Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

12De Lp-ruimten

De Lebesgue-integraal is gebouwd voor analyse; de $L^p$ -ruimten zijn waar die analyse leeft. Zij zijn Banachruimten (Riesz–Fischer) — de voltooiingen die Oefening 7.1 toonde dat de continue functies mistten — en zij ondersteunen een gladmakingstechnologie, convolutie tegen mollifiers, die elke $L^p$ -functie door $\mathcal C^\infty$ -functies benadert. Dit hoofdstuk bewijst de integraalversies van Hölder en Minkowski, volledigheid, de dichtheidsstellingen, en de regularisatiemachine, eindigend met de inclusie- en interpolatiegeografie van de $L^p$ -schaal. Doorheen is $(X, \mathcal A, \mu)$ een maatruimte en zijn functies complexwaardig; op $\R^d$ is de maat $\lambda_d$ .

12.1 Definitie; Hölder en Minkowski

Definitie 12.1

Voor $1 \leq p < \infty$ is $\mathcal L^p(\mu)$ de verzameling van meetbare $f$ met $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ , en $\mathcal L^\infty(\mu)$ de verzameling van $f$ begrensd buiten een nulverzameling, met $\norm f_\infty$ het essentiële supremum — de kleinste $M$ met $\abs f \leq M$ b.o. (het inf wordt bereikt: snijd de nulverzamelingen voor $M + \frac1n$ ). Omdat $\norm f_p = 0$ alleen $f = 0$ b.o. dwingt (Oefening 10.5), definiëren we

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ b.o.}\} :

elementen zijn klassen van functies modulo nulverzamelingen, en $\norm\cdot_p$ is een echte norm op $L^p$ .

Stelling 12.2 (Ongelijkheid van Hölder)

Zijn $1 \leq p, q \leq \infty$ met $\frac1p + \frac1q = 1$ (geconjugeerde exponenten). Voor meetbare $f, g$ :

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

met gelijkheid (voor $1 < p < \infty$ , eindige normen, $f,g \neq0$ ) d.e.s.d.a. $\abs f^p$ en $\abs g^q$ proportioneel b.o. zijn.

Bewijs. De gevallen $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ zijn direct ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ b.o.). Zij $1 < p < \infty$ ; normaliseer $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (homogeniteit; nul- of oneindige normen zijn triviaal). Youngs ongelijkheid $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ( $a, b \geq 0$ ; concaafheid van $\ln$ , als in Probleem 8.1) geeft puntsgewijs $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; integreer: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . Gelijkheid dwingt b.o. gelijkheid in Young, d.w.z. $\abs f^p = \abs g^q$ b.o. (na de normalisatie; die ongedaan makend, proportionaliteit). ∎

Stelling 12.3 (Ongelijkheid van Minkowski)

Voor $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

Bewijs. $p = 1, \infty$ : puntsgewijze/b.o. driehoeksongelijkheid. Voor $1 < p < \infty$ , neem $\norm{f+g}_p < \infty$ aan (anders gebruik $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ , uit convexiteit van $t^p$ , om te zien dat de linkerkant eindig is wanneer de rechter dat is). Dan

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

door Hölder, en $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ want $(p-1)q = p$ ; deel door $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (als nonzero; anders triviaal) en gebruik $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 Volledigheid en haar metgezellen

Stelling 12.4 (Riesz–Fischer)

Voor $1 \leq p \leq \infty$ is $L^p(\mu)$ een Banachruimte. Bovendien heeft elke rij die in $L^p$ convergeert een deelrij die bijna overal convergeert (met een $L^p$ -dominant in het geval $p < \infty$ ).

Bewijs. $p = \infty$ : een $\norm\cdot_\infty$ -Cauchyrij is, buiten een enkele nulverzameling (unie van aftelbaar veel), uniform Cauchy: zij convergeert uniform daarbuiten; klaar. Zij $p < \infty$ . Door Oefening 7.1(b) volstaat het absoluut convergente reeksen te sommeren: zij $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . Stel $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ en $G = \sum_k\abs{f_k}$ (puntsgewijs in $[0,\infty]$ ): door Minkowski $\norm{G_n}_p \leq M$ , en MCT ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) geeft $\int G^p \leq M^p$ : $G < \infty$ b.o., dus de reeks $\sum f_k(x)$ convergeert absoluut voor b.o. $x$ ; noem de som $S(x)$ (willekeurige waarde op de nulverzameling). Dan $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ , en DCT geeft $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : de reeks convergeert in $L^p$ .

De deelrij-uitspraak: als $f_n \to f$ in $L^p$ , kies $n_k$ met $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ; de reeks $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ valt onder het vorige argument: zij convergeert absoluut b.o., gedomineerd door een $G \in L^p$ , dus $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ b.o., en deze b.o.-limiet moet (een representant van) $f$ zijn (beide zijn $L^p$ -limieten). De dominant: $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

Opmerking 12.5

$L^p$ -convergentie impliceert geen b.o.-convergentie (de typemachine-rij, Oefening 12.3), noch omgekeerd (ontsnappende bulten): de twee modi zijn alleen via deelrijen en dominatie verbonden. De tegenvoorbeelden van Oefening 12.3 in gedachten houden is het beste vaccin.

12.3 Dichtheidsstellingen

Stelling 12.6

Zij $1 \leq p < \infty$ .

Eenvoudige functies (met steunen van eindige maat) zijn dicht in $L^p(\mu)$ .
In $L^p(\R^d)$ zijn de continue compact ondersteunde functies $\mathcal C_c(\R^d)$ dicht.
Translatie is continu op $L^p(\R^d)$ : schrijvend $\tau_hf = f(\cdot - h)$ , $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ als $h \to 0$ .

Geen van de drie geldt voor $p = \infty$ .

Bewijs. (1) Voor $f \geq 0$ : de dyadische $s_n \nearrow f$ van Stelling 10.4 voldoen $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : DCT. (Elke $s_n \leq f$ ligt in $L^p$ , en haar niveaus hebben eindige maat waar de waarde positief is: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) Split algemene $f$ in vier niet-negatieve delen.

(2) Door (1) volstaat het $\mathbf 1_A$ te benaderen, $A$ Borel met $\lambda_d(A) < \infty$ . Regulariteit (bewijs als in Stelling 9.13) geeft compact $K \subseteq A \subseteq U$ open met $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ; Urysohns functie

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

is continu, $1$ op $K$ , $0$ buiten $U$ , en kan compact ondersteund genomen worden (krimp $U$ eerst tot een begrensde open). Dan $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) Voor $g \in \mathcal C_c$ : uniforme continuïteit geeft $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ , met steunen in een vast compactum voor $\abs h \leq 1$ : $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . Voor algemene $f$ : kies $g \in \mathcal C_c$ met $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ; dan $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (translatie-invariantie van de norm).

Voor $p = \infty$ : uniforme benadering van $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ door continue functies is onmogelijk (sprong), en $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ voor $h \neq 0$ . ∎

12.4 Convolutie en regularisatie

Stelling 12.7 (Ongelijkheid van Young)

Zij $1 \leq p \leq \infty$ , $f \in L^1(\R^d)$ , $g \in L^p(\R^d)$ . Dan is $f * g$ b.o. gedefinieerd, behoort tot $L^p$ , en

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

Bewijs. $p = \infty$ : directe grens. $p = 1$ : Stelling 11.9. Zij $1 < p < \infty$ , $q$ geconjugeerd. Split $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ en pas Hölder toe:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

Verhef tot de $p$ -de macht en integreer in $x$ ; Tonelli op de tweede factor geeft $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ , d.w.z. $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — en de eindigheid van de Tonelli-integraal rechtvaardigt b.o. absolute convergentie als in Stelling 11.9. ∎

Definitie 12.8 (Mollifiers)

De functie

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

met $c$ normaliserend $\int\rho = 1$ , is $\mathcal C^\infty$ op $\R^d$ : het punt is dat $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ $\mathcal C^\infty$ is op $\R$ , al haar afgeleiden in $0^+$ zijnde $0$ (elke afgeleide is $P(1/t)\eu^{-1/t}$ voor een polynoom $P$ , die naar $0$ streeft; inductie). Voor $\varepsilon > 0$ stel $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : ondersteund in $\bar B(0, \varepsilon)$ , nog steeds van integraal $1$ .

Stelling 12.9 (Regularisatie)

Zij $1 \leq p < \infty$ en $f \in L^p(\R^d)$ . Dan:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ , met $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ;
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ als $\varepsilon \to 0$ ;
bijgevolg is $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ dicht in $L^p(\R^d)$ .

Bewijs. (1) Differentiatie onder de integraal (Stelling 10.15) in $x$ : voor $x$ in een bal $B$ , $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ met $K$ compact ( $y$ binnen $\varepsilon$ van $B$ ), en $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (Hölder tegen $\mathbf 1_K$ ): de stelling is van toepassing; itereer voor hogere afgeleiden.

(2) Omdat $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

en Minkowski’s integraalongelijkheid — of direct: Hölder/Jensen met de kansmaat $\rho_\varepsilon\dd y$ en Tonelli —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(de middelste stap: pas Jensens ongelijkheid toe, Oefening 12.10, op de inwendige $y$ -integraal, dan Tonelli). De integrand is ondersteund in $\norm y \leq \varepsilon$ en streeft daar uniform naar $0$ als $\varepsilon \to 0$ (Stelling 12.6(3)): de hele uitdrukking streeft naar $0$ .

(3) Benader $f$ door $g \in \mathcal C_c$ (Stelling 12.6(2)), dan $g$ door $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (compacte steun: som van steunen). ∎

Voorbeeld 12.10 (Mollificeren van $\abs x$ , met snelheden)

Neem $f(x) = \abs x$ op $\R$ (lokaal $L^1$ ; de stelling is van toepassing op elk begrensd venster) en een symmetrische mollifier $\rho_\varepsilon$ . Dan

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

is $\mathcal C^\infty$ ; weg van de knik gebeurt niets: voor $\abs x \geq \varepsilon$ is $\abs{x - y}$ lineair in $x$ op de steun van $\rho_\varepsilon$ , dus $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exact (symmetrie doodt de correctie). Nabij $0$ kost gladmaking precies

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

de benaderingsfout is beperkt tot de $\varepsilon$ -buurt van de singulariteit en is van haar grootte. Ondertussen $f_\varepsilon'' \geq 0$ overal ( $f$ is convex, en convolutie tegen $\rho_\varepsilon \geq 0$ bewaart convexiteit), met $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : de tweede afgeleide is een bult van massa $2$ geperst in breedte $O(\varepsilon)$ , dus $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Gladmaking is een ruil: uniforme fout $O(\varepsilon)$ tegen afgeleide-ontploffing $O(\varepsilon^{-1})$ — de exacte wisselkoers die kwantitatieve analyse (interpolatieongelijkheden, de ideeëncirkel van Probleem 12.1) formaliseert.

Gevolg 12.11 (Fundamenteel lemma van de variatierekening)

Zij $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (integreerbaar op compacta) met $\int f\varphi = 0$ voor elke $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . Dan $f = 0$ b.o.

Bewijs. Fixeer een bal $B = B(0, R)$ en zij $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . Voor $x \in B$ en $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ , de testfunctie zijnde $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . Maar $g * \rho_\varepsilon \to g$ in $L^1$ (Stelling 12.9): $g = 0$ b.o. op $B$ ; put $\R^d$ uit. ∎

12.5 De $L^p$ -geografie

Propositie 12.12

(a) Als $\mu(X) < \infty$ en $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , dan $L^q \subseteq L^p$ met $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) Op $\R^d$ (oneindige maat) zijn er geen inclusies: voor $p \neq q$ bestaan functies in $L^p\setminus L^q$ . (c) (Interpolatie) Als $p < r < q$ en $\alpha \in \intoo01$ gedefinieerd is door $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ , dan

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

in het bijzonder $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

Bewijs. (a) Hölder met exponenten $\frac qp$ en haar geconjugeerde: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ ( $q = \infty$ direct). (b) Nabij $0$ en nabij $\infty$ kalibreren machten $x^{-\alpha}$ : Oefening 12.2. (c) Schrijf $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ en pas Hölder toe met het geconjugeerde paar $\frac p{r\alpha}$ , $\frac q{r(1-\alpha)}$ (geconjugeerd precies door de definitie van $\alpha$ ): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

Methode 12.13

De $L^p$ -gereedschapskist, zoals overal hieronder gebruikt: om een identiteit of ongelijkheid voor alle $f \in L^p$ te bewijzen — bewijs haar op een dichte klasse ( $\mathcal C_c^\infty$ via Stelling 12.9) en breid uit door continuïteit (Stelling 7.2, beide kanten $L^p$ -continu); om $f = 0$ te bewijzen, test tegen $\mathcal C_c^\infty$ (Gevolg 12.11); om gladheid te winnen, convolueer; om exponenten te ruilen, Hölder en interpolatie. De Fouriertheorie van Hoofdstuk 14 is één lange toepassing van deze methode.

12.6 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

(a) Formuleer en bewijs de Cauchy–Schwarz-ongelijkheid in $L^2(\mu)$ als het geval $p = q = 2$ van Hölder. (b) Op een kansruimte, toon dat $p \mapsto \norm f_p$ niet-dalend is. (c) Wanneer is Hölder een gelijkheid voor $p = 1$ , $q = \infty$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

(a) Hölder bij $p = q = 2$ : $\int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ , d.w.z. Cauchy–Schwarz. Bewijs: normaliseer $\norm f_2 = \norm g_2 = 1$ ; Young $ab \leq a^2/2 + b^2/2$ met $a = \abs f$ , $b = \abs g$ en integreer: $\int\abs{fg} \leq 1$ .

(b) Op een kansruimte, voor $1 \leq p \leq q \leq \infty$ : schrijf $\int\abs f^p = \int\abs f^p\cdot 1$ en pas Hölder toe met exponenten $q/p$ en $(q/p)'$ : $\int\abs f^p \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\mu(X)^{1-p/q} = \norm f_q^p$ (want $\mu(X) = 1$ ). Dus $\norm f_p \leq \norm f_q$ : $p \mapsto \norm f_p$ is niet-dalend.

(c) Gelijkheid in $\int\abs{fg} \leq \norm f_1\norm g_\infty$ geldt d.e.s.d.a. $\abs g = \norm g_\infty$ $\mu$ -b.o. op $\{\abs f > 0\}$ (en het teken/argument van $g$ mag constant zijn waar $f \neq 0$ ): de ess-sup moet bereikt worden op de steun van $f$ .

Oefening 12.2 ★

Voor welke $p \in \intco1\infty$ behoren de volgende tot $L^p$ ?

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{op } \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{op } \R .

Besluit: op $\intoo01$ is kleine $p$ makkelijker, op $\intoo1\infty$ is grote $p$ makkelijker, en geen $L^p$ bevat een andere op $\R$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01}$ : $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ d.e.s.d.a. $-p/2 > -1$ , d.w.z. $p < 2$ . $x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty}$ : $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ d.e.s.d.a. $p/2 > 1$ , d.w.z. $p > 2$ . $\frac{1}{x^{1/2}(1+\abs{\ln x})}$ op $\intoo01$ : nabij $0$ als $x^{-1/2}$ tot op log; de substitutie $u = -\ln x$ zet $\int_0^{1/e}\frac{x^{-p/2}}{(-\ln x)^p}\dd x$ om in $\int^\infty e^{-u(1-p/2)}u^{-p}\dd u$ (of vergelijkbaar), eindig voor alle $p < 2$ en zelfs bij de log-correctie voor alle $p$ in de kritische zone — in feite voor alle $p$ dankzij de log in de noemer bij $p = 2$ . $\frac1{1+\abs x}$ op $\R$ : $\int_\R (1+\abs x)^{-p}\dd x < \infty$ d.e.s.d.a. $p > 1$ . Conclusie: op $\intoo01$ is kleine $p$ makkelijker (singulariteit in $0$ ); op $\intoo1\infty$ is grote $p$ makkelijker (staart); op $\R$ bevat geen $L^p$ een andere.

Oefening 12.3 ★★

(De typemachine) Enumereer de dyadische intervallen $I_1 = \intcc01$ , $I_2 = \intcc0{\frac12}$ , $I_3 = \intcc{\frac12}1$ , $I_4 = \intcc0{\frac14}$ , … en zij $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) Toon $f_n \to 0$ in elke $L^p(\intcc01)$ , $p < \infty$ , maar $(f_n(x))$ divergeert voor elke $x \in \intcc01$ . (b) Vertoon de b.o.-convergente deelrij beloofd door Stelling 12.4. (c) Omgekeerd geef een rij die b.o. convergeert maar niet in $L^1$ , en een die in $L^1$ convergeert maar in geen $L^p$ , $p > 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (dyadische lengten $\to 0$ over de enumeratie): $f_n \to 0$ in elke $L^p$ , $p < \infty$ . Maar elke $x \in \intcc01$ ligt in oneindig veel $I_n$ (op elke schaal een interval dat $x$ bevat) en oneindig veel complementen: $f_n(x)$ is oneindig vaak $0$ en $1$ , divergeert dus overal.

(b) Kies $n_k$ zodat $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ (mogelijk omdat $\norm{f_n}_p \to 0$ ): de reeks $\sum(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})$ convergeert absoluut b.o. door het bewijs van Riesz–Fischer, dus $f_{n_k}$ convergeert b.o. (Concreet: de deelrij van indicatoren van $\intcc0{2^{-k}}$ convergeert puntsgewijs naar $0$ buiten $\{0\}$ .)

(c) $f_n = n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ : $\to 0$ b.o., $\int = 1 \not\to 0$ (niet in $L^1$ ). $g_n = n^{1/p}\mathbf 1_{\intoo0{1/n}}$ voor vaste $p > 1$ : $\norm{g_n}_1 = n^{1/p-1} \to 0$ maar $\norm{g_n}_p = 1 \not\to 0$ (in $L^1$ maar niet in $L^p$ ).

Oefening 12.4 ★★

Zij $\mu(X) < \infty$ en $f \in L^\infty(\mu)$ , $f \neq 0$ . Toon dat $\norm f_p \to \norm f_\infty$ als $p \to \infty$ . (Bovengrens door (a) van Propositie 12.12; ondergrens door te integreren over $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ , van positieve maat.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

Bovengrens: door Propositie 12.12(a), $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty \to \norm f_\infty$ als $p \to \infty$ . Ondergrens: voor $\varepsilon > 0$ is $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ van positieve maat $m > 0$ (definitie van ess-sup): $\norm f_p \geq m^{1/p}(\norm f_\infty - \varepsilon) \to \norm f_\infty - \varepsilon$ . Laat $\varepsilon \to 0$ .

Oefening 12.5 ★★

(a) Waar precies gebruikt het bewijs van Stelling 12.6(3) $p < \infty$ ? (b) Toon dat $f \in L^\infty(\R)$ voldoet aan $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ d.e.s.d.a. $f$ een uniform continue representant heeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

(a) De stap “ $g \in \mathcal C_c$ dicht” in het bewijs van (3) roept (2) aan, die $p < \infty$ gebruikt: DCT op $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ faalt voor $p = \infty$ (geen $L^\infty$ -versie van MCT/DCT die eenvoudige functies naar $L^\infty$ tilt), en $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ kan niet uniform benaderd worden door continue functies. De driehoeksongelijkheid $\norm{\tau_hf - f}_\infty \leq 2\norm{f-g}_\infty + \norm{\tau_hg - g}_\infty$ zou wel werken als dichte approximanten bestonden, maar die ontbreken.

(b) Als $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ , kies voor elke rationale $h$ een nulverzameling $N_h$ waar buiten $\abs{f(x+h) - f(x)} \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ ; de unie $N$ over aftelbaar veel rationale $h$ is nul. Op $\R\setminus N$ is $f$ uniform continu langs rationale stappen, en een $L^\infty$ - representant strekt zich uit tot een overal uniform continue functie (of: wijzig $f$ op $N$ tot de uniforme limiet van de translaten). Omgekeerd is uniforme continuïteit van een representant precies $\sup_x\abs{f(x+h)-f(x)} \to 0$ , d.w.z. $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ .

Oefening 12.6 ★★

Zijn $p, q$ geconjugeerd, $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . Toon dat $f * g$ overal gedefinieerd is, begrensd, met $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ , en uniform continu. (Continuïteit van translatie in $L^p$ ; behandel $p \in \{1, \infty\}$ apart — voor $p = \infty$ gebruik translatiecontinuïteit op de $L^1$ -factor.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

Hölder na vertaling-reflectie: $\abs{(f*g)(x)} = \abs{\int f(y)g(x-y)\dd y} \leq \norm f_p\norm g_q$ overal (niet slechts b.o. — de integraal convergeert absoluut in elk $x$ door Hölder). Uniforme continuïteit: voor $1 \leq p < \infty$ ,

\abs{(f*g)(x+h)-(f*g)(x)} \leq \norm{\tau_hf - f}_p\norm g_q \to 0

door translatiecontinuïteit in $L^p$ (Stelling 12.6(3)). Voor $p = \infty$ (dus $q = 1$ ): wissel de rollen, $\abs{(f*g)(x+h)-(f*g)(x)} \leq \norm f_\infty\norm{\tau_hg - g}_1 \to 0$ door translatiecontinuïteit op de $L^1$ -factor.

Oefening 12.7 ★★

Zij $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ met $\int f\varphi' = 0$ voor elke $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . Toon dat $f$ b.o. gelijk is aan een constante. (Fixeer $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ met $\int\chi = 1$ ; elke $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ met $\int\psi = 0$ is een $\varphi'$ ; schrijf een algemene testfunctie als $\psi + (\int\psi)\chi$ en pas Gevolg 12.11 toe op $f - c$ met $c = \int f\chi$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

Fixeer $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ met $\int\chi = 1$ . Voor $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ met $\int\psi = 0$ , is $\varphi(x) = \int_{-\infty}^x\psi$ (of vanaf de linker rand van de steun) in $\mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ met $\varphi' = \psi$ , dus $\int f\psi = \int f\varphi' = 0$ per hypothese. Schrijf een algemene test $\eta = \psi + (\int\eta)\chi$ met $\psi = \eta - (\int\eta)\chi$ (dan $\int\psi = 0$ ): $\int f\eta = (\int\eta)\int f\chi$ . Dus $\int (f - c)\eta = 0$ voor $c = \int f\chi$ en alle $\eta \in \mathcal C_c^\infty$ : Gevolg 12.11 (lokaal op $\intoo ab$ ) geeft $f = c$ b.o.

Oefening 12.8 ★★★

(Gladde Urysohn) Zij $K \subseteq U \subseteq \R^d$ , $K$ compact, $U$ open. Construeer $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ met $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ op $K$ , $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (Mollificeer de indicator van de $\delta$ -buurt $K_\delta$ van $K$ met $\rho_{\delta/2}$ , voor $\delta$ klein.) Leid een $\mathcal C^\infty$ partitie-van-de-eenheid-uitspraak af voor een compactum overdekt door eindig veel open verzamelingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

Kies $\delta > 0$ met de $2\delta$ -buurt $K_{2\delta} \subseteq U$ . Mollificeer $\mathbf 1_{K_\delta}$ met $\rho_{\delta/2}$ : $\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2}$ is $\mathcal C^\infty$ (regularisatie), $0 \leq \varphi \leq 1$ , $\varphi = 1$ op $K$ (want voor $x \in K$ ligt $B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ , dus de convolutie ziet alleen de waarde $1$ ), en $\operatorname{supp}\varphi \subseteq \overline{K_{3\delta/2}} \subseteq K_{2\delta} \subseteq U$ . Voor een partitie van de eenheid: zij $K \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_i$ compact; kies compacta $K_i \subseteq U_i$ die $K$ overdekken (of werk met $\delta_i$ -buurten), construeer $\varphi_i$ als hierboven met steun in $U_i$ , en stel $\psi_i = \varphi_i / \sum_j\varphi_j$ op een buurt van $K$ (de noemer is $\geq 1$ op $K$ ).

Oefening 12.9 ★★

Met interpolatie (Propositie 12.12(c)): (a) toon dat $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ voor alle $p$ , met $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ; (b) toon dat $f \mapsto \norm f_p$ , voor vaste $f$ , log-convex is in $\frac1p$ , en geef een voorbeeld waar $f \in L^p$ precies voor $p$ in een gegeven interval $(p_0, p_1)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

(a) Schrijf $\frac1p = \frac\alpha1 + \frac{1-\alpha}{\infty}$ met $\alpha = 1/p$ : interpolatie (Propositie 12.12(c)) geeft $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1-1/p}$ . Dus $L^1 \cap L^\infty \subseteq L^p$ voor alle $p$ .

(b) De kaart $\theta = 1/p \mapsto \log\norm f_{1/\theta}$ is convex op haar domein door interpolatie (log-convexiteit van de norm in $1/p$ ). Voorbeeld: $f(x) = x^{-\alpha}\mathbf 1_{\intoo01} + x^{-\beta}\mathbf 1_{\intoo1\infty}$ met $0 < \alpha < \beta$ zit in $L^p$ precies wanneer $p\alpha < 1$ (nabij $0$ ) en $p\beta > 1$ (op oneindig), d.w.z. $p \in (1/\beta, 1/\alpha)$ .

Oefening 12.10 ★★

(Jensen) Zij $\mu$ een kansmaat, $f \in L^1(\mu)$ reëel, en $\Phi \colon \R \to \R$ convex. Toon

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(steunlijn van $\Phi$ in het punt $m = \int f$ ). Leid de rekenkundig-meetkundige ongelijkheid af en de monotonie van $p \mapsto \norm f_p$ van Oefening 12.1(b).

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

Convexiteit levert een steunlijn: $\Phi(t) \geq \Phi(m) + c(t - m)$ voor $m = \int f$ . Integreer t.o.v. de kansmaat $\mu$ : $\int\Phi\circ f \geq \Phi(m) + c(\int f - m) = \Phi(m)$ , wat Jensen is. AM–GM: pas toe op $\Phi = -\log$ op $\R_+$ (of op een eindige kansruimte met gelijke massa’s: $\frac{x_1+\cdots+x_n}n \geq (x_1\cdots x_n)^{1/n}$ ). Monotonie van $p \mapsto \norm f_p$ op een kansruimte: voor $p < q$ , pas Jensen toe op $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ t.o.v. de kansmaat $\abs f^p\dd\mu/\norm f_p^p$ (of direct Hölder als in Oefening 12.1(b)).

Oefening 12.11 ★★★

(Youngs convolutie-ongelijkheid) Zijn $1 \leq p, q, r \leq \infty$ met $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ , en $f \in L^p(\R^d)$ , $g \in L^q(\R^d)$ . (a) Bewijs $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (Schrijf, voor geconjugeerde exponenten uitgewerkt uit $p, q, r$ , $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ en pas de drie-factoren Hölder-ongelijkheid toe met exponenten $r$ , $\frac{pr}{r - p}$ , $\frac{qr}{r - q}$ ; integreer dan in $x$ door Tonelli.) (b) Controleer de drie speciale gevallen al bekend: $r = \infty$ (Hölder, Oefening 12.6); $q = 1$ ( $L^p$ -stabiliteit van convolutie door een integreerbare kern); $p = q = 1$ ( $L^1$ is een convolutie-algebra, Stelling 11.9). (c) Waarom is er geen ongelijkheid met $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ? (Test op dilaties $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ en vergelijk de schalingen van beide kanten.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

(a) Schrijf, met geconjugeerde exponenten $r$ , $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ , $\beta = \frac{qr}{r-q}$ (die optellen tot $1$ precies wanneer $\frac1p+\frac1q = 1+\frac1r$ ):

\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{p(1/p-1/r)}\cdot\abs g^{q(1/q-1/r)}.

Drie-factoren Hölder in $y$ geeft

\int\abs{f(y)g(x-y)}\dd y \leq \Bigl(\int\abs f^p\abs g(\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{p(1/p-1/r)}\norm g_q^{q(1/q-1/r)},

meer precies met de juiste machten. Verhef tot de $r$ -de macht en integreer in $x$ (Tonelli op de eerste factor):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{rp(1/p-1/r)}\norm g_q^{rq(1/q-1/r)} = \norm f_p^r\norm g_q^r .

Eindpuntgevallen ( $r = \infty$ of een exponent op de grens) zijn platte Hölder of directe schattingen.

(b) $r = \infty$ dwingt $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — Hölder na vertaling-reflectie (Oefening 12.6). $q = 1$ geeft $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ , het mollificatie-werkpaard (Stelling 12.9’s motor). $p = q = 1$ geeft $r = 1$ : de convolutie-algebra (Stelling 11.9).

(c) Vervang $f, g$ door $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ , $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : dan $f_\lambda * g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ , en normvergelijking,

\text{LHS} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{RHS} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

een ongelijkheid geldig voor alle $f, g$ dwingt de twee schalingsexponenten te matchen, d.w.z. $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ precies. Elke andere combinatie sterft bij $\lambda \to 0$ of $\infty$ : Youngs relatie is geen gemak maar een schalingwet.

Oefening 12.12 ★★

(Gelijkheidsgevallen) (a) In Hölders ongelijkheid $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ ( $1 < p < \infty$ ), toon dat gelijkheid geldt d.e.s.d.a. $\abs f^p$ en $\abs g^q$ proportioneel b.o. zijn. (Volg het gelijkheidsgeval van Youngs ongelijkheid $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , dat $a^p = b^q$ is.) (b) In Minkowski’s ongelijkheid $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ ( $1 < p < \infty$ ), toon dat gelijkheid met $f, g \neq 0$ $g = cf$ b.o. dwingt met $c > 0$ . (c) Contrast met $p = 1$ en $p = \infty$ : beschrijf de (veel grotere) gelijkheidsgevallen daar, op voorbeelden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

(a) Normaliseer $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . Het bewijs van Hölder integreert Youngs ongelijkheid $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ; gelijkheid van de integralen dwingt gelijkheid b.o. in Young, wat (strikte convexiteit van $\exp$ ; gelijkheid d.e.s.d.a. $a^p = b^q$ ) betekent $\abs f^p = \abs g^q$ b.o. De normalisatie ongedaan makend: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ b.o. — proportionaliteit.

(b) Minkowski is twee Hölders toegepast op $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ en $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ; gelijkheid dwingt (a)’s proportionaliteit in beide: $\abs f^p$ en $\abs g^p$ elk proportioneel met $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ , dus $\abs g = t\abs f$ b.o. voor een constante $t \geq 0$ ; en de initiële puntsgewijze driehoeksongelijkheid $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ moet ook b.o. een gelijkheid zijn, wat voor complexe waarden betekent dat $f$ en $g$ b.o. hetzelfde argument hebben waar beide nonzero zijn. Combinerend: $g = tf$ b.o., $t > 0$ (beide nonzero).

(c) $p = 1$ : gelijkheid in $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ geldt wanneer $f, g$ hetzelfde tekenpatroon hebben (zelfde argument b.o.) — geen proportionaliteit nodig: $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ en $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ werken. $p = \infty$ : $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ zodra de twee functies compatibel pieken in een gemeenschappelijk punt (of langs een gemeenschappelijke rij): $f = g$ nabij één punt volstaat ongeacht gedrag elders. De strikte convexiteit van de $L^p$ -ballen voor $1 < p < \infty$ — en haar falen in de eindpunten — is precies wat deze gelijkheidsgevallen getuigen.

12.7 Probleem: Hardys ongelijkheid

Probleem 12.1

Weekendprobleem — Hardys ongelijkheid en haar scherpe constante

Voor $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ , $1 < p < \infty$ , definieer de Hardy-operator

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

Hardys ongelijkheid (1920) beweert

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

en de constante $\frac p{p-1}$ is optimaal en wordt niet bereikt. Dit probleem bewijst alles, en breidt dan uit tot reeksen.

Deel I — De ongelijkheid. Neem eerst $f \geq 0$ continu met compacte steun in $\intoo0{+\infty}$ aan, en zij $F(x) = \int_0^xf$ .

Toon dat $Hf \in L^p$ : nabij $0$ verdwijnt $F$ op een buurt van $0$ ; nabij $\infty$ is $F$ begrensd, dus $(Hf)(x) = O(1/x)$ , en $x \mapsto \frac1x$ behoort tot $L^p(\intoo1{+\infty})$ voor $p > 1$ .
Integreer partieel om te tonen

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(Differentiëer $x^{1-p}F^p$ ; randtermen verdwijnen — rechtvaardig beide einden.)
Pas Hölder toe op de rechterkant en leid af $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ voor zulke $f$ .
Breid uit tot heel $L^p$ : voor $f \geq 0$ , construeer $f_n$ continu met compacte steun in $\intoo0{+\infty}$ , $0 \leq f_n \nearrow f$ b.o. (knoop af, benader dan monotoon — rechtvaardig de constructie); dan $Hf_n \nearrow Hf$ puntsgewijs (MCT binnen het gemiddelde) en MCT transporteert de ongelijkheid naar de limiet. Voor getekende of complexe $f$ , besluit met $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

Deel II — Optimaliteit.

Voor $A > 1$ zij $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . Bereken $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ en, voor $1 \leq x \leq A$ ,

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
Leid af $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ , en besluit dat de constante optimaal is.
Toon dat gelijkheid $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ met $f \neq 0$ onmogelijk is. (Volg het gelijkheidsgeval van Hölder in vraag 3: het zou $f = cx^{-1/p}$ -type gedrag dwingen, dat niet in $L^p$ zit.)

Deel III — De discrete ongelijkheid.

Voor een niet-stijgende $g \geq 0$ op $(0,\infty)$ en $a_n = g(n)$ , vergelijk $\sum a_n^p$ en $\int g^p$ , en $H$ -gemiddelden dienovereenkomstig, om uit Deel I Hardys discrete ongelijkheid af te leiden: voor $a_n \geq 0$ ,

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— bewijs haar eerst voor niet-stijgende $(a_n)$ via de vergelijking hierboven, reduceer dan het algemene geval tot het niet-stijgende door herrangschikking (geef toe, met een één-regel-rechtvaardiging, dat sorteren van $(a_n)$ in dalende volgorde de linkerkant alleen kan verhogen terwijl de rechter vast blijft).
Leid af: als $\sum a_n^p < \infty$ dan zijn de Cesàro-gemiddelden van $(a_n)$ opnieuw $\ell^p$ — en geef een voorbeeld ( $p = 2$ ) waar $(a_n) \in \ell^2$ maar $a_n$ niet sommeerbaar is, terwijl Hardy de gemiddelden nog controleert.

Deel IV — Epiloog.

Toon dat Hardys ongelijkheid faalt voor $p = 1$ : met $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , bereken $Hf$ en observeer $Hf \notin L^1$ . Waar breekt het bewijs?

Deel V — De maximale functie, en Lebesgues differentiatiestelling. Hardy middelen vanaf de oorsprong; Hardy–Littlewood middelen rond elk punt. Voor $f \in L^1(\R)$ definieer

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(Vitali, eindige versie) Zijn $B_1, \dots, B_N$ open intervallen. Toon dat er een disjuncte deelfamilie $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ bestaat met $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ , waar $3B$ het interval met hetzelfde centrum en drievoudige lengte aanduidt (gretig: kies herhaaldelijk het langste interval disjunct van die al gekozen).
(Zwak type $(1,1)$ ) Toon dat voor elke $t > 0$ ,

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

elke $x$ met $Mf(x) > t$ bezit een gecentreerd interval $B_x$ met $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ; neem een compactum $K \subseteq \{Mf > t\}$ (inwendige regulariteit), overdek het door eindig veel $B_x$ , pas vraag 11 toe, en put uit.
Bereken $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ voor $x > 1$ en leid af dat $Mf \notin L^1$ voor elke $f \neq 0$ ( $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ op oneindig): bij $p = 1$ is de zwakke ongelijkheid van vraag 12 de best mogelijke uitspraak.
(Sterk type voor $p > 1$ ) Voor $f \in L^p$ : split $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ , observeer $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ , en combineer vraag 12 met de laagjescakeformule (Propositie 11.8) en Tonelli om te bewijzen

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(De ontploffing als $p \downarrow 1$ is vraag 13’s mislukking, gekwantificeerd.)
(Differentiatiestelling van Lebesgue) Bewijs: voor $f \in L^1(\R)$ ,

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{voor b.o.\ }x .$

(Duidelijk voor continue $f$ . In het algemeen schrijf $f = g + h$ , $g$ continu met compacte steun, $\norm h_1 < \varepsilon$ (Stelling 12.6); de verzameling waar $\limsup_{r\to0}$ van de gemiddelde oscillatie $\delta$ overschrijdt zit in $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ , van maat $O(\varepsilon/\delta)$ ; laat $\varepsilon \to 0$ , dan $\delta \to 0$ langs een rij.)
Leid af: (a) bijna elk punt is een Lebesgue- punt van $f$ ; (b) voor $f \in L^1$ is de primitieve $F(x) = \int_0^xf$ differentieerbaar b.o. met $F' = f$ b.o. — de integraalhelft van de fundamentele stelling van de calculus in de Lebesgue-wereld, die de cirkel sluit die de trap opende (Probleem 9.1), die toonde dat de omgekeerde helft kan falen.
(Dichtheidspunten) Voor meetbare $A \subseteq \R$ , toon dat bijna elke $x \in A$ voldoet aan $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : meetbare verzamelingen zijn lokaal vol in bijna al hun punten. Schets, in twee regels, hoe dit nog een bewijs van Steinhaus’ stelling oplevert (Oefening 9.8).

Deel VI — Variaties op het thema van middelen.

(Gewogen Hardy) Voor $\alpha < p - 1$ en $f \geq 0$ , toon

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

door dezelfde partiële integratie, en controleer dat de grens $\alpha = p - 1$ werkelijk verboden is (pas vraag 10’s tegenvoorbeeld aan).
(De geadjungeerde) Zij $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . Toon $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ voor niet-negatieve $f, g$ (Tonelli), en bewijs $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (direct door partiële integratie, of uit Hardy op de geconjugeerde exponent door dualiteit — let op welke exponent welke constante oppikt).
(Een Hilbert-type ongelijkheid) Leid af dat voor niet-negatieve $f \in L^p$ , $g \in L^q$ :

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(splits langs $y < x$ / $y \geq x$ : elke helft is een pairing van één functie tegen een Hardy-transformatie van de andere).
(Optimaliteit, discreet) Toon dat de constante $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ van vraag 8 ook optimaal is: test op $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ , vergelijk beide kanten met integralen, en laat $N \to \infty$ (de discrete spiegel van Deel II).
(Synthese) Drie middelingoperatoren verschenen in dit probleem: Hardys $H$ , het discrete Cesàro-gemiddelde, en de maximale operator $M$ . Formuleer in één regel elk wat haar begrensdheid zegt, observeer dat alle drie precies bij $p = 1$ falen, en leg uit waarom het dezelfde mislukking driemaal is (de harmonische staart $\frac1x$ ).

Deel VII — Carlemans ongelijkheid, en hoe scherp is scherp.

(Carlemans ongelijkheid) Zij $a_n \geq 0$ met $\sum a_n < \infty$ . Pas de discrete Hardy-ongelijkheid van vraag 8 toe op $b_n = a_n^{1/p}$ , gebruik de rekenkundig-meetkundige ongelijkheid, en laat $p \to \infty$ (toon dat $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ daalt naar $\eu$ ) om te verkrijgen

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

de meetkundige gemiddelden van een sommeerbare rij zijn sommeerbaar, ten koste van ten hoogste $\eu$ .
(De constante $\eu$ is optimaal) Test $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : met de Stirling- inkadering van Probleem 11.1, toon $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ , leid af dat beide kanten van Carleman groeien als $\eu\ln N$ , en besluit dat geen constante kleiner dan $\eu$ kan werken. (Observeer het patroon: de optimalisatoren van Hardy en van Carleman zijn beide de harmonische-type rijen die net falen in de ruimte te zitten.)
(Hoe langzaam wordt “scherp” benaderd?) Neem $p = 2$ . Voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ , bereken $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ , tegen de grens $2$ . Voor de bijna-optimalisatoren $f_A$ van vraag 5, bewijs de exacte identiteit

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{dus}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

Evalueer bij $A = \eu^{10}$ (ratio $\approx 1.790$ ) en commentarieer: het supremum $2$ wordt benaderd met snelheid $1/\ln A$ alleen — een optimale constante kan numeriek vrijwel onzichtbaar zijn.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. $f$ heeft steun in enige $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ , dus $F = 0$ op $[0, \alpha]$ en $F \equiv F(\beta)$ op $[\beta, \infty)$ : $Hf$ verdwijnt nabij $0$ en is $O(1/x)$ op oneindig; $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ voor $p > 1$ , en $Hf$ is continu: $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . Beide randwaarden verdwijnen: in $0$ omdat $F = 0$ nabij $0$ ; op $\infty$ omdat $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ ( $p > 1$ ). Integreren van de identiteit over $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

wat de weergegeven relatie is.

3. Hölder met exponenten $q = \frac p{p-1}$ en $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

dus $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ; deel (eindig door vraag 1, en als $0$ is er niets te bewijzen).

4. Zij $f \in L^p$ , $f \geq 0$ . Kies $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ met $\varphi_k \to f$ in $L^p$ (Stelling 12.6(2), gesneden met de open halfrechte — benader $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ en diagonaliseer), en vervang $\varphi_k$ door $\abs{\varphi_k}$ (nog steeds continu, en dichter bij $f \geq 0$ ). Voor elke vaste $x > 0$ geeft Hölder op $\intoo0x$

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

$H\varphi_k \to Hf$ puntsgewijs. Fatou en vraag 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

Voor getekende of complexe $f$ : $\abs{Hf} \leq H\abs f$ puntsgewijs, en het niet-negatieve geval past toe op $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . Voor $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. Fixeer $\varepsilon > 0$ en $X_0$ met $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ voor $x \geq X_0$ . Dan

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

dus $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ als $A \to \infty$ : de constante kan niet verbeterd worden.

7. Gelijkheid in vraag 3 dwingt gelijkheid in Hölder: $f^p$ proportioneel met $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ b.o., d.w.z. $f = \gamma\,\frac Fx$ b.o. voor enige $\gamma \geq 0$ . Omdat $F(x) = \int_0^xf$ absoluut continu is met $F' = f$ b.o., lost $F$ $F' = \gamma F/x$ op: op elk interval waar $F > 0$ , $(\ln F)' = \gamma/x$ , dus $F = c\,x^{\gamma}$ en $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ daar. Maar geen nonzero macht $x^{\gamma-1}$ behoort tot $L^p(\intoo0\infty)$ ( $p(\gamma - 1) < -1$ nodig op $\infty$ en $> -1$ in $0$ : onverenigbaar), en $F$ kan niet identiek verdwijnen tenzij $f = 0$ . Dus eist gelijkheid $f = 0$ .

8. Gegeven $(a_n)$ niet-stijgend $\geq 0$ , definieer de trapfunctie $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ op $\intoo0{+\infty}$ : niet-stijgend, met $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ en $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ , dus $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . Het gemiddelde van een niet-stijgende functie is niet-stijgend, dus is $Hg$ dat, en

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

door Deel I. Voor een algemene niet-negatieve rij, zij $(a_n^*)$ haar niet-stijgende herrangschikking (mogelijk wanneer $a_n \to 0$ , wat we mogen aannemen — anders zijn beide kanten oneindig): de rechterkant is onveranderd, en elke partiële som $a_1 + \dots + a_n$ is ten hoogste $a_1^* + \dots + a_n^*$ (de $n$ grootste termen): de linkerkant groeit alleen. Dus de ongelijkheid voor alle $(a_n)$ .

9. Als $(a_n) \in \ell^p$ , is de rij van Cesàro-gemiddelden in $\ell^p$ met norm $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . Voorbeeld ( $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ ( $n \geq 2$ ): $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ , maar $\sum a_n = \infty$ (integraaltest); Hardy garandeert nog $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. Voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ op $\intoc01$ en $= \frac1x$ voor $x \geq 1$ : $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ , terwijl $\norm f_1 = 1$ . Het bewijs stort in op twee punten: de constante $\frac p{p-1}$ ontploft als $p \to 1$ , en de randterm $x^{1-p}F^p$ verdwijnt niet langer op oneindig voor $p = 1$ . Hardys ongelijkheid is een eerlijk $p > 1$ -fenomeen.

11. Kies het langste interval $B_{i_1}$ ; gooi elk interval dat het snijdt weg; kies de langste overlever $B_{i_2}$ ; itereer (eindig veel intervallen). De gekozen zijn disjunct per constructie, en elk weggegooid $B$ snijdt een gekozen interval minstens zo lang: een interval dat een langer-of-gelijk snijdt is bevat in zijn drievoud, $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. $\{Mf > t\}$ is open: elk gemiddelde $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ is continu (gedomineerde convergentie in $x$ ), en een supremum van continue functies is onder-semicontinu. Elke $x$ erin bezit $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ met $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . Voor compact $K \subseteq \{Mf > t\}$ : eindig veel $B_x$ overdekken $K$ , Vitali (vraag 11) extraheert disjuncte $B_1', \dots, B_k'$ met $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ , dus

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

door disjunctheid; inwendige regulariteit (Stelling 9.13) besluit.

13. Voor $x > 1$ : met $r \in \intcc{x-1}x$ is het gemiddelde $\frac{r - x + 1}{2r}$ , stijgend in $r$ ; voor $r \geq x$ is het $\frac1{2r}$ , dalend: het supremum is $\frac1{2x}$ , bereikt bij $r = x$ . Dus $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . In het algemeen, als $\int_I\abs f = c > 0$ op een begrensd interval $I \subseteq \intcc{-C}C$ , dan $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ voor alle $x$ : nooit integreerbaar tenzij $f = 0$ b.o.

14. Met $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ , dus $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ en vraag 12 geeft $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . Laagjescake (Propositie 11.8) en Tonelli:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. Schrijf $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . Voor continue $g$ : $A_rg(x) \to g(x)$ overal. Gegeven $\varepsilon > 0$ , split $f = g + h$ met $g$ continu van compacte steun en $\norm h_1 < \varepsilon$ (Stelling 12.6); dan

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

dus $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ heeft maat $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (vraag 12; Markov). $\varepsilon$ willekeurig: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ; unie over $\delta = \frac1k$ : $A_rf \to f$ b.o.

16. (a) Voor elke $q \in \Q$ geeft vraag 15 toegepast op $\abs{f - q}$ dat $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ b.o.; op de doorsnede van deze volle-maat-verzamelingen, kies $q$ met $\abs{f(x) - q} < \eta$ : $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ voor elke $\eta$ : bijna elke $x$ is een Lebesgue-punt. (b) In een Lebesgue-punt,

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

$F' = f$ b.o. — primitieven van $L^1$ -functies differentiëren terug; de trap (Probleem 9.1) is het tegenvoorbeeld alleen voor de omgekeerde richting.

17. Pas vraag 15 toe op $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ en laat $n$ groeien: voor b.o. $x \in A$ streeft de dichtheid $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . Steinhaus: rond een dichtheidspunt neem $r$ met dichtheid $> \frac34$ ; voor $\abs t < \frac r2$ vullen $A$ en $A + t$ elk meer dan $\frac32r$ van een interval van lengte $\leq \frac52r$ , dus snijden: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. Zij $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : $G$ verdwijnt in $0$ ( $F$ verdwijnt nabij $0$ ) en op $\infty$ ( $F$ begrensd, $\alpha + 1 - p < 0$ ), dus $\int_0^\infty G' = 0$ met

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

Dus $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ; Hölder voor de maat $x^\alpha\dd x$ (exponenten $\frac p{p-1}$ en $p$ ) eindigt als in vraag 3. Grens $\alpha = p - 1$ : met $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ is de rechterkant $\ln A$ terwijl de linker $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ bevat: geen constante overleeft $A \to \infty$ .

19. Tonelli op $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

Dualiteit: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ , Hardy aangeroepen in $L^q$ , waarvan de constante $\frac q{q-1}$ gelijk is aan $p$ .

20. Split langs de (nul) diagonaal. Op $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

want Hardy in $L^q$ draagt de constante $\frac q{q-1} = p$ . Symmetrisch, $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). Totaal: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. Voor $a_n = n^{-1/p}$ , $n \leq N$ : de rechterkant is $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . Links, voor $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ , dus is het $n$ -de Cesàro-gemiddelde $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ uniform voor $n$ in elk bereik $n \geq n_0(\eta)$ ; verheffen tot de $p$ en sommeren, de linkerkant is $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . Delen en $N \to \infty$ , dan $\eta \to 0$ : geen constante kleiner dan $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ kan werken.

22. $H$ begrensd op $L^p$ : cumulatieve gemiddelden blazen $p$ -normen niet op (constante $\frac p{p-1}$ ); Cesàro op $\ell^p$ : hetzelfde, gediscretiseerd; $M$ begrensd op $L^p$ : zelfs het beste locale gemiddelde blijft onder controle (constante $O(\frac1{p-1})$ ). Alle drie falen bij $p = 1$ , en om één reden: middelen van een geconcentreerde eenheid massa produceert een $\frac1x$ -staart (vragen 10 en 13), en $\frac1x$ behoort tot elke $L^p$ nabij oneindig behalve $L^1$ . Gladmaking spreidt massa precies tot de harmonische grens van integreerbaarheid.

23. Stel $b_n = a_n^{1/p}$ , zodat $\sum b_n^p = \sum a_n$ . Vraag 8 geeft

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

en AM–GM begrensd elke term van onderen:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

Dus $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ voor elke $p > 1$ . Met $m = p - 1$ ,

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

die daalt naar $\eu$ als $m \to \infty$ (de klassieke monotone bovenrij voor $\eu$ ). Het infimum over $p$ geeft Carlemans ongelijkheid met constante $\eu$ .

24. Voor $a_n = \frac1n$ , $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . De inkadering van Probleem 11.1 geeft $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ , dus

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

want $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . Inverteren, $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ , en sommeren over $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(de foutreeks $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ convergeert). Een Carleman-ongelijkheid met constante $c$ zou $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ forceren, dus $c \geq \eu$ na delen door $\ln N$ . De optimaliserende rijen liggen op één lijn: Hardys constante wordt benaderd door $n^{-1/p}$ (vraag 21), Carlemans door $n^{-1}$ — in elk geval de harmonische-type rij die net buiten de te middelen ruimte zit.

25. Voor $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : $Hf(x) = 1$ op $\intoc01$ en $Hf(x) = \frac1x$ voor $x > 1$ , dus $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ en de ratio is $\sqrt2 \approx 1.414$ , ongeveer $71\%$ van de scherpe grens. Voor $f_A$ ( $p = 2$ ): $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ op $\intcc1A$ , dus op dat bereik $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ en, voor $x > A$ , $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . Kwadrateren en integreren,

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

vandaar $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ; delen door $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ geeft de gestelde identiteit. Bij $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ , dus de ratio is $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . Het defect $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ daalt alleen logaritmisch: om ratio $1.99$ te bereiken zou men $\ln A \approx 200$ nodig hebben, d.w.z. $A \approx 10^{87}$ . Scherpe constanten zijn stellingen, geen experimenten.

12.1 Definitie; Hölder en Minkowski

12.2 Volledigheid en haar metgezellen

12.3 Dichtheidsstellingen

12.4 Convolutie en regularisatie

12.5 De LpL^pLp-geografie

12.6 Oefeningen

12.7 Probleem: Hardys ongelijkheid

12.5 De $L^p$ -geografie