विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

22पदार्थ में विद्युत्-चुंबकत्व

किसी आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच प्लास्टिक की एक चादर सरकाइए और वोल्टता गिर जाती है, मानो कहीं से आवेश आ गया हो। लोहे की किसी कील पर तार लपेटिए और उसका चुंबकीय क्षेत्र हज़ार गुना बढ़ जाता है। रेफ़्रिजरेटर से कोई सजावटी चुंबक उतारिए और उसे याद रहता है कि वह किस ओर चुंबकित हुआ था — दशकों तक, बिना किसी बिजली-आपूर्ति के। वर्ष 2 के खंड ने पदार्थ में क्षेत्रों को थोक में बरता था और सामग्री को अपवर्तनांक के भीतर छिपा दिया था; यह अध्याय उस सामग्री को खोलता है। योजना विद्युत् और चुंबकत्व, दोनों के लिए वही है: पदार्थ सूक्ष्म द्विध्रुवों की भीड़ है; उन्हें जोड़कर एक घनत्व बनाइए ( $\vect P$ या $\vect M$ ); कोई सहायक क्षेत्र गढ़िए ( $\vect D$ या $\vect H$ ), जो केवल उन्हीं आवेशों और धाराओं को देखे जिन्हें हम नियंत्रित करते हैं; और फिर सूक्ष्म पैमाने पर उतरिए — जहाँ अध्याय 12 के चक्रण, अध्याय 17 का बोल्ट्ज़मान गुणक और अध्याय 21 का माध्य-क्षेत्र संक्रमण कमान सँभाल लेते हैं — ताकि यह गणना की जा सके कि वह सामग्री करती क्या है। अध्याय कबाड़खाने में जाकर समाप्त होता है, जहाँ हम कारें उठाने वाला विद्युत्-चुंबक गढ़ते हैं।

22.1 ध्रुवण और विस्थापन क्षेत्र

परिभाषा 22.1 (ध्रुवण और बद्ध आवेश)

कोई परावैद्युत ऐसा विद्युत्रोधी है जिसके अणु विद्युत् द्विध्रुव आघूर्ण पा लेते हैं (या पहले से रखते हैं)। उस सामग्री की अनुक्रिया ध्रुवण $\vect P$ में सिमट जाती है: प्रति एकांक आयतन द्विध्रुव आघूर्ण, यानी $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ , जहाँ प्रति एकांक आयतन $n$ अणु हैं। कोई ध्रुवित गुटका बद्ध आवेश ढोता है — जो जाने को स्वतंत्र नहीं, पर पूरी तरह असली हैं: जहाँ ध्रुवण सतह से मिलता है वहाँ एक पृष्ठ घनत्व $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ , और जहाँ भी वह असमान हो वहाँ एक आयतन घनत्व $\rho_{\text{b}} = -\nabla\cdot\vect P$ । कोई एकसमान रूप से ध्रुवित पटल ठीक-ठीक अपने फलकों पर $\pm P$ आवेश की दो चादरों के तुल्य है: उसके भीतर के सारे द्विध्रुव-सिर और पूँछ कट जाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 22.2 (विस्थापन क्षेत्र)

कुल आवेश मुक्त और बद्ध का योग है; और $\rho = \rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ के साथ गाउस का नियम विद्युत् विस्थापन $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P$ के लिए एक नियम बन जाता है:

\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :

$\vect D$ के स्रोत केवल मुक्त आवेश हैं — वही, जो हमारी प्लेटों और तारों पर हैं। किसी रैखिक परावैद्युत में अनुक्रिया अनुक्रमानुपाती होती है, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$ , अतः $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ , जहाँ $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ सापेक्ष विद्युत्शीलता है: हवा $1.0006$ , पॉलिथीन $2.3$ , काँच $\sim 5$ , और पानी विशाल $80$ । स्थिर आवेश पर रखी संधारित्र-प्लेटों के बीच $\vect D$ परावैद्युत से नहीं बदलता, अतः $\vect E = \vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ $\varepsilon_{\text{r}}$ से गिर जाता है: बद्ध पृष्ठ आवेश मुक्त आवेशों के सामने आ जाते हैं और उनका अधिकांश क्षेत्र काट देते हैं। धारिता $\varepsilon_{\text{r}}$ से गुणित हो जाती है — पूरा संधारित्र उद्योग एक ही यूनानी अक्षर में।

उपपत्ति. $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$ ; अब ध्रुवण वाले पद को बाईं ओर ले जाइए। ∎

आवेशित प्लेटों के बीच परावैद्युत का एक पटल। क्षेत्र आणविक द्विध्रुवों को संरेखित करता है; उनके भीतरी आवेश जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं और फलकों पर बद्ध चादरें _ b छोड़ जाते हैं — जो मुक्त आवेश का विरोध करती हैं और भीतरी क्षेत्र को E_0 से घटाकर E = E_0/ _ r कर देती हैं। — आवेशित प्लेटों के बीच परावैद्युत का एक पटल। क्षेत्र आणविक द्विध्रुवों को संरेखित करता है; उनके भीतरी आवेश जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं और फलकों पर बद्ध चादरें $\mp\sigma_{\text{b}}$ छोड़ जाते हैं — जो मुक्त आवेश का विरोध करती हैं और भीतरी क्षेत्र को $\vect E_0$ से घटाकर $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$ कर देती हैं।

22.2 विद्युत्शीलता कहाँ से आती है

प्रतिज्ञप्ति 22.3 (प्रेरित ध्रुवण और क्लॉसियस–मोसोत्ती)

किसी क्षेत्र $\vect E_{\text{स्था}}$ में कोई परमाणु खिंचकर द्विध्रुव $\vect p = \alpha\vect E_{\text{स्था}}$ बन जाता है, जहाँ $\alpha$ ध्रुवणता है (विमा: $\varepsilon_0\times$ आयतन — मोटे तौर पर $\varepsilon_0$ गुणा परमाणविक आयतन)। किसी विरल गैस में $E_{\text{स्था}} \approx E$ और $\chi_{\text{e}} = n\alpha/\varepsilon_0$ छोटा होता है। किसी सघन माध्यम में हर अणु अपने ध्रुवित पड़ोसियों को भी अनुभव करता है: उसके चारों ओर एक छोटी गोलीय गुहा काटने पर $\vect E_{\text{स्था}} = \vect E + \vect P/3\varepsilon_0$ मिलता है, और स्व-संगति क्लॉसियस–मोसोत्ती संबंध दे देती है

\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2} = \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :

किसी वाष्प की नन्ही प्रवृत्ति नापिए और द्रव की भविष्यवाणी कीजिए — अध्रुवी द्रवों के लिए यह कुछ ही प्रतिशत तक काम करता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 22.4

यहाँ गुहा-क्षेत्र $\vect P/3\varepsilon_0$ को बिना उपपत्ति के उद्धृत किया गया है; वह एकसमान रूप से ध्रुवित गोले का परिणाम है, और उसकी ईमानदार सीमा-मान व्युत्पत्ति किसी समर्पित विद्युत्-गतिकी पाठ्यक्रम की चीज़ है। ऊपर का बाकी सब हिसाब-किताब है।

प्रतिज्ञप्ति 22.5 (ध्रुवी अणु: लांजवें फलन)

जिस अणु का द्विध्रुव $p$ स्थायी हो (पानी: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ ), उसे खिंचने की ज़रूरत नहीं — केवल संरेखित होने की, तापीय हलचल के विरुद्ध। ऊर्जा $-pE\cos\theta$ के साथ अभिविन्यासों पर अध्याय 17 का विहित औसत देता है

\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x , \qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,

अर्थात् लांजवें फलन: रैखिक ( $L \approx x/3$ ), छोटे $x$ पर, और जब क्षेत्र पूरी तरह जीत जाए तब $1$ पर संतृप्त। रैखिक प्रांत में $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — यानी एक विद्युत् क्यूरी नियम, जो $1/T$ की तरह गिरता है: किसी ध्रुवी द्रव को गरम कीजिए और उसकी विद्युत्शीलता गिर जाती है, और यही वह चिह्न है जो स्थायी द्विध्रुवों को प्रेरित द्विध्रुवों से अलग करता है। कमरे के ताप पर पानी के लिए यह $\chi_{\text{e}} \sim 12$ की भविष्यवाणी करता है — सही परिमाण, जिसे हाइड्रोजन-बंध की सहकारिता असली मान $80$ तक धकेल देती है।

आंशिक उपपत्ति. $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto \sinh x/x$ , और $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x - 1/x$ । $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ का प्रसार छोटे $x$ के लिए $L \approx x/3$ देता है, अतः $P = np\langle\cos\theta\rangle = np^2E/3k_{\text{B}}T$ । ∎

लांजवें फलन। साधारण क्षेत्र रैखिक प्रांत में बहुत नीचे रहते हैं (टूटन-क्षेत्रों पर भी x 10-3): पानी के द्विध्रुवों के पूरे संरेखण के लिए E 7 × 108\, V/ m चाहिए होगा। — लांजवें फलन। साधारण क्षेत्र रैखिक प्रांत में बहुत नीचे रहते हैं (टूटन-क्षेत्रों पर भी $x \sim 10^{-3}$ ): पानी के द्विध्रुवों के पूरे संरेखण के लिए $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ चाहिए होगा।

22.3 चुंबकन और क्षेत्र $H$

परिभाषा 22.6 (चुंबकन, बद्ध धाराएँ, और H)

चुंबकीय कहानी समांतर चलती है। पदार्थ सूक्ष्म धारा-फंदों से भरा है — कक्षा में घूमते और चक्रण करते इलेक्ट्रॉन, जिनमें से हर एक एक चुंबकीय द्विध्रुव $\vect\mu$ है; और उनका घनत्व चुंबकन $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$ है। कोई एकसमान रूप से चुंबकित गुटका अपने पार्श्वों के चारों ओर घूमती किसी बद्ध पृष्ठ धारा के तुल्य है (भीतरी फंदे जोड़े-जोड़े में कट जाते हैं; कोई छड़-चुंबक बद्ध धारा की परिनालिका ही है)। धाराओं को मुक्त और बद्ध में बाँटकर ऐंपियर का नियम सहायक क्षेत्र के इर्द-गिर्द फिर से बैठ जाता है

\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad \oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{मुक्त}} :

$\vect H$ का स्रोत हमारे तारों की धाराएँ हैं (इकाइयाँ $\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ), जबकि $\vect B$ भौतिकी सँभाले रहता है — बल, अभिवाह, प्रेरण। रैखिक माध्यमों में $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ और $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H = \mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$ ।

टिप्पणी 22.7 (तीन चुंबकीय स्वभाव)

पदार्थ $\vect H$ को तीन ढंगों से उत्तर देते हैं। प्रतिचुंबक ( $\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$ : पानी, ताँबा, ग्रेफ़ाइट) ऐसे बरतते हैं मानो लेंज़ का नियम स्थायी हो गया हो: लगाया गया क्षेत्र हर इलेक्ट्रॉन-कक्षा को इस तरह विक्षुब्ध करता है कि वह उसका विरोध करे — दुर्बल, सार्वभौमिक, ताप-निरपेक्ष, और चुंबकों से प्रतिकर्षित (किसी $16\,\mathrm{T}$ के छिद्र में इसी तरह एक मेंढक हवा में थामा जा चुका है)। अनुचुंबक ( $\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ से $10^{-3}$ : ऐलुमिनियम, O $_2$ ) स्थायी आघूर्ण रखते हैं — अध्याय 14 वाले अयुग्मित चक्रण — जो लांजवें के द्विध्रुवों की तरह संरेखित होते हैं: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ , यानी एक क्यूरी $1/T$ नियम (इसका क्वांटम द्वि-स्तरीय संस्करण अभ्यास 17.11 है)। लौहचुंबक (लोहा, कोबाल्ट, निकल: $\mu_{\text{r}}$ हज़ारों में) ऐसे अनुचुंबक हैं जिनके चक्रण आपस में बातें भी करते हैं — अभ्यास 14.12 वाला विनिमय-युग्मन — और क्यूरी ताप से नीचे वे स्वतःस्फूर्त रूप से संरेखित हो जाते हैं: प्रमेय 21.4, अब काम पर लगा हुआ।

22.4 लौहचुंबकत्व काम पर: प्रांत और शैथिल्य

परिभाषा 22.8 (प्रांत और शैथिल्य)

लोहे का कोई कच्चा ढेला चुंबकित नहीं होता: वह प्रांतों में बिखर जाता है, यानी माइक्रोन-पैमाने के ऐसे क्षेत्र जिनमें से हर एक पूरी तरह चुंबकित है पर अलग-अलग दिशाओं में इशारा करता है, ताकि बाहरी क्षेत्र (और उसकी ऊर्जा-लागत) लगभग कट जाए। लगाया गया $\vect H$ प्रांत-दीवारें खिसकाता है — अनुकूल प्रांत बढ़ते हैं — और फिर पूरे प्रांतों को क़तार में घुमा देता है। दीवारें दोषों पर अटकती हैं, अतः यह प्रक्रिया अनुत्क्रमणीय है: $H$ को ऊपर-नीचे बहाइए और $B(H)$ एक फंदा खींच देता है, यानी शैथिल्य चक्र। धारा बंद कीजिए और एक अवशेष क्षेत्र $B_{\text{r}}$ बचा रहता है; उसे मिटाने के लिए उलटा निग्राही क्षेत्र $H_{\text{c}}$ चाहिए। उस फंदे का घिरा क्षेत्रफल प्रति चक्र प्रति एकांक आयतन अपव्यय हुई ऊर्जा है। मृदु पदार्थ (सिलिकॉन इस्पात, फ़ेराइट: पतला फंदा, छोटा $H_{\text{c}}$ ) ट्रांसफ़ॉर्मर और मोटर के क्रोड बनाते हैं; और कठोर पदार्थ (अलनिको, Nd $_2$ Fe $_{14}$ B: मोटा फंदा, विशाल $H_{\text{c}}$ ) स्थायी चुंबक बनाते हैं — और चुंबकीय स्मृति भी: रेफ़्रिजरेटर का चुंबक और हार्ड डिस्क, दोनों ऐसे शैथिल्य-फंदे हैं जो भूलने से इनकार करते हैं।

प्रांत। बाएँ: कोई कुँआरा लौहचुंबक अपना चुंबकन आपस में कटते क्षेत्रों में छिपा लेता है। दाएँ: लगाया गया क्षेत्र उन्हें बढ़ाकर और घुमाकर एक ही चुंबकित गुटके में बदल देता है — अनुत्क्रमणीय दीवार-छलाँगों से होकर, जो लोहे को उसकी स्मृति देती हैं।

शैथिल्य चक्र। कुँआरी अवस्था (बिंदुदार) से चलकर क्षेत्र B को संतृप्ति तक ले जाता है; H को शून्य पर लौटाने से अवशेषिता B_ r बची रहती है, और उसे केवल निग्राही क्षेत्र -H_ c मिटाता है। फंदे का क्षेत्रफल = प्रति चक्र प्रति एकांक आयतन ऊष्मा: ट्रांसफ़ॉर्मरों के लिए पतले फंदे, और स्थायी चुंबकों के लिए मोटे। — शैथिल्य चक्र। कुँआरी अवस्था (बिंदुदार) से चलकर क्षेत्र $B$ को संतृप्ति तक ले जाता है; $H$ को शून्य पर लौटाने से अवशेषिता $B_{\text{r}}$ बची रहती है, और उसे केवल निग्राही क्षेत्र $-H_{\text{c}}$ मिटाता है। फंदे का क्षेत्रफल = प्रति चक्र प्रति एकांक आयतन ऊष्मा: ट्रांसफ़ॉर्मरों के लिए पतले फंदे, और स्थायी चुंबकों के लिए मोटे।

उदाहरण 22.9 (लोहे के क्रोड वाला विद्युत्-चुंबक)

$N$ फेरे, जो $I$ ढोते हों, लोहे के किसी छल्ले ( $\mu_{\text{r}} \sim 5000$ ) पर लपेटिए, जिसमें एक छोटा वायु-अंतराल $e$ हो। फंदे के चारों ओर $\vect H$ के लिए ऐंपियर का नियम: $H_{\text{लोहा}}\ell + H_{\text{अंतर}}e = NI$ , और अभिवाह की सततता $B$ को उभयनिष्ठ बना देती है, अतः

B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .

$\ell = 1\,\mathrm{m}$ और $e = 1\,\mathrm{cm}$ के साथ अंतराल वाला पद लोहे वाले पद का पचास गुना है: कुंडली का लगभग सारा श्रम एक सेंटीमीटर हवा के पार क्षेत्र धकेलने में खर्च होता है। एक पंक्ति में यही चुंबकीय परिपथ है — लोहा अभिवाह का लगभग-पूर्ण चालक है और हवा प्रतिरोधक — और इसीलिए मोटरें, रिले और कबाड़खाने के उठाऊ यंत्र अपने वायु-अंतराल निर्ममता से पतले रखते हैं (समस्या 22.1)।

किसी छिपे चुंबक के ऊपर कोई लौह-तरल: उस द्रव का चुंबकन क्षेत्र-ऊर्जा को गुरुत्व और पृष्ठ तनाव से सस्ता कर देता है, और सतह चोटियों के एक जालक में मुड़ जाती है — M, दिखता हुआ। — किसी छिपे चुंबक के ऊपर कोई लौह-तरल: उस द्रव का चुंबकन क्षेत्र-ऊर्जा को गुरुत्व और पृष्ठ तनाव से सस्ता कर देता है, और सतह चोटियों के एक जालक में मुड़ जाती है — $\vect M$ , दिखता हुआ।

22.5 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

बद्ध आवेश का हिसाब। मोटाई $d$ का कोई पटल अपने अभिलंब के अनुदिश एकसमान रूप से ध्रुवित है, परिमाण $P$ । (क) हर फलक पर बद्ध आवेश के घनत्व दीजिए। (ख) दिखाइए कि उन चादरों से भीतर का क्षेत्र $E = P/\varepsilon_0$ है, जो $\vect P$ का विरोध करता है। (ग) कहीं कोई मुक्त आवेश न हो, तो भीतर $\vect D$ क्या है? (घ) कोई छड़-रूपी विद्युत्-चुंबक (जमा हुआ $\vect P$ ) किस चुंबकीय वस्तु का विद्युत् समरूप है?

हल

हल — अभ्यास 22.1.

(क) $+P$ उस फलक पर, जिसकी ओर $\vect P$ इशारा करता है, और दूसरे पर $-P$ । (ख) दो अनंत चादरें $\pm P$ अपने बीच $P/\varepsilon_0$ पैदा करती हैं, जो $+$ से $-$ की ओर है, अर्थात् $\vect P$ के विरुद्ध। (ग) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — और होना भी यही चाहिए: कोई मुक्त आवेश नहीं, और बाहर के निर्वात से $\vect D$ का अभिलंब घटक सतत है। (घ) कोई छड़-चुंबक: जमा हुआ द्विध्रुव घनत्व, और क्षेत्र जो उसके अपने बद्ध स्रोतों से टिका है।

अभ्यास 22.2 ★

परावैद्युत के साथ संधारित्र। कोई समांतर-प्लेट संधारित्र ( $C_0 = 100\,\mathrm{pF}$ ) $12\,\mathrm{V}$ तक आवेशित करके जोड़ हटा दिया जाता है। उसमें $\varepsilon_{\text{r}} = 4$ वाला कोई पटल भर दिया जाता है। खोजिए: (क) नई धारिता; (ख) नई वोल्टता; (ग) पहले और बाद की ऊर्जा — वह अंतर कहाँ गया? (घ) बैटरी जुड़ी रहने पर (ख)–(ग) दोहराइए।

हल

हल — अभ्यास 22.2.

(क) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$ । (ख) $Q = 1.2\,\mathrm{nC}$ फँसा हुआ है: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$ । (ग) पहले $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ , बाद में $1.8\,\mathrm{nJ}$ : लापता $5.4\,\mathrm{nJ}$ यांत्रिक कार्य बन गई — किनारे का क्षेत्र पटल को भीतर खींच लेता है। (घ) बैटरी जुड़ी हो: $V$ $12\,\mathrm{V}$ पर रहती है, $Q$ चौगुना हो जाता है, और ऊर्जा $28.8\,\mathrm{nJ}$ तक चढ़ जाती है — बैटरी नई क्षेत्र-ऊर्जा और उस खिंचाव, दोनों की कीमत चुकाती है।

अभ्यास 22.3 ★

प्रवृत्तियों का चिड़ियाघर। वर्गीकृत कीजिए (प्रति-, अनु-, या लौहचुंबकीय) और जहाँ बन सके वहाँ इलेक्ट्रॉनी संरचना से उचित ठहराइए: पानी ( $\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$ ), ऐलुमिनियम ( $+2.2\times10^{-5}$ ), द्रव ऑक्सीजन ( $+3.5\times10^{-3}$ — O $_2$ चुंबकीय है ही क्यों?), निकल (छोटे क्षेत्र पर $\mu_{\text{r}} \sim 600$ )। इन चारों में से किसे कोई प्रबल चुंबक दिखाई देने भर आकर्षित करेगा, और किसे ज़रा-सा प्रतिकर्षित?

हल

हल — अभ्यास 22.3.

पानी: प्रतिचुंबकीय — सारे इलेक्ट्रॉन युग्मित, केवल लार्मर-प्रेरित विरोध। ऐलुमिनियम: अनुचुंबकीय (चालन इलेक्ट्रॉनों के चक्रण)। द्रव ऑक्सीजन: प्रबल अनुचुंबकीय — O $_2$ दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन ढोती है (उसके प्रतिबंधक कक्षकों का हुंड-नियम वाला भराव, अध्याय 14); वह चुंबक के ध्रुवों के बीच दिखाई देने भर चिपकती है। निकल: लौहचुंबकीय। चुंबक निकल और द्रव ऑक्सीजन को दिखाई देने भर आकर्षित करता है, और पानी को ज़रा-सा प्रतिकर्षित — वही गड्ढा, जो कोई प्रबल चुंबक पानी की सतह पर बनाता है।

अभ्यास 22.4 ★

$B$ , $H$ , $M$ । कोई लंबी परिनालिका (प्रति मीटर $n = 2000$ फेरे, $I = 1.5\,\mathrm{A}$ ) लोहे से भरी है, और $B = 1.6\,\mathrm{T}$ नापा जाता है। निकालिए: (क) $H$ ; (ख) $M$ ; (ग) संवर्धन $B/\mu_0H$ ; (घ) $M$ के तुल्य प्रति मीटर बद्ध पृष्ठ धारा — और उसकी तुलना कुंडली के अपने $nI$ से।

हल

हल — अभ्यास 22.4.

(क) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ । (ख) $M = B/\mu_0 - H = 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ । (ग) $B/\mu_0H \approx 420$ । (घ) प्रति मीटर तुल्य बद्ध चादर-धारा $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ है — कुंडली के अपने $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ का चार सौ गुना: लोहा ही लगभग सारा काम कर रहा है।

अभ्यास 22.5 ★★

समाक्षी केबल, विद्युत्रोधित। किसी समाक्षी लाइन (भीतरी त्रिज्या $a$ , बाहरी $b$ ) का क्रोड प्रति एकांक लंबाई मुक्त आवेश $\lambda$ ढोता है, और बीच में परावैद्युत $\varepsilon_{\text{r}}$ है। (क) सममिति से $\vect D(r)$ खोजिए। (ख) उससे $\vect E$ और $\vect P$ निकालिए। (ग) $r = a$ और $r = b$ पर बद्ध आवेश के घनत्व निकालिए और जाँचिए कि प्रति एकांक लंबाई उनका योग शून्य है। (घ) दिखाइए कि प्रति एकांक लंबाई धारिता $\varepsilon_{\text{r}}$ से गुणित हो जाती है।

हल

हल — अभ्यास 22.5.

(क) कोई बेलनाकार गाउस-पृष्ठ केवल मुक्त आवेश घेरता है: $D = \lambda/2\pi r$ , त्रिज्य। (ख) $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$ , $P = (\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$ । (ग) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$ : प्रति एकांक लंबाई $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ ; और $r = b$ पर $+P(b)$ : प्रति एकांक लंबाई $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — योग शून्य, जैसा बद्ध आवेश के लिए होना ही चाहिए। (घ) $V = \int E\,\dd r = (\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$ , अतः $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$ : $\varepsilon_{\text{r}}$ से गुणित।

अभ्यास 22.6 ★★

क्लॉसियस–मोसोत्ती काम पर। $1\,\mathrm{bar}$ , $300\,\mathrm{K}$ पर गैसीय आर्गन का $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$ है। (क) $\alpha/\varepsilon_0$ (एक आयतन) निकालिए और परमाणविक आयतन से तुलिए। (ख) द्रव आर्गन का $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ है: क्लॉसियस–मोसोत्ती से $\varepsilon_{\text{r}}$ की भविष्यवाणी कीजिए (मापा गया: 1.53)। (ग) भोला $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ यहाँ पानी की तुलना में कम बुरी तरह आगे क्यों निकलता है? (घ) किन अणुओं के लिए पूरी योजना ही विफल होनी चाहिए, और उसकी जगह क्या आता है?

हल

हल — अभ्यास 22.6.

(क) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ , अतः $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — यानी त्रिज्या $\approx1.7\,\text{Å}$ के किसी गोले का आयतन: ध्रुवणता परमाणविक आयतन ही है, $\varepsilon_0$ इकाइयों में। (ख) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$ , अतः $(\varepsilon_{\text{r}} - 1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ से $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — मापे गए मान पर ठीक बैठा हुआ। (ग) स्थानीय-क्षेत्र का संशोधन यहाँ 15 % का प्रभाव है; और आर्गन अध्रुवी है, अतः भाग निकलने के लिए कोई अभिविन्यास-योगदान है ही नहीं। (घ) ध्रुवी अणुओं (पानी, HCl) के लिए: वहाँ स्थायी द्विध्रुव हावी रहते हैं और आपस में अन्योन्यक्रिया करते हैं; तब सरल गुहा-तर्क की जगह लांजवें–डिबाई (और सघन द्रवों के लिए ओन्सागर) सिद्धांत ले लेता है।

अभ्यास 22.7 ★★

पानी की विशाल विद्युत्शीलता। (क) प्रतिज्ञप्ति 22.5 से $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ निकालिए, पानी के लिए ( $n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ , $T = 300\,\mathrm{K}$ )। (ख) $x = 1$ (गंभीर संतृप्ति) के लिए आवश्यक क्षेत्र आकलिए और पानी की परावैद्युत सामर्थ्य $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ से तुलिए। (ग) माइक्रोवेव अवन $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर चलते हैं: कोई ह्रासकारी घूर्णी-द्विध्रुव अनुक्रिया भोजन क्यों गरम करती है, और बर्फ़ द्रव पानी से कहीं धीमे क्यों गरम होती है? (घ) पानी और आर्गन, दोनों के लिए $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ का चिह्न बताइए।

हल

हल — अभ्यास 22.7.

(क) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx 11.5$ । (ख) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — टूटन-क्षेत्र का दस गुना: पानी सदा गहरे रैखिक प्रांत में ही काम करता है। (ग) $2.45\,\mathrm{GHz}$ पर द्विध्रुव लगभग साथ चल लेते हैं पर पिछड़ते हैं: अनुक्रिया का कला-बाहर वाला भाग हर चक्र में पानी पर शुद्ध कार्य करता है — यही परावैद्युत तापन है। बर्फ़ में अणु जालक से जकड़े हैं; उनका घूर्णी शिथिलन किलोहर्ट्ज़ पर बैठता है, अतः गिगाहर्ट्ज़ पर बर्फ़ मुश्किल से अवशोषित करती है (डीफ़्रॉस्ट चक्र धीरे-धीरे स्पंद देते हैं, ताकि पिघला पानी ही तापन करे)। (घ) पानी: ऋणात्मक ( $1/T$ वाली अभिविन्यास-अनुक्रिया); आर्गन: लगभग शून्य — प्रेरित ध्रुवणता को ताप की परवाह ही नहीं।

अभ्यास 22.8 ★★

प्रतिचुंबकत्व का आकलन। किसी परमाणविक इलेक्ट्रॉन को त्रिज्या $r$ के किसी छल्ले पर आवेश मानिए; लगाया गया $B$ उसकी कोणीय आवृत्ति को लार्मर खिसकाव $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$ जितना बदल देता है। (क) दिखाइए कि प्रेरित आघूर्ण $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ है ( $B$ का विरोध करता हुआ)। (ख) अभिविन्यासों का औसत लेकर और प्रति परमाणु $Z$ इलेक्ट्रॉन जोड़कर मिलता है $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle r^2\rangle/6m_{\text{e}}$ : पानी ( $n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ अणु, $Z = 10$ , $\langle r^2\rangle \approx (0.7\,\text{Å})^2$ ) के लिए मान निकालिए और मापे गए $-9\times10^{-6}$ से तुलिए। (ग) प्रतिचुंबकत्व ताप-निरपेक्ष क्यों है जबकि अनुचुंबकत्व नहीं? (घ) $16\,\mathrm{T}$ में कोई मेंढक तक हवा में क्यों थम जाता है, और चुंबक का क्षेत्र असमान क्यों होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 22.8.

(क) लार्मर खिसकाव परिसंचरण धारा को $\Delta I = -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$ जितना बदल देता है, अतः $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ , जो $\vect B$ का विरोध करता है, चाहे इलेक्ट्रॉन किसी भी दिशा में घूमे — अर्थात् परमाणविक पैमाने पर लेंज़ का नियम। (ख) दी गई संख्याओं के साथ $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$ : और मापा गया $-9\times10^{-6}$ , वह भी किसी छल्ला-प्रतिरूप से। (ग) प्रेरित आघूर्ण कक्षा के विरूपण से आता है, न कि संरेखण और अव्यवस्था के बीच किसी बोल्ट्ज़मान होड़ से — कहीं कोई $T$ नहीं। (घ) पानी प्रतिचुंबकीय है, अतः मेंढक दुर्बल क्षेत्र की ओर धकेला जाता है; और बल-घनत्व $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ किसी एकसमान क्षेत्र में लुप्त हो जाता है — हवा में थमने के लिए $B\,\dd B/\dd z$ इतना बड़ा चाहिए कि $\rho g$ को संतुलित कर सके, और इसीलिए $16\,\mathrm{T}$ का छिद्र।

अभ्यास 22.9 ★★

क्यूरी अनुचुंबकत्व और शीतलन। किसी लवण में $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ आयन हैं, जिनका आघूर्ण $\mu \approx \mu_{\text{B}}$ है। (क) $300\,\mathrm{K}$ पर और $1\,\mathrm{K}$ पर $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ निकालिए। (ख) किस ताप पर $\chi_{\text{m}}$ $1$ तक पहुँचेगा — और अधिकांश लवणों में उससे पहले कौन-सी (यहाँ उपेक्षित) भौतिकी बीच में आ जाती है? (ग) रुद्धोष्म विचुंबकन: $1\,\mathrm{K}$ पर चुंबकित कीजिए, विलगित कीजिए, फिर क्षेत्र धीरे-धीरे हटाइए — अध्याय 16 की चक्रण-एन्ट्रॉपी से समझाइए कि वह नमूना क्यों ठंडा होता है। (घ) इस विधि को किसी लौहचुंबक के बजाय कोई अनुचुंबक क्यों चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 22.9.

(क) $300\,\mathrm{K}$ पर $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T \approx 1.7\times10^{-5}$ , और $1\,\mathrm{K}$ पर $5\times10^{-3}$ । (ख) बढ़ाकर देखें तो $\chi \to 1$ $5\,\mathrm{mK}$ के पास — पर असली लवणों को द्विध्रुवीय और विनिमय-युग्मन पहले ही क्रमित (या जमा) कर देते हैं: क्यूरी का नियम एक उच्च-ताप नियम है। (ग) $1\,\mathrm{K}$ पर चुंबकित करने पर चक्रण-एन्ट्रॉपी निचोड़कर कुंड में चली जाती है; विलगित करने पर $S$ नियत रहता है, और $B$ घटाने से चक्रण अपना-अपना $k_{\text{B}}\ln 2$ वापस पा लेते हैं — वह ऊर्जा जालक से आती है, जिसका ताप गिर जाता है (व्यवहार में मिलिकेल्विन)। (घ) किसी लौहचुंबक के चक्रण $T_{\text{c}}$ से नीचे स्वयं ही क्रमित हो जाते हैं: तब उनकी एन्ट्रॉपी क्षेत्र के वश में नहीं रहती, और शैथिल्य ठंडा करने के बजाय अपव्यय करेगा।

अभ्यास 22.10 ★★★

चुंबकीय परिपथ। लोहे का कोई छल्ला ( $\ell = 60\,\mathrm{cm}$ , $\mu_{\text{r}} = 4000$ , परिच्छेद $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$ ) $N = 500$ फेरे और $e = 4\,\mathrm{mm}$ का एक अंतराल ढोता है। (क) दिखाइए कि $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ , और $B = 1.2\,\mathrm{T}$ के लिए धारा निकालिए। (ख) $NI$ का कितना अंश अंतराल पर खर्च होता है? (ग) हर खंड का चुंबकीय प्रतिष्टंभ $\mathcal R = \ell/\mu A$ परिभाषित कीजिए और (क) को अभिवाह के लिए श्रेणीबद्ध “ओम के नियम” के रूप में फिर कहिए। (घ) लोहा $1.8\,\mathrm{T}$ के पास संतृप्त हो जाता है: समझाइए कि उसके आगे परिपथ-प्रतिरूप का — और आपकी मोटर का — क्या होता है।

हल

हल — अभ्यास 22.10.

(क) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ : जहाँ $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ -तुल्य है, जबकि $e = 4\,\mathrm{mm}$ , अतः $NI \approx 3960$ ऐंपियर-फेरे, $I \approx 7.9\,\mathrm{A}$ । (ख) श्रम का $4/4.15 \approx 96\,\%$ अंतराल पार करता है। (ग) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{लोहा}} + \mathcal R_{\text{अंतर}})$ , जहाँ $\mathcal R = \ell/\mu A$ : चुंबक-वाहक बल $NI$ वोल्टता की भूमिका निभाता है, अभिवाह धारा की, और प्रतिष्टंभ प्रतिरोध की — यहाँ $\mathcal R_{\text{अंतर}} \approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx 27\,\mathcal R_{\text{लोहा}}$ । (घ) $1.8\,\mathrm{T}$ के आगे लोहे का वर्धी $\mu_{\text{r}}$ ढहकर 1 की ओर जाता है: उसका प्रतिष्टंभ उछल पड़ता है, अतिरिक्त धारा लगभग कोई अतिरिक्त अभिवाह नहीं खरीदती, और वहाँ तक धकेली गई कोई मोटर बलाघूर्ण पाना बंद कर देती है जबकि उसकी कुंडलियाँ पकने लगती हैं।

अभ्यास 22.11 ★★★

शैथिल्य की हानियाँ। किसी ट्रांसफ़ॉर्मर का क्रोड (आयतन $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$ ) $50\,\mathrm{Hz}$ पर चलता है। उसका सिलिकॉन-इस्पात फंदा प्रति चक्र $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ घेरता है। (क) शैथिल्य से होती शक्ति-हानि निकालिए। (ख) वही क्रोड कठोर इस्पात में ( $\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ): हानि, और फ़ैसला। (ग) भँवर धाराएँ $\propto f^2$ हानि जोड़ती हैं: समझाइए कि क्रोड परतदार क्यों बनाए जाते हैं और रेडियो आवृत्तियों पर फ़ेराइट क्यों कमान ले लेते हैं। (घ) हार्ड डिस्क की किसी बिट को अपना चुंबकन दस वर्ष तक तापीय धक्कों के सामने बचाए रखना पड़ता है: स्मृति के लिए $H_{\text{c}}$ की माँगों को ट्रांसफ़ॉर्मर की माँगों से जोड़िए, और निष्कर्ष निकालिए कि कोई एक पदार्थ दोनों काम नहीं कर सकता।

हल

हल — अभ्यास 22.11.

(क) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — स्वीकार्य। (ख) $1.2\,\mathrm{kW}$ : वह क्रोड दहक उठेगा; कठोर इस्पात अपने ही गुण के कारण प्रत्यावर्ती सेवा से अयोग्य है। (ग) भँवर विद्युत् वाहक बल फंदे के क्षेत्रफल और $f$ के साथ बढ़ते हैं; परतदार बनाना (या चूर्ण करना, या विद्युत्रोधी फ़ेराइट लेना) उन फंदों को काट देता है और $f^2$ हानि घटा देता है — और इसीलिए मेगाहर्ट्ज़ की दुनिया फ़ेराइटों की है। (घ) स्मृति चाहती है कि संचित बिट की रोधिका $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg k_{\text{B}}T$ हो, वह भी एक दशक के लिए (अति-अनुचुंबकीय सीमा), अर्थात् $H_{\text{c}}$ उतना बड़ा जितना लिखा जा सके; जबकि कोई ट्रांसफ़ॉर्मर पतले फंदे के लिए $H_{\text{c}} \to 0$ चाहता है। एक ही पदार्थ दोनों सिरों पर नहीं बैठ सकता: मशीनों के लिए मृदु चुंबक, स्मृति के लिए कठोर।

अभ्यास 22.12 ★★★

विचुंबकन क्षेत्र। बिना किसी मुक्त धारा वाले, एकसमान रूप से चुंबकित किसी पिंड के भीतर $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ $\vect H$ को $\vect M$ का विरोध करने पर बाध्य कर देता है ( $\vect H = -N_{\text{d}}\vect M$ , जहाँ $N_{\text{d}}$ एक आकृति-गुणक है: किसी गोले के लिए $1/3$ , किसी लंबी सुई के अनुदिश $\approx 0$ , और किसी पतली प्लेट के पार $\approx 1$ )। (क) बद्ध-धारा (परिनालिका) वाले चित्र से सुई और प्लेट की सीमाएँ उचित ठहराइए। (ख) कोई मोटा-ठिगना चुंबक स्वयं को आंशिक रूप से विचुंबकित क्यों कर लेता है, जबकि कोई सुई अपना चुंबकन बचाए रखती है? (ग) दिक्सूचक की सुइयों और चुंबकीय फ़ीते के लंबे कणों से जोड़िए। (घ) मृदु लोहे का कोई गोला किसी एकसमान बाहरी $B_0$ में रखा है: समझाइए कि उसकी अनुक्रिया भीतर $\vect H \approx 0$ पर क्यों संतृप्त हो जाती है, अर्थात् अधिक से अधिक $M \approx 3B_0/\mu_0$ , चाहे $\mu_{\text{r}}$ कितना भी बड़ा हो।

हल

हल — अभ्यास 22.12.

(क) अक्षतः चुंबकित कोई लंबी सुई बद्ध धारा की एक लंबी परिनालिका है: भीतर $H \approx 0$ (सारा $B$ $M$ से आता है)। और अपने फलकों के पार चुंबकित कोई पतली प्लेट सबसे छोटी, सबसे मोटी परिनालिका है: उसका भीतरी लौट-क्षेत्र $H = -M$ देता है। (ख) मोटा-ठिगना चुंबक $H = -N_{\text{d}}M$ पर काम करता है, यानी अपने विचुंबकन-वक्र में काफ़ी नीचे: दीवारों की चाल उसकी अवशेषिता कुतर देती है; जबकि कोई सुई $H \approx 0$ पर बैठती है और जो है उसे बचाए रखती है। (ग) इसीलिए दिक्सूचक की सुइयाँ, और चुंबकीय फ़ीते तथा पुरानी हार्ड डिस्कों के लंबे एक-प्रांत वाले कण — आकृति-विषमदैशिकता, स्मृति के बीमे के रूप में। (घ) अभिवाह का संरक्षण और $\oint\vect H\cdot \dd\vect\ell = 0$ किसी गोले के भीतर $H_{\text{भी}} = H_0 - M/3$ देते हैं; और $\mu_{\text{r}}\to\infty$ पर लोहा $H_{\text{भी}}\to0$ कर देता है, अतः $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$ : वह गोला क्षेत्र को केवल तिगुना सांद्र कर सकता है, लोहा चाहे कितना भी “अच्छा” हो।

सप्ताहांत की समस्या, काम पर: लोहे के क्रोड वाली एक कुंडली, जिसका क्षेत्र स्वयं कबाड़ को चुंबकित कर देता है — और आदेश मिलते ही छोड़ भी देता है, जो अभिकल्पना का वही आधा हिस्सा है जिसे शैथिल्य दिलचस्प बना देता है।

22.6 समस्या: कबाड़खाने का उठाऊ चुंबक

समस्या 22.1

कबाड़खाने का उठाऊ चुंबक। कोई पुनर्चक्रण अहाता एक क्रेन विद्युत्-चुंबक का ऑर्डर देता है: चपटे फलक वाला, एक मीटर चौड़ा लोहे का कोई पात्र, जो कुचली गई कारों की दो टन की गठरियाँ उठाए, और फिर — उतना ही ज़रूरी — आदेश मिलते ही उन्हें गिरा दे। आप ही अभिकल्पना-अभियंता हैं।

भाग I — लोहा ही क्यों।

नंगी कुंडली: $25\,\mathrm{A}$ ढोते 400 फेरे, जो $\sim1\,\mathrm{m}$ के चुंबकीय पथ पर फैले हैं। बिना लोहे के $B \sim \mu_0NI/\ell$ आकलिए।
दो वाक्यों में, प्रांतों के सहारे, समझाइए कि कुंडली में लोहा भरने से यह $\sim\mu_{\text{r}}$ गुना क्यों हो जाता है।
लोहे का चुंबकन $M_{\text{s}} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ पर संतृप्त हो जाता है। कुंडली चाहे कुछ भी करे, ध्रुव-क्षेत्र पर यह जो छत $\mu_0M_{\text{s}}$ लगाता है, उसे निकालिए।
लोहे का हर परमाणु $\approx 2.2$ बोर मैग्नेटॉन देता है। जाँचिए: $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ के साथ $M_{\text{s}}$ पुनः पाइए।
ध्रुव-फलक चपटे मशीनित और जंग तथा किरकिरी से मुक्त क्यों रखे जाने चाहिए? (सोचिए उदाहरण 22.9।)
भार स्वयं चुंबकीय परिपथ का हिस्सा बन जाता है। अभिवाह-पथ खींचिए: पात्र-क्रोड, उत्तरी फलक, इस्पात की गठरी, दक्षिणी फलक, और जुए से होकर वापस।

भाग II — चुंबकीय परिपथ और बल।

परिपथ का प्रतिरूप बनाइए: लोहे का पथ $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , और दो प्रभावी वायु-अंतराल (फलक–गठरी संपर्क), प्रत्येक $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ का। फंदे के चारों ओर $H$ के लिए ऐंपियर का नियम लिखिए।
प्रति एकांक क्षेत्रफल तीनों प्रतिष्टंभ-पद निकालिए ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ बनाम $2e$ ) और दिखाइए कि मिलीमीटर के वे अंतराल फिर भी कुंडली का अधिकांश श्रम खा जाते हैं।
$NI = 10\,000$ ऐंपियर-फेरों के साथ अंतरालों में $B$ निकालिए।
हर ध्रुव-फलक पर उठाने वाला दाब $B^2/2\mu_0$ है (प्रति मीटर पास आने पर मुक्त होता चुंबकीय ऊर्जा घनत्व)। अपने $B$ के लिए उसका मान $\mathrm{kPa}$ में निकालिए।
कुल ध्रुव-फलक क्षेत्रफल $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : उठाने वाला बल निकालिए और टनों में बदलिए।
क्या वह दो-टन की विशिष्टि दुगने अंतर के साथ पूरी करता है? यदि नहीं, तो $NI$ बदलिए और नई धारा बताइए।
कुचली गई गठरियाँ फलकों को शायद अपने क्षेत्रफल के एक तिहाई पर ही छूती हैं, और प्रभावी अंतराल चौड़े होते हैं। $e = 4\,\mathrm{mm}$ , $A_{\text{प्र}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ के लिए बल फिर से निकालिए और टिप्पणी कीजिए कि निर्धारित उठान “चपटी प्लेट” की क्षमता क्यों बताती है।

भाग III — याद रखना और भूलना।

अहाता कोई गठरी गिराने को स्विच पलटता है — और वह लटकी ही रह जाती है। शैथिल्य-फंदे के साथ अपराधी का नाम लीजिए।
वह पात्र कठोर चुंबक-इस्पात के बजाय मृदु लोहे का (छोटा $H_{\text{c}}$ , छोटा $B_{\text{r}}$ ) क्यों होना चाहिए?
मृदु लोहा भी थोड़ी अवशेषिता रखता है। मानक इलाज सुझाइए: एक छोटी उलटी धारा-स्पंद — वह फंदे के किस बिंदु का निशाना लगा रही है?
कुछ नियंत्रक इसके बदले क्षीण होती प्रत्यावर्ती धारा लगाते हैं। खींचिए कि $B$ – $H$ प्रक्षेप-पथ क्या करता है और वह विचुंबकित होकर क्यों समाप्त होता है।
वह क्रेन भट्ठी से सीधे निकले गरम पटल भी सँभालती है, $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर। लोहे का क्यूरी बिंदु $1043\,\mathrm{K}$ है: उठाने वाले बल का क्या होता है, और क्यों? (प्रमेय 21.4।)
कोई गर्मी का प्रशिक्षु सुझाता है कि अंतराल दुगना और $NI$ दुगना करके ताँबा बचाया जाए। भाग II के अपने सूत्रों से यह असममिति समझाइए: क्या आधा हो जाता है और क्या बस बना रहता है?

भाग IV — शक्ति, ऊष्मा, और बिल।

कुंडली: ताँबे के 400 फेरे, औसत फेरा-लंबाई $2.5\,\mathrm{m}$ , तार का परिच्छेद $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ । उसका प्रतिरोध निकालिए।
$I = 25\,\mathrm{A}$ पर: अपव्यय हुई शक्ति, और $60\,\%$ कर्तव्य-चक्र पर आठ घंटे की पाली की दैनिक ऊर्जा।
दोनों अंतरालों में संचित चुंबकीय ऊर्जा ( $B^2/2\mu_0 \times$ आयतन): उसे निकालिए और कुंडली के एक सेकंड के अपव्यय से तुलिए। बाकी सारी वैद्युत ऊर्जा कहाँ जाती है?
भार गिराने से संचित ऊर्जा का लगभग कुछ भी ग्रिड को वापस नहीं मिलता। फंदे के क्षेत्रफल और प्रेरणिक उछाल के साथ समझाइए कि नियंत्रक को कुंडली के पार एक मुक्त-चक्र (फ़्लाईबैक) पथ क्यों चाहिए।
गठरी हवा में हो और बिजली चली जाए। वह गठरी क्या करती है, और अकेली अवशेषिता क्या थामे रखती है? अहाते के उस नियम को उचित ठहराइए कि किसी चालू चुंबक के नीचे कोई नहीं चलता — और बैटरी-समर्थित उठाऊ यंत्रों की बिक्री-दलील को भी।
चार पंक्तियों में अभिकल्पना का सार दीजिए: क्षेत्र की छत $M_{\text{s}}$ तय करता है, बल $B^2A/2\mu_0$ , नियंत्रणीयता मृदु-लोहे का शैथिल्य, और चलाने की लागत $RI^2$ — पूरा अध्याय एक ही क्रेन से लटका हुआ।

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — यानी $250\,\mathrm{W}$ की कुंडली से रेफ़्रिजरेटर-चुंबक जितना क्षेत्र। 2. कुंडली का छोटा $H$ उन प्रांतों को खोलकर घुमा देता है जिनकी बद्ध धाराएँ फिर कुंडली की धारा के साथ ताल में बहती हैं: लोहा अपनी ओर से $\mu_0M \gg \mu_0H$ जोड़ देता है। 3. $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$ : लोहे के ध्रुवों से कोई कुंडली इससे अधिक नहीं खींच सकती। 4. $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24} \times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — संगत। 5. कोई भी जंग या किरकिरी ठीक उसी जगह एक अतिरिक्त श्रेणीबद्ध वायु-अंतराल है जहाँ प्रतिष्टंभ सबसे अधिक मायने रखता है; और पपड़ी का दसवाँ मिलीमीटर भी बल को मापनीय रूप से खा जाता है। 6. अभिवाह बीच के उत्तरी ध्रुव से निकलता है, संपर्क-अंतराल पार करके गठरी में घुसता है, इस्पात से होकर बहता है, और बाहरी वलयाकार दक्षिणी ध्रुव तथा जुए से होकर लौट आता है — वह भार ही चुंबकीय परिपथ बंद करता है। 7. $NI = H_{\text{लोहा}}\ell + 2H_{\text{अंतर}}e = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$ । 8. प्रति एकांक क्षेत्रफल: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ , जबकि $2e = 3\,\mathrm{mm}$ : हवा के वे तीन मिलीमीटर ऐंपियर-फेरों का $\sim83\,\%$ ले जाते हैं। 9. रैखिक सूत्र देता है $B = \mu_0NI/(\ell/ \mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — जो प्रश्न 3 की छत से ऊपर है: अतः वह पात्र संतृप्त हो जाता है और $B \approx 1.7\,\mathrm{T}$ देता है, कुंडली चाहे कितना ही ज़ोर लगाए। 10. $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx 1150\,\mathrm{kPa}$ — यानी ग्यारह वायुमंडल का खिंचाव। 11. $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN} \approx 14$ टन। 12. हाँ: 4 टन की माँग (2 टन $\times$ सुरक्षा-गुणक 2) के सामने 14 टन — और वह अंतर प्रश्न 13 के लिए ही रखा गया है। 13. $e = 4\,\mathrm{mm}$ और $A_{\text{प्र}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ के साथ: $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$ , दाब $\approx870\,\mathrm{kPa}$ , बल $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ टन — यानी बारह-टन वाली “चपटी प्लेट” की रेटिंग असली कबाड़ पर मुश्किल से विशिष्टि भर रह जाती है, और इसीलिए क्षमता सदा समतल प्लेट पर बताई जाती है। 14. अवशेषिता: स्विच बंद कीजिए और लोहा अपने फंदे पर $B_{\text{r}}$ पर बैठ जाता है — अब वह पात्र एक दुर्बल स्थायी चुंबक है, और हलके भार लटके रह जाते हैं। 15. मृदु लोहे का पतला फंदा $B_{\text{r}}$ और $H_{\text{c}}$ को छोटा रखता है: उस चुंबक को आदेश पर भूलना ही है; जबकि कठोर इस्पात उस उठाऊ यंत्र को ऐसा स्थायी चुंबक बना देता, जिसका स्विच कुछ करता ही नहीं। 16. कोई अंशांकित उलटी स्पंद उस पदार्थ को $-H_{\text{c}}$ तक ले जाती है, यानी फंदे के शून्य- $B$ कटान तक, और भार छूट जाता है। 17. क्षीण होती प्रत्यावर्ती धारा छोटे-से-छोटे होते नीड़ित फंदे खींचती है, जो मूल बिंदु में सिमट जाते हैं: यही विचुंबकित अवस्था है — वही विचुंबकन, जो जहाज़ों के पतवारों और पुराने CRT परदों पर काम में लिया जाता था। 18. $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ यानी $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$ : वह पटल अनुचुंबकीय है — $\mu_{\text{r}} \approx 1$ , परिपथ खुल जाता है, बल ढह जाता है; इसीलिए गरम मिलें पटलों को चिमटों से उठाती हैं, चुंबकों से नहीं। 19. $e$ दुगना करने पर $B$ आधा और बल चौथाई रह जाता है (परिपथ अंतराल-प्रधान है); और $NI$ दुगना करने से दोनों लौट आते हैं — पर $P = RI^2$ चौगुना हो जाता है: अंतरालों की कीमत ताँबे की ऊष्मा में चुकानी पड़ती है। 20. $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/ 1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$ । 21. $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$ ; और $8\,\text{h}\times0.6$ पर: प्रति पाली $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ — सैकड़ों टन हिलाने के लिए कुछ ही रुपयों की बिजली। 22. अंतराल का आयतन $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ , $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ पर: $\approx410\,\mathrm{J}$ — कुंडली के एक सेकंड के तापन से भी कम। स्थायी अवस्था में लगभग सारा वैद्युत निवेश ताँबे की ऊष्मा बन जाता है; और वह क्षेत्र, एक बार बन जाने पर, केवल अपनी रखरखाव-धारा माँगता है। 23. परिपथ खोलने से $LI$ को अचानक शून्य होना पड़ता है: कुंडली एक विशाल प्रेरणिक उछाल से उत्तर देती है, जो संपर्कों पर चाप बना देती है; कोई मुक्त-चक्र डायोड (या प्रतिरोधक) संचित क्षेत्र-ऊर्जा को चुपचाप ऊष्मा बनकर मरने देता है — और फंदे का क्षेत्रफल तो हर चक्र में लोहे में अपव्यय होता ही रहता है। 24. उठाने वाले बल को धारा चाहिए: गठरी गिर जाती है। अवशेषिता केवल नाममात्र का बल रखती है — किलोग्राम, टन नहीं। इसीलिए वह चलने-मार्ग वाला नियम, और लोगों के ऊपर लटकने वाली हर चीज़ के लिए बैटरी-समर्थित (या स्थायी-चुंबक और मोचन-कुंडली वाले) उठाऊ यंत्र। 25. छत: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$ । बल: $B^2A/2\mu_0$ , जिस पर हवा के मिलीमीटरों का राज है। नियंत्रण: मृदु लोहा, छोटा $B_{\text{r}}$ , और गिराने के लिए विचुंबकन-स्पंद। लागत: $RI^2$ , यानी किलोवाट-श्रेणी का एक हीटर — पूरा अध्याय, किसी क्रेन से लटका हुआ।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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