विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

14सर्वसम कण

ब्रह्मांड का हर इलेक्ट्रॉन हर दूसरे इलेक्ट्रॉन के ठीक-ठीक, पूर्णतः सर्वसम है — एक टकसाल के दो सिक्कों की तरह मिलता-जुलता नहीं, बल्कि सैद्धांतिक रूप से अभेद्य: न कोई नामपत्र, न खरोंच, न इतिहास किसी एक को चिह्नित कर सकता है। क्वांटम यांत्रिकी इसे गंभीरता से लेती है, और उसके परिणाम संसार चलाते हैं। दो सर्वसम कणों की अदला-बदली से कोई भी प्रेक्ष्य वस्तु बदलनी नहीं चाहिए, और इससे बहु-कण तरंग फलन के पास केवल दो विकल्प बचते हैं: वही रहे (बोसॉन) या चिह्न बदल ले (फ़र्मिऑन)। अकेले उस ऋण चिह्न से पाउली का अपवर्जन सिद्धांत निकलता है, कोश-संरचना और पूरी आवर्त सारणी, पैरों तले पदार्थ की कठोरता, और वह दाब जो मरे हुए तारों को थामे रखता है; और धन चिह्न से फ़ोटॉनों की मिलनसारी — अर्थात् लेज़र — तथा तीन अध्याय आगे, बोस–आइंस्टाइन संघनन। भौतिकी में शायद ही कभी एक चिह्न ने इतना बोझ ढोया हो।

14.1 सममितीकरण अभिगृहीत

परिभाषा 14.1 (विनिमय)

दो सर्वसम कणों के लिए, जिनका अवस्था-समष्टि गुणनफलों $\ket{a}\otimes\ket{b}$ से फैला है (कण 1 $\ket a$ में, कण 2 $\ket b$ में — स्थितियाँ, चक्रण और सब कुछ), विनिमय संकारक $\hat P_{12}$ भूमिकाएँ अदल-बदल देता है: $\hat P_{12}\ket a\otimes\ket b = \ket b\otimes\ket a$ । यह हर्मिटीय है, इसका वर्ग तत्समक है, और यह हर उस हैमिल्टनियन से क्रमविनिमेय है जो कणों को सर्वसम मानता है: उसके अभिलक्षणिक मान $\pm1$ संसार के संरक्षित नामपत्र हैं।

प्रमेय 14.2 (बोसॉन और फ़र्मिऑन)

सर्वसम कणों की अवस्थाएँ हर विनिमय की अभिलक्षणिक अवस्थाएँ होने के लिए केवल अनुमत नहीं, बल्कि बाध्य हैं: कणों के एक वर्ग के लिए पूर्णतः सममित — अर्थात् बोसॉन — और दूसरे के लिए पूर्णतः प्रतिसममित (हर अदला-बदली पर चिह्न-परिवर्तन) — अर्थात् फ़र्मिऑन। कोई जाति किस वर्ग की है, यह उसका चक्रण तय करता है (चक्रण–सांख्यिकी प्रमेय, जो केवल आपेक्षिकीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सिद्ध होती है और यहाँ मान ली गई है):

\text{पूर्णांक चक्रण} \Rightarrow \text{बोसॉन} , \qquad \text{अर्ध-पूर्णांक चक्रण} \Rightarrow \text{फ़र्मिऑन} .

फ़ोटॉन, पायॉन और $^4$ He परमाणु बोसॉन हैं; इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और $^3$ He फ़र्मिऑन हैं। कोई संयुक्त कण अपने अंगों के योग जैसा बरतता है: एक साथ बँधे फ़र्मिऑनों की सम संख्या एक बोसॉन है ( $^4$ He: 2p + 2n + 2e), और विषम संख्या एक फ़र्मिऑन ( $^3$ He) — ऐसे परिणामों के साथ, जो दो अलग-अलग द्रव हीलियमों जितने दृश्य हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उपप्रमेय 14.3 (पाउली का अपवर्जन सिद्धांत)

दो फ़र्मिऑन कभी एक ही एक-कण अवस्था नहीं घेर सकते: प्रतिसममित संयोजन में $\ket a = \ket b$ रखिए, अर्थात् $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ , और शून्य सदिश मिलता है — ऐसी कोई अवस्था है ही नहीं। इलेक्ट्रॉनों (चक्रण $\tfrac12$ ) के लिए हर कक्षक अधिक से अधिक दो को लेता है, विपरीत चक्रण-प्रक्षेप वाले।

उदाहरण 14.4 (अलग ढंग की गणना)

दो अवस्थाओं $a, b$ में दो कण: चिरसम्मत (विभेद्य) गणना चार विन्यास देती है; बोसॉनों के पास तीन हैं ( $aa$ , $bb$ , और एक मिश्रित अवस्था); फ़र्मिऑनों के पास ठीक एक (वही मिश्रित, प्रतिसममित वाली)। सांख्यिकीय भौतिकी इन्हीं गणनाओं को जस का तस उत्तराधिकार में लेगी (अध्याय 19); और यहीं वे उन्नीसवीं सदी की एक लज्जा घोल देती हैं — एक ही गैस के दो नमूनों के “मिश्रण” की एन्ट्रॉपी (अभ्यास 14.10)।

14.2 आवर्त सारणी

प्रतिज्ञप्ति 14.5 (कोश, और रसायन क्यों है)

हाइड्रोजन-सदृश कक्षकों $(n, l, m, m_s)$ को एक-एक इलेक्ट्रॉन से भरिए, पहले सबसे कम ऊर्जा वाले, उस स्तर-क्रम में जो भेदन और परिरक्षण तय करते हैं ( $1s$ , $2s$ , $2p$ , $3s$ , $3p$ , $4s$ , $3d$ , …— अभ्यास 11.8)। पाउली का सिद्धांत भरने को संतृप्त कर देता है: $2$ इलेक्ट्रॉन पहला कोश बंद करते हैं, $8$ दूसरी और तीसरी पंक्ति, और तत्त्वों की सारणी को उसके आवर्त मिल जाते हैं। रसायन उन्हीं इलेक्ट्रॉनों की भौतिकी है जिन्हें अपवर्जन सिद्धांत ने सबसे बाहर छोड़ दिया: भरे हुए कोश (उत्कृष्ट गैसें) निष्क्रिय हैं; भरे कोश से एक इलेक्ट्रॉन आगे (क्षार धातुएँ) या एक विवर पीछे (हैलोजन) विपरीत ढंगों से क्रियाशील हैं। ऋण चिह्न के बिना हर इलेक्ट्रॉन $1s$ में डूब जाता, हर परमाणु सिकुड़ी हुई हीलियम-सी गेंद होता, और न कोई बंध होता, न अणु, न पछताने के लिए कोई रसायनज्ञ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

कक्षकों को दो-दो करके भरना: अपवर्जन सिद्धांत सारणी के आवर्त गढ़ता है। ऑक्सीजन के चार 2p इलेक्ट्रॉन हुंड का नियम दिखाते हैं — चक्रण जोड़ा बनाने से पहले संरेखित होकर कक्षकों में फैल जाते हैं, जो विशुद्ध विनिमय-प्रभाव है (). — कक्षकों को दो-दो करके भरना: अपवर्जन सिद्धांत सारणी के आवर्त गढ़ता है। ऑक्सीजन के चार $2p$ इलेक्ट्रॉन हुंड का नियम दिखाते हैं — चक्रण जोड़ा बनाने से पहले संरेखित होकर कक्षकों में फैल जाते हैं, जो विशुद्ध विनिमय-प्रभाव है (प्रतिज्ञप्ति 14.6).

14.3 विनिमय अन्योन्यक्रिया

प्रतिज्ञप्ति 14.6 (स्थानिक युग्म-अवस्था की सममिति)

दो इलेक्ट्रॉनों के लिए कुल अवस्था (समष्टि $\times$ चक्रण) प्रतिसममित होनी चाहिए: कोई एकल (प्रतिसममित चक्रण, अभ्यास 12.11) स्थानिक तरंग फलन को सममित होने पर बाध्य करता है, और कोई त्रिक उसे प्रतिसममित। दोनों भौतिक रूप से भिन्न हैं: प्रतिसममित स्थानिक अवस्था में इलेक्ट्रॉन कभी संपाती नहीं हो सकते ( $\psi(\vect r, \vect r) = 0$ ) और दूर-दूर रहते हैं, जबकि सममित अवस्था उन्हें गुच्छा बनाने देती है। चूँकि निकटता कूलॉम ऊर्जा वसूलती है, चक्रण-विन्यास को एक ऊर्जा-अंतर मिल जाता है — विनिमय ऊर्जा — जो स्थिरवैद्युत आकार का है (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट!), जबकि उतना प्रबल कोई चुंबकीय बल है ही नहीं: चक्रण ज्यामिति और प्रतिकर्षण के कारण संरेखित या प्रति-संरेखित होते हैं। यही हुंड के नियम का, हीलियम के दो वर्णक्रमों का, सहसंयोजी बंध का और — किसी क्रिस्टल भर में बढ़ाकर — स्वयं लौहचुंबकत्व का इंजन है (अध्याय 22)।

आंशिक उपपत्ति. सममिति का हिसाब प्रमेय 14.2 और चक्रण-संयोजन हैं; और संपात पर लुप्त होना $\vect r_1 = \vect r_2$ पर पढ़ी गई प्रतिसममिति है। ऊर्जा-परिणाम प्रतिकर्षण में प्रथम-कोटि विक्षोभ सिद्धांत है: सीधा पद दोनों सममितियों में उभयनिष्ठ है, और आड़ा (“विनिमय”) समाकल विपरीत चिह्नों के साथ आता है (अभ्यास 14.6)। ∎

युग्म को पृथक्करण x_1 - x_2 पर पाने की प्रायिकता: सममित स्थानिक अवस्था संपर्क पर गुच्छा बनाती है, और प्रतिसममित अवस्था एक “विनिमय विवर” ढोती है — संपात पर ठीक शून्य। इस ज्यामिति को कूलॉम प्रतिकर्षण को खिलाइए, और चक्रण-विन्यासों को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट के ऊर्जा-अंतर मिल जाते हैं। — युग्म को पृथक्करण $x_1 - x_2$ पर पाने की प्रायिकता: सममित स्थानिक अवस्था संपर्क पर गुच्छा बनाती है, और प्रतिसममित अवस्था एक “विनिमय विवर” ढोती है — संपात पर ठीक शून्य। इस ज्यामिति को कूलॉम प्रतिकर्षण को खिलाइए, और चक्रण-विन्यासों को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट के ऊर्जा-अंतर मिल जाते हैं।

उदाहरण 14.7 (एक ही परमाणु में दो हीलियम)

हीलियम की उत्तेजित अवस्थाएँ $1s\,2s$ दो कुलों में आती हैं, जो शायद ही आपस में मिलती हैं: पैराहीलियम (एकल, सममित समष्टि) और ऑर्थोहीलियम (त्रिक, प्रतिसममित समष्टि), जिनमें त्रिक $\approx0.8\,\mathrm{eV}$ नीचे पड़ता है — उसका विनिमय विवर कूलॉम प्रतिकर्षण बचा देता है। मूल अवस्था अनिवार्यतः पैरा है ( $1s^2$ सममित स्थानिक अवस्था थोपता है); और सबसे नीची ऑर्थो अवस्था, जिसके नीचे क्षय के लिए कोई त्रिक नहीं और जिसके चक्रण-पलटाव वर्जित हैं, घंटों जीती है — एक अर्धस्थायी परमाणु, जो परमाणु-पुंजों में मज़दूर की तरह काम आता है। उन्नीसवीं सदी के वर्णक्रममितिज्ञों ने “दो हीलियम” सूचीबद्ध किए थे; समाधान एक ऋण चिह्न है।

उदाहरण 14.8 (सहसंयोजी बंध)

दो हाइड्रोजन परमाणुओं को पास लाइए: दोनों इलेक्ट्रॉन दो परमाणविक कक्षकों का सममित स्थानिक संयोजन (चक्रण एकल) या प्रतिसममित संयोजन (त्रिक) चुन सकते हैं। सममित अवस्था आवेश को प्रोटॉनों के बीच ढेर कर देती है, जहाँ वह दोनों को खींचता है: अर्थात् बंधन — H $_2$ का सहसंयोजी बंध, $4.5\,\mathrm{eV}$ गहरा। प्रतिसममित अवस्था मध्य-तल खाली कर देती है: विशुद्ध प्रतिकर्षी। कार्बनिक रसायन की हर पंक्ति सममित रूप से साझा किए गए युग्मित-चक्रण इलेक्ट्रॉनों का हिसाब है — अपवर्जन सिद्धांत, उलटा चलाकर, अणुओं का गोंद है।

14.4 बोसॉन: जितने अधिक, उतना अच्छा

प्रतिज्ञप्ति 14.9 (बोसॉनी संवर्धन)

जो संक्रमण किसी ऐसी अवस्था में एक बोसॉन जोड़ते हैं जिसमें पहले से $n$ हैं, उनके आयाम $\sqrt{n + 1}$ से और दरें $n + 1$ से बढ़ जाती हैं (अध्याय 9 का सोपान बीजगणित, चूँकि कोई बोसॉनी मोड दोलक होता ही है)। वह “ $1$ ” स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन है; और वह “ $n$ ” उद्दीपित उत्सर्जन, जो पहले से मौजूद भीड़ के अनुक्रमानुपाती है: हर लेज़र के पीछे का हिमस्खलन (वर्ष 2 का खंड), जो अब विशुद्ध विनिमय-सममिति निकला। यही सांख्यिकी, तब तक ठंडे किए गए परमाणुओं पर लागू करने पर जब तक उनके तरंग-पुंज अतिव्यापी न हो जाएँ, एक ही क्वांटम अवस्था में भगदड़ की भविष्यवाणी करती है — बोस–आइंस्टाइन संघनन, जो अध्याय 19 के लिए रखा है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 14.10 (सर्वसम कणों को बरतना)

(1) चक्रण से सांख्यिकी तय कीजिए (संयुक्त कणों में फ़र्मिऑनों की संख्या जोड़िए)। (2) दो इलेक्ट्रॉनों के लिए समष्टि $\times$ चक्रण में गुणनखंडित कीजिए, और एकल को सममित समष्टि से तथा त्रिक को प्रतिसममित से जोड़िए। (3) अवस्थाएँ गिनिए, नाम वाले कण कभी नहीं: अधिभोग सूचीबद्ध कीजिए। (4) प्रतिकर्षण वाले ऊर्जा-प्रश्न: सीधा समाकल एक बार, और विनिमय समाकल सममिति के चिह्न के साथ। (5) दो सूत्र याद रखिए — फ़र्मिऑन: प्रति अवस्था अधिक से अधिक एक, और हर एक के चारों ओर एक विनिमय विवर; बोसॉन: अधिभोग से बढ़ी हुई दरें।

द्रव हीलियम, 4\, K के पास चुपचाप उबलता हुआ: पूर्णतः सर्वसम बोसॉनों का एक तरल। कुछ ही डिग्री नीचे वह अचानक उबलना बंद कर देता है और बिना घर्षण बहने लगता है — अभेद्यता, जो द्रवचालिकी तक पदोन्नत हो गई। — द्रव हीलियम, $4\,\mathrm{K}$ के पास चुपचाप उबलता हुआ: पूर्णतः सर्वसम बोसॉनों का एक तरल। कुछ ही डिग्री नीचे वह अचानक उबलना बंद कर देता है और बिना घर्षण बहने लगता है — अभेद्यता, जो द्रवचालिकी तक पदोन्नत हो गई।

14.5 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

(क) दिखाइए कि $\hat P_{12}$ हर्मिटीय है और $\hat P_{12}^2 = \mathbb 1$ : उसके संभव अभिलक्षणिक मान क्या हैं? (ख) सर्वसम कणों के लिए दिखाइए कि $[\hat P_{12}, \hat H] = 0$ और निष्कर्ष निकालिए कि सममिति-वर्ग संरक्षित है। (ग) दो सर्वसम कणों की कोई अवस्था बिना किसी सममिति के बस $\ket a\otimes\ket b$ क्यों नहीं “हो” सकती? (घ) वर्गीकृत कीजिए: $^1$ H, $^2$ H (ड्यूटीरियम), $^4$ He, $^3$ He, एक हाइड्रोजन अणु, एक फ़ोटॉन।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

(क) दो बार अदला-बदली कुछ न करने के बराबर है: अभिलक्षणिक मान $\pm1$ । (ख) सर्वसम कण $\hat H$ में सममित रूप से आते हैं, अतः $\hat H\hat P_{12} = \hat P_{12}\hat H$ : सममिति-वर्ग कभी नहीं बदलता। (ग) $\ket a\otimes\ket b$ और $\ket b\otimes\ket a$ एक ही भौतिक स्थिति का वर्णन करने वाली भिन्न अवस्थाएँ होतीं — एक अप्रेक्ष्य भेद, जिसे संरूपण को ढोना ही नहीं चाहिए। (घ) $^1$ H (2 फ़र्मिऑन): बोसॉन; ड्यूटीरियम (3): फ़र्मिऑन; $^4$ He: बोसॉन; $^3$ He: फ़र्मिऑन; H $_2$ (4): बोसॉन; फ़ोटॉन: बोसॉन।

अभ्यास 14.2 ★

(क) लांबिक कक्षकों $\ket a, \ket b$ से बनी प्रसामान्यित प्रतिसममित अवस्था लिखिए। (ख) दिखाइए कि $a = b$ होने पर वह लुप्त हो जाती है। (ग) $a, b, c$ में तीन फ़र्मिऑनों के लिए: पूर्णतः प्रतिसममित संयोजन लिखिए (छह पद, बदलते चिह्न — एक $3\times3$ सारणिक) और जाँचिए कि एक अदला-बदली उसका चिह्न पलट देती है। (घ) सारणिक-रूप पाउली के सिद्धांत को स्वतः क्यों बना देता है?

हल

हल — अभ्यास 14.2.

(क) $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ । (ख) सर्वसमतः शून्य। (ग) छह क्रमचयों पर बदलते चिह्नों वाला योग — कणों के सामने कक्षकों का $3\times3$ सारणिक; दो पंक्तियों की अदला-बदली सारणिक का चिह्न पलट देती है। (घ) जिस सारणिक के दो स्तंभ बराबर हों वह लुप्त हो जाता है: एक ही कक्षक में दो फ़र्मिऑन एक दोहराया हुआ स्तंभ हैं।

अभ्यास 14.3 ★

दो कण तीन लांबिक अवस्थाएँ साझा करते हैं। दो-कण अवस्थाएँ गिनिए: (क) विभेद्य कणों के लिए; (ख) बोसॉनों के लिए; (ग) फ़र्मिऑनों के लिए (चक्रणहीन)। (घ) चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों के लिए (ग) दोहराइए: अब कितनी अवस्थाएँ?

हल

हल — अभ्यास 14.3.

(क) $3^2 = 9$ । (ख) $3$ युगल $+$ $3$ जोड़े $= 6$ । (ग) $3$ जोड़े। (घ) छह एक-कण अवस्थाएँ (तीन कक्षक $\times$ दो चक्रण): $\binom62 = 15$ ।

अभ्यास 14.4 ★

(क) कार्बन, नाइट्रोजन, ऑक्सीजन और नियॉन के मूल विन्यास दीजिए। (ख) हुंड का नियम कहिए और उसे नाइट्रोजन के तीन $2p$ इलेक्ट्रॉनों पर लागू कीजिए। (ग) प्रतिज्ञप्ति 14.6 से हुंड के नियम को एक वाक्य में उचित ठहराइए। (घ) किस तत्त्व के भरे कोश उसे ज्ञात सबसे कम क्रियाशील पदार्थ बनाते हैं, और कौन-सा एक अनुपस्थित इलेक्ट्रॉन फ़्लुओरीन को सबसे लालची बनाता है?

हल

हल — अभ्यास 14.4.

(क) C: $1s^22s^22p^2$ ; N: $2p^3$ ; O: $2p^4$ ; Ne: $2p^6$ । (ख) नाइट्रोजन के तीन $2p$ इलेक्ट्रॉन तीनों कक्षकों को एक-एक करके घेरते हैं, चक्रण समांतर। (ग) समांतर चक्रण प्रतिसममित स्थानिक अवस्था थोपते हैं, जिसका विनिमय विवर कूलॉम प्रतिकर्षण बचाता है — संरेखण स्थिरवैद्युत बचत से खरीदा जाता है। (घ) हीलियम (अपने उत्कृष्ट कुल के साथ); और फ़्लुओरीन, जो नियॉन की बंदी से एक इलेक्ट्रॉन कम है, वह इलेक्ट्रॉन लगभग किसी से भी छीन लेता है।

अभ्यास 14.5 ★★

$E_n = n^2E_1$ स्तरों वाले किसी बक्से में दो अन्योन्यक्रियाहीन कण। (क) दो बोसॉनों की मूल ऊर्जा; दो चक्रणहीन फ़र्मिऑनों की; दो इलेक्ट्रॉनों की। (ख) प्रत्येक का पहला उत्तेजित स्तर। (ग) फ़र्मिऑनी मूल अवस्था अधिक महँगी पड़ती है: यह “फ़र्मी पदोन्नति” भ्रूण रूप में एक दाब है — एक वाक्य में समझाइए कि वह पदार्थ को ढहने से कैसे रोकती है। (घ) व्यापक कीजिए: बक्से में $N$ चक्रणहीन फ़र्मिऑन — दिखाइए कि मूल ऊर्जा $N^3$ की तरह बढ़ती है, $N$ की तरह नहीं।

हल

हल — अभ्यास 14.5.

(क) बोसॉन: $2E_1$ ; चक्रणहीन फ़र्मिऑन: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ; इलेक्ट्रॉन: $2E_1$ (विपरीत चक्रण $n = 1$ साझा करते हैं)। (ख) बोसॉन और इलेक्ट्रॉन: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$ ; चक्रणहीन फ़र्मिऑन: $E_1 + 9E_1 = 10E_1$ । (ग) फ़र्मिऑनों को दबाने से ऊँचे-से-ऊँचे स्तर भरने पड़ते हैं: प्रति दबाव ऊर्जा-लागत एक बहिर्मुखी दाब है, जिसे कोई शीतलन नहीं हटाता — भ्रूण रूप में पदार्थ की असंपीड्यता। (घ) $\sum_{n=1}^N n^2 \approx N^3/3$ : फ़र्मी सागर का कुल $N^3$ की तरह बढ़ता है।

अभ्यास 14.6 ★★

लांबिक वास्तविक कक्षकों $\varphi_a, \varphi_b$ और युग्म-अवस्थाओं $\psi_\pm \propto \varphi_a(1)\varphi_b(2) \pm \varphi_b(1)\varphi_a(2)$ के साथ: (क) दिखाइए कि $\psi_-(\vect r, \vect r) = 0$ ; (ख) व्युत्पन्न कीजिए $\langle(\vect r_1 - \vect r_2)^2\rangle_\pm = (\text{उभयनिष्ठ पद}) \mp 2\,|\bra{a}\hat{\vect r}\ket{b}|^2$ , और पहचानिए कि कौन-सी सममिति कणों को अधिक दूर रखती है; (ग) किसी प्रतिकर्षी अन्योन्यक्रिया $V(|\vect r_1 - \vect r_2|)$ के लिए $E_+ - E_-$ का चिह्न तर्क से निकालिए; (घ) हीलियम के ऑर्थो–पैरा क्रम से जोड़िए।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

(क) दोनों पद $\vect r_1 = \vect r_2$ पर कट जाते हैं। (ख) प्रसार करने पर आड़े पद $\mp2|\bra a\hat{\vect r}\ket b|^2$ का योगदान देते हैं: प्रतिसममित अवस्था का माध्य वर्ग पृथक्करण बड़ा है। (ग) अधिक दूर होने का अर्थ है कम प्रतिकर्षण ऊर्जा: $E_- < E_+$ । (घ) हीलियम का त्रिक (प्रतिसममित समष्टि) उसी विन्यास के एकल से नीचे पड़ता है — ऑर्थोहीलियम पैराहीलियम के नीचे, बची हुई $0.8\,\mathrm{eV}$ प्रतिकर्षण जितना।

अभ्यास 14.7 ★★

हीलियम की सीढ़ी। (क) मूल अवस्था चक्रण-एकल क्यों होनी ही चाहिए? (ख) $1s2s$ त्रिक $1s2s$ एकल से $0.80\,\mathrm{eV}$ नीचे पड़ता है: इसे विनिमय समाकल के रूप में व्यक्त कीजिए और उसका आकार चुंबकीय चक्रण–चक्रण ऊर्जाओं ( $\sim\mu_{\text{B}}^2\mu_0/4\pi a_0^3$ , उसका मान निकालिए) से तुलिए। (ग) $2\,^3S$ अवस्था अर्धस्थायी क्यों है (कौन-से दो चयन-नियम एक साथ टूटने चाहिए)? (घ) उसका मापा गया जीवन $\approx8000\,\mathrm{s}$ है: हाइड्रोजन के $2p$ की $1.6\,\mathrm{ns}$ से तुलिए और ज़िम्मेदारी से चकित होइए।

हल

हल — अभ्यास 14.7.

(क) $1s^2$ एक सममित स्थानिक अवस्था है: अतः चक्रणों को प्रतिसममित एकल बनाना ही होगा। (ख) विपाटन $= 2J$ : $J \approx 0.4\,\mathrm{eV}$ । $a_0$ पर सच्ची चुंबकीय द्विध्रुव–द्विध्रुव ऊर्जा: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a_0^3 \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ — हज़ार गुना छोटी: वह “चक्रण बल” दरअसल चक्रण का रंग ओढ़े हुए स्थिरवैद्युतिकी है। (ग) $1\,^1S$ तक क्षय के लिए एक चक्रण-पलटाव (एकल–त्रिक) और एक $s \to s$ संक्रमण ( $\Delta l = 0$ ) चाहिए: दोहरा वर्जित। (घ) $8000$ s बनाम $1.6\,\mathrm{ns}$ : दो चयन-नियमों से बारह कोटियाँ — अर्धस्थायित्व नियमों के ढेर से बनता है, बलों के कमज़ोर पड़ने से नहीं।

अभ्यास 14.8 ★★

ऑर्थो- और पैरा-हाइड्रोजन। H $_2$ के दोनों प्रोटॉन फ़र्मिऑन हैं: कुल नाभिकीय-चक्रण $\times$ घूर्णी अवस्था उनके विनिमय में प्रतिसममित होनी चाहिए; और प्रोटॉनों की अदला-बदली आणविक अक्ष भी पलट देती है, जिससे घूर्णी अवस्था $(-1)^J$ से गुणित हो जाती है। (क) दिखाइए कि नाभिकीय त्रिक (ऑर्थो) विषम $J$ के साथ और एकल (पैरा) सम $J$ के साथ जुड़ता है। (ख) उच्च ताप पर चक्रण-बहुलताएँ कौन-सा ऑर्थो:पैरा अनुपात तय करती हैं? (ग) ऑर्थो की सबसे नीची अवस्था ( $J = 1$ ) $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ ऊपर पड़ती है, पैरा के $J = 0$ से, और चक्रण-रूपांतरण में दिन लगते हैं: ताज़े द्रवित हाइड्रोजन की टंकी के भीतर क्या होता है जब ऑर्थो-अंश धीरे-धीरे बदलता है, और द्रवण-संयंत्रों को यह रूपांतरण भंडारण से पहले क्यों उत्प्रेरित करना चाहिए? (घ) कौन-सा रोज़मर्रा का निम्नतापिकी ईंधन-कार्यक्रम (रॉकेट!) ठीक इसी समस्या से टकराता है?

हल

हल — अभ्यास 14.8.

(क) कुल विनिमय चिह्न $=$ (चक्रण भाग) $\times (-1)^J$ होना चाहिए $-1$ : त्रिक (सममित चक्रण) विषम $J$ लेता है, और एकल सम $J$ । (ख) बहुलताओं से $3:1$ । (ग) 3/4 ऑर्थो-अंश पैरा ( $J = 0$ ) तक शिथिल होता है, और प्रति अणु $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ छोड़ता है — जो द्रव की गुप्त ऊष्मा से अधिक है: अनुत्प्रेरित टंकी धीरे-धीरे उबलकर सूख जाती है। संयंत्र द्रवण के दौरान उत्प्रेरक पर ऑर्थो $\to$ पैरा बदल देते हैं। (घ) द्रव हाइड्रोजन की रॉकेटरी — हर प्रक्षेपण-मंच को नाभिकीय-चक्रण सांख्यिकी की एक समस्या विरासत में मिलती है।

अभ्यास 14.9 ★★

बोसॉनी भगदड़। किसी मोड में $n$ फ़ोटॉन हैं; एक और जोड़ने के आव्यूह-अवयव $\sqrt{n+1}$ की तरह बढ़ते हैं। (क) दिखाइए कि उस मोड में उत्सर्जन दरें $n + 1$ की तरह और अवशोषण $n$ की तरह बढ़ते हैं। (ख) किसी ऐसी गुहा में, जहाँ एक मोड $10^{10}$ फ़ोटॉन रखता है और उसके पड़ोसी कोई नहीं, किसी उत्तेजित परमाणु की प्रत्येक में उत्सर्जन-दरें तुलिए। (ग) दो वाक्यों में समझाइए कि इससे लेज़र प्रकाश एक ही मोड में कैसे बढ़ता है। (घ) प्रतिज्ञप्ति 9.7 में $\sqrt{n+1}$ पहले कहाँ प्रकट हो चुका था?

हल

हल — अभ्यास 14.9.

(क) दरें आयाम के वर्ग की तरह चलती हैं: किसी अधिभुक्त मोड में $n + 1$ , और उलटी दिशा में $n$ । (ख) $10^{10} + 1$ बनाम $1$ : भीड़ भरा मोड दस अरब गुने से जीतता है। (ग) पसंदीदा मोड में एक स्वतःस्फूर्त फ़ोटॉन पासा झुका देता है; और हर उद्दीपित फ़ोटॉन $n$ बढ़ाकर झुकाव तीखा करता है: सर्वसम फ़ोटॉनों का हिमस्खलन — एक ही मोड में सिमटती वृद्धि। (घ) $\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$ में: बोसॉनी मोड ही दोलक है, और वह संवर्धन उसका सोपान गुणांक है।

अभ्यास 14.10 ★★★

गिब्स का विरोधाभास, सर्वसमता से सुलझा। आदर्श गैस के दो बराबर आयतन $V$ , प्रत्येक में $N$ अणु, समान ताप, जोड़ दिए जाते हैं। (क) यदि गैसें भिन्न हों (मान लीजिए आर्गन और नियॉन), तो एन्ट्रॉपी $2Nk_{\text{B}}\ln2$ से बढ़ती है — याद कीजिए क्यों (हर गैस अपना आयतन दुगना करती है)। (ख) यदि वे वही गैस हों, तो टोंटी खोलने से कोई स्थूल परिवर्तन नहीं होता: यदि मिश्रण-एन्ट्रॉपी फिर भी प्रकट हो जाए तो कौन-सी बेतुकी बात निकलेगी (टोंटी बंद करके फिर खोलने पर विचार कीजिए)? (ग) दिखाइए कि अणुओं को विभेद्य मानने पर वह मिथ्या एन्ट्रॉपी सचमुच पैदा हो जाती है, और अवस्था-गणना को $N!$ से भाग देना — जो केवल इसलिए वैध है कि अणु सर्वसम हैं — उसे हटा देता है। (घ) एक वाक्य में सार: चिरसम्मत सांख्यिकीय भौतिकी चुपचाप एक क्वांटम तथ्य उधार लेती है; अगले अध्याय उसे खुलकर उधार लेंगे।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

(क) हर गैस दुगने आयतन में फैलती है: प्रति गैस $\Delta S = Nk_{\text{B}}\ln2$ । (ख) टोंटी बंद करके फिर खोलना बिना किसी अवस्था-परिवर्तन के एन्ट्रॉपी गढ़ देता — हिसाब की सतत ठगी। (ग) नाम वाले अणुओं के साथ मिली हुई गैस के पास $\binom{2N}{N}$ अतिरिक्त “किस ओर” नियतन होते हैं, जिनका मोल $2Nk_{\text{B}}\ln2$ है; और सारी अवस्था-गणनाओं को $N!$ से भाग देना — सर्वसम कणों के लिए ईमानदार गणना — ठीक इसी को हटा देता है। (घ) वही $N!$ , जिसकी चिरसम्मत भौतिकी को ज़रूरत थी और जिसे वह उचित नहीं ठहरा सकती थी, दूर से देखा गया सममितीकरण अभिगृहीत है।

अभ्यास 14.11 ★★★

पाउली मुर्दों को थामे है। कोई श्वेत वामन लगभग $10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ठूँसता है, अर्थात् इलेक्ट्रॉन घनत्व $n_{\text{e}} \approx 3 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ (प्रति दो न्यूक्लिऑन द्रव्यमान एक इलेक्ट्रॉन)। (क) अभ्यास 7.8 से फ़र्मी ऊर्जा निकालिए — और देखिए कि अनापेक्षिकीय सूत्र तनने लगता है। (ख) $E_{\text{F}}$ की तुलना $k_{\text{B}}T$ से कीजिए, $T = 10^{7}\,\mathrm{K}$ पर: यह श्वेत-तप्त तारा किस अर्थ में ठंडा है? (ग) दो वाक्यों में समझाइए कि ऊष्मा नहीं, बल्कि अपवर्जन वह दाब देता है जो गुरुत्व को संतुलित करता है। (घ) द्रव्यमान जोड़ते जाने पर और $E_{\text{F}}$ के आपेक्षिकीय हो जाने पर क्या होना चाहिए — वह किस प्रसिद्ध सीमा की आहट देता है (अध्याय 27)?

हल

हल — अभ्यास 14.11.

(क) $E_{\text{F}} = \hbar^2(3\pi^2n_{\text{e}})^{2/3}/2m_{\text{e}} \approx 0.16\,\mathrm{MeV}$ — इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा का एक तिहाई: तारा आपेक्षिकीय प्रांत के किनारे बैठा है। (ख) $k_{\text{B}}T \approx 0.9\,\mathrm{keV} \ll E_{\text{F}}$ : फ़र्मी पैमाने पर वह श्वेत-तप्त तारा गहरे अपह्रासित है — अर्थात् “ठंडा”। (ग) इलेक्ट्रॉन पाउली-शैली में $0.16\,\mathrm{MeV}$ तक चुनते जाते हैं; तारे को दबाने से हर अधिभुक्त स्तर ऊपर उठता है, और वह ऊर्जा-प्रवणता ताप से स्वतंत्र एक दाब है — अपवर्जन, ऊष्मा नहीं, बोझ ढोता है। (घ) आपेक्षिकीय अपह्रासिता दाब-नियम को तब तक नरम करती है जब तक किसी परिमित द्रव्यमान पर गुरुत्व न जीत जाए: चंद्रशेखर सीमा, जो अध्याय 27 के लिए रखी है।

अभ्यास 14.12 ★★★

विनिमय से चुंबकों तक। किसी ठोस में दो पड़ोसी इलेक्ट्रॉनों का प्रतिज्ञप्ति 14.6 से प्रतिरूप बनाइए: उनकी ऊर्जा $E_{\text{एकल}}$ है या $E_{\text{त्रिक}} = E_{\text{एकल}} - 2J$ , जहाँ विनिमय नियतांक $J$ है। (क) दिखाइए कि यही प्रभावी चक्रण हैमिल्टनियन $\hat H = -2J\,\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2/\hbar^2$ से पुनः मिलता है ( $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12[\hat S^2 - \hat S_1^2 - \hat S_2^2]$ का उपयोग कीजिए)। (ख) $J > 0$ के लिए पड़ोसी चक्रण संरेखित होते हैं: ऐसे युग्मों का कोई जालक कौन-सी स्थूल परिघटना पैदा करता है? (ग) क्रमण ताप $k_{\text{B}}T_{\text{C}} \sim J$ का आकलन $J \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ के लिए कीजिए और लोहे के $1043\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (घ) कोई चुंबकीय द्विध्रुव–द्विध्रुव अन्योन्यक्रिया (उसका आकार अभ्यास 14.7ख से याद कीजिए) हज़ार-केल्विन के चुंबक की व्याख्या क्यों नहीं कर सकती — और एक वाक्य में, कौन कर सकती है?

हल

हल — अभ्यास 14.12.

(क) $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S^2 - \tfrac32\hbar^2)$ : एकल पर $-\tfrac34\hbar^2$ , और त्रिक पर $+\tfrac14\hbar^2$ — कथित हैमिल्टनियन $2J$ का विपाटन फिर से दे देता है। (ख) संरेखित पड़ोसियों का कोई जालक: स्वतःस्फूर्त चुंबकन — अर्थात् लौहचुंबकत्व। (ग) $J/k_{\text{B}} \approx 1200\,\mathrm{K}$ : लोहे का $1043\,\mathrm{K}$ ठीक इसी पैमाने का है। (घ) द्विध्रुव–द्विध्रुव चुंबकत्व $10^{-4}$ eV का है: वह मिलिकेल्विन पर क्रमित होता। लौहचुंबकत्व कूलॉम प्रतिकर्षण है, जो विनिमय-ज्यामिति के ज़रिए चक्रण-विन्यास चुनता है।

14.6 समस्या: आवर्त सारणी का तर्क

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — तीन क्वांटम नियम पूरा रसायन गढ़ते हैं

किसी भौतिकीविद् को हाइड्रोजन कक्षक $(n, l, m)$ , इलेक्ट्रॉन का चक्रण और पाउली का सिद्धांत थमा दीजिए, और आवर्त सारणी निकल आती है — आवर्त, कुल, आकार, आयनन ऊर्जाओं की ज़िगज़ैग, यहाँ तक कि सोने का रंग भी। यह समस्या उसे गढ़ती है। आँकड़े: हाइड्रोजन-सदृश स्तर $-13.6\,Z_{\text{प्र}}^2/n^2$ eV; मापी गई प्रथम आयनन ऊर्जाएँ (eV): H $13.6$ , He $24.6$ , Li $5.4$ , Be $9.3$ , B $8.3$ , C $11.3$ , N $14.5$ , O $13.6$ , F $17.4$ , Ne $21.6$ , Na $5.1$ ।

भाग I — तीन नियम।

तीन सामग्रियाँ बताइए: कक्षक-सूची $(n, l, m)$ अपनी अपह्रासिताओं के साथ, चक्रण से दुगुनापन, और अपवर्जन सिद्धांत। $n = 1$ , $2$ , $3$ में कितने इलेक्ट्रॉन समाते हैं?
बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में उपकोशों का ऊर्जा-क्रम हाइड्रोजन के विशुद्ध- $n$ क्रम से भिन्न क्यों होता है (भेदन और परिरक्षण याद कीजिए, अभ्यास 11.8)?
$4s$ और $3d$ तक भरने का क्रम लिखिए, और Na ( $Z = 11$ ), Cl ( $17$ ), K ( $19$ ), Fe ( $26$ ) के विन्यास दीजिए।
पंक्तियों की लंबाई: सारणी के पहले चार आवर्तों के प्रेक्षित $2, 8, 8, 18$ को भरने के क्रम से समझाइए (तीसरी पंक्ति 8 क्यों है, 18 क्यों नहीं?)।
कौन-सा एक लक्षण उत्कृष्ट गैसों को रासायनिक रूप से मौन बना देता है?
किसी संयोजी इलेक्ट्रॉन को दिखने वाला प्रभावी आवेश $Z_{\text{प्र}}$ परिभाषित कीजिए, और समझाइए कि वह सोडियम के बाहरी इलेक्ट्रॉन के लिए मोटे तौर पर $1$ क्यों है, जबकि हीलियम के इलेक्ट्रॉन प्रत्येक लगभग पूरा $Z = 2$ देखते हैं, एक-दूसरे के परिरक्षण का एक अंश घटाकर।

भाग II — दूसरी पंक्ति पढ़ना।

आँकड़ों से: आयनन ऊर्जा Li से Ne तक चढ़ती है, पर B और O पर झुक जाती है: दोनों झुकाव पहचानिए।
बोरॉन का झुकाव समझाइए (B पर कौन-सा उपकोश खुलता है, और $2p$ को थामना $2s$ से महँगा क्यों है?)।
ऑक्सीजन का झुकाव समझाइए (ऑक्सीजन के दो $2p$ इलेक्ट्रॉनों को पहली बार क्या करना पड़ता है, और किस नियम का आराम छिन जाता है?)।
हीलियम की आयनन ऊर्जा का भोला आकलन $13.6 \times Z^2 = 54.4\,\mathrm{eV}$ कीजिए: मापा गया $24.6\,\mathrm{eV}$ इतना छोटा क्यों है, और अनुरूपण आपको कौन-सी संख्या $Z_{\text{प्र}} \approx 1.34$ बता रहा है?
लीथियम का $5.4\,\mathrm{eV}$ हाइड्रोजन के $13.6\,\mathrm{eV}$ के सामने: कौन-से दो प्रभाव (परिरक्षण; बड़ा $n$ ) मिलकर काम करते हैं?
किसी पंक्ति में बाएँ से दाएँ परमाणविक आकार क्यों सिकुड़ता है (Li $\to$ Ne), जबकि इलेक्ट्रॉन जोड़े जा रहे हैं?

भाग III — कुल और बंध।

क्षार धातुएँ: किसी उत्कृष्ट क्रोड के ऊपर एक $s$ इलेक्ट्रॉन — विन्यास से उनके कुल-लक्षण (कम आयनन, $+1$ आयन, जल के साथ प्रचंड रसायन) व्युत्पन्न कीजिए।
हैलोजन: किसी $p$ कोश में एक विवर — उनके लक्षण व्युत्पन्न कीजिए (इलेक्ट्रॉन बंधुता, $-1$ आयन, द्विपरमाणुक अणु)।
कार्बन के चार: कोई $2s^22p^2$ परमाणु व्यवहार में चतुःसंयोजी क्यों है (कौन-सी निकट-अपह्रासिता उसे पदोन्नति और संकरण करने देती है — उदाहरण 13.4 के स्टार्क संकर याद कीजिए)?
उदाहरण 14.8 का उपयोग कीजिए: दो बंद-कोश परमाणु (दो हीलियम) कोई सहसंयोजी बंध क्यों नहीं बनाते?
संक्रमण धातुएँ: $4s$ / $3d$ निकट-अपह्रासिता एक-सी रसायन वाले दस स्तंभ बना देती है: किसी भीतरी $d$ कोश को भरने से रसायन इतना कम क्यों बदलता है?
केवल विन्यासों से भविष्यवाणी कीजिए कि K, Ca, Sc में से कौन पहले चुंबकत्व-योग्य अयुग्मित $d$ इलेक्ट्रॉन दिखाता है।

भाग IV — अंगूठे के नियमों से आगे।

हुंड का नियम नाइट्रोजन को तीन समांतर $2p$ चक्रण देता है: यह कौन-सा मापनीय परमाणविक गुण (उसका चुंबकीय आघूर्ण) तय करता है, और इसी अध्याय की कौन-सी क्रियाविधि उस संरेखण की कीमत चुकाती है?
सारणी का अस्तित्व ही इलेक्ट्रॉनों की कठोर सर्वसमता माँगता है: “थोड़े-से विभेद्य” इलेक्ट्रॉन पाउली के सिद्धांत और कोश-बंदी का क्या हाल करते?
भारी परमाणुओं में भीतरी इलेक्ट्रॉन $Z\alpha c$ से चलते हैं: सोने ( $Z = 79$ ) के लिए $v/c$ का आकलन $1s$ युग्म हेतु कीजिए, और गुणात्मक रूप से बताइए कि आपेक्षिकता $6s$ कक्षक की ऊर्जा का क्या करती है — सोने के रंग और पारे की तरलता की मान्य व्याख्या।
$4s$ उपकोश $3d$ से पहले भरता है, फिर भी संक्रमण धातुओं में पहले आयनित होता है, और क्रोमियम तथा ताँबा एक $s$ इलेक्ट्रॉन उधार लेकर $3d^5$ और $3d^{10}$ तक पहुँचते हैं: ये विसंगतियाँ दोनों उपकोशों की ऊर्जाओं की निकटता के बारे में क्या कहती हैं?
किसी तत्त्व के दो समस्थानिक रासायनिक रूप से लगभग सर्वसम होते हैं: तीन नियमों से बताइए कि रसायन केवल $Z$ की परवाह क्यों करता है और नाभिक के द्रव्यमान की लगभग बिलकुल नहीं?
सातवाँ आवर्त $Z \approx 118$ के पास समाप्त होता है और अतिभारी रसायन सारणी के भोले स्तंभ-तर्क से हट जाता है: दोनों प्रतिस्पर्धी पैमाने बताइए (कोश-संरचना बनाम बड़े $Z$ पर आपेक्षिकीय और कूलॉम प्रभाव)।
नामित परिणाम का सार दीजिए: कक्षकों की एक सूची, चक्रण से एक दुगुनापन, एक ऋण चिह्न — और नतीजा है आवर्त नियम: पंक्तियाँ $2, 8, 8, 18$ , B और O पर झुकाव, क्रियाशीलों और उत्कृष्टों के कुल, और यह सब $5.1\,\mathrm{eV}$ (Na) से $24.6\,\mathrm{eV}$ (He) तक की आयनन-सीढ़ी में मापा हुआ।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. कक्षक $(n, l, m)$ , जिनमें $n^2$ प्रति $n$ ; चक्रण दुगुना करता है; और पाउली प्रति पूर्ण नामपत्र एक इलेक्ट्रॉन की सीमा बाँधता है: $2$ , $8$ , $18$ । 2. भीतरी इलेक्ट्रॉन नाभिक को भिन्न $l$ के लिए भिन्न ढंग से परिरक्षित करते हैं: भेदक $s$ कक्षक कम भेदक $p$ और $d$ से नीचे बैठ जाते हैं — ऊर्जा-क्रम $(n, l)$ का अनुसरण करता है, अकेले $n$ का नहीं। 3. क्रम $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\,3d$ ; Na: [Ne] $3s^1$ ; Cl: [Ne] $3s^23p^5$ ; K: [Ar] $4s^1$ ; Fe: [Ar] $4s^23d^6$ । 4. पंक्तियाँ हर उत्कृष्ट विन्यास पर बंद होती हैं: $2$ ( $1s$ ), $8$ ( $2s2p$ ), फिर $8$ ( $3s3p$ — क्योंकि $3d$ $4s$ से ऊपर पड़ता है और प्रतीक्षा करता है), फिर $18$ ( $4s3d4p$ )। 5. एक बंद कोश: अगले कक्षक तक बड़ा अंतराल, देने के लिए कोई सस्ता इलेक्ट्रॉन नहीं, लेने के लिए कोई जगह नहीं। 6. $Z_{\text{प्र}}$ नाभिकीय आवेश में से भीतरी (और आंशिक रूप से, उसी कोश के) इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण घटाकर मिलता है: सोडियम का संयोजी इलेक्ट्रॉन $11 - 10 \approx 1$ देखता है; और हीलियम के दोनों नंगे $Z = 2$ को बाँटते हैं, प्रत्येक दूसरे को केवल एक तिहाई परिरक्षित करता है। 7. Li $\to$ Be तक चढ़ती है, B पर गिरती है; N $\to$ O पर गिरती है: यही दोनों झुकाव। 8. बोरॉन $2p$ खोलता है, जो $2s$ से ऊँचा और कम भेदक है: उसका नया इलेक्ट्रॉन बस हटाने में आसान है। 9. ऑक्सीजन को पहली बार एक ही $p$ कक्षक में दो इलेक्ट्रॉन युग्मित करने पड़ते हैं: अतिरिक्त प्रतिकर्षण, खोया हुआ विनिमय-स्थायित्व — चौथे $2p$ इलेक्ट्रॉन पर छूट लग जाती है। 10. हर इलेक्ट्रॉन दूसरे को अपूर्ण रूप से परिरक्षित करता है: अनुरूपण $24.6 = 13.6\,Z_{\text{प्र}}^2$ देता है $Z_{\text{प्र}} = 1.34$ — अर्थात् दो-तिहाई आवेश परिरक्षित। 11. लगभग पूरा क्रोड-परिरक्षण ( $Z_{\text{प्र}} \approx 1.3$ ) और बाहरी इलेक्ट्रॉन का $n = 2$ : दोनों बंधन-ऊर्जा घटा देते हैं। 12. जुड़ते इलेक्ट्रॉन उसी कोश में जाते हैं और एक-दूसरे को खराब परिरक्षित करते हैं, जबकि $Z$ चढ़ता है: $Z_{\text{प्र}}$ बढ़ता है और पूरा कोश सिकुड़ जाता है — नियॉन लीथियम से छोटा है। 13. किसी उत्कृष्ट क्रोड के ऊपर एक सस्ता $s$ इलेक्ट्रॉन: आयनन $\sim5\,\mathrm{eV}$ , तत्काल $+1$ आयन, प्रचंड इलेक्ट्रॉन-दान — कुल-लक्षण एक ही विन्यास हैं। 14. किसी $p^6$ बंदी में एक विवर: विशाल इलेक्ट्रॉन बंधुता, $-1$ आयन, और विवरों का युग्मन X $_2$ अणुओं में। 15. $2s$ और $2p$ पास-पास पड़ते हैं: $2s^22p^2 \to$ चार अर्ध-भरे संकरों तक पदोन्नति कम लागत की है और दो अतिरिक्त बंध खरीद देती है — कार्बन की चतुःसंयोजकता एक भुनाई गई निकट-अपह्रासिता है। 16. चार इलेक्ट्रॉनों के साथ बंधक और प्रतिबंधक दोनों संयोजन भर जाते हैं: लाभ कट जाते हैं, कोई सहसंयोजी बंध नहीं — हीलियम अकेला ही रहता है। 17. $d$ इलेक्ट्रॉन स्वयं को $4s$ की खाल के भीतर गाड़ लेते हैं: बाहरी रसायन, जिसे $s$ कोश तय करता है, दस तत्त्वों में बहुत कम बदलता है — एक रासायनिक पठार। 18. स्कैंडियम, [Ar] $4s^23d^1$ : पहला अयुग्मित $d$ इलेक्ट्रॉन। 19. तीन संरेखित चक्रणों का एक चुंबकीय आघूर्ण ( $\sim3\mu_{\text{B}}$ ); और उस संरेखण की कीमत विनिमय चुकाता है — कूलॉम बचत, चुंबकीय बल नहीं। 20. थोड़े-से विभेद्य इलेक्ट्रॉन सब के सब $1s$ की ओर भीड़ लगा सकते (सममितीकृत अवस्थाओं का ठीक-ठीक कटाव न होने से): कोश रिसने लगते, बंदियाँ धुँधली पड़तीं, और आवर्त नियम घुल जाता। 21. $v/c \approx Z\alpha = 0.58$ : आपेक्षिकीय द्रव्यमान-वृद्धि $6s$ कक्षक को सिकोड़कर स्थायी बनाती है; सोने का $5d \to 6s$ अवशोषण नीले में सरक जाता है (और परावर्तित पीला छोड़ देता है), तथा पारे का कसा हुआ $6s^2$ युग्म इतना कमज़ोर बंध बनाता है कि वह धातु द्रव है। 22. वे लगभग बराबर चलती हैं: अधिभोग पर निर्भर क्रम, $4s$ का पहले आयनित होना, और Cr तथा Cu की $3d^5$ / $3d^{10}$ उधारियाँ — अर्ध-भरे और भरे उपकोश विनिमय-स्थायित्व सस्ते में खरीद लेते हैं। 23. रसायन इलेक्ट्रॉनों का मामला है, और इलेक्ट्रॉन केवल नाभिकीय आवेश अनुभव करते हैं: द्रव्यमान बस नन्हे कंपन (समस्थानिक) खिसकावों से भीतर आता है। 24. कोश-संरचना (जो उत्कृष्ट-गैस तर्क का पक्ष लेती है) बनाम आपेक्षिकीय स्थायीकरण और $Z\alpha \to 1$ पर निरा कूलॉम तनाव: अतिभारी रसायन उन्हीं की रस्साकशी है। 25. कक्षकों की एक सूची, एक दुगुनापन, एक ऋण चिह्न: पंक्तियाँ $2, 8, 8, 18$ , बोरॉन और ऑक्सीजन पर झुकाव, क्षार से उत्कृष्ट तक के कुल, $5.1\,\mathrm{eV}$ से $24.6\,\mathrm{eV}$ तक की आयनन-सीढ़ी — आवर्त नियम व्युत्पन्न हुआ, रटा नहीं गया।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

विनिमय

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