17विहित समुदाय

हल — अभ्यास 17.1.

(क) $\mathcal P_2/\mathcal P_1 = (g_2/g_1)\eu^{-\beta\epsilon}$। (ख) $\beta\epsilon = 2.1/(8.62\times10^{-5} \times 2500) = 9.7$: अंश $3\eu^{-9.7} \approx 2 \times 10^{-4}$। (ग) कोई लौ $\sim10^{15}$ सोडियम परमाणु प्रति cm$^3$ ढोती है: उनमें से $10^{-4}$ भी, हर कुछ नैनोसेकंड में चक्र लगाते हुए, प्रति सेकंड $10^{19}$ पीले फ़ोटॉन उँडेल देते हैं — आँखें चौंधियाने भर। (घ) $3\eu^{-\beta\epsilon} = 0.1$: $T = \epsilon/(k_{\text{B}}\ln30) \approx 7200\,\mathrm{K}$ — यह किसी तारे का प्रकाशमंडल है, कोई लौ नहीं।

हल — अभ्यास 17.2.

(क) $z = 1 + \eu^{-\beta\epsilon} + \eu^{-2\beta\epsilon}$। (ख) $\langle E\rangle = \epsilon(\eu^{-\beta\epsilon} + 2\eu^{-2\beta\epsilon})/z$: $\to 0$ निम्न $T$ पर, और उच्च पर $\to \epsilon$ (माध्य स्तर)। (ग) $\mathcal P_1 = 1/(\eu^{\beta \epsilon} + 1 + \eu^{-\beta\epsilon})$ $T$ के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ता है और अपने उच्चतम $1/3$ तक केवल $T \to \infty$ पर पहुँचता है। (घ) बोल्ट्ज़मान भार $T > 0$ पर ऊर्जा के साथ केवल घटते हैं; और जनसंख्या-प्रतिलोमन को उदाहरण 16.8 वाले ऋणात्मक ताप चाहिए, जिन तक कोई भंडार पहुँच ही नहीं सकता।

हल — अभ्यास 17.3.

(क) $E_p = mgh$ पर बोल्ट्ज़मान गुणक, एकसमान $T$ पर। (ख) $h_0 = k_{\text{B}}T/mg = 8.4\,\mathrm{km}$। (ग) $\eu^{-8848/8440} \approx 0.35$: एक तिहाई वायुमंडल — इसीलिए शिखर-यात्री ऑक्सीजन ढोते हैं। (घ) असली वायुमंडल समतापी नहीं है: ताप ऊँचाई के साथ गिरता है, अतः प्रोफ़ाइल किसी एक चरघातांकी से हटकर मुड़ जाता है।

हल — अभ्यास 17.4.

(क) तीन स्थानांतरण: $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, ठीक-ठीक सहमत। (ख) दो घूर्णन जोड़िए: $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, जैसा नापा गया: कंपन जमा हुआ है। (ग) $\tfrac72 R = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ की भविष्यवाणी; और मापा गया $\approx26$ दिखाता है कि कंपन केवल आंशिक रूप से पिघला है ($\theta_{\text{कं}} \approx 3400\,\mathrm{K}$)। (घ) $3R = 24.9\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: अर्थात् द्यूलों–प्टी, जिसे कमरे के ताप पर अधिकतर धातुएँ मानती हैं और हीरा तोड़ देता है — वही जमाव की कहानी (अभ्यास 17.6)।

हल — अभ्यास 17.5.

(क) $z = \eu^{-\beta\hbar\omega/2}/(1 - \eu^{-\beta\hbar\omega})$। (ख) $\langle E\rangle = -\partial_\beta\ln z$ कथित रूप देता है, जहाँ $\langle n\rangle = 1/(\eu^{\beta\hbar\omega} - 1)$। (ग) $C \to k_{\text{B}}$ उच्च $T$ पर; और निम्न पर $C \approx k_{\text{B}}(\beta \hbar\omega)^2\eu^{-\beta\hbar\omega} \to 0$। (घ) जहाँ $\hbar\omega$ प्रकाश के किसी क्वांटम की ऊर्जा हो, वहाँ $\langle n\rangle$ प्रति मोड तापीय फ़ोटॉन-संख्या है: प्लांक का नियम एक ही अध्याय दूर है।

हल — अभ्यास 17.6.

(क) संख्यात्मक रूप से, $C = \tfrac12 \times 3Nk_{\text{B}}$ $T/\theta_{\text{E}} \approx 0.34$ के पास। (ख) $\theta_{\text{E}}/T = 4.3$: $C/3Nk_{\text{B}} = 4.3^2\eu^{-4.3}/(1 - \eu^{-4.3})^2 \approx 0.26$ — कमरे के ताप पर हीरे के पास चिरसम्मत ऊष्माधारिता का मुश्किल से एक चौथाई है: वह “विषमता” खुले में खड़ा क्वांटम जमाव है। (ग) $\theta_{\text{E}} = 90\,\mathrm{K}$ सीसे को $300\,\mathrm{K}$ पर गहरे चिरसम्मत प्रांत में रखता है। (घ) एक-आवृत्ति वाली मान्यता: असली ठोसों में मोडों का पूरा वर्णक्रम होता है, जो लंबी-तरंगदैर्घ्य वाली ध्वनि तक जाता है, और जिनके सस्ते क्वांटा $T^3$ नियम देते हैं — डिबाई की मरम्मत, अध्याय 20 में।

हल — अभ्यास 17.7.

(क) यहाँ $f(v) \propto v^2\eu^{-mv^2/2k_{\text{B}}T}$: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_{\text{B}}T/m}$: N$_2$ के लिए $413\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, और H$_2$ के लिए $1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) $mv_{\text{पल}}^2/2k_{\text{B}}T \approx 730$ N$_2$ के लिए, और $52$ H$_2$ के लिए। (ग) $\eu^{-730}$ कभी नहीं है; और $\eu^{-52} \sim 10^{-23}$ प्रति निवास-काल धीमा है — पर तप्त ऊपरी वायुमंडल ($\sim1000\,\mathrm{K}$) हाइड्रोजन का घातांक नरम करके $\sim15$ कर देता है: भूवैज्ञानिक काल में हाइड्रोजन रिस जाता है, और नाइट्रोजन टिका रहता है। (घ) पलायन वेग और बहिर्मंडल का ताप: बृहस्पति का $60\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ कूप हाइड्रोजन तक का घातांक खगोलीय बना देता है — गैस-दानव वही रखते हैं जो छोटे गरम लोक खो देते हैं।

हल — अभ्यास 17.8.

(क) $\partial_\beta^2\ln Z = \langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2$, और $C = \partial_T\langle E\rangle = -k_{\text{B}}\beta^2\partial_\beta\langle E\rangle$। (ख) दोनों पक्ष $Nk_{\text{B}}(\beta\epsilon)^2\eu^{\beta\epsilon}/( \eu^{\beta\epsilon} + 1)^2$ देते हैं। (ग) $\langle E\rangle \propto N$, और $\Delta E \propto \sqrt N$। (घ) कोई तंत्र गरम किए जाने पर कितनी प्रबलता से अनुक्रिया करता है, यह उतना ही है जितना उसकी ऊर्जा स्वतःस्फूर्त रूप से डगमगाती है — अनुक्रिया और उतार-चढ़ाव उसी एक द्वितीय अवकलज के दो पाठ हैं, और यह ढाँचा (उतार-चढ़ाव–अपव्यय) पूरी भौतिकी में लौटता रहता है।

हल — अभ्यास 17.9.

(क) $\ln2 = E_a\,\Delta T/k_{\text{B}}T^2$, जहाँ $\Delta T = 10\,\mathrm{K}$, $T = 298\,\mathrm{K}$: $E_a = 0.693\,k_{\text{B}}T^2/10 \approx 0.55\,\mathrm{eV}$। (ख) $298$ से $278\,\mathrm{K}$ तक: गुणक $\eu^{E_a(1/278 - 1/298)/k_{\text{B}}} \approx 4.4$ जितना धीमा — इसीलिए शीतक भोजन बचाते हैं। (ग) $373 \to 366\,\mathrm{K}$: दर $\approx1.4$ से गिरती है: ग्यारह मिनट वाले अंडे को पौन घंटा चाहिए। (घ) अभिक्रियाएँ रोधिका से ऊपर वाले अणुओं की चरघातांकी पूँछ जीतती है: ताप ज़रा-सा खिसकाइए और उस पूँछ की जनसंख्या ज़बरदस्त खिसक जाती है — माध्य से शायद ही कुछ फ़र्क पड़ता है।

हल — अभ्यास 17.10.

(क) $f_{\text{मु}} = 1/(1 + \eu^{-\beta(\Delta E - T\Delta S)})$, जहाँ खुली अवस्था की एन्ट्रॉपी उसकी मुक्त ऊर्जा में समा गई है। (ख) $T_{\text{m}} = \Delta E/\Delta S$ पर दोनों मुक्त ऊर्जाएँ बराबर हो जाती हैं: आधा-आधा। (ग) $T_{\text{m}} = 4.8 \times 10^{-19}/1.38 \times 10^{-21} = 348\,\mathrm{K}$ ($75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$); चौड़ाई $\delta T \sim k_{\text{B}}T_{\text{m}}^2/\Delta E \approx 3.5\,\mathrm{K}$। (घ) सहकारिता एक साथ टूटते संपर्कों की संख्या से $\Delta E$ और $\Delta S$ दोनों को गुणा कर देती है, जिससे $T_{\text{m}}$ वही रहता है पर चौड़ाई $\propto 1/\Delta E$ सिकुड़ जाती है: DNA की लड़ियाँ दो-एक केल्विन में अलग हो जाती हैं, और यही किसी PCR मशीन को “पिघला” और “जुड़ा” के बीच स्वच्छ चक्र लगाने देता है।

हल — अभ्यास 17.11.

(क) $z = 2\cosh(\beta\mu B)$; $M = N\mu\tanh(\beta\mu B) \approx N\mu^2B/k_{\text{B}}T$ छोटे तर्क के लिए: अर्थात् क्यूरी का $1/T$। (ख) $\mu_{\text{B}}B/k_{\text{B}}T$: $300\,\mathrm{K}$ पर $2.2 \times 10^{-3}$; और $1\,\mathrm{K}$ पर $0.67$ — उदासीन से लेकर प्रबल रूप से संरेखित तक। (ग) $S$ केवल $\mu B/k_{\text{B}}T$ पर निर्भर करता है; अतः स्थिर एन्ट्रॉपी पर $B$ घटाना $T$ को उसी अनुपात में नीचे खींचता है: $1\,\mathrm{K} \to 0.1\,\mathrm{K}$। (घ) जब $k_{\text{B}}T$ चक्रण–चक्रण ऊर्जा तक पहुँच जाए, तब एन्ट्रॉपी क्षेत्र के वश में नहीं रहती: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a^3 \approx 7 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \sim 5\,\mathrm{mK}$ — अर्थात् चिरपरिचित तली (नाभिकीय आघूर्ण, जो हज़ार गुना दुर्बल हैं, उसे माइक्रोकेल्विन तक धकेल देते हैं)।

हल — अभ्यास 17.12.

(क) $z_{\text{घू}} = \sum_J(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)} \to \int(2J+1)\eu^{-\beta BJ(J+1)}\dd J = k_{\text{B}}T/B$: तब $\langle E\rangle = k_{\text{B}}T$ और $C_{\text{घू}} = k_{\text{B}}$। (ख) H$_2$: $\theta_{\text{घू}} = 87\,\mathrm{K}$ — पायदान प्रयोगशाला के परास में बैठता है; N$_2$: $2.9\,\mathrm{K}$, जो केवल द्रव हीलियम के पास जमता है, अतः नाइट्रोजन सदा $\tfrac52 R$ दिखाता है। (ग) चबूतरे $\tfrac32 R$ ($\sim50\,\mathrm{K}$ से नीचे), $\tfrac52 R$ ($\sim200$ से $\sim1000\,\mathrm{K}$ तक), और $\tfrac72 R$ की ओर चढ़ान, $\theta_{\text{कं}} \approx 6000\,\mathrm{K}$ के पास। (घ) विषम और सम $J$ भिन्न नाभिकीय चक्रण-जातियों के हैं, जो धीरे-धीरे आपस में बदलती हैं, अतः ठंडे हाइड्रोजन का $C_V$ उसके ऑर्थो–पैरा इतिहास पर निर्भर करता है — नाभिकीय सांख्यिकी, किसी कैलोरीमापी से जाँची हुई।