विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

24ठोसों में इलेक्ट्रॉन

ताँबा क्वार्ट्ज़ से दस लाख अरब अरब गुना बेहतर बिजली चलाता है — किसी भी भौतिक गुण का सबसे चौड़ा परास, और वह भी ऐसे पदार्थों के हाथ में जो दोनों हालत में भूरे ढेलों जैसे दिखते हैं। पिछले अध्याय का ढाँचा इसमें से कुछ नहीं समझाता; और उसमें उँडेले गए इलेक्ट्रॉन सब कुछ समझा देते हैं। यह अध्याय इस समस्या पर सदी के तीन प्रहार चलाता है, जिनमें हर एक पिछले का मलबा विरासत में पाता है: ड्रुडे की चिरसम्मत पिनबॉल (1900), जो ओम का नियम सही पाती है और ऊष्माधारिता शर्मनाक ढंग से ग़लत; ज़ोमरफ़ेल्ट की फ़र्मी गैस, जो अध्याय 19 के चेक को भुनाना भर है; और ब्लॉख की सूझ कि किसी आवर्ती जालक में इलेक्ट्रॉन-तरंग हर दूसरी तरंग की तरह ब्रैग-परावर्तित होती है — और इससे बैंड अंतराल खुलते हैं, जो सारे ठोसों को धातुओं, विद्युत्रोधियों, और सँकरे-अंतराल वाली उन मँझली संतानों, अर्धचालकों, में छाँट देते हैं, जिन पर पूरा इलेक्ट्रॉनिक युग खड़ा है। अध्याय किसी सौर पैनल के भीतर जाकर समाप्त होता है।

24.1 ड्रुडे की पिनबॉल धातु

प्रतिज्ञप्ति 24.1 (ड्रुडे चालकता)

किसी धातु के संयोजी इलेक्ट्रॉनों को घनत्व $n$ की कोई चिरसम्मत गैस मानिए, जो हर $\tau$ सेकंड पर बाधाओं से टकराती हो। कोई क्षेत्र $\vect E$ हर एक को संघट्टों के बीच त्वरित करता है; और औसत अपवाह वेग $\vect v_{\text{d}} = -e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ है, जो तापीय गति के आगे नन्हा है। तब धारा घनत्व $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}}$ स्थानीय रूप से ओम का नियम मानता है, $\vect j = \sigma\vect E$ , जहाँ

\sigma = \frac{ne^2\tau}{m_{\text{e}}} .

ताँबे का मापा गया $\sigma$ $\tau \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ माँगता है — और इस प्रतिरूप के दो गौरव इसी से निकलते हैं: यह समझाता है कि प्रतिरोधक गरम क्यों होते हैं (क्षेत्र का कार्य हर संघट्ट पर तापीय हो जाता है), और यह वीडेमान–फ़्रांत्स नियम की भविष्यवाणी करता है कि $\kappa/\sigma T$ सारी धातुओं के लिए वही नियतांक है — क्योंकि इलेक्ट्रॉन आवेश और ऊष्मा, दोनों ढोते हैं (अभ्यास 24.5)।

उपपत्ति. संघट्टों के बीच $\dot{\vect v} = -e\vect E/m_{\text{e}}$ ; और हर संघट्ट पर नए सिरे से शुरू करने पर किसी माध्य काल $\tau$ में अर्जित माध्य वेग $-e\tau\vect E/m_{\text{e}}$ है। तब $\vect j = -ne\vect v_{\text{d}} = (ne^2\tau/m_{\text{e}})\vect E$ । ∎

ड्रुडे का चित्र: कोई इलेक्ट्रॉन 106\, m/ s पर उछलता-टकराता है, जबकि क्षेत्र उस पर प्रति सेकंड मिलीमीटर के अंशों जितना अपवाह चढ़ा देता है ()। ओम का नियम अपने आप निकल आता है; और इस प्रतिरूप की विफलताओं ने उससे भी अधिक सिखाया। — ड्रुडे का चित्र: कोई इलेक्ट्रॉन $\sim10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर उछलता-टकराता है, जबकि क्षेत्र उस पर प्रति सेकंड मिलीमीटर के अंशों जितना अपवाह चढ़ा देता है (अभ्यास 24.2)। ओम का नियम अपने आप निकल आता है; और इस प्रतिरूप की विफलताओं ने उससे भी अधिक सिखाया।

टिप्पणी 24.2 (ज़ोमरफ़ेल्ट का बचाव)

ड्रुडे की गैस को किसी धातु की ऊष्माधारिता में प्रति इलेक्ट्रॉन $\tfrac32k_{\text{B}}$ जोड़ना चाहिए; पर प्रयोग सौ गुना कम पाता है। अध्याय 19 इलेक्ट्रॉनों को पहले ही बरी कर चुका है: वे एक अपह्रासित फ़र्मी गैस हैं, $T_{\text{F}} \sim 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ , और केवल फ़र्मी सतह के $k_{\text{B}}T$ भीतर वाला तापीय कोश ही अनुक्रिया कर सकता है — ऊष्मा पर भी, और प्रकीर्णन पर भी। ज़ोमरफ़ेल्ट ने ड्रुडे को फ़र्मी–डिराक सांख्यिकी के साथ फिर से चलाया, जिसमें चालकता का सूत्र बना रहता है (और $\tau$ अब फ़र्मी-सतह के इलेक्ट्रॉनों का जीवनकाल है, जिनकी $10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तापीय चाल नहीं बल्कि $v_{\text{F}}$ है), ऊष्माधारिता सुधरकर अपने मापे गए $T/T_{\text{F}}$ वाले पतले टुकड़े पर आ जाती है, और वीडेमान–फ़्रांत्स का संख्यात्मक नियतांक तक ठीक हो जाता है। पर हर मुक्त-इलेक्ट्रॉन प्रतिरूप के बाद भी एक रहस्य बचा रहता है: क्वार्ट्ज़ बिलकुल भी चालन क्यों नहीं करता।

24.2 ब्लॉख: जालक बोलता है

प्रमेय 24.3 (ब्लॉख अवस्थाएँ और बैंड अंतराल)

किसी निर्दोष आवर्ती विभव में अचर अवस्थाएँ ब्लॉख तरंगें $\psi_k(x) = u_k(x)\eu^{\iu kx}$ हैं — यानी जालक की अपनी आवर्तिता $u_k$ से सजी समतल तरंगें — जो बिना प्रकीर्ण हुए संचरित होती हैं: किसी निर्दोष क्रिस्टल का प्रतिरोध शून्य होता है, और असली प्रतिरोध खामियों से आता है (कंपन, अशुद्धियाँ)। पर हर ऊर्जा बचती नहीं। $k = \pi/a$ पर इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्घ्य $2a$ होती है: यानी स्वयं जालक पर ब्रैग की शर्त (प्रमेय 23.6 ने ध्वनि के लिए यही खोज की थी)। परावर्तित और आपाती तरंगें दो अप्रगामी प्रतिरूप बनाती हैं — आवेश आयनों पर ढेर (कम ऊर्जा) या उनके बीच (अधिक) — अतः मुक्त-इलेक्ट्रॉन परवलय $E = \hbar^2k^2/2m_{\text{e}}$ चिर जाता है: वर्जित ऊर्जाओं का एक अंतराल, यानी बैंड अंतराल $E_{\text{g}}$ , अनुमत अवस्थाओं के एक भरे-पूरे बैंड को अगले से अलग कर देता है। किसी क्रिस्टल की इलेक्ट्रॉनी पहचान उसकी बैंडों और अंतरालों की सीढ़ी है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

लगभग-मुक्त इलेक्ट्रॉन। क्षेत्र-किनारे से दूर वह इलेक्ट्रॉन जालक को मुश्किल से भाँपता है; और k = π/a पर उसका अपना ब्रैग परावर्तन उस परवलय को चीर देता है, जिससे अंतराल की ऊर्जाएँ वर्जित हो जाती हैं। पिछले अध्याय में ध्वनि-तरंगों ने ठीक यही किया था — वही जालक, वही व्यतिकरण, नया किरायेदार। — लगभग-मुक्त इलेक्ट्रॉन। क्षेत्र-किनारे से दूर वह इलेक्ट्रॉन जालक को मुश्किल से भाँपता है; और $k = \pi/a$ पर उसका अपना ब्रैग परावर्तन उस परवलय को चीर देता है, जिससे अंतराल की ऊर्जाएँ वर्जित हो जाती हैं। पिछले अध्याय में ध्वनि-तरंगों ने ठीक यही किया था — वही जालक, वही व्यतिकरण, नया किरायेदार।

परिभाषा 24.4 (धातु, विद्युत्रोधी, अर्धचालक)

बैंडों को क्रिस्टल के इलेक्ट्रॉनों से भरिए, प्रति अवस्था दो (अध्याय 14), और पहले सबसे ठंडी। यदि सबसे ऊपर की अधिभुक्त बैंड आंशिक रूप से भरी हो, तो अत्यल्प ऊर्जा भी इलेक्ट्रॉनों को शुद्ध गति में खिसका सकती है: वह एक धातु है (सोडियम: एक संयोजी इलेक्ट्रॉन, आधी बैंड; और द्विसंयोजी धातुएँ अतिव्यापी बैंडों से चालन करती हैं)। यदि वह ठीक-ठीक भरी हो और ऊपर कोई चौड़ा अंतराल हो, तो कोई छोटा धक्का कुछ भी पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकता: वह एक विद्युत्रोधी है (हीरा, $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ )। और यदि वह अंतराल छोटा हो — सिलिकॉन में $1.12\,\mathrm{eV}$ — तो तापीय हलचल कुछ इलेक्ट्रॉनों को पार चढ़ा देती है, और हर एक नीचे एक गतिशील विवर छोड़ जाता है: वह एक अर्धचालक है, जिसकी वाहक-संख्या $\propto\eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ कुछ ही अंशों में दुगनी हो जाती है। इसी से वह महान विभाजन: धातुएँ गरम करने पर बदतर चालन करती हैं (प्रकीर्ण करने को अधिक कंपन), और अर्धचालक बेहतर (चरघातांकी रूप से अधिक वाहक) — एक ही चिह्न-पलटाव, जो किसी पदार्थ का वर्ग एक ही मापन में पहचान देता है।

बैंड का भराव ही सब कुछ तय करता है। कोई आंशिक भरी बैंड चालन करती है; किसी चौड़े अंतराल के नीचे कोई भरी बैंड नहीं कर सकती; और कोई सँकरा अंतराल ताप (या प्रकाश, या अपमिश्रण) से सौदा करने देता है — अर्धचालक की पूरी उपयोगिता यही है कि उसकी चालकता समायोज्य है। — बैंड का भराव ही सब कुछ तय करता है। कोई आंशिक भरी बैंड चालन करती है; किसी चौड़े अंतराल के नीचे कोई भरी बैंड नहीं कर सकती; और कोई सँकरा अंतराल ताप (या प्रकाश, या अपमिश्रण) से सौदा करने देता है — अर्धचालक की पूरी उपयोगिता यही है कि उसकी चालकता *समायोज्य* है।

24.3 अंतराल गढ़ना: अपमिश्रण और संधि

परिभाषा 24.5 (अपमिश्रण)

दस लाख में से एक सिलिकॉन परमाणु की जगह फ़ॉस्फ़ोरस (पाँच संयोजी इलेक्ट्रॉन) रख दीजिए: चार बंध संतुष्ट हो जाते हैं और पाँचवाँ इलेक्ट्रॉन, जो मात्र $45\,\mathrm{meV}$ से बँधा है (अभ्यास 24.10), कमरे के ताप पर मुक्त हो जाता है। ऐसे दाता किसी n-प्रकार अर्धचालक को जन्म देते हैं, जिसमें चालन इलेक्ट्रॉनों से होता है; जबकि बोरॉन (तीन इलेक्ट्रॉन) एक ग्राही है, जो किसी बंध का इलेक्ट्रॉन झपट लेता है और एक गतिशील विवर छोड़ देता है — यानी कोई अनुपस्थित इलेक्ट्रॉन, जो चलता है, क्षेत्रों पर अनुक्रिया करता है, और धन आवेश उतनी ही सच्चाई से ढोता है जितनी सच्चाई से कोई बुलबुला उत्प्लावन: यही p-प्रकार है। अपमिश्रण वाहक-घनत्व — और इसलिए चालकता — को इच्छानुसार छह कोटियों तक झुला देता है: वही घुंडी, जो रेत को परिपथों में बदल देती है।

प्रतिज्ञप्ति 24.6 (P–N संधि)

p-प्रकार को n-प्रकार से जोड़िए। इलेक्ट्रॉन विवरों की ओर छलक जाते हैं और अंतरापृष्ठ के पास उन्हें मिटा देते हैं, जिससे स्थिर आयनित अपमिश्रकों का एक अवक्षय क्षेत्र उघड़ आता है, और उसकी दोहरी परत भीतर एक क्षेत्र खड़ा कर देती है — सिलिकॉन में संतुलन अंतर्निर्मित वोल्टता $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e) \ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/n_{\text{i}}^2) \approx 0.7\,\mathrm{V}$ पर आता है। तब वह संधि दिष्टकरण करती है: अग्र अभिनति उस रोधिका को नीचा करती है और धारा $\eu^{eV/k_{\text{B}}T}$ की तरह बढ़ती है; जबकि उत्क्रम अभिनति उसे ऊँचा कर देती है और केवल कोई रिसाव $I_0$ बहता है:

I = I_0\big(\eu^{eV/k_{\text{B}}T} - 1\big) .

यही असममिति डायोड है — और अपने रूपांतरों में यही LED (पुनर्योजित युग्म अंतराल-ऊर्जा के फ़ोटॉन उत्सर्जित करते हैं), यही सौर सेल (अंतराल-ऊर्जा के फ़ोटॉन युग्म बनाते हैं, जिन्हें अंतर्निर्मित क्षेत्र बुहार ले जाता है: समस्या 24.1), और सैंडविच की तरह दुगुना करने पर यही ट्रांज़िस्टर है: वही स्विच, जिसे कोई आधुनिक चिप सैकड़ों अरबों की संख्या में छापती है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

डायोड का नियम। अग्र वोल्टता चरघातांकी ढंग से लौटाई जाती है; जबकि उत्क्रम वोल्टता केवल रिसाव I_0 खरीदती है। एक संधि दिष्टकरण करती है; दो मिलकर ट्रांज़िस्टर बनाती हैं; और उनका एक वर्ग मीटर, धूप में, एक बिजलीघर। — डायोड का नियम। अग्र वोल्टता चरघातांकी ढंग से लौटाई जाती है; जबकि उत्क्रम वोल्टता केवल रिसाव $I_0$ खरीदती है। एक संधि दिष्टकरण करती है; दो मिलकर ट्रांज़िस्टर बनाती हैं; और उनका एक वर्ग मीटर, धूप में, एक बिजलीघर।

कोई तैयार सिलिकॉन वेफ़र: सैकड़ों चिप, हर एक में अरबों संधियाँ, और सब एक ही अपमिश्रित क्रिस्टल में छपी हुईं — बैंड सिद्धांत, बीसवीं सदी की सबसे परिणामदायी निर्माण-विधि के रूप में।

24.4 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

ड्रुडे का ताँबा। $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ । निकालिए: (क) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho$ ; (ख) फ़र्मी वेग $v_{\text{F}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से माध्य मुक्त पथ; (ग) वही पथ जालक नियतांकों में ( $a = 3.61\,\text{Å}$ ); (घ) समझाइए कि इतनी लंबी उड़ान अभी से क्यों इशारा करती है कि प्रकीर्णन स्वयं आयन नहीं करते।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

(क) $\tau = m_{\text{e}}/ne^2\rho = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ । (ख) $\ell = v_{\text{F}}\tau \approx 39\,\mathrm{nm}$ । (ग) लगभग 110 जालक नियतांक। (घ) सौ आयनों के पास से बिना प्रकीर्ण हुए गुज़रता कोई इलेक्ट्रॉन उन्हीं आयनों से टकरा नहीं सकता — जालक को उसके लिए पारदर्शी होना ही चाहिए, और ठीक यही ब्लॉख की प्रमेय (प्रमेय 24.3) आगे चलकर सिद्ध करती है।

अभ्यास 24.2 ★

तार में घोंघा। कोई $1\,\mathrm{mm}^{2}$ का ताँबे का तार $10\,\mathrm{A}$ ढोता है। (क) अपवाह वेग निकालिए। (ख) किसी $1\,\mathrm{m}$ के लैंप-तार को पार करने में किसी इलेक्ट्रॉन को कितना समय लगेगा? (ग) फिर भी लैंप तुरंत क्यों जल उठता है? (घ) $v_{\text{d}}$ की $v_{\text{F}}$ से तुलना कीजिए और ड्रुडे के पिनबॉल चित्र पर टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.2.

(क) $v_{\text{d}} = I/neA = 7.3 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी प्रति सेकंड एक मिलीमीटर से भी कम। (ख) लगभग 23 मिनट। (ग) वह क्षेत्र तार के अनुदिश लगभग प्रकाश की गति से जम जाता है और पूरे इलेक्ट्रॉन सागर को एक साथ बहने लगाता है: चलने वाले धीमे हैं, चलने का आदेश नहीं। (घ) $v_{\text{d}}/v_{\text{F}} \sim 10^{-9}$ : चालन किसी प्रचंड क्वांटम गति पर लगा एक अगोचर झुकाव है, न कि कोई शांत चिरसम्मत बहाव।

अभ्यास 24.3 ★

बैंडों से छँटाई। बैंड-भराव के नियम से वर्गीकृत कीजिए: (क) सोडियम (एक संयोजी इलेक्ट्रॉन); (ख) मैग्नीशियम (दो — फिर भी धातु: उसकी बैंडों को क्या करना पड़ता है?); (ग) हीरा ( $E_{\text{g}} = 5.5\,\mathrm{eV}$ ); (घ) सिलिकॉन ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) — और हर एक के लिए $\dd\rho/\dd T$ का चिह्न बताइए।

हल

हल — अभ्यास 24.3.

(क) आधी भरी बैंड: धातु, $\dd\rho/\dd T > 0$ । (ख) दो इलेक्ट्रॉन उसकी बैंड ठीक-ठीक भर देते; मैग्नीशियम इसलिए चालन करता है कि उसकी भरी बैंड अगली खाली बैंड से अतिव्यापी है: धातु, $\dd\rho/\dd T > 0$ । (ग) भरी बैंड, $5.5\,\mathrm{eV}$ अंतराल: विद्युत्रोधी (औपचारिक रूप से $\dd\rho/\dd T < 0$ , पर गिनने को वाहक हैं ही नहीं)। (घ) अर्धचालक: $\dd\rho/\dd T < 0$ , यानी वही चरघातांकी चिह्न-पलटाव, जो उसके वर्ग की चुगली कर देता है।

अभ्यास 24.4 ★

अंतराल और फ़ोटॉन। (क) कौन-सी फ़ोटॉन तरंगदैर्घ्य सिलिकॉन के अंतराल से मेल खाती है, और सिलिकॉन किस वर्णक्रमीय क्षेत्र में पारदर्शी हो जाता है? (ख) हीरे के लिए भी वही: वह दृश्य में साफ़ क्यों है? (ग) गैलियम नाइट्राइड के किसी LED का $E_{\text{g}} = 3.4\,\mathrm{eV}$ है: वह कौन-सा रंग-किनारा तय करता है, और नीले LED को यही पदार्थ क्यों चाहिए था? (घ) कोई लाल LED अधिक चलाने पर मंद सफ़ेद चमकने के बजाय अँधेरा होकर क्यों मर जाता है?

हल

हल — अभ्यास 24.4.

(क) $\lambda = hc/E_{\text{g}} = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : उससे आगे सिलिकॉन अवरक्त में पारदर्शी है — और इसीलिए अवरक्त कैमरों के लेंस सिलिकॉन के बन सकते हैं। (ख) $225\,\mathrm{nm}$ , यानी पराबैंगनी में: कोई दृश्य फ़ोटॉन अवशोषित हो ही नहीं सकता, इसलिए हीरा पानी-सा साफ़ है। (ग) $365\,\mathrm{nm}$ : नीले ( $2.8\,\mathrm{eV}$ ) के लिए पर्याप्त चौड़ा अंतराल नाइट्राइडों में है और व्यवहार में लगभग कहीं और नहीं — और इसीलिए नीले LED ने पदार्थ-वृद्धि पर दशकों प्रतीक्षा की। (घ) उसका अंतराल ही उसका फ़ोटॉन तय करता है: अधिक चलाने से ऊष्मा बढ़ती है, अंतराल की चौड़ाई नहीं, और वह डायोड अँधेरे में ही पक जाता है — किसी LED का रंग पदार्थ का नियतांक है, कोई चमक-सेटिंग नहीं।

अभ्यास 24.5 ★★

वीडेमान–फ़्रांत्स। (क) $300\,\mathrm{K}$ पर ताँबे के $\kappa = 400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ और $\sigma = 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ से $\kappa/\sigma T$ निकालिए। (ख) ज़ोमरफ़ेल्ट के मान $L = \pi^2k_{\text{B}}^2/3e^2 = 2.44 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ से तुलिए। (ग) एक वाक्य में समझाइए कि एक ही प्रकार का वाहक दोनों चालकताओं को क्यों बाँध देता है। (घ) पकाने के बर्तन और उनके हत्थे: उस नियम से रसोई के पदार्थ-चयन समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 24.5.

(क) $\kappa/\sigma T = 400/(5.9\times10^7\times300) = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\Omega/\mathrm{K}^{2}$ । (ख) $L$ के दस प्रतिशत भीतर। (ग) वही फ़र्मी-सतह वाले इलेक्ट्रॉन आवेश और ऊष्मा, दोनों ढोते हैं, अतः उनका प्रकीर्णन-काल उस अनुपात में कट जाता है। (घ) इस्पात का बर्तन भोजन तक ऊष्मा इसलिए ले जाता है कि उसके इलेक्ट्रॉन चलते हैं; और लकड़ी का हत्था, जो दोनों अर्थों में विद्युत्रोधी है, उन्हें — और ऊष्मा को — आपके हाथ से दूर रखता है।

अभ्यास 24.6 ★★

ऊष्माधारिता की बरी। (क) ड्रुडे इलेक्ट्रॉनों से $\tfrac32nk_{\text{B}}$ की भविष्यवाणी करता है: ताँबे के $n$ के साथ वह जालक के $3nk_{\text{B}}$ में कितना अंश जोड़ता (प्रति परमाणु एक चालन इलेक्ट्रॉन)? (ख) अध्याय 19 इसके बदले $C_{\text{el}} \sim \tfrac{\pi^2}{2}nk_{\text{B}}(T/T_{\text{F}})$ देता है: $300\,\mathrm{K}$ पर दमन $T/T_{\text{F}}$ का मान निकालिए ( $T_{\text{F}} = 8.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ )। (ग) फिर भी इलेक्ट्रॉनी पद द्रव-हीलियम के तापों पर क्यों जीत जाता है (जालक का $T^3$ याद कीजिए)? (घ) कौन-सा मापन, जिसे $C/T$ के सामने $T^2$ के रूप में आलेखित किया जाए, दोनों को अलग कर देता है?

हल

हल — अभ्यास 24.6.

(क) पचास प्रतिशत अतिरिक्त — जो प्रयोग में खुल्लम-खुल्ला अनुपस्थित है। (ख) $T/T_{\text{F}} \approx 0.004$ : इलेक्ट्रॉनी पद एक प्रतिशत से भी नीचे गला दिया जाता है। (ग) जालक का $T^3$ इलेक्ट्रॉनों के $T$ से तेज़ी से ढहता है: कुछ ही केल्विन से नीचे वही “नगण्य” इलेक्ट्रॉन बाकी बचते हैं। (घ) $C/T = \gamma + \beta T^2$ : अंतःखंड $\gamma$ इलेक्ट्रॉनों को तौलता है, और ढाल $\beta$ जालक को — एक ही आलेख, दोनों किरायेदार।

अभ्यास 24.7 ★★

फ़र्मी सतह क्षेत्र से मिलती है। (क) ताँबे के लिए फ़र्मी तरंगदैर्घ्य $\lambda_{\text{F}} = 2\pi/k_{\text{F}}$ निकालिए, जहाँ $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3}$ । (ख) उसकी तुलना $2a$ से कीजिए: फ़र्मी सतह ब्रैग की शर्त के कितने पास है? (ग) भौतिक रूप से समझाइए कि $k = \pi/a$ पर दोनों अप्रगामी तरंगें (आवेश आयनों पर बनाम उनके बीच) ऊर्जा में भिन्न क्यों होनी चाहिए। (घ) अभ्यास 24.1 का कौन-सा प्रायोगिक तथ्य ब्लॉख की बिना-प्रकीर्णन वाली प्रमेय आख़िरकार समझा देती है?

हल

हल — अभ्यास 24.7.

(क) $k_{\text{F}} = (3\pi^2n)^{1/3} = 1.36 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda_{\text{F}} = 4.6\,\text{Å}$ । (ख) $2a = 7.2\,\text{Å}$ : वही कोटि — ताँबे की फ़र्मी सतह क्षेत्र-सीमा की ओर पहुँच जाती है, और अंतराल खोलने वाली भौतिकी ठीक उन्हीं ऊर्जाओं पर होती है जो मायने रखती हैं। (ग) एक अप्रगामी तरंग अपना आवेश धन आयनों पर ढेर करती है (कम स्थिरवैद्युत ऊर्जा), और दूसरी उनके बीच (अधिक): वही तरंगदैर्घ्य, दो ऊर्जाएँ — यानी वह अंतराल। (घ) 110 जालक-नियतांक वाला मुक्त पथ: ब्लॉख तरंगें किसी निर्दोष जालक से प्रकीर्ण नहीं होतीं, अतः प्रतिरोध के लिए केवल कंपन और अशुद्धियाँ बचती हैं।

अभ्यास 24.8 ★★

चरघातांकी तापमापी। नैज सिलिकॉन का $n_{\text{i}} \propto \eu^{-E_{\text{g}}/2k_{\text{B}}T}$ है। (क) $400\,\mathrm{K}$ और $300\,\mathrm{K}$ के बीच वाहक-घनत्व का अनुपात निकालिए। (ख) इससे किसी थर्मिस्टर का प्रतिरोध ताप के सामने खींचिए और उसकी तुलना किसी प्लैटिनम तार से कीजिए। (ग) चरघातांक में वह गुणक 2 क्यों (जोड़ों में क्या बनता है)? (घ) वह ताप आकलिए जिस पर सिलिकॉन इलेक्ट्रॉनिकी इसलिए विफल हो जाती है कि नैज वाहक किसी $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ अपमिश्रण को डुबो देते हैं ( $n_{\text{i}}(300\,\text{K}) \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ )।

हल

हल — अभ्यास 24.8.

(क) $E_{\text{g}}/2k_{\text{B}} = 6500\,\mathrm{K}$ : $\exp[6500(1/300 - 1/400)] \approx 230$ । (ख) थर्मिस्टर का प्रतिरोध चरघातांकी ढंग से गोता लगाता है — एक तीखा, संवेदी वक्र; जबकि प्लैटिनम का धीरे-धीरे और रैखिक रूप से चढ़ता है (अधिक फ़ोनॉन)। एक वाहक-गिनती का तापमापी है, दूसरा प्रकीर्णन का। (ग) वाहक इलेक्ट्रॉन–विवर जोड़ों में जन्मते हैं, और संतुलन $np = n_{\text{i}}^2$ अंतराल की लागत दोनों में बाँट देता है — और इसीलिए $E_{\text{g}}/2$ । (घ) $n_{\text{i}}$ $760\,\mathrm{K}$ के पास $5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-3}$ तक पहुँच जाता है: अपमिश्रण डूब जाता है और परिपथ अपनी अभिकल्पना भूल जाता है। असली उपकरण उससे पहले ही हार मान लेते हैं — उनके उत्क्रम रिसाव, जो हर दस केल्विन पर दुगने होते हैं, पहले ही बिगड़ जाते हैं।

अभ्यास 24.9 ★★

अपमिश्रण का अंकगणित। सिलिकॉन में $5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ हैं। (क) दस लाख सिलिकॉन परमाणुओं पर एक फ़ॉस्फ़ोरस: कौन-सा वाहक-घनत्व, और $n_{\text{i}} \approx 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ से क्या अनुपात? (ख) एक भाग प्रति दस लाख की गंदगी ने चालकता कितने गुना बदल दी? (ग) समझाइए कि अर्धचालक निर्माण पहले भाग प्रति अरब तक शुद्ध क्यों करता है, और फिर जानबूझकर अपमिश्रण। (घ) दाताओं के बीच औसत दूरी आकलिए और अभ्यास 24.10 की $2.4\,\mathrm{nm}$ वाली कक्षा से तुलिए।

हल

हल — अभ्यास 24.9.

(क) $5 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ — यानी $n_{\text{i}}$ का पचास लाख गुना। (ख) वही गुणक $\sim5\times10^6$ : दस लाख परमाणुओं पर एक कण पूरी चालकता का मालिक बन बैठता है। (ग) क्योंकि आकस्मिक भाग प्रति दस लाख भी बिन बुलाए यही कर देते हैं: केवल भाग प्रति अरब तक शुद्ध किया गया क्रिस्टल ही ऐसी चालकता देता है जो अभिकल्पक की अपनी हो। (घ) $d \sim n^{-1/3} \approx 27\,\mathrm{nm}$ , यानी $2.4\,\mathrm{nm}$ की कक्षा का दस गुना: दाता अलग-थलग हाइड्रोजन हैं; अपमिश्रण सौ गुना बढ़ाइए और वे कक्षाएँ छूने लगती हैं — तब कोई अशुद्धि-बैंड, और अंततः एक धातु।

अभ्यास 24.10 ★★★

हाइड्रोजन परमाणु जैसा दाता। फ़ॉस्फ़ोरस का पाँचवाँ इलेक्ट्रॉन सिलिकॉन के भीतर अपने $+e$ आयन की परिक्रमा करता है: कूलॉम को $\varepsilon_{\text{r}} = 11.7$ से परिरक्षित कीजिए (अध्याय 22) और उस इलेक्ट्रॉन को उसके प्रभावी बैंड-द्रव्यमान $m^* = 0.26\,m_{\text{e}}$ तक हलका। (क) अध्याय 11 के हाइड्रोजन-परिणामों को मापिए: दिखाइए कि $E = 13.6\,\mathrm{eV}\times(m^*/m_{\text{e}})/ \varepsilon_{\text{r}}^2$ और उसका मान निकालिए। (ख) $300\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ से तुलिए: क्या दाता आयनित हैं? (ग) बोर त्रिज्या को भी उसी तरह मापिए। (घ) वह कक्षा दर्जनों जालक कोष्ठिकाओं में फैली है: समझाइए कि यह $\varepsilon_{\text{r}}$ और $m^*$ के उपयोग को स्व-संगत ढंग से क्यों उचित ठहराता है।

हल

हल — अभ्यास 24.10.

(क) $E = 13.6\times0.26/11.7^2 \approx 26\,\mathrm{meV}$ (फ़ॉस्फ़ोरस का मापा गया मान, $45\,\mathrm{meV}$ , उस पैमाने को ईमानदार रखता है)। (ख) $k_{\text{B}}T = 26\,\mathrm{meV}$ के तुलनीय: कमरे के ताप पर लगभग सारे दाता आयनित हैं — और यही परिभाषा 24.5 की मान्यता है। (ग) $a = 0.53\,\text{Å}\times\varepsilon_{\text{r}}/(m^*/ m_{\text{e}}) \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ । (घ) दर्जनों कोष्ठिकाओं में फैली कोई कक्षा उस क्रिस्टल को एक चिकने माध्यम की तरह देखती है — और ठीक यही वह शर्त है जिसके अंतर्गत कोई पिंडीय $\varepsilon_{\text{r}}$ और कोई बैंड-औसत $m^*$ वैध हैं: वह सन्निकटन स्वयं ही अपना प्रमाणपत्र है।

अभ्यास 24.11 ★★★

संधि की संख्याएँ। किसी सिलिकॉन डायोड का $N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $T = 300\,\mathrm{K}$ है। (क) $V_{\text{bi}} = (k_{\text{B}}T/e)\ln(N_{\text{a}}N_{\text{d}}/ n_{\text{i}}^2)$ निकालिए। (ख) डायोड के नियम से $+0.5\,\mathrm{V}$ और $-0.5\,\mathrm{V}$ पर धाराओं का अनुपात निकालिए। (ग) $I_0$ — और इस तरह उत्क्रम रिसाव — हर $10\,\mathrm{K}$ पर मोटे तौर पर दुगना क्यों हो जाता है? (घ) ऐसे चार डायोडों का कोई सेतु AC को DC में बदल देता है: उस परिपथ का विचार शब्दों में खींचिए।

हल

हल — अभ्यास 24.11.

(क) $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ । (ख) $eV/k_{\text{B}}T = 19.3$ : अनुपात $\eu^{19.3} \approx 2\times10^{8}$ — यानी वह डायोड आठ अंकों तक एकतरफ़ा रास्ता है। (ग) $I_0 \propto n_{\text{i}}^2 \propto \eu^{-E_{\text{g}}/k_{\text{B}}T}$ : वही चरघातांकी, जो अभ्यास 24.8 में था, और इसीलिए वह अंगूठे का नियम कि वह दुगना हो जाता है। (घ) चारों डायोड एक हीरा बनाते हैं: हर अर्ध-चक्र में जो जोड़ा अग्र-अभिनत हो वही धारा को भार से होकर उसी दिशा में मोड़ देता है — भीतर AC, बाहर ऊबड़-खाबड़ DC।

अभ्यास 24.12 ★★★

सौर अंतराल की अभिकल्पना। (क) $E_{\text{g}}$ से नीचे के फ़ोटॉन पार निकल जाते हैं; और $E_{\text{g}}$ से ऊपर की फ़ोटॉन-ऊर्जा पिकोसेकंडों में ऊष्मा बनकर खो जाती है। $E_{\text{g}}$ चुनने में इससे निकलती अदला-बदली समझाइए। (ख) $1.3\,\mathrm{eV}$ के पास वाला इष्टतम एकल-संधि दक्षता को लगभग एक तिहाई पर बाँध देता है (शॉकली–क्वाइसर): सिलिकॉन ( $1.12\,\mathrm{eV}$ ) कहाँ खड़ा है? (ग) युगल-चट्टे (किसी सँकरे-अंतराल वाले सेल के ऊपर कोई चौड़े-अंतराल वाला) उस सीमा को क्यों हरा देते हैं? (घ) कोई गरम सौर पैनल बदतर क्यों होता है? (अध्याय के हिसाब से दो कारण: डायोड के नियम का $I_0$ , और $T$ के साथ अंतराल का ज़रा-सा सिकुड़ना।)

हल

हल — अभ्यास 24.12.

(क) अंतराल सँकरा कीजिए और अधिक फ़ोटॉन उसे पार कर लेते हैं, पर हर एक केवल छोटी अंतराल-ऊर्जा देता है; चौड़ा कीजिए और हर फ़ोटॉन अधिक चुकाता है पर कम ही योग्य ठहरते हैं: फ़सल $\times$ वोल्टता बीच में शिखर बनाती है। (ख) $1.3\,\mathrm{eV}$ के इष्टतम से ज़रा नीचे: सिलिकॉन की आदर्श छत $\sim30\,\%$ है — इतना पास कि उसका सस्तापन जीत जाता है। (ग) चौड़े-अंतराल वाला ऊपरी सेल नीले को ऊँची वोल्टता पर लेता है और लाल को नीचे सँकरे-अंतराल वाले सेल तक जाने देता है: हर फ़ोटॉन अपनी ही ऊर्जा के पास बटोरा जाता है, तापीयकरण सिकुड़ जाता है, और उस चट्टे की छत चालीसों की ओर चढ़ जाती है। (घ) ऊष्मा $I_0$ को चरघातांकी ढंग से बढ़ाती है, जिससे खुला-परिपथ वोल्टता $\sim(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ नीचे खिंचती है; और अंतराल स्वयं भी ज़रा सिकुड़ जाता है, जिससे वोल्टता के बदले जो धारा मिलती है वह पूरी भरपाई नहीं कर पाती।

पहले ट्रांज़िस्टर की प्रतिकृति (बेल प्रयोगशालाएँ, 1947, सार्वजनिक डोमेन): जर्मेनियम की एक फाँक पर दबे सोने के दो संपर्क। बैंड सिद्धांत की पहली मशीन — और, वंश-परंपरा से, बाकी सारी भी।

24.5 समस्या: छत का जनमत-संग्रह

समस्या 24.1

छत का जनमत-संग्रह। आपका पड़ोसी तय कर रहा है कि अपने घर की छत प्रकाश-वोल्टीय पैनलों से ढँकी जाए या नहीं, और उसने आपको, यानी भौतिकीविद् को, मध्यस्थ नियुक्त किया है। उम्मीदवार पैनल: सिलिकॉन, $2\,\mathrm{m}^{2}$ , श्रेणी में साठ सेल, और दोपहर की धूप के मानक $1000\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के नीचे $400\,\mathrm{W}$ की रेटिंग।

भाग I — धूप अंतराल से मिलती है।

सूर्य-प्रकाश मोटे तौर पर $5800\,\mathrm{K}$ का तापीय वर्णक्रम है (अध्याय 20): उसके शिखर-फ़ोटॉनों की ऊर्जा eV में निकालिए (वीन)।
सिलिकॉन का अंतराल $1.12\,\mathrm{eV}$ है: कोई सिलिकॉन सेल अधिक से अधिक कितनी लंबी तरंगदैर्घ्य बटोर सकता है?
सूर्य की मोटे तौर पर पाँचवाँ भाग शक्ति अंतराल से नीचे के फ़ोटॉनों में आती है। पैनल में उसका क्या होता है?
कोई $2.5\,\mathrm{eV}$ का हरा फ़ोटॉन अवशोषित होता है: उसकी कितनी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन–विवर युग्म की ऊर्जा बनकर बचती है, और बाकी कहाँ जाती है, और कितनी तेज़ी से?
मद 3 और 4 को वर्णक्रम के फ़ैसले में जोड़िए: कोई भी इलेक्ट्रॉनिकी शुरू होने से पहले ही आपाती शक्ति की लगभग आधी जा चुकी होती है। दोनों हानि-वाहिकाएँ एक-एक वाक्य में बताइए।
किसी फ़ोटॉन को $\ge E_{\text{g}}$ की ज़रूरत ही क्यों है — साधारण सिलिकॉन में झटपट एक के बाद एक आधे-अंतराल वाले दो फ़ोटॉन सोखने से कौन रोकता है?

भाग II — इंजन के रूप में संधि।

हर सेल एक P–N संधि है। तीन वाक्यों में समझाइए कि अवक्षय क्षेत्र का अंतर्निर्मित क्षेत्र किसी बने हुए युग्म को बाहरी धारा में कैसे बदल देता है — कौन-सा वाहक किस ओर जाता है, और वे बस पुनर्योजित क्यों नहीं हो जाते।
$N_{\text{a}} = N_{\text{d}} = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ और $n_{\text{i}} = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ $300\,\mathrm{K}$ पर $V_{\text{bi}}$ निकालिए।
कोई काम करता सेल लगभग $0.6\,\mathrm{V}$ देता है। श्रेणी में साठ: पैनल की कार्यकारी वोल्टता?
$400\,\mathrm{W}$ की रेटिंग से कार्यकारी धारा निकालिए।
प्रति अवशोषित फ़ोटॉन $\sim2\,\mathrm{eV}$ लेकर वह फ़ोटॉन-अभिवाह (प्रति सेकंड फ़ोटॉन) आकलिए जो पैनल उपयोगी ढंग से सोखता है, और उसकी तुलना उस इलेक्ट्रॉन-अभिवाह से कीजिए जो आपकी धारा कहती है: अवशोषित फ़ोटॉनों का कितना अंश कोई बटोरा गया इलेक्ट्रॉन देता है?
निर्धारित दक्षता: $2000\,\mathrm{W}$ आपाती में से $400\,\mathrm{W}$ । भाग I के “इलेक्ट्रॉनिकी से पहले ही आधी गई” के साथ 20 % को मिलाइए: बाकी तीस अंक कहाँ जाते हैं?
वह सेल अंतराल के पूरे $1.12\,\mathrm{V}$ के बजाय $0.6\,\mathrm{V}$ ही क्यों देता है? (डायोड के नियम में अपराधी का नाम लीजिए।)

भाग III — असली छतें।

अक्षांश $50^\circ$ पर सर्दियों की किसी बादल-रहित दोपहर प्रकाश $30^\circ$ की ऊँचाई पर आता है। किसी क्षैतिज पैनल पर लंबवत आपतन के सापेक्ष ज्यामितीय गुणक निकालिए।
पैनल का आँकड़ा-पत्रक उत्पादन का $-0.4\,\%/\text{K}$ बताता है: गर्मियों में कोई काली छत का पैनल $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पहुँच जाता है। रेटिंग का कितना बचता है?
उस ताप-हानि को अभ्यास 24.12(घ) से समझाइए।
कोई चिमनी साठ में से एक सेल पर छाया डालती है। वह पूरी श्रेणी-लड़ी का गला क्यों घोंट सकती है — और उस बेचारे छाया वाले सेल के साथ उसका अपना डायोड-स्वभाव क्या करता है?
निर्माता हर उप-लड़ी के पार एक बाईपास डायोड जोड़ देते हैं: एक वाक्य में उसका काम समझाइए।
दिनों और मौसम पर औसत लेने पर वह छत निर्धारित शक्ति का $15\,\%$ देती है। $400\,\mathrm{W}$ के पैनल से वार्षिक ऊर्जा किलोवाट-घंटों में आकलिए।

भाग IV — फ़ैसला।

प्रति $\mathrm{kWh}$ 0.25 यूरो पर वह पैनल साल भर में कितना कमाता है? और 300 यूरो की स्थापित लागत के साथ प्रतिदाय-काल क्या है?
उस पैनल को बनाने में मोटे तौर पर $500\,\mathrm{kWh}$ लगे (सिलिकॉन पिघलाकर शुद्ध किया जाता है): वह अपनी ही ऊर्जा कब तक लौटा देगा?
आपका पड़ोसी पूछता है कि अंतराल से नीचे वाला पाँचवाँ भाग पकड़ने के लिए पैनल को “बस काला” क्यों नहीं बना देते। दो वाक्यों में बैंड सिद्धांत से उत्तर दीजिए।
फिर वह पूछता है कि नीचे कोई दूसरा, छोटे अंतराल वाला पैनल क्यों न चढ़ा दें: अभ्यास 24.12(ग) से उत्तर दीजिए — और उसका व्यावहारिक पेच भी बताइए।
तीस वर्ष बाद वह पैनल फीका पड़कर अपनी रेटिंग का 85 % रह गया है। इस अध्याय के कौन-से सूक्ष्म खलनायक (याद कीजिए कि $\tau$ को क्या सीमित करता है, और संधियाँ किससे डरती हैं) किसी सेल को बुढ़ा सकते हैं?
मध्यस्थ का सार चार पंक्तियों में दीजिए: अंतराल की भौतिकी फ़सल तय करती है, संधि उसे बदलती है, श्रेणी-तारबंदी और ताप उस पर कर लगाते हैं, और बहीखाता — ऊर्जा तथा यूरो, दोनों का — पैनल के पक्ष में बंद होता है।

हल

हल — समस्या 24.1.

1. $\lambda_{\text{शि}} \approx 500\,\mathrm{nm}$ : यानी लगभग $2.5\,\mathrm{eV}$ । 2. $hc/E_{\text{g}} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ । 3. वह सेलों के पार निकल जाता है (सोखने के लिए कोई अंतिम अवस्था ही नहीं) और पिछली परत में ऊष्मा बनकर समाप्त होता है — छत गरम करता हुआ, तार नहीं। 4. $1.12\,\mathrm{eV}$ युग्म के रूप में बचती है; और शेष $1.4\,\mathrm{eV}$ पिकोसेकंडों में फ़ोनॉनों में बह जाती है — किसी भी परिपथ के रोक पाने से तेज़। 5. अंतराल-से-नीचे की पारदर्शिता (शक्ति का $\sim20\,\%$ ) और अंतराल-से-ऊपर का तापीयकरण ( $\sim30\,\%$ ): संधि के एक भी इलेक्ट्रॉन देखने से पहले ही वर्णक्रम पर आधा कर लग जाता है। 6. अवशोषण एक एकल-फ़ोटॉन क्वांटम छलाँग है, जिसे कोई असली अंतिम अवस्था चाहिए; आधे अंतराल पर ठहरने को कोई अवस्था है ही नहीं, और सूर्य-प्रकाश के फ़ोटॉन-घनत्वों पर दो-फ़ोटॉन घटनाएँ नगण्य हैं। 7. अवक्षय क्षेत्र में या उसके पास बने युग्म उस अंतर्निर्मित क्षेत्र को अनुभव करते हैं: इलेक्ट्रॉन n ओर बुहार दिए जाते हैं और विवर p ओर, और वह क्षेत्र उन्हें इतनी तेज़ी से अलग कर देता है कि वे पुनर्योजन के लिए एक-दूसरे को ढूँढ़ ही नहीं पाते — आवेश तब तक जमा होता है जब तक कोई बाहरी परिपथ उसे धारा के रूप में राहत न दे। 8. $V_{\text{bi}} = 0.0259\ln(10^{12}) \approx 0.71\,\mathrm{V}$ । 9. $60\times0.6\,\mathrm{V} = 36\,\mathrm{V}$ । 10. $I = 400/36 \approx 11\,\mathrm{A}$ । 11. पूरे पैनल पर अंतराल-से-ऊपर का प्रकाश $\sim1400\,\mathrm{W}$ है, प्रति फ़ोटॉन $\sim2\,\mathrm{eV}$ पर: यानी प्रति सेकंड $4\times10^{21}$ फ़ोटॉन — पर वे साठ सेल श्रेणी में हैं, अतः वही $11\,\mathrm{A}$ (यानी इलेक्ट्रॉन-अभिवाह $I/e \approx 7\times10^{19}\,\mathrm{s}^{-1}$ ) हर सेल से होकर गुज़रती है, और हर सेल के हिस्से के फ़ोटॉन $4\times10^{21}/60 \approx 7\times10^{19}$ प्रति सेकंड हैं: यानी लगभग हर अवशोषित फ़ोटॉन एक बटोरा गया इलेक्ट्रॉन देता है। क्वांटम दक्षता बढ़िया है; और हानियाँ ऊर्जा की हैं, संख्या की नहीं। 12. वर्णक्रम के 50 % के बाद वह सेल वोल्टता की कमी ( $0.6/1.12 \approx 54\,\%$ ) चुकाता है, और कुछ अंक परावर्तन तथा पुनर्योजन के: $0.5\times0.54 \approx 27\,\%$ , जो छँटकर निर्धारित 20 % रह जाता है। 13. वही रिसाव $I_0$ : खुला-परिपथ वोल्टता $(k_{\text{B}}T/e)\ln(I_{\text{L}}/I_0)$ वहीं रुक जाती है जहाँ प्रकाश-धारा और डायोड का रिसाव बराबर हों — लगभग $0.6\,\mathrm{V}$ , जो अंतराल से काफ़ी कम है। 14. $\sin30^\circ = 0.5$ : अकेली ज्यामिति से ही दोपहर की रेटिंग का आधा — बादलों से पहले ही। 15. $\Delta T = 40\,\mathrm{K}$ : $-16\,\%$ , यानी $\approx335\,\mathrm{W}$ बचते हैं — सबसे धूप वाले दिन प्रति वॉट सबसे अच्छे दिन नहीं होते। 16. ऊष्मा $I_0$ को चरघातांकी ढंग से फुला देती है, और खुला-परिपथ वोल्टता — किसी लघुगणक की झिड़की — प्रति केल्विन प्रतिशत के अंश जितनी गिर जाती है; और ज़रा सिकुड़ा हुआ अंतराल बाकी काम पूरा कर देता है। 17. श्रेणी-तारबंदी एक ही उभयनिष्ठ धारा थोपती है: वह छाया वाला सेल, जो कुछ नहीं बना रहा, अपने उनसठ साथियों से उत्क्रम अभिनति में धकेल दिया जाता है और उनकी शक्ति को किसी तप्त धब्बे के रूप में अपव्यय करता है — वह लड़ी सबसे कमज़ोर सेल तक गला घोंट लेती है। 18. बाईपास डायोड धारा को उस छाया वाली उप-लड़ी के चारों ओर एक अग्र पथ दे देता है, और पूरे पैनल के उत्पादन के बजाय केवल उसकी वोल्टता की बलि चढ़ाता है। 19. प्रति वर्ष $400\,\mathrm{W}\times0.15\times8760\,\mathrm{h} \approx 530\,\mathrm{kWh}$ । 20. प्रति वर्ष $\approx 130$ यूरो: प्रतिदाय मोटे तौर पर $300/130 \approx 2.5$ वर्ष में, और उसके बाद दो दशकों का लाभ। 21. $500/530 \approx$ एक वर्ष: वह पैनल अपनी निर्माण-ऊर्जा लगभग उतनी ही तेज़ी से लौटा देता है जितनी तेज़ी से अपनी क़ीमत। 22. कालापन कोई चुनाव नहीं, बल्कि एक बैंड संरचना है: अवशोषण को किसी भरी अवस्था से एक फ़ोटॉन-ऊर्जा ऊपर कोई खाली अवस्था चाहिए, और अंतराल से नीचे सिलिकॉन के पास देने को कोई है ही नहीं — रंग-रोगन अवस्थाएँ नहीं जोड़ सकता। 23. ऊपर कोई चौड़े-अंतराल वाला सेल चढ़ा दीजिए, जो नीले को ऊँची वोल्टता पर ले और लाल को नीचे जाने दे: वह युगल एकल-संधि की छत हरा देता है। पेच यह है: उस श्रेणी-चट्टे को परतों के बीच धाराएँ (और क़ीमतें) मिलानी पड़ती हैं। 24. जो कुछ भी $\tau$ को छोटा करे और संधियों को ज़हर दे: UV से बने दोष और भीतर विसरित अशुद्धियाँ वाहकों को प्रकीर्ण और फँसा लेती हैं, नमी संपर्कों को खा जाती है, और तप्त धब्बे डायोडों को बुढ़ा देते हैं — यानी किसी ऐसे क्रिस्टल की धीमी एन्ट्रॉपी, जिससे तीस वर्ष धूप में बैठने को कहा गया हो। 25. अंतराल सूर्य का आधा बटोरता है; संधि उन युग्मों को $36\,\mathrm{V}$ की क्रमित धारा में बदलती है; श्रेणी-लड़ियाँ, छाया और गर्मी की तपिश अपना हिस्सा काटती हैं; और प्रति वर्ष $\sim530\,\mathrm{kWh}$ के साथ, एक वर्ष के ऊर्जा-प्रतिदाय तथा तीन वर्ष के धन-प्रतिदाय के सामने, मध्यस्थ का फ़ैसला है: छत ढँक दीजिए।

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