विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

25नाभिकीय भौतिकी

विद्यालय के खंड ने कहानी की रूपरेखा बता दी थी: परमाणुओं में नाभिक होते हैं; कुछ नाभिक भरभराकर गिर जाते हैं, और वह भी माइक्रोसेकंडों से अरबों वर्षों तक फैली समय-सारणियों पर; और पदार्थ के ग्राम अपने भीतर मेगाटन ऊर्जा छिपाए रहते हैं। यह अध्याय वर्ष 3 के औज़ारों के साथ नाभिक को फिर से खोलता है। पाँच पदों वाला एक बूँद-प्रतिरूप सैकड़ों न्यूक्लाइडों का बंधन प्रतिशत भर की परिशुद्धि से बता देता है; क्वांटम सुरंगन — यानी वर्ष 2 के खंड की रोधिका-समस्या, पदोन्नत — समझा देता है कि एक ही सूत्र $\alpha$ -क्षय के जीवनकालों की पच्चीस कोटियों पर कैसे फैल जाता है; और बंधन-ऊर्जा वक्र का लोहे पर बना वह चुप्पा अधिकतम पूरी नाभिकीय प्रौद्योगिकी को दो खेमों में बाँट देता है: भारी को तोड़िए (रिएक्टर) या हलके को जोड़िए (तारे, और किसी दिन बिजलीघर)। अध्याय किसी रिएक्टर-कुंड के किनारे समाप्त होता है, जो चेरेनकोव नीले रंग में दहक रहा है।

25.1 नाभिक: एक संतृप्त बूँद

परिभाषा 25.1 (न्यूक्लाइड, आकार, और घनत्व)

कोई न्यूक्लाइड $^{A}_{Z}\text{X}$ $Z$ प्रोटॉन और $N = A - Z$ न्यूट्रॉन रखता है, जो प्रबल अन्योन्यक्रिया से बँधे हैं: वह तीव्र है (संपर्क पर कूलॉम का ${\sim}100\,\times$ ), लघु-परास ( ${\sim}1\,\mathrm{fm}$ , केवल छूते पड़ोसी ही उसे अनुभव करते हैं), और आवेश-अंधी (वह प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, दोनों को एक-सा पकड़ती है)। प्रकीर्णन प्रयोग हर नाभिक को वही एक नुस्खा देते हैं: त्रिज्या

R = r_0A^{1/3} , \qquad r_0 \approx 1.2\,\mathrm{fm} ,

अतः आयतन $A$ की तरह बढ़ता है और घनत्व एक सार्वभौमिक $\rho \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ है — उसकी एक बूँद टैंकरों के बेड़े जितनी भारी होगी, और अध्याय 27 इसी घनत्व पर पूरे तारे से मिलेगा। समस्थानिक $Z$ साझा करते हैं पर $N$ में भिन्न होते हैं: वही रसायन, भिन्न नाभिकीय नियति।

प्रतिज्ञप्ति 25.2 (द्रव्यमान क्षति और बंधन ऊर्जा)

कोई बद्ध नाभिक अपने अंगों से कम भारी होता है; और अध्याय 5 के अनुसार वह लापता द्रव्यमान ही बंधन ऊर्जा है,

B = \big(Zm_{\text{p}} + Nm_{\text{n}} - m_{\text{नाभिक}}\big)c^2 ,

यानी प्रायः प्रति न्यूक्लिऑन ${\sim}8\,\mathrm{MeV}$ — रसायन का दस लाख गुना। प्रति न्यूक्लिऑन आलेखित करने पर $B/A$ हलके नाभिकों में तेज़ी से चढ़ता है (पृष्ठ-प्रभाव फीके पड़ जाते हैं), लोहा-56 के पास $\approx8.8\,\mathrm{MeV}$ पर शिखर बनाता है, और फिर नीचे बहने लगता है, क्योंकि कूलॉम प्रतिकर्षण, जो लंबी-परास का और असंतृप्त है, भारी वालों पर कर लगाता है। दोनों ढलानें ऊर्जा की खानें हैं: संलयन बाईं ढलान चढ़ता है (सूर्य का कारोबार), और विखंडन दाईं ढलान से लुढ़कता है (रिएक्टर का) — जबकि लोहा, चोटी पर, दोनों के लिए नाभिकीय राख है।

बंधन-ऊर्जा वक्र — शायद भौतिकी का सबसे परिणामदायी आलेख। हलके नाभिक जुड़कर कमाते हैं, और भारी टूटकर; प्रति किलोग्राम बाईं ढलान लगभग चार गुना बेहतर चुकाती है, और सूर्य उसी पर बैठा है।

प्रतिज्ञप्ति 25.3 (अर्ध-आनुभविक द्रव्यमान सूत्र)

नाभिक का प्रतिरूप किसी आवेशित द्रव-बूँद से बनाइए, और पूरा वक्र पाँच पदों से निकल आता है:

B = a_{\text{V}}A - a_{\text{S}}A^{2/3} - a_{\text{C}}\frac{Z^2}{A^{1/3}} - a_{\text{A}}\frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A) ,

जहाँ ( $\mathrm{MeV}$ में) $a_{\text{V}} = 15.8$ (हर न्यूक्लिऑन अपने पड़ोसियों से बँधता है: आयतन), $a_{\text{S}} = 17.8$ (पृष्ठ के न्यूक्लिऑन कम बँधते हैं: बूँद का “पृष्ठ तनाव”), $a_{\text{C}} = 0.71$ (कूलॉम, वह लंबी-परास वाला तोड़फोड़िया), $a_{\text{A}} = 23.7$ (असममिति: अध्याय 19 के अनुसार प्रोटॉन और न्यूट्रॉन दो अलग फ़र्मी सीढ़ियाँ भरते हैं, और सबसे सस्ता तब जब दोनों बराबर भरी हों), और $\delta$ सम संख्याओं के लिए एक छोटा युग्मन-बोनस (अध्याय 14)। स्थिर $A$ पर न्यूनतम करने से स्थायित्व की घाटी खिंच आती है: हलके नाभिकों के लिए $N \approx Z$ , जो न्यूट्रॉन-धनी की ओर मुड़ती जाती है ( $N/Z \to 1.5$ ), क्योंकि कूलॉम प्रोटॉनों को दंडित करता है — और घाटी से बाहर के न्यूक्लाइड $\beta$ क्षय से उसमें लौट आते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

स्थायित्व की घाटी। हलके नाभिक अपनी दोनों फ़र्मी सीढ़ियाँ संतुलित रखते हैं (N = Z); और भारी अपने कूलॉम बिल को अतिरिक्त न्यूट्रॉनों से पतला करते हैं। घाटी के तल से बाहर पड़ा कोई न्यूक्लाइड -क्षय करके उसकी ओर लौटता है — और विखंडन-खंड, जो उस रेखा से बहुत ऊपर जन्मते हैं, ठीक इसी कारण उग्र रूप से रेडियोसक्रिय होते हैं। — स्थायित्व की घाटी। हलके नाभिक अपनी दोनों फ़र्मी सीढ़ियाँ संतुलित रखते हैं ( $N = Z$ ); और भारी अपने कूलॉम बिल को अतिरिक्त न्यूट्रॉनों से पतला करते हैं। घाटी के तल से बाहर पड़ा कोई न्यूक्लाइड $\beta$ -क्षय करके उसकी ओर लौटता है — और विखंडन-खंड, जो उस रेखा से बहुत ऊपर जन्मते हैं, ठीक इसी कारण उग्र रूप से रेडियोसक्रिय होते हैं।

25.2 रेडियोसक्रियता, घड़ी के हिसाब से

प्रमेय 25.4 (क्षय का नियम)

किसी अस्थायी नाभिक की न स्मृति होती है न बुढ़ापा: वह जितने भी सेकंड जीता है, हर सेकंड उसी प्रायिकता $\lambda$ से क्षय करता है। $N$ नाभिकों के लिए $\dd N = -\lambda N\,\dd t$ , अतः

N(t) = N_0\,\eu^{-\lambda t} = N_0\,2^{-t/T_{1/2}} , \qquad T_{1/2} = \frac{\ln2}{\lambda} ,

और सक्रियता $\mathcal A = \lambda N$ (प्रति सेकंड क्षय, $\mathrm{Bq}$ ) उसी चरघातांकी पर फीकी पड़ती है। अर्ध-आयु माइक्रोसेकंडों से अरबों वर्षों तक चलती हैं; और अध्याय 16 की सांख्यिकी इसकी गारंटी देती है कि जहाँ कोई एक नाभिक पूर्णतः अप्रत्याशित है, वहीं उनका एक मोल किसी भी घड़ी से बेहतर चरघातांकी समय रखता है — और यही रेडियोमितीय काल-निर्धारण की नींव है।

उपपत्ति. प्रति सेकंड अचर प्रायिकता का अर्थ है $N(t + \dd t) = N(t)(1 - \lambda\dd t)$ ; अब समाकलित कीजिए। और $N/N_0 = \tfrac12$ रखने पर $T_{1/2}$ मिलता है। ∎

चरघातांकी क्षय: व्यक्ति स्मृतिहीन, जनसंख्या समयनिष्ठ। दो अर्ध-आयु एक चौथाई छोड़ जाती हैं; और दस एक हज़ारवाँ — वही मापपट्टी, जिससे भौतिकीविद् कोयला, हिमनद और पृथ्वी, सबकी आयु निकालते हैं।

टिप्पणी 25.5 (नाभिक से बाहर के तीन दरवाज़े)

$\boldsymbol\alpha$ : कोई भारी नाभिक $^4$ He का गुच्छा उत्सर्जित करता है। चिरसम्मत ढंग से यह असंभव है — कूलॉम रोधिका $25\,\mathrm{MeV}$ तक चढ़ती है और वह $\alpha$ $5\,$ – $9\,\mathrm{MeV}$ लेकर निकलता है — पर यह सुरंगन से होता है (वर्ष 2 के खंड की रोधिका, मुड़ी हुई): गामो की चरघातांकी संवेदनशीलता ऊर्जा के दो गुने को जीवनकाल की बीस कोटियों में बदल देती है, और यही ठीक गाइगर–नटॉल प्रतिरूप है (अभ्यास 25.8)। $\boldsymbol\beta$ : कोई न्यूट्रॉन प्रोटॉन बन जाता है (या उलटा), और एक इलेक्ट्रॉन (या पॉज़िट्रॉन) तथा एक न्यूट्रिनो उत्सर्जित करता है — यानी दुर्बल अन्योन्यक्रिया काम पर, यानी घाटी लौटाने वाला बल; और न्यूट्रिनो की कहानी अध्याय 26 की प्रतीक्षा करती है। $\boldsymbol\gamma$ : कोई उत्तेजित नाभिक $\mathrm{MeV}$ के फ़ोटॉन झाड़ देता है, जो अध्याय 11 की वर्णक्रमीय रेखाओं का नाभिकीय समरूप है। क्षय तब तक शृंखला में चलते हैं जब तक घाटी का तल न आ जाए: यूरेनियम की सीढ़ी चौदह पायदान बाद स्थायी सीसे पर समाप्त होती है।

25.3 ढलानों से नीचे: विखंडन और संलयन

प्रतिज्ञप्ति 25.6 (विखंडन और शृंखला अभिक्रिया)

$^{235}$ U द्वारा सोखा गया कोई धीमा न्यूट्रॉन एक डगमगाती बूँद बना देता है, जो टूट जाती है: दो मध्य-द्रव्यमान खंड, दो-तीन ताज़े न्यूट्रॉन, और $\approx200\,\mathrm{MeV}$ — यानी यूरेनियम की $7.6\,\mathrm{MeV}$ और खंडों की $8.5\,\mathrm{MeV}$ के बीच का $B/A$ अंतर, गुणा 235। मुक्त हुए न्यूट्रॉन और नाभिकों का विखंडन कर सकते हैं: गुणन गुणक $k$ (एक पीढ़ी बाद प्रति न्यूट्रॉन कितने न्यूट्रॉन) के साथ कोई जनसंख्या $k^n$ की तरह बढ़ती है — अवक्रांतिक ( $k < 1$ ) बुझ जाती है, क्रांतिक ( $k = 1$ ) स्थिर रहती है, और अतिक्रांतिक फट पड़ती है। कोई रिएक्टर न्यूट्रॉनों को धीमी चालों तक मंदित करता है (विखंडन का पसंदीदा भोजन), उन 0.7 % न्यूट्रॉनों पर टिकता है जो खंडों के क्षय से सेकंडों देर से आते हैं — वही देरी, जो $k \approx 1$ को मनुष्य के लिए समायोज्य बना देती है — और नियंत्रण छड़ों को अतिरेक खाने देता है (समस्या 25.1)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

द्रव-बूँद विखंडन: कोई धीमा न्यूट्रॉन 235U को डगमगा देता है; उस विरूपित बूँद का कूलॉम प्रतिकर्षण उसके पृष्ठ तनाव पर भारी पड़ता है, और वह न्यूट्रॉन-धनी खंडों में चिर जाती है, साथ में वे फ़ालतू न्यूट्रॉन भी जो कोई शृंखला संभव बनाते हैं। — द्रव-बूँद विखंडन: कोई धीमा न्यूट्रॉन $^{235}$ U को डगमगा देता है; उस विरूपित बूँद का कूलॉम प्रतिकर्षण उसके पृष्ठ तनाव पर भारी पड़ता है, और वह न्यूट्रॉन-धनी खंडों में चिर जाती है, साथ में वे फ़ालतू न्यूट्रॉन भी जो कोई शृंखला संभव बनाते हैं।

टिप्पणी 25.7 (संलयन: कठिन, पर बेहतर ढलान)

हलके नाभिकों को जोड़ना भारी नाभिकों को तोड़ने से प्रति किलोग्राम $\sim4\times$ अधिक चुकाता है, और उसमें कोई दीर्घजीवी खंड भी नहीं — पर दोनों अभिकारक, जो धन आवेशित हैं, अपनी परस्पर कूलॉम रोधिका में सुरंग बनाकर निकलें, इसके लिए $10^7$ – $10^8\,\mathrm{K}$ के ताप चाहिए (अभ्यास 25.11)। तारे इसे विशाल होकर कर लेते हैं (अध्याय 27: सूर्य हर सेकंड $600\,$ लाख टन हाइड्रोजन को हीलियम में बदलता है); और प्रयोगशालाएँ इसे चुंबकीय बोतलों में बंद प्लाज़्मा से करती हैं, जिनका ऊर्जा-बहीखाता अब तक अपनी बराबरी की महत्वाकांक्षाओं से कुछ पीछे ही है।

मारी क्यूरी (छायाचित्र: आँरी मानुएल, लगभग 1920, सार्वजनिक डोमेन): इस अध्याय का विषय खोलने के लिए दो बार की नोबेल विजेता — वाला रेडियम का ग्राम उन्हीं का था। — मारी क्यूरी (छायाचित्र: आँरी मानुएल, लगभग 1920, सार्वजनिक डोमेन): इस अध्याय का विषय खोलने के लिए दो बार की नोबेल विजेता — अभ्यास 25.4 वाला रेडियम का ग्राम उन्हीं का था।

25.4 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

हिसाब-किताब। (क) $Z$ , $N$ , $A$ दीजिए, $^{12}$ C, $^{14}$ C, $^{235}$ U, $^{238}$ U के लिए। (ख) कौन-से जोड़े समस्थानिक हैं? (ग) समस्थानिक रसायन तो साझा करते हैं, पर नाभिकीय स्थायित्व क्यों नहीं? (घ) $^{14}$ C और $^{14}$ N $A = 14$ साझा करते हैं: ऐसे न्यूक्लाइड क्या कहलाते हैं, और कौन-सा क्षय उन्हें जोड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 25.1.

(क) $^{12}$ C: $6, 6, 12$ ; $^{14}$ C: $6, 8, 14$ ; $^{235}$ U: $92, 143, 235$ ; $^{238}$ U: $92, 146, 238$ । (ख) दोनों कार्बन; और दोनों यूरेनियम। (ग) रसायन इलेक्ट्रॉन-मेघ है, जिसे $Z$ तय करता है; जबकि स्थायित्व भीतर का $N$ – $Z$ संतुलन है। (घ) समभारिक — जो $\beta^-$ क्षय से जुड़े हैं: $^{14}\text{C} \to {}^{14}\text{N} + \text{e}^- + \bar\nu$ , यानी रेडियोकार्बन घड़ी की टिक।

अभ्यास 25.2 ★

सार्वभौमिक घनत्व। (क) $R = r_0A^{1/3}$ से दिखाइए कि नाभिकीय घनत्व $A$ से स्वतंत्र है, और उसका मान निकालिए। (ख) नाभिकीय पदार्थ की एक चम्मच ( $5\,\mathrm{mL}$ ) का द्रव्यमान निकालिए। (ग) किसी परमाणु के आयतन का कितना अंश उसका नाभिक भरता है (लीजिए $R_{\text{परमाणु}} = 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $A = 60$ )? (घ) स्वयं $A^{1/3}$ नियम प्रबल बल की परास के बारे में क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 25.2.

(क) $\rho = Am_{\text{u}}/\tfrac43\pi r_0^3A = 3m_{\text{u}}/4\pi r_0^3 \approx 2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $A$ कट जाता है। (ख) $5\,\mathrm{mL} \to 1.2 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ — यानी एक चम्मच में एक अरब टन। (ग) $(R/R_{\text{परमाणु}})^3 \approx (4.7\times10^{-5})^3 \approx 10^{-13}$ : परमाणु खाली समष्टि है, जिसमें एक भारी कण है। (घ) आयतन $\propto A$ का अर्थ है कि हर न्यूक्लिऑन नियत जगह घेरता है और केवल अपने छूते पड़ोसियों से बँधता है: वह बल $\mathrm{fm}$ की परास पर संतृप्त हो जाता है।

अभ्यास 25.3 ★

गोंद को तौलना। नाभिकीय द्रव्यमान: $m_{\text{p}} = 1.007\,276\,\mathrm{u}$ , $m_{\text{n}} = 1.008\,665\,\mathrm{u}$ , $m(^4\text{He}) = 4.001\,506\,\mathrm{u}$ ; $1\,\mathrm{u}\,c^2 = 931.5\,\mathrm{MeV}$ । (क) $^4$ He की द्रव्यमान क्षति और बंधन ऊर्जा निकालिए। (ख) $B/A$ दीजिए। (ग) $B$ की तुलना अध्याय 11 की $13.6\,\mathrm{eV}$ से कीजिए: नाभिकीय और परमाणविक गोंद के बीच कितनी कोटियाँ हैं? (घ) $^4$ He का असाधारण बंधन (चित्र वाली शलाका) उसे $\alpha$ क्षय की मुद्रा क्यों बना देता है?

हल

हल — अभ्यास 25.3.

(क) $\Delta m = 2(1.007276 + 1.008665) - 4.001506 = 0.030\,376\,\mathrm{u}$ : $B = 28.3\,\mathrm{MeV}$ । (ख) $B/A = 7.07\,\mathrm{MeV}$ । (ग) $28.3\,\text{MeV}/13.6\,\text{eV} \approx 2\times10^6$ : छह कोटियाँ — और इसीलिए नाभिकीय ईंधन रासायनिक ईंधन से दस लाख गुना बेहतर है। (घ) वह $\alpha$ पहले से जुड़ा हुआ, असाधारण रूप से सस्ता पुलिंदा है: उसे उत्सर्जित करने का अर्थ है चार न्यूक्लिऑनों को $28.3\,\mathrm{MeV}$ की रियायत पर बाहर भेजना, जिसकी बराबरी कोई अकेला न्यूक्लिऑन नहीं कर सकता।

अभ्यास 25.4 ★

पहला क्यूरी। रेडियम-226: $T_{1/2} = 1600$ वर्ष, मोलर द्रव्यमान $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ । एक ग्राम के लिए: (क) नाभिक गिनिए; (ख) $\lambda$ निकालिए; (ग) सक्रियता निकालिए और ऐतिहासिक इकाई $1\,\text{Ci} = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ से तुलिए (जो ठीक इसी ग्राम से परिभाषित हुई थी); (घ) 4800 वर्ष बाद उस ग्राम का कितना बचता है?

हल

हल — अभ्यास 25.4.

(क) $N = N_{\text{A}}/226 = 2.66 \times 10^{21}\,$ । (ख) $\lambda = \ln2/(1600\times3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ । (ग) $\mathcal A = \lambda N = 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ : यानी एक क्यूरी, रचना से ही — क्यूरी दंपती का अपना ग्राम। (घ) तीन अर्ध-आयु: रेडियम का $0.125\,\mathrm{g}$ (और बाकी अब रेडॉन तथा उसकी संतानें, सीसे की ओर कूच करती हुईं)।

अभ्यास 25.5 ★★

सूत्र काम पर। $a_{\text{V}} = 15.75$ , $a_{\text{S}} = 17.8$ , $a_{\text{C}} = 0.711$ , $a_{\text{A}} = 23.7$ ( $\mathrm{MeV}$ ) और सम–सम नाभिकों के लिए युग्मन $+12/\sqrt A$ के साथ: (क) $B$ के चारों मुख्य पद निकालिए, $^{56}$ Fe ( $Z = 26$ ) के लिए। (ख) (युग्मन सहित) जोड़िए और $B/A$ की तुलना मापे गए $8.79\,\mathrm{MeV}$ से कीजिए। (ग) कौन-से दो पद सबसे कड़ी लड़ाई लड़ते हैं, और उनका संतुलन क्या तय करता है? (घ) अकेले कूलॉम पद को $A$ से तेज़ क्यों बढ़ना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 25.5.

(क) आयतन $+882$ ; पृष्ठ $-261$ ; कूलॉम $-0.711\times676/3.83 = -126$ ; असममिति $-23.7\times16/56 = -6.8$ ( $\mathrm{MeV}$ )। (ख) युग्मन $+12/\sqrt{56} = +1.6$ के साथ: $B \approx 490\,\mathrm{MeV}$ , $B/A = 8.76$ , जबकि मापा गया $8.79$ — यानी किसी द्रव-बूँद से तीन प्रति हज़ार की चूक। (ग) आयतन बनाम पृष्ठ $+$ कूलॉम: उनकी वृद्धि-दरों का कटान ही लोहे पर वह अधिकतम तराशता है। (घ) कूलॉम लंबी-परास का है: हर प्रोटॉन हर दूसरे को प्रतिकर्षित करता है, $\propto Z^2$ , जबकि संतृप्त होता प्रबल बल कभी भी केवल $\propto A$ चुकाता है — और यही भारी नाभिकों की अंततः हार है।

अभ्यास 25.6 ★★

घाटी का तल। (क) केवल $Z$ -निर्भर पद रखकर स्थिर $A$ पर द्रव्यमान न्यूनतम कीजिए और व्युत्पन्न कीजिए $Z^* = \dfrac{A/2}{1 + a_{\text{C}}A^{2/3}/4a_{\text{A}}}$ । (ख) $A = 101$ के लिए मान निकालिए और रुथेनियम ( $Z = 44$ ) से तुलिए। (ग) दिखाइए कि हलके- $A$ की सीमा $Z^* = A/2$ है और उसे दोनों फ़र्मी सीढ़ियों से समझाइए। (घ) किसी विखंडन-खंड का $A = 95$ , $Z = 36$ है: वह घाटी से कितना दूर है, और उसके बाद क्षयों का कौन-सा क्रम आता है?

हल

हल — अभ्यास 25.6.

(क) कूलॉम और असममिति पदों का $\partial/\partial Z$ $2a_{\text{C}}Z/A^{1/3} = 4a_{\text{A}}(A - 2Z)/A$ देता है; अब हल कीजिए। (ख) $Z^* = 50.5/1.163 = 43.4$ : और $A = 101$ पर प्रकृति का चुनाव रुथेनियम है, $Z = 44$ । (ग) कूलॉम के बिना $Z^* = A/2$ : दो फ़र्मी सीढ़ियाँ (अध्याय 19), जो बराबर ऊँचाई तक भरी हों तो सबसे सस्ती। (घ) उस खंड की घाटी-सीट $Z^* \approx 41$ है: यानी पाँच प्रोटॉन कम — और पाँच $\beta^-$ क्षयों की झड़ी उसे वापस चढ़ा देती है, जिनमें हर एक कोई न्यूट्रॉन बदलकर एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रति-न्यूट्रिनो उत्सर्जित करता है।

अभ्यास 25.7 ★★

रेडियोकार्बन। जीवित पदार्थ अपने $^{14}$ C ( $T_{1/2} = 5730$ वर्ष) को प्रति $10^{12}$ कार्बन पर 1 परमाणु पर भरा रखता है; और मृत्यु उस भरपाई को रोक देती है। (क) कोयले का कोई नमूना जीवित सक्रियता का 30 % दिखाता है: वह आग कितनी पुरानी है? (ख) जीवित कार्बन का एक ग्राम: उसकी $^{14}$ C सक्रियता निकालिए (अपेक्षित $\approx0.23\,\mathrm{Bq}$ )। (ग) यह विधि $\sim50\,000\,$ वर्ष से आगे बेकार क्यों है? (घ) और चट्टानों की आयु निकालने के लिए बेकार क्यों (कौन-सी घड़ियाँ कमान लेती हैं)?

हल

हल — अभ्यास 25.7.

(क) $t = T_{1/2}\ln(1/0.3)/\ln2 = 5730\times1.74 \approx 10^{4}\,$ वर्ष: हिमयुग के अंत की कोई आग। (ख) $N_{^{14}\text{C}} = (N_{\text{A}}/12)\times10^{-12} = 5.0 \times 10^{10}\,$ ; $\lambda = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\mathcal A \approx 0.2\,\mathrm{Bq}$ — यानी प्रति ग्राम प्रति मिनट एक दर्जन क्षय, जो हर काल-निर्धारण प्रयोगशाला की कार्यकारी गिनती-दर है। (ग) नौ अर्ध-आयु के बाद वह सक्रियता पृष्ठभूमि से नीचे डूब जाती है: घड़ी अब भी चलती है, पर पढ़ी नहीं जा सकती। (घ) चट्टानों ने कभी वायुमंडलीय कार्बन साँस नहीं ली; उनकी घड़ियाँ आदिम वाली हैं — यूरेनियम–सीसा, पोटैशियम–आर्गन — जिनकी अर्ध-आयु अरबों वर्षों की है।

अभ्यास 25.8 ★★

गामो की चट्टान। पोलोनियम-212 $8.78\,\mathrm{MeV}$ का $\alpha$ उत्सर्जित करता है; और उसकी रोधिका $\approx26\,\mathrm{MeV}$ तक चढ़ती है। (क) दिखाइए कि चिरसम्मत निकास असंभव है, और चिरसम्मत प्रवेश भी — फिर भी वह $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ में क्षय कर देता है। (ख) यूरेनियम-238 का $\alpha$ $4.2\,\mathrm{MeV}$ ढोता है और उसकी अर्ध-आयु $4.5\times10^9$ वर्ष है: दोनों क्षय-नियतांकों का अनुपात निकालिए। (ग) सुरंगन-चरघातांकी से समझाइए कि ऊर्जा में दो गुना दर में $\sim10^{24}$ कैसे खरीद लेता है। (घ) वही भौतिकी सूर्य के क्रोड की ताप-आवश्यकता क्यों तय करती है?

हल

हल — अभ्यास 25.8.

(क) उस $\alpha$ की $8.78\,\mathrm{MeV}$ $26\,\mathrm{MeV}$ वाले किनारे से कहीं नीचे है: चिरसम्मत ढंग से वह न निकल सकता है न भीतर आया हो सकता है — फिर भी उसकी अर्ध-आयु $0.3\,\text{µ}\mathrm{s}$ है। (ख) $\lambda_1 = \ln2/3 \times 10^{-7}\,\mathrm{s} = 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\lambda_2 = \ln2/1.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 4.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}$ : अनुपात $\approx 5\times10^{23}$ । (ग) सुरंगन की दर $\eu^{-2G}$ है, जहाँ गामो चरघातांक $\propto Z/\sqrt E$ : $E$ आधा करने से $2G$ लगभग पचपन इकाई चढ़ जाता है, और $\eu^{55} \approx 10^{24}$ — यानी गाइगर–नटॉल की वह बेतुकी सीधी रेखा, एक ही चरघातांकी से। (घ) सौर प्रोटॉन भी सुरंग बनाते हैं: क्रोड का ताप बस इतना ऊँचा होना चाहिए कि मैक्सवेल की पूँछ गुणा गामो गुणक उस जलन को बनाए रखे — वही चट्टान, दूसरी ओर से चढ़ी हुई।

अभ्यास 25.9 ★★

बीस करोड़ इलेक्ट्रॉन-वोल्ट। (क) प्रति विखंडन $200\,\mathrm{MeV}$ को $B/A$ वक्र से उचित ठहराइए। (ख) पूरी तरह विखंडित $^{235}$ U के एक किलोग्राम में ऊर्जा निकालिए, जूल में और तेल-तुल्य टनों में ( $42\,\mathrm{GJ}/\mathrm{t}$ )। (ग) 33 % दक्षता पर कोई $1\,\mathrm{GW}_{e}$ बिजलीघर: प्रति वर्ष कितने किलोग्राम $^{235}$ U? (घ) न्यूट्रॉन नहीं, बल्कि खंड ही अधिकांश $200\,\mathrm{MeV}$ क्यों ढोते हैं, और वह तुरंत किस रूप में बदल जाती है?

हल

हल — अभ्यास 25.9.

(क) वह विभाजन ${\sim}235$ न्यूक्लिऑनों को $7.6\,$ से ${\sim}8.5\,\mathrm{MeV}$ के बंधन तक ले जाता है: $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ । (ख) $N = 2.56 \times 10^{24}\,$ नाभिक: $E = 8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} \approx 2000$ टन तेल — प्रति किलोग्राम। (ग) एक वर्ष के लिए तापीय $3\,\mathrm{GW}$ यानी $9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}$ : लगभग $1.2\,\mathrm{t}$ $^{235}$ U। (घ) दोनों धन खंड अपने ही कूलॉम प्रतिकर्षण के नीचे छिटक जाते हैं और ${\sim}170\,\mathrm{MeV}$ गतिज ऊर्जा के रूप में ढोते हैं, जो माइक्रोमीटरों के भीतर ऊष्मा बन जाती है — कोई रिएक्टर एक ऐसी केतली है जिसकी लौ स्थिरवैद्युत प्रतिक्षेप है।

अभ्यास 25.10 ★★★

$k$ को साधना। किसी रिएक्टर में तात्कालिक न्यूट्रॉन $\ell \approx 10^{-4}\,\mathrm{s}$ में प्रजनन करते हैं। (क) केवल तात्कालिक न्यूट्रॉनों पर $k = 1.001$ के साथ एक सेकंड में शक्ति का गुणन निकालिए — और यांत्रिक नियंत्रण पर फ़ैसला भी। (ख) कोई अंश $\beta = 0.7\,\%$ न्यूट्रॉनों का $\sim10\,\mathrm{s}$ तक विलंबित रहता है: समझाइए कि $k - 1 < \beta$ के लिए उस शृंखला की प्रभावी घड़ी सेकंडों की क्यों हो जाती है। (ग) प्रभावी पीढ़ी-काल $\sim0.1\,\mathrm{s}$ के साथ वही एक-सेकंड वाला गुणन निकालिए। (घ) एक वाक्य में बताइए कि जब चेर्नोबिल का रिएक्टर तात्कालिक-अतिक्रांतिक हो गया तब उसके संचालकों ने क्या खो दिया।

हल

हल — अभ्यास 25.10.

(क) $10^4$ पीढ़ियाँ: $(1.001)^{10^4} = \eu^{10} \approx 22000$ — यानी एक सेकंड के भीतर मेगावॉट से दसियों गिगावॉट; कोई मोटर किसी छड़ को इतनी तेज़ी से नहीं हिलाती। (ख) $k - 1 < \beta$ के साथ वह शृंखला केवल तात्कालिक न्यूट्रॉनों पर प्रजनन नहीं कर सकती: हर वृद्धि-चरण उन ${\sim}10\,\mathrm{s}$ वाले पिछड़ों की प्रतीक्षा करता है, अतः प्रभावी पीढ़ी-काल सेकंड का कोई अंश या उससे अधिक हो जाता है। (ग) $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ : प्रति सेकंड आधा प्रतिशत — यानी छड़ और संचालक के दायरे में। (घ) $k - 1$ को $\beta$ के पार धकेलने से वह रिएक्टर $10^{-4}\,\mathrm{s}$ वाली तात्कालिक घड़ी पर आ गया: और वे विलंबित-न्यूट्रॉन वाली वह मोहलत खो बैठे जो रिएक्टरों को साधने योग्य बनाती है।

अभ्यास 25.11 ★★★

सूर्य का अंकगणित। कुल मिलाकर $4\,^1\text{H} \to {}^4\text{He}$ द्रव्यमान का $0.71\,\%$ ऊर्जा में बदल देता है ( $26.7\,\mathrm{MeV}$ , न्यूट्रिनो सहित)। (क) $L_\odot = 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ से प्रति सेकंड बदला गया द्रव्यमान निकालिए, और प्रति सेकंड खपा हुआ हाइड्रोजन भी। (ख) $2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ के सूर्य में से दसवाँ भाग जलने योग्य क्रोड-हाइड्रोजन लेकर (हाइड्रोजन-अंश $\approx0.75$ मानिए): उसका जीवनकाल आकलिए। (ग) $1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ पर दो प्रोटॉन: $k_{\text{B}}T$ की तुलना $1\,\mathrm{fm}$ पर उनकी कूलॉम रोधिका से कीजिए और तय कीजिए कि पार कौन करता है (अभ्यास 25.8)। (घ) विखंडन के विपरीत संलयन लगभग कोई रेडियोसक्रिय राख क्यों नहीं छोड़ता?

हल

हल — अभ्यास 25.11.

(क) $\dot m = L_\odot/c^2 = 4.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ शुद्ध द्रव्यमान; और हाइड्रोजन की खपत $\dot m/0.0071 \approx 6 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ — यानी प्रति सेकंड साठ करोड़ टन। (ख) जलने योग्य हाइड्रोजन ${\sim}2\times10^{30}\times0.1\times0.75 = 1.5 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}$ : $t \approx 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 8$ अरब वर्ष — सूर्य अधेड़ है। (ग) रोधिका ${\sim}1.4\,\mathrm{MeV}$ , जबकि $k_{\text{B}}T \approx 1.3\,\mathrm{keV}$ : यानी हज़ार गुने की कमी — केवल मैक्सवेल पूँछ के सबसे तेज़ प्रोटॉन, वह भी सुरंग बनाकर (अभ्यास 25.8), कभी संलयित होते हैं; और इसीलिए सूर्य फटने के बजाय अरबों वर्ष जलता है। (घ) राख है $^4$ He — स्थायी, दोहरे जादुई अंकों का संतोष; और $\beta$ -क्षय के लिए सदियों तक कोई न्यूट्रॉन-धनी खंड बचता ही नहीं।

अभ्यास 25.12 ★★★

नाभिकीय चिकित्सा। (क) टेक्नीशियम-99m ( $T_{1/2} = 6\,\mathrm{h}$ , $140\,\mathrm{keV}$ का $\gamma$ ) चिकित्सा का मज़दूर है: किसी इंजेक्ट की गई $500\,\mathrm{MBq}$ के पीछे नाभिकों की संख्या और उनका द्रव्यमान निकालिए। (ख) समझाइए कि छह घंटे की अर्ध-आयु और कोई शुद्ध $\gamma$ , दोनों ही किसी निदान की ठीक-ठीक ज़रूरत क्यों हैं। (ग) PET: $^{18}$ F का कोई पॉज़िट्रॉन किसी इलेक्ट्रॉन से नष्ट होता है — अध्याय 5 से दोनों फ़ोटॉनों की ऊर्जा और ज्यामिति दीजिए, और इस तरह उस संसूचक का सिद्धांत भी। (घ) विकिरण-चिकित्सा किसी अर्बुद को $2\,\mathrm{Gy}$ ( $\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ) देती है: उस ऊर्जा की तुलना गरम पानी के एक घूँट से कीजिए, और उन जूलों की निर्दोषता को आयनन की घातकता से मिलाइए।

हल

हल — अभ्यास 25.12.

(क) $\lambda = \ln2/21\,600\,\mathrm{s} = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda = 1.6 \times 10^{13}\,$ नाभिक — यानी $2.6\,\mathrm{ng}$ । नैनोग्राम की चिकित्सा। (ख) छह घंटे स्कैन से अधिक जीते हैं, पर सप्ताहांत से नहीं: वह खुराक स्वयं को बंद कर देती है; और कोई शुद्ध $140\,\mathrm{keV}$ $\gamma$ ऊतक जलाने वाले $\alpha$ / $\beta$ कर के बिना शरीर से निकलकर कैमरे तक पहुँच जाता है। (ग) विराम पर इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन दो $511\,\mathrm{keV}$ फ़ोटॉनों में नष्ट होते हैं, जो पीठ-से-पीठ जाते हैं (ऊर्जा और संवेग, अध्याय 5): हर संपाती जोड़ा अर्बुद से होकर एक रेखा तय करता है, और हज़ारों रेखाएँ उसे त्रिकोणित कर देती हैं — संरक्षण-नियम से चित्रण। (घ) $2\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ ऊतक को आधा मिलिकेल्विन गरम करती है — तापीय दृष्टि से गुनगुने पानी का एक घूँट; पर प्रति किलोग्राम ${\sim}10^{17}$ आयनन के रूप में पहुँचकर, जिनमें हर एक $\mathrm{eV}$ -श्रेणी के रासायनिक बंध काटता है, वह किसी विभाजित होती कोशिका के लिए रासायनिक रूप से घातक है। जूल ऊष्मा नापते हैं; ग्रे तोड़फोड़।

सप्ताहांत समस्या का रिएक्टर-कुंड: खंडों के इलेक्ट्रॉन पानी में प्रकाश से आगे निकलकर क्रोड को चेरेनकोव नीले रंग में लपेट देते हैं — यानी परिरक्षण, दिखाई देता हुआ काम पर। — सप्ताहांत समस्या का रिएक्टर-कुंड: खंडों के $\beta$ इलेक्ट्रॉन पानी में प्रकाश से आगे निकलकर क्रोड को चेरेनकोव नीले रंग में लपेट देते हैं — यानी परिरक्षण, दिखाई देता हुआ काम पर।

25.5 समस्या: शोध-रिएक्टर पर खुला दिवस

समस्या 25.1

शोध-रिएक्टर पर खुला दिवस। राष्ट्रीय प्रयोगशाला अपना $20\,\mathrm{MW}$ का कुंड-प्रकार शोध-रिएक्टर आगंतुकों के लिए खोलती है, और आप बातें बनाकर बालकनी तक पहुँच गए हैं: नीचे, आठ मीटर स्वच्छ पानी से होकर, वह क्रोड एक अलौकिक नीले रंग में दहक रहा है। मार्गदर्शक — सेवानिवृत्त होते एक रिएक्टर-भौतिकीविद् — ने आपको अंकगणित करने की छूट दे दी है।

भाग I — ऊर्जा का बहीखाता।

$^{235}$ U का हर विखंडन लगभग $200\,\mathrm{MeV}$ मुक्त करता है। उसे जूल में बदलिए, और $20\,\mathrm{MW}$ बनाए रखने वाले प्रति सेकंड विखंडन निकालिए।
उसे प्रति दिन खपे $^{235}$ U के ग्रामों में बदलिए।
वही $20\,\mathrm{MW}$ कोयले से ( $30\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ): प्रति दिन कितने टन? द्रव्यमान-अनुपात बनाइए और उसे इस अध्याय तथा रसायन के $\mathrm{MeV}$ -बनाम- $\mathrm{eV}$ पैमानों से जोड़िए।
खंड प्रति न्यूक्लिऑन $\sim8.5\,\mathrm{MeV}$ बंधन पर जन्मते हैं और यूरेनियम $7.6\,\mathrm{MeV}$ पर: सत्यापित कीजिए कि $235\times0.9 \approx 200\,\mathrm{MeV}$ संगत है।
वे खंड अपने जन्मस्थान के माइक्रोमीटरों भीतर ही रुक जाते हैं। उनकी $200\,\mathrm{MeV}$ किसमें बदलती है, और किस समय-पैमाने पर वह शीतलक पानी तक पहुँचती है?
वे खंड (उदाहरण के लिए $A = 95$ , $Z = 36$ ) अनिवार्यतः रेडियोसक्रिय क्यों हैं? स्थायित्व की घाटी काम में लीजिए।

भाग II — $k = 1$ बनाए रखना।

गुणन गुणक $k$ परिभाषित कीजिए और बताइए कि न्यूट्रॉन-जनसंख्या के लिए $k = 0.999$ , $1.000$ , $1.001$ का क्या अर्थ है।
कुंड का पानी मंदन करता है। दो वाक्यों में समझाइए कि न्यूट्रॉनों को तापीय चालों तक धीमा करना $^{235}$ U का विखंडन क्यों आसान करता है, और हाइड्रोजन सबसे अच्छा मंदक क्यों है (वर्ष 1 के खंड के प्रत्यास्थ संघट्ट याद कीजिए)।
नियंत्रण छड़ें बोरॉन-इस्पात की हैं। बोरॉन क्या करता है, और छड़ों को उठाना-गिराना $k$ को कैसे साधता है?
केवल तात्कालिक न्यूट्रॉनों ( $\ell = 10^{-4}\,\mathrm{s}$ ) और $k = 1.0005$ के साथ एक सेकंड में शक्ति की वृद्धि निकालिए और निष्कर्ष निकालिए।
0.7 % विलंबित न्यूट्रॉन प्रभावी पीढ़ी-काल को $\sim0.1\,\mathrm{s}$ तक खींच देते हैं: फिर से निकालिए, और वह अभिकल्पना-नियम बताइए जो $k - 1$ को विलंबित अंश से सुरक्षित नीचे रखता है।
वह पानी शीतलक भी है। उसकी अंतर्निहित सुरक्षा-विशेषता समझाइए: यदि पानी उबलकर उड़ जाए तो मंदन का — और इस तरह $k$ का — क्या होता है?
बंद करने के बाद भी उस रिएक्टर को आपात शीतलन क्यों चाहिए? (उस ऊष्मा-स्रोत का नाम लीजिए जिसे नियंत्रण छड़ें छू भी नहीं सकतीं।)

भाग III — नीली रोशनी।

वह चमक चेरेनकोव विकिरण है: पानी में प्रकाश की चाल $c/n$ है, जहाँ $n = 1.33$ । उसे उत्सर्जित करने के लिए किसी आवेशित कण को क्या करना पड़ता है?
देहली-चाल निकालिए, और अध्याय 5 की मदद से किसी इलेक्ट्रॉन के लिए देहली-गतिज ऊर्जा भी।
रिएक्टर के कौन-से कण योग्य ठहरते हैं? विखंडन-खंड से लेकर पानी में तेज़ $\beta$ इलेक्ट्रॉन तक की शृंखला बताइए।
उस वर्णक्रम की तीव्रता छोटी तरंगदैर्घ्यों की ओर बढ़ती है: वह कुंड लाल के बजाय नीला क्यों दहकता है?
मार्गदर्शक कहता है: “वह चमक ही परिरक्षण का काम करना है।” समझाइए — पानी के आठ मीटर क्रोड के विकिरण का क्या करते हैं, और वह बालकनी मोटे तौर पर सुरक्षित क्यों है?
बंद करने के बाद वह नीलापन मिनटों में मंद पड़ता है, पर दिनों तक लुप्त नहीं होता। भाग I के प्रश्न 6 से जोड़िए।

भाग IV — रिएक्टर है किसलिए।

इस रिएक्टर का रोज़ का काम मॉलिब्डेनम-99 ( $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ ) बनाना है, जो चिकित्सा के टेक्नीशियम-99m का जनक है। दुनिया के अस्पतालों को हर सप्ताह फिर से आपूर्ति क्यों चाहिए, और कोई गोदाम उसे जमा क्यों नहीं कर सकता?
$100\,\mathrm{GBq}$ की मॉलिब्डेनम-99 खेप सोमवार को निकलती है; और अस्पताल शुक्रवार को (96 घंटे बाद) टेक्नीशियम-99m का निक्षालन करता है। जनक की कितनी सक्रियता बची रहती है?
क्रोड से निकलते न्यूट्रॉन पुंज अध्याय 23 के विवर्तन-उपकरणों को भी खिलाते हैं: रिएक्टर के न्यूट्रॉन, एक बार तापीय हो जाने पर, सही तरंगदैर्घ्य के साथ ही क्यों जन्मते हैं?
मार्गदर्शक की विदाई-समस्या: कोई ईंधन-तत्त्व भेजे जाने से पहले पाँच वर्ष उस कुंड में बिताता है। खंडों की अर्ध-आयुओं के मिश्रण से उस तर्क को समझाइए — कुंड में बिताए पाँच वर्षों ने क्या खरीदा?
बंद करने के एक घंटे बाद क्षय-ऊष्मा आकलिए ( $20\,\mathrm{MW}$ का $\approx1\,\%$ ) और उसकी तुलना किसी घर के बिजली-हीटर से कीजिए: क्या निष्क्रिय कुंड-शीतलन विश्वसनीय है?
बहीखाता चार पंक्तियों में बंद कीजिए: $B/A$ प्रति विभाजन $200\,\mathrm{MeV}$ चुकाता है; विलंबित न्यूट्रॉन वे सेकंड उधार देते हैं जो $k$ को साधने योग्य बनाते हैं; पानी मंदन करता है, ठंडा करता है, परिरक्षित करता है, और दहकता है; और दिन का असली उत्पाद चिकित्सा की शीशियों में जाता है, मेगावॉटों में नहीं।

हल

हल — समस्या 25.1.

1. $200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ : $20\times10^6/3.2\times10^{-11} = 6.3 \times 10^{17}\,$ विखंडन प्रति सेकंड। 2. प्रति दिन $5.4\times10^{22}$ विखंडन $\times 235/N_{\text{A}}$ : यानी प्रति दिन लगभग $21\,\mathrm{g}$ $^{235}$ U। 3. कोयला: $1.7 \times 10^{12}\,\mathrm{J}/3 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} \approx 58$ टन प्रति दिन — यानी $\sim3\times10^{6}$ का द्रव्यमान-अनुपात, जो नाभिकीय बनाम रासायनिक बंधों का $\mathrm{MeV}$ -से- $\mathrm{eV}$ अनुपात ही है। 4. $235\times(8.5 - 7.6) \approx 210\,\mathrm{MeV}$ : संगत, और छोटा अंतर न्यूट्रॉनों तथा न्यूट्रिनो के खाते में। 5. खंडों की गतिज ऊर्जा $\to$ आयनन $\to$ ऊष्मा, माइक्रोमीटरों और माइक्रोसेकंडों के भीतर; और चालन उसे पानी तक पहुँचा देता है — वह रिएक्टर खंड रोकने वाली एक केतली है। 6. उन्हें यूरेनियम का $N/Z \approx 1.55$ विरासत में मिलता है, जो उनके $A$ पर घाटी के तल से कहीं ऊपर है: हर एक को $\beta^-$ क्षयों की शृंखला चलाकर नीचे उतरना पड़ता है — यानी घाटी की ज्यामिति से ही अंतर्निहित रेडियोसक्रियता। 7. $k$ = एक पीढ़ी बाद प्रति न्यूट्रॉन जन्मे न्यूट्रॉन: $0.999$ बुझ जाता है, $1.000$ स्थिर रहता है (कोई चालू रिएक्टर), और $1.001$ बढ़ता है। 8. धीमे न्यूट्रॉन नाभिक के पास अधिक देर ठहरते हैं, और $^{235}$ U की विखंडन-भूख तापीय ऊर्जाओं पर तेज़ी से बढ़ती है। प्रत्यास्थ संघट्ट बराबर द्रव्यमानों पर ऊर्जा सबसे तेज़ी से छोड़ते हैं — और हाइड्रोजन न्यूट्रॉन के द्रव्यमान से मेल खाता है: पानी मानो नाप का बना मंदक है। 9. बोरॉन-10 न्यूट्रॉन निगल जाता है ( $\text{n} + {}^{10} \text{B} \to \alpha + {}^{7}\text{Li}$ ): छड़ें भीतर, न्यूट्रॉन खा लिए गए, $k$ नीचे; छड़ें बाहर, $k$ ऊपर — यही थ्रॉटल है। 10. $(1.0005)^{10^4} = \eu^{5} \approx 150$ : प्रति सेकंड डेढ़ सौ गुना — यानी मशीनरी के लिए निराशाजनक। 11. $0.1\,\mathrm{s}$ वाली विलंबित घड़ी पर: $(1.0005)^{10} \approx 1.005$ , यानी प्रति सेकंड आधा प्रतिशत। नियम: $|k - 1|$ को $\beta = 0.007$ से काफ़ी नीचे रखिए, ताकि विलंबित न्यूट्रॉन ही सदा निर्णायक मत रखें। 12. उबलना मंदक को हटा देता है: न्यूट्रॉन तेज़ ही रह जाते हैं, विखंडन भूखा पड़ जाता है, और $k$ गिर जाता है — पानी से मंदित अभिकल्पना स्वयं को थ्रॉटल कर लेती है (एक ऋणात्मक प्रतिपुष्टि, जो उसके ग्रेफ़ाइट वाले चचेरों में नहीं थी)। 13. क्षय-ऊष्मा: खंडों की रेडियोसक्रियता — भाग I का प्रश्न 6 — अर्ध-आयु मानती है, नियंत्रण छड़ें नहीं, और बंद करने के तुरंत बाद भी मेगावॉट देती रहती है। 14. पानी में प्रकाश से आगे निकलना: $v > c/n$ । 15. $v > 0.752c$ : $\gamma = 1.51$ , अतः $E_{\text{k}} > 0.51\times511\,\mathrm{keV} \approx 0.26\,\mathrm{MeV}$ । 16. खंडों के क्षय से निकले $\beta$ इलेक्ट्रॉन $\mathrm{MeV}$ ढोते हैं, और क्रोड के $\gamma$ कॉम्पटन धक्के से इलेक्ट्रॉनों को वैसी ही ऊर्जाओं तक ले जाते हैं: दोनों $0.26\,\mathrm{MeV}$ पार कर जाते हैं — वह कुंड योग्य इलेक्ट्रॉनों से भरा है। 17. चेरेनकोव वर्णक्रम छोटी तरंगदैर्घ्यों की ओर प्रबल होता है (तीव्रता में $\propto1/\lambda^2$ ): आँख को नीला और बैंगनी मिलता है — वह रंग उसी वर्णक्रम की ढाल है। 18. पानी $\gamma$ और न्यूट्रॉन, दोनों को चरघातांकी ढंग से क्षीण करता है; और आठ मीटर दर्जनों अर्धक-लंबाइयाँ हैं, अतः वह बालकनी पृष्ठभूमि खुराक पर बैठी है। वह चमक ही वह पानी है जो उस विकिरण की ऊर्जा सोख रहा है — यानी दिखाई देता प्रमाण कि कवच उसे खा रहा है। 19. अल्पजीवी खंड मिनटों में मर जाते हैं (वही मंद पड़ना); और लंबी पूँछ — प्रश्न 13 वाली वही क्षय-ऊष्मा — दिनों तक एक मंद चमक और एक असली ऊष्मा-भार बनाए रखती है। 20. $T_{1/2} = 66\,\mathrm{h}$ के साथ वह जनक प्रति सप्ताह ${\sim}6$ का गुणक खो देता है: भंडार स्वयं ही क्षय होकर चुक जाते हैं, अतः अस्पताल ऐसे ही रिएक्टरों से आती साप्ताहिक “टेक्नीशियम गाय” पर जीते हैं। 21. $96/66 = 1.45$ अर्ध-आयु: $2^{-1.45} \approx 0.36$ — यानी लगभग $36\,\mathrm{GBq}$ बचते हैं। 22. कमरे के ताप तक तापीय होने पर $\lambda = h/\sqrt{3m_{\text{n}}k_{\text{B}}T} \approx 1.5\,\text{Å}$ (अभ्यास 23.5): यानी जालक-अंतरालों से मेल खाते ही जन्मे हुए। 23. पाँच वर्ष महीनों तक की हर अर्ध-आयु मार देते हैं: सक्रियता और क्षय-ऊष्मा कोटियों से गिर जाती हैं, और तब वह तत्त्व किसी तैराकी-कुंड के बजाय किसी परिरक्षित पात्र में सफ़र कर सकता है। 24. ${\sim}200\,\mathrm{kW}$ — यानी सौ घरेलू हीटर किसी सौ-टन के कुंड में: बदतर से बदतर हालत में प्रति दिन दसियों केल्विन, जिन्हें प्राकृतिक संवहन आराम से हटा देता है — यानी निरी ऊष्माधारिता से निष्क्रिय सुरक्षा। 25. $B/A$ प्रति विभाजन $200\,\mathrm{MeV}$ और प्रति दिन $21\,\mathrm{g}$ चुकाता है; विलंबित न्यूट्रॉन वे सेकंड उधार देते हैं जो $k$ को साधने योग्य बनाते हैं; पानी मंदन करता है, ठंडा करता है, परिरक्षित करता है — और ठीक इसीलिए नीला दहकता है कि वह काम कर रहा है; और जो उत्पाद सबसे अधिक मायने रखता है वह सोमवार के अस्पतालों के लिए शीशियों में निकल जाता है।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

न्यूक्लाइड, आकार, और घनत्व

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