Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Bachelor Year 3

13Hilbert-ruimten

Een Hilbert-ruimte is een Banachruimte waarvan de norm afkomstig is van een inwendig product — en die ene extra structuur herstelt, in oneindige dimensie, vrijwel de gehele Euclidische meetkunde: orthogonale projecties bestaan, elke continue functionaal is een inwendig product met een vaste vector (Riesz), en orthonormale bases ontwikkelen elke vector in een convergente reeks met Pythagoreïsche boekhouding (Parseval). Het hoogtepunt van het hoofdstuk is een ingeloste schuld: het trigonometrische stelsel is een orthonormale basis van $L^2$ , zodat de identiteit van Parseval geldt voor elke kwadratisch integreerbare functie — de uitspraak die Bachelor jaar 2 alleen kon bewijzen voor stuksgewijs $\mathcal C^1$ -functies. We eindigen met Lax–Milgram, het werkpaardlemma van de variationele aanpak van differentiaalvergelijkingen.

Doorheen is $H$ een vectorruimte over $K = \R$ of $\C$ .

13.1 Inwendige producten; de projectiestelling

Definitie 13.1

Een inwendig product is een afbeelding $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , lineair in de tweede variabele, met $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ en $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ . Het induceert de norm $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (het bewijs van Jaar 2 — de discriminant — blijft ongewijzigd), en de parallellogramwet

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Een Hilbert-ruimte is een inwendig-productruimte die volledig is voor deze norm. Voorbeelden: $\ell^2$ (Probleem 8.1) en, het fundamentele, $L^2(\mu)$ met $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — volledig door Riesz–Fischer (Stelling 12.4); het inwendig product is eindig door Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder bij $p = q = 2$ ).

Stelling 13.2 (Projectie op een gesloten convexe verzameling)

Zij $C \neq \varnothing$ een gesloten convexe deelverzameling van de Hilbert-ruimte $H$ en $x \in H$ . Er is een unieke $p_C(x) \in C$ met

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

gekarakteriseerd door: $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ voor alle $c \in C$ . De afbeelding $p_C$ is $1$ -Lipschitz.

Bewijs. Zij $d = d(x, C)$ en $(c_n) \subseteq C$ met $\norm{x - c_n} \to d$ . Parallellogram op $x - c_n$ en $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(convexiteit plaatst het midden in $C$ ): de rechterkant gaat naar $0$ , dus $(c_n)$ is Cauchy, en haar limiet $p \in C$ (gesloten) bereikt $d$ . Uniciteit: twee minimizers geven, via dezelfde identiteit, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Karakterisering: voor $c \in C$ , $t \in \intoc01$ , de vector $p + t(c - p) \in C$ , dus

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

deel door $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Omgekeerd geeft deze ongelijkheid $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz: voor $x, y$ met projecties $p, q$ , tel de twee variationele ongelijkheden op (met $c = q$ , resp. $c = p$ ): $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , dus $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Stelling 13.3 (Orthogonale ontbinding)

Zij $F$ een gesloten deelruimte van $H$ . Dan is $p_F$ lineair, $x - p_F(x) \perp F$ voor alle $x$ , en

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Voor een algemene deelruimte geldt $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; in het bijzonder is $F$ dicht desda $F^\perp = \{0\}$ .

Bewijs. Voor een deelruimte dwingt de variationele karakterisering met $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , beide tekens, en $\iu f$ in het complexe geval) $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : de rest is orthogonaal op $F$ . Ontbinding $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ met $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ); lineariteit van $p_F$ volgt uit uniciteit van zulke ontbindingen (beide zijden lineair daarin). $(F^\perp)^\perp \supseteq F$ altijd; omgekeerd, als $x \perp F^\perp$ , schrijf $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ en $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$ . Voor een algemene deelruimte $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuïteit van het inwendig product), dus $(F^\perp)^\perp = \bar F$ via het gesloten geval; dichtheid desda $\bar F = H$ desda $F^\perp = 0$ . ∎

Stelling 13.4 (Representatiestelling van Riesz)

Voor elke continue lineaire functionaal $\varphi \in H'$ is er een unieke $a \in H$ met

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Bewijs. Als $\varphi = 0$ : $a = 0$ . Anders is $F = \ker\varphi$ een gesloten echte deelruimte; kies $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ (Stelling 13.3: $F^\perp \neq 0$ omdat $F \neq H$ ). Voor willekeurige $x$ geldt $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ , dus $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Dus $a = \overline{\varphi(u)}u$ werkt. Uniciteit: $\langle a - a', x\rangle = 0$ voor alle $x$ , test $x = a - a'$ . Normen: $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz) met gelijkheid bij $x = a$ . ∎

Voorbeeld 13.5 (Een projectie, tot het eind uitgerekend)

In $H = L^2(\intcc01)$ , wat is de beste benadering van $f(x) = x^2$ door een affiene functie? De deelruimte $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ is gesloten (eindig-dimensionaal), en $p_F(f) = a + bx$ wordt gekarakteriseerd door orthogonaliteit van de rest op $1$ en op $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

d.w.z. $\frac13 = a + \frac b2$ en $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Dus $p_F(x^2) = x - \frac16$ , en de fout is

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Twee opmerkingen om te internaliseren. Ten eerste is de berekening niets anders dan een $2\times2$ -lineair stelsel — de normaalvergelijkingen; voor de monoomiale basis is hun matrix $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ de berucht slecht geconditioneerde Hilbert-matrix, en eerst orthogonaliseren (Legendre-polynomen, Probleem 13.1) is het medicijn. Ten tweede is de beste uniforme benadering van $x^2$ door affiene functies anders ( $x - \frac18$ , via equioscillatie): elke norm heeft haar eigen meetkunde, en alleen de Hilbertse beantwoordt met een lineair stelsel.

13.2 Orthonormale bases

Definitie 13.6

Een familie $(e_i)_{i\in I}$ is orthonormaal als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , en een Hilbert-basis (orthonormale basis) als bovendien haar eindige lineaire combinaties dicht liggen in $H$ (de familie is totaal). We behandelen het aftelbare geval $I = \N$ , dat via Gram–Schmidt elke separabele $H$ dekt (Propositie 13.8).

Stelling 13.7 (Bessel, Parseval)

Zij $(e_n)_{n\in\N}$ orthonormaal in $H$ , en $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , en de reeks $\sum_nc_n(x)e_n$ convergeert in $H$ , met som $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
Het volgende is equivalent: (i) $(e_n)$ is een Hilbert-basis; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ voor elke $x$ ; (iii) Parseval: $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ voor elke $x$ ; (iv) de enige vector orthogonaal op alle $e_n$ is $0$ .
Als $(e_n)$ een Hilbert-basis is, is $x \mapsto (c_n(x))_n$ een isometrisch isomorfisme $H \to \ell^2$ (elke oneindig-dimensionale separabele Hilbert-ruimte “is” $\ell^2$ ), en $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Bewijs. (1) Voor eindige $N$ : $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), dus Pythagoras geeft $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : Bessel. De deelsommen $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ zijn Cauchy: $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , staart van een convergente reeks; de limiet ligt in $F$ , en $x - \lim S_N \perp$ elke $e_k$ (continuïteit), dus $\perp F$ : via uniciteit van de orthogonale ontbinding, $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii): $F = H$ , dus $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii): Pythagoras in de limiet ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv): $x \perp$ alle $e_n$ geeft $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i): $F^\perp = \{0\}$ (orthogonaliteit op alle $e_n$ is orthogonaliteit op $F$ ), dus $F$ is dicht door Stelling 13.3; maar $F$ , een afsluiting, is al gesloten: $F = H$ .

(3) De afbeelding is lineair, isometrisch via (iii) (dus injectief), en surjectief: gegeven $(c_n) \in \ell^2$ , convergeert de reeks $\sum c_ne_n$ (Cauchy zoals in (1)) naar een originelen. De inwendig-productformule is polarisatie uit (iii), of een directe limietberekening. ∎

Propositie 13.8 (Gram–Schmidt)

Zij $(x_n)$ een lineair onafhankelijke rij. Stel inductief $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ en $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ produceert een orthonormale $(e_n)$ met dezelfde eindige opspanningen: $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_n)$ . Bijgevolg heeft elke separabele Hilbert-ruimte (één met een aftelbare dichte deelverzameling) een Hilbert-basis.

Bewijs. Inductie: $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ) per constructie, en $\tilde e_n \neq 0$ door onafhankelijkheid; de opspanningen kloppen in elke stap (driehoekige basistransformatie). Voor een separabele $H$ : uit een dichte rij extraheer een lineair onafhankelijke subfamilie met dichte opspanning (verwerp elke vector in de opspanning van haar voorgangers — de opspanning blijft gelijk), orthonormaliseer: het resultaat is totaal. ∎

Stelling 13.9 (Het trigonometrische stelsel; Parseval eindelijk)

In $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ met $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ is de familie $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , een Hilbert-basis. Bijgevolg, voor elke $f \in L^2$ — in het bijzonder elke stuksgewijs continue $2\pi$ -periodieke $f$ — met $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{in } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Dit bewijst, in volle algemeenheid, de Parseval-identiteit die Jaar 2 toegaf.

Bewijs. Orthonormaliteit is een directe berekening (Jaar 2). Totaliteit: zij $f \in L^2$ $\perp$ alle $e_n$ , d.w.z. alle Fouriercoëfficiënten verdwijnen. Continue $2\pi$ -periodieke functies zijn dicht in $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : inderdaad is $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ dicht (Stelling 12.6(2)) en zulke functies strekken periodiek en continu uit. Trigonometrische veeltermen zijn $\norm\cdot_\infty$ -dicht onder continue periodieke functies (Stone–Weierstrass, Gevolg 7.16(c)), en $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : trigonometrische veeltermen zijn dicht in $L^2$ . Maar $f \perp$ elke trigonometrische veelterm, dus $f \perp$ een dichte deelruimte: $f \in (\text{dicht})^\perp = \{0\}$ (Stelling 13.3). Criterium (iv) van Stelling 13.7 concludeert; (ii) en (iii) pakken zich uit tot de weergave (herindexering van het aftelbare $\Z$ ; de tweezijdige reeks convergeert onvoorwaardelijk — de deelsommen over elke uitputtende familie convergeren, via het $\ell^2$ -staartargument). ∎

Stelling 13.10 (Lax–Milgram)

Zij $H$ een reële Hilbert-ruimte en $a \colon H\times H \to \R$ bilineair, continu ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) en coërcief ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ ). Dan is er voor elke $\varphi \in H'$ een unieke $u \in H$ met

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{voor alle } v \in H .

Bewijs. Voor vaste $u$ is $v \mapsto a(u, v)$ continu lineair: Riesz geeft een unieke $Au \in H$ met $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ is lineair met $\norm{Au} \leq M\norm u$ (uniciteit van representanten, daarna de grens). Coërciviteit: $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , dus $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ is injectief met gesloten beeld (een Cauchy-beeldrij $Au_n$ dwingt $u_n$ Cauchy). Het beeld is dicht: $w \perp \operatorname{im}A$ geeft $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Gesloten en dicht: $A$ is bijectief. Gegeven $\varphi$ , laat $f$ haar representeren (Riesz) en $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , uniek ( $a(u - u', \cdot) = 0$ en coërciviteit). ∎

Opmerking 13.11

Wanneer $a$ symmetrisch is, is de oplossing van Lax–Milgram de unieke minimizer van de energie $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (Oefening 13.9): bestaan van oplossingen van variationele problemen in één klap. Toegepast op geschikte functieruimten (de Sobolev-ruimten van een later college) lost dit randwaardeproblemen voor differentiaalvergelijkingen op — de moderne ingang tot partiële differentiaalvergelijkingen.

13.3 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

(a) Bewijs de polarisatie-identiteiten (reëel: $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; complex: de viertermenversie). (b) Toon dat $\norm\cdot_1$ op $L^1(\intcc01)$ en $\norm\cdot_\infty$ op $\mathcal C(\intcc01)$ de parallellogramwet schenden: deze normen komen van geen inwendig product.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

(a) Reëel: ontwikkel $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ en trek af. Complex (inwendig product lineair in de tweede sleuf): ontwikkelend zoals hierboven,

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

elke term bijdragend $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ , waarvan de som $4\langle x,y\rangle$ is (controleer de vier waarden van $k$ ; de $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ elk, som $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Sup-norm: $f = \mathbf 1$ , $g(t) = t$ op $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . Bij falen van de parallellogramwet worden deze normen door geen inwendig product geïnduceerd (dat zou het forceren door directe ontwikkeling).

Oefening 13.2 ★

In $H = L^2(\intcc01)$ (reëel): (a) bereken de projectie van $f$ op de deelruimte van constante functies, en interpreteer; (b) bereken de projectie op $\{g : g = 0 \text{ a.e.\ op } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) bereken $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : inderdaad $f - \int f \perp$ constanten ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). De beste constante benadering van $f$ in gemiddeld kwadraat is haar gemiddelde — de eerste instantie van conditionele verwachting (Hoofdstuk 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : het verschil $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ is orthogonaal op elke $g$ die verdwijnt op $\intcc0{1/2}$ .

Oefening 13.3 ★★

(a) Toon dat voor een deelruimte $F$ : $F$ dicht $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , en geef een voorbeeld in $\ell^2$ van een echte dichte deelruimte (dus $F^\perp = 0$ zonder $F = H$ : de ontbindingsstelling heeft echt gesloten $F$ nodig). (b) Toon dat als $x_n \to x$ en $y_n \to y$ in norm, dan $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , en lokaliseer twee plaatsen waar het hoofdstuk deze continuïteit gebruikte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

(a) De equivalentie is Stelling 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , en $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Voorbeeld: de ruimte $F$ van eindige rijen is dicht in $\ell^2$ (afknotting) en echt: $F^\perp = \{0\}$ maar $F \neq \ell^2$ — voor een niet-gesloten deelruimte faalt $H = F \oplus F^\perp$ openlijk ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (convergente rijen zijn begrensd). Gebruikt: in Stelling 13.7(1) om $x - \lim S_N \perp e_k$ te zien, en in Stelling 13.3 om $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ te zien.

Oefening 13.4 ★★

Pas Gram–Schmidt toe op $1, x, x^2$ in $L^2(\intcc{-1}1)$ (Lebesgue-maat): verkrijg de eerste drie genormaliseerde Legendre-polynomen, en verifieer dat ze overeenkomen met $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ voor de Rodrigues-polynomen $P_n$ van Probleem 13.1.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . Volgende, $x \perp \mathbf 1$ al ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), en $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Dan $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (en $\perp e_1$ door pariteit), met

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Vergelijking: $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , en $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ geeft $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : precies $e_0, e_1, e_2$ .

Oefening 13.5 ★★

Pas Parseval (Stelling 13.9) toe op $f(t) = t$ en $f(t) = t^2$ op $\intcc{-\pi}\pi$ — nu legitiem voor deze (continu, maar voorheen had de identiteit stuksgewijs- $\mathcal C^1$ -zorg bij de omwikkelingsdiscontinuïteit nodig): herwin

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

Voor $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ en, partieel integrerend, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ voor $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Voor $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval:

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

Geen stuksgewijs- $\mathcal C^1$ -voorbehouden nodig: Stelling 13.9 dekt elke $L^2$ -functie.

Oefening 13.6 ★★

(a) Vind $a \in L^2(\intcc01)$ met $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ voor alle $f$ ; bereken $\norm\varphi$ voor deze functionaal. (b) Toon dat de evaluatie $f \mapsto f(\frac12)$ , gedefinieerd op de deelruimte $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , niet continu is voor $\norm\cdot_2$ : er bestaat geen Riesz-representant (evaluatie is geen $L^2$ -begrip).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : de representant is $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , en $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (Stelling 13.4).

(b) Neem de tentfuncties $f_n$ met piek $1$ in $\frac12$ en drager van breedte $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ terwijl $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : geen constante $C$ kan $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ geven. Puntsevaluatie is zinloos in $L^2$ — elementen zijn klassen modulo nullverzamelingen — en deze berekening is de kwantitatieve reden.

Oefening 13.7 ★★★

Zij $H$ separabel met Hilbert-basis $(e_n)$ , en $(x_k)$ een begrensde rij. (a) Toon dat een deelrij zwak convergeert: er is $x$ met $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ voor elke $y \in H$ . (Diagonale extractie op de coëfficiënten $\langle e_n, x_k\rangle$ ; bouw $x$ via Bessel en uniforme begrensdheid van normen.) (b) Toon $e_n \rightharpoonup 0$ maar $\norm{e_n} = 1$ : zwakke limieten kunnen norm verliezen. Toon $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ in (a).

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

(a) Zij $M = \sup_k\norm{x_k}$ . De scalaire rijen $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ zijn begrensd door $M$ : een diagonale extractie levert $x_{k_j}$ met $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ voor elke $n$ . Voor elke $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), dus $(\gamma_n) \in \ell^2$ en $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (Stelling 13.7(3)). Voor $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

met de ontwikkeling $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ en Cauchy–Schwarz op de staart; kies $N$ dan $j$ : zwakke convergentie naar $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ voor elke $y$ ( $\ell^2$ -staarten): $e_n \rightharpoonup 0$ , maar $\norm{e_n} = 1$ : de norm is niet zwak continu. In (a): $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (eindige stukken en Bessel opnieuw): zwakke limieten kunnen alleen norm verliezen.

Oefening 13.8 ★★

(Toegevoegden) Voor $T \in \mathcal L(H)$ , toon dat er een unieke $T^* \in \mathcal L(H)$ is met $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), en $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Bereken de toegevoegde van de shift $S$ op $\ell^2$ , en bewijs $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — concludeer $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

Voor vaste $y$ is $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ een continue lineaire functionaal; Riesz geeft een unieke $T^*y$ met $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ voor alle $x$ — conjugeren, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . Uniciteit maakt $T^*$ lineair;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

dus $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , en $T^{**} = T$ geeft gelijkheid. Shift: $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ met $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : de achterwaartse shift. Kern–beeld: $T^*y = 0$ desda $\langle x, T^*y\rangle = 0$ voor alle $x$ desda $\langle Tx, y\rangle = 0$ voor alle $x$ desda $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; neem $\perp$ en gebruik Stelling 13.3, $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Oefening 13.9 ★★

Zij $a$ zoals in Lax–Milgram en bovendien symmetrisch. Toon dat $u$ $a(u, \cdot) = \varphi$ oplost desda $u$ $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ minimaliseert, en dat het minimum precies in één punt wordt bereikt. (Maak het kwadraat volledig: $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Toepassing: herleid de projectiestelling voor gesloten deelruimten uit Lax–Milgram.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

Als $a(u, \cdot) = \varphi$ : voor willekeurige $w$ ,

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

strikt positief voor $w \neq 0$ : $u$ is de unieke minimizer. Omgekeerd, in een minimizer heeft de functie $t \mapsto J(u + tw)$ (een kwadratische polynoom in $t$ ) verdwijnende afgeleide in $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ voor elke $w$ . Projectie herleid: voor een gesloten deelruimte $F$ , pas Lax–Milgram toe op de Hilbert-ruimte $F$ met $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) en $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : een unieke $p \in F$ met $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ voor alle $v \in F$ , d.w.z. $x - p \perp F$ — en via het symmetrische geval minimaliseert $p$ $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ over $F$ : de projectie.

Oefening 13.10 ★★★

(Het Haar-stelsel) Op $\intcc01$ , zij $h_{0} = \mathbf 1$ , en voor $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ):

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Toon dat $(h_n)_{n\geq0}$ orthonormaal is in $L^2(\intcc01)$ , en totaal. (Orthogonaliteit: disjuncte of geneste dragers; totaliteit: eindige opspanningen bevatten alle dyadische stapfuncties, die dicht zijn — via Stelling 12.6(1) en dyadische benadering van intervallen.) Het Haar-stelsel is de voorouder van wavelets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

Normalisatie: $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Orthogonaliteit: twee verschillende Haar-functies hebben of disjuncte (inwendigen van) dragers (product nul a.e.), of de drager van de fijnere is bevat in een half-interval waar de grovere constant is — dan is de integraal van het product die constante maal $\int h_{\text{fijner}} = 0$ ; tegen $h_0 = \mathbf 1$ , opnieuw $\int h_n = 0$ . Totaliteit: de opspanning van $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ bestaat uit stapfuncties op het dyadische rooster van stap $2^{-J}$ ; beide ruimten hebben dimensie $2^J$ en de Haar-functies zijn onafhankelijk (orthonormaal): de opspanning is alle zulke stapfuncties. Dyadische stapfuncties zijn dicht in $L^2(\intcc01)$ : eenvoudige functies zijn dicht (Stelling 12.6(1)), meetbare verzamelingen worden benaderd door eindige unies van intervallen (Oefening 9.7), en intervallen door dyadische (eindpunten bewegen met $\leq 2^{-J}$ ). Via Stelling 13.7 is het Haar-stelsel een Hilbert-basis.

Oefening 13.11 ★★

(Orthogonale projecties, gekarakteriseerd) Zij $H$ een Hilbert-ruimte en $P \in \mathcal L(H)$ met $P^2 = P$ , $P \neq 0$ . Toon de equivalentie van: (i) $P$ is de orthogonale projectie op $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (Oefening 13.8); (iii) $\vertiii P = 1$ . (Voor (iii) $\Rightarrow$ (i): als een $x \in (\ker P)^\perp$ $Px \neq x$ had, beschouw $x + t(Px - x)$ — of direct: voor $u \in \operatorname{im}P$ en $v \in \ker P$ , ontwikkel $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ voor alle $t \in \R$ en concludeer $\langle u, v\rangle = 0$ .) Exposeer een niet-orthogonale projectie op $\R^2$ en bereken haar norm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii): voor de orthogonale projectie, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (voeg de ontbindingen $x = Px + (x - Px)$ enz. in en dood kruistermen). (ii) $\Rightarrow$ (iii): $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , dus $\vertiii P \leq 1$ , en $Pu = u$ op het niet-nul beeld: $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i): $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algebraïsch, uit $P^2 = P$ ); neem $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ moet $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ zijn voor elke $t$ , forcerend $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (vergelijk de lineaire termen als $t \to 0^\pm$ ); $v$ vervangen door $\iu v$ doodt ook het imaginaire deel: $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , precies de orthogonaliteit van de projectie. Voorbeeld: $P(x, y) = (x + y, 0)$ op $\R^2$ : $P^2 = P$ , beeld de $x$ -as, kern de lijn $y = -x$ , en $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (bereikt in $(1,1)/\sqrt2$ ): een scheve projectie heeft norm $> 1$ . (Ter registratie geeft (ii) ook (i) direct: $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ via Oefening 13.8.)

Oefening 13.12 ★★★

(De ergodische stelling van von Neumann) Zij $U \in \mathcal L(H)$ unitair ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ de vaste-ruimte, $P$ de orthogonale projectie op $F$ , en $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Toon $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (uit $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ en unitariteit), en concludeer $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) Toon dat $A_nx \to x$ voor $x \in F$ , en $A_nx \to 0$ voor $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (telescoperen), dan voor $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (uniforme grens $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Concludeer: $A_nx \to Px$ voor elke $x \in H$ — tijdgemiddelden convergeren naar de projectie op de invarianten. (d) Werk het uit voor $H = L^2(\R/\Z)$ en $Uf = f(\cdot + \alpha)$ met $\alpha$ irrationaal: identificeer $F$ (gebruik Fourierreeksen, Stelling 13.9) en concludeer dat $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ in $L^2$ : de $L^2$ -equidistributie van irrationale rotaties.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

(a) Voor unitair $U$ : $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ en $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : de twee verdwijnen samen, dus $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Dan, met $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (Oefening 13.8) met $T = U - I$ en $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) Op $F$ : $U^kx = x$ , dus $A_nx = x$ . Voor $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , van norm $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Voor $x$ in de afsluiting: gegeven $\varepsilon$ , kies $x' = (U - I)y$ met $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; omdat $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Ontbind $x = Px + (x - Px)$ met $Px \in F$ en $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (deel (a)): $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) In de Fourier-basis $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , dus $Ue_m = e_m$ desda $m\alpha \in \Z$ desda $m = 0$ ( $\alpha$ irrationaal): $F = \C\mathbf 1$ en $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . De stelling leest $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ in $L^2(\R/\Z)$ : de baangemiddelden van een irrationale rotatie equidistribueren — de $L^2$ -schaduw van Weyls equidistributiestelling, verkregen via pure Hilbert-meetkunde.

13.4 Probleem: orthogonale polynomen

Probleem 13.1

Weekendopgave — Legendre, Hermite, en Gauss-kwadratuur

Zij $I \subseteq \R$ een interval en $w > 0$ een continu gewicht op het inwendige van $I$ zodat $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ voor alle $n$ ; werk in $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ met $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt toegepast op $1, t, t^2, \dots$ produceert de orthogonale polynomen $(p_n)$ voor $w$ (monische normalisatie: $p_n = t^n + \cdots$ ).

Deel I — Algemene theorie.

Toon dat $p_n$ orthogonaal is op elke polynoom van graad $< n$ , en dat $(p_0, \dots, p_n)$ een basis is van $\R_n[t]$ .
(Drietermenrecurrentie) Toon dat er reële $a_n, b_n$ bestaan met

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Ontwikkel $t\,p_n$ in de basis $(p_k)_{k \leq n+1}$ en dood coëfficiënten door orthogonaliteit, met $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Wortels) Toon dat $p_n$ $n$ onderscheiden wortels heeft, alle inwendig in $I$ . (Zij $t_1 < \dots < t_m$ de inwendige tekenwisselingen van $p_n$ ; als $m < n$ , test $p_n$ tegen $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ en weerspreek orthogonaliteit.)

Deel II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). Definieer $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Toon $\deg P_n = n$ met leidende coëfficiënt $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , en, $n$ keer partieel integrerend, dat $\langle P_n, Q\rangle = 0$ voor elke polynoom $Q$ van graad $< n$ : de $P_n$ zijn (op normalisatie na) de orthogonale polynomen voor $w = 1$ .
Bereken $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (integreer $n$ keer partieel tegen zichzelf en reduceer tot een Beta/Wallis-integraal, Oefening 11.8).
Toon dat de genormaliseerde Legendre-polynomen een Hilbert-basis van $L^2(\intcc{-1}1)$ vormen (Weierstrass, Gevolg 7.16, plus dichtheid van $\mathcal C$ in $L^2$ ), en ontwikkel $f(t) = \abs t$ tot graad $2$ : bereken de beste kwadratische $L^2$ -benadering van $\abs t$ .

Deel III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). Definieer $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Toon dat $H_n$ een polynoom van graad $n$ is met leidende coëfficiënt $2^n$ , dat $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , en dat $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (opnieuw partieel).
Toon dat de Hermite-familie totaal is in $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , één resultaat uit Hoofdstuk 14 toelatend: als $g \in L^1(\R)$ $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ heeft voor alle $\xi$ , dan $g = 0$ a.e. (Voor $f \perp$ alle $H_n$ , d.w.z. $\perp$ alle polynomen: toon dat $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ welgedefinieerd is, ontwikkel de exponentiaal als reeks, rechtvaardig de verwisseling door dominering, en concludeer dat de Fouriertransformatie van $f\eu^{-t^2}$ verdwijnt.)

Deel IV — Gauss-kwadratuur. Fixeer $n$ , laat $t_1 < \dots < t_n$ de wortels van $p_n$ zijn (Deel I), en definieer de gewichten $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ waar $\ell_i$ de Lagrange-interpolatiebasispolynomen in de $t_i$ zijn.

Toon dat de kwadratuurregel $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ exact is op alle polynomen van graad $\leq n - 1$ (interpolatie), en in feite — het mirakel — op alle polynomen van graad $\leq 2n - 1$ : schrijf $P = qp_n + r$ en gebruik orthogonaliteit op het quotiënt $q$ .
Toon dat de gewichten positief zijn (pas de regel toe op $\ell_i^2$ , van graad $2n - 2$ ), en concludeer uit de stelling van Polya (Oefening 8.9) dat Gauss-kwadratuur convergeert: $Q_n(f) \to \int_I fw$ voor elke continue $f$ op een compact $I$ .
Voor $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : bereken de knooppunten $\pm\frac1{\sqrt3}$ en gewichten $1, 1$ , en verifieer exactheid op $1, t, t^2, t^3$ met de hand. Vergelijk met de trapeziumregel op dezelfde twee evaluatiepunten.

Deel V — Chebyshev: de polynomen die het best oscilleren. Nu $I = \intcc{-1}1$ en $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Toon dat $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ een polynoom $T_n$ van graad $n$ definieert (stel $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ vast vanuit een trigonometrische identiteit), met leidende coëfficiënt $2^{n-1}$ voor $n \geq 1$ ; en dat de substitutie $t = \cos\theta$ geeft

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

de $T_n$ zijn de orthogonale polynomen voor dit gewicht, en Chebyshev-ontwikkelingen zijn Fourier-cosinusreeksen in vermomming.
Lokaliseer expliciet de $n$ wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en de $n + 1$ extrema $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ van $T_n$ op $\intcc{-1}1$ , waar $T_n(s_j) = (-1)^j$ : de grafiek equioscilleert tussen $\pm1$ .
(Minimax) Toon dat onder alle monische polynomen van graad $n$ de polynoom $2^{1-n}T_n$ de kleinste sup-norm heeft op $\intcc{-1}1$ , namelijk $2^{1-n}$ — en dat hij de unieke minimizer is. (Als een monische $P$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$ had, zou het verschil $2^{1-n}T_n - P$ , van graad $\leq n-1$ , van teken wisselen in de $n+1$ equioscillatiepunten.)
Toepassing op interpolatie: voor knooppunten $t_1 < \dots < t_n$ in $\intcc{-1}1$ betrekt de fout van Lagrange-interpolatie van een $\mathcal C^n$ -functie $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Toon dat de keuze van Chebyshev-wortels als knooppunten $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ minimaliseert, en geef de resulterende grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}\,n!}$ — vergelijk met equidistante knooppunten (noem het fenomeen van Runge als waarschuwend verhaal).
Verifieer $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (differentiëer $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ en neem limieten $\theta \to 0, \pi$ ): polynomen begrensd door $1$ op $\intcc{-1}1$ kunnen afgeleide zo groot als $n^2$ hebben aan de rand (de ongelijkheid van Markov zegt niet groter — alleen de uitspraak). Waar in het interval is de afgeleidegrens slechts $O(n)$ ?
(Chebyshev–Gauss-kwadratuur) Toon dat de Gauss-regel voor het gewicht $w$ in de $n$ Chebyshev-wortels gelijke gewichten $w_i = \frac\pi n$ heeft (exactheid op $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus de trigonometrische sommen $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ voor $1 \leq j \leq n - 1$ ): de meest uniforme van alle kwadraturen. Schrijf het uit voor $n = 3$ .

Deel VI — Christoffel–Darboux, interlacering, en de Jacobi-matrix. Terug naar een algemeen gewicht; $h_k = \norm{p_k}^2$ (monische $p_k$ ), $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Kleinste norm) Toon dat onder alle monische polynomen van graad $n$ de orthogonale $p_n$ de unieke is van minimale $L^2(w)$ -norm — identificeer de minimalisatie als een orthogonale projectie op $\R_{n-1}[t]$ (Stelling 13.2 of de eindig-dimensionale projectie van Jaar 2). De minimax-eigenschap van vraag 14 is dezelfde uitspraak met $L^\infty$ in plaats van $L^2$ : dezelfde held, twee normen.
(Christoffel–Darboux) Bewijs, door inductie op $n$ met de drietermenrecurrentie, de identiteit

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

en haar confluente vorm ( $y \to x$ ): $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
Concludeer dat $p_n$ en $p_{n+1}$ geen gemeenschappelijke wortel hebben, en dat in elke wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Concludeer de interlacering van wortels: tussen twee opeenvolgende wortels van $p_{n+1}$ ligt precies één wortel van $p_n$ .
(Jacobi-matrix) Zij $J_n$ de $n\times n$ symmetrische tridiagonale matrix met diagonaal $a_0, \dots, a_{n-1}$ en nevendiagonaal-items $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Toon door inductie dat $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , dus de wortels van $p_n$ zijn de eigenwaarden van een reële symmetrische matrix — herbewijzend in één regel dat ze reëel zijn, en (met de interlacering hierboven) orthogonale polynomen koppelend aan de spectrale wereld van Hoofdstuk 15.
(Synthese) Stel het woordenboek samen voor de drie klassieke families (Legendre, Hermite, Chebyshev): interval, gewicht, definiërende formule, drietermenrecurrentie, norm, en de natuurlijke habitat van elk (kwadratuur en benadering op compacta; Gaussiaanse analyse; minimax en Fourier-cosinusmethoden). Eén zin over wat de algemene theorie (Delen I, VI) gaf dat geen individuele berekening kon.

Deel VII — De foutterm, en de kern achter de gewichten. Hier is $I$ compact en $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(Gauss-foutformule) Zij $Hf$ de Hermite-interpolant van graad $\leq 2n - 1$ die $f$ en $f'$ matcht in de knooppunten $t_1, \dots, t_n$ (bewijs bestaan en de puntsgewijze fout

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

via het gebruikelijke hulpfunctie-argument). Concludeer, door deze identiteit te integreren tegen $w$ en te knijpen tussen de extrema van $f^{(2n)}$ , dat

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{voor zekere } \xi \in I,$

met $h_n = \norm{p_n}^2$ zoals in Deel VI: Gauss-kwadratuur faalt met één $2n$ -de afgeleide, gewogen met de gekwadrateerde norm van de monische orthogonale polynoom.
(De gewichten zijn Christoffel-waarden) Met de reproducerende kern $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ van $\R_{n-1}[t]$ en de exactheid van $Q_n$ tot graad $2n - 2$ , bewijs

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

elk gewicht is de waarde in zijn knooppunt van de Christoffel-functie — positiviteit van de gewichten (vraag 10) opnieuw, nu met een exacte formule. Verifieer dat het $w_1 = w_2 = 1$ terugwint voor $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Alles klopt op één integraal) Voor het Chebyshev-gewicht en $n = 3$ knooppunten, bereken beide zijden van

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

zodat de kwadratuurfout precies $\frac{\pi}{32}$ is; controleer dan dat de foutformule van vraag 23 precies deze waarde voorspelt (hier is $f^{(6)} = 6!$ constant, en $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ): theorie en berekening stemmen overeen tot op het laatste cijfer.

Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. Gram–Schmidt garandeert $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ en $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), dus $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . De $p_k$ , van strikt stijgende graden, zijn onafhankelijk: een basis.

2. $t\,p_n$ is monisch van graad $n + 1$ : ontwikkel $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ met $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Voor $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (graad $k + 1 < n$ ). Dus $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , de gestelde recurrentie, met

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{lager}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Zij $t_1 < \dots < t_m$ de punten inwendig in $I$ waar $p_n$ van teken wisselt, en $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (met $q = 1$ als $m = 0$ ). Dan heeft $p_nq$ constant teken op $I$ en is niet a.e. nul: $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Als $m < n$ , weerspreekt dit $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Dus $m = n$ : $p_n$ heeft $n$ onderscheiden inwendige wortels (hij heeft in totaal hoogstens $n$ wortels).

4. $(t^2 - 1)^n$ heeft graad $2n$ ; $n$ afgeleiden laten graad $n$ , met leidende coëfficiënt $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Voor $\deg Q < n$ , integreer $n$ keer partieel: alle randtermen bevatten een afgeleide van orde $< n$ van $(t^2-1)^n$ , die verdwijnt in $\pm1$ (wortel van orde $n$ ); na $n$ stappen draagt de integrand $Q^{(n)} = 0$ .

5. Met $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; randtermen verdwijnen zoals in vraag 4). En $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (Oefening 11.8). Combineren: $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Polynomen zijn $\norm\cdot_\infty$ -dicht in $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Gevolg 7.16), continue functies zijn $L^2$ -dicht (Stelling 12.6), en $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : polynoomopspanningen zijn totaal, dus de genormaliseerde $P_n$ vormen een Hilbert-basis. Ontwikkeling van $\abs t$ : de coëfficiënt tegen $P_0$ is $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; tegen $P_1$ : $0$ (pariteit); tegen $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Beste kwadratische benadering:

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. Uit $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ en Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; inductie geeft graad $n$ en leidende coëfficiënt $2^n$ . Voor $m < n$ , integreer $n$ keer partieel in $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2} \bigr)^{(n)}$ : randtermen (polynoom $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) verdwijnen in $\pm\infty$ , latend $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . Voor $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , dus $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Zij $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ orthogonaal op elke polynoom, en $g = f\eu^{-t^2}$ . Dan $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Voor $\xi \in \R$ , ontwikkel $\eu^{-\iu\xi t}$ : de deelsommen worden gedomineerd omdat

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(de laatste reeks convergeert: $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , dus de termen zijn $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). Term-voor-term-integratie (Gevolg 10.7 toegepast op de absolute reeks, dan Fubini voor reeksen) geeft

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

elke integraal van type $\langle t^k, f\rangle_w = 0$ . Via de toegestane injectiviteit van de Fouriertransformatie (Hoofdstuk 14), $g = 0$ a.e., dus $f = 0$ a.e.: de Hermite-familie (wier opspanningen de polynomen zijn) is totaal.

9. Exactheid tot graad $n - 1$ : voor zulke $P$ , $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exact, dus $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Graad $\leq 2n - 1$ : deel $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ ; dan $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), terwijl $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ omdat de knooppunten de wortels van $p_n$ zijn. Gelijk.

10. $\ell_i^2$ heeft graad $2n - 2 \leq 2n - 1$ en $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Polya (Oefening 8.9, getransporteerd naar $I$ met gewicht): voorwaarde (i) houdt — elke polynoom wordt exact geïntegreerd zodra $2n - 1 \geq$ haar graad; voorwaarde (ii): $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , begrensd: $Q_n(f) \to \int fw$ voor elke $f \in \mathcal C(I)$ , $I$ compact.

11. Monische $p_2 = t^2 - \frac13$ (uit Oefening 13.4): knooppunten $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Gewichten: $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , en $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; door symmetrie $w_2 = 1$ . Exactheid: $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . De twee-punts trapeziumregel (knooppunten $\pm1$ , gewichten $1, 1$ ) is exact alleen tot graad $1$ : op $t^2$ geeft ze $2$ in plaats van $\frac23$ . Zelfde kost, twee extra graden van exactheid: de beloning van orthogonale knooppunten.

12. Uit $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ met $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ ; inductie geeft polynomen van graad $n$ met leidende coëfficiënt $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). Substitueren $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ): $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ voor $m \neq n$ , $= \pi$ voor $m = n = 0$ , $= \frac\pi2$ anders (product-naar-som). Graden en paarsgewijze orthogonaliteit identificeren de $T_n$ met de Gram–Schmidt-uitvoer op scalairen na; een Chebyshev-ontwikkeling van $f$ is precies de Fourier-cosinusreeks van $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ desda $\cos n\theta = 0$ desda $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : de $n$ onderscheiden wortels $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . Extrema: $\abs{T_n} \leq 1$ op $\intcc{-1}1$ , met $T_n(s_j) = (-1)^j$ in de $n + 1$ punten $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : perfecte equioscillatie.

14. $2^{1-n}T_n$ is monisch met sup-norm $2^{1-n}$ . Als een monische $P$ van graad $n$ $\sup\abs P < 2^{1-n}$ had, zou het verschil $D = 2^{1-n}T_n - P$ graad $\leq n - 1$ hebben (leidende termen cancelen) maar van teken wisselen in $s_0 > \dots > s_n$ (daar domineert $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ $P$ ): minstens $n$ nulpunten — $D \equiv 0$ , tegenspraak. Voor uniciteit bij gelijkheid voldoet dezelfde $D$ aan $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; een niet-nul polynoom van graad $\leq n-1$ kan geen $n$ zwak alternerende extreme randvoorwaarden hebben zonder $n$ wortels correct geteld (als $D(s_j) = 0$ voor zekere inwendige $s_j$ , is dat nulpunt dubbel in de telling omdat $D$ lokaal een teken houdt): opnieuw $D \equiv 0$ .

15. De Lagrange-foutformule (Rolle, Jaar 2) geeft $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ , dus de uniforme fout is hoogstens $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty} {n!}\,\sup\abs\omega$ , en $\omega$ is monisch van graad $n$ : via vraag 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ met gelijkheid desda de knooppunten de Chebyshev-wortels zijn. Vandaar de optimale grens $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Met equidistante knooppunten is $\sup\abs\omega$ exponentieel groter nabij de eindpunten, en interpoleren van zelfs $\frac1{1 + 25t^2}$ divergeert daar als $n \to \infty$ (fenomeen van Runge); Chebyshev-knooppunten zijn het medicijn.

16. Differentiëren van $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta} {\sin\theta}$ , dat naar $n^2$ gaat als $\theta \to 0$ en naar $(-1)^{n+1}n^2$ als $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . In inwendige punten, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : de kwadratische opblazing leeft alleen aan de randen (Bernsteins inwendige grens versus Markovs globale).

17. Zij $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ en $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ voor $1 \leq j \leq n-1$ . Dan

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Voor $j$ even verdwijnt de teller: $S_j = 0$ . Voor $j$ oneven is de teller $-2$ , en $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , dus de hele uitdrukking is $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : zuiver imaginair, $S_j = 0$ opnieuw. Vandaar integreert de gelijke-gewichten-regel $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) en doodt $T_1, \dots, T_{n-1}$ precies zoals $\int T_jw = 0$ doet: ze is exact tot graad $n - 1$ . Gewichten exact tot graad $n-1$ in gegeven knooppunten zijn uniek (Lagrange-basis): de Gauss-gewichten zijn alle $\frac\pi n$ . Voor $n = 3$ : knooppunten $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ en

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exact door graad $5$ .

18. Voor monische $P$ van graad $n$ : $P = p_n + r$ met $r \in \R_{n-1}[t]$ , en $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (vraag 1), dus $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , met gelijkheid desda $r = 0$ : $p_n$ is het orthogonale projectieresidu van $t^n$ op $\R_{n-1}[t]^\perp$ , d.w.z. de monische polynoom het dichtst bij de deelruimte die ze moet vermijden. Chebyshevs $2^{1-n}T_n$ beantwoordt dezelfde vraag voor de sup-norm: kleinste afwijking van nul, eens in $L^2(w)$ , eens in $L^\infty$ .

19. Schrijf $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Basis $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ omdat $p_1 = t - a_0$ . Stap: aannemend de identiteit voor $n - 1$ ,

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

substitueer $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ en $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ in de tweede term: de $a_n$ -bijdragen cancelen, en de $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ -bijdragen cancelen de inductieterm; wat overblijft is $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . De confluente vorm volgt door $y \to x$ te laten (beide zijden zijn polynomen in $y$ ).

20. De confluente vorm geeft $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ overal. In een wortel $x_0$ van $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , dus $p_n(x_0) \neq 0$ (geen gemeenschappelijke wortels). Tussen opeenvolgende wortels $x_0 < x_1$ van $p_{n+1}$ (alle eenvoudig, Deel I) heeft $p_{n+1}'$ tegengestelde tekens, dus ook $p_n$ : een wortel van $p_n$ ligt in elk van de $n$ gaten — en dat put haar $n$ wortels uit: interlacering.

21. Ontwikkeling van $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ langs de laatste rij: $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , met $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ : de recurrentie en zaden van de monische $p_n$ , dus $D_n = p_n$ . Wortels van $p_n$ = eigenwaarden van de symmetrische $J_n$ : reëel, en eenvoudig via vraag 19 — Gauss-kwadratuur is de spectraaltheorie van een tridiagonale matrix in vermomming, de eindig-dimensionale schaduw van Hoofdstuk 15.

22. Woordenboek:

	Legendre	Hermite	Chebyshev
interval	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
gewicht	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
formule	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norm $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
habitat	kwadratuur	Gaussiaanse calculus	minimax

(elk met haar drietermenrecurrentie: algemene vorm voor Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). De algemene theorie leverde wat geen enkele familie toont: realiteit en interlacering van wortels, positiviteit van kwadratuurgewichten, het loutere bestaan van de recurrentie en van Christoffel–Darboux — gevolgen van orthogonaliteit alleen, uniform in het gewicht.

23. Bestaan: de lineaire afbeelding $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , is injectief (een $P$ in de kern heeft $n$ dubbele wortels en graad $\leq 2n - 1$ , dus $P = 0$ ) tussen ruimten van gelijke dimensie $2n$ : bijectief. Puntsgewijze fout: fixeer $t$ geen knooppunt en kies $K$ zodat $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ verdwijnt in $s = t$ . Dan verdwijnt $g$ in de $n + 1$ onderscheiden punten $t, t_1, \dots, t_n$ , en $g'$ verdwijnt ook in elke $t_i$ (zowel $f - Hf$ als $p_n^2$ hebben daar dubbele nulpunten). Rolle geeft $n$ nulpunten van $g'$ strikt tussen opeenvolgende nulpunten van $g$ — onderscheiden van de knooppunten — dus $g'$ heeft $2n$ onderscheiden nulpunten; $2n - 1$ keer meer Rolle toepassen produceert $\xi_t$ met $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Omdat $\deg Hf \leq 2n - 1$ en $p_n^2$ monisch van graad $2n$ is, $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , vandaar $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — en de identiteit is triviaal in de knooppunten. Integratie: $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ matcht $f$ in de knooppunten) en $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ door exactheid tot graad $2n - 1$ (vraag 9), dus de kwadratuurfout is $\int(f - Hf)\,w$ . Met $m, M$ de extrema van $f^{(2n)}$ op $I$ knijpt de puntsgewijze identiteit

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

en de tussenwaardestelling toegepast op de continue $f^{(2n)}$ levert $\xi$ . (Voor Legendre met $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , dus de fout is $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. De kern reproduceert $\R_{n-1}[t]$ : ontwikkelen $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ geeft $\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)$ voor elke $q$ van graad $\leq n - 1$ . Neem $q = \ell_i$ : de linkerkant is gelijk aan $\ell_i(t_i) = 1$ . Maar $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ is een polynoom van graad $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , waarop $Q_n$ exact is (vraag 9), en ze verdwijnt in elk knooppunt $t_j \neq t_i$ (factor $\ell_i$ ), dus

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

De som is $> 0$ (haar $k = 0$ -term is $1/h_0 > 0$ ): de gestelde formule, en positiviteit opnieuw. Controle ( $n = 2$ , Legendre): $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; in $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ,

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

zoals gevonden in vraag 11.

25. Substitueren $t = \cos\theta$ , de integraal is $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, Oefening 11.8). De $n = 3$ Chebyshev–Gauss-regel (vraag 17) heeft knooppunten $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ en gelijke gewichten $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Voorspelling: de monische graad- $3$ orthogonale polynoom is $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , met $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; en $f = t^6$ heeft constante $f^{(6)} = 720 = 6!$ , dus vraag 23 geeft fout $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — zonder afhankelijkheid van $\xi$ over, is de formule gedwongen exact te zijn, en ze is het.