23क्रिस्टलीय ठोस

हल — अभ्यास 23.1.

(क) SC: $8\times\tfrac18 = 1$; BCC: $8\times\tfrac18 + 1 = 2$; FCC: $8\times\tfrac18 + 6\times\tfrac12 = 4$। (ख) विकर्ण $a\sqrt3 = 4r$: $r = a\sqrt3/4$। (ग) फलक-विकर्ण $a\sqrt2 = 4r$: $r = a\sqrt2/4$। (घ) $0.68$ और $0.74$: दिशा-अंधा धात्विक बंधन अधिकतम संकुलन चाहता है, और इसीलिए ताँबे, ऐलुमिनियम, चाँदी तथा सोने की FCC (या उतनी ही सघन षट्कोणीय) संरचनाएँ।

हल — अभ्यास 23.2.

(क) $a/\sqrt2 = 2.55\,\text{Å}$। (ख) 12 — यानी सघन-संकुलन का समन्वय। (ग) $8960\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ (उदाहरण 23.2)। (घ) $n = 4/a^3 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, अतः किसी घन माइक्रोमीटर में $8.5\times10^{10}$ परमाणु होते हैं — और इसीलिए चिप की धातुकर्मिकी सांख्यिकी है, बढ़ईगीरी नहीं।

हल — अभ्यास 23.3.

(क) $\sin\theta_1 = \lambda/2d = 0.273$: $\theta_1 = 15.8^\circ$। (ख) $n \le 2d/\lambda = 3.66$: तीन कोटियाँ। (ग) $\sin\theta \le 1$ के कारण $n\lambda \le 2d$ होना ही चाहिए; और दृश्य प्रकाश की $\lambda \sim 5000\,\text{Å}$ हज़ार गुना लंबी है — कोई क्रिस्टल-तल अंतराल उसे विवर्तित नहीं कर सकता। (घ) $\sin\theta$ 1 % गिरता है: $\theta_1 \to 15.7^\circ$। कोई विवर्तनमापी एक बढ़िया तापमापी है — और यही खिसकाव वह तरीक़ा है जिससे तापीय प्रसार परमाणविक पैमाने पर नापा जाता है।

हल — अभ्यास 23.4.

(क) $d_{100} = a > d_{110} = a/\sqrt2 > d_{111} = a/\sqrt3$। (ख) सबसे बड़ा $d$, सबसे छोटा कोण: (100)। (ग) अष्टफलकीय (111) कुल — हीरे की संरचना में उसकी चादरें जोड़ों में मिलकर प्रबल रूप से बँधी दोहरी परतें बनाती हैं, जिनके बीच चौड़े, विरल रूप से बँधे अंतराल होते हैं: वही चिराई का तल। (घ) हर कण उसी $\theta$ पर परावर्तित करता है पर किसी यादृच्छिक दिगंश में: परावर्तित किरणें $2\theta$ अर्ध-कोण के शंकुओं में फैल जाती हैं, जो संसूचक को वलयों में काटते हैं।

हल — अभ्यास 23.5.

(क) व्यतिकरण को $\lambda$ की कोटि के पथ-अंतर चाहिए; और अंतराल आंगस्ट्रॉम के हैं, अतः $\lambda$ को भी वही होना चाहिए। (ख) $E = hc/\lambda \approx 8\,\mathrm{keV}$। (ग) $p = h/\lambda$, $V = p^2/2m_{\text{e}}e \approx 60\,\mathrm{kV}$ (आपेक्षिकता कुछ प्रतिशत छाँट देती है) — यानी किसी इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की कार्यकारी वोल्टता। (घ) $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$: कमरे के ताप के न्यूट्रॉन जन्म से ही विवर्तन-योग्य हैं। वे नाभिकों से प्रकीर्ण होते हैं, इलेक्ट्रॉन-मेघों से नहीं — अतः वे हाइड्रोजन साफ़ देखते हैं और एक चुंबकीय आघूर्ण भी ढोते हैं जो चुंबकीय क्रम मानचित्रित कर देता है; और दोनों ही एक्स-किरणों के लिए लगभग अदृश्य हैं।

हल — अभ्यास 23.6.

(क) आयतन $a^3$ की प्रति कोष्ठिका चार युग्म। (ख) $N_{\text{A}} = 4M/\rho a^3 = 4\times0.05844/(2165\times1.794 \times 10^{-28}\,) \approx 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$। (ग) $N_{\text{A}} \propto a^{-3}$: $a$ में 0.1 % की त्रुटि $N_{\text{A}}$ में 0.3 % है। (घ) यह विधि परमाणु इस मान्यता पर गिनती है कि हर कोष्ठिका भरी और एक-सी है: रिक्तियाँ, अशुद्धियाँ और पच्चीकारी-सीमाएँ, सब गिनती बिगाड़ देती हैं — और इसीलिए किलोग्राम की पुनर्परिभाषा के वे कट्टर हद तक निर्दोष सिलिकॉन गोले।

हल — अभ्यास 23.7.

(क) हर आयन $2\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n = 2\ln2$ देखता है, वह भी $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0$ की इकाइयों में (गुणक 2: दोनों ओर), और वह आकर्षी है। (ख) $e^2/4\pi\varepsilon_0r_0 = 5.11\,\mathrm{eV}$; $\times1.7476 = 8.93\,\mathrm{eV}$। (ग) न्यूनतमीकरण आकर्षण का $1/9$ खा जाता है: $U = 8.93\times\tfrac89 = 7.94\,\mathrm{eV}$। (घ) $7.9\,\mathrm{eV}$ के एक प्रतिशत भीतर: बिंदु-आवेश जालक और एक ही कड़ाई-चरघातांक किसी आयनी ठोस का पूरा बजट समझा देते हैं — और क्वांटम यांत्रिकी $r_0$ तथा उस चरघातांक के भीतर छिपी रहती है।

हल — अभ्यास 23.8.

(क) $r_0 = 2^{1/6}\times3.40 = 3.82\,\text{Å}$, जो मापे गए $3.76\,\text{Å}$ से 1.5 % ऊपर है (हर परमाणु अपने बारह पड़ोसियों को भी अनुभव करता है, जिससे कूप कस जाता है)। (ख) $T_{\text{m}} \sim \epsilon/2k_{\text{B}} \approx 60\,\mathrm{K}$: $84\,\mathrm{K}$ के लिए सही पैमाना। (ग) हीलियम की शून्य-बिंदु ऊर्जा $\hbar\omega/2$ इतने उथले कूप में स्वयं उसी कूप की टक्कर में आ जाती है: क्रिस्टल खुद को हिलाकर बिखेर देता है, और हीलियम $T = 0$ पर भी द्रव रहता है, जब तक उसे दबाया न जाए। (घ) प्रति बंध गहराई $\sim0.01\,\mathrm{eV}$ बनाम सहसंयोजी $\sim3.6\,\mathrm{eV}$: ऊर्जा में तीन सौ गुना ही पाले से हीरे तक की पूरी दूरी है।

हल — अभ्यास 23.9.

(क) $ka \ll 1$: $\omega \approx 2\sqrt{K/m}\,(ka/2) = a\sqrt{K/m}\,k$। (ख) किसी कोष्ठिका को $\delta$ जितना तानिए: प्रतिबल $\sim K\delta/a^2$, विकृति $\delta/a$, अतः $E \sim K/a$, अर्थात् $K \sim Ea$। (ग) $K \approx 31\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $v = a\sqrt{K/m} \approx 4400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — मापे गए $4000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से 10 % भीतर, और वह भी यंग गुणांक से अटकल लगाई किसी कमानी से। (घ) $v = a\sqrt{K/m}$: कड़े बंध ऊपर, हलके परमाणु ऊपर — हीरा दोनों को अधिकतम करता है, और इसीलिए $18\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की ध्वनि तथा $\Theta_{\text{D}} \approx 2200\,\mathrm{K}$।

हल — अभ्यास 23.10.

(क) $\dd\omega/\dd k \propto \cos(ka/2) = 0$, $k = \pi/a$ पर। (ख) $u_n \propto (-1)^n$: हर परमाणु अपने दोनों पड़ोसियों से विपरीत कला में — यानी कोई अप्रगामी तरंग, जिसमें ऊर्जा वहीं छलकती रहती है। (ग) $\lambda = 2a$ के साथ, क्रमिक परमाणुओं से पीछे को प्रकीर्ण तरंगों के पथ में ठीक एक तरंगदैर्घ्य का अंतर होता है: यानी स्वयं उसी शृंखला पर ब्रैग की शर्त। जालक अपने ही कंपन को परावर्तित कर देता है, आगे और पीछे जाती तरंगें उस अप्रगामी प्रतिरूप में जकड़ जाती हैं, और चलती तरंग आगे नहीं बढ़ पाती। (घ) $\omega_{\text{अधि}} = 2\sqrt{K/m} \approx 3.4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, अर्थात् $\sim5\,\mathrm{THz}$: यानी दूर अवरक्त — जालक के कंपन और अवरक्त प्रकाश एक ही सप्तक में मिलते हैं, और यही तथ्य अगले अभ्यास के पीछे है।

हल — अभ्यास 23.11.

(क) प्रकाशिक मोड में $+$ और $-$ उप-जालक उलटी दिशाओं में चलते हैं: यानी कोई दोलनशील विद्युत् द्विध्रुव, और प्रकाश-तरंग ठीक उसी को पकड़ती है। (ख) $\omega \approx \sqrt{2K/\mu}$, जहाँ $\mu = 2.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$: $\omega \approx 4.7 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\lambda = 2\pi c/\omega \approx 40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — यानी दूर अवरक्त (नमक का मापा गया रेस्टश्ट्राहलन बैंड $61\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर बैठता है: दो-कमानी प्रतिरूप से सही सप्तक)। (ग) उस बैंड पर क्रिस्टल की अपनी अनुनाद तरंग को सोख लेती और फिर परावर्तित कर देती है: पारदर्शी नमक दर्पण जैसा अपारदर्शी हो जाता है। (घ) प्रति कोष्ठिका एक परमाणु का अर्थ है कि टकराने को कोई दूसरा उप-जालक ही नहीं: एक ही शाखा, कोई अंतराल नहीं।

हल — अभ्यास 23.12.

(क) $N$ परमाणु $\times$ 3 विस्थापन-दिशाएँ = $3N$ दोलक, अतः रैखिक वर्णक्रम तभी काट दिया जाता है जब वह $3N$ मोड गिन चुके: और वही $k_{\text{D}}$ परिभाषित करता है। (ख) $k_{\text{D}} = (6\pi^2n)^{1/3} = 1.7 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\Theta_{\text{D}} = \hbar vk_{\text{D}}/k_{\text{B}} \approx 350\,\mathrm{K}$ — यानी कैलोरीमितीय $343\,\mathrm{K}$, वह भी एक ध्वनि-चाल और एक घनत्व से। (ग) वह सीधी रेखा क्षेत्र-किनारे का चपटापन चूक जाती है: डिबाई ऊँची आवृत्तियाँ अधिक गिन लेता है, अतः मध्यवर्ती तापों पर अनुरूपण तनने लगता है; जबकि $T^3$ नियम (केवल लंबी तरंगें) सुरक्षित है। (घ) दोनों यही कहते हैं कि वर्णक्रम तब समाप्त होता है जब तरंगदैर्घ्य परमाणविक अंतराल तक पहुँच जाए — प्रति परमाणु एक मोड, जो कभी कटाव तरंग-सदिश के वेश में आता है और कभी कटाव-ताप के।