Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

14De Fouriertransformatie

Fourierreeksen ontbinden periodieke signalen in discrete harmonischen; de Fouriertransformatie doet hetzelfde voor signalen op de hele lijn, met een continuum van frequenties. Ze zet differentiatie om in vermenigvuldiging, convolutie in producten, en Gaussen in Gaussen — de redenen waarom ze differentiaalvergelijkingen oplost, signaalverwerking aandrijft, en de centrale limietstelling in Hoofdstuk 23 zal bewijzen. Dit hoofdstuk ontwikkelt de $L^1$ -theorie (Riemann–Lebesgue, inversie, injectiviteit), de Schwartz-klasse waar de transformatie een perfecte bijectie is, en de $L^2$ -theorie (Plancherel: de transformatie is, op een constante na, een unitaire operator), met twee pronkstuktoepassingen: de warmtevergelijking, van begin tot eind opgelost in de weekendopgave, en de somformule van Poisson. Conventie:

\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .

14.1 De transformatie op $L^1$

Propositie 14.1

Voor $f \in L^1(\R)$ : $\hat f$ is welgedefinieerd, begrensd ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ), continu, en:

$\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ en $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
$\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat f(\lambda\xi)$ voor $\lambda > 0$ ;
als $xf \in L^1$ , dan is $\hat f$ $\mathcal C^1$ met $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
als $f \in \mathcal C^1$ met $f' \in L^1$ (en $f \to 0$ in $\pm\infty$ , hier automatisch), dan $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
$\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ voor $f, g \in L^1$ .

Bewijs. Begrensdheid: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$ . Continuïteit: DCT met dominator $\abs f$ (Stelling 10.14). (1), (2): substituties (Stelling 11.10). (3): differentiatie onder de integraal, dominator $\abs{xf}$ (Stelling 10.15). (4): eerst, $f(x) = f(0) + \int_0^xf'$ heeft een limiet in $\pm\infty$ ( $f' \in L^1$ ), die $0$ moet zijn ( $f \in L^1$ ); integreer dan partieel op $[-A, A]$ en laat $A \to \infty$ . (5): Fubini, legitiem omdat $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ absoluut integreerbaar is (Stelling 11.9):

\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)} \eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).

∎

Voorbeeld 14.2

De Gauss: voor $a > 0$ ,

\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) = \sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :

via Oefening 10.7 (de ODE $F' = -\frac\xi{2}F$ truc, herschaald), of via (3): $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ voldoet aan $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (partieel integreren), $g(0) = \sqrt{\pi/a}$ . Gaussen zijn vaste punten van de transformatie op schaling na — de diepe reden waarom ze de centrale limietstelling regeren.

Stelling 14.3 (Riemann–Lebesgue)

Voor $f \in L^1(\R)$ : $\hat f(\xi) \to 0$ als $\abs\xi \to \infty$ . Dus $\widehat{\phantom f} \colon L^1 \to \mathcal C_0(\R)$ (continue functies die in oneindig verdwijnen).

Bewijs. Voor een indicator van een interval, $\widehat{\mathbf 1_{\intcc ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi} \to 0$ ; dus voor stapfuncties. Stapfuncties zijn dicht in $L^1$ (Stelling 12.6(1) plus benadering van eindig-maatverzamelingen door eindige unies van intervallen, Oefening 9.7), en de transformatie is $\norm\cdot_\infty$ - $\norm\cdot_1$ continu: voor $\norm{f - s}_1 < \varepsilon$ , $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat f(\xi)} \leq \varepsilon$ . ∎

14.2 Inversie en injectiviteit

Lemma 14.4 (Vermenigvuldigingsformule)

Voor $f, g \in L^1(\R)$ : $\displaystyle\int \hat f\,g = \int f\,\hat g$ .

Bewijs. Beide zijden zijn gelijk aan $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini: de dubbele integraal van de absolute waarde is $\norm f_1\norm g_1$ ). ∎

Stelling 14.5 (Inversie)

Zij $f \in L^1(\R)$ .

(Gaussiaanse sommeerbaarheid) Voor elke $x$ ,

$(f * g_\varepsilon)(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\, \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi, \qquad\text{waar } g_\varepsilon(y) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\, \eu^{-y^2/4\varepsilon},$

en $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ als $\varepsilon \to 0$ .
Als bovendien $\hat f \in L^1$ , dan voor bijna elke $x$

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$

en $f$ heeft een continue representant.
(Injectiviteit) Als $\hat f = 0$ dan $f = 0$ a.e.

Bewijs. (1) Fixeer $x$ en pas Lemma 14.4 toe op $f$ en $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$ : via Voorbeeld 14.2 (met de modulatieregel),

\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\, \eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),

dus $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2} \eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y = (f*g_\varepsilon)(x)$ . De $g_\varepsilon$ zijn een benaderende eenheid: $g_\varepsilon \geq 0$ , $\int g_\varepsilon = 1$ (Gauss-integraal), concentrerend in $0$ ; het bewijs van Stelling 12.9(2) geldt woordelijk (alleen $\int g_\varepsilon = 1$ en concentratie werden gebruikt: voor de staart, $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to 0$ ): $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$ .

(2) Als $\hat f \in L^1$ : de rechterkant van (1) convergeert, via DCT (dominator $\abs{\hat f}$ ), naar $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ voor elke $x$ , en deze limietfunctie is continu (DCT opnieuw). Anderzijds $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ , dus langs een deelrij a.e. (Stelling 12.4): de twee limieten stemmen a.e. overeen.

(3) $\hat f = 0$ maakt de rechterkant van (1) verdwijnen: $f * g_\varepsilon = 0$ voor alle $\varepsilon$ , en $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ : $f = 0$ a.e. ∎

14.3 De Schwartz-klasse

Definitie 14.6

De Schwartz-klasse $\mathcal S(\R)$ bestaat uit de $\mathcal C^\infty$ -functies $f$ met $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ voor alle $m, n \geq 0$ (alle afgeleiden vervallen sneller dan elke macht). Voorbeelden: $\eu^{-ax^2}$ , $\mathcal C_c^\infty$ . Duidelijk $\mathcal S \subseteq L^p$ voor elke $p$ (grens door $C(1 + x^2)^{-1}$ ), en $\mathcal S$ is stabiel onder afgeleiden, vermenigvuldiging met polynomen, en producten.

Stelling 14.7

De Fouriertransformatie beeldt $\mathcal S(\R)$ bijectief op zichzelf af, met inverse $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ .

Bewijs. Zij $f \in \mathcal S$ . Itereren van Propositie 14.1(3), $(\hat f)^{(n)} = \widehat{(-\iu x)^nf}$ (elke $x^kf \in L^1$ ); itereren van (4) met $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (al wier afgeleiden integreerbaar zijn), $(\iu\xi)^m\hat h = \widehat{h^{(m)}}$ . Combineren,

\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)} = \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr| \leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty

uniform in $\xi$ : $\hat f \in \mathcal S$ . Omdat $\hat f \in L^1$ , geldt inversie (Stelling 14.5(2)) overal (beide zijden continu): $\check{\hat f} = f$ , en symmetrisch $\widehat{\check g} = g$ (de check-transformatie is $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$ , opnieuw $\mathcal S$ bewarend): bijectie. ∎

14.4 Plancherel en $L^2$

Stelling 14.8 (Plancherel)

Voor $f \in L^1 \cap L^2(\R)$ :

\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .

Bijgevolg strekt $\widehat{\phantom f}$ zich uniek uit tot een continue lineaire afbeelding $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ met $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$ ; $\mathcal F$ is bijectief, met $\mathcal F^{-1} = \frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ waar $\sigma f = f(-\cdot)$ , en ze bewaart inwendige producten op de factor $2\pi$ na.

Bewijs. Zij $f \in L^1\cap L^2$ en $h = f * \tilde f$ met $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ . Dan $h \in L^1$ (Stelling 11.9), $h$ is continu en begrensd (Oefening 12.6: $f, \tilde f \in L^2$ ), $h(0) = \int f\bar f = \norm f_2^2$ , en $\hat h = \hat f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ (bereken $\widehat{\tilde f} = \overline{\hat f}$ ). Pas Stelling 14.5(1) toe op $h$ in $x = 0$ :

(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .

Als $\varepsilon \to 0$ : de linkerkant gaat naar $h(0)$ ( $h$ continu begrensd: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y) - h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ door splitsen klein/groot $y$ ); de rechterkant stijgt naar $\frac1{2\pi}\int\hat h$ via MCT ( $\hat h \geq 0$ ). Dus $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$ , eindig of niet a priori — en eindig, bewijzend zowel lidmaatschap als de identiteit.

Uitbreiding: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ is dicht in $L^2$ (Stelling 12.6); de transformatie is $\sqrt{2\pi}$ -isometrisch daar, dus strekt uniek uit tot een isometrie-op-constante-na $\mathcal F$ op $L^2$ (Stelling 7.2). Inversie voor $\mathcal S$ (Stelling 14.7) transporteert via dezelfde dichtheid (beide zijden $L^2$ -continu): $\mathcal F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ op $\mathcal S$ , dus op $L^2$ : bijectiviteit. Inwendige producten: polarisatie uit de normidentiteit. ∎

Stelling 14.9 (Somformule van Poisson)

Zij $f \in \mathcal S(\R)$ (continue $f$ met $\abs{f} + \abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ volstaat). Dan

\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .

Bewijs. Zij $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$ : de reeks convergeert normaal op compacta (verval van $f$ ), dus $F$ is continu, en ze is $1$ -periodiek. Haar Fouriercoëfficiënten (periode $1$ : $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$ ):

c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)

(normale convergentie rechtvaardigt de verwisseling; de fase is $1$ -periodiek). De reeks $\sum_k\abs{c_k(F)}$ convergeert (verval van $\hat f$ ), dus de Fourierreeks van $F$ convergeert normaal; haar som is een continue functie met dezelfde Fouriercoëfficiënten als $F$ , dus gelijk aan $F$ (injectiviteit op de cirkel: het verschil heeft nule coëfficiënten, en Stelling 13.9 geeft nul in $L^2$ , dus overal door continuïteit). Evalueer in $x = 0$ . ∎

Voorbeeld 14.10 (De theta-identiteit)

Poisson toepassen op $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ( $t > 0$ ), wier transform $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ is (Voorbeeld 14.2 met $a = \pi t$ ):

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t} = \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :

de functionaalvergelijking van Jacobi’s theta-functie, sleutel tot de functionaalvergelijking van Riemanns $\zeta$ — en een spectaculaire numerieke accelerator: voor $t$ klein convergeert de linkerkant langzaam, de rechterkant bliksemsnel.

Methode 14.11

Werkbereiken: $L^1$ — transform puntsgewijs gedefinieerd, inversie heeft $\hat f \in L^1$ nodig; $\mathcal S$ — alles is legaal, bewijs hier eerst; $L^2$ — transform gedefinieerd via dichtheid (niet via de integraal!), perfecte symmetrie, Parseval-boekhouding. Om een transform te berekenen: reduceer tot de tabel (indicator, exponentiaal, Gauss) via de regels van Propositie 14.1; om een identiteit te bewijzen: vestig ze op $\mathcal S$ (of $\mathcal C_c^\infty$ ) en strek uit via dichtheid en continuïteit (Methode 12.13); om een lineaire PDE of ODE met constante coëfficiënten op te lossen: transformeer, deel, inverteer.

De warmtekern g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t op drie tijden: totale massa 1 voor altijd, hoogte t-1/2, breedte √ t. Convolueren van beginwaarden met deze spreidende Gauss is de hele inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde plaatje g_t( ) = -t 2 — hoge frequenties sterven eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd. — De warmtekern $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ op drie tijden: totale massa $1$ voor altijd, hoogte $\sim t^{-1/2}$ , breedte $\sim \sqrt t$ . Convolueren van beginwaarden met deze spreidende Gauss is de hele inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde plaatje $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — hoge frequenties sterven eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd.

14.5 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Bereken de Fouriertransformaties van: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ ; $\eu^{-a\abs x}$ ( $a > 0$ ); de tentfunctie $\max(0, 1 - \abs x)$ ; $\frac1{x^2 + a^2}$ (gebruik inversie op de tweede). Noteer de opkomende tabel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) = \int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (waarde $2a$ in $0$ ). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a + \iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} + \frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$ . Tent: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} * \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ , dus haar transform is $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 = \bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$ . Laatste: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$ , dus inversie (Stelling 14.5(2)) toegepast op $\eu^{-a\abs x}$ geeft, na hernoemen van variabelen,

\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .

Oefening 14.2 ★

Zij $f \in L^1$ . Druk uit in termen van $\hat f$ de transformaties van: $f(x - a)$ , $f(x)\cos(bx)$ , $f(ax + b)$ , $\overline{f(-x)}$ , $(f * f)(x)$ . Verifieer elke regel op de Gauss.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

Uit Propositie 14.1: $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ ; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat f(\xi + b)\bigr)$ ; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ( $a > 0$ ); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$ ; $\widehat{f * f} = \hat f^2$ . Op de Gauss ( $\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$ ) is elke regel een eenregelige controle — b.v. $\eu^{-(x-a)^2}$ heeft transform $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$ , die de directe berekening (maak het kwadraat volledig) bevestigt.

Oefening 14.3 ★★

(a) Toon dat $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ transform $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi \bigr)^2$ heeft, en concludeer $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ via Plancherel — of via inversie in $0$ . Vergelijk Probleem 10.1. (b) Bereken $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ via Plancherel toegepast op $\eu^{-\abs x}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ heeft $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$ ; inversie in $x = 0$ , waar $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1) = 2$ :

2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2 \dd\xi \ \Longrightarrow\ \int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,

consistent met $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} = \frac\pi2$ (Probleem 10.1).

(b) Plancherel voor $f = \eu^{-\abs x}$ : $\int\abs{\hat f}^2 = 2\pi\int\abs f^2$ leest $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} = 2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$ : $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$ .

Oefening 14.4 ★★

(Warmtekern-algebra) Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : (a) verifieer $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ ; (b) concludeer de semigroepwet $g_t * g_s = g_{t+s}$ zonder enige integraalberekening; (c) toon $\norm{g_t}_1 = 1$ en $\norm{g_t}_2^2 = (8\pi t)^{-1/2}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : via Voorbeeld 14.2 met $a = \frac1{4t}$ , $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$ . (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ , en de transform is injectief op $L^1$ (Stelling 14.5(3)): $g_t * g_s = g_{t+s}$ . (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (Gauss-integraal); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x = \frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$ .

Oefening 14.5 ★★

Toon dat als $f \in L^1$ even en reëel is, $\hat f$ even en reëel is; als $f$ oneven en reëel is, is $\hat f$ oneven en zuiver imaginair. Wat berekent $\hat f(0)$ ? Concludeer dat $f \geq 0$ $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$ forceert, en interpreteer voor kansdichtheden (Hoofdstuk 23: een karakteristieke functie heeft modulus $\leq 1$ , bereikt in $0$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Voor reële even $f$ : $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (het sinusdeel cancelleert): reëel en even. Oneven: $\hat f(\xi) = -\iu\int f\sin(\xi x)$ : oneven, zuiver imaginair. $\hat f(0) = \int f$ : de totale massa. Als $f \geq 0$ : $\abs{\hat f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$ , dus het sup wordt bereikt in $0$ . Voor een kansdichtheid is $\hat f(-\xi)$ de karakteristieke functie van Hoofdstuk 23: modulus $\leq 1$ overal, $= 1$ in de oorsprong.

Oefening 14.6 ★★★

(Niet-surjectiviteit) Toon dat $\widehat{\phantom f}\colon L^1 \to \mathcal C_0$ injectief en continu is, maar niet surjectief, in drie stappen. (i) Injectiviteit (Stelling 14.5) en continuïteit ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ), en $\mathcal C_0$ is een Banachruimte (gesloten in $\norm\cdot_\infty$ ). (ii) Als de afbeelding surjectief was, zou ze bijectief zijn, en de open-afbeeldingsstelling (Stelling 8.12) zou een constante $C$ geven met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ voor alle $f \in L^1$ . (iii) Weerspreek dit met $f_n(x) = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : haar transform is (op constanten na) de convolutie $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ -type trapezium — toon $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniform, terwijl $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ door de bogen van $\frac{\abs{\sin x}}x$ op $[1, n]$ te tellen (waar de tweede factor van onderen begrensd is), zoals in Stelling 8.11.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

(i) Injectiviteit is Stelling 14.5(3); continuïteit is $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (met waarden in $\mathcal C_0$ via Riemann–Lebesgue); $\mathcal C_0$ is gesloten in de sup-norm (uniforme limieten van verdwijnende-in-oneindig-functies verdwijnen in oneindig): Banach.

(ii) Een continue bijectie tussen Banachruimten heeft continue inverse (Stelling 8.12): er zou $C$ zijn met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ .

(iii) Zij $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : een product van twee $L^2$ -functies, en $O(x^{-2})$ in oneindig, dus $f_n \in L^1\cap L^2$ . Omdat $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ $L^2$ -transform $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ heeft, geeft de productformule $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (geldig voor $g, h \in L^2$ met $gh \in L^1$ ; controleer op Schwartz-functies via Fubini en strek uit via $L^2$ -continuïteit van beide zijden via Plancherel)

\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf 1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):

een trapezium van hoogte $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$ : $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ voor elke $n$ . Maar op $[1, n]$ , $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$ , dus

\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq c\ln n

(bogentelling, zoals in Stelling 8.11). De grens $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ faalt voor grote $n$ : niet surjectief. (Het beeld is een dichte — via Stone–Weierstrass-type argumenten — maar echte deelruimte van $\mathcal C_0$ .)

Oefening 14.7 ★★

(Gladheid $\leftrightarrow$ verval-woordenboek) Bewijs: $f \in L^1$ met $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ voor zekere $\delta > 0$ impliceert dat $f$ een $\mathcal C^k$ -representant heeft. Omgekeerd $f \in \mathcal C^k_c$ impliceert $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$ . Illustreer beide richtingen op de tentfunctie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

Als $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ : dan $\xi^j\hat f \in L^1$ voor $0 \leq j \leq k$ (integreerbaar in oneindig via het verval, lokaal via continuïteit van $\hat f$ ). Inversie (Stelling 14.5(2)) representeert $f$ a.e. door $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ , en differentiatie onder de integraal (dominators $\abs{\xi^j\hat f}$ ) maakt deze representant $\mathcal C^k$ . Omgekeerd voor $f \in \mathcal C_c^k$ : itereren van Propositie 14.1(4), $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$ , dus $\abs{\hat f} \leq \norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$ . Tentfunctie: continu met compacte drager ( $k = 0$ : transform begrensd), en haar transform $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ geeft, via de eerste richting, een $\mathcal C^0$ -representant — beide scherp: de tent is niet $\mathcal C^1$ , en haar transform vervalt niet sneller dan $\xi^{-2}$ .

Oefening 14.8 ★★★

(Ongelijkheid van Heisenberg) Voor $f \in \mathcal S(\R)$ reëel met $\norm f_2 = 1$ , bewijs

\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot \Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr) \;\geq\; \frac14 ,

met gelijkheid voor Gaussen. (Schrijf $1 = \int f^2 = -\int x\,(f^2)'$ partieel, begrens door Cauchy–Schwarz, en converteer $\norm{f'}_2$ via Plancherel.) Interpretatie: een signaal en zijn spectrum kunnen niet beide geconcentreerd zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Partieel integreren ( $f \in \mathcal S$ ; randtermen verdwijnen):

1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .

Plancherel en $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ : $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$ . Kwadrateer de weergave:

\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi} \int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .

Gelijkheid vereist gelijkheid in Cauchy–Schwarz: $f' = \lambda xf$ met $\lambda < 0$ (integreerbaarheid), d.w.z. $f(x) = c\,\eu^{\lambda x^2/2}$ : Gaussen. Een signaal geconcentreerd in $x$ (kleine $\norm{xf}_2$ ) moet uitgespreid spectrum hebben, en omgekeerd: het onzekerheidsprincipe.

Oefening 14.9 ★★

Rechtvaardig Voorbeeld 14.10 in detail (hypothesen van Poisson voor de Gauss), en gebruik de identiteit om $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ tot zes decimalen met drie termen te evalueren. Hoeveel termen van de definiërende reeks zou dezelfde nauwkeurigheid vereisen bij $t = 10^{-2}$ , versus de getransformeerde reeks?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

De Gauss $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ is Schwartz, dus Stelling 14.9 geldt, en $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ; in $\xi = 2\pi k$ wordt de rechterkant $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$ : de theta-identiteit. Bij $t = 1$ :

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} + \cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,

nauwkeurig tot $6$ decimalen met drie termen ( $\eu^{-9\pi} \approx 5\cdot10^{-13}$ ). Bij $t = 10^{-2}$ : de definiërende reeks heeft $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$ nodig, d.w.z. $n \gtrsim 23$ — ongeveer $47$ termen — terwijl de getransformeerde reeks $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$ is, waar al de $k = 1$ -term $\sim 10^{-136}$ is: één term volstaat.

Oefening 14.10 ★★

(Bandbegrensde functies) Zij $f \in L^2(\R)$ met $\mathcal Ff$ gedragen in $\intcc{-\pi}\pi$ . Toon dat $f$ een representant heeft die zich uitstrekt waarvan elke waarde herwinbaar is uit samples: bewijs de Shannon-interpolatie in de gehele getallen,

f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\, \frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)} \quad\text{in } L^2,

door $\mathcal Ff$ te ontwikkelen in de Fourier-basis van $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ (Stelling 13.9) en term-voor-term terug te transformeren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ (eindige maat), dus inversie geeft de continue representant $f(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ , met

f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal Ff\rangle

in de notatie van Stelling 13.9. Ontwikkelen in die Hilbert-basis: $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ in $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ . Pas de $L^2$ -continue $\mathcal F^{-1}$ term-voor-term toe:

\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf 1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi = \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,

gevend $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ in $L^2$ : een bandbegrensd signaal is bepaald door haar geheeltallige samples — Shannons samplingstelling.

Oefening 14.11 ★★

(De transform als operator van orde vier) Op $\mathcal S(\R)$ , zij $\mathcal F f = \hat f$ . (a) Met de inversieformule, toon $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi\,f(-x)$ , en concludeer $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\, \mathrm{id}$ . (b) Concludeer dat elke eigenwaarde van $\mathcal F$ op $\mathcal S$ tot $\{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ behoort, en exposeer een eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$ (welke functie van dit hoofdstuk is evenredig met haar eigen transform?). (c) Toon dat even functies $\mathcal F^2f = 2\pi f$ en oneven $\mathcal F^2f = -2\pi f$ voldoen; produceer een eigenfunctie voor de eigenwaarde $-\iu\sqrt{2\pi}$ uit $x\eu^{-x^2/2}$ door haar transform te berekenen (differentiëer de transform van de Gauss).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

(a) Inversie op $\mathcal S$ : $f(x) = \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$ , d.w.z. $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$ . Tweemaal toepassen: $\mathcal F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$ .

(b) Als $\mathcal Ff = \lambda f$ met $f \neq 0$ : $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$ , dus $\lambda^4 = (2\pi)^2$ : $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ . De Gauss $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ heeft $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ (Voorbeeld 14.2 bij $a = \frac12$ ): eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$ .

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ is gelijk aan $\pm2\pi f$ volgens pariteit. Voor $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$ : differentiëren van $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ met de regel $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ :

\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi} \eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2} = -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :

een eigenfunctie voor $-\iu\sqrt{2\pi}$ . (De Hermite-functies zetten het patroon voort, cyclerend door de vier eigenwaarden — de discrete Fourier-klok.)

Oefening 14.12 ★★

(Autocorrelatie en lemma van Wiener) Voor $f \in L^2(\R)$ definieer $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ en de autocorrelatie $A_f = f * \tilde f$ . (a) Toon dat $A_f$ een begrensde continue functie is met $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ voor alle $x$ (Oefening 12.6 en Cauchy–Schwarz). (b) Toon, eerst voor $f \in L^1\cap L^2$ , dat $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$ : de autocorrelatie heeft niet-negatieve transform — spectra van autocorrelaties zijn vermogensspectra. (c) Concludeer de identiteit $\int_\R\abs{\hat f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ (inversie; rechtvaardig toepasbaarheid wanneer $\hat f \in L^2$ $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ heeft), en evalueer ze voor $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ in $x = 0$ : herwin $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

(a) $\tilde f \in L^2$ met $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$ ; Oefening 12.6 (geconjugeerde exponenten $p = q = 2$ ) maakt $A_f = f * \tilde f$ begrensd en uniform continu, met

A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y, \qquad A_f(0) = \norm f_2^2, \qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot - x)}_2 = A_f(0)

via Cauchy–Schwarz.

(b) Voor $f \in L^1\cap L^2$ : $\tilde f \in L^1$ ook, en de convolutiestelling geeft $\widehat{A_f} = \hat f\, \widehat{\tilde f}$ ; berekenend, $\widehat{\tilde f}(\xi) = \int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} = \overline{\hat f(\xi)}$ : $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ .

(c) Wanneer $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ , geldt inversie voor de continue $A_f$ (haar transform is integreerbaar; Stelling 14.5):

A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2 \eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .

Voor $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ : $\hat f(\xi) = \frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$ , en in $x = 0$ :

1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R \Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u

( $\xi = 2u$ ), d.w.z. $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ — Plancherels favoriete integraal, herwonnen via autocorrelatie.

14.6 Probleem: de warmtevergelijking op de lijn

Probleem 14.1

Weekendopgave — $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ , van begin tot eind opgelost

Warmte spreidt; de vergelijking $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ zegt dat haar dichtheid diffundeert met een snelheid gegeven door de lokale kromming van het temperatuurprofiel. We lossen het Cauchy-probleem op $\R$ op — gegeven $f$ , vind $u(t, x)$ voor $t > 0$ met $u(0, \cdot) = f$ — bewijzen de opmerkelijke eigenschappen van de oplossing, en zien waarom tijd niet omkeerbaar is. Doorheen is $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ de warmtekern en $u(t, \cdot) = g_t * f$ .

Deel I — De kern afleiden. Werk eerst formeel: veronderstel $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ lost de vergelijking op, en laat $\hat u(t, \xi)$ de transform in $x$ zijn.

Toon (formeel) $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , dus $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , en herken $u(t) = g_t * f$ (Oefening 14.4). Dit motiveert de definitie van $u$ ; alles wordt nu direct bewezen, voor $f \in \mathcal C_b(\R)$ (begrensd continu) of $f \in L^p$ .

Deel II — Verificatie.

Toon dat voor $t > 0$ , $u(t, x) = \int g_t(x-y)f(y)\dd y$ welgedefinieerd is voor $f \in \mathcal C_b$ , en dat $u$ $\mathcal C^\infty$ is in $(t, x)$ op $\intoo0\infty\times\R$ (differentiëer onder de integraal; domineer Gauss-afgeleiden lokaal uniform in $(t,x)$ ).
Verifieer $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ door directe berekening, en concludeer $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ voor $t > 0$ .
(Beginvoorwaarde) Toon dat voor $f \in \mathcal C_b$ , $u(t, x) \to f(x)$ als $t \to 0^+$ , uniform op compacta (benaderende eenheid: splits $\abs y \leq \delta$ , $\abs y > \delta$ ); voor $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ), toon $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
(Instant gladmaking) Concludeer: zelfs voor louter begrensd continue $f$ is de oplossing $\mathcal C^\infty$ voor elke $t > 0$ — warmte wist onmiddellijk ruwheid. Bereken $u(t, \cdot)$ expliciet voor $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (een errorfunctie) en schets haar profiel voor drie waarden van $t$ .

Deel III — Structurele eigenschappen.

(Positiviteit en vergelijking) Als $f \geq 0$ dan $u > 0$ voor alle $t > 0$ (strikt, tenzij $f = 0$ a.e.); als $f_1 \leq f_2$ dan $u_1 \leq u_2$ . Een koude plek warmt onmiddellijk: commentarieer.
(Behoud) Voor $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x = \int f$ voor alle $t$ (Tonelli) — totale warmte is behouden.
(Dissipatie) Voor $f \in L^1\cap L^2$ , toon via Plancherel dat $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ niet-stijgend is, strikt tenzij $f = 0$ , en bereken haar limiet als $t \to \infty$ . Toon bovendien $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ : warmte spreidt en sterft.
(Uniciteit, $L^2$ -klasse) Zij $u$ een oplossing met $u(t) \in L^2$ voor alle $t$ , $u \in \mathcal C^1(\intoo0\infty, L^2)$ in de natuurlijke zin en $u(t) \to f$ in $L^2$ als $t\to0$ ; toelatend dat de transform haar omzet in $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ puntsgewijs a.e. in $\xi$ voor a.e. $t$ (gerechtvaardigd door testen tegen $\mathcal C_c^\infty$ in $\xi$ — schets dit), toon $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , dus uniciteit in deze klasse.

Deel IV — De pijl van de tijd.

Toon dat het achterwaartse probleem slecht gesteld is: opdat de oplossing in tijd $-s$ ( $s > 0$ ) bestaat met data $f$ in tijd $0$ — d.w.z. opdat $f = g_s * h$ een oplossing $h \in L^2$ heeft — is nodig dat $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : een extreme vervalvoorwaarde op $\hat f$ . Exposeer een expliciete gladde $f \in L^2$ waarvoor geen achterwaartse oplossing op enig tijdsinterval bestaat: neem de functie met $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ — identificeer $f$ (Oefening 14.1) en toon $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ voor elke $s > 0$ .
(Gladmaking vs. informatie) Leg in een korte alinea, met vragen 5, 9 en 10, uit waarom de warmtesemigroep $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ injectief maar niet surjectief is op $L^2$ , en waarom dit de onomkeerbaarheid van diffusie uitdrukt.

Deel V — Shannons samplingstelling. Een functie $f \in L^2(\R)$ is bandbegrensd tot $\Omega$ als $\hat f = 0$ a.e. buiten $\intcc{-\Omega}\Omega$ ; schrijf $PW_\Omega$ (Paley–Wiener-ruimte) voor deze.

Toon dat elke $f \in PW_\Omega$ a.e. overeenstemt met de $\mathcal C^\infty$ -functie $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (rechtvaardig gladheid en de identificatie), met alle afgeleiden begrensd: bandbeperking is een extreme vorm van regulariteit. Vanaf nu duidt $f$ deze representant aan.
Ontwikkel $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ in de Fourier-basis van dat interval en identificeer de coëfficiënten als samples van $f$ :

$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z} f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\, \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega} \quad\text{in } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$
Concludeer de samplingstelling: voor $f \in PW_\Omega$ ,

$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi} \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi), \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$

met convergentie in $L^2(\R)$ en uniform op $\R$ (injecteer de reeks van vraag 13 in de inversieformule en bereken de elementaire integraal): een bandbegrensd signaal is volledig bepaald door haar waarden op een rooster van stap $\pi/\Omega$ — de Nyquist-snelheid.
Toon dat de functies $x \mapsto \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , een orthogonale familie in $L^2(\R)$ vormen met constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$ , en concludeer de energie-identiteit $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .
(Aliasing) Exposeer een niet-nul $g \in PW_{2\Omega}$ die verdwijnt in elk samplepunt $\frac{n\pi}\Omega$ (beschouw $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ en controleer haar band): samplen onder de Nyquist-snelheid verliest informatie — twee verschillende signalen kunnen alle samples delen: het stroboscopische wagenwiel-effect, gemathematiseerd.
(Vrijheidsgraden) Met vragen 14–15, rechtvaardig de ingenieursregel: een signaal bandbegrensd tot $\Omega$ waarvan de energie in wezen door een tijdsvenster van lengte $T$ wordt gedragen, wordt beschreven door ongeveer $\frac{\Omega T}\pi$ reële samples — maak “in wezen” precies via de energie-identiteit en de staart $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ .
(Consistentiecontroles) Verifieer de samplingstelling met de hand op twee leden van $PW_\Omega$ : (a) $f = \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , wier samples $\delta_{n0}$ zijn; (b) $f(x) = \cos(\omega x) \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ -type smalleband- signalen — preciezer, toon dat voor $f \in PW_{\Omega'}$ met $\Omega' < \Omega$ , de $\Omega$ -snelheidsreeks $f$ ook reconstrueert (oversampling is onschuldig), door $PW_ {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ in te bedden.

Deel VI — Onzekerheid, nog tweemaal. Heisenbergs ongelijkheid (Oefening 14.8) begrens hoe geconcentreerd $f$ en $\hat f$ gezamenlijk kunnen zijn; hier zijn haar alles-of-niets-zus en haar exacte verzadiging.

Zij $f \in L^1$ met $\operatorname{supp}f \subseteq \intcc{-A}A$ . Toon dat $\hat f$ de som is van een overal-convergente machtreeks:

$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!} \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x, \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$

(ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x}$ en rechtvaardig de verwisseling door normale convergentie): de transform is reëel-analytisch, met oneindige straal van convergentie in elk punt.
Concludeer de drager-dichotomie: een reëel-analytische functie die verdwijnt op een niet-leeg open interval verdwijnt identiek (de verzameling waar alle afgeleiden verdwijnen is open en gesloten — werk het Taylor-argument uit); concludeer dat geen niet-nul $f$ zowel $f$ als $\hat f$ compact gedragen heeft, en dat $PW_\Omega$ geen niet-nul compact-gedragen functie bevat — bandbegrensde signalen duren eeuwig, en tijdsbegrensde signalen lekken in alle frequenties.
(Verzadiging van Heisenberg) Op de Gauss-familie $f = \eu^{-ax^2}$ , bereken beide concentratiefactoren en verifieer dat het genormaliseerde product $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ gelijk is aan $\frac14$ voor elke $a$ — de gelijkheidsfamilie van Oefening 14.8 in levenden lijve; leg via een schalingsargument uit waarom het product constant moet zijn langs de familie.
Leg de fysische lezing uit (positie/impulsdichtheden van een kwantumtoestand; $\hbar$ in de normalisatie geeft $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ ), en verbind over het hoofdstuk: instant gladmaking (Deel II), onomkeerbaarheid (Deel IV), sampling (Deel V), Heisenberg en de drager-dichotomie zijn vijf uitdrukkingen van één wet — het gedrag van $\hat f$ in oneindig wetgeeft wat $f$ overal mag doen.

Deel VII — De algebra van de kern, en één oplosbaar voorbeeld.

(Semigroep) Bewijs de Chapman–Kolmogorov- identiteit $g_t * g_s = g_{t+s}$ voor $t, s > 0$ (via de convolutiestelling en injectiviteit van de transform op $L^1$ ), en concludeer $u(t + s) = g_s * u(t)$ : evolueren voor tijd $t + s$ is evolueren voor $t$ , dan voor $s$ . Verscherp de dissipatie van vraag 8: schrijvend $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ , toon via Cauchy–Schwarz dat

$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2 \quad\text{convex is op } \intoo0{+\infty} :$

de $L^2$ -energie daalt niet louter, ze daalt log-convex.
(Waar de warmte naartoe gaat) Zij $f \geq 0$ , $f \in L^1$ , met $\int x^2f(x)\dd x < \infty$ . Toon dat voor alle $t > 0$

$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x, \qquad \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$

het zwaartepunt van de warmte beweegt nooit, en de variantie groeit lineair in de tijd — de diffusieve schaling $x \sim \sqrt{2t}$ , te herlezen wanneer Brownse beweging verschijnt in Hoofdstuk 22. (Bereken de eerste twee momenten van $g_t$ en gebruik Tonelli op de convolutie.)
(De Gauss, van begin tot eind opgelost) Voor $f(x) = \eu^{-x^2}$ , vestig de gesloten vorm

$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\, \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$

en verifieer erop, met de hand: de vergelijking $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ; behoud $\int u(t) = \sqrt\pi$ ; de dissipatiewet $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (vergelijk haar $t^{-1/4}$ -verval met het $t^{-1/2}$ sup-norm-verval van vraag 8); en de exacte variantiegroei van vraag 24. Bij $t = 6$ : de piek is gedaald tot $\frac15$ van haar beginhoogte terwijl het profiel vijf keer breder is — dezelfde warmte, uitgespreid.

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. Transformeren van de vergelijking in $x$ (formeel): $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} = (\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$ , een ODE in $t$ voor elke frequentie: $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ . Omdat $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ (Oefening 14.4), is het product de transform van $g_t * f$ .

2. $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm f_\infty$ : welgedefinieerd. Op $[t_0, T]\times[-A, A]$ : elke gemengde afgeleide $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ is een polynoom in $(x - y)$ en $t^{-1}$ maal $\eu^{-(x-y)^2/4t}$ , begrensd voor $\abs y \geq 2A$ door $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$ , een integreerbare dominator onafhankelijk van $(t, x)$ in het venster (en begrensd voor $\abs y \leq 2A$ ): herhaalde differentiatie onder de integraal (Stelling 10.15) geldt: $u \in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$ .

3. Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ :

\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr) = \partial^2_{xx}g_t

(differentiëer tweemaal in $x$ : $\partial_xg_t = -\frac x{2t}g_t$ , $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\bigr)g_t$ ). Via vraag 2 gaan de afgeleiden onder de integraal: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ .

4. $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\dd y$ . Gegeven een compact $K$ en $\varepsilon$ : uniforme continuïteit van $f$ op een omgeving van $K$ geeft $\delta$ met $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ voor $x \in K$ , $\abs y \leq \delta$ ; de staart draagt $\leq 2\norm f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y = 2\norm f_\infty\,\P$ -massa voorbij $\delta$ , wat $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z \to 0$ is als $t \to 0$ . Voor $f \in L^p$ : $\norm{u(t) - f}_p \leq \int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski/Jensen zoals in Stelling 12.9), splits op dezelfde manier met Stelling 12.6(3).

5. Instant gladmaking is vraag 2 ( $u(t)$ is $\mathcal C^\infty$ voor $t > 0$ zonder gladheid van $f$ te gebruiken). Voor $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ :

u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y = \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z = \frac12\Bigl(1 + \operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr), \qquad \operatorname{erf}(s) = \frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :

een gladgemaakte stap waarvan de overgangszone als $\sqrt t$ verbreedt (profielen bij $t_1 < t_2 < t_3$ : steeds vlakkere hellingen door $(0, \frac12)$ ).

6. De integrand $g_t(x-y)f(y)$ is $\geq 0$ en de kern is strikt positief: $u(t,x) = 0$ zou $f = 0$ a.e. forceren. Monotonie in $f$ is monotonie van de integraal. Een plek waar $f = 0$ op een interval heeft nog steeds $u(t, \cdot) > 0$ daar voor elke $t > 0$ : warmte propageert met oneindige snelheid (elke positiviteit ergens wordt overal onmiddellijk gevoeld).

7. Tonelli ( $g_t(x-y)\abs{f(y)}$ is integreerbaar op $\R^2$ ): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x - y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$ .

8. Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 = \int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ , niet-stijgend in $t$ (puntsgewijs), strikt tenzij $\hat f = 0$ a.e. ( $= f = 0$ ), met limiet $0$ als $t\to\infty$ via DCT. En $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 = \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ .

9. Voor $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ , $t \mapsto \langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ is $\mathcal C^1$ met afgeleide $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle = \langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle = \langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — precies, $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ transporteert de vergelijking. Dan voor a.e. $\xi$ heeft de absoluut continue functie $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ afgeleide $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ in de geïntegreerde zin: ze is constant, en $t \to 0$ latend ( $\hat u(t) \to \hat f$ in $L^2$ , a.e. langs een deelrij): $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ a.e. Twee oplossingen in de klasse hebben dezelfde transform: ze zijn gelijk.

10. $f = g_s * h$ met $h \in L^2$ forceert $\hat f = \eu^{-s\xi^2}\hat h$ , d.w.z. $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in L^2$ . Neem $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ : dan $f(x) = \frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ (Oefening 14.1, inversie), een perfect gladde $L^2$ -functie; maar $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to \infty$ : $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ voor elke $s > 0$ . Het Cauchy-profiel is nooit het resultaat van eerdere diffusie.

11. De warmtesemigroep vermenigvuldigt transforms met $\eu^{-t\xi^2}$ , die nergens verdwijnt: injectief — formeel wordt geen informatie vernietigd. Maar haar bereik bestaat uit functies wier transforms als $\eu^{-t\xi^2}$ vervallen: een piepkleine, dichte-maar-echte deelruimte van $L^2$ (vraag 10 toont dat zelfs uitstekende functies erbuiten liggen). Inverteren zou de frequentie $\xi$ versterken met $\eu^{t\xi^2}$ : onbegrensd, dus instabiel tegen elke verstoring. Diffusie is onomkeerbaar niet omdat de afbeelding vergeet, maar omdat haar inverse niet continu kan zijn — een pijl van de tijd gemaakt van functionaalanalyse.

12. $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \subseteq L^1$ (Cauchy–Schwarz op een begrensd interval), dus $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ is overal gedefinieerd, en differentiatie onder de integraal (gedomineerd door $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ op de band) maakt ze $\mathcal C^\infty$ met $\abs{F^{(k)}} \leq \frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ overal. En $F = f$ a.e.: beide zijden hebben dezelfde transform, en de transform is injectief op $L^2$ (Stelling 14.8 en haar $L^2$ -uitbreiding).

13. De exponentialen $\xi \mapsto \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}$ , $n \in \Z$ , vormen een Hilbert-basis van $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ (Stelling 13.9, herschaald). De coëfficiënt van $\hat f$ langs de $n$ -de is

\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\, \eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\, \eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),

via de formule van vraag 12 in $x = \frac{n\pi}\Omega$ : de gestelde ontwikkeling geldt in $L^2$ van de band.

14. Injecteer de ontwikkeling in de inversieformule van vraag 12; de verwisseling van som en integraal is de continuïteit van de $L^2$ -paring tegen $\frac1{2\pi} \eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (van $L^2$ -norm $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$ , onafhankelijk van $x$ — vandaar uniformiteit):

f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot \frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr) \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),

omdat $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$ .

15. De berekening van vraag 14 achterstevoren lezend, is de transform van $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$ . Plancherel:

\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi} \Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :

een orthogonale familie van constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$ . Normen nemen in de ontwikkeling van vraag 14: $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .

16. $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc} (\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ verdwijnt in elk roosterpunt $\frac{n\pi}\Omega$ (inclusief $0$ , via de limiet) en is niet identiek nul. Haar band: schrijf $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu\Omega x} - \eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ ; modulatie door $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ verschuift de transform met $\mp\Omega$ , dus $\hat g$ is gedragen in $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (inderdaad in de unie van twee verschoven banden): $g \in PW_{2\Omega}$ , onzichtbaar voor $\Omega$ -snelheidssampling — aliasing in levenden lijve.

17. Via vraag 15 dragen de samples de energie democratisch: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum \abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ . Als de energie van het signaal buiten het tijdsvenster $\intcc{-T/2}{T/2}$ $\leq \varepsilon^2\norm f^2$ is, voldoen de samples buiten het venster (op randtermen na gecontroleerd door de uniforme grens van vraag 12) $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2} \abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x > T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$ : de samplingreeks inkorten tot de $\approx \frac{\Omega T}\pi$ in-venster indices reconstrueert $f$ tot relatieve fout $\approx\varepsilon$ . Vandaar telt het tijd–bandbreedte- product $\frac{\Omega T}{\pi}$ de effectieve reële vrijheidsgraden van het signaal — de regel achter elk audioformaat.

18. (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ heeft samples $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) = \delta_{n0}$ : de reeks reduceert tot haar $n = 0$ -term, $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — de stelling reproduceert haar eigen kern. (b) Als $\hat f$ gedragen is in $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq \intcc{-\Omega}\Omega$ , loopt elke stap van vragen 13–14 woordelijk met de grotere band $\Omega$ (de ontwikkeling van $\hat f$ op het grotere interval is nog steeds legitiem): sneller samplen dan je eigen Nyquist-snelheid verandert niets in de reconstructie — oversampling is onschuldig, en in de praktijk nuttig (sneller-vervallende reconstructiekernen kunnen dan gebruikt worden).

19. Ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x} = \sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ binnen de integraal; op $\intcc{-A}A$ convergeert de reeks normaal ( $\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$ ), dus term-voor-term-integratie is legitiem:

\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k, \qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .

De grens maakt de reeks convergent voor elke complexe $\xi$ ; rond elk punt $\xi_0$ geeft hergroeperen (absolute convergentie) een machtreeks in $\xi - \xi_0$ : $\hat f$ is reëel-analytisch met oneindige straal overal.

20. Zij $g$ reëel-analytisch op $\R$ (Taylorreeks convergerend naar $g$ nabij elk punt) en $Z = \{\xi : g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$ . $Z$ is gesloten (doorsnede van gesloten verzamelingen); ze is open, omdat in $\xi_0 \in Z$ de lokale Taylorontwikkeling van $g$ de nulreeks is, dus $g$ verdwijnt identiek nabij $\xi_0$ , samen met alle afgeleiden. Als $g$ verdwijnt op een interval, $Z \neq \varnothing$ ; via samenhang van $\R$ , $Z = \R$ : $g \equiv 0$ . Nu als $f \neq 0$ compacte drager samen met $\hat f$ had: vraag 19 maakt $\hat f$ reëel-analytisch, verdwijnend buiten een compact, dus op intervallen: $\hat f \equiv 0$ , dus $f = 0$ a.e. via injectiviteit — tegenspraak. Evenzo kan een niet-nul $f \in PW_\Omega$ niet compact gedragen zijn (verwissel de rollen van $f$ en $\hat f$ via inversie): bandbegrensde signalen sterven nooit, tijdsbegrensde signalen bezetten onbegrensd spectrum.

21. Voor $f = \eu^{-ax^2}$ : $\norm f_2^2 = \sqrt{\frac\pi{2a}}$ en $\int x^2\abs f^2 = \frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (Gauss-tweede moment); $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ (Voorbeeld 14.2) en

\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2 \eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a} = \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .

Genormaliseerd product: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot \frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$ , onafhankelijk van $a$ . Schaling verklaart de constantheid: $f$ vervangen door $f(\lambda\cdot)$ vermenigvuldigt $\int x^2\abs f^2/\norm f^2$ met $\lambda^{-2}$ en $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2/\norm f^2$ met $\lambda^{2}$ : het product is dilatie-invariant, en de Gaussen vormen één dilatiebaan.

22. Met $\abs f^2$ de positiesdichtheid en $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ de impulsdichtheid van een kwantumtoestand (fysische eenheden voegen $\hbar$ in), leest Oefening 14.8 $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ : geen toestand is scherp in beide observabelen. Over het hoofdstuk draagt één wet vijf pakken: warmte gladmaakt onmiddellijk omdat $\eu^{-t\xi^2}$ hoge frequenties vernietigt (Deel II); de stroom kan niet achteruit lopen omdat ze herstellen onbegrensd is (Deel IV); een bandbegrensd signaal is star genoeg om op een aftelbaar rooster te leven (Deel V); geen functie slaat Heisenbergs vloer; en geen functie is compact gedragen aan beide zijden van de transform (vragen 19–20). Wat $\hat f$ in oneindig doet, regelt wat $f$ overal mag doen.

23. Zowel $g_t$ als $g_s$ liggen in $L^1$ met $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (berekening van vraag 1), dus de convolutiestelling geeft $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ ; twee $L^1$ -functies met dezelfde transform stemmen a.e. overeen (injectiviteit, via de inversiestelling — hier zijn beide zijden continu, dus ze stemmen overal overeen): $g_t * g_s = g_{t+s}$ . Bijgevolg $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (associativiteit van convolutie, Tonelli). Log-convexiteit: zij $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (Plancherel, vraag 8). Voor $t = \frac{t_1 + t_2}2$ , schrijf

\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2 = \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},

en Cauchy–Schwarz geeft $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq \sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$ : $\ln N$ is middenpuntconvex, en continu zijnde (gedomineerde convergentie in $t$ ), convex; zo is $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$ . Verval met een convexe logaritme: de warmtestroom kan energie niet in een uitbarsting verliezen en dan stagneren.

24. De momenten van de kern: $\int g_t = 1$ (vraag 7 met $f = g_s$ , of direct de Gauss-integraal), $\int x\,g_t(x)\dd x = 0$ (oneven integrand), en, substituerend $x = 2\sqrt t\,v$ ,

\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x = \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .

Substituerend $x = z + y$ in de convolutie en noteren $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (elk van $\int\abs z^kg_t$ , $\int\abs y^kf$ is eindig voor $k \leq 2$ , met $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$ ), Fubini en Tonelli gelden voor de momentintegralen hieronder:

\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,

wat de eerste claim is; en

\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,

de tweede. Gemiddelden tellen op, varianties tellen op, en de kern draagt gemiddelde $0$ en variantie $2t$ bij: na tijd $t$ heeft de warmte zich over een breedte van orde $\sqrt{2t}$ verspreid — afstand groeit als de vierkantswortel van de tijd, de handtekening van diffusie (en van de Brownse paden van Hoofdstuk 22).

25. Transformzijde: $\hat f(\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$ , dus $\hat u(t,\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$ , wat de transform is van $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (het Gauss-woordenboek $\eu^{-ax^2} \mapsto \sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ met $a = \frac1{1+4t}$ ): de gesloten vorm. Directe controle, met $\sigma = 1 + 4t$ :

\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma} \Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr) = \partial^2_{xx}u ,

beide zijden berekend uit $\partial_xu = -\frac{2x}\sigma\,u$ . Behoud: $\int u(t) = \sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ voor alle $t$ . Dissipatie:

\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x = \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2} = \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},

dus $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$ , niet-stijgend met convexe logaritme (vraag 23); de $L^2$ -norm vervalt als $t^{-1/4}$ , precies de helft van de $t^{-1/2}$ -exponent van $\norm{u(t)}_\infty$ — consistent met $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ en behoud van $\norm u_1$ . Variantie: $\int x^2u(t) = \frac1\sigma\cdot\frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 = \frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$ , zoals vraag 24 voorspelt ( $\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$ , $\int f = \sqrt\pi$ ). Bij $t = 6$ : $\sigma = 25$ , piekhoogte $u(6, 0) = \frac15$ versus $u(0,0) = 1$ , breedteschaal $\sqrt\sigma = 5$ maal de beginwaarde, en $\int u = \sqrt\pi \approx 1.7725$ doorheen: de vlek is vijf keer lager, vijf keer breder, en er ontbreekt geen calorie.

14.1 De transformatie op L1L^1L1

14.2 Inversie en injectiviteit

14.3 De Schwartz-klasse

14.4 Plancherel en L2L^2L2

14.5 Oefeningen

14.6 Probleem: de warmtevergelijking op de lijn

14.1 De transformatie op $L^1$

14.4 Plancherel en $L^2$