terre fut produite en 1904 à Larderello, en Toscane : elle alluma cinq ampoules. Ailleurs, l’eau chaude puisée près de la surface est conduite dans les bâtiments pour les chauffer.

Un champ géothermique n’est pas inépuisable à l’échelle d’une vie humaine. Aux Geysers, en Californie, trop de puits ont puisé la vapeur, plus vite que le lent flux géothermique et la pluie ne pouvaient la renouveler : la pression de la vapeur est tombée à moins de la moitié de son maximum, et plus de $40\,\%$ de la puissance des centrales a été perdue. On réinjecte aujourd’hui de l’eau dans le champ pour ralentir le déclin.

24.5 Exercices

Exercice 24.1 ★

Donner le mot : (a) la puissance qui sort de l’intérieur à travers chaque mètre carré de surface ; (b) la chaleur libérée par la désintégration des atomes radioactifs dans une unité de volume de roche ; (c) la perte de la chaleur emmagasinée depuis la formation de la Terre ; (d) le transport de chaleur par le mouvement de la matière elle-même ; (e) la chaleur interne de la Terre utilisée par l’homme.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

(a) le flux géothermique ; (b) la production de chaleur radiogénique ; (c) le refroidissement séculaire ; (d) la convection thermique ; (e) l’énergie géothermique.

Exercice 24.2 ★

Convertir : (1) $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; (2) $46.7\,\mathrm{TW}$ en watts ; (3) $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre en kelvins par mètre.

Solution

Solution de Exercice 24.2.

(1) $0.0916\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $4.67 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$. (3) $0.029\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$ : une différence d’un degré Celsius est une différence d’un kelvin.

Exercice 24.3 ★

Nommer les quatre isotopes qui produisent presque toute la chaleur radiogénique, et dire lesquels le détecteur KamLAND peut voir.

Solution

Solution de Exercice 24.3.

Le thorium 232, l’uranium 238, le potassium 40 et l’uranium 235. KamLAND ne voit que les géoneutrinos du thorium 232 et de l’uranium 238.

Exercice 24.4 ★

À l’aide de $q = 490/\sqrt{t}$, calculer le flux géothermique à travers des fonds océaniques âgés de 1, 4, 25 et 49 millions d’années.

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$490/\sqrt{1} = 490\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ; $490/2 = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ; $490/5 = 98\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ; $490/7 = 70\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, à peu près la moyenne des continents.

Exercice 24.5 ★

Pourquoi mesure-t-on le flux géothermique dans des forages plutôt qu’à la surface même ? Pourquoi faut-il attendre après le forage avant de mesurer ?

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Près de la surface, la température du sol suit les jours et les saisons ; ce n’est qu’au-dessous de quelques mètres qu’elle reste à la température moyenne de l’année, et plus profond encore qu’elle révèle la chaleur venue d’en bas. Le forage brasse la roche et l’eau du trou et modifie leur température : on attend donc que le trou soit revenu à la température de la roche.

Exercice 24.6 ★★

Dans le forage KTB, la roche était à environ $265\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ à $9.1\,\mathrm{km}$. (1) En prenant $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ en surface, calculer le gradient moyen. (2) Avec une conductivité de $2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$, quel flux géothermique donne-t-il ? (3) Comparer à la moyenne des continents.

Solution

Solution de Exercice 24.6.

(1) $(265 - 10)/9.1 \approx 28.0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre, soit $0.0280\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$. (2) $q = 2.72 \times 0.0280 \approx 0.0762\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, environ $76\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Un peu au-dessus de la moyenne des continents, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, d’environ $7\,\%$ : une valeur continentale typique.

Exercice 24.7 ★★

Les continents couvrent $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ avec un flux géothermique moyen de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, les océans $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ avec $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. Calculer la puissance perdue par chacun, le total, et la part perdue à travers les fonds océaniques.

Solution

Solution de Exercice 24.7.

Continents : $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 1.47 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 14.7\,\mathrm{TW}$. Océans : $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 3.19 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 31.9\,\mathrm{TW}$. Total : environ $46.6\,\mathrm{TW}$, dont $31.9/46.6 \approx 68\,\%$, soit les deux tiers, sortent par les fonds océaniques.

Exercice 24.8 ★★

Une couche de granodiorite de $8\,\mathrm{km}$ d’épaisseur a une production de chaleur de $1.88\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (1) Quel flux géothermique produit-elle en surface ? (2) Quelle part cela représente-t-il de $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.8.

(1) $1.88 \times 10^{-6} \times 8000 \approx 0.0150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 15.0\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (2) $15.0/70.9 \approx 21\,\%$, le cinquième du flux géothermique.

Exercice 24.9 ★★

À quel âge les fonds océaniques perdent-ils autant de chaleur que le continent moyen, $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, d’après $q = 490/\sqrt{t}$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.9.

$\sqrt{t} = 490/70.9 \approx 6.91$, donc $t \approx 47.8$ millions d’années : les fonds océaniques âgés de plus de 48 millions d’années environ perdent moins de chaleur que le continent moyen.

Exercice 24.10 ★★

Combien de fois plus de chaleur l’uranium 235 libérait-il il y a 1.4 milliard d’années qu’aujourd’hui ? Et le potassium 40, il y a 2.5 milliards d’années ?

Solution

Solution de Exercice 24.10.

Uranium 235 : $2^{1.4/0.704} = 2^{1.99} \approx 4$ fois plus. Potassium 40 : $2^{2.5/1.248} = 2^{2.00} \approx 4$ fois plus. Dans les deux cas, on remonte de deux demi-vies.

Exercice 24.11 ★★

À l’aide de $t \approx L^2/\kappa$ avec $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, combien de temps la chaleur met-elle à traverser par conduction (1) une coulée de lave de $10\,\mathrm{m}$ d’épaisseur ; (2) une lithosphère de $100\,\mathrm{km}$ d’épaisseur ; (3) le manteau ? Exprimer chaque résultat dans des unités adaptées.

Solution

Solution de Exercice 24.11.

(1) $10^2/10^{-6} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, environ 3 ans. (2) $(10^5)^2/10^{-6} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{s}$, environ 320 millions d’années. (3) $(2.891 \times 10^{6})^2/10^{-6} \approx 8.4 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, environ 265 milliards d’années. Le temps croît comme le carré de la distance : dix fois plus épais, cent fois plus long.

Exercice 24.12 ★★★

Aujourd’hui, le thorium 232 libère environ $10.4\,\mathrm{TW}$, l’uranium 238 $9.6\,\mathrm{TW}$, le potassium 40 $4.0\,\mathrm{TW}$ et l’uranium 235 $0.42\,\mathrm{TW}$. À l’aide des demi-vies de la figure, calculer la chaleur de chacun il y a 3 milliards d’années, le total, et la part des deux isotopes à vie courte.

Solution

Solution de Exercice 24.12.

Multiplier chacun par $2^{3/T}$ : thorium 232, $10.4 \times 2^{3/14.0} \approx 12.1\,\mathrm{TW}$ ; uranium 238, $9.6 \times 2^{3/4.468} \approx 15.3\,\mathrm{TW}$ ; potassium 40, $4.0 \times 2^{3/1.248} \approx 21.2\,\mathrm{TW}$ ; uranium 235, $0.42 \times 2^{3/0.704} \approx 8.1\,\mathrm{TW}$. Total : environ $56.7\,\mathrm{TW}$, plus du double des $24.4\,\mathrm{TW}$ actuels. Les deux isotopes à vie courte en fournissent $(21.2 + 8.1)/56.7 \approx 52\,\%$, contre $4.42/24.4 \approx 18\,\%$ aujourd’hui.

Exercice 24.13 ★★★

La centrale de Nesjavellir peut fournir jusqu’à $300\,\mathrm{MW}$ de chaleur, transportée par environ $1640\,\mathrm{L}$ d’eau chaude par seconde. Avec une capacité thermique massique de $4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ et une masse de $1\,\mathrm{kg}$ par litre, de combien de degrés cette eau a-t-elle été réchauffée ? Quelle surface de continent moyen perd $300\,\mathrm{MW}$ de chaleur ?

Solution

Solution de Exercice 24.13.

La puissance est le produit du débit massique, de la capacité thermique massique et du réchauffement : $3 \times 10^{8} = 1640 \times 4180 \times \Delta T$, donc $\Delta T = 3 \times 10^{8}/(1640 \times 4180) \approx 44\,\mathrm{K}$. Le continent moyen perd $0.0709\,\mathrm{W}$ par mètre carré ; $300\,\mathrm{MW}$ représentent donc la perte naturelle de chaleur de $3 \times 10^{8}/0.0709 \approx 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{2}$, environ $4200\,\mathrm{km}^{2}$ : la centrale recueille une chaleur que la Terre laisse échapper naturellement sur des milliers de kilomètres carrés.

Exercice 24.14 ★★★

Supposer qu’une plaque met 100 millions d’années pour aller d’une dorsale à une fosse, et qu’une boucle de convection à travers tout le manteau en met environ 200 millions. (1) Comparer ces durées aux 260 milliards d’années de la conduction à travers le manteau. (2) Pourquoi la convection peut-elle transporter la chaleur tellement plus vite, alors que le manteau ne se déplace que de quelques centimètres par an ?

Solution

Solution de Exercice 24.14.

(1) 100 millions d’années, c’est $2.6 \times 10^{11}/1 \times 10^{8} = 2600$ fois moins que 260 milliards d’années ; 200 millions d’années, 1300 fois moins. (2) La convection transporte la chaleur avec la roche en mouvement : le temps qu’il faut pour traverser le manteau est son épaisseur divisée par la vitesse, $2891\,\mathrm{km}$ à quelques centimètres par an, soit une centaine de millions d’années. La conduction n’a pas de tel transporteur : son temps croît comme le carré de la distance, et sur des milliers de kilomètres il devient énorme.

Exercice 24.15 ★★★

Supposer que le noyau perd environ $10\,\mathrm{TW}$ de chaleur vers le manteau à travers la limite noyau–manteau, à $2891\,\mathrm{km}$ de profondeur. (1) Quelle part du refroidissement séculaire, $22.3\,\mathrm{TW}$, cela représenterait-il ? D’où vient le reste ? (2) Calculer le flux de chaleur moyen à travers la limite noyau–manteau, et le comparer au flux géothermique moyen en surface, $91.6\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$. (3) Pourquoi le noyau chaud peut-il réchauffer la base du manteau, alors que le manteau est solide ?

Solution

Solution de Exercice 24.15.

(1) $10/22.3 \approx 45\,\%$ ; le reste est le refroidissement du manteau lui-même, qui perd sa propre chaleur emmagasinée. (2) La limite se trouve au rayon $6371 - 2891 = 3480\,\mathrm{km}$ ; sa surface vaut $4\pi (3.48 \times 10^{6})^2 \approx 1.52 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, et $1 \times 10^{13}/1.52 \times 10^{14} \approx 0.066\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, environ $66\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$, quelque $72\,\%$ de la moyenne en surface. (3) La chaleur traverse la limite par conduction jusque dans la couche la plus basse du manteau ; réchauffée, cette roche devient plus légère que le manteau situé au-dessus et peut monter, en emportant la chaleur vers le haut : c’est ainsi que naîtraient les panaches, en profondeur.

Problème 24.1

Problème du week-end — le bilan thermique de la Terre

Le flux géothermique de la Terre a été mesuré en plus de 38 000 lieux. En moyenne, les continents perdent $70.9\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ sur $2.073 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, et les fonds océaniques $105.4\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ sur $3.028 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$.

Partie I — Flux géothermique et surfaces.

1. Vérifier que les deux surfaces ont pour somme la surface d’une sphère de rayon $6371\,\mathrm{km}$.
2. Quelle fraction de la surface les fonds océaniques représentent-ils ?
3. Pourquoi les fonds océaniques perdent-ils plus de chaleur par mètre carré que les continents ?
4. À l’aide de $q = 490/\sqrt{t}$, calculer le flux géothermique à travers des fonds océaniques âgés de 4 millions d’années.
5. Un forage dans un granite ($2.72\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$) mesure $26\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ par kilomètre. Son flux géothermique est-il supérieur ou inférieur à la moyenne continentale ?

Partie II — Le total.

6. Calculer la puissance perdue à travers les continents.
7. Calculer la puissance perdue à travers les fonds océaniques.
8. Les additionner : c’est le flux géothermique total de la Terre, en térawatts.
9. Quel est le flux géothermique moyen sur toute la surface ?
10. Si $10\,\mathrm{km}$ de granite ($24.3\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$) se trouvaient sous tous les continents, combien de térawatts produiraient-ils ? Comparer à la puissance perdue à travers les continents.

Partie III — La chaleur radiogénique.

11. KamLAND compte les géoneutrinos de l’uranium 238 et du thorium 232 : ensemble, ils libèrent environ $20.0\,\mathrm{TW}$, avec $3.9\,\mathrm{kg}$ de thorium dans la Terre pour chaque kilogramme d’uranium. Un kilogramme d’uranium libère $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ par son uranium 238 et $4.10\,\text{µ}\mathrm{W}$ par son uranium 235 ; un kilogramme de thorium, $26.3\,\text{µ}\mathrm{W}$. Calculer la chaleur de l’uranium 238, puis celle de l’uranium 235.
12. Le potassium 40 ajoute environ $4\,\mathrm{TW}$. Calculer la chaleur radiogénique totale.
13. Quel type de roche porte l’essentiel de ces éléments, et où se trouve-t-il ?
14. La chaleur radiogénique était-elle plus grande ou plus petite il y a 3 milliards d’années ? Pourquoi ?

Partie IV — Le refroidissement séculaire.

15. Quelle puissance n’est pas fournie par la radioactivité ?
16. D’où vient-elle ?
17. Calculer la part du flux géothermique fournie par le refroidissement séculaire.
18. Les modèles de composition de la Terre donnent une chaleur radiogénique de 11 à $38\,\mathrm{TW}$. Entre quelles parts la partie radiogénique se situe-t-elle alors ?
19. Qu’est-ce qui transporte l’essentiel de cette chaleur à travers le manteau ?
20. Résumer : quelle part de la perte de chaleur de la Terre la radioactivité fournit-elle aujourd’hui ?

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. $4\pi (6.371 \times 10^{6})^2 \approx 5.101 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, et $2.073 + 3.028 = 5.101$ : oui.

2. $3.028/5.101 \approx 59\,\%$, environ les trois cinquièmes.

3. Les fonds océaniques sont jeunes : ils naissent chauds aux dorsales et se refroidissent en s’éloignant, et une lithosphère jeune perd beaucoup de chaleur.

4. $490/\sqrt{4} = 245\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

5. $2.72 \times 0.026 \approx 0.0707\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} = 70.7\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$ : juste en dessous de la moyenne, pratiquement égal à elle.

6. $0.0709 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 14.7\,\mathrm{TW}$.

7. $0.1054 \times 3.028 \times 10^{14} \approx 31.9\,\mathrm{TW}$.

8. $14.7 + 31.9 \approx 46.6\,\mathrm{TW}$, les $47\,\mathrm{TW}$ de l’estimation publiée (la moyenne mondiale du chapitre donne $46.7\,\mathrm{TW}$, la valeur utilisée dans la suite).

9. $4.66 \times 10^{13}/5.101 \times 10^{14} \approx 0.0914\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, soit environ $91\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{2}$.

10. $0.0243 \times 2.073 \times 10^{14} \approx 5.0\,\mathrm{TW}$, le tiers des $14.7\,\mathrm{TW}$ perdus à travers les continents : la radioactivité de la croûte continentale fournit une grande part de leur flux géothermique.

11. Pour chaque kilogramme d’uranium, la Terre contient $3.9\,\mathrm{kg}$ de thorium, qui libèrent $3.9 \times 26.3 \approx 102.6\,\text{µ}\mathrm{W}$, contre $94.4\,\text{µ}\mathrm{W}$ pour l’uranium 238. L’uranium 238 produit donc $94.4/(94.4 + 102.6) \approx 0.479$ des $20.0\,\mathrm{TW}$ : environ $9.6\,\mathrm{TW}$. Uranium 235 : $9.59 \times 4.10/94.4 \approx 0.42\,\mathrm{TW}$.

12. $20.0 + 0.42 + 4 \approx 24.4\,\mathrm{TW}$.

13. Le granite et les autres roches de la croûte continentale, environ vingt fois plus riches que les roches ultramafiques du manteau.

14. Plus grande : chaque isotope était alors plus abondant, deux fois plus pour chaque demi-vie en arrière ; il y a 3 milliards d’années, le total valait plus du double de la valeur actuelle.

15. $46.7 - 24.4 = 22.3\,\mathrm{TW}$.

16. De la chaleur emmagasinée depuis la formation de la Terre : c’est le refroidissement séculaire du manteau et du noyau.

17. $22.3/46.7 \approx 48\,\%$.

18. De $11/46.7 \approx 24\,\%$ à $38/46.7 \approx 81\,\%$ : les géoneutrinos resserrent beaucoup cet intervalle.

19. La convection mantellique, qui transporte l’essentiel de la chaleur ; seules les dernières dizaines de kilomètres sont traversées par conduction.

20. $24.4/46.7 \approx 0.52$ : la radioactivité fournit aujourd’hui environ la moitié de la perte de chaleur de la Terre, et le lent refroidissement de la planète l’autre moitié.