Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

14De fouriertransformatie

Fourierreeksen ontbinden periodieke signalen in discrete harmonischen; de fouriertransformatie doet hetzelfde voor signalen op de hele lijn, met een continuüm aan frequenties. Ze zet differentiëren om in vermenigvuldigen, convolutie in producten, en gaussische functies in gaussische functies — de redenen waarom ze differentiaalvergelijkingen oplost, de signaalverwerking aandrijft en in Hoofdstuk 23 de centrale limietstelling zal bewijzen. Dit hoofdstuk ontwikkelt de $L^1$ -theorie (Riemann–Lebesgue, inversie, injectiviteit), de klasse van Schwartz waarin de transformatie een volmaakte bijectie is, en de $L^2$ -theorie (Plancherel: de transformatie is op een constante na een unitaire operator), met twee paradepaardjes als toepassing: de warmtevergelijking, in de weekendopgave van begin tot eind opgelost, en de sommatieformule van Poisson. Afspraak:

\hat f(\xi) = \int_\R f(x)\,\eu^{-\iu\xi x}\,\dd x .

14.1 De transformatie op $L^1$

Propositie 14.1

Voor $f \in L^1(\R)$ is $\hat f$ goed gedefinieerd, begrensd ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ) en continu, en geldt:

$\widehat{\tau_af}(\xi) = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ en $\widehat{\eu^{\iu ax}f}(\xi) = \hat f(\xi - a)$ ;
$\widehat{f(\cdot/\lambda)}(\xi) = \lambda\hat f(\lambda\xi)$ voor $\lambda > 0$ ;
is $xf \in L^1$ , dan is $\hat f$ $\mathcal C^1$ met $(\hat f)'(\xi) = \widehat{(-\iu x)f}(\xi)$ ;
is $f \in \mathcal C^1$ met $f' \in L^1$ (en $f \to 0$ in $\pm\infty$ , hier automatisch), dan is $\widehat{f'}(\xi) = \iu\xi\hat f(\xi)$ ;
$\widehat{f * g} = \hat f\,\hat g$ voor $f, g \in L^1$ .

Bewijs. Begrensdheid: $\abs{\hat f} \leq \int\abs f$ . Continuïteit: gedomineerde convergentie met dominant $\abs f$ (Stelling 10.14). (1), (2): substituties (Stelling 11.10). (3): differentiëren onder de integraal, met dominant $\abs{xf}$ (Stelling 10.15). (4): eerst heeft $f(x) = f(0) + \int_0^xf'$ een limiet in $\pm\infty$ (want $f' \in L^1$ ), die $0$ moet zijn (want $f \in L^1$ ); integreer daarna partieel op $[-A, A]$ en laat $A \to \infty$ gaan. (5): Fubini, geoorloofd omdat $(x,y)\mapsto f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi x}$ absoluut integreerbaar is (Stelling 11.9):

\widehat{f*g}(\xi) = \iint f(x - y)g(y)\eu^{-\iu\xi(x - y)} \eu^{-\iu\xi y}\dd x\,\dd y = \hat f(\xi)\,\hat g(\xi).

∎

Voorbeeld 14.2

De gaussische functie: voor $a > 0$ is

\widehat{\eu^{-ax^2}}(\xi) = \sqrt{\frac\pi a}\;\eu^{-\xi^2/4a} :

volgens Oefening 10.7 (de truc met de differentiaalvergelijking $F' = -\frac\xi{2}F$ , herschaald), of volgens (3): $g = \widehat{\eu^{-ax^2}}$ voldoet aan $g'(\xi) = -\frac{\xi}{2a}g(\xi)$ (partieel integreren) met $g(0) = \sqrt{\pi/a}$ . Gaussische functies zijn op een schaalfactor na vaste punten van de transformatie — de diepe reden waarom ze de centrale limietstelling beheersen.

Stelling 14.3 (Riemann–Lebesgue)

Voor $f \in L^1(\R)$ geldt $\hat f(\xi) \to 0$ als $\abs\xi \to \infty$ . Dus beeldt $\widehat{\phantom f}$ $L^1$ af in $\mathcal C_0(\R)$ (de continue functies die in oneindig verdwijnen).

Bewijs. Voor de indicator van een interval is $\widehat{\mathbf 1_{\intcc ab}}(\xi) = \frac{\eu^{-\iu a\xi} - \eu^{-\iu b\xi}}{\iu\xi} \to 0$ ; dus ook voor trapfuncties. Trapfuncties liggen dicht in $L^1$ (Stelling 12.6(1) plus de benadering van verzamelingen van eindige maat door eindige verenigingen van intervallen, Oefening 9.7), en de transformatie is continu van $\norm\cdot_1$ naar $\norm\cdot_\infty$ : is $\norm{f - s}_1 < \varepsilon$ , dan is $\limsup_{\abs\xi\to\infty}\abs{\hat f(\xi)} \leq \varepsilon$ . ∎

14.2 Inversie en injectiviteit

Lemma 14.4 (Vermenigvuldigingsformule)

Voor $f, g \in L^1(\R)$ is $\displaystyle\int \hat f\,g = \int f\,\hat g$ .

Bewijs. Beide leden zijn gelijk aan $\iint f(x)g(\xi)\eu^{-\iu x\xi}\dd x\,\dd\xi$ (Tonelli–Fubini: de dubbele integraal van de absolute waarde is $\norm f_1\norm g_1$ ). ∎

Stelling 14.5 (Inversie)

Zij $f \in L^1(\R)$ .

(Gaussische sommeerbaarheid) Voor elke $x$ geldt

$(f * g_\varepsilon)(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\, \eu^{-\varepsilon\xi^2}\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi, \qquad\text{met } g_\varepsilon(y) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\varepsilon}}\, \eu^{-y^2/4\varepsilon},$

en $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ als $\varepsilon \to 0$ .
Is bovendien $\hat f \in L^1$ , dan is voor bijna elke $x$

$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_\R \hat f(\xi)\,\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi ,$

en heeft $f$ een continue vertegenwoordiger.
(Injectiviteit) Is $\hat f = 0$ , dan is $f = 0$ b.o.

Bewijs. (1) Leg $x$ vast en pas Lemma 14.4 toe op $f$ en $g(\xi) = \frac1{2\pi}\eu^{-\varepsilon\xi^2}\eu^{\iu x\xi}$ : volgens Voorbeeld 14.2 (met de modulatieregel) is

\hat g(y) = \frac1{2\pi}\sqrt{\frac\pi\varepsilon}\, \eu^{-(y - x)^2/4\varepsilon} = g_\varepsilon(x - y),

dus $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{-\varepsilon\xi^2} \eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \int f(y)g_\varepsilon(x - y)\dd y = (f*g_\varepsilon)(x)$ . De $g_\varepsilon$ vormen een benaderende eenheid: $g_\varepsilon \geq 0$ , $\int g_\varepsilon = 1$ (de gaussische integraal), geconcentreerd rond $0$ ; het bewijs van Stelling 12.9(2) gaat woordelijk door (er werd enkel $\int g_\varepsilon = 1$ en de concentratie gebruikt: voor de staart is $\int_{\abs y > \delta}g_\varepsilon \to 0$ ): dus $\norm{f * g_\varepsilon - f}_1 \to 0$ .

(2) Is $\hat f \in L^1$ , dan convergeert het rechterlid van (1), volgens de gedomineerde convergentie (dominant $\abs{\hat f}$ ), voor elke $x$ naar $\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ , en die limietfunctie is continu (opnieuw gedomineerde convergentie). Anderzijds is $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ , dus langs een deelrij b.o. (Stelling 12.4): de twee limieten vallen b.o. samen.

(3) $\hat f = 0$ laat het rechterlid van (1) verdwijnen: dus $f * g_\varepsilon = 0$ voor alle $\varepsilon$ , terwijl $f * g_\varepsilon \to f$ in $L^1$ : bijgevolg $f = 0$ b.o. ∎

14.3 De klasse van Schwartz

Definitie 14.6

De klasse van Schwartz $\mathcal S(\R)$ bestaat uit de $\mathcal C^\infty$ -functies $f$ met $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ voor alle $m, n \geq 0$ (alle afgeleiden dalen sneller dan elke macht). Voorbeelden: $\eu^{-ax^2}$ , $\mathcal C_c^\infty$ . Duidelijk is $\mathcal S \subseteq L^p$ voor elke $p$ (afschatten met $C(1 + x^2)^{-1}$ ), en $\mathcal S$ is stabiel onder afgeleiden, vermenigvuldiging met veeltermen en producten.

Stelling 14.7

De fouriertransformatie beeldt $\mathcal S(\R)$ bijectief op zichzelf af, met inverse $\check g(x) = \frac1{2\pi}\int g(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ .

Bewijs. Zij $f \in \mathcal S$ . Iteratie van Propositie 14.1(3) geeft $(\hat f)^{(n)} = \widehat{(-\iu x)^nf}$ (elke $x^kf$ ligt in $L^1$ ); iteratie van (4) met $h = (-\iu x)^nf \in \mathcal S$ (waarvan alle afgeleiden integreerbaar zijn) geeft $(\iu\xi)^m\hat h = \widehat{h^{(m)}}$ . Samen:

\abs{\xi^m\,(\hat f)^{(n)}(\xi)} = \bigl|\widehat{\,h^{(m)}}(\xi)\bigr| \leq \bigl\|\bigl((-\iu x)^nf\bigr)^{(m)}\bigr\|_1 < \infty

uniform in $\xi$ : dus $\hat f \in \mathcal S$ . Omdat $\hat f \in L^1$ , geldt de inversie (Stelling 14.5(2)) overal (beide leden zijn continu): $\check{\hat f} = f$ , en symmetrisch $\widehat{\check g} = g$ (de inverse transformatie is $g \mapsto \frac1{2\pi}\hat g(-\cdot)$ , en behoudt eveneens $\mathcal S$ ): een bijectie. ∎

14.4 Plancherel en $L^2$

Stelling 14.8 (Plancherel)

Voor $f \in L^1 \cap L^2(\R)$ is

\norm{\hat f}_2^2 = 2\pi\,\norm f_2^2 .

Bijgevolg breidt $\widehat{\phantom f}$ zich op unieke wijze uit tot een continue lineaire afbeelding $\mathcal F \colon L^2(\R) \to L^2(\R)$ met $\norm{\mathcal Ff}_2 = \sqrt{2\pi}\norm f_2$ ; $\mathcal F$ is bijectief, met $\mathcal F^{-1} = \frac1{2\pi}\,\mathcal F\circ\sigma$ waarbij $\sigma f = f(-\cdot)$ , en ze behoudt de inwendige producten op de factor $2\pi$ na.

Bewijs. Zij $f \in L^1\cap L^2$ en $h = f * \tilde f$ met $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ . Dan is $h \in L^1$ (Stelling 11.9), is $h$ continu en begrensd (Oefening 12.6: $f, \tilde f \in L^2$ ), is $h(0) = \int f\bar f = \norm f_2^2$ , en is $\hat h = \hat f\,\widehat{\tilde f} = \hat f\,\overline{\hat f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ (bereken $\widehat{\tilde f} = \overline{\hat f}$ ). Pas Stelling 14.5(1) toe op $h$ in $x = 0$ :

(h * g_\varepsilon)(0) = \frac1{2\pi}\int \hat h(\xi)\,\eu^{-\varepsilon\xi^2}\dd\xi .

Als $\varepsilon \to 0$ : het linkerlid gaat naar $h(0)$ ( $h$ continu en begrensd: $(h*g_\varepsilon)(0) - h(0) = \int(h(-y) - h(0))g_\varepsilon(y)\dd y \to 0$ door kleine en grote $y$ te splitsen); het rechterlid stijgt naar $\frac1{2\pi}\int\hat h$ volgens de monotone convergentie (want $\hat h \geq 0$ ). Bijgevolg is $\frac1{2\pi}\int\abs{\hat f}^2 = \norm f_2^2$ , a priori eindig of niet — en dus eindig, wat zowel het lidmaatschap als de identiteit bewijst.

Uitbreiding: $L^1\cap L^2 \supseteq \mathcal C_c$ ligt dicht in $L^2$ (Stelling 12.6); daar is de transformatie $\sqrt{2\pi}$ -isometrisch, dus breidt ze zich op unieke wijze uit tot een op een constante na isometrische $\mathcal F$ op $L^2$ (Stelling 7.2). De inversie op $\mathcal S$ (Stelling 14.7) draagt met dezelfde dichtheid over (beide leden zijn $L^2$ -continu): $\mathcal F\bigl(\frac1{2\pi}\mathcal F(\sigma f)\bigr) = f$ op $\mathcal S$ , dus op $L^2$ : bijectiviteit. Inwendige producten: polarisatie uit de normidentiteit. ∎

Stelling 14.9 (Sommatieformule van Poisson)

Zij $f \in \mathcal S(\R)$ (een continue $f$ met $\abs{f} + \abs{\hat f} \leq C(1 + \abs\cdot)^{-2}$ volstaat). Dan is

\sum_{n\in\Z} f(n) \;=\; \sum_{k\in\Z}\hat f(2\pi k) .

Bewijs. Zij $F(x) = \sum_{n\in\Z}f(x + n)$ : de reeks convergeert normaal op compacte verzamelingen (het verval van $f$ ), dus is $F$ continu, en ze is $1$ -periodiek. Haar fouriercoëfficiënten (periode $1$ : $c_k(F) = \int_0^1F(t)\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t$ ):

c_k(F) = \sum_n\int_0^1 f(t + n)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \int_\R f(t)\,\eu^{-2\iu\pi kt}\dd t = \hat f(2\pi k)

(de normale convergentie rechtvaardigt het verwisselen; de fase is $1$ -periodiek). De reeks $\sum_k\abs{c_k(F)}$ convergeert (het verval van $\hat f$ ), dus convergeert de fourierreeks van $F$ normaal; haar som is een continue functie met dezelfde fouriercoëfficiënten als $F$ , en is dus gelijk aan $F$ (injectiviteit op de cirkel: het verschil heeft nulcoëfficiënten, en Stelling 13.9 geeft nul in $L^2$ , dus wegens de continuïteit overal). Evalueer in $x = 0$ . ∎

Voorbeeld 14.10 (De identiteit van de thètafunctie)

Poisson toepassen op $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ( $t > 0$ ), waarvan de getransformeerde $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ is (Voorbeeld 14.2 met $a = \pi t$ ), geeft

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2t} = \frac1{\sqrt t}\sum_{k\in\Z}\eu^{-\pi k^2/t} :

de functionaalvergelijking van de thètafunctie van Jacobi, sleutel tot de functionaalvergelijking van de $\zeta$ van Riemann — en een spectaculaire numerieke versneller: voor kleine $t$ convergeert het linkerlid traag en het rechterlid razendsnel.

Methode 14.11

Werkgebieden: $L^1$ — de transformatie is puntsgewijs gedefinieerd, en de inversie vereist $\hat f \in L^1$ ; $\mathcal S$ — alles is geoorloofd, bewijs hier eerst; $L^2$ — de transformatie is per dichtheid gedefinieerd (niet met de integraal!), volmaakt symmetrisch, met de boekhouding van Parseval. Om een getransformeerde te berekenen: herleid met de regels van Propositie 14.1 tot de tabel (indicator, exponentiële functie, gaussische functie); om een identiteit te bewijzen: vestig haar op $\mathcal S$ (of $\mathcal C_c^\infty$ ) en breid uit met dichtheid en continuïteit (Methode 12.13); om een lineaire partiële of gewone differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten op te lossen: transformeer, deel, inverteer.

De warmtekern g_t(x) = 12√π t\, -x2/4t op drie tijdstippen: totale massa voor altijd 1, hoogte t-1/2, breedte √ t. De begintoestand convolueren met deze uitdijende gaussische functie is de volledige inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde beeld als g_t( ) = -t 2 — de hoge frequenties sterven het eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd. — De warmtekern $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\,\eu^{-x^2/4t}$ op drie tijdstippen: totale massa voor altijd $1$ , hoogte $\sim t^{-1/2}$ , breedte $\sim \sqrt t$ . De begintoestand convolueren met deze uitdijende gaussische functie is de volledige inhoud van de weekendopgave; in frequentie leest hetzelfde beeld als $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ — de hoge frequenties sterven het eerst, en die asymmetrie is de pijl van de tijd.

14.5 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Bereken de fouriergetransformeerden van: $\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ ; $\eu^{-a\abs x}$ ( $a > 0$ ); de tentfunctie $\max(0, 1 - \abs x)$ ; $\frac1{x^2 + a^2}$ (gebruik de inversie op de tweede). Noteer de tabel die zo ontstaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

$\widehat{\mathbf 1_{\intcc{-a}a}}(\xi) = \int_{-a}^a\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \frac{2\sin(a\xi)}{\xi}$ (waarde $2a$ in $0$ ). $\widehat{\eu^{-a\abs x}}(\xi) = \int_0^\infty\eu^{-(a + \iu\xi)x} + \eu^{-(a - \iu\xi)x}\,\dd x = \frac1{a + \iu\xi} + \frac1{a - \iu\xi} = \frac{2a}{a^2 + \xi^2}$ . Tent: $\max(0, 1 - \abs x) = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}} * \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ , dus is haar getransformeerde $\bigl(\frac{2\sin(\xi/2)}\xi\bigr)^2 = \bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\bigr)^2$ . Laatste: $\frac{2a}{a^2+\xi^2} \in L^1$ , dus geeft de inversie (Stelling 14.5(2)) toegepast op $\eu^{-a\abs x}$ , na hernoeming van de veranderlijken,

\widehat{\Bigl(\frac1{x^2 + a^2}\Bigr)}(\xi) = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-a\abs\xi} .

Oefening 14.2 ★

Zij $f \in L^1$ . Druk in $\hat f$ de getransformeerden uit van: $f(x - a)$ , $f(x)\cos(bx)$ , $f(ax + b)$ , $\overline{f(-x)}$ , $(f * f)(x)$ . Ga elke regel na op de gaussische functie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

Uit Propositie 14.1: $\widehat{f(\cdot - a)} = \eu^{-\iu a\xi}\hat f(\xi)$ ; $\widehat{f\cos(b\cdot)} = \frac12\bigl(\hat f(\xi - b) + \hat f(\xi + b)\bigr)$ ; $\widehat{f(a\cdot + b)}(\xi) = \frac1a\,\eu^{\iu b\xi/a}\,\hat f(\xi/a)$ ( $a > 0$ ); $\widehat{\overline{f(-\cdot)}} = \overline{\hat f}$ ; $\widehat{f * f} = \hat f^2$ . Op de gaussische functie ( $\widehat{\eu^{-x^2}} = \sqrt\pi\eu^{-\xi^2/4}$ ) is elke regel een controle van één regel — bijvoorbeeld heeft $\eu^{-(x-a)^2}$ als getransformeerde $\sqrt\pi\,\eu^{-\iu a\xi}\eu^{-\xi^2/4}$ , wat de rechtstreekse berekening (kwadraat afsplitsen) bevestigt.

Oefening 14.3 ★★

(a) Toon aan dat $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ als getransformeerde $\bigl(\frac{2\sin\xi}\xi \bigr)^2$ heeft, en leid met Plancherel — of met inversie in $0$ — af dat $\int_\R\bigl(\frac{\sin\xi}\xi\bigr)^2\dd\xi = \pi$ . Vergelijk Probleem 10.1. (b) Bereken $\int_\R\frac{\dd x}{(x^2+1)^2}$ met Plancherel toegepast op $\eu^{-\abs x}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

(a) $h = \mathbf 1_{\intcc{-1}1}*\mathbf 1_{\intcc{-1}1}$ heeft $\hat h = \bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\bigr)^2 \in L^1$ ; inversie in $x = 0$ , waar $h(0) = \lambda(\intcc{-1}1\cap\intcc{-1}1) = 2$ :

2 = \frac1{2\pi}\int_\R\Bigl(\frac{2\sin\xi}\xi\Bigr)^2 \dd\xi \ \Longrightarrow\ \int_\R\Bigl(\frac{\sin\xi}\xi\Bigr)^2\dd\xi = \pi ,

in overeenstemming met $\int_0^\infty\frac{\sin^2}{\xi^2} = \frac\pi2$ (Probleem 10.1).

(b) Plancherel voor $f = \eu^{-\abs x}$ : $\int\abs{\hat f}^2 = 2\pi\int\abs f^2$ luidt $\int\frac{4\,\dd\xi}{(1 + \xi^2)^2} = 2\pi\int\eu^{-2\abs x}\dd x = 2\pi$ : dus $\int_\R\frac{\dd\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac\pi2$ .

Oefening 14.4 ★★

(Algebra van de warmtekern) Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : (a) ga na dat $\hat g_t(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ ; (b) leid de halfgroepswet $g_t * g_s = g_{t+s}$ af zonder enige integraalberekening; (c) toon aan dat $\norm{g_t}_1 = 1$ en $\norm{g_t}_2^2 = (8\pi t)^{-1/2}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

(a) $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ : volgens Voorbeeld 14.2 met $a = \frac1{4t}$ is $\hat g_t(\xi) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\sqrt{4\pi t}\,\eu^{-t\xi^2} = \eu^{-t\xi^2}$ . (b) $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ , en de transformatie is injectief op $L^1$ (Stelling 14.5(3)): dus $g_t * g_s = g_{t+s}$ . (c) $\norm{g_t}_1 = 1$ (gaussische integraal); $\norm{g_t}_2^2 = \frac1{4\pi t}\int\eu^{-x^2/2t}\dd x = \frac{\sqrt{2\pi t}}{4\pi t} = \frac1{\sqrt{8\pi t}}$ .

Oefening 14.5 ★★

Toon aan dat $\hat f$ even en reëel is als $f \in L^1$ even en reëel is, en oneven en zuiver imaginair als $f$ oneven en reëel is. Wat berekent $\hat f(0)$ ? Leid af dat $f \geq 0$ afdwingt dat $\norm{\hat f}_\infty = \hat f(0) = \int f$ , en interpreteer dat voor kansdichtheden (Hoofdstuk 23: een karakteristieke functie heeft modulus $\leq 1$ , bereikt in $0$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

Voor reële even $f$ is $\hat f(\xi) = \int f\cos(\xi x)\dd x$ (het sinusdeel valt weg): reëel en even. Oneven: $\hat f(\xi) = -\iu\int f\sin(\xi x)$ : oneven en zuiver imaginair. En $\hat f(0) = \int f$ : de totale massa. Is $f \geq 0$ , dan is $\abs{\hat f(\xi)} \leq \int\abs f = \int f = \hat f(0)$ , zodat het supremum in $0$ wordt bereikt. Voor een kansdichtheid is $\hat f(-\xi)$ de karakteristieke functie van Hoofdstuk 23: overal modulus $\leq 1$ , en $= 1$ in de oorsprong.

Oefening 14.6 ★★★

(Niet-surjectiviteit) Toon in drie stappen aan dat $\widehat{\phantom f}\colon L^1 \to \mathcal C_0$ injectief en continu is, maar niet surjectief. (i) Injectiviteit (Stelling 14.5) en continuïteit ( $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ ), en $\mathcal C_0$ is een banachruimte (gesloten in $\norm\cdot_\infty$ ). (ii) Was de afbeelding surjectief, dan was ze bijectief, en zou de open-afbeeldingsstelling (Stelling 8.12) een constante $C$ geven met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ voor alle $f \in L^1$ . (iii) Weerspreek dat met $f_n(x) = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : haar getransformeerde is (op constanten na) een trapezium van het type $\mathbf 1_{\intcc{-1}1} * \mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}$ — toon aan dat $\norm{\hat f_n}_\infty \leq \pi$ uniform, terwijl $\norm{f_n}_1 \geq c\ln n$ door de bogen van $\frac{\abs{\sin x}}x$ op $[1, n]$ te tellen (waar de tweede factor van onderen begrensd is), als in Stelling 8.11.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

(i) De injectiviteit is Stelling 14.5(3); de continuïteit is $\norm{\hat f}_\infty \leq \norm f_1$ (met waarden in $\mathcal C_0$ volgens Riemann–Lebesgue); en $\mathcal C_0$ is gesloten in de supremumnorm (uniforme limieten van functies die in oneindig verdwijnen, verdwijnen in oneindig): dus banach.

(ii) Een continue bijectie tussen banachruimten heeft een continue inverse (Stelling 8.12): er zou een $C$ zijn met $\norm f_1 \leq C\norm{\hat f}_\infty$ .

(iii) Zij $f_n(x) = \frac{\sin x}x\cdot\frac{\sin(x/n)}{x/n}$ : een product van twee $L^2$ -functies, en $O(x^{-2})$ op oneindig, dus $f_n \in L^1\cap L^2$ . Omdat $\bigl(\frac{\sin(ax)}{ax}\bigr)$ als $L^2$ -getransformeerde $\frac\pi a\mathbf 1_{\intcc{-a}a}$ heeft, geeft de productformule $\widehat{gh} = \frac1{2\pi}\hat g * \hat h$ (geldig voor $g, h \in L^2$ met $gh \in L^1$ ; controleer haar op schwartzfuncties met Fubini en breid uit met de $L^2$ -continuïteit van beide leden via Plancherel)

\hat f_n = \frac1{2\pi}\,\bigl(\pi\mathbf 1_{\intcc{-1}1}\bigr) * \bigl(\pi n\,\mathbf 1_{\intcc{-1/n}{1/n}}\bigr):

een trapezium van hoogte $\frac{\pi n}2\cdot\frac2n = \pi$ : dus $\norm{\hat f_n}_\infty = \pi$ voor elke $n$ . Maar op $[1, n]$ is $\frac{\sin(x/n)}{x/n} \geq \sin 1 > 0$ , dus

\norm{f_n}_1 \geq \sin 1\int_1^n\frac{\abs{\sin x}}x\dd x \geq c\ln n

(bogen tellen, als in Stelling 8.11). De afschatting $\norm{f_n}_1 \leq C\pi$ faalt voor grote $n$ : dus niet surjectief. (Het beeld is — met argumenten van het type Stone–Weierstrass — een dichte, maar echte deelruimte van $\mathcal C_0$ .)

Oefening 14.7 ★★

(Woordenboek gladheid $\leftrightarrow$ verval) Bewijs: is $f \in L^1$ met $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ voor een $\delta > 0$ , dan heeft $f$ een $\mathcal C^k$ -vertegenwoordiger. Omgekeerd impliceert $f \in \mathcal C^k_c$ dat $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k})$ . Illustreer beide richtingen op de tentfunctie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

Is $\hat f(\xi) = O(\abs\xi^{-k-1-\delta})$ , dan is $\xi^j\hat f \in L^1$ voor $0 \leq j \leq k$ (integreerbaar op oneindig wegens het verval, lokaal wegens de continuïteit van $\hat f$ ). De inversie (Stelling 14.5(2)) vertegenwoordigt $f$ b.o. door $x \mapsto \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ , en differentiëren onder de integraal (dominanten $\abs{\xi^j\hat f}$ ) maakt die vertegenwoordiger $\mathcal C^k$ . Omgekeerd, voor $f \in \mathcal C_c^k$ : iteratie van Propositie 14.1(4) geeft $(\iu\xi)^k\hat f = \widehat{f^{(k)}}$ , dus $\abs{\hat f} \leq \norm{f^{(k)}}_1\abs\xi^{-k}$ . Tentfunctie: continu met compacte drager ( $k = 0$ : begrensde getransformeerde), en haar getransformeerde $\sim \xi^{-2} = O(\abs\xi^{-0-1-1})$ levert volgens de eerste richting een $\mathcal C^0$ -vertegenwoordiger — allebei scherp: de tent is niet $\mathcal C^1$ , en haar getransformeerde vervalt niet sneller dan $\xi^{-2}$ .

Oefening 14.8 ★★★

(Ongelijkheid van Heisenberg) Bewijs voor reële $f \in \mathcal S(\R)$ met $\norm f_2 = 1$ dat

\Bigl(\int x^2f(x)^2\dd x\Bigr)\cdot \Bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi\Bigr) \;\geq\; \frac14 ,

met gelijkheid voor gaussische functies. (Schrijf $1 = \int f^2 = -\int x\,(f^2)'$ met partiële integratie, schat af met Cauchy–Schwarz en zet $\norm{f'}_2$ om met Plancherel.) Interpretatie: een signaal en zijn spectrum kunnen niet allebei geconcentreerd zijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

Partiële integratie ( $f \in \mathcal S$ ; de randtermen verdwijnen):

1 = \int f^2 = \bigl[xf^2\bigr]_{-\infty}^{\infty} - \int x\,(f^2)' = -2\int xff' \leq 2\,\norm{xf}_2\,\norm{f'}_2 .

Plancherel en $\widehat{f'} = \iu\xi\hat f$ geven $\norm{f'}_2^2 = \frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2$ . Kwadrateren van het bovenstaande:

\frac14 \leq \norm{xf}_2^2\cdot\frac1{2\pi} \int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi .

Gelijkheid vereist gelijkheid in Cauchy–Schwarz: $f' = \lambda xf$ met $\lambda < 0$ (integreerbaarheid), dat wil zeggen $f(x) = c\,\eu^{\lambda x^2/2}$ : de gaussische functies. Een signaal dat in $x$ geconcentreerd is (kleine $\norm{xf}_2$ ) moet een uitgesmeerd spectrum hebben, en omgekeerd: het onzekerheidsbeginsel.

Oefening 14.9 ★★

Rechtvaardig Voorbeeld 14.10 in detail (de hypothesen van Poisson voor de gaussische functie), en gebruik de identiteit om $\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2}$ met drie termen tot op zes decimalen te bepalen. Hoeveel termen van de definiërende reeks zou dezelfde nauwkeurigheid vergen bij $t = 10^{-2}$ , tegenover de getransformeerde reeks?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

De gaussische functie $f(x) = \eu^{-\pi tx^2}$ ligt in $\mathcal S$ , dus is Stelling 14.9 van toepassing, en $\hat f(\xi) = t^{-1/2}\eu^{-\xi^2/4\pi t}$ ; in $\xi = 2\pi k$ wordt het rechterlid $t^{-1/2}\eu^{-\pi k^2/t}$ : de identiteit van de thètafunctie. Bij $t = 1$ :

\sum_{n\in\Z}\eu^{-\pi n^2} = 1 + 2\eu^{-\pi} + 2\eu^{-4\pi} + \cdots \approx 1 + 0.0864278 + 0.0000070 = 1.0864348,

nauwkeurig tot op $6$ decimalen met drie termen ( $\eu^{-9\pi} \approx 5\cdot10^{-13}$ ). Bij $t = 10^{-2}$ : de definiërende reeks vereist $\eu^{-\pi n^2/100} < 10^{-7}$ , dus $n \gtrsim 23$ — ongeveer $47$ termen — terwijl de getransformeerde reeks $10\sum_k\eu^{-100\pi k^2}$ is, waarin de term voor $k = 1$ al $\sim 10^{-136}$ is: één term volstaat.

Oefening 14.10 ★★

(Bandbegrensde functies) Zij $f \in L^2(\R)$ met $\mathcal Ff$ met drager in $\intcc{-\pi}\pi$ . Toon aan dat $f$ een vertegenwoordiger heeft waarvan elke waarde uit monsters kan worden teruggewonnen: bewijs de interpolatie van Shannon in de gehele getallen,

f(x) = \sum_{n\in\Z} f(n)\, \frac{\sin\bigl(\pi(x - n)\bigr)}{\pi(x - n)} \quad\text{in } L^2,

door $\mathcal Ff$ te ontwikkelen in de fourierbasis van $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ (Stelling 13.9) en term voor term terug te transformeren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

$\mathcal Ff \in L^2(\intcc{-\pi}\pi) \subseteq L^1(\intcc{-\pi}\pi)$ (eindige maat), dus geeft de inversie de continue vertegenwoordiger $f(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\mathcal Ff(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ , met

f(n) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathcal Ff(\xi)\,\eu^{\iu n\xi}\dd\xi = \langle e_{-n}, \mathcal Ff\rangle

in de notatie van Stelling 13.9. Ontwikkeling in die hilbertbasis: $\mathcal Ff = \sum_nf(n)\,\eu^{-\iu n\xi}$ in $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ . Pas de $L^2$ -continue $\mathcal F^{-1}$ term voor term toe:

\mathcal F^{-1}\bigl(\mathbf 1_{\intcc{-\pi}\pi}\eu^{-\iu n\xi}\bigr)(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{\iu\xi(x - n)}\dd\xi = \frac{\sin\bigl(\pi(x-n)\bigr)}{\pi(x - n)} ,

wat $f = \sum_nf(n)\operatorname{sinc}(\cdot - n)$ in $L^2$ geeft: een bandbegrensd signaal ligt vast door zijn monsters in de gehele getallen — de bemonsteringsstelling van Shannon.

Oefening 14.11 ★★

(De transformatie als operator van orde vier) Stel op $\mathcal S(\R)$ $\mathcal F f = \hat f$ . (a) Toon met de inversieformule aan dat $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi\,f(-x)$ , en leid $\mathcal F^4 = (2\pi)^2\, \mathrm{id}$ af. (b) Leid af dat elke eigenwaarde van $\mathcal F$ op $\mathcal S$ in $\{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ ligt, en geef een eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$ (welke functie uit dit hoofdstuk is evenredig met haar eigen getransformeerde?). (c) Toon aan dat even functies voldoen aan $\mathcal F^2f = 2\pi f$ en oneven aan $\mathcal F^2f = -2\pi f$ ; maak uit $x\eu^{-x^2/2}$ een eigenfunctie voor de eigenwaarde $-\iu\sqrt{2\pi}$ door haar getransformeerde te berekenen (differentieer de getransformeerde van de gaussische functie).

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

(a) Inversie op $\mathcal S$ : $f(x) = \frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi = \frac1{2\pi}(\mathcal F\hat f)(-x)$ , dat wil zeggen $(\mathcal F^2f)(x) = 2\pi f(-x)$ . Tweemaal toegepast: $\mathcal F^4f = 2\pi\,\mathcal F^2f(-\cdot) = (2\pi)^2f$ .

(b) Is $\mathcal Ff = \lambda f$ met $f \neq 0$ , dan is $(2\pi)^2f = \mathcal F^4f = \lambda^4f$ , dus $\lambda^4 = (2\pi)^2$ : $\lambda \in \{\pm\sqrt{2\pi}, \pm\iu\sqrt{2\pi}\}$ . De gaussische functie $g(x) = \eu^{-x^2/2}$ heeft $\hat g = \sqrt{2\pi}\,g$ (Voorbeeld 14.2 bij $a = \frac12$ ): een eigenfunctie voor $+\sqrt{2\pi}$ .

(c) $\mathcal F^2f = 2\pi f(-\cdot)$ is $\pm2\pi f$ naargelang de pariteit. Voor $h(x) = x\eu^{-x^2/2}$ : differentiëren van $\hat g(\xi) = \sqrt{2\pi}\eu^{-\xi^2/2}$ met de regel $\widehat{xf} = \iu\frac{\dd}{\dd\xi}\hat f$ geeft

\hat h(\xi) = \iu\,\frac{\dd}{\dd\xi}\bigl(\sqrt{2\pi} \eu^{-\xi^2/2}\bigr) = -\iu\sqrt{2\pi}\,\xi\eu^{-\xi^2/2} = -\iu\sqrt{2\pi}\,h(\xi) :

een eigenfunctie voor $-\iu\sqrt{2\pi}$ . (De hermitefuncties zetten het patroon voort en doorlopen cyclisch de vier eigenwaarden — de discrete klok van Fourier.)

Oefening 14.12 ★★

(Autocorrelatie en het lemma van Wiener) Definieer voor $f \in L^2(\R)$ $\tilde f(x) = \overline{f(-x)}$ en de autocorrelatie $A_f = f * \tilde f$ . (a) Toon aan dat $A_f$ een begrensde continue functie is met $A_f(0) = \norm f_2^2 \geq \abs{A_f(x)}$ voor alle $x$ (Oefening 12.6 en Cauchy–Schwarz). (b) Toon, eerst voor $f \in L^1\cap L^2$ , aan dat $\widehat{A_f} = \abs{\hat f\,}^2 \geq 0$ : de autocorrelatie heeft een niet-negatieve getransformeerde — de spectra van autocorrelaties zijn vermogensspectra. (c) Leid de identiteit $\int_\R\abs{\hat f(\xi)}^2\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi = 2\pi A_f(x)$ af (inversie; rechtvaardig haar toepasbaarheid wanneer $\hat f \in L^2$ voldoet aan $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ ), en evalueer haar voor $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ in $x = 0$ : vind opnieuw $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

(a) $\tilde f \in L^2$ met $\norm{\tilde f}_2 = \norm f_2$ ; Oefening 12.6 (toegevoegde exponenten $p = q = 2$ ) maakt $A_f = f * \tilde f$ begrensd en uniform continu, met

A_f(x) = \int f(y)\,\overline{f(y - x)}\,\dd y, \qquad A_f(0) = \norm f_2^2, \qquad \abs{A_f(x)} \leq \norm f_2\,\norm{f(\cdot - x)}_2 = A_f(0)

volgens Cauchy–Schwarz.

(b) Voor $f \in L^1\cap L^2$ ligt ook $\tilde f$ in $L^1$ , en de convolutiestelling geeft $\widehat{A_f} = \hat f\, \widehat{\tilde f}$ ; en de berekening $\widehat{\tilde f}(\xi) = \int\overline{f(-x)}\eu^{-\iu\xi x}\dd x = \overline{\int f(u)\eu^{-\iu\xi u}\dd u} = \overline{\hat f(\xi)}$ geeft $\widehat{A_f} = \abs{\hat f}^2 \geq 0$ .

(c) Is $\abs{\hat f}^2 \in L^1$ , dan is de inversie van toepassing op de continue $A_f$ (haar getransformeerde is integreerbaar; Stelling 14.5):

A_f(x) = \frac1{2\pi}\int\abs{\hat f(\xi)}^2 \eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi .

Voor $f = \mathbf 1_{\intcc{-1/2}{1/2}}$ is $\hat f(\xi) = \frac{2\sin(\xi/2)}\xi = \frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}$ , en in $x = 0$ :

1 = \norm f_2^2 = \frac1{2\pi}\int_\R \Bigl(\frac{\sin(\xi/2)}{\xi/2}\Bigr)^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot2\int_\R\Bigl(\frac{\sin u}u\Bigr)^2\dd u

( $\xi = 2u$ ), dat wil zeggen $\int_\R\bigl(\frac{\sin u}u\bigr)^2\dd u = \pi$ — de lievelingsintegraal van Plancherel, teruggevonden met de autocorrelatie.

14.6 Probleem: de warmtevergelijking op de lijn

Probleem 14.1

Weekendopgave — $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ , van begin tot eind opgelost

Warmte verspreidt zich; de vergelijking $\partial_tu = \partial_{xx}^2u$ zegt dat haar dichtheid diffundeert met een snelheid die door de lokale kromming van het temperatuurprofiel wordt gegeven. We lossen het beginwaardeprobleem op $\R$ op — gegeven $f$ , zoek $u(t, x)$ voor $t > 0$ met $u(0, \cdot) = f$ — bewijzen de opmerkelijke eigenschappen van de oplossing, en zien waarom de tijd niet omkeerbaar is. Overal is $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ de warmtekern en $u(t, \cdot) = g_t * f$ .

Deel I — De kern afleiden. Werk eerst formeel: stel dat $u(t, \cdot) \in \mathcal S$ de vergelijking oplost, en zij $\hat u(t, \xi)$ de getransformeerde in $x$ .

Toon (formeel) aan dat $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ , dus $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , en herken $u(t) = g_t * f$ (Oefening 14.4). Dat motiveert de definitie van $u$ ; alles wordt nu rechtstreeks bewezen, voor $f \in \mathcal C_b(\R)$ (begrensd continu) of $f \in L^p$ .

Deel II — Verificatie.

Toon aan dat voor $t > 0$ de uitdrukking $u(t, x) = \int g_t(x-y)f(y)\dd y$ goed gedefinieerd is voor $f \in \mathcal C_b$ , en dat $u$ $\mathcal C^\infty$ is in $(t, x)$ op $\intoo0\infty\times\R$ (differentieer onder de integraal; domineer de gaussische afgeleiden lokaal uniform in $(t,x)$ ).
Ga met een rechtstreekse berekening $\partial_tg_t = \partial^2_{xx}g_t$ na, en leid $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ af voor $t > 0$ .
(Beginvoorwaarde) Toon aan dat voor $f \in \mathcal C_b$ $u(t, x) \to f(x)$ als $t \to 0^+$ , uniform op compacte verzamelingen (benaderende eenheid: splits $\abs y \leq \delta$ en $\abs y > \delta$ ); toon voor $f \in L^p$ ( $p < \infty$ ) aan dat $\norm{u(t) - f}_p \to 0$ .
(Ogenblikkelijk gladstrijken) Besluit: zelfs voor louter begrensde continue $f$ is de oplossing $\mathcal C^\infty$ voor elke $t > 0$ — warmte wist ruwheid ogenblikkelijk uit. Bereken $u(t, \cdot)$ expliciet voor $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ (een foutfunctie) en schets haar profiel voor drie waarden van $t$ .

Deel III — Structurele eigenschappen.

(Positiviteit en vergelijking) Is $f \geq 0$ , dan is $u > 0$ voor alle $t > 0$ (strikt, tenzij $f = 0$ b.o.); is $f_1 \leq f_2$ , dan is $u_1 \leq u_2$ . Een koude plek warmt ogenblikkelijk op: becommentarieer.
(Behoud) Voor $f \in L^1$ : $\int u(t, x)\dd x = \int f$ voor alle $t$ (Tonelli) — de totale warmte blijft behouden.
(Dissipatie) Toon voor $f \in L^1\cap L^2$ met Plancherel aan dat $t \mapsto \norm{u(t)}_2$ niet-stijgend is, strikt dalend tenzij $f = 0$ , en bereken haar limiet als $t \to \infty$ . Toon bovendien $\norm{u(t)}_\infty \leq \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ aan: warmte verspreidt zich en sterft.
(Uniciteit, klasse $L^2$ ) Zij $u$ een oplossing met $u(t) \in L^2$ voor alle $t$ , $u \in \mathcal C^1(\intoo0\infty, L^2)$ in de natuurlijke zin en $u(t) \to f$ in $L^2$ als $t\to0$ ; aannemend dat de transformatie haar omzet in $\partial_t\hat u = -\xi^2\hat u$ puntsgewijs b.o. in $\xi$ voor b.o. $t$ (gerechtvaardigd door te testen tegen $\mathcal C_c^\infty$ in $\xi$ — schets dat), toon aan dat $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ , en dus de uniciteit in deze klasse.

Deel IV — De pijl van de tijd.

Toon aan dat het achterwaartse probleem slecht gesteld is: opdat de oplossing op tijdstip $-s$ ( $s > 0$ ) met gegeven $f$ op tijdstip $0$ zou bestaan — dat wil zeggen opdat $f = g_s * h$ een oplossing $h \in L^2$ zou hebben — is het nodig dat $\eu^{s\xi^2}\hat f(\xi) \in L^2$ : een extreme vervalvoorwaarde op $\hat f$ . Geef een expliciete gladde $f \in L^2$ waarvoor op geen enkel tijdsinterval een achterwaartse oplossing bestaat: neem de functie met $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ — identificeer $f$ (Oefening 14.1) en toon aan dat $\eu^{s\xi^2}\eu^{-\abs\xi} \notin L^2$ voor elke $s > 0$ .
(Gladstrijken tegenover informatie) Leg in een korte alinea uit, met de vragen 5, 9 en 10, waarom de warmtehalfgroep $(f \mapsto g_t * f)_{t\geq0}$ injectief maar niet surjectief is op $L^2$ , en waarom dat de onomkeerbaarheid van de diffusie uitdrukt.

Deel V — De bemonsteringsstelling van Shannon. Een functie $f \in L^2(\R)$ heet bandbegrensd tot $\Omega$ als $\hat f = 0$ b.o. buiten $\intcc{-\Omega}\Omega$ ; noteer $PW_\Omega$ (de ruimte van Paley–Wiener) voor deze functies.

Toon aan dat elke $f \in PW_\Omega$ b.o. samenvalt met de $\mathcal C^\infty$ -functie $\frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\,\dd\xi$ (rechtvaardig de gladheid en de identificatie), met alle afgeleiden begrensd: bandbegrenzing is een extreme vorm van regulariteit. Vanaf nu duidt $f$ deze vertegenwoordiger aan.
Ontwikkel $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ in de fourierbasis van dat interval en herken de coëfficiënten als monsters van $f$ :

$\hat f(\xi) = \frac\pi\Omega\sum_{n\in\Z} f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\, \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega} \quad\text{in } L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) .$
Leid de bemonsteringsstelling af: voor $f \in PW_\Omega$ is

$f(x) = \sum_{n\in\Z}f\Bigl(\frac{n\pi} \Omega\Bigr)\,\operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi), \qquad \operatorname{sinc}t = \frac{\sin t}t,$

met convergentie in $L^2(\R)$ en uniform op $\R$ (steek de reeks van vraag 13 in de inversieformule en bereken de elementaire integraal): een bandbegrensd signaal ligt volledig vast door zijn waarden op een rooster met stap $\pi/\Omega$ — de nyquistsnelheid.
Toon aan dat de functies $x \mapsto \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi)$ , $n \in \Z$ , een orthogonale familie in $L^2(\R)$ vormen met constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$ , en leid de energie-identiteit $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ af.
(Aliasing) Geef een $g \neq 0$ in $PW_{2\Omega}$ die in elk monsterpunt $\frac{n\pi}\Omega$ verdwijnt (beschouw $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ en ga haar band na): bemonsteren onder de nyquistsnelheid verliest informatie — twee verschillende signalen kunnen al hun monsters delen: het stroboscopische wagenwieleffect, gewiskundigd.
(Vrijheidsgraden) Rechtvaardig met de vragen 14 en 15 de vuistregel van de ingenieur: een tot $\Omega$ bandbegrensd signaal waarvan de energie in wezen door een tijdvenster van lengte $T$ wordt gedragen, wordt door ongeveer $\frac{\Omega T}\pi$ reële monsters beschreven — maak “in wezen” precies met de energie-identiteit en de staart $\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2}$ .
(Consistentiecontroles) Ga de bemonsteringsstelling met de hand na op twee leden van $PW_\Omega$ : (a) $f = \operatorname{sinc}(\Omega\,\cdot)$ , waarvan de monsters $\delta_{n0}$ zijn; (b) smalbandige signalen van het type $f(x) = \cos(\omega x) \operatorname{sinc}(\varepsilon x)$ — toon preciezer aan dat voor $f \in PW_{\Omega'}$ met $\Omega' < \Omega$ ook de reeks met snelheid $\Omega$ $f$ reconstrueert (overbemonstering is onschadelijk), door $PW_ {\Omega'} \subseteq PW_\Omega$ in te bedden.

Deel VI — Onzekerheid, nog tweemaal. De ongelijkheid van Heisenberg (Oefening 14.8) begrenst hoe geconcentreerd $f$ en $\hat f$ samen kunnen zijn; hier volgen haar alles-of-niets-zusje en haar exacte verzadiging.

Zij $f \in L^1$ met $\operatorname{supp}f \subseteq \intcc{-A}A$ . Toon aan dat $\hat f$ de som is van een overal convergente machtreeks:

$\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!} \,m_k, \qquad m_k = \int_{-A}^{A}x^kf(x)\,\dd x, \quad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1$

(ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x}$ en rechtvaardig het verwisselen met de normale convergentie): de transformatie is reëel-analytisch, met in elk punt een oneindige convergentiestraal.
Leid de dichotomie van de dragers af: een reëel-analytische functie die op een niet-leeg open interval verdwijnt, verdwijnt identiek (de verzameling waar alle afgeleiden verdwijnen is open en gesloten — werk het taylorargument uit); besluit dat geen enkele $f \neq 0$ zowel $f$ als $\hat f$ met compacte drager heeft, en dat $PW_\Omega$ geen enkele functie $\neq 0$ met compacte drager bevat — bandbegrensde signalen duren eeuwig, en tijdbegrensde signalen lekken in alle frequenties.
(Verzadiging van Heisenberg) Bereken op de gaussische familie $f = \eu^{-ax^2}$ beide concentratiefactoren en ga na dat het genormeerde product $\bigl(\int x^2\abs f^2\bigr)\bigl(\frac1{2\pi}\int \xi^2\abs{\hat f}^2\bigr)\big/\norm f_2^4$ voor elke $a$ gelijk is aan $\frac14$ — de gelijkheidsfamilie van Oefening 14.8 in levenden lijve; leg met een schalingsargument uit waarom het product langs de familie constant moet zijn.
Geef de fysische lezing (dichtheden van positie en impuls van een kwantumtoestand; $\hbar$ in de normering geeft $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ ), en leg de verbanden door het hoofdstuk heen: ogenblikkelijk gladstrijken (Deel II), onomkeerbaarheid (Deel IV), bemonstering (Deel V), Heisenberg en de dichotomie van de dragers zijn vijf uitdrukkingen van één wet — het gedrag van $\hat f$ op oneindig schrijft voor wat $f$ waar dan ook mag doen.

Deel VII — De algebra van de kern, en één oplosbaar voorbeeld.

(Halfgroep) Bewijs de identiteit van Chapman–Kolmogorov $g_t * g_s = g_{t+s}$ voor $t, s > 0$ (via de convolutiestelling en de injectiviteit van de transformatie op $L^1$ ), en leid $u(t + s) = g_s * u(t)$ af: evolueren gedurende $t + s$ is evolueren gedurende $t$ , en daarna gedurende $s$ . Scherp de dissipatie van vraag 8 aan: schrijf $\norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ en toon met Cauchy–Schwarz aan dat

$t \longmapsto \ln\,\norm{u(t)}_2 \quad\text{convex is op } \intoo0{+\infty} :$

de $L^2$ -energie daalt niet alleen, ze daalt op een log-convexe manier.
(Waar de warmte heen gaat) Zij $f \geq 0$ , $f \in L^1$ , met $\int x^2f(x)\dd x < \infty$ . Toon aan dat voor alle $t > 0$

$\int_\R x\,u(t, x)\,\dd x = \int_\R x f(x)\,\dd x, \qquad \int_\R x^2u(t, x)\,\dd x = \int_\R x^2f(x)\,\dd x + 2t\int_\R f :$

het zwaartepunt van de warmte beweegt nooit, en de variantie groeit lineair in de tijd — de diffusieve schaling $x \sim \sqrt{2t}$ , te herlezen wanneer de brownse beweging in Hoofdstuk 22 opduikt. (Bereken de eerste twee momenten van $g_t$ en gebruik Tonelli op de convolutie.)
(De gaussische functie, van begin tot eind opgelost) Vestig voor $f(x) = \eu^{-x^2}$ de gesloten vorm

$u(t, x) = \frac1{\sqrt{1 + 4t}}\, \exp\Bigl(-\frac{x^2}{1 + 4t}\Bigr),$

en ga er met de hand op na: de vergelijking $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ ; het behoud $\int u(t) = \sqrt\pi$ ; de dissipatiewet $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1 + 4t)^{-1/4}$ (vergelijk haar verval als $t^{-1/4}$ met het verval als $t^{-1/2}$ van de supremumnorm uit vraag 8); en de exacte variantiegroei van vraag 24. Bij $t = 6$ : de piek is gezakt tot $\frac15$ van zijn beginhoogte, terwijl het profiel vijf keer breder is — dezelfde warmte, uitgespreid.

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. De vergelijking in $x$ transformeren geeft (formeel) $\partial_t\hat u(t,\xi) = \widehat{\partial^2_{xx}u} = (\iu\xi)^2\hat u = -\xi^2\hat u$ , voor elke frequentie een differentiaalvergelijking in $t$ : $\hat u(t,\xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ . Omdat $\eu^{-t\xi^2} = \hat g_t$ (Oefening 14.4), is het product de getransformeerde van $g_t * f$ .

2. $\abs{u(t,x)} \leq \norm f_\infty\int g_t = \norm f_\infty$ : goed gedefinieerd. Op $[t_0, T]\times[-A, A]$ is elke gemengde afgeleide $\partial^m_t\partial^n_xg_t(x - y)$ een veelterm in $(x - y)$ en $t^{-1}$ maal $\eu^{-(x-y)^2/4t}$ , voor $\abs y \geq 2A$ begrensd door $C\,(1 + y^2)^N\eu^{-(\abs y - A)^2/4T}$ , een integreerbare dominant die op het venster niet van $(t, x)$ afhangt (en begrensd voor $\abs y \leq 2A$ ): herhaald differentiëren onder de integraal (Stelling 10.15) is dus van toepassing, en $u \in \mathcal C^\infty(\intoo0\infty\times\R)$ .

3. Met $g_t(x) = \frac1{2\sqrt{\pi t}}\eu^{-x^2/4t}$ :

\partial_tg_t = g_t\Bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Bigr) = \partial^2_{xx}g_t

(tweemaal differentiëren naar $x$ : $\partial_xg_t = -\frac x{2t}g_t$ en $\partial^2_{xx}g_t = \bigl(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\bigr)g_t$ ). Volgens vraag 2 gaan de afgeleiden onder de integraal door: $\partial_tu = \partial^2_{xx}u$ .

4. $u(t,x) - f(x) = \int g_t(y)\bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\dd y$ . Gegeven een compacte $K$ en $\varepsilon$ : de uniforme continuïteit van $f$ op een omgeving van $K$ geeft een $\delta$ met $\abs{f(x-y) - f(x)} < \varepsilon$ voor $x \in K$ en $\abs y \leq \delta$ ; de staart draagt hoogstens $2\norm f_\infty\int_{\abs y > \delta}g_t(y)\dd y$ bij, dat wil zeggen $2\norm f_\infty$ maal de massa voorbij $\delta$ , gelijk aan $\frac2{\sqrt\pi}\int_{\delta/2\sqrt t}^\infty\eu^{-z^2}\dd z \to 0$ als $t \to 0$ . Voor $f \in L^p$ : $\norm{u(t) - f}_p \leq \int g_t(y)\norm{\tau_yf - f}_p\dd y$ (Minkowski of Jensen als in Stelling 12.9), en splits op dezelfde manier met Stelling 12.6(3).

5. Het ogenblikkelijke gladstrijken is vraag 2 ( $u(t)$ is $\mathcal C^\infty$ voor $t > 0$ , zonder dat enige gladheid van $f$ werd gebruikt). Voor $f = \mathbf 1_{\intoo0\infty}$ :

u(t, x) = \int_0^\infty g_t(x - y)\dd y = \frac1{\sqrt\pi}\int_{-x/2\sqrt t}^{\infty}\eu^{-z^2}\dd z = \frac12\Bigl(1 + \operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt t}\Bigr)\Bigr), \qquad \operatorname{erf}(s) = \frac2{\sqrt\pi}\int_0^s\eu^{-z^2}\dd z :

een gladgestreken sprong waarvan de overgangszone als $\sqrt t$ breder wordt (profielen bij $t_1 < t_2 < t_3$ : steeds vlakkere hellingen door $(0, \frac12)$ ).

6. De integrand $g_t(x-y)f(y)$ is $\geq 0$ en de kern is strikt positief: $u(t,x) = 0$ zou $f = 0$ b.o. afdwingen. De monotonie in $f$ is de monotonie van de integraal. Een plek waar $f$ op een interval nul is, heeft daar toch $u(t, \cdot) > 0$ voor elke $t > 0$ : warmte plant zich met oneindige snelheid voort (elke positiviteit ergens wordt overal ogenblikkelijk gevoeld).

7. Tonelli ( $g_t(x-y)\abs{f(y)}$ is integreerbaar op $\R^2$ ): $\int u(t,x)\dd x = \int f(y)\bigl(\int g_t(x - y)\dd x\bigr)\dd y = \int f$ .

8. Plancherel: $2\pi\norm{u(t)}_2^2 = \int\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f(\xi)}^2\dd\xi$ , niet-stijgend in $t$ (puntsgewijs), strikt dalend tenzij $\hat f = 0$ b.o. (dat wil zeggen $f = 0$ ), met limiet $0$ als $t\to\infty$ volgens de gedomineerde convergentie. En $\norm{u(t)}_\infty \leq \norm{g_t}_\infty\norm f_1 = \frac{\norm f_1}{2\sqrt{\pi t}} \to 0$ .

9. Voor $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ is $t \mapsto \langle\varphi, \hat u(t)\rangle$ $\mathcal C^1$ met afgeleide $\langle\varphi, \partial_t\hat u\rangle = \langle\varphi, \widehat{\partial_{xx}u}\rangle = \langle\xi^2\varphi\dots\rangle$ — preciezer: $\widehat{\partial^2_{xx}u} = -\xi^2\hat u$ draagt de vergelijking over. Vervolgens heeft voor b.o. $\xi$ de absoluut continue functie $t \mapsto \eu^{t\xi^2}\hat u(t,\xi)$ afgeleide $\eu^{t\xi^2}(\xi^2\hat u + \partial_t\hat u) = 0$ in de geïntegreerde zin: ze is constant, en $t \to 0$ laten gaan ( $\hat u(t) \to \hat f$ in $L^2$ , b.o. langs een deelrij) geeft $\hat u(t, \xi) = \eu^{-t\xi^2}\hat f(\xi)$ b.o. Twee oplossingen in de klasse hebben dezelfde getransformeerde: ze zijn gelijk.

10. $f = g_s * h$ met $h \in L^2$ dwingt $\hat f = \eu^{-s\xi^2}\hat h$ af, dat wil zeggen $\hat h = \eu^{s\xi^2}\hat f \in L^2$ . Neem $\hat f(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ : dan is $f(x) = \frac1\pi\cdot\frac1{1 + x^2}$ (Oefening 14.1, inversie), een volmaakt gladde $L^2$ -functie; maar $\eu^{2s\xi^2 - 2\abs\xi} \to \infty$ : dus $\eu^{s\xi^2}\hat f \notin L^2$ voor elke $s > 0$ . Het profiel van Cauchy is nooit het resultaat van eerdere diffusie.

11. De warmtehalfgroep vermenigvuldigt de getransformeerden met $\eu^{-t\xi^2}$ , dat nergens verdwijnt: injectief — formeel wordt geen enkele informatie vernietigd. Maar haar beeld bestaat uit functies waarvan de getransformeerden als $\eu^{-t\xi^2}$ vervallen: een minuscule, dichte maar echte deelruimte van $L^2$ (vraag 10 toont dat zelfs uitstekende functies er buiten liggen). Inverteren zou de frequentie $\xi$ met $\eu^{t\xi^2}$ versterken: onbegrensd, en dus onstabiel voor elke verstoring. Diffusie is onomkeerbaar niet omdat de afbeelding vergeet, maar omdat haar inverse niet continu kan zijn — een pijl van de tijd, gemaakt van functionaalanalyse.

12. $\hat f \in L^2(\intcc{-\Omega}\Omega) \subseteq L^1$ (Cauchy–Schwarz op een begrensd interval), dus is $F(x) = \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\eu^{\iu x\xi}\dd\xi$ overal gedefinieerd, en differentiëren onder de integraal (gedomineerd door $\Omega^k\abs{\hat f} \in L^1$ op de band) maakt haar $\mathcal C^\infty$ met overal $\abs{F^{(k)}} \leq \frac{\Omega^k}{2\pi}\norm{\hat f}_{L^1}$ . En $F = f$ b.o.: beide leden hebben dezelfde getransformeerde, en de transformatie is injectief op $L^2$ (Stelling 14.8 en haar $L^2$ -uitbreiding).

13. De exponentiëlen $\xi \mapsto \eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}$ , $n \in \Z$ , vormen een hilbertbasis van $L^2(\intcc{-\Omega}\Omega)$ (Stelling 13.9, herschaald). De coëfficiënt van $\hat f$ langs de $n$ -de is

\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\hat f(\xi)\, \eu^{\iu n\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac{2\pi}{2\Omega}\cdot \frac1{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat f(\xi)\, \eu^{\iu(n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,f\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr),

volgens de formule van vraag 12 in $x = \frac{n\pi}\Omega$ : de vermelde ontwikkeling geldt in $L^2$ van de band.

14. Voer de ontwikkeling in in de inversieformule van vraag 12; het verwisselen van som en integraal is de continuïteit van de $L^2$ -paring tegen $\frac1{2\pi} \eu^{\iu x\xi}\mathbf 1_{\abs\xi\leq\Omega}$ (met $L^2$ -norm $\frac{\sqrt{2\Omega}}{2\pi}$ , onafhankelijk van $x$ — vandaar de uniformiteit):

f(x) = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr)\cdot \frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(x - n\pi/\Omega)\xi}\dd\xi = \sum_nf\Bigl(\frac{n\pi}\Omega\Bigr) \operatorname{sinc}(\Omega x - n\pi),

want $\frac1{2\Omega}\int_{-\Omega}^\Omega\eu^{\iu u\xi}\dd\xi = \frac{\sin(\Omega u)}{\Omega u}$ .

15. De berekening van vraag 14 achterstevoren gelezen geeft dat de getransformeerde van $s_n = \operatorname{sinc}(\Omega\cdot - n\pi)$ gelijk is aan $\hat s_n = \frac\pi\Omega\,\eu^{-\iu n\pi\xi/\Omega}\,\mathbf 1_{\intcc{-\Omega}\Omega}$ . Plancherel:

\langle s_n, s_m\rangle = \frac1{2\pi} \Bigl(\frac\pi\Omega\Bigr)^2\int_{-\Omega}^\Omega \eu^{\iu(n-m)\pi\xi/\Omega}\dd\xi = \frac\pi\Omega\,\delta_{nm} :

een orthogonale familie met constante norm $\sqrt{\pi/\Omega}$ . Normen nemen in de ontwikkeling van vraag 14: $\norm f_2^2 = \frac\pi\Omega\sum_n\abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ .

16. $g(x) = \sin(\Omega x)\operatorname{sinc} (\Omega x) = \frac{\sin^2(\Omega x)}{\Omega x}$ verdwijnt in elk roosterpunt $\frac{n\pi}\Omega$ (ook in $0$ , met de limiet) en is niet identiek nul. Haar band: schrijf $g = \frac1{2\iu}\bigl(\eu^{\iu \Omega x} - \eu^{-\iu\Omega x}\bigr)\operatorname{sinc}(\Omega x)$ ; modulatie met $\eu^{\pm\iu\Omega x}$ verschuift de getransformeerde over $\mp\Omega$ , dus heeft $\hat g$ drager in $\intcc{-2\Omega}{2\Omega}$ (zelfs in de vereniging van twee verschoven banden): $g \in PW_{2\Omega}$ , onzichtbaar voor bemonstering met snelheid $\Omega$ — aliasing in levenden lijve.

17. Volgens vraag 15 dragen de monsters de energie democratisch: $\norm f^2 = \frac\pi\Omega\sum \abs{f(n\pi/\Omega)}^2$ . Is de energie van het signaal buiten het tijdvenster $\intcc{-T/2}{T/2}$ hoogstens $\varepsilon^2\norm f^2$ , dan voldoen de monsters buiten het venster (op randtermen na, beheerst door de uniforme afschatting van vraag 12) aan $\frac\pi\Omega\sum_{\abs{n\pi/\Omega} > T/2} \abs{f(n\pi/\Omega)}^2 \approx \norm{f\,\mathbf 1_{\abs x > T/2}}^2 \leq \varepsilon^2\norm f^2$ : de bemonsteringsreeks afknotten tot de ongeveer $\frac{\Omega T}\pi$ indices binnen het venster reconstrueert $f$ op een relatieve fout $\approx \varepsilon$ na. Bijgevolg telt het product van tijd en bandbreedte $\frac{\Omega T}{\pi}$ de effectieve reële vrijheidsgraden van het signaal — de regel achter elk audioformaat.

18. (a) $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ heeft monsters $f(n\pi/\Omega) = \operatorname{sinc}(n\pi) = \delta_{n0}$ : de reeks reduceert tot haar term voor $n = 0$ , $\operatorname{sinc}(\Omega x)$ — de stelling reproduceert haar eigen kern. (b) Heeft $\hat f$ drager in $\intcc{-\Omega'}{\Omega'} \subseteq \intcc{-\Omega}\Omega$ , dan loopt elke stap van de vragen 13 en 14 woordelijk door met de grotere band $\Omega$ (de ontwikkeling van $\hat f$ op het grotere interval blijft geoorloofd): sneller bemonsteren dan de eigen nyquistsnelheid verandert niets aan de reconstructie — overbemonstering is onschadelijk, en in de praktijk gunstig (er kunnen dan sneller vervallende reconstructiekernen worden gebruikt).

19. Ontwikkel $\eu^{-\iu\xi x} = \sum_k\frac{(-\iu\xi x)^k}{k!}$ binnen de integraal; op $\intcc{-A}A$ convergeert de reeks normaal ( $\sum_k\frac{\abs{\xi}^kA^k}{k!}\abs f \in L^1$ ), dus is term voor term integreren geoorloofd:

\hat f(\xi) = \sum_{k\geq0}\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}m_k, \qquad \abs{m_k} \leq A^k\norm f_1 .

Die afschatting laat de reeks voor elke complexe $\xi$ convergeren; rond elk punt $\xi_0$ geeft hergroeperen (absolute convergentie) een machtreeks in $\xi - \xi_0$ : dus is $\hat f$ overal reëel-analytisch met oneindige straal.

20. Zij $g$ reëel-analytisch op $\R$ (haar taylorreeks convergeert nabij elk punt naar $g$ ) en $Z = \{\xi : g^{(k)}(\xi) = 0\ \forall k\}$ . $Z$ is gesloten (doorsnede van gesloten verzamelingen); ze is open, want in $\xi_0 \in Z$ is de lokale taylorontwikkeling van $g$ de nulreeks, zodat $g$ nabij $\xi_0$ identiek verdwijnt, samen met al haar afgeleiden. Verdwijnt $g$ op een interval, dan is $Z \neq \varnothing$ ; en wegens de samenhang van $\R$ is $Z = \R$ : dus $g \equiv 0$ . Had nu een $f \neq 0$ compacte drager samen met $\hat f$ : vraag 19 maakt $\hat f$ reëel-analytisch, en ze verdwijnt buiten een compacte verzameling, dus op intervallen: bijgevolg $\hat f \equiv 0$ , zodat $f = 0$ b.o. wegens de injectiviteit — tegenspraak. Evenzo kan een $f \neq 0$ in $PW_\Omega$ geen compacte drager hebben (verwissel de rollen van $f$ en $\hat f$ met de inversie): bandbegrensde signalen sterven nooit, tijdbegrensde signalen bezetten een onbegrensd spectrum.

21. Voor $f = \eu^{-ax^2}$ is $\norm f_2^2 = \sqrt{\frac\pi{2a}}$ en $\int x^2\abs f^2 = \frac1{4a}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}$ (het tweede moment van de gaussische functie); verder is $\hat f = \sqrt{\frac\pi a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ (Voorbeeld 14.2) en

\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2\dd\xi = \frac1{2\pi}\cdot\frac\pi a\int\xi^2 \eu^{-\xi^2/2a}\dd\xi = \frac1{2a}\cdot a\sqrt{2\pi a} = \frac{\sqrt{2\pi a}}2 .

Genormeerd product: $\frac1{4a}\sqrt{\frac\pi{2a}}\cdot \frac{\sqrt{2\pi a}}2\big/\frac{\pi}{2a} = \frac14$ , onafhankelijk van $a$ . De schaling verklaart die constantheid: $f$ door $f(\lambda\cdot)$ vervangen vermenigvuldigt $\int x^2\abs f^2/\norm f^2$ met $\lambda^{-2}$ en $\frac1{2\pi}\int\xi^2\abs{\hat f}^2/\norm f^2$ met $\lambda^{2}$ : het product is een dilatatie-invariant, en de gaussische functies vormen één dilatatiebaan.

22. Met $\abs f^2$ als positiedichtheid en $\frac1{2\pi}\abs{\hat f}^2$ als impulsdichtheid van een kwantumtoestand (de fysische eenheden voeren $\hbar$ in) luidt Oefening 14.8 $\sigma_x\sigma_p \geq \frac\hbar2$ : geen enkele toestand is scherp in beide observabelen. Doorheen het hoofdstuk draagt één wet vijf pakken: warmte strijkt ogenblikkelijk glad omdat $\eu^{-t\xi^2}$ de hoge frequenties vernietigt (Deel II); de stroming kan niet achterwaarts lopen omdat ze herstellen onbegrensd is (Deel IV); een bandbegrensd signaal is stijf genoeg om op een aftelbaar rooster te leven (Deel V); geen enkele functie duikt onder de bodem van Heisenberg; en geen enkele functie heeft aan beide zijden van de transformatie compacte drager (vragen 19 en 20). Wat $\hat f$ op oneindig doet, regeert wat $f$ waar dan ook mag doen.

23. Zowel $g_t$ als $g_s$ ligt in $L^1$ met $\widehat{g_t}(\xi) = \eu^{-t\xi^2}$ (de berekening van vraag 1), dus geeft de convolutiestelling $\widehat{g_t * g_s} = \eu^{-t\xi^2}\eu^{-s\xi^2} = \eu^{-(t+s)\xi^2} = \widehat{g_{t+s}}$ ; twee $L^1$ -functies met dezelfde getransformeerde vallen b.o. samen (injectiviteit, via de inversiestelling — hier zijn beide leden continu, dus vallen ze overal samen): $g_t * g_s = g_{t+s}$ . Bijgevolg is $u(t + s) = g_{t+s} * f = g_s * (g_t * f) = g_s * u(t)$ (associativiteit van de convolutie, Tonelli). Log-convexiteit: zij $N(t) = \norm{u(t)}_2^2 = \frac1{2\pi}\int \eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2\dd\xi$ (Plancherel, vraag 8). Voor $t = \frac{t_1 + t_2}2$ schrijf je

\eu^{-2t\xi^2}\abs{\hat f}^2 = \Bigl(\eu^{-2t_1\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\eu^{-2t_2\xi^2}\abs{\hat f}^2\Bigr)^{1/2},

en Cauchy–Schwarz geeft $N\bigl(\frac{t_1+t_2}2\bigr) \leq \sqrt{N(t_1)\,N(t_2)}$ : dus is $\ln N$ convex in het midden, en omdat ze continu is (gedomineerde convergentie in $t$ ), convex; en dus ook $\ln\norm{u(t)}_2 = \frac12\ln N(t)$ . Verval met een convexe logaritme: de warmtestroming kan geen energie in een uitbarsting verliezen om daarna stil te vallen.

24. De momenten van de kern: $\int g_t = 1$ (vraag 7 met $f = g_s$ , of rechtstreeks de gaussische integraal), $\int x\,g_t(x)\dd x = 0$ (oneven integrand), en, met de substitutie $x = 2\sqrt t\,v$ ,

\int_\R x^2g_t(x)\,\dd x = \frac{4t}{\sqrt\pi}\int_\R v^2\eu^{-v^2}\dd v = 2t .

Substitueer $x = z + y$ in de convolutie en merk op dat $\iint(\abs z + \abs y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y < \infty$ (elk van $\int\abs z^kg_t$ en $\int\abs y^kf$ is eindig voor $k \leq 2$ , met $\abs y \leq \frac{1 + y^2}2$ ); Fubini en Tonelli zijn dan van toepassing op de momentintegralen hieronder:

\int x\,u(t,x)\dd x = \iint (z + y)\,g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 0\cdot\!\int\! f + 1\cdot\!\int\! yf(y)\dd y,

wat de eerste bewering is; en

\iint (z+y)^2g_t(z)f(y)\,\dd z\,\dd y = 2t\int f + 2\cdot0\cdot\!\int\! yf + \int y^2f(y)\dd y ,

de tweede. Gemiddelden tellen op, varianties tellen op, en de kern draagt gemiddelde $0$ en variantie $2t$ bij: na tijd $t$ heeft de warmte zich over een breedte van de orde $\sqrt{2t}$ verspreid — de afstand groeit als de vierkantswortel van de tijd, het handschrift van de diffusie (en van de brownse paden van Hoofdstuk 22).

25. Aan de kant van de transformatie: $\hat f(\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-\xi^2/4}$ , dus $\hat u(t,\xi) = \sqrt\pi\,\eu^{-(t + \frac14)\xi^2}$ , en dat is de getransformeerde van $(1 + 4t)^{-1/2}\exp\bigl(-x^2/(1+4t)\bigr)$ (het gaussische woordenboek $\eu^{-ax^2} \mapsto \sqrt{\pi/a}\,\eu^{-\xi^2/4a}$ met $a = \frac1{1+4t}$ ): de gesloten vorm. Rechtstreekse controle, met $\sigma = 1 + 4t$ :

\partial_tu = \sigma^{-1/2}\eu^{-x^2/\sigma} \Bigl(-\frac2\sigma + \frac{4x^2}{\sigma^2}\Bigr) = \partial^2_{xx}u ,

beide leden berekend uit $\partial_xu = -\frac{2x}\sigma\,u$ . Behoud: $\int u(t) = \sigma^{-1/2}\sqrt{\pi\sigma} = \sqrt\pi$ voor alle $t$ . Dissipatie:

\norm{u(t)}_2^2 = \frac1\sigma\int\eu^{-2x^2/\sigma}\dd x = \frac1\sigma\sqrt{\frac{\pi\sigma}2} = \sqrt{\frac\pi2}\,(1+4t)^{-1/2},

dus $\norm{u(t)}_2 = (\pi/2)^{1/4}(1+4t)^{-1/4}$ , niet-stijgend met convexe logaritme (vraag 23); de $L^2$ -norm vervalt als $t^{-1/4}$ , precies de helft van de exponent $t^{-1/2}$ van $\norm{u(t)}_\infty$ — in overeenstemming met $\norm u_2^2 \leq \norm u_\infty\norm u_1$ en het behoud van $\norm u_1$ . Variantie: $\int x^2u(t) = \frac1\sigma\cdot \frac{\sigma^{3/2}\sqrt\pi}2 = \frac{\sqrt\pi}2\,(1 + 4t) = \int x^2f + 2t\sqrt\pi$ , zoals vraag 24 voorspelt ( $\int x^2f = \frac{\sqrt\pi}2$ , $\int f = \sqrt\pi$ ). Bij $t = 6$ : $\sigma = 25$ , piekhoogte $u(6, 0) = \frac15$ tegenover $u(0,0) = 1$ , een breedteschaal $\sqrt\sigma = 5$ maal de aanvankelijke, en de hele tijd $\int u = \sqrt\pi \approx 1.7725$ : de vlek is vijf keer lager, vijf keer breder, en er ontbreekt geen enkele calorie.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

klasse van Schwartz

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst

14.1 De transformatie op L1L^1L1

14.2 Inversie en injectiviteit

14.3 De klasse van Schwartz

14.4 Plancherel en L2L^2L2

14.5 Oefeningen

14.6 Probleem: de warmtevergelijking op de lijn

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

14.1 De transformatie op $L^1$

14.4 Plancherel en $L^2$