7त्रिविमा में श्रोडिंगर समीकरण

हल — अभ्यास 7.1.

(क) $\int|\psi|^2\dd^3r = |A|^2\,4\pi\int_0^\infty r^2\eu^{-r^2/2 \sigma^2}\dd r = |A|^2(2\pi\sigma^2)^{3/2}$: अतः $A = (2\pi\sigma^2)^{ -3/4}$। (ख) समदैशिकता से $\langle r^2\rangle = 3\langle x^2\rangle = 3\sigma^2$, अतः $\Delta x = \sigma$। (ग) $\vect\jmath = \vect 0$: तरंग फलन वास्तविक है। (घ) $\langle\vect p\rangle = \hbar\vect k_0$ और $\vect\jmath = \rho\,\hbar\vect k_0/m$: वही बादल, अब अपवाहित होता हुआ।

हल — अभ्यास 7.2.

$3\,(1)$, $6\,(3)$, $9\,(3)$, $11\,(3)$, $12\,(1)$, $14\,(6)$ — और फिर $17$ तक कुछ नहीं। स्तर $27$: $(3,3,3)$ तथा $(5,1,1)$ के क्रमचय — कुल चार अवस्थाएँ, क्योंकि $27 = 9+9+9 = 25+1+1$। घनीय सममिति केवल अक्ष बदलती है, और कोई क्रमचय $(3,3,3)$ को $(5,1,1)$ से नहीं जोड़ता: यह संयोग अंकगणितीय है (तीन वर्गों के योग के रूप में दो निरूपण), ज्यामितीय नहीं।

हल — अभ्यास 7.3.

(क) $\vect\jmath = |A|^2\hbar k/m\,\vect e_x$। (ख) शून्य: वास्तविक फलन। (ग) $j = (|A|^2\hbar k/m)(1 - r^2)$: आपाती अभिवाह ऋण परावर्तित अभिवाह — मिश्रित पद कट जाते हैं। (घ) $j = \rho\,\hbar m/Mb$, जहाँ $\rho = 1/2\pi$ (प्रति एकांक कोण): एक स्थायी परिचालन, जो सतत धाराओं का सूक्ष्मदर्शीय पूर्वज है।

हल — अभ्यास 7.4.

गुणांक $\pi^2(\hbar c)^2/2\mu c^2 = 3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}$ है। (क) $R = 3\,\mathrm{nm}$ पर: $0.42\,\mathrm{eV}$। (ख) $E = 2.16\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 1240/2.16 = 575\,\mathrm{nm}$, अर्थात् पीला-हरा। (ग) छोटा $R$, बड़ी $E$: नीले की ओर। (घ) पिंड में परिरोध-पद लुप्त हो जाता है: नियत अंतराल $1.74\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 713\,\mathrm{nm}$, और नमूना कोई भी हो, वही गहरा लाल।

हल — अभ्यास 7.5.

(क) एकमानता: $\psi(\varphi + 2\pi) = \psi(\varphi)$ से $\eu^{2\pi\iu m} = 1$। (ख) $E_m = \hbar^2m^2/2Mb^2$; अवस्थाएँ $\pm m$ विपरीत दिशाओं में परिक्रमा करती हैं और दर्पण-परावर्तन (या काल-प्रतीपन) से आपस में बदल जाती हैं — यह वलय की एक सममिति है, और इसीलिए अपह्रासिता। (ग) धारा-पाश $I = q\hbar m/2\pi Mb^2$ चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I\pi b^2 = m\,q\hbar/2M$ ढोता है — जो $q\hbar/2M$ के पगों में क्वांटीकृत है, अर्थात् अध्याय 10 वाला बोर-मैग्नेटॉन ढाँचा। (घ) $\hbar^2/2m_{\text{e}}b^2 = 1.9\,\mathrm{eV}$; छह इलेक्ट्रॉन $m = 0, \pm1$ भर देते हैं, और पहला उत्तेजन $\pm1 \to \pm2$ $(4-1) \times 1.9 \approx 5.8\,\mathrm{eV}$ का पड़ता है, अर्थात् $\lambda \approx 210\,\mathrm{nm}$ — केवल एक वलय से, और कुछ नहीं, ठीक वही पराबैंगनी पड़ोस।

हल — अभ्यास 7.6.

(क) $n_x = 0..n$ और $n_y = 0..n - n_x$ चुनिए: $\sum_{n_x}(n - n_x + 1) = (n+1)(n+2)/2$। (ख) चक्रण सहित: $2, 6, 12, 20$; संचयी $2, 8, 20, 40$। (ग) $2$, $8$, $20$ जादुई हैं; और उसके आगे की विफलता बताती है कि नाभिकीय कूप हरात्मक नहीं है — उसका तल अधिक चपटा है, और सबसे बढ़कर उसमें प्रबल चक्रण–कक्षा युग्मन है, जो कोशों को फिर से $28, 50, 82$ पर बाँट देता है। (घ) कोश-संरचना के लिए स्तरों का गुच्छित होना और उनके बीच अंतराल होना चाहिए; संदूक के स्तर अनियमित ढंग से फैले हैं और उनमें कोई बड़ा अंतराल नहीं, अतः नाभिक-जैसा स्थायित्व-ढाँचा उभरता ही नहीं।

हल — अभ्यास 7.7.

(क) $u_n = \sqrt{2/R}\sin(n\pi r/R)$, $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2MR^2$। (ख) $E_1 = \pi^2(\hbar c)^2/2Mc^2R^2 = 384210/(2 \times 939 \times 25) = 8.2\,\mathrm{MeV}$। (ग) ठीक वही पैमाना: नाभिकों में न्यूक्लिऑन MeV के अंतराल वाली क्वांटम अवस्थाएँ हैं, जैसा उनके वर्णक्रम दिखाते हैं। (घ) $|u_1|^2$ का उच्चिष्ठ $r = R/2$ पर है: त्रिज्य प्रायिकता आधी दूरी पर सबसे बड़ी होती है (आयतन-अवयव का $r^2$, जो $u = r\varphi$ में छिपा है, उच्चिष्ठ को केंद्र से हटा देता है), जबकि एकविमीय संदूक का $|\varphi|^2$ केंद्र पर उच्चिष्ठ होता है।

हल — अभ्यास 7.8.

(क) $N = 2N_{\text{अव}}(E_{\text{F}})$ रखिए और गिनती उलटिए। (ख) ताँबा: $E_{\text{F}} = 7.1\,\mathrm{eV}$। (ग) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$। (घ) इलेक्ट्रॉन सर्वसम फ़र्मिऑन हैं: पाउली का अपवर्जन सिद्धांत (अध्याय 14) प्रति कक्षक-अवस्था अधिक से अधिक दो की अनुमति देता है, अतः पूरी भीड़ को इलेक्ट्रॉनवोल्ट ऊर्जाओं तक चढ़ना पड़ता है।

हल — अभ्यास 7.9.

(क) $k = \sqrt{2M(V_0 - |E|)}/\hbar$, $\kappa = \sqrt{2M|E|}/\hbar$; $u'/u$ की $R$ पर संततता से $k\cot kR = -\kappa$ मिलता है। (ख) जैसे-जैसे $|E| \to 0$, वैसे-वैसे $\kappa \to 0$: अतः $\cot kR = 0$, $kR = \pi/2$, और तब $V_0 = \hbar^2k^2/2M = \pi^2\hbar^2/8MR^2$। (ग) $\mu c^2 = 469\,\mathrm{MeV}$, $R = 2.1\,\mathrm{fm}$ के साथ: $V_{0,\min} = 23\,\mathrm{MeV}$। (घ) दीवार $u(0) = 0$ त्रिविमीय $s$ अवस्था को किसी विषम एकविमीय अवस्था का तुल्य बना देती है, जिसे कूप के भीतर चौथाई तरंग समानी ही पड़ती है: उथला कूप वह नहीं कर पाता, जबकि एक विमा में निस्पंद-रहित सम अवस्था सदा बँध जाती है।

हल — अभ्यास 7.10.

(क) $\kappa = \sqrt{2\mu c^2B}/\hbar c = \sqrt{2 \times 469 \times 2.22}/197.3 = 0.231\,\mathrm{fm}^{-1}$: पुच्छ की लंबाई $1/\kappa = 4.3\,\mathrm{fm}$, अर्थात् बल की परास से दुगुनी। (ख) $k = \sqrt{2\mu(V_0 - B)}/\hbar$ और $\cot kR = -\kappa/k$। (ग) पुनरावृत्ति से: $kR = 1.83$, $k = 0.87\,\mathrm{fm}^{-1}$, $V_0 - B = (\hbar ck)^2/\mu c^2\cdot\tfrac12 \approx 31\,\mathrm{MeV}$: अतः $V_0 \approx 34\,\mathrm{MeV}$। (घ) भीतर: $\int_0^R\sin^2kr\,\dd r \approx 1.19\,\mathrm{fm}$; बाहर: $\sin^2(kR)/2\kappa \approx 2.0\,\mathrm{fm}$: अर्थात् प्रायिकता का लगभग $63\%$ कूप से परे है — ड्यूटेरॉन अधिकतर उसी क्षेत्र में रहता है जहाँ उसका बंधन-बल पहले ही चुक चुका है, अर्थात् एक शुद्ध क्वांटम प्रभामंडल।

हल — अभ्यास 7.11.

(क) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,\partial_t\rho\,\dd^3r = -\int x\operatorname{div}\vect\jmath\,\dd^3r = \int j_x\,\dd^3r = \langle p_x\rangle/m$ (खंडशः, और सीमा-पद लुप्त होते हुए)। (ख) $\langle\vect p\rangle = -\iu\hbar\int\psi^*\vect\nabla \psi$ का अवकलन कीजिए, समीकरण दो बार काम में लाइए; गतिज पद खंडशः कट जाते हैं, और $-\int|\psi|^2\vect\nabla V$ बचता है। (ग) $V$ अधिक से अधिक द्विघात हो: तब $\langle\vect\nabla V(\vect r)\rangle = \vect\nabla V(\langle \vect r\rangle)$ ठीक-ठीक। (घ) किसी द्विझिर्री के पीछे पुंज दो पालियों में बँट जाता है; $\langle\vect r\rangle$ सममिति-अक्ष पर सरकता रहता है, जहाँ कण लगभग कभी नहीं गिरता: औसत उस समुदाय के केंद्रक का वर्णन करता है, किसी के प्रक्षेप-पथ का नहीं।

हल — अभ्यास 7.12.

(क) गतिज: $1/a$ पैमाने की प्रवणताएँ $\hbar^2/2m_{\text{e}} a^2$ देती हैं; स्थितिज: बादल $\sim a$ दूरियों पर बैठा है, जिससे $-ke^2/a$ (यथार्थ गुणांक संयोग से $1$ निकलते हैं)। (ख) $\dd E/\dd a = 0$, $a = \hbar^2/m_{\text{e}}ke^2 = a_0$ पर; $E(a_0) = -ke^2/2a_0 = -13.6\,\mathrm{eV}$। (ग) $a_0$ से नीचे गतिज कीमत $1/a^2$ की तरह बढ़ती है, जो $-1/a$ के लाभ से तेज़ है: स्थानीकरण पर अनिश्चितता सिद्धांत कर लगाता है, और परमाणु ठीक बराबरी वाले आकार पर तैरता रहता है। (घ) $ke^2$ के स्थान पर $Gm_{\text{e}}m_{\text{p}} = 1.0 \times 10^{-67}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ रखिए: $a_{\text{गुरु}} = \hbar^2/m_{\text{e}}G m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 1.2 \times 10^{29}\,\mathrm{m}$ — प्रेक्षणीय ब्रह्मांड से भी बड़ा: गुरुत्व इतना दुर्बल है कि कोई क्वांटम कक्षा बंद नहीं कर सकता, और परमाणुओं के बदले तारे बनाता है।