Physics · किताब 5 · Bachelor Year 3

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3

विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

27खगोल-भौतिकी

इस पुस्तक का हर अध्याय इसी एक के लिए पूर्वाभ्यास करता आया है। तारे स्वयं-गुरुत्वित गैस-गोले हैं, जो वर्ष 1 के खंड की द्रवस्थैतिकी से चलते हैं, अध्याय 25 के सुरंगन से दहकते हैं, और अध्याय 20 के प्लांक नियम से चमकते हैं; मरे हुए तारे अध्याय 19 की अपह्रासित फ़र्मी गैसें हैं, जो शहरों के आकार की हैं; और स्वयं ब्रह्मांड एक ठंडा होता तापीय तंत्र है, जिसका बचपन का चित्र — सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि — अब तक नापी गई सबसे पूर्ण कृष्णिका है। यह समापन अध्याय पूरे खंड को जोड़कर सबसे बड़ी संभव प्रयोगशाला बना देता है: तारे कैसे जीते हैं, कैसे मरते हैं, पीछे क्या छोड़ जाते हैं, और उन्हें समेटे वह फैलता ब्रह्मांड ऐसी भौतिकी से कैसे शुरू हुआ जो हम पहले ही कर चुके हैं।

27.1 तारा एक संतुलन है

प्रतिज्ञप्ति 27.1 (द्रवस्थैतिक संतुलन)

कोई तारा न ढहता है न बिखरता: हर त्रिज्या पर दाब-प्रवणता अपने ऊपर की गैस का भार ढोती है। द्रव्यमान m(r)m(r) के लिए, जो त्रिज्या rr के भीतर है,

 ⁣dP ⁣dr=−Gm(r)ρ(r)r2.\frac{\dd P}{\dd r} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} .

पूरे सूर्य पर आकलित करने पर Pc∼GM2/R4∼1015 PaP_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \sim 10^{15}\,\mathrm{Pa}, और आदर्श गैस के नियम से Tc∼107 KT_{\text{c}} \sim 10^7\,\mathrm{K} (अभ्यास 27.1) — यानी ठीक वही ताप जिस पर अभ्यास 25.11 के प्रोटॉन सुरंग बनाने लगते हैं। यह कोई संयोग नहीं, एक तापस्थापी है: किसी तारे को सिकुड़ना और गरम होना ही पड़ता है जब तक उसका क्रोड न सुलग जाए, और तब संलयन लाखों से अरबों वर्षों तक वह संतुलन थामे रहता है। तारों की ऊष्माधारिता ऋणात्मक होती है — ऊर्जा खोइए, सिकुड़िए, और अधिक गरम हो जाइए (अभ्यास 27.5) — और इसीलिए अंततः गुरुत्व ही जीतता है।

उपपत्ति. कोई खोल [r,r+ ⁣dr][r, r + \dd r], जिसका क्षेत्रफल AA है, नीचे से दाब P(r)AP(r)A अनुभव करता है, ऊपर से P(r+ ⁣dr)AP(r + \dd r)A, और भार gρA  ⁣drg\rho A\,\dd r, जहाँ g=Gm(r)/r2g = Gm(r)/r^2 (गुरुत्व के लिए गाउस की प्रमेय से केवल भीतरी द्रव्यमान खींचता है)। इन तीनों का संतुलन वही कथित समीकरण देता है। ∎

कोई तारा, अपने ही मुक्त-पिंड आरेख के रूप में। संलयन उस दाब को शक्ति देता है जो तारे का अपना भार ढोता है; और दोनों बल दस अरब वर्षों तक सौदेबाज़ी करते रहते हैं — और इस अध्याय की हर तारकीय नियति वही है जो तब होता है जब उनमें से किसी एक के तर्क चुक जाएँ।
कोई तारा, अपने ही मुक्त-पिंड आरेख के रूप में। संलयन उस दाब को शक्ति देता है जो तारे का अपना भार ढोता है; और दोनों बल दस अरब वर्षों तक सौदेबाज़ी करते रहते हैं — और इस अध्याय की हर तारकीय नियति वही है जो तब होता है जब उनमें से किसी एक के तर्क चुक जाएँ।

27.2 तारों का जीवन

परिभाषा 27.2 (हर्ट्ज़्स्प्रुंग–रसेल आरेख)

तारों को सतही ताप (परंपरा से गरम बाईं ओर) के सामने ज्योति के साथ आलेखित कीजिए, और दोनों अध्याय 20 के कृष्णिका-नियमों से लीजिए, तो वे बिखरने से इनकार कर देते हैं: नब्बे प्रतिशत मुख्य अनुक्रम पर भीड़ लगा देते हैं, यानी हाइड्रोजन जलाने वालों की उस विकर्ण पट्टी पर, जो विशुद्ध रूप से द्रव्यमान से क्रमित है — भारी का अर्थ है अधिक गरम और अनुपात से कहीं अधिक चमकीला (L∝M3.5L \propto M^{3.5}), और इस तरह अल्पजीवी (t∝M/L∝M−2.5t \propto M/L \propto M^{-2.5}: अभ्यास 27.4)। उस पट्टी से बाहर आरेख के अपवाद और अंत रहते हैं: ठंडे पर विशाल दानव (ऊपर दाएँ), और गरम पर नन्हे श्वेत वामन (नीचे बाएँ) — क्योंकि स्थिर ताप पर, L=4πR2σT4L = 4\pi R^2\sigma T^4 से, ज्योति दरअसल आकार की नाप है। HR आरेख किस्मों का नहीं, आयु का नक्शा है: किसी तारे का बिंदु ईंधन चुकते-चुकते उस पर सरकता रहता है।

हर्ट्ज़्स्प्रुंग–रसेल आरेख। मुख्य अनुक्रम वही हाइड्रोजन जलाने वाली पट्टी है, यानी एक द्रव्यमान-सीढ़ी, जो ऊपर-बाएँ (नीले, फ़िज़ूलख़र्च, दस लाख वर्षों में मरे हुए) से नीचे-दाएँ (लाल, कंजूस, और अब तक ब्रह्मांड से भी अधिक जीते हुए) पढ़ी जाती है। दानव और श्वेत वामन कोई अजूबे नहीं, अध्याय हैं: वही एक तारा तीनों इलाकों की सैर करता है।
हर्ट्ज़्स्प्रुंग–रसेल आरेख। मुख्य अनुक्रम वही हाइड्रोजन जलाने वाली पट्टी है, यानी एक द्रव्यमान-सीढ़ी, जो ऊपर-बाएँ (नीले, फ़िज़ूलख़र्च, दस लाख वर्षों में मरे हुए) से नीचे-दाएँ (लाल, कंजूस, और अब तक ब्रह्मांड से भी अधिक जीते हुए) पढ़ी जाती है। दानव और श्वेत वामन कोई अजूबे नहीं, अध्याय हैं: वही एक तारा तीनों इलाकों की सैर करता है।

टिप्पणी 27.3 (तारे कैसे बूढ़े होते हैं, और क्या छोड़ जाते हैं)

जब क्रोड का हाइड्रोजन चुक जाता है, तब तापस्थापी का तर्क फिर चलता है: क्रोड सिकुड़कर गरम होता है, हीलियम सुलग उठती है (कार्बन और ऑक्सीजन में संलयित होकर), और आवरण सौ गुना फूल जाता है — यानी कोई लाल दानव। सूर्य जैसा तारा वहीं रुक जाता है: वह अपना आवरण झाड़ देता है और श्वेत वामन बनकर सेवानिवृत्त हो जाता है। पर ≈8M⊙\approx8M_\odot से ऊपर का कोई तारा प्याज़-खोलों में नए-नए ईंधन सुलगाता जाता है, जब तक क्रोड लोहा न बन जाए — यानी प्रतिज्ञप्ति 25.2 की वह चोटी, जहाँ से कोई संलयन ऊर्जा नहीं लौटाता। वह मरा हुआ क्रोड एक सेकंड में ढह जाता है; और पलटाव तथा न्यूट्रिनो की बाढ़ उस तारे को उड़ा देती है: एक अधिनवतारा, जो थोड़ी देर को अपनी पूरी आकाशगंगा से अधिक चमकता है, न्यूट्रॉन-परिग्रहण से लोहे के आगे के तत्त्व गढ़ता है, और वह सब उन बादलों में बिखेर देता है जो तारों तथा ग्रहों की अगली पीढ़ी बनाते हैं। आपकी हड्डियों का कैल्सियम और आपके रक्त का लोहा इसी रास्ते आए (समस्या 27.1): रसायन दरअसल पुनर्चक्रित खगोल-भौतिकी है।

27.3 लाशें: अपनी सीमाओं पर पदार्थ

प्रतिज्ञप्ति 27.4 (श्वेत वामन और न्यूट्रॉन तारे)

जो तारा अब नहीं जलता, उसे थामे कौन रखता है? क्वांटम यांत्रिकी। कोई श्वेत वामन कार्बन और ऑक्सीजन का एक सौर द्रव्यमान है, जिसे उसका इलेक्ट्रॉन अपह्रासन दाब थामे रहता है — यानी अध्याय 19 का T=0T = 0 वाला फ़र्मी दाब — और वह भी पृथ्वी के आकार पर और प्रति चम्मच एक टन के घनत्व पर। पर पाउली के सहारे की एक छत है: चंद्रशेखर द्रव्यमान MCh≈1.4 M⊙M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot के ऊपर वे इलेक्ट्रॉन आपेक्षिकीय हो जाते हैं और वह दाब दौड़ हार जाता है (यह परिणाम हम बताते हैं, व्युत्पन्न नहीं करते)। उसके आगे इलेक्ट्रॉन कुचलकर प्रोटॉनों में घुस जाते हैं और कोई न्यूट्रॉन तारा बनता है: यानी न्यूट्रॉन अपह्रासन और नाभिकीय प्रतिकर्षण, जो ∼1.4 M⊙\sim1.4\,M_\odot को परिभाषा 25.1 वाले नाभिकीय घनत्व पर दर्जन भर किलोमीटरों में थामे रखते हैं — यानी शहर के आकार का कोई नाभिक, जो मिलीसेकंडों तक घूमता है और किसी प्रकाश-स्तंभ की तरह किरण फेंकता है (कोई पल्सर)। और लगभग 3 M⊙3\,M_\odot से आगे कोई ज्ञात चीज़ नहीं टिकती: वह तारा उस त्रिज्या के भीतर गिर जाता है जिस पर पलायन के लिए प्रकाश की गति चाहिए,

Rs=2GMc2(3 km प्रति सौर द्रव्यमान),R_{\text{s}} = \frac{2GM}{c^2} \qquad (3\,\mathrm{km}\text{ प्रति सौर द्रव्यमान}) ,

यानी कोई कृष्ण विवर — गुरुत्व का अंतिम शब्द, और सामान्य आपेक्षिकता की देहरी, जो इस खंड से एक खंड आगे है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

एक सौर द्रव्यमान, चार आकार। सूर्य को तापीय दाब थामता है; श्वेत वामन को इलेक्ट्रॉन अपह्रासन; न्यूट्रॉन तारे को न्यूट्रॉन अपह्रासन; और कृष्ण विवर को कुछ भी नहीं। हर पायदान सतही गुरुत्व को दस हज़ार गुना कर देता है — और उस पर खड़े होने के लिए ज़रूरी भौतिकी को भी।
एक सौर द्रव्यमान, चार आकार। सूर्य को तापीय दाब थामता है; श्वेत वामन को इलेक्ट्रॉन अपह्रासन; न्यूट्रॉन तारे को न्यूट्रॉन अपह्रासन; और कृष्ण विवर को कुछ भी नहीं। हर पायदान सतही गुरुत्व को दस हज़ार गुना कर देता है — और उस पर खड़े होने के लिए ज़रूरी भौतिकी को भी।

27.4 फैलता ब्रह्मांड

परिभाषा 27.5 (हबल का नियम और तप्त आरंभ)

हर दूर की आकाशगंगा पीछे हटती है, और वह भी दूरी के अनुक्रमानुपाती चाल से:

v=H0d,H0≈70 km/s प्रति मेगापारसेक.v = H_0d , \qquad H_0 \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \text{ प्रति मेगापारसेक} .

यह समष्टि में कोई विस्फोट नहीं, बल्कि स्वयं समष्टि का प्रसार है — उसे उलटा चलाइए और कभी सब कुछ सघन तथा तप्त था: 1/H0≈141/H_0 \approx 14 अरब वर्ष पहले (अभ्यास 27.9)। आरंभिक ब्रह्मांड यही पुस्तक है, तेज़ी से दोहराई हुई। एक सेकंड पर वह MeV\mathrm{MeV} का कण-शोरबा है (अध्याय 26); पहले मिनटों में अध्याय 25 उन्मत्त होकर चलता है और द्रव्यमान से एक चौथाई हीलियम जमा देता है — जिसकी भविष्यवाणी किसी बोल्ट्ज़मान गुणक ने की और जो हर जगह प्रेक्षित है (अभ्यास 27.11)। 380 000 वर्ष और 3000 K3000\,\mathrm{K} पर साहा का समीकरण (प्रतिज्ञप्ति 18.5) इलेक्ट्रॉनों को आख़िरकार प्रोटॉनों पर बैठने देता है; कुहरा छँट जाता है, और अंतिम बार प्रकीर्ण हुआ वह प्रकाश — प्रसार से हज़ार गुना खिंचकर — आज ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि के रूप में आता है: यानी 2.725 K2.725\,\mathrm{K} का प्लांक वर्णक्रम (अध्याय 20), जो अब तक का सबसे पुराना छायाचित्र है। वह चित्र यह भी दिखाता है: आकाशगंगाएँ ऐसे घूमती और गुच्छित होती हैं मानो उन्हें ऐसा कृष्ण पदार्थ चला रहा हो जिसे कोई संसूचक पकड़ नहीं सका, और वह प्रसार किसी ऐसी कृष्ण ऊर्जा के नीचे त्वरित हो रहा है जिसे किसी ने समझाया नहीं — यानी उस बजट का पंचानबे प्रतिशत, जिसे यह पुस्तक अभी लिख नहीं सकती।

हबल का नियम: दूरी के सामने पीछे हटने की चाल, और हर बिंदु एक आकाशगंगा (चालें डॉप्लर विस्थापनों से, ; दूरियाँ मानक दीपकों से)। ढाल H_0 है; और उसका व्युत्क्रम, मोटे तौर पर, ब्रह्मांड की आयु।
हबल का नियम: दूरी के सामने पीछे हटने की चाल, और हर बिंदु एक आकाशगंगा (चालें डॉप्लर विस्थापनों से, अध्याय 4; दूरियाँ मानक दीपकों से)। ढाल H0H_0 है; और उसका व्युत्क्रम, मोटे तौर पर, ब्रह्मांड की आयु।
कोई खुला गुच्छ: नीले-सफ़ेद फ़िज़ूलख़र्च और कंजूस नारंगी वामन, जो साथ-साथ जन्मे और बेतहाशा भिन्न दरों से बूढ़े हो रहे हैं — यानी हर्ट्ज़्स्प्रुंग–रसेल आरेख, छायाचित्रित।
कोई खुला गुच्छ: नीले-सफ़ेद फ़िज़ूलख़र्च और कंजूस नारंगी वामन, जो साथ-साथ जन्मे और बेतहाशा भिन्न दरों से बूढ़े हो रहे हैं — यानी हर्ट्ज़्स्प्रुंग–रसेल आरेख, छायाचित्रित।

27.5 अभ्यास

अभ्यास 27.1 ★

सूर्य, आकलित। M=2×1030 kgM = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}, R=7×108 mR = 7 \times 10^{8}\,\mathrm{m}। (क) Pc∼GM2/R4P_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 आकलिए। (ख) माध्य घनत्व और आदर्श गैस के नियम (P=ρkBT/mpP = \rho k_{\text{B}}T/ m_{\text{p}}) से TcT_{\text{c}} आकलिए। (ग) अभ्यास 25.11 की 107 K10^7\,\mathrm{K} वाली प्रज्वलन-देहली से तुलिए। (घ) यह सहमति कोई संयोग नहीं बल्कि तापस्थापी क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 27.1.

(क) Pc∼GM2/R4≈1.1×1015 PaP_{\text{c}} \sim GM^2/R^4 \approx 1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa} — यानी दस अरब वायुमंडल। (ख) ρˉ≈1400 kg/m3\bar\rho \approx 1400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: T∼Pmp/ρkB≈108 KT \sim P m_{\text{p}}/\rho k_{\text{B}} \approx 10^{8}\,\mathrm{K} — मोटा-मोटी, और असली 1.6×107 K1.6 \times 10^{7}\,\mathrm{K} से एक कोटि ऊपर, पर पैमाना सही है। (ग) ठीक सुरंगन की देहली पर। (घ) कोई प्राक्-तारा सिकुड़ता और गरम होता है जब तक उसका क्रोड न सुलग जाए, और फिर सिकुड़ना बंद कर देता है: पर्याप्त भारी हर गैस-गोले को प्रज्वलन तक पहुँचना ही है — वह तारा स्वयं को नाभिकीय तापस्थापी पर सुर कर लेता है।

अभ्यास 27.2 ★

प्रकाश को तौलना। (क) d=1.5×1011 md = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m} पर सौर नियतांक 1360 W/m21360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} से L⊙L_\odot निकालिए। (ख) L=4πR2σT4L = 4\pi R^2\sigma T^4 से सतही ताप निकालिए। (ग) वीन के शिखर को सूर्य के दृश्य पीले-हरे के सामने जाँचिए। (घ) हर चरण ने किस अध्याय का नियम काम में लिया?

हल

हल — अभ्यास 27.2.

(क) L=4πd2×1360≈3.8×1026 WL = 4\pi d^2\times1360 \approx 3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}। (ख) T=(L/4πR2σ)1/4≈5800 KT = (L/4\pi R^2\sigma)^{1/4} \approx 5800\,\mathrm{K}। (ग) वीन: λशि≈500 nm\lambda_{\text{शि}} \approx 500\,\mathrm{nm} — और आँख सूर्य के उसी शिखर पर विकसित हुई। (घ) व्युत्क्रम-वर्ग अभिवाह (वर्ष 1); और श्टेफ़ान–बोल्ट्ज़मान तथा वीन: अध्याय 20 की कृष्णिका, जो फ़ोटॉन-सांख्यिकी से व्युत्पन्न हुई।

अभ्यास 27.3 ★

आरेख पढ़ना। सीरियस B: T≈25 000 KT \approx 25\,000\,\mathrm{K}, L≈0.026 L⊙L \approx 0.026\,L_\odot; बेटेल्ज़्यूस: T≈3500 KT \approx 3500\,\mathrm{K}, L≈105 L⊙L \approx 10^5\,L_\odot। (क) दोनों को HR आरेख पर रखिए। (ख) L=4πR2σT4L = 4\pi R^2\sigma T^4 से हर एक की त्रिज्या सौर इकाइयों में निकालिए। (ग) बेटेल्ज़्यूस को सौर मंडल में रखिए: कौन-से ग्रह उसके भीतर आ जाते हैं? (घ) सीरियस B को क्या थामे होना चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 27.3.

(क) सीरियस B: दूर बाएँ, दूर नीचे; बेटेल्ज़्यूस: दूर दाएँ, दूर ऊपर। (ख) R/R⊙=L/L⊙ (T⊙/T)2R/R_\odot = \sqrt{L/L_\odot}\,(T_\odot/T)^2: सीरियस B ≈0.009 R⊙≈\approx 0.009\,R_\odot \approx पृथ्वी की त्रिज्या; और बेटेल्ज़्यूस ≈860 R⊙≈4 au\approx 860\,R_\odot \approx 4\,\mathrm{au}। (ग) बुध, शुक्र, पृथ्वी और मंगल उसके भीतर परिक्रमा करते। (घ) पृथ्वी के आकार का पर सूर्य के द्रव्यमान वाला: केवल इलेक्ट्रॉन अपह्रासन दाब (अध्याय 19) — सीरियस B चिरसम्मत श्वेत वामन है।

अभ्यास 27.4 ★

तेज़ जियो, जल्दी मरो। L∝M3.5L \propto M^{3.5} और जीवनकाल t∝M/Lt \propto M/L के साथ, तथा सूर्य के दस अरब वर्षों से: (क) किसी 10 M⊙10\,M_\odot तारे का जीवनकाल; (ख) किसी 0.5 M⊙0.5\,M_\odot लाल वामन का — और उसकी तुलना ब्रह्मांड की आयु से; (ग) भारी तारे, जिनके पास अधिक ईंधन है, जल्दी क्यों मरते हैं? (घ) भारी जीवनों का छोटा होना इस बारे में क्या कहता है कि किसी आकाशगंगा में अधिनवतारे कहाँ होते हैं?

हल

हल — अभ्यास 27.4.

(क) 10 अरब वर्ष×10−2.5≈30 Myr10\,\text{अरब वर्ष}\times10^{-2.5} \approx 30\,\mathrm{Myr}। (ख) 0.5−2.5≈5.70.5^{-2.5} \approx 5.7: यानी लगभग 57 अरब वर्ष — अब तक जन्मा हर लाल वामन आज भी जल रहा है। (ग) ज्योति M3.5M^{3.5} की तरह बढ़ती है पर टंकी केवल MM की तरह: धनी अपनी दौलत जमा करने से तेज़ी से जला देते हैं। (घ) भारी तारे जन्म के कुछ ही लाख वर्षों के भीतर मर जाते हैं — और कहीं बहकर जाने से पहले ही: अतः अधिनवतारे उन्हीं तारा-रचक सर्पिल भुजाओं के भीतर फटते हैं जिन्होंने उन्हें बनाया।

अभ्यास 27.5 ★★

गुरुत्व की अजीब ऊष्मागतिकी। किसी स्वयं-गुरुत्वित गैस-गोले के लिए विरियल प्रमेय (अध्याय 1) कुल ऊर्जा E=−KE = -K देती है (यानी ऋण गतिज/तापीय ऊर्जा)। (क) निष्कर्ष निकालिए: ऊर्जा विकिरित करना उस तारे को अधिक गरम कर देता है — यानी ऋणात्मक ऊष्माधारिता। (ख) सूर्य की गुरुत्वीय ऊर्जा GM2/RGM^2/R आकलिए। (ग) आज के L⊙L_\odot पर अकेला संकुचन उसे कब तक शक्ति दे सकता था (केल्विन–हेल्महोल्ट्ज़ काल)? (घ) भूविज्ञान पृथ्वी की आयु 4.5 अरब वर्ष बताता है: उन्नीसवीं सदी का विरोधाभास और उसका नाभिकीय समाधान बताइए।

हल

हल — अभ्यास 27.5.

(क) E=−KE = -K: विकिरण करने से EE और अधिक ऋणात्मक होता है, अतः KK — यानी ताप — चढ़ जाता है: यही गुरुत्व का ऊष्मागतिकीय हस्ताक्षर है। (ख) GM2/R≈3.8×1041 JGM^2/R \approx 3.8 \times 10^{41}\,\mathrm{J}। (ग) E/L⊙≈1015 s≈30 MyrE/L_\odot \approx 10^{15}\,\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{Myr}। (घ) केल्विन का सूर्य दसियों लाख वर्ष से पुराना नहीं हो सकता था, जबकि डार्विन के केंचुए और लायल की चट्टानें अरबों माँग रही थीं: और समाधान था एक ऐसा ईंधन जिसे कोई जानता ही नहीं था — अध्याय 25, सत्तर वर्ष पहले।

अभ्यास 27.6 ★★

किसी श्वेत वामन की शरीर-रचना। M=1 M⊙M = 1\,M_\odot लीजिए, R=Rपृथ्वी=6.4×106 mR = R_{\text{पृथ्वी}} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m} पर। (क) माध्य घनत्व और एक चम्मच (5 mL5\,\mathrm{mL}) का द्रव्यमान निकालिए। (ख) सतही गुरुत्व निकालिए। (ग) अध्याय 19 का अपह्रासन दाब n5/3n^{5/3} की तरह चलता है और गुरुत्व की माँग M2/R4∝n4/3M2/3M^2/R^4 \propto n^{4/3}M^{2/3} की तरह: दिखाइए कि इससे वह विचित्र R∝M−1/3R \propto M^{-1/3} निकलता है — यानी भारी वामन छोटे होते हैं। (घ) भौतिक रूप से समझाइए कि द्रव्यमान लादने से वह तारा क्यों सिकुड़ता है, और चंद्रशेखर द्रव्यमान पर वह किस बात की आहट है।

हल

हल — अभ्यास 27.6.

(क) ρˉ≈1.8×109 kg/m3\bar\rho \approx 1.8 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: यानी नौ टन की एक चम्मच। (ख) g=GM/R2≈3.3×106 m/s2g = GM/R^2 \approx 3.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} — यानी तीन लाख पार्थिव गुरुत्व। (ग) n∝M/R3n \propto M/R^3: अपह्रासन P∝M5/3/R5P \propto M^{5/3}/R^5 देता है और गुरुत्व P∝M2/R4P \propto M^2/R^4 माँगता है; बराबर करने पर R∝M−1/3R \propto M^{-1/3}। (घ) अधिक भार को अधिक फ़र्मी दाब चाहिए, जो केवल संपीडन ही देता है — अतः द्रव्यमान तारे को सिकोड़ देता है; पर उस सर्पिल की एक दीवार है: एक बार इलेक्ट्रॉन आपेक्षिकीय हो जाएँ तो दाब-नियम नरम पड़कर n4/3n^{4/3} हो जाता है, संतुलन किसी भी त्रिज्या पर विफल हो जाता है, और MCh=1.4 M⊙M_{\text{Ch}} = 1.4\,M_\odot ही वह चट्टानी किनारा है।

अभ्यास 27.7 ★★

किसी न्यूट्रॉन तारे की शरीर-रचना। (क) नाभिकीय घनत्व 2.3×1017 kg/m32.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} पर 1.4 M⊙1.4\,M_\odot थामने वाली त्रिज्या निकालिए। (ख) पतन से पहले वह क्रोड R∼105 kmR \sim 10^5\,\mathrm{km} पर 25 दिन में एक बार घूमता था: कोणीय-संवेग के संरक्षण से अंतिम घूर्णन-आवर्त आकलिए। (ग) सतही गुरुत्व निकालिए। (घ) अभिवाह-जमाव चुंबकीय क्षेत्र को B∝1/R2B \propto 1/R^2 की तरह बढ़ा देता है (अध्याय 22): किसी तारकीय 10−2 T10^{-2}\,\mathrm{T} से कौन-सा सतही क्षेत्र निकलता है, और पल्सर किरण क्यों फेंकते हैं?

हल

हल — अभ्यास 27.7.

(क) V=M/ρना≈1.2×1013 m3V = M/\rho_{\text{ना}} \approx 1.2 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}: R≈14 kmR \approx 14\,\mathrm{km} — यानी क्षितिज-रेखा वाला कोई नाभिक। (ख) ω∝1/R2\omega \propto 1/R^2: (108/1.4×104)2≈5×107(10^8/1.4\times10^4)^2 \approx 5\times10^{7} जितनी घूर्णन-वृद्धि, अतः 25 दिन सिकुड़कर ∼40 ms{\sim}40\,\mathrm{ms} रह जाते हैं: यानी पल्सर का इलाका। (ग) g≈1012 m/s2g \approx 10^{12}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}: यहाँ का कोई पर्वत वहाँ मिलीमीटरों का होगा। (घ) B≈10−2×5×107≈5×105 TB \approx 10^{-2}\times5\times10^{7} \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{T} — और चुंबकीय अक्ष, जो घूर्णन-अक्ष से टेढ़ा है, रेडियो उत्सर्जन अपने ध्रुवों के अनुदिश नली की तरह भेजता है: वह किरण प्रकाश-स्तंभ की तरह घूमती है, और हम उन कौंधों को पल्सर कहते हैं।

अभ्यास 27.8 ★★

वापसी का बिंदु नहीं। (क) Rs=2GM/c2R_{\text{s}} = 2GM/c^2 व्युत्पन्न कीजिए, न्यूटनी पलायन-चाल की शर्त vपल=cv_{\text{पल}} = c से (ईमानदार व्युत्पत्ति को सामान्य आपेक्षिकता चाहिए; पर उत्तर, प्रसिद्ध रूप से, वही रहता है)। (ख) सूर्य और पृथ्वी के लिए मान निकालिए। (ग) आकाशगंगा का केंद्रीय कृष्ण विवर: M=4×106 M⊙M = 4\times10^6\,M_\odot — RsR_{\text{s}} निकालिए और सूर्य–बुध दूरी (5.8×1010 m5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}) से तुलिए। (घ) दिखाइए कि RsR_{\text{s}} के भीतर माध्य घनत्व 1/M21/M^2 की तरह गिरता है — यानी पर्याप्त बड़ा कोई कृष्ण विवर पानी से भी कम सघन है: यह “कुचल देने” वाले अंतर्ज्ञानों के बारे में क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 27.8.

(क) 12mc2=GMm/R\tfrac12mc^2 = GMm/R से R=2GM/c2R = 2GM/c^2 मिलता है। (ख) सूर्य: 3.0 km3.0\,\mathrm{km}; पृथ्वी: 8.9 mm8.9\,\mathrm{mm} — दोनों में से किसी को भी उसके भीतर दबाइए और प्रकाश निकल नहीं सकता। (ग) Rs≈1.2×1010 mR_{\text{s}} \approx 1.2 \times 10^{10}\,\mathrm{m}: यानी बुध की कक्षा का पाँचवाँ भाग — और तारे उसके चारों ओर चक्कर काटते देखे जाते हैं। (घ) ρˉ∝M/Rs3∝1/M2\bar\rho \propto M/R_{\text{s}}^3 \propto 1/M^2: कोई 108 M⊙10^8\,M_\odot का विवर पानी से भी कम सघन है। क्षितिज पर किसी चीज़ का “कुचला” जाना ज़रूरी नहीं — वह वापसी न होने का बिंदु है, चट्टान की कोई सतह नहीं।

अभ्यास 27.9 ★★★

हबल का अंकगणित। H0=70 km/sH_0 = 70\,\mathrm{km}/\mathrm{s} प्रति Mpc\mathrm{Mpc}; 1 मेगापारसेक=3.09×1022 m1\, \text{मेगापारसेक} = 3.09 \times 10^{22}\,\mathrm{m}। (क) H0H_0 को SI में बदलिए। (ख) 1/H01/H_0 को वर्षों में निकालिए। (ग) 200 Mpc200\,\mathrm{Mpc} पर कोई आकाशगंगा: उसकी पीछे हटने की चाल, और वह गुणक भी जिससे उसके प्रकाश की तरंगदैर्घ्य खिंच चुकी है (छोटे-zz का डॉप्लर, अध्याय 4)। (घ) 1/H01/H_0 ब्रह्मांड की आयु केवल लगभग ही क्यों है — इस बीच वह प्रसार-दर क्या करती रही है?

हल

हल — अभ्यास 27.9.

(क) H0=7×104/3.09×1022≈2.3×10−18 s−1H_0 = 7\times10^4/3.09\times10^{22} \approx 2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{-1}। (ख) 1/H0≈4.4×1017 s≈141/H_0 \approx 4.4 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 14 अरब वर्ष। (ग) v=1.4×104 km/sv = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{km}/\mathrm{s}; z≈v/c≈0.047z \approx v/c \approx 0.047: यानी तरंगदैर्घ्य 5 % खिंची हुई पहुँचती हैं। (घ) वह दर अचर नहीं रही — आरंभ में पदार्थ ने उसे मंद किया और तब से कृष्ण ऊर्जा ने त्वरित: और फिर भी 1/H01/H_0 का असली 13.8 के एक अरब वर्ष भीतर आ बैठना एक छोटा-सा ब्रह्मांडीय संयोग है।

अभ्यास 27.10 ★★★

सबसे पुराना प्रकाश। CMB एक 2.725 K2.725\,\mathrm{K} की कृष्णिका है। (क) उसकी शिखर-तरंगदैर्घ्य निकालिए (अध्याय 20) और “सूक्ष्मतरंग” कहना उचित ठहराइए। (ख) वह 3000 K3000\,\mathrm{K} के प्रकाश के रूप में उत्सर्जित हुई थी: किस प्रसार-गुणक ने उसे खींचा है, और 3000 K3000\,\mathrm{K} ही क्यों (साहा याद कीजिए, प्रतिज्ञप्ति 18.5)? (ग) उसका फ़ोटॉन घनत्व ∼4×108 m−3\sim4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} है: बैरिऑनों के घनत्व ∼0.25 m−3\sim0.25\,\mathrm{m}^{-3} से तुलिए और फ़ोटॉन-से-बैरिऑन अनुपात बताइए। (घ) मेज़ पर की एक चिरसम्मत जाँच: किसी बेसुरे अनुरूप TV के स्थैतिक शोर का कुछ प्रतिशत CMB था — कोई ऐंटेना, कहीं भी मोड़ा जाए, उसे क्यों पकड़ लेता है?

हल

हल — अभ्यास 27.10.

(क) λशि=b/T≈1.1 mm\lambda_{\text{शि}} = b/T \approx 1.1\,\mathrm{mm}: यानी सूक्ष्मतरंगें, जैसा विज्ञापित था। (ख) 3000/2.725≈11003000/2.725 \approx 1100 जितनी खिंची हुई — यानी ब्रह्मांड तब से हर दिशा में ग्यारह सौ गुना बड़ा है। और पुनर्योजन 3000 K3000\,\mathrm{K} पर प्रतीक्षा करता है, जो 13.6 eV/kB13.6\,\mathrm{eV}/k_{\text{B}} से कहीं नीचे है, क्योंकि साहा का संतुलन (प्रतिज्ञप्ति 18.5) प्रति बैरिऑन दो अरब फ़ोटॉनों से झुका हुआ है: वह आयनकारी पूँछ हाइड्रोजन को तब तक टूटा हुआ रखती है जब तक भोली ऊर्जा-गणना कुछ और न कहे। (ग) प्रति बैरिऑन लगभग 1.6×1091.6\times10^{9} फ़ोटॉन — यानी गिनती के हिसाब से ब्रह्मांड लगभग पूरा का पूरा प्रकाश है। (घ) CMB कोई जगह नहीं, बल्कि पूरा आकाश है: हर दृष्टि-रेखा अंतिम-प्रकीर्णन के कुहरे पर जाकर समाप्त होती है, अतः हर ऐंटेना, कहीं भी मोड़ा जाए, उसे पकड़ लेता है।

अभ्यास 27.11 ★★★

किसी बोल्ट्ज़मान गुणक से एक चौथाई हीलियम। लगभग t∼1 st \sim 1\,\mathrm{s}, T∼1010 KT \sim 10^{10}\,\mathrm{K} (kBT≈0.8 MeVk_{\text{B}}T \approx 0.8\,\mathrm{MeV}) पर जमती दुर्बल अभिक्रियाओं ने न्यूट्रॉन-से-प्रोटॉन अनुपात अपने बोल्ट्ज़मान मान पर छोड़ दिया (अध्याय 17)। (क) Δmc2=1.29 MeV\Delta mc^2 = 1.29\,\mathrm{MeV} के साथ जमाव पर n/pn/p निकालिए। (ख) पहले मिनटों में न्यूट्रॉन का क्षय उसे ≈1/7\approx1/7 तक छाँट गया: दिखाइए कि हर बचे हुए को 4^4He में बाँधने पर हीलियम का द्रव्यमान-अंश 2(n/p)/(1+n/p)=25 %2(n/p)/(1 + n/p) = 25\,\% मिलता है। (ग) बताइए कि हर जगह मापी गई यह संख्या तप्त आरंभ का इतना प्रबल साक्ष्य क्यों है। (घ) आदिम पकाई हीलियम पर ही क्यों रुक गई (लीथियम के अंशों के साथ), और कार्बन तथा बाकी सब टिप्पणी 27.3 के लिए क्यों छूट गए?

हल

हल — अभ्यास 27.11.

(क) n/p=e−1.29/0.8≈0.20n/p = \eu^{-1.29/0.8} \approx 0.20। (ख) n/p=1/7n/p = 1/7 के साथ: प्रति 2 न्यूट्रॉन 14 प्रोटॉन; वे 2 न्यूट्रॉन 2 प्रोटॉन झपटकर एक 4^4He (द्रव्यमान 4) बना लेते हैं और 12 अकेले प्रोटॉन छोड़ जाते हैं: अतः द्रव्यमान से 4/16=25 %4/16 = 25\,\%। (ग) किसी भी तारे को इतना समय नहीं मिला कि वह हर चीज़ का एक चौथाई हीलियम बना दे; और सबसे पुरानी, सबसे धातु-दरिद्र गैस में वही फ़र्श पाना तप्त आरंभिक ब्रह्मांड को रँगे हाथों पकड़ना है — यानी आकाश भर में लिखा एक बोल्ट्ज़मान गुणक। (घ) A=5A = 5 या 88 पर कोई स्थायी नाभिक है ही नहीं, और घनत्व तथा ताप मिनटों में गिर रहे थे: अतः कार्बन तक का पुल (एक साथ तीन हीलियम) केवल लाल दानवों के सघन, धैर्यवान क्रोडों में ही खुलता है।

अभ्यास 27.12 ★★★

लापता पदार्थ। किसी सर्पिल आकाशगंगा की घूर्णन-चाल v=220 km/sv = 220\,\mathrm{km}/\mathrm{s} पर सपाट बनी रहती है, और वह भी r=50 kpcr = 50\,\mathrm{kpc} (1.5×1021 m1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m}) तक, यानी उसके दृश्य किनारे से कहीं आगे तक। (क) किसी वृत्तीय कक्षा के लिए दिखाइए कि M(r)=v2r/GM(r) = v^2r/G। (ख) 50 kpc50\,\mathrm{kpc} पर उसका मान सौर द्रव्यमानों में निकालिए। (ग) दृश्य तारे और गैस मिलकर ∼5×1010 M⊙\sim5\times10^{10}\,M_\odot हैं: कितना अंश समझाया जा सका? (घ) दृश्य किनारे के आगे केप्लरी अपेक्षा v∝r−1/2v \propto r^{-1/2} है (यानी सौर मंडल का ढाँचा): वह सपाटपन इस बारे में क्या कहता है कि वह अदृश्य द्रव्यमान कैसे बँटा है?

हल

हल — अभ्यास 27.12.

(क) mv2/r=GM(r)m/r2mv^2/r = GM(r)m/r^2। (ख) M=v2r/G≈1.1×1042 kg≈5×1011 M⊙M = v^2r/G \approx 1.1 \times 10^{42}\,\mathrm{kg} \approx 5\times10^{11}\,M_\odot। (ग) मोटे तौर पर दसवाँ भाग: उस आकाशगंगा का नब्बे प्रतिशत न चमकता है न अवशोषित करता है। (घ) सपाट vv का अर्थ है M(r)∝rM(r) \propto r — यानी वह अदृश्य द्रव्यमान दृश्य चकती से कहीं आगे तक जमा होता जाता है, यानी कोई फैला हुआ कृष्ण प्रभामंडल (घनत्व ∼1/r2\sim1/r^2), जिसमें दीप्त आकाशगंगा केवल जगमगाता क्रोड है।

आकाशगंगा के नीचे कोई मिलीमीटर-तरंग तश्तरी: और जिस आकाशगंगा को वह सुनती है, वही उसके ऊपर टँगी है। रेडियो खगोल-विज्ञान ने ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि खोजी — वही 2.7\, K की फुफकार, जो आख़िरकार आरंभ निकली।
आकाशगंगा के नीचे कोई मिलीमीटर-तरंग तश्तरी: और जिस आकाशगंगा को वह सुनती है, वही उसके ऊपर टँगी है। रेडियो खगोल-विज्ञान ने ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि खोजी — वही 2.7 K2.7\,\mathrm{K} की फुफकार, जो आख़िरकार आरंभ निकली।
क्रैब नीहारिका (नासा, ईसा, J. हेस्टर और A. लॉल, सार्वजनिक डोमेन): 1054 के अधिनवतारे का मलबा, जो आज भी फैल रहा है, और जिसके हृदय में किसी न्यूट्रॉन तारे का मिलीसेकंडी प्रकाश-स्तंभ है — यानी सप्ताहांत की समस्या, नौ सदियों बाद छायाचित्रित।
क्रैब नीहारिका (नासा, ईसा, J. हेस्टर और A. लॉल, सार्वजनिक डोमेन): 1054 के अधिनवतारे का मलबा, जो आज भी फैल रहा है, और जिसके हृदय में किसी न्यूट्रॉन तारे का मिलीसेकंडी प्रकाश-स्तंभ है — यानी सप्ताहांत की समस्या, नौ सदियों बाद छायाचित्रित।

27.6 समस्या: जिस रात वह तारा मरा

समस्या 27.1

जिस रात वह तारा मरा। 23 फ़रवरी 1987 को बृहत् मैगेलानी मेघ का एक नीला महादानव — d≈50 kpc≈1.5×1021 md \approx 50\,\mathrm{kpc} \approx 1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m} — SN 1987A बन गया, यानी चार सदियों का सबसे निकटतम अधिनवतारा। किसी भी दूरदर्शी के उसे चमकते देखने से घंटों पहले तीन भूमिगत संसूचकों ने दो दर्जन न्यूट्रिनो गिन लिए। आप उस रात को मूल सिद्धांतों से फिर गढ़ रहे हैं।

भाग I — वह तारा, जो था।

  1. पूर्वज का भार ∼20 M⊙{\sim}20\,M_\odot था। अभ्यास 27.4 के मापन से उसका जीवनकाल आकलिए और सूर्य से तुलिए।
  2. अपने अंतिम दिन तक वह तारा एक प्याज़ था: लोहे के क्रोड के चारों ओर H, He, C, O, Si के खोल। हर अगले ईंधन को अधिक गरम क्रोड क्यों चाहिए?
  3. वह क्रम लोहे पर हमेशा के लिए क्यों रुक जाता है? (प्रतिज्ञप्ति 25.2।)
  4. वह निष्क्रिय लोहे का क्रोड 1.4 M⊙1.4\,M_\odot की ओर बढ़ता है। उस संख्या में क्या खास है, और वहाँ कौन-सा दाब विफल हो जाता है?
  5. सिलिकॉन का जलना उस तारे को लगभग एक दिन तक थामे रखता है: यह इस बारे में क्या कहता है कि अंत की ओर किसी तारे की घड़ी कैसे तेज़ हो जाती है?
  6. एक बार दाब का सहारा विफल हो जाए, तो घनत्व ∼1012 kg/m3\sim10^{12}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} वाले किसी क्रोड के लिए मुक्त पतन में मोटे तौर पर कितना समय लगता है (t∼1/Gρt \sim 1/\sqrt{G\rho})?

भाग II — न्यूट्रिनो की कौंध।

  1. वह क्रोड (M≈1.4 M⊙=2.8×1030 kgM \approx 1.4\,M_\odot = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}) ढहकर R≈12 kmR \approx 12\,\mathrm{km} हो जाता है: मुक्त हुई गुरुत्वीय ऊर्जा E∼GM2/RE \sim GM^2/R निकालिए।
  2. उसकी तुलना अरब सूर्यों के महीने भर चमकने से कीजिए (L∼109L⊙L \sim 10^{9}L_\odot, 2.6×106 s2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s} के लिए): दिखाइए कि फ़ोटॉन एक पूर्णांकन-त्रुटि भर हैं — वे 99 % कहाँ जाते हैं, और किसी ढहते क्रोड से तुरंत केवल न्यूट्रिनो ही क्यों निकल सकते हैं?
  3. E≈3×1046 JE \approx 3 \times 10^{46}\,\mathrm{J} को त्रिज्या 1.5×1021 m1.5 \times 10^{21}\,\mathrm{m} के किसी गोले पर फैलाइए: पृथ्वी पर ऊर्जा-प्रवाह निकालिए।
  4. प्रति न्यूट्रिनो ∼15 MeV\sim15\,\mathrm{MeV} के साथ संख्या-प्रवाह (प्रति m2\mathrm{m}^{2} न्यूट्रिनो) निकालिए।
  5. किसी संसूचक में 2000 t2000\,\mathrm{t} पानी है, यानी ∼1.5×1032{\sim}1.5\times10^{32} मुक्त प्रोटॉन। प्रति प्रति-न्यूट्रिनो प्रति प्रोटॉन अन्योन्यक्रिया की प्रायिकता σ≈1×10−46 m2\sigma \approx 1 \times 10^{-46}\,\mathrm{m}^{2} दी हो, तो अपेक्षित गिनती आकलिए — और उसकी तुलना उन ग्यारह से कीजिए जो एक संसूचक ने दर्ज कीं।
  6. वे न्यूट्रिनो प्रकाश से घंटों आगे निकल गए। दोनों घड़ियाँ समझाइए: फ़ोटॉनों को कौन रोकता है (वह चमक असल में जन्मती कहाँ है?), और वह निकट-समकालिकता न्यूट्रिनो के द्रव्यमान तथा चाल के बारे में क्या कहती है?
  7. गिने गए पच्चीस न्यूट्रिनो: एक-एक वाक्य में दो बातें बताइए जिनकी उन्होंने अधिनवतारा-सिद्धांत के बारे में पुष्टि की।

भाग III — जो बचा रहा।

  1. 12 km12\,\mathrm{km}, 1.4 M⊙1.4\,M_\odot वाले उस अवशेष का माध्य घनत्व निकालिए और परिभाषा 25.1 के नाभिकीय घनत्व से तुलिए।
  2. पूर्वज का क्रोड R∼105 kmR \sim 10^{5}\,\mathrm{km} पर 30 दिन में एक बार घूमता था: उस अवशेष का आवर्त आकलिए।
  3. उसका चुंबकीय क्षेत्र, अभिवाह-जमा, (R0/R)2(R_0/R)^2 से बढ़ जाता है: 10−2 T10^{-2}\,\mathrm{T} से सतही क्षेत्र निकालिए।
  4. प्रकाश-स्तंभ समझाइए: क्या घूमता है, क्या किरण फेंकता है, और क्रैब पल्सर (जो 1054 में जन्मा और दिन में दिखते “अतिथि तारे” के रूप में दर्ज हुआ) आज भी प्रति सेकंड तीस बार क्यों कौंधता है।
  5. यदि वह अवशेष ∼3 M⊙{\sim}3\,M_\odot से अधिक होता: RsR_{\text{s}} निकालिए, 3 M⊙3\,M_\odot के लिए, और उसकी नियति बताइए।
  6. पल्सर का समय 10−1510^{-15} तक स्थिर रहता है: आकाश में घूमती इतनी अच्छी किसी घड़ी का एक भौतिकी-उपयोग बताइए।

भाग IV — इसका अर्थ।

  1. जिस ऑक्सीजन में आप साँस लेते हैं और आपके रक्त का लोहा: महाविस्फोट की हाइड्रोजन से लेकर आपकी रक्त-धारा तक हर परमाणु की जीवनी दो वाक्यों में बताइए।
  2. Ia प्रकार के अधिनवतारे (MChM_{\text{Ch}} के पार धकेले गए श्वेत वामन) सब एक ही द्रव्यमान पर फटते हैं, और इसलिए लगभग एक ही चमक के होते हैं। समझाइए कि इससे वे मानक दीपक क्यों बन जाते हैं, और परिभाषा 27.5 का आरेख उन्हीं से कैसे बनता है।
  3. 1998 में दूर के Ia अधिनवतारे हबल की सीधी रेखा की भविष्यवाणी से अधिक धुँधले निकले: वह निष्कर्ष बताइए जिसे 2011 का नोबेल पुरस्कार मिला।
  4. आकलिए कि SN 1987A का प्रकाश पहुँचने तक कितने वर्ष चल चुका था — और यह भी बताइए कि जब वह चला था तब पृथ्वी पर क्या हो रहा था।
  5. वे मैगेलानी न्यूट्रिनो आपके भीतर से भी गुज़रे (उस दिन जीवित हर व्यक्ति के भीतर से)। हर मनुष्य (∼0.03 m2{\sim}0.03\,\mathrm{m}^{2}) से मोटे तौर पर कितने पार हुए? क्या किसी को कुछ महसूस हुआ (अभ्यास 26.10)?
  6. पुस्तक का बहीखाता चार पंक्तियों में बंद कीजिए: कोई तारा, जो एक करोड़ वर्ष तक सुरंगन से संतुलित रहा; कोई पतन, जिसका भुगतान न्यूट्रिनो में हुआ; कोई लाश, जिसे पाउली थामे है; और वह मलबा — जिसमें पाठक भी शामिल है — जो आज भी हबल के प्रसार पर सवार है।
हल

हल — समस्या 27.1.

1. t∼10 अरब वर्ष×20−2.5≈6 Myrt \sim 10\,\text{अरब वर्ष}\times20^{-2.5} \approx 6\,\mathrm{Myr}: सूर्य उसके दो हज़ार जीवनकाल जिएगा। 2. भारी नाभिक अधिक आवेश ढोते हैं: अतः ऊँची कूलॉम रोधिकाओं को सुरंगन की संभावना (अभ्यास 25.8) बनाए रखने के लिए अधिक गरम क्रोड चाहिए। 3. लोहा B/AB/A वक्र की चोटी पर बैठा है: उसका संलयन ऊर्जा खर्च करता है — उस भट्ठी की ईंधन-सीढ़ी राख पर समाप्त होती है। 4. चंद्रशेखर द्रव्यमान: यानी अधिक से अधिक जितना इलेक्ट्रॉन अपह्रासन दाब ढो सकता है; वह क्रोड किसी जीवित तारे के भीतर उगा हुआ एक श्वेत वामन है, और 1.4 M⊙1.4\,M_\odot पर उसका सहारा विफल हो जाता है। 5. हाइड्रोजन: लाखों वर्ष; हीलियम: कुछ सौ सहस्राब्दियाँ; सिलिकॉन: एक दिन — हर चरण प्रति किलोग्राम कम चुकाता है जबकि वह तारा, और गरम होते हुए, (अधिकतर न्यूट्रिनो में) और तेज़ी से खर्च करता है: उसकी घड़ी लघुगणकीय पागलपन से दौड़ती है। 6. t∼1/Gρ=1/6.7×10−11×1012≈0.1 st \sim 1/\sqrt{G\rho} = 1/\sqrt{6.7\times10^{-11}\times10^{12}} \approx 0.1\,\mathrm{s}: वह क्रोड तारे के नीचे से दसवें सेकंड में खिसक जाता है। 7. E∼GM2/R≈4×1046 JE \sim GM^2/R \approx 4 \times 10^{46}\,\mathrm{J}। 8. फ़ोटॉनों का तमाशा 109×3.8×1026×2.6×106≈1042 J10^9\times3.8\times10^{26} \times2.6\times10^{6} \approx 10^{42}\,\mathrm{J} है — यानी दस हज़ार में एक भाग। बाकी सब न्यूट्रिनो बनकर निकल जाता है: ढहता नाभिकीय पदार्थ बाकी हर चीज़ के लिए अपारदर्शी है, पर (अध्याय 26) दुर्बल बल के अपने ही कणों के लिए लगभग पारदर्शी, और वही उस ऊर्जा को सेकंडों में बहा ले जाते हैं। 9. E/4πd2=4×1046/2.8×1043≈1.4×103 J/m2E/4\pi d^2 = 4\times10^{46}/2.8\times10^{43} \approx 1.4 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}। 10. प्रति न्यूट्रिनो 15 MeV=2.4×10−12 J15\,\mathrm{MeV} = 2.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} पर: प्रति वर्ग मीटर ∼6×1014{\sim}6\times10^{14} न्यूट्रिनो — यानी पृथ्वी के हर वर्ग मीटर से होकर। 11. 6×1014×10−46×1.5×1032≈96\times10^{14}\times10^{-46}\times1.5\times 10^{32} \approx 9: उस संसूचक ने ग्यारह दर्ज कीं — यानी 160 000 वर्ष पहले मरे किसी तारे के लिए कोटि-भर की सटीक निशानेबाज़ी। 12. न्यूट्रिनो पतन के समय ही क्रोड से निकल जाते हैं; जबकि वह प्रकाश तभी जन्मता है जब वह प्रघात घंटों बाद तारे के आवरण को फोड़ता है। और 160 सहस्राब्दियों की उड़ान के बाद दोनों का उसी रात पहुँचना न्यूट्रिनो को प्रकाश की गति से 10910^{9} में एक भाग तक बाँध देता है — और उसके द्रव्यमान को लगभग कुछ भी नहीं। 13. वह ऊर्जा-बजट (∼1046 J\sim10^{46}\,\mathrm{J}, जिसका 99 % न्यूट्रिनो में) और ∼10{\sim}10 सेकंड की विस्फोट-अवधि — दोनों सिद्धांत के ढहते क्रोड से मेल खाए, और उस अधिनवतारा-क्रियाविधि को श्यामपट्ट से प्रेक्षण तक पदोन्नत कर गए। 14. ρˉ=2.8×1030/(43π(1.2×104)3)≈4×1017 kg/m3\bar\rho = 2.8\times10^{30}/(\tfrac43\pi (1.2\times10^4)^3) \approx 4 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: यानी नाभिकीय घनत्व — परिभाषा 25.1 वाली चम्मच, अब किसी शहर के आकार की। 15. घूर्णन-वृद्धि (108/1.2×104)2≈7×107(10^8/1.2\times10^4)^2 \approx 7\times10^{7}: 30 दिन →\to ∼40 ms{\sim}40\,\mathrm{ms}। 16. B≈10−2×7×107≈7×105 TB \approx 10^{-2}\times7\times10^{7} \approx 7 \times 10^{5}\,\mathrm{T} — यानी दस करोड़ टेस्ला-मीटर का अभिवाह, जो सिमटकर किसी डाक-टिकट में संरक्षित है। 17. चुंबकीय अक्ष, जो घूर्णन-अक्ष से टेढ़ा है, अपने ध्रुवों के अनुदिश रेडियो किरण फेंकता है; और वह किरण आकाश को प्रकाश-स्तंभ की तरह बुहारती है। क्रैब का अवशेष — 1054 का वही अतिथि तारा — आज भी प्रति सेकंड तीस बार घूमता है, और सहस्राब्दी भर की मंदन-प्रक्रिया मुश्किल से शुरू हुई है। 18. Rs=3×3 km≈9 kmR_{\text{s}} = 3\times3\,\mathrm{km} \approx 9\,\mathrm{km} — यानी स्वयं उस तारे की कोटि का: और जब बहस करने को कोई दाब न बचे, तो पतन क्षितिज के पार चलता जाता है और वह अवशेष एक कृष्ण विवर होता है। 19. ऐसी घड़ियों की क़तारें आकाशगंगा-भर छिद्र वाले गुरुत्व-तरंग संसूचक हैं (और आपेक्षिकता की सबसे अच्छी प्रयोगशालाएँ: युग्म-पल्सरों की कक्षाएँ ठीक वैसे ही क्षय होती हैं जैसे गुरुत्वीय विकिरण कहता है)। 20. उसकी ऑक्सीजन किसी भारी तारे के खोल में संलयित हुई और किसी अधिनवतारे ने उसे बाहर फेंका; और वह लोहा उसी विस्फोटी अंत में गढ़ा गया; दोनों तारों के बीच के बादलों में बहे, सौर नीहारिका में मिले, फिर पृथ्वी, समुद्र, खाद्य-शृंखला में — और फिर पाठक में। पर महाविस्फोट की हाइड्रोजन: वह तो शुरू से ही आपकी रही है। 21. वही विस्फोट-द्रव्यमान →\to वही निजी चमक →\to और आभासी चमक दूरी पढ़ा देती है: यानी ज्ञात वाट का कोई दीपक, जो अरबों प्रकाश-वर्ष तक दिखता है — वही मापपट्टी, जो हबल आरेख का दूर वाला सिरा खींचती है। 22. वह प्रसार त्वरित हो रहा है: कोई “कृष्ण ऊर्जा” ब्रह्मांड को अलग धकेल रही है — 2011 का नोबेल, और भौतिकी का सबसे बड़ा खुला बिल। 23. 50 kpc≈16300050\,\mathrm{kpc} \approx 163000 प्रकाश-वर्ष: वह प्रकाश तब चला था जब होमो सेपियन्स पहली बार अफ़्रीका छोड़ रहा था। 24. जीवित हर मनुष्य से होकर 6×1014×0.03≈2×10136\times10^{14}\times0.03 \approx 2\times10^{13} — और अभ्यास 26.10 की संभावनाओं पर दस लाख में एक व्यक्ति ने भी एक से अन्योन्यक्रिया नहीं की: जिस कौंध ने पूरी आकाशगंगा को मात दी, वह मानवता से बिना महसूस हुए गुज़र गई। 25. कोई तारा, जो सुरंगन करते प्रोटॉनों पर एक करोड़ वर्ष संतुलित रहा; दसवें सेकंड का कोई पतन, जिसने 104610^{46} जूल न्यूट्रिनो में चुकाए; पाउली का सिद्धांत, जो उस लाश को नाभिकीय घनत्व पर थामे है; और बिखरा हुआ मलबा — ऑक्सीजन, लोहा, पाठक — जो आज भी हबल के प्रसार पर सवार है, ऐसे ब्रह्मांड में जिसका बचपन का चित्र एक प्लांक वक्र है। भौतिकी, फ़िलहाल पूरी: खंड समाप्त।

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