6सहचर विद्युत्चुंबकत्व

हल — अभ्यास 6.1.

(क) $\gamma = 1.25$: $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$, $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$; $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$। (ख) रूपांतरण रैखिक है, अतः वह योगों पर बँट जाता है। (ग) $(c, \vect v)$: नहीं — उसका “काल” घटक सभी कणों के लिए एक ही है, जबकि मिश्रण कुछ और माँगता है; $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$: हाँ, यह किसी चतुःसदिश को निश्चर $\dd\tau$ से भाग देने पर मिलता है। (घ) $\vect E$ के तीन घटक $\vect B$ के घटकों से मिलते हैं, किसी अदिश से नहीं: क्षेत्र किसी द्वि-सूचकांक प्रदिश को भरते हैं, चतुःसदिश को नहीं।

हल — अभ्यास 6.2.

(क) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) जालक: $(nec, \vect 0)$; इलेक्ट्रॉन: $(-nec, -ne\vect u)$ — उनका धारा-घनत्व $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ उनके अपवाह के विरुद्ध संकेत करता है, और वही पारंपरिक धारा की दिशा है। (ग) दोनों स्थिर और एकसमान हैं: हर पद लुप्त हो जाता है। (घ) कुल: $(0, \vect\jmath)$, जहाँ $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — अर्थात् बिना आवेश की शुद्ध धारा, वही विन्यास जो तार की आपेक्षिकता को सूक्ष्म बना देता है।

हल — अभ्यास 6.3.

(क) $E_y$: $F^{20} = E_y/c$; $B_x$: $F^{32} = B_x$। (ख) $\vect B = B\vect e_z$ के लिए केवल $F^{12} = -B$ और $F^{21} = +B$; तरंग के लिए $F^{20} = E/c$, $F^{12} = -E/c$ (और उनके प्रतिसममित साथी)। (ग) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$: आव्यूह से मेल खाता है। (घ) कण की ऊर्जा-परिवर्तन-दर $\propto F^{0\nu}u_\nu$ है; विराम-तंत्र में $u_\nu = (c, \vect 0)$ और प्रतिसममिति $F^{00} = 0$ कर देती है: ऐसा बल जो विराम में रखे किसी कण पर कभी कार्य नहीं कर सकता — यही चुंबकीय भाग का परिभाषक गुण है।

हल — अभ्यास 6.4.

(क) क्षेत्र के अनुदिश संवर्धन: अनुदैर्घ्य घटक अपरिवर्तित, $\vect E' = E_0\vect e_y$, $\vect B' = \vect 0$। (ख) $\vect e_x$ के अनुदिश संवर्धन: $E'_y = \gamma E_0$, $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — अब पट्टिकाएँ पृष्ठ-धाराओं $\pm\sigma'v$ की तरह बहती हैं, और दो विपरीत धारा-चादरें ठीक ऐसा ही क्षेत्र घेरती हैं। (ग) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$; $\vect E'\cdot\vect B' = 0$: दोनों सुरक्षित। (घ) पट्टिकाएँ $x$ के अनुदिश संकुचित होती हैं, अतः $\sigma' = \gamma\sigma$, जो $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$ के अनुरूप है; और अंतराल, जो संवर्धन के अनुप्रस्थ है, अछूता रहता है।

हल — अभ्यास 6.5.

(क) चुंबकीय बल $-e\vect v\wedge\vect B$ इलेक्ट्रॉनों को छड़ के अनुदिश धकेलता है: विद्युत्वाहक बल $= vBL$। (ख) छड़ के तंत्र में छड़ विराम में है — स्थिर आवेशों पर कोई चुंबकीय बल नहीं — पर रूपांतरण $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$ दे देता है: एक ईमानदार विद्युत् क्षेत्र ही चलाता है। (ग) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$, $v/c$ की कोटि पर। (घ) उसे चलना ही था, क्योंकि “गति-जनित” और “परिणामित्र” वाले विद्युत्वाहक बल एक ही परिघटना हैं, जिसे दो तंत्रों में पढ़ा गया है: अभिवाह-नियम 1831 के कपड़ों में सहचरता ही है — आइंस्टाइन का 1905 का शोधपत्र ठीक इसी चुंबक-और-चालक असममिति से आरंभ होता है।

हल — अभ्यास 6.6.

(क) $x$ घटक अछूते रहते हैं; अनुप्रस्थ घटकों के लिए $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$; मिश्रित पद कट जाते हैं और वर्ग मिलकर अरूपांतरित संयोजन का $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ गुना बटोर लेते हैं। (ख) $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$ पर वही हिसाब। (ग) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$: $\vect E\wedge\vect B$ के अनुदिश $v = c^2B/E = c/2$ पर संवर्धन कीजिए; वहाँ $B' = 0$ और बचा हुआ क्षेत्र $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ है — जिसका वर्ग निश्चर देता है, जैसा उसे देना ही चाहिए। (घ) किसी प्रकाश-तरंग के दोनों निश्चर शून्य हैं: हर तंत्र को $E' = cB' \perp$ ही फिर से देना पड़ेगा, कभी कोई शुद्ध क्षेत्र नहीं।

हल — अभ्यास 6.7.

(क) $v_{\text{d}} = E/B$ के साथ: $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$; $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$: शुद्ध, और थोड़ा क्षीण चुंबकीय क्षेत्र। (ख) वहाँ: $qB'/\gamma m$ पर एक वृत्त; और प्रयोगशाला में लौटकर: वही वृत्त और उस पर एकसमान अपवाह — अर्थात् दोनों क्षेत्रों के लंबवत $E/B$ से रेंगता एक चक्रज, जो मैग्नेट्रॉन में आवेशों का प्रक्षेप-पथ है। (ग) ठीक $v_{\text{d}}$ से चलता कोई कण अपवाह-तंत्र में विराम में है, जहाँ अकेला क्षेत्र चुंबकीय है और उसे कुछ अनुभव नहीं होता: अविक्षेपित। (घ) $E > cB$ के लिए आवश्यक अपवाह $c$ से अधिक हो जाता है: ऐसा कोई तंत्र नहीं; उसके बदले शुद्ध-$E$ वाला तंत्र होता है (पिछला अभ्यास) और आवेश क्षेत्र के अनुदिश बिना किसी सीमा के त्वरित होता जाता है।

हल — अभ्यास 6.8.

(क) कला $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ शिखर-पार करने की घटनाएँ गिनती है, जो एक निश्चर संख्या है; वह $k^\mu x_\mu$ के बराबर है, और सभी $x^\mu$ के लिए उस गुणनफल की निश्चरता $k^\mu$ को चतुःसदिश की तरह रूपांतरित होने पर विवश कर देती है। (ख) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$, जहाँ $k_x = (\omega/c)\cos\theta$; और $\theta = 0$ के लिए $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$। (ग) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$: वही कथित सूत्र। (घ) $\beta = 10^{-4}$: $20.5''$; एक वर्ष में आभासी स्थिति उसी कोणीय अर्ध-अक्ष का दीर्घवृत्त बना देती है — ब्रैडली का विपथन।

हल — अभ्यास 6.9.

(क) विराम-तंत्र में कूलॉम; संवर्धन अनुप्रस्थ घटकों को $\gamma$ गुना कर देता है (अनुप्रस्थ तल पर $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$), जबकि गति के अनुदिश क्षेत्र, जिसे आगे या पीछे प्रयोगशाला-दूरी $r$ पर आँका जाए, विराम-तंत्र की दूरी $\gamma r$ पर जाता है: अर्थात् $1/\gamma^2$ जितना घटा हुआ। (ख) कोणीय चौड़ाई $1/\gamma$ का यह पूआ $v$ से गुज़र जाता है: अवधि $\sim (b/\gamma)/v$। (ग) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, जो $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$ तक टिकती है। (घ) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ और दोनों निश्चर $O(1/\gamma^2)$ हैं: स्थानिक रूप से किसी प्रकाश-स्पंद से अभेद्य — और यही तेज़ आवेशों के संघट्टों के “तुल्य फ़ोटॉन” वर्णन का आधार है।

हल — अभ्यास 6.10.

(क) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$, और उसी बीजगणित से $B'_z = E'_y/c$। (ख) कला भी उसी डॉप्लर गुणक से रूपांतरित होती है: वही अशून्य तरंग, अधिक लाल और अधिक क्षीण। (ग) ऊर्जा-घनत्व डॉप्लर गुणक के वर्ग जितना घटता है; फ़ोटॉनों की संख्या अपरिवर्तित रहती है — पूरा गुणक हर फ़ोटॉन का $h\nu$ ढोता है। (घ) “साथ-साथ सवारी” का अर्थ है कि वह गुणक $\to 0$ हो जाए, जब $\beta \to 1$ हो: पर तरंग कभी स्थैतिक नहीं होती, क्योंकि उसके निश्चर शून्य हैं — ऐसा कोई तंत्र है ही नहीं जिसमें प्रकाश ठहरा हो, और यहीं से इस पुस्तक की आपेक्षिकता आरंभ हुई थी।

हल — अभ्यास 6.11.

(क) प्रति चक्कर $\Delta E = P \times 2\pi r/c$: वही कथित परिणाम। (ख) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$: प्रति चक्कर $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ — अर्थात् पुंज-ऊर्जा का तीन प्रतिशत हर चक्कर पर फिर से भरा जाता था; LEP के क्लाइस्ट्रॉन पृथ्वी के सबसे बड़े रेडियो प्रेषित्र थे। (ग) प्रोटॉन: $\gamma = 7250$, और $\gamma^4$ $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$ गुना छोटा: प्रति चक्कर लगभग $5\,\mathrm{keV}$ — नगण्य। (घ) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$: समान ऊर्जा पर इलेक्ट्रॉन $10^{13}$ गुना अधिक विकिरित करता है; अतः रैखिक संघट्टक (एक ही बार विकिरण, प्रति चक्कर नहीं) या इलेक्ट्रॉनों के लिए विशाल वलय, जबकि प्रोटॉन-वलय $27\,\mathrm{km}$ तक सुख से मापित होते हैं।

हल — अभ्यास 6.12.

(क) $|\vect p|$ अचर है (कोई कार्य नहीं); $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$, $\vect p$ को $qvB/p = qB/\gamma m$ दर से घुमाता है। (ख) प्रति चक्कर सर्पण $2\pi(\gamma - 1)$; और $\gamma - 1$ के रैखिक रूप से $\Gamma$ तक बढ़ने पर कुल सर्पण $\approx \pi N\Gamma$; चौथाई आवर्तकाल $\pi/2$ है: अतः $\Gamma \approx 1/2N$। $N = 100$ के लिए $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$, $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — ठीक वही पैमाना; असली मशीनों ने ऊँची डी-वोल्टता से (कम चक्करों में) उसे $\sim20\,\mathrm{MeV}$ तक खींचा। (ग) सिंक्रोसाइक्लोट्रॉन: हर स्पंद के दौरान RF को नीचे की ओर ढालिए, ताकि वह $qB/\gamma m$ का पीछा करे। समकालिक साइक्लोट्रॉन: $B(r)$ को $\propto\gamma(r)$ बढ़ने दीजिए, ताकि अनुपात कभी न बदले और पुंज संतत बना रहे। (घ) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$: नेमि का क्षेत्र केंद्रीय क्षेत्र से उतने ही गुना अधिक होना चाहिए।