विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

19क्वांटम सांख्यिकी

ताँबे के चालन-इलेक्ट्रॉन हवा से हज़ार गुना सघन एक गैस हैं — फिर भी वे ताँबे की ऊष्माधारिता में लगभग कुछ नहीं जोड़ते, और यही कांड पचास वर्ष तक चिरसम्मत भौतिकी को सताता रहा। रुबिडियम का एक बादल, केल्विन के अरबवें हिस्सों तक ठंडा किया गया, अचानक दस हज़ार परमाणु गहरी किसी एक ही क्वांटम अवस्था में ढह जाता है। सूर्य जितने द्रव्यमान और पृथ्वी जितने आकार का कोई मरा हुआ तारा और सिकुड़ने से इनकार कर देता है, और उसे अपवर्जन सिद्धांत के सिवा कुछ नहीं थामे रहता। तीनों भौतिकी का एक ही अध्याय हैं: किसी गैस का क्या होता है जब $n\lambda_T^3 \sim 1$ हो और अध्याय 18 के अधिभोग-सूत्र बोल्ट्ज़मान से हट जाएँ। फ़र्मिऑन सागर बनाते हैं — ठंडे, दृढ़, दबे हुए; और बोसॉन संघनित — मिलनसार, संसक्त, अतितरल। फ़र्मी सागर के मौन बहुमत और संघनित की भगदड़ के बीच आधुनिक संघनित-पदार्थ तथा निम्नताप भौतिकी का अधिकांश बसा है, और तारों की नियति भी।

19.1 अधिभोगों की गैसें

प्रतिज्ञप्ति 19.1 (क्वांटम गैस का यंत्र)

किसी बक्से में अन्योन्यक्रियाहीन कणों के लिए स्तरों पर योग प्रतिज्ञप्ति 7.5 के अवस्था घनत्व पर समाकल बन जाते हैं (प्रति चक्रण अवस्था, $g(\epsilon) = (V/4\pi^2)(2m/\hbar^2)^{3/2}\sqrt\epsilon$ ):

N = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\dd\epsilon , \qquad E = \int_0^\infty g(\epsilon)\,\bar n(\epsilon)\,\epsilon\, \dd\epsilon ,

जहाँ $\bar n$ फ़र्मी–डिराक या बोस–आइंस्टाइन अधिभोग है। पहला समीकरण $\mu(T, n)$ तय करता है; और दूसरा ऊष्मागतिकी देता है। विरल सीमा $n\lambda_T^3 \ll 1$ में दोनों सांख्यिकियाँ बोल्ट्ज़मान पर ढह जाती हैं और चिरसम्मत गैस लौट आती है; क्वांटम प्रांत वहीं शुरू होते हैं जहाँ तरंग-पुंज एक-दूसरे को छू लें।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

19.2 फ़र्मी सागर

प्रमेय 19.2 (अपह्रासित फ़र्मी गैस)

$T = 0$ पर फ़र्मिऑन हर स्तर को फ़र्मी ऊर्जा तक भर देते हैं

E_{\text{F}} = \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2n)^{2/3} \qquad (\text{चक्रण } \tfrac12) ,

जहाँ प्रति कण माध्य ऊर्जा $\tfrac35 E_{\text{F}}$ है और अपह्रासन दाब

P = \frac25\,n\,E_{\text{F}} \;\propto\; n^{5/3} :

अर्थात् परम शून्य पर एक दाब, जिसका उद्गम विशुद्ध क्वांटम है — हर धातु की इलेक्ट्रॉन गैस की कड़ाई और मरे हुए तारों का सहारा। $0 < T \ll T_{\text{F}} = E_{\text{F}}/k_{\text{B}}$ पर इस फ़र्मी सागर की सतह के $\sim k_{\text{B}}T$ भीतर वाले इलेक्ट्रॉन ही किसी बात पर अनुक्रिया कर सकते हैं: और अंश $\sim T/T_{\text{F}}$ ही धात्विक व्यवहार की मूल कुंजी है।

आंशिक उपपत्ति. $g(\epsilon)$ को $E_{\text{F}}$ तक भरिए: $N = \int_0^{ E_{\text{F}}}g\,\dd\epsilon$ को उलटने पर कथित $E_{\text{F}}$ मिलता है (अभ्यास 7.8); और एक और समाकल से $\langle\epsilon \rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ । दाब: बक्से को दबाने पर हर स्तर $V^{-2/3}$ की तरह चढ़ता है, अतः $E \propto V^{-2/3}$ और $P = -\partial E/\partial V = \tfrac23 E/V$ — और $E = \tfrac35 NE_{\text{F}}$ के साथ, वही कथित नियम। ∎

T T_ F पर फ़र्मी सागर: अधिभोग एक ज़रा-सी धुँधली सीढ़ी है। गहरे इलेक्ट्रॉन न प्रकीर्ण हो सकते हैं, न अवशोषित कर सकते हैं, न अनुक्रिया कर सकते हैं — हर सुलभ अवस्था भरी है; और धात्विक भौतिकी का सारा कारोबार सतह के उस पतले तापीय कोश में होता है। — $T \ll T_{\text{F}}$ पर फ़र्मी सागर: अधिभोग एक ज़रा-सी धुँधली सीढ़ी है। गहरे इलेक्ट्रॉन न प्रकीर्ण हो सकते हैं, न अवशोषित कर सकते हैं, न अनुक्रिया कर सकते हैं — हर सुलभ अवस्था भरी है; और धात्विक भौतिकी का सारा कारोबार सतह के उस पतले तापीय कोश में होता है।

उदाहरण 19.3 (ऊष्माधारिता का कांड, सुलझा)

चिरसम्मत ढंग से ताँबे के प्रति परमाणु एक मुक्त इलेक्ट्रॉन को ऊष्माधारिता में $\tfrac32 k_{\text{B}}$ जोड़ना चाहिए — अर्थात् द्यूलों–प्टी के ऊपर $50\%$ । मापा गया: कमरे के ताप पर लगभग $1\%$ । सागर इसे समझा देता है: $T_{\text{F}} \approx 8 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ के साथ केवल $\sim T/T_{\text{F}} \approx 0.4\%$ अंश के इलेक्ट्रॉन ही तापीय रूप से उत्तेजित हो सकते हैं, हर एक $\sim k_{\text{B}}T$ जितना:

C_{\text{el}} \approx \frac{\pi^2}{2}\, Nk_{\text{B}}\,\frac{T}{T_{\text{F}}}

(यही यथार्थ ज़ोमरफ़ेल्ट गुणांक है; अभ्यास 19.12)। $T$ में रैखिक होने के कारण वह साधारण तापों पर जालक के $T^3$ के नीचे दब जाता है, पर कुछ ही केल्विन से नीचे हावी हो जाता है — ठीक जैसा कैलोरीमापी पाते हैं, और इस तरह एक ही झटके में उन इलेक्ट्रॉनों की पहेली सुलझ जाती है जो धारा ढोते हैं पर ऊष्माधारिता नहीं।

उदाहरण 19.4 (अपवर्जन से थमे तारे)

कोई श्वेत वामन (अभ्यास 14.11) गुरुत्व को इलेक्ट्रॉनों के अपह्रासन दाब से संतुलित करता है। चूँकि तारे के सिकुड़ने पर $P \propto n^{5/3}$ गुरुत्व की माँगों से तेज़ी से कड़ा होता है, इसलिए किसी भी मामूली द्रव्यमान पर एक संतुलन-त्रिज्या मिल जाती है — और वह भी अजीब मापन $R \propto M^{-1/3}$ के साथ: भारी वामन अधिक छोटे होते हैं। और अधिक दबाने पर इलेक्ट्रॉन आपेक्षिकीय हो जाते हैं, दाब-नियम नरम पड़कर $n^{4/3}$ हो जाता है, और संतुलन किसी एक ही द्रव्यमान पर टूट जाता है — चंद्रशेखर सीमा $M_{\text{Ch}} \approx 1.4\,M_\odot$ (समस्या 19.1) — उसके आगे न्यूट्रॉन तारे तक ढहना: नाभिकीय घनत्व पर न्यूट्रॉनों का एक फ़र्मी सागर, वही भौतिकी $10^{14}$ गुने घनत्व पर।

19.3 बोसॉनों की भगदड़

प्रमेय 19.5 (बोस–आइंस्टाइन संघनन)

$N$ संरक्षित बोसॉनों की किसी गैस के लिए उत्तेजित अवस्थाएँ अधिक से अधिक $N_{\max}(T) = 2.612\,V/\lambda_T^3$ कण रख सकती हैं ( $g\bar n_{\text{BE}}$ का समाकल, उसकी छत $\mu \to 0$ पर)। क्रांतिक ताप से नीचे

k_{\text{B}}T_{\text{c}} = \frac{2\pi\hbar^2}{m} \Big(\frac{n}{2.612}\Big)^{2/3} \quad\text{(तुल्यतः } n\lambda_{T_{\text{c}}}^3 = 2.612 \text{)} ,

अतिरेक के पास एकमात्र मूल अवस्था के सिवा जाने की कोई जगह नहीं बचती: एक स्थूल जनसंख्या

\frac{N_0}{N} = 1 - \Big(\frac{T}{T_{\text{c}}}\Big)^{3/2}

एक ही क्वांटम अवस्था में संघनित हो जाती है — पदार्थ किसी विशाल तरंग फलन की तरह बरतता हुआ। आइंस्टाइन ने 1925 में बोस की फ़ोटॉन सांख्यिकी से इसकी भविष्यवाणी की; और 1995 में विरल रुबिडियम में $T_{\text{c}} \approx 100\,\mathrm{nK}$ पर यह साकार हुआ (नोबेल 2001), जिसकी घोषणा उस चुगली करते द्विशिखरी वेग-वितरण ने की: एक तापीय बादल, जिसके बीच से शून्य-वेग वाले संघनित की सुई उठती हुई।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

बाएँ: T_ c से नीचे मूल अवस्था की जनसंख्या स्थूल हो जाती है। दाएँ: 1995 का चिह्न — छोड़कर चित्रित करने पर बादल एक चौड़ा तापीय वितरण दिखाता है, जिसमें एक सँकरी शून्य-वेग शलाका है: एक ही क्वांटम अवस्था, कैमरे को दिखती हुई। — बाएँ: $T_{\text{c}}$ से नीचे मूल अवस्था की जनसंख्या स्थूल हो जाती है। दाएँ: 1995 का चिह्न — छोड़कर चित्रित करने पर बादल एक चौड़ा तापीय वितरण दिखाता है, जिसमें एक सँकरी शून्य-वेग शलाका है: एक ही क्वांटम अवस्था, कैमरे को दिखती हुई।

उदाहरण 19.6 (हीलियम, अनुभवी अतितरल)

द्रव $^4$ He (बोसॉनी) $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ पर एक अतितरल में बदल जाता है: महीन से महीन केशिकाओं से होकर शून्य श्यानता, पात्र की दीवारों पर फ़िल्म-बहाव, फ़व्वारा-प्रभाव, और $h/m$ की इकाइयों में क्वांटित परिसंचरण — अर्थात् किसी संघनित की स्थूल कला काम पर, जो अन्योन्यक्रियाओं के कारण आदर्श-गैस भविष्यवाणी (हीलियम के घनत्व के लिए $3.1\,\mathrm{K}$ ) से खिसकी हुई है, पर स्पष्ट रूप से वही परिघटना है। फ़र्मिऑनी $^3$ He अकेले संघनित नहीं हो सकता: उसके परमाणुओं को पहले युग्म बनाने पड़ते हैं (किसी अतिचालक के इलेक्ट्रॉनों की तरह, अध्याय 24), जिससे वे संयुक्त बोसॉन बनें — और अतितरलता आ भी जाती है, पर $2.6\,\mathrm{mK}$ पर, हज़ार गुना ठंडे: दो समस्थानिक, एक सीख — सांख्यिकी ही नियति है।

विधि 19.7 (कौन-सी सांख्यिकी, कौन-सा प्रांत)

(1) पहले $n\lambda_T^3$ निकालिए: $\ll1$ का अर्थ है बोल्ट्ज़मान, और विहित समुदाय ही काफ़ी है। (2) अपह्रासित फ़र्मिऑन: $E_{\text{F}}$ और $T/T_{\text{F}}$ में सोचिए; अनुक्रियाएँ (ऊष्माधारिता, प्रवृत्ति, प्रकीर्णन) या तो $T/T_{\text{F}}$ गुणक ढोती हैं या केवल फ़र्मी सतह का नमूना लेती हैं। (3) अपह्रासित बोसॉन: $T$ की $T_{\text{c}}$ से तुलना कीजिए; उससे नीचे गैस को संघनित और तापीय बादल में बाँट दीजिए। (4) दाब: $n^{5/3}$ की फ़र्मिऑनी कड़ाई (या $n^{4/3}$ आपेक्षिकीय) उस चीज़ के सामने जो दबा रही हो। (5) संयुक्त कण: सांख्यिकी चुनने के लिए घटक फ़र्मिऑन गिनिए — और याद रखिए कि युग्मन एक सांख्यिकी को दूसरी में बदल सकता है।

कोई अतिचालक किसी चुंबक की क्षेत्र-रेखाओं को परे धकेलकर उसे हवा में थामे हुए: अपने क्रांतिक ताप से नीचे इलेक्ट्रॉन-तरल एक ही स्थूल क्वांटम अवस्था में संघनित हो जाता है — अपह्रासन की भौतिकी, जो एक चकती को हवा में टिकाए रखती है।

19.4 अभ्यास

अभ्यास 19.1 ★

$E_{\text{F}}$ और $T_{\text{F}}$ निकालिए: (क) ताँबे के लिए ( $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (ख) सोडियम के लिए ( $2.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ); (ग) द्रव $^3$ He के लिए ( $1.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 3u$ ); (घ) इन्हें कमरे के ताप के सामने क्रम में रखिए और बताइए कि कौन कब अपह्रासित है।

हल

हल — अभ्यास 19.1.

(क) $7.1\,\mathrm{eV}$ , $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ । (ख) $3.2\,\mathrm{eV}$ , $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ । (ग) $m = 3u$ के साथ: $E_{\text{F}} \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ , $T_{\text{F}} \approx 5\,\mathrm{K}$ (आदर्श-गैस वाला मान; अन्योन्यक्रियाएँ उसे घटाती हैं)। (घ) धातु के इलेक्ट्रॉन: हर पार्थिव ताप पर अपह्रासित; $^3$ He: केवल कुछ केल्विन से नीचे; और $T = 300\,\mathrm{K}$ किसी धातु के फ़र्मी पैमाने को छूता तक नहीं।

अभ्यास 19.2 ★

(क) दिखाइए कि $\langle\epsilon\rangle = \tfrac35 E_{\text{F}}$ , $T = 0$ पर। (ख) ताँबे में इलेक्ट्रॉनों की वर्ग-माध्य-मूल चाल निकालिए। (ग) वह चाल चिरसम्मत ढंग से किस ताप के तुल्य है? (घ) कोई ठंडी धातु प्रकाश की गति के सौवें हिस्से पर चलते इलेक्ट्रॉन अपने भीतर रखती है और फिर भी वह ऊर्जा विकिरित क्यों नहीं कर देती?

हल

हल — अभ्यास 19.2.

(क) $\int_0^{E_{\text{F}}}\epsilon\,g\,\dd\epsilon/\int g\,\dd \epsilon = \tfrac35 E_{\text{F}}$ , क्योंकि $g \propto \sqrt\epsilon$ । (ख) $v_{\text{F}} = \sqrt{2E_{\text{F}}/m_{\text{e}}} = 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; और वर्ग-माध्य-मूल $\sqrt{3/5}\,v_{\text{F}} \approx 1.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । (ग) $\tfrac32 k_{\text{B}}T = \tfrac35 E_{\text{F}}$ : $T \approx 3.3 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ । (घ) जाने की कोई जगह ही नहीं है: हर निचली अवस्था भरी हुई है, अतः न कोई फ़ोटॉन उत्सर्जित हो सकता है, न कोई संघट्ट उन्हें धीमा कर सकता है — अपवर्जन के कारण बिना ऊष्मा वाली चाल।

अभ्यास 19.3 ★

ताँबे के इलेक्ट्रॉनों का अपह्रासन दाब: (क) $P = \tfrac25 nE_{\text{F}}$ का मान पास्कल और वायुमंडल में निकालिए। (ख) वह धातु फट क्यों नहीं जाती (कौन पीछे खींचता है)? (ग) यह दाब संपीडन का विरोध करता है: धातुओं की कम संपीड्यता से जोड़िए। (घ) आयतन गुणांक $K \sim \tfrac53 P$ आकलिए और ताँबे के मापे गए $140\,\mathrm{GPa}$ से तुलिए।

हल

हल — अभ्यास 19.3.

(क) $P = 0.4 \times 8.5 \times 10^{28} \times 7.1\,\mathrm{eV} = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa} \approx 4 \times 10^{5}$ वायुमंडल। (ख) आयन-जालक का कूलॉम आकर्षण: धातु उन दोनों के बीच की संधि है (अभ्यास 19.11)। (ग) दबाने पर $E_{\text{F}}$ तेज़ी से चढ़ता है ( $n^{2/3}$ ): धातुएँ विरोध करती हैं। (घ) $K \sim \tfrac53 P \approx 65\,\mathrm{GPa}$ , मापे गए $140\,\mathrm{GPa}$ के सामने: ताँबे की आधी कड़ाई विशुद्ध अपवर्जन है।

अभ्यास 19.4 ★

BEC की देहलियाँ। (क) $T_{\text{c}}$ निकालिए, रुबिडियम-87 ( $m = 1.44 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ) के लिए, $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ पर। (ख) उसी $n$ के लिए हाइड्रोजन परमाणुओं का $T_{\text{c}}$ क्या होता? (ग) प्रयोग मिलिकेल्विन पर सघन गैसों के बजाय नैनोकेल्विन पर विरल गैसें क्यों काम में लेते हैं (ऊँचे घनत्व और कम ताप पर रासायनिक रूप से क्या होता है)? (घ) अपनी रुबिडियम संख्याओं पर संगति-नियम $n\lambda_{T_c}^3 = 2.612$ जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 19.4.

(क) $T_{\text{c}} \approx 0.4\,\text{µ}\mathrm{K}$ — और JILA का संघनित $170\,\mathrm{nK}$ पर प्रकट हुआ: वही भौतिकी, बस ज़रा कम शिखर-घनत्व। (ख) $T_{\text{c}} \propto 1/m$ : $\times87 \approx 35\,\text{µ}\mathrm{K}$ । (ग) इतने ऊँचे घनत्व और इतनी ठंड पर चक्रण-ध्रुवित हाइड्रोजन के सिवा हर गैस जम जाती है; और त्रि-पिंड संघट्ट अणु बना देते हैं। तरकीब यह है कि गैस विरल और अर्धस्थायी हो, पर इतनी ठंडी कि $\lambda_T$ उस विरलता की भरपाई कर दे। (घ) $\lambda_{T_{\text{c}}} = h/\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T_{\text{c}}} \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $n\lambda^3 = 10^{20} \times 2.7 \times 10^{-20} \approx 2.7$ , जैसा नियम माँगता है।

अभ्यास 19.5 ★★

दो ऊष्माधारिताएँ। किसी धातु में $C = \gamma T + \beta T^3$ (इलेक्ट्रॉन; जालक)। (क) उदाहरण 19.3 और डिबाई-सरीखे जालक-पद $\beta T^3 = 234\,Nk_{\text{B}}(T/\theta_{\text{D}})^3$ से ताँबे के लिए संक्रमण-ताप आकलिए ( $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ , $T_{\text{F}} = 8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ )। (ख) $300\,\mathrm{K}$ पर इलेक्ट्रॉनों का हिस्सा प्रतिशत में। (ग) $0.1\,\mathrm{K}$ पर? (घ) प्रयोगकर्ता $C/T$ को $T^2$ के सामने क्यों आलेखित करते हैं, और उस सरल रेखा का अंतःखंड तथा ढाल क्या देते हैं?

हल

हल — अभ्यास 19.5.

(क) $\gamma T = \beta T^3$ तब, जब $T^2 = \gamma/\beta$ : ताँबे के लिए $T \approx 3\,\mathrm{K}$ । (ख) $C_{\text{el}}/C \approx (\pi^2/2)(300/8.2 \times 10^{4})/3 \approx 0.6\%$ । (ग) $0.1\,\mathrm{K}$ पर जालक-पद $T^3$ की तरह ढह चुका है: इलेक्ट्रॉन $\sim10^3$ गुना अधिक ढोते हैं — कैलोरीमिति इलेक्ट्रॉन-वर्णक्रममिति बन जाती है। (घ) $C/T = \gamma + \beta T^2$ $T^2$ में एक सरल रेखा है: अंतःखंड $\gamma$ फ़र्मी स्तर पर अवस्था घनत्व नापता है, और ढाल $\beta$ डिबाई ताप — एक ही आलेख से प्रति धातु दो संख्याएँ।

अभ्यास 19.6 ★★

एक सौर द्रव्यमान ( $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ) और पृथ्वी की त्रिज्या ( $R = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) वाला कोई श्वेत वामन, प्रति दो न्यूक्लिऑन एक इलेक्ट्रॉन। (क) $n_{\text{e}}$ और $E_{\text{F}}$ निकालिए (अनापेक्षिकीय सूत्र)। (ख) $E_{\text{F}}$ की तुलना $m_{\text{e}}c^2$ से और भीतरी $10^{7}\,\mathrm{K}$ पर $k_{\text{B}}T$ से कीजिए: “ठंडा” और “लगभग आपेक्षिकीय” दोनों को एक साथ उचित ठहराइए। (ग) अपह्रासन दाब $\tfrac25 nE_{\text{F}}$ की तुलना गुरुत्वीय दाब के आकलन $\sim GM^2/R^4$ से कीजिए: क्या वही कोटि? (घ) $M$ बढ़ने पर संतुलन के हर पक्ष का गुणात्मक रूप से क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 19.6.

(क) $N_{\text{e}} = M/2m_{\text{n}} = 6 \times 10^{56}$ ; $n = 5.5 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $E_{\text{F}} \approx 0.24\,\mathrm{MeV}$ । (ख) इलेक्ट्रॉन की विराम ऊर्जा का आधा (आपेक्षिकीय का किनारा), फिर भी $k_{\text{B}}T$ ( $0.9\,\mathrm{keV}$ ) का तीन सौ गुना: श्वेत-तप्त और क्वांटम-ठंडा, एक साथ। (ग) $P_{\text{अप}} \approx 9 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}$ , जबकि $GM^2/R^4 \sim 10^{22}\,\mathrm{Pa}$ : वही कोटि — तारा ठीक यही संतुलन है। (घ) और द्रव्यमान: गुरुत्व का पक्ष $M^2$ की तरह बढ़ता है, और तारे को सिकुड़ना पड़ता है ( $R \propto M^{-1/3}$ ), जिससे $E_{\text{F}}$ आपेक्षिकीय नरमी की ओर धकेला जाता है।

अभ्यास 19.7 ★★

न्यूट्रॉन पदार्थ। कोई न्यूट्रॉन तारा $M = 1.4\,M_\odot$ को $R \approx 11\,\mathrm{km}$ में ठूँसता है। (क) न्यूट्रॉन घनत्व निकालिए और नाभिकीय घनत्व ( $2.3 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) से तुलिए। (ख) न्यूट्रॉनों के लिए $E_{\text{F}}$ निकालिए (अनापेक्षिकीय; $m_{\text{n}}c^2 = 939\,\mathrm{MeV}$ ) और जाँचिए कि वे कितने आपेक्षिकीय हैं। (ग) तारे के इलेक्ट्रॉन क्यों लुप्त हो गए (प्रतिलोम बीटा क्षय: $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ — किस चीज़ ने इलेक्ट्रॉनों की $E_{\text{F}}$ से उसकी कीमत चुकवाई)? (घ) इस पदार्थ की एक चम्मच का भार कितना होगा?

हल

हल — अभ्यास 19.7.

(क) $\rho \approx 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : नाभिकीय घनत्व से लगभग दुगना — शहर के आकार का कोई नाभिक। (ख) $n_{\text{n}} \approx 3 \times 10^{44}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $E_{\text{F}} \approx 90\,\mathrm{MeV}$ , यानी $m_{\text{n}}c^2$ का दसवाँ हिस्सा: आपेक्षिकता दस्तक दे रही है। (ग) इलेक्ट्रॉनों की फ़र्मी ऊर्जा $\text{e} + \text{p} \to \text{n} + \nu$ की $0.78\,\mathrm{MeV}$ लागत से ऊपर चढ़ गई: परिग्रहण लाभकारी हो गया, और तारे ने अपने इलेक्ट्रॉन तथा प्रोटॉन न्यूट्रॉनों से बदल लिए। (घ) $5\,\mathrm{cm}^{3} \times 5 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} = 2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$ : एक चम्मच, जो किसी पर्वत-शृंखला से भारी है।

अभ्यास 19.8 ★★

बिना संख्या वाले बोसॉन। (क) फ़ोटॉनों का $\mu = 0$ सदा रहता है: वे प्रमेय 19.5 वाला संघनन क्यों नहीं कर सकते (ठंडा करने पर गैस इसके बदले क्या करती है)? (ख) रुबिडियम परमाणुओं के पास कौन-सा संरक्षण-नियम है जो फ़ोटॉनों के पास नहीं? (ग) 2010 में किसी रंजक-भरी गुहा में फ़ोटॉन BEC बना ही लिया गया, जहाँ फ़ोटॉन तापीय संतुलन में आते हैं और उनकी संख्या व्यवहारतः नियत रहती है: उस रंजक-गुहा ने कौन-सी सामग्री लौटा दी? (घ) किसी क्रिस्टल में फ़ोनॉन: संघनन या नहीं, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 19.8.

(क) किसी गुहा को ठंडा करना बस फ़ोटॉन हटा देता है (दीवारें उन्हें सोख लेती हैं): जब संरक्षित करने को कोई संख्या ही न हो, तो $\mu$ शून्य पर टँका रहता है और कोई अतिरेक कभी मूल मोड में जमा नहीं होता — गैस संघनित होने के बजाय मंद पड़ जाती है। (ख) परमाणुओं की संख्या हर प्रयोगशाला-काल-पैमाने पर संरक्षित रहती है। (ग) रंजक फ़ोटॉनों को बार-बार सोखता और फिर उत्सर्जित करता है, बिना उन्हें खोए, कम से कम तापीयकरण के काल-पैमाने पर: यानी व्यवहारतः संरक्षित फ़ोटॉन-संख्या (और गुहा से एक प्रभावी द्रव्यमान) — और तब संघनन आ ही जाता है। (घ) फ़ोनॉन: स्वतंत्र रूप से बनते और मिटते हैं, $\mu = 0$ : कोई संघनन नहीं — किसी क्रिस्टल की “फ़ोनॉन गैस” बस जम जाती है।

अभ्यास 19.9 ★★

हीलियम के दो समस्थानिक। (क) आदर्श-गैस वाला $T_{\text{c}}$ निकालिए, द्रव $^4$ He ( $n = 2.2 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $m = 4u$ ) के लिए, और $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (ख) सहमति केवल मोटी-मोटी क्यों है (किसी द्रव में “आदर्श” क्या अनदेखा करता है)? (ग) लगभग उसी घनत्व वाला $^3$ He मिलिकेल्विन तक सामान्य बना रहता है: वह रुकावट और प्रकृति का खोजा हुआ उपाय बताइए। (घ) संयुक्त कणों का तर्क जाँचिए: किसी $^3$ He युग्म में सम संख्या में फ़र्मिऑन होते हैं — अर्थात् बोसॉन; और $^6$ Li में $3\text{p} + 3\text{n} + 3\text{e} = 9$ फ़र्मिऑन हैं: उसे वर्गीकृत कीजिए, और उन प्रसिद्ध शीत-गैस प्रयोगों के नाम लीजिए जो ठीक इसी लीथियम–लीथियम विरोध का दोहन करते हैं।

हल

हल — अभ्यास 19.9.

(क) $T_{\text{c}}^{\text{आदर्श}} \approx 3.1\,\mathrm{K}$ , जबकि मापा गया $T_\lambda = 2.17\,\mathrm{K}$ । (ख) द्रव हीलियम सघन है और प्रबल अन्योन्यक्रिया करता है: “आदर्श” उन्हीं अन्योन्यक्रियाओं को छोड़ देता है जो संक्रमण को खिसकाती (और उसका आकार बदलती) हैं। (ग) $^3$ He के परमाणु फ़र्मिऑन हैं: बिना युग्मन के कोई संघनन नहीं; आकर्षी अन्योन्यक्रियाएँ कूपर-सरीखे युग्म केवल $2.6\,\mathrm{mK}$ से नीचे बाँधती हैं, और तब वह युग्मित द्रव अतिबहाव करने लगता है। (घ) नौ फ़र्मिऑन: $^6$ Li एक फ़र्मिऑन है (जबकि $^7$ Li एक बोसॉन) — लीथियम के समस्थानिकों का यह जोड़ा एक ही प्रयोगशाला को उसी भट्ठी में फ़र्मी सागर और संघनित, दोनों पढ़ने देता है।

अभ्यास 19.10 ★★★

$T_{\text{c}}$ , ईमानदारी से। (क) $N_{\text{उत्त}} = \int_0^\infty g(\epsilon)\dd\epsilon/(\eu^{\beta\epsilon} - 1)$ को $\mu = 0$ पर लिखिए और $x = \beta\epsilon$ के साथ उसे $N_{\text{उत्त}} = (V/\lambda_T^3)\cdot\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^\infty\frac{\sqrt x\,\dd x}{\eu^x - 1}$ तक घटाइए। (ख) $\int_0^\infty\sqrt x\,\dd x/( \eu^x - 1) = 2.612\,\sqrt\pi/2$ दिया हो, तो वह छत और $T_{\text{c}}$ पाइए। (ग) संघनित अंश $1 - (T/T_{\text{c}})^{3/2}$ व्युत्पन्न कीजिए। (घ) वही तर्क किसी द्विविमीय बक्से में कोई संघनन क्यों नहीं देता ( $g( \epsilon)$ कैसे बदलता है, और समाकल के अभिसरण का क्या होता है)?

हल

हल — अभ्यास 19.10.

(क) $g \propto \sqrt\epsilon$ रखिए और $\beta$ बाहर निकाल लीजिए। (ख) समाकल का मान देता है $N_{\text{उत्त}} = 2.612\,V/\lambda_T^3$ ; और $N_{\text{उत्त}} = N$ रखना $T_{\text{c}}$ परिभाषित कर देता है। (ग) $T_{\text{c}}$ से नीचे $N_{\text{उत्त}}(T) = N(T/T_{\text{c}})^{3/2}$ ; और शेष $N_0$ है। (घ) दो विमाओं में $g(\epsilon)$ अचर है और $\int\dd\epsilon/(\eu^{ \beta\epsilon} - 1)$ तली पर अपसरित हो जाता है: उत्तेजित अवस्थाएँ सबको सदा सोख सकती हैं — किसी भी $T > 0$ पर मूल अवस्था की कोई स्थूल जनसंख्या नहीं।

अभ्यास 19.11 ★★★

धातुएँ आपस में क्यों जुड़ी रहती हैं। किसी धातु का प्रतिरूप घनत्व $n$ के इलेक्ट्रॉनों से बनाइए (प्रति इलेक्ट्रॉन फ़र्मी ऊर्जा की लागत $\propto n^{2/3}$ ), जो किसी उदासीनकारी आयन-पृष्ठभूमि से आकर्षित हों (प्रति इलेक्ट्रॉन कूलॉम लाभ $\sim -e^2n^{1/3}/4\pi\varepsilon_0$ )। (क) प्रति इलेक्ट्रॉन ऊर्जा $\epsilon(n) = An^{2/3} - Bn^{1/3}$ लिखिए और दिखाइए कि उसका कोई न्यूनतम है। (ख) दिखाइए कि संतुलन पर इलेक्ट्रॉनों का अंतराल $a_0$ की कोटि का है — धात्विक घनत्व संयोग नहीं हैं। (ग) न्यूनतम पर संसंजन ऊर्जा का पैमाना eV में आकलिए। (घ) इस बद्ध अवस्था में अपह्रासन दाब की क्या भूमिका है (कूलॉम पतन को कौन रोकता है)?

हल

हल — अभ्यास 19.11.

(क) $\dd\epsilon/\dd n = \tfrac23 An^{-1/3} - \tfrac13 Bn^{-2/3} = 0$ तब, जब $n^{1/3} = B/2A$ : एक सच्चा न्यूनतम। (ख) $A \sim \hbar^2/m_{\text{e}}$ और $B \sim e^2/4\pi\varepsilon_0$ के साथ संतुलन-अंतराल $n^{-1/3} \sim \hbar^2 4\pi\varepsilon_0/ m_{\text{e}}e^2 = a_0$ : धातुएँ सघन इसलिए हैं कि बोर त्रिज्या ऐसा कहती है। (ग) $\epsilon_{\min} \sim -B^2/A \sim -E_{\text{I}}$ — अर्थात् इलेक्ट्रॉन-वोल्ट का संसंजन, जैसा नापा गया। (घ) अपह्रासन दाब उस संधि का प्रतिकर्षी आधा हिस्सा है: उसके बिना कूलॉम पद जालक को कुचलकर एक बिंदु बना देता — पदार्थ का भारीपन पाउली का है।

अभ्यास 19.12 ★★★

ज़ोमरफ़ेल्ट का कोश, संख्याओं में। (क) तर्क दीजिए: $N$ इलेक्ट्रॉनों में से केवल $\sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ सक्रिय कोश में बैठते हैं, हर एक $\sim k_{\text{B}}T$ अतिरिक्त ऊर्जा लिए: इससे किसी नियतांक तक $C_{\text{el}} \sim g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}^2T$ व्युत्पन्न कीजिए। (ख) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ के साथ $C_{\text{el}} \sim Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ पुनः पाइए (यथार्थ नियतांक $\pi^2/2$ है)। (ग) वही कोश-तर्क पाउली की ताप-निरपेक्ष चक्रण-प्रवृत्ति देता है: केवल कोश के इलेक्ट्रॉन ही पलट सकते हैं — पर कोश $T$ की तरह बढ़ता है जबकि हर योगदान $1/T$ की तरह गिरता है: वह कटाव दिखाइए। (घ) अपह्रासित फ़र्मिऑनों के लिए व्यापक सार बताइए: हर अनुक्रिया चिरसम्मत अनुक्रिया गुणा $\sim T/T_{\text{F}}$ है, या उसका केवल-सतह वाला समरूप।

हल

हल — अभ्यास 19.12.

(क) सक्रिय इलेक्ट्रॉन: $g(E_{\text{F}})k_{\text{B}}T$ ; प्रति एक ऊर्जा: $\sim k_{\text{B}}T$ ; और $E_{\text{अति}} \sim g k_{\text{B}}^2T^2$ का अवकलन कीजिए। (ख) $g(E_{\text{F}}) = 3N/2E_{\text{F}}$ देता है $C \sim 3Nk_{\text{B}}T/T_{\text{F}}$ — और यथार्थ $\pi^2/2$ उस 3 की जगह ले लेता है। (ग) पलटने योग्य चक्रण $\propto T$ ; और हर एक का संरेखण-योगदान $\propto \mu^2B/k_{\text{B}}T$ : दोनों $T$ कट जाते हैं — पाउली की प्रवृत्ति सपाट है, जबकि क्यूरी की (अभ्यास 17.11) $1/T$ की तरह गिरती है: यही अपह्रासन की पहचान है। (घ) अपह्रासित फ़र्मिऑन केवल अपनी सतह पर अनुक्रिया करते हैं: किसी भी चिरसम्मत उत्तर को $\sim T/T_{\text{F}}$ से गुणा कीजिए, या उसे फ़र्मी कोश तक सीमित कर दीजिए।

पहला बोस–आइंस्टाइन संघनित (NIST/JILA, 1995, सार्वजनिक डोमेन): बाएँ से दाएँ गैस के ठंडा होते जाने पर रुबिडियम परमाणुओं के वेग-वितरण — तापीय पहाड़ी ढहकर संघनित की शलाका बन जाती है, भविष्यवाणी के सत्तर वर्ष बाद।

19.5 समस्या: सबसे भारी संभव श्वेत वामन

समस्या 19.1

सप्ताहांत समस्या — चंद्रशेखर सीमा, और उसके जलाए हुए दीपक

1930 में, उन्नीस वर्ष की आयु में, सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर ने इंग्लैंड जाते जहाज़ पर यह गणना की कि इलेक्ट्रॉनों का अपह्रासन किसी मरे हुए तारे को केवल किसी निश्चित द्रव्यमान तक ही थाम सकता है। वह परिणाम — जिसका एडिंगटन ने कड़वाहट से विरोध किया — न्यूट्रॉन तारों, कृष्ण विवरों और उन अधिनवतारा “मानक दीपकों” के नीचे बैठा है जिन्होंने त्वरित होते ब्रह्मांड को उजागर किया। यह समस्या उसे मापन से गढ़ती है। आँकड़े: $M_\odot = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; प्रति $\mu_e = 2$ न्यूक्लिऑन एक इलेक्ट्रॉन; $m_{\text{ n}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ; $\hbar c = 3.16 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ ; $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ।

भाग I — दो ऊर्जाओं का संतुलन। द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ वाले किसी तारे के लिए, प्रति एकांक द्रव्यमान ऊर्जाओं को मापन से बरतिए।

गुरुत्वीय ऊर्जा: $E_{\text{g}} \sim -GM^2/R$ — उसका उद्गम याद कीजिए।
इलेक्ट्रॉन-गिनती $N_{\text{e}} = M/\mu_e m_{\text{n}}$ और घनत्व $n \sim N_{\text{e}}/R^3$ : अनापेक्षिकीय फ़र्मी ऊर्जा का पैमाना $M$ और $R$ के फलन के रूप में लिखिए।
दिखाइए कि कुल गतिज (अपह्रासन) ऊर्जा $E_{\text{k}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}} R^2$ की तरह चलती है।
$E_{\text{k}} + E_{\text{g}}$ को $R$ पर न्यूनतम कीजिए और दिखाइए कि संतुलन-त्रिज्या $R \sim \hbar^2 N_{\text{e}}^{-1/3}/(G\,m_{\text{e}}\, m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ है।
मापन $R \propto M^{-1/3}$ पढ़िए: भारी वामन छोटे होते हैं। इसमें अभी से मुसीबत की गंध क्यों आती है?
$R$ का मान $M = 1\,M_\odot$ के लिए निकालिए और सीरियस B के मापे गए $\approx5800\,\mathrm{km}$ से तुलिए।

भाग II — आपेक्षिकता फ़र्श ही खींच लेती है।

$R$ के सिकुड़ने पर $E_{\text{F}}$ बढ़ता है: वह घनत्व आकलिए जिस पर $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ , और उससे संगत वामन-द्रव्यमान का क्षेत्र भी।
अति-आपेक्षिकीय प्रांत में हर इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $\sim\hbar c\,n^{1/3}$ होती है: दिखाइए कि गतिज ऊर्जा $E_{\text{k}} \sim \hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3}/R$ बन जाती है।
अब दोनों ऊर्जाएँ $1/R$ की तरह चलती हैं: निष्कर्ष निकालिए कि संतुलन अब कोई त्रिज्या नहीं चुनता — इसके बदले दोनों गुणांकों की तुलना कीजिए।
$\hbar c\,N_{\text{e}}^{4/3} \sim GM^2 = G(\mu_em_{\text{n}}N_{\text{e}})^2$ रखकर क्रांतिक इलेक्ट्रॉन-संख्या और द्रव्यमान व्युत्पन्न कीजिए

$M_{\text{Ch}} \sim \Big(\frac{\hbar c}{G\,m_{\text{n}}^2}\Big)^{3/2} \frac{m_{\text{n}}}{\mu_e^2} .$
विमाहीन अनुपात $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2$ का मान निकालिए — भौतिकी की महान शुद्ध संख्याओं में से एक — और फिर $M_{\text{Ch}}$ को सौर द्रव्यमानों में (यथार्थ विवेचन $1.4\,M_\odot$ देता है)।
सूत्र की व्याख्या कीजिए: कौन-से तीन नियतांक मिलकर षड्यंत्र करते हैं, और किसी तारे पर लगी कोई क्वांटम सीमा $\hbar$ क्यों ढोती है?

भाग III — सीमा के पार।

$M_{\text{Ch}}$ के पार धकेला गया कोई वामन (किसी साथी से अभिवृद्धि): उसे आगे कौन थामता है, और किस त्रिज्या-पैमाने पर (भाग I की त्रिज्या में $m_{\text{e}}$ की जगह $m_{\text{n}}$ और $\mu_e$ की जगह 1 रखिए)?
दिखाइए कि न्यूट्रॉन तारे की अपनी आपेक्षिकीय सीमा भी उसी कोटि $M_{\text{Ch}}$ की है — प्रकृति केवल दुगने की छूट देती है (प्रेक्षित अधिकतम $\approx 2.2\,M_\odot$ )। उसके आगे क्या प्रतीक्षा में है?
न्यूट्रॉन तारे तक ढहने के दौरान $\sim GM^2/R_{ \text{ns}}$ जितनी गुरुत्वीय ऊर्जा मुक्त होती है: $M = 1.4\,M_\odot$ , $R = 11\,\mathrm{km}$ के लिए उसका मान निकालिए और सूर्य के पूरे $10\,\mathrm{Gyr}$ के उत्पादन ( $\sim1.2 \times 10^{44}\,\mathrm{J}$ ) से तुलिए।
उसका लगभग सारा हिस्सा सेकंडों में न्यूट्रिनो बनकर निकल जाता है: 1987 के किस प्रेक्षण ने इस चित्र की शानदार पुष्टि की?
ढहते क्रोड का पलटाव और न्यूट्रिनो का धक्का बाहरी आवरण उड़ा देते हैं: एक क्रोड-पतन अधिनवतारा। एक-एक वाक्य में इसे चंद्रशेखर देहली पर सुलगते किसी श्वेत वामन के तापनाभिकीय (Ia प्रकार) अधिनवतारे से अलग कीजिए।
किसी सार्वभौमिक द्रव्यमान पर विस्फोट होना Ia प्रकार के अधिनवतारों को लगभग एक-सा क्यों बना देता है — और इस तरह मानक दीपकों के रूप में उपयोगी?

भाग IV — दीपक और ब्रह्मांड।

किसी मानक दीपक की आभासी चमक उसकी दूरी दे देती है: व्युत्क्रम-वर्ग का तर्क बताइए और यह भी कि मानक ही क्यों निर्णायक शब्द है।
1998 में दो दलों ने दूर के Ia प्रकार के अधिनवतारे अपेक्षा से धुँधले पाए: निष्कर्ष बताइए (प्रसार त्वरित हो रहा है — कृष्ण ऊर्जा) और यह भी कि दीपक की विश्वसनीयता ही क्यों निर्णायक थी।
इस समस्या की शृंखला एक पंक्ति में गिनाइए: पाउली $\to$ अपह्रासन दाब $\to$ $M_{\text{Ch}}$ $\to$ एक-से विस्फोट $\to$ ब्रह्मांडीय त्वरण।
एडिंगटन ने परिणाम का उपहास किया (“एक तारा बेतुकी हरकतें करता हुआ”); और चंद्रशेखर को तिरपन वर्ष बाद नोबेल पुरस्कार मिला: यह प्रसंग समीकरणों का आरामदेह निष्कर्षों से आगे तक पीछा करने के बारे में क्या सिखाता है?
1915 में सीरियस B के वर्णक्रम से प्रति घन सेंटीमीटर एक टन निकला — जो “बकवास” था, जब तक कि 1926 में फ़र्मी की सांख्यिकी के महीनों भीतर फ़ाउलर ने उस तारे को एक अपह्रासित गैस के रूप में न समझा दिया: बताइए कि वह पहेली एक वर्ष अनसुलझी और अगले ही वर्ष सामान्य क्यों थी।
हज़ारों श्वेत वामनों के सर्वेक्षण पाते हैं कि उनके द्रव्यमान $0.6\,M_\odot$ के पास गुच्छित हैं और कोई भी $\approx1.4\,M_\odot$ से ऊपर नहीं: वह एक ही आयतचित्र इस समस्या की कौन-सी दो भविष्यवाणियों की पुष्टि करता है?
नामित परिणाम का सार दीजिए: $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{ 3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ — प्रकृति के तीन नियतांक, जो सबसे भारी संभव श्वेत वामन तय करते हैं, यानी ब्रह्मांड के अंशांकित विस्फोटों का ट्रिगर-द्रव्यमान।

हल

हल — समस्या 19.1.

1. बिखरे पदार्थ से तारा बनाने में निकली ऊर्जा — ऋणात्मक, और सघनता के साथ गहरी। 2. $E_{\text{F}} \sim (\hbar^2/m_{\text{e}}) (N_{\text{e}}/R^3)^{2/3}$ । 3. गतिज ऊर्जा $E_{\text{k}} \sim N_{\text{e}}E_{\text{F}} \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{5/3}/m_{\text{e}}R^2$ के क्रम की है। 4. $A/R^2 - B/R$ को न्यूनतम करने पर $R = 2A/B$ : $R \sim \hbar^2N_{\text{e}}^{-1/3}/(Gm_{\text{e}}m_{\text{n}}^2\mu_e^2)$ । 5. $N_{\text{e}} \propto M$ : $R \propto M^{-1/3}$ — द्रव्यमान जोड़ना तारे को सिकोड़ देता है, अतः घनत्व और $E_{\text{F}}$ बिना सीमा बढ़ते हैं: अनापेक्षिकीय सहारा उधार पर जी रहा है। 6. $N_{\text{e}} = 6 \times 10^{56}$ : $R \sim 2000\,\mathrm{km}$ — सीरियस B के $5800\,\mathrm{km}$ के बगल में सही कोटि (हमारे मापन ने कुछ की कोटि वाले गुणक छोड़ दिए)। 7. $E_{\text{F}} \sim m_{\text{e}}c^2$ तब, जब $n \sim (m_{\text{e}}c/\hbar)^3 \approx 2 \times 10^{37}\,\mathrm{m}^{-3}$ , अर्थात् $\rho \sim 10^{10}$ – $10^{11}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : सबसे भारी वामनों का प्रांत। 8. प्रति इलेक्ट्रॉन: $\epsilon \sim \hbar c\,n^{1/3}$ ; और कुल: $\hbar cN_{\text{e}}^{4/3}/R$ । 9. दोनों पद $\propto 1/R$ होने से त्रिज्या निकल जाती है: स्थायित्व इस पर तय होता है कि गतिज गुणांक गुरुत्वीय गुणांक से बड़ा है या नहीं — अर्थात् एक विशुद्ध द्रव्यमान-कसौटी। 10. बराबर कीजिए: $N_{\text{e,क्रां}} \sim (\hbar c/ Gm_{\text{n}}^2\mu_e^2)^{3/2}$ , और $M_{\text{Ch}} = \mu_em_{\text{n}}N_{\text{e,क्रां}}$ : वही कथित सूत्र। 11. $\hbar c/Gm_{\text{n}}^2 = 1.7 \times 10^{38}$ ; $M_{\text{Ch}} \sim (1.7 \times 10^{38})^{3/2}m_{\text{n}}/4 \approx 9 \times 10^{29}\,\mathrm{kg} \approx 0.5\,M_\odot$ — और यथार्थ गणना उस कोटि-आकलन को तीखा करके $1.4\,M_\odot$ कर देती है। 12. $\hbar$ (दाब क्वांटम है), $c$ (उसकी आपेक्षिकीय नरमी), $G$ (प्रतिद्वंद्वी): तीन सूक्ष्म नियतांकों से बनी एक तारा-आकार की संख्या — क्वांटम यांत्रिकी $10^{57}$ कणों की वस्तुओं के लिए कानून बनाती हुई। 13. न्यूट्रॉन अपह्रासन, और वह भी $\sim m_{\text{e}}/m_{\text{n}}$ गुना छोटी त्रिज्या पर ( $\mu_e$ के हिसाब सहित): किलोमीटर — अर्थात् न्यूट्रॉन तारा। 14. वही तीन नियतांक, हर जगह $m_{\text{n}}$ के साथ, वही द्रव्यमान-पैमाना देते हैं: न्यूट्रॉन तारे $2\,M_\odot$ के पास चोटी छू लेते हैं; उसके आगे कोई दाब-नियम नहीं जीतता — एक कृष्ण विवर। 15. $GM^2/R \approx 5 \times 10^{46}\,\mathrm{J}$ : सूर्य के पूरे दस-अरब-वर्षीय उत्पादन से कई सौ गुना, और वह भी सेकंडों में मुक्त। 16. अधिनवतारा 1987A: दो दर्जन न्यूट्रिनो, जो प्रकाश के चमकने से घंटों पहले पहुँचे और ठीक पूर्वकथित ऊर्जा ढो रहे थे — वह पतन सीधे सुना गया। 17. क्रोड-पतन: किसी भारी तारे का लोहे का क्रोड हर दाब-फ़र्श को तोड़कर भीतर गिर पड़ता है; और बाहरी आवरण उड़ जाता है। Ia प्रकार: देहली तक खिलाया गया कोई श्वेत वामन अपने कार्बन को एक तापनाभिकीय कौंध में सुलगा देता है, जो पूरे तारे का बंधन खोल देती है। 18. वही ट्रिगर-द्रव्यमान, वही ईंधन, वही ऊर्जा-मोचन: लगभग एक-से प्रकाश-वक्र — अंशांकित बम। 19. निरपेक्ष चमक ज्ञात हो, तो प्रेक्षित चमक व्युत्क्रम-वर्ग से दूरी दे देती है; और “मानक” के बिना पूरी सीढ़ी ढह जाती है। 20. बहुत धुँधला होने का अर्थ है बहुत दूर होना: प्रसार तेज़ होता आया है — कृष्ण ऊर्जा, जिसका साक्ष्य दीपकों की एकरूपता पर टिका है (इसीलिए उनकी भौतिकी की इतनी परवाह)। 21. अपवर्जन सिद्धांत $\to$ अपह्रासन दाब $\to$ एक सार्वभौमिक सीमांत द्रव्यमान $\to$ मानकीकृत विस्फोट $\to$ ब्रह्मांड का मापा गया त्वरण। 22. गणित का पीछा वहाँ तक कीजिए जहाँ तक वह ले जाए: सीमा के पार तारों का “बेतुका” व्यवहार आगे चलकर न्यूट्रॉन तारे और कृष्ण विवर निकला — और दोनों अब हज़ारों की संख्या में सूचीबद्ध हैं। 23. 1915 में कोई ज्ञात भौतिकी पदार्थ को प्रति घन सेंटीमीटर एक टन की छूट नहीं देती थी; 1926 में फ़र्मी–डिराक सांख्यिकी ने उसे हर ठंडी सघन गैस की सामान्य अवस्था बना दिया: वह प्रेक्षण सांख्यिकी की प्रतीक्षा कर रहा था, उलटा नहीं। 24. कि वामन द्रव्यमानों की एक परास में स्थायी रूप से अस्तित्व रखते हैं ( $R(M)$ शाखा), और यह भी कि वह शाखा $1.4\,M_\odot$ पर समाप्त हो जाती है: दोनों उसी आयतचित्र में खिंचे हुए हैं। 25. $(\hbar c/Gm_{\text{n}}^2)^{3/2}m_{\text{n}} \approx 1.4\,M_\odot$ : तीन नियतांक सबसे भारी श्वेत वामन तय कर देते हैं — और उसी के साथ उन मानक दीपकों का ट्रिगर-द्रव्यमान भी, जिन्होंने ब्रह्मांड की नियति तौली।