विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · Bachelor Year 3

20फ़ोटॉन और फ़ोनॉन

क्वांटम सिद्धांत का जन्म इसी अध्याय के विषय में हुआ था। 1900 में दहकते पिंडों के वर्णक्रम ने चिरसम्मत भौतिकी मानने से इनकार कर दिया — और उससे भी बुरा, चिरसम्मत भौतिकी छोटी तरंगदैर्घ्यों पर अनंत ऊर्जा की भविष्यवाणी करती थी, यानी “पराबैंगनी विपदा” — और प्लांक का हताश उपाय, अर्थात् $h\nu$ के पुलिंदों में ऊर्जा, आगे चलकर उस सदी की मूल कुंजी निकला। अब जब यंत्र जुट चुका है — अध्याय 7 से मोड-गणना और अध्याय 17 से दोलक की ऊष्मागतिकी — प्लांक का नियम आधे पन्ने में निकल आता है: फ़ोटॉनों की एक गैस, प्रति गुहा-मोड एक बोसॉनी ढंग से अधिभुक्त दोलक। वही आधा पन्ना, प्रकाश की जगह ध्वनि के साथ, ठोसों का डिबाई सिद्धांत है और वही $T^3$ ऊष्माधारिता, जो आइंस्टाइन का प्रतिरूप चूक गया था। और ब्रह्मांड के हर घन सेंटीमीटर को भरे हुए है इस विषय की उत्कृष्ट कृति: 2.725 केल्विन की ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि, अब तक नापी गई सबसे पूर्ण कृष्णिका — स्वयं युवा ब्रह्मांड का तापीय विकिरण, जो अब भी आ रहा है।

20.1 प्लांक का नियम, व्युत्पन्न

प्रमेय 20.1 (कृष्णिका वर्णक्रम)

ताप $T$ पर कोई गुहा विद्युत्-चुंबकीय मोड सँभालती है — अर्थात् अप्रगामी तरंगें, जो ठीक प्रतिज्ञप्ति 7.5 की तरह गिनी जाती हैं, और ध्रुवण के लिए दुगनी:

g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu .

हर मोड एक क्वांटम दोलक है, जो संतुलन पर $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ फ़ोटॉन रखता है (अभ्यास 17.5; या तुल्य रूप से, $\mu = 0$ पर बोसॉन)। अतः प्रति आयतन प्रति आवृत्ति ऊर्जा है

u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} :

अर्थात् प्लांक का नियम (1900)। उसके परिणाम, सब जैसे नापे गए: शिखर $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ पर (वर्ष 2 के खंड का वीन विस्थापन-नियम, अब व्युत्पन्न); किसी काली सतह से कुल अभिवाह $\Phi = \sigma T^4$ , जहाँ

\sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}

(श्टेफ़ान–बोल्ट्ज़मान, जिसका नियतांक अब $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ से बना है); और फ़ोटॉन घनत्व $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ प्रति घन मीटर।

आंशिक उपपत्ति. मोड-गणना को $h\nu\,\bar n$ से गुणा कीजिए। कुल ऊर्जा का समाकल, $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ और $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (मान लिया गया) के साथ, $u_{\text{कु}} = aT^4$ देता है और, मानक अभिवाह-गुणक $c/4$ के साथ, कथित $\sigma$ । वीन का नियम अभ्यास 20.1 वाला अधिकतमीकरण है। कम आवृत्ति पर ( $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ ) हर मोड $k_{\text{B}}T$ ढोता है — रैले–जीन्स, जो रेडियो के लिए सही है और सभी $\nu$ तक बढ़ा दिया जाए तो विपदाकारी: प्लांक का कटाव दरअसल ऊर्जा-समविभाजन का लाइसेंस (प्रमेय 17.5) मोड-दर-मोड रद्द होना है। ∎

तीन तापों पर प्लांक वर्णक्रम (हर एक को तुलनीय ऊँचाई तक मापांकित किया गया है: सच्चे क्षेत्रफल T4 की तरह बढ़ते हैं)। चिरसम्मत रैले–जीन्स रेखा कम-आवृत्ति वाले पार्श्व के साथ चलती है और फिर पराबैंगनी विपदा की ओर उड़ जाती है; जबकि प्लांक का h वाला कर ऊँची-आवृत्ति के मोड बंद कर देता है और वक्र को नीचे मोड़ देता है। — तीन तापों पर प्लांक वर्णक्रम (हर एक को तुलनीय ऊँचाई तक मापांकित किया गया है: सच्चे क्षेत्रफल $T^4$ की तरह बढ़ते हैं)। चिरसम्मत रैले–जीन्स रेखा कम-आवृत्ति वाले पार्श्व के साथ चलती है और फिर पराबैंगनी विपदा की ओर उड़ जाती है; जबकि प्लांक का $h\nu$ वाला कर ऊँची-आवृत्ति के मोड बंद कर देता है और वक्र को नीचे मोड़ देता है।

उदाहरण 20.2 (तीन तापमापी)

सूर्य ( $T = 5800\,\mathrm{K}$ ): शिखर $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर — हमारी आँखें उसी अधिकतम पर विकसित हुईं। $310\,\mathrm{K}$ का कोई पिंड: शिखर $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ के पास, और त्वचा के हर वर्ग मीटर से $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ का विकिरण (सौभाग्य से, कमरा भी वापस विकिरित करता है; अभ्यास 20.2)। और ब्रह्मांड ( $T = 2.725\,\mathrm{K}$ ): आवृत्ति-रूप में शिखर $1.9\,\mathrm{mm}$ के पास ( $160\,\mathrm{GHz}$ ), प्रति घन सेंटीमीटर $411$ फ़ोटॉन — अर्थात् ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि, इस अध्याय का महान उदाहरण (समस्या 20.1)।

प्रतिज्ञप्ति 20.3 (प्रकाश की ऊष्मागतिकी)

फ़ोटॉन गैस का ऊर्जा घनत्व $u = aT^4$ है ( $a = 4\sigma/c$ ), दाब

P = \frac u3 ,

एन्ट्रॉपी घनत्व $\tfrac43 aT^3$ , और फ़ोटॉन-संख्या $\propto T^3$ । परिणाम: विकिरण से भरा कोई रुद्धोष्म ढंग से फैलता बक्सा $T \propto 1/L$ की तरह ठंडा होता है — फैलते ब्रह्मांड के फ़ोटॉन $3000$ K से आज के $2.725$ K तक ठंडे हुए, खिंचाव-गुणक $\approx1100$ के साथ, और वह भी एक पूर्ण प्लांक वर्णक्रम बनाए रखते हुए; और भारी तारों में $T^4$ की वृद्धि विकिरण दाब को गैस के दाब की टक्कर में ला देती है, जिससे तारों के द्रव्यमान पर एक ऊपरी सीमा बँध जाती है (अध्याय 27)।

आंशिक उपपत्ति. $P = u/3$ : चाल $c$ पर कणों की कोई समदैशिक गैस अपने ऊर्जा घनत्व का एक-तिहाई दाब के रूप में देती है (वही गुणक $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$ , जैसा वर्ष 1 के खंड के गति-सिद्धांत में था)। एन्ट्रॉपी: $\dd U = T\dd S - P\dd V$ को $U = aT^4V$ पर लगाइए। रुद्धोष्म: $S \propto T^3V$ अचर होने से $T \propto V^{-1/3}$ । ∎

20.2 फ़ोनॉन: डिबाई की पूर्णाहुति

प्रमेय 20.4 (डिबाई प्रतिरूप)

किसी क्रिस्टल के कंपन ठीक प्रकाश की तरह क्वांटित प्रत्यास्थ तरंगें हैं: फ़ोनॉन, ध्वनि-चाल $c_{\text{s}}$ पर तीन ध्रुवण, जो फ़ोटॉनों की तरह गिने जाते हैं पर जिनका कुल $3N$ मोडों पर बँधा है — और वही बंधन डिबाई ताप परिभाषित करता है

k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} .

ऊष्माधारिता दोनों चिरसम्मत नियमों के बीच अंतर्वेशन करती है:

C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(द्यूलों--प्टी)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) :

अर्थात् वही $T^3$ नियम, जो निम्नताप कैलोरीमिति माँगती थी और आइंस्टाइन की एकल आवृत्ति नहीं दे सकती थी (अभ्यास 17.6)। कारण वही है जो प्रकाश के लिए था: क्रिस्टल कितना भी ठंडा हो, मनमाने ढंग से सस्ते लंबी-तरंगदैर्घ्य वाले ध्वनि-क्वांटा मौजूद रहते हैं, और उनकी फ़ोटॉन-सरीखी गणना वही फ़ोटॉन-सरीखा $T^3$ दे देती है।

आंशिक उपपत्ति. फ़ोटॉन वाली गणना $c \to c_{\text{s}}$ , तीन ध्रुवणों, और कटाव तय करते मोड-कुल $\int g\,\dd\nu = 3N$ के साथ दोहराइए। $T \ll \theta_{\text{D}}$ पर कटाव अदृश्य रहता है और $T^4$ वाला ऊर्जा-समाकल $C \propto T^3$ देता है; जबकि ऊँचे $T$ पर उन $3N$ मोडों में से हर एक $k_{\text{B}}T$ ढोता है। पूरा अंतर्वेशन-समाकल मान लिया गया है। ∎

किसी क्रिस्टल की ऊष्माधारिता: दोनों प्रतिरूप द्यूलों–प्टी तक पहुँचते हैं, पर कम ताप पर आइंस्टाइन का एकल-आवृत्ति वक्र चरघातांकी रूप से मर जाता है, जबकि डिबाई के सस्ते लंबी-तरंगदैर्घ्य वाले फ़ोनॉन मापा गया T3 बनाए रखते हैं — निम्न-T वाला क्षेत्र ध्वनि के साथ विशुद्ध “फ़ोटॉन भौतिकी” है। — किसी क्रिस्टल की ऊष्माधारिता: दोनों प्रतिरूप द्यूलों–प्टी तक पहुँचते हैं, पर कम ताप पर आइंस्टाइन का एकल-आवृत्ति वक्र चरघातांकी रूप से मर जाता है, जबकि डिबाई के सस्ते लंबी-तरंगदैर्घ्य वाले फ़ोनॉन मापा गया $T^3$ बनाए रखते हैं — निम्न- $T$ वाला क्षेत्र ध्वनि के साथ विशुद्ध “फ़ोटॉन भौतिकी” है।

उदाहरण 20.5 (फ़ोनॉन असली कण हैं)

फ़ोनॉन न्यूट्रॉनों और एक्स-किरणों को ऊर्जा तथा (क्रिस्टल) संवेग के संरक्षण के साथ प्रकीर्ण करते हैं — और अध्याय 23 के मापे गए विक्षेपण-वक्र $\omega(\vect k)$ उन्हीं की वर्णक्रममिति हैं। वे ऊष्मा ढोते हैं: किसी विद्युत्रोधी की ऊष्मा चालकता किसी फ़ोनॉन गैस का $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$ है, और हीरा — कड़ा, हलका, शुद्ध — कमरे के ताप पर केवल फ़ोनॉनों के बल पर ताँबे से पाँच गुना अधिक चालन करता है (अभ्यास 20.12)। और कम ताप पर वे $T^3$ की तरह मर जाते हैं, इसीलिए निम्नताप अभियंता क्रिस्टलों के “ध्वनिक रूप से मौन” हो जाने की बात करते हैं।

विधि 20.6 (विकिरण-गैस की कारीगरी)

(1) मोड गिनिए (त्रिविम में प्रति ध्रुवण $\propto\nu^2$ ); उन्हें $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$ से अधिभुक्त कीजिए; समाकलित कीजिए — और $T^4$ ऊर्जाओं तथा $T^3$ गिनतियों और धारिताओं की अपेक्षा रखिए। (2) शिखर वीन से; कुल श्टेफ़ान से; और प्रति मोड चिरसम्मत $k_{\text{B}}T$ केवल $h\nu \sim k_{\text{B}}T$ से नीचे। (3) ठोसों के लिए मोडों को $3N$ पर बाँधिए ( $\theta_{\text{D}}$ ); प्रकाशिक-शाखा के मोडों के लिए आइंस्टाइन का रूप, और ध्वनिक के लिए डिबाई का। (4) रुद्धोष्म विकिरण: $T \propto V^{-1/3}$ । (5) इस पेशे के दो नियतांक जाँचिए: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ और $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$ ।

किसी तापीय कैमरे से देखा गया एक घर: हर सतह अपना प्लांक वर्णक्रम विकिरित करती है, और कैमरा ताप सीधे अवरक्त से पढ़ लेता है — श्टेफ़ान, बोल्ट्ज़मान और वीन, हीटिंग का बिल जाँचते हुए।

20.3 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

(क) तरंगदैर्घ्य-रूप में प्लांक के नियम से दिखाइए कि शिखर $\lambda_{\max}T =$ नियतांक मानता है (अतिचरघातांकी समीकरण उद्धृत किया जा सकता है: $x = 4.965$ )। (ख) सूर्य, किसी $2700\,\mathrm{K}$ तंतु, किसी $310\,\mathrm{K}$ पिंड और $2.725\,\mathrm{K}$ के आकाश के लिए शिखर-तरंगदैर्घ्य निकालिए। (ग) इन चारों में से किसका नमूना मानव आँख ठीक से लेती है, और किसी तंतु के उत्पादन का कितना अंश दृश्य होता है (आकलन: थोड़ा)? (घ) लोगों और इमारतों के लिए “अवरक्त कैमरे” ही सही औज़ार क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 20.1.

(क) $\dd u/\dd\lambda = 0$ रखने पर $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$ , $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$ : $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ । (ख) $0.50$ , $1.07$ , $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ और $1.06\,\mathrm{mm}$ । (ग) केवल सूर्य का; कोई तंतु निकट-अवरक्त में शिखर बनाता है और अपनी शक्ति का कुछ ही प्रतिशत प्रकाश के रूप में देता है — वही अक्षमता, जिसने उसे सेवानिवृत्त किया। (घ) लोग और इमारतें दस माइक्रोन पर “चमकते” हैं: तापीय चित्रक उसी दूसरे शिखर के कैमरे हैं।

अभ्यास 20.2 ★

विकिरण के बजट। (क) $293\,\mathrm{K}$ के किसी कमरे में कोई व्यक्ति ( $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ , त्वचा $306\,\mathrm{K}$ ): शुद्ध विकिरित शक्ति $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$ । (ख) उसकी तुलना शरीर के $100\,\mathrm{W}$ उपापचय से कीजिए: हम उसे सह क्यों लेते हैं (कपड़े, और कमरे का वापस विकिरित करना)? (ग) पृथ्वी सूर्य-प्रकाश $\pi R^2$ पर सोखती है और $4\pi R^2$ पर विकिरित करती है: $T_{\text{प्र}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ व्युत्पन्न कीजिए, जहाँ $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ और परावर्तकता $A = 0.30$ , और उसका मान निकालिए। (घ) मापा गया सतही औसत $288\,\mathrm{K}$ है: उन $33\,\mathrm{K}$ के अंतर की क्रियाविधि का नाम लीजिए (समस्या 9.1)।

हल

हल — अभ्यास 20.2.

(क) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$ । (ख) कमरे का लौटता अभिवाह उस अंतर के भीतर पहले से है; और कपड़े गरम मध्यवर्ती सतहें डाल देते हैं — विकिरण दोतरफ़ा बहीखाता है। (ग) $T_{\text{प्र}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$ । (घ) वह $33\,\mathrm{K}$ का बोनस हरितगृह प्रभाव है: समस्या 9.1 का अवरक्त कंबल, जिसे अभ्यास 20.9 में संख्याओं में रखा गया है।

अभ्यास 20.3 ★

फ़ोटॉन गिनना। (क) प्रति घन मीटर $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ के साथ: $2.725\,\mathrm{K}$ पृष्ठभूमि का फ़ोटॉन घनत्व। (ख) पृथ्वी पर सूर्य-प्रकाश: $\Phi_\odot$ और माध्य फ़ोटॉन ऊर्जा $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$ से प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकंड फ़ोटॉन-अभिवाह निकालिए। (ग) किसी $60\,\mathrm{W}$ तापदीप्त बल्ब (5% दृश्य) के लिए: प्रति सेकंड दृश्य फ़ोटॉन। (घ) खगोलविदों के लिए “फ़ोटॉन गिनना” रोज़ का काम क्यों है, पर हीटरों के लिए बेतुका?

हल

हल — अभ्यास 20.3.

(क) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ प्रति cm $^3$ । (ख) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ फ़ोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकंड। (ग) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ प्रति सेकंड। (घ) खगोलीय संकेत एक-एक फ़ोटॉन करके आते हैं — ऐसी दरें, जिन्हें कोई गणक सुलझा सकता है; जबकि किसी हीटर का $10^{22}$ प्रति सेकंड हर संसूचक के लिए एक सतत धारा है।

अभ्यास 20.4 ★

विपदा और उसकी पूँछ। (क) दिखाइए कि चिरसम्मत ऊर्जा-समविभाजन (प्रति मोड $k_{\text{B}}T$ ) $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$ देता है, जो समाकलित करने पर अपसरित हो जाता है। (ख) प्लांक का नियम उस पर कहाँ सिमट आता है? (ग) रेडियो-खगोलविद CMB को $1.4\,\mathrm{GHz}$ पर नापते हैं: वहाँ $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ जाँचिए और उनकी “ऐंटेना ताप” वाली उस आदत को उचित ठहराइए, जिसमें तीव्रताएँ केल्विन में बताई जाती हैं। (घ) CMB के $160\,\mathrm{GHz}$ शिखर पर $h\nu/k_{\text{B}}T$ का मान निकालिए: क्या वह शिखर चिरसम्मत है?

हल

हल — अभ्यास 20.4.

(क) प्रति मोड $k_{\text{B}}T$ गुणा $\nu^2$ वाली मोड-गणना: समाकलित करने पर अनंत — वही विपदा। (ख) $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ के लिए। (ग) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$ : गहरे चिरसम्मत पूँछ में, जहाँ तीव्रता $\propto T$ — और इसीलिए केल्विन में “दीप्ति-ताप”। (घ) $2.8$ : शिखर वहीं है जहाँ प्लांक की क्वांटम छूट पूरे ज़ोर पर है।

अभ्यास 20.5 ★★

विकिरण दाब। (क) समदैशिकता से $P = u/3$ व्युत्पन्न कीजिए (या गतिक गुणक मान लीजिए) और पृथ्वी की कक्षा पर सूर्य-प्रकाश का दाब निकालिए; वायुमंडलीय दाब से तुलिए। (ख) सूर्य के भीतर ( $T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$ ): $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ निकालिए और गैस के दाब $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$ से तुलिए। (ग) विकिरण दाब $T^4$ की तरह बढ़ता है और गैस का दाब $T$ की तरह: दिखाइए कि पर्याप्त भारी (और इस तरह अधिक गरम) तारे विकिरण-प्रधान और अस्थायी क्यों हो जाते हैं — अर्थात् $\sim100\,M_\odot$ के पास एडिंगटन की छत। (घ) लेज़र: धकेलने के लिए केंद्रित कोई $1\,\mathrm{kW}$ पुंज — कितना बल? “कर्षण-किरणें” फ़िल्मों में ही क्यों रह जाती हैं, जबकि प्रकाशिक चिमटियाँ (प्रवणताएँ, पिकोन्यूटन) असली औज़ार हैं?

हल

हल — अभ्यास 20.5.

(क) दिशिक सौर पुंज के लिए $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ : वायुमंडल से ग्यारह कोटि नीचे — पाल इसलिए काम करते हैं कि अंतरिक्ष बाकी सब घटा देता है। (ख) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$ : गैस के दाब के हज़ारवें भाग से भी कम — सूर्य गैस से थमा है। (ग) $P_{\text{rad}}/P_{\text{गैस}} \propto T^3/n$ : अधिक भारी तारे अधिक गरम जलते हैं, और $T^4$ की बाढ़ अंततः गैस पर गुरुत्व की पकड़ की टक्कर में आ जाती है — दीप्ति-जनित अस्थिरता तारों को $\sim100\,M_\odot$ के पास बाँध देती है। (घ) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ : कर्षण-किरणें कल्पना ही रहती हैं; चिमटियाँ सूक्ष्म वस्तुओं पर क्षेत्र-प्रवणताएँ काम में लेती हैं, जहाँ पिकोन्यूटन राज करते हैं (समस्या 16.1)।

अभ्यास 20.6 ★★

ब्रह्मांड का खिंचाव। CMB पुनर्योजन पर उत्सर्जित हुई ( $T \approx 3000\,\mathrm{K}$ , अभ्यास 18.12 का इलाका) और $2.725\,\mathrm{K}$ पर पहुँचती है। (क) $T \propto 1/a$ से, उत्सर्जन के बाद से सारी लंबाइयों का खिंचाव-गुणक। (ख) दिखाइए कि हर तरंगदैर्घ्य के एकसमान खिंचाव पर कोई प्लांक वर्णक्रम प्लांक ही बना रहता है ( $T$ का क्या होता है?)। (ग) उत्सर्जित शिखर (दृश्य नारंगी प्रकाश!) कहाँ आ पहुँचता है? (घ) अतः आकाश आँख को अँधेरा और किसी सूक्ष्मतरंग ग्राही को दहकता हुआ क्यों दिखता है?

हल

हल — अभ्यास 20.6.

(क) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ । (ख) हर मोड की $\lambda$ उसी गुणक से खिंचती है: $\nu^3$ वाली आकृति स्वयं पर ही मानचित्रित हो जाती है, बस $T \to T/(1+z)$ के साथ — किसी प्लांक वक्र को प्रसार अ-प्लांक नहीं कर सकता। (ग) $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ का गहरा-लाल शिखर $1.06\,\mathrm{mm}$ पर आ पहुँचता है। (घ) वही आकाश $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर खाली है और मिलीमीटर पर संतृप्त: अँधेरा एक तरंगदैर्घ्य-कथन है।

अभ्यास 20.7 ★★

ध्वनि से डिबाई ताप। (क) ताँबे के लिए $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ का मान निकालिए ( $c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) और कैलोरीमितीय $343\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (ख) हीरा: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$ : निकालिए और $\approx2200\,\mathrm{K}$ से तुलिए। (ग) सीसा: नरम और भारी — उसका $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ एक वाक्य में समझाइए। (घ) किसी ठोस की कड़ाई, परमाणविक द्रव्यमान और उसके क्वांटम-जमाव ताप को जोड़ने वाला नियम बताइए।

हल

हल — अभ्यास 20.7.

(क) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ , बैठाए गए $343\,\mathrm{K}$ के सामने: सही पैमाना (अनुदैर्घ्य और अनुप्रस्थ चालों पर ठीक-ठीक औसत लेने से खाई पट जाती है)। (ख) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — मेल खाता हुआ: हीरा चरम स्थिति है। (ग) कम ध्वनि-चाल (नरम) और भारी परमाणु, दोनों $\theta_{\text{D}}$ नीचे धकेलते हैं: सीसे का जालक लगभग तुरंत ही चिरसम्मत हो जाता है। (घ) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ जैसा: कड़ा और हलका देर से जमता है, नरम और भारी जल्दी।

अभ्यास 20.8 ★★

एक केल्विन पर ताँबा। (क) $C = \gamma T + \beta T^3$ का उपयोग कीजिए, जहाँ $\gamma$ उदाहरण 19.3 से हो और डिबाई $T^3$ गुणांक $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$ के लिए: $1\,\mathrm{K}$ पर प्रति मोल दोनों पद निकालिए। (ख) कौन जीतता है, और कितने से? (ग) वे किस ताप पर एक-दूसरे को काटते हैं? (घ) यह प्रांत कैलोरीमितिज्ञ के लिए इलेक्ट्रॉनी अवस्था घनत्व की खिड़की क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 20.8.

(क) इलेक्ट्रॉनी: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ देता है $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ ; जालक: $1944R\dots$ — डिबाई का $T^3$ पद $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ देता है। (ख) इलेक्ट्रॉन, और वह भी एक कोटि से। (ग) $3\,\mathrm{K}$ के पास (अभ्यास 19.5)। (घ) संक्रमण से नीचे मापा गया $C/T$ अंतःखंड $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$ है: तापमापी और हीटर वाला एक प्रयोग फ़र्मी-सतह का अवस्था घनत्व पढ़ लेता है।

अभ्यास 20.9 ★★

एक-परत वाला हरितगृह। मान लीजिए सतह (ताप $T_s$ ) किसी एक पतली वायुमंडलीय परत (ताप $T_a$ ) के नीचे बैठी है, जो सूर्य-प्रकाश के लिए पारदर्शी है पर तापीय अवरक्त के लिए अपारदर्शी। (क) उस परत के लिए ऊर्जा-संतुलन लिखिए (वह $\sigma T_s^4$ सोखती और $2\sigma T_a^4$ विकिरित करती है) और सतह के लिए भी (वह सूर्य-प्रकाश $S$ तथा $\sigma T_a^4$ सोखती है)। (ख) दिखाइए कि $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{प्र}}$ , जहाँ $\sigma T_{\text{प्र}}^4 = S$ । (ग) $T_{\text{प्र}} = 255\,\mathrm{K}$ के साथ: $T_s$ का मान निकालिए और $288\,\mathrm{K}$ से तुलिए (असली वायुमंडल एक आंशिक, बहु-परत वाला कंबल है)। (घ) समस्या 9.1 से जोड़िए: कौन-सी आणविक भौतिकी उस परत को अवरक्त में अपारदर्शी और दृश्य में पारदर्शी बनाती है?

हल

हल — अभ्यास 20.9.

(क) परत: $\sigma T_s^4$ सोखती है, $2\sigma T_a^4$ उत्सर्जित करती है (दोनों फलकों से): $T_s^4 = 2T_a^4$ । सतह: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$ । (ख) $T_a$ हटाइए: $S = \tfrac12\sigma T_s^4$ , अर्थात् $T_s = 2^{1/4}T_{\text{प्र}}$ । (ग) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — जो असली $288\,\mathrm{K}$ से आगे निकल जाता है, क्योंकि असली कंबल आंशिक और बहु-परत वाला है। (घ) त्रिपरमाणुक अल्प गैसों के कंपन-क्वांटा: $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर पारदर्शी, $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ पर अपारदर्शी — समस्या 9.1 वाला अणु।

अभ्यास 20.10 ★★★

श्टेफ़ान का नियतांक, शुरू से। (क) $u_{\text{कु}} = \int u(\nu)\dd\nu$ को $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ और दिए गए $\pi^4/15$ के साथ जोड़िए, जिससे $u = aT^4$ मिले, जहाँ $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$ । (ख) किसी काली सतह से अभिवाह $c\,u/4$ होता है (ज्यामितीय चौथाई मान लीजिए): $\sigma$ बनाइए और उसका मान $h$ , $c$ , $k_{\text{B}}$ से संख्यात्मक रूप से निकालिए। (ग) $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ से तुलिए। (घ) ऐतिहासिक उलटाव: प्लांक ने अपना नियम वर्णक्रमों पर बैठाया और $h$ तथा $k_{\text{B}}$ दोनों निकाल लिए (और इस तरह अवोगाद्रो की संख्या भी), 1900 में — बताइए कि कृष्णिका वक्र एक साथ दो नियतांक क्यों बाँध देता है।

हल

हल — अभ्यास 20.10.

(क) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$ । (ख–ग) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — तीन नियतांकों से, ठीक निशाने पर। (घ) वक्र की आकृति $h/k_{\text{B}}$ तय करती है ( $h\nu/k_{\text{B}}T$ के ज़रिए) और उसका निरपेक्ष पैमाना $k_{\text{B}}^4/h^3$ : दो समीकरण, दो नियतांक — प्लांक ने एक ही अनुरूपण से $h$ और $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ पढ़ लिए, पेरँ की कणिकाओं से वर्षों पहले।

अभ्यास 20.11 ★★★

आइंस्टाइन के A और B (1917)। द्वि-स्तरीय परमाणु (ऊर्जाएँ $0, h\nu_0$ ; जनसंख्याएँ $N_1, N_2$ ) वर्णक्रमीय घनत्व $u(\nu_0)$ वाले विकिरण में बैठे हैं। अवशोषण दर: $B_{12}uN_1$ ; उद्दीपित उत्सर्जन: $B_{21}uN_2$ ; स्वतःस्फूर्त: $AN_2$ । (क) संतुलन का समीकरण लिखिए। (ख) माँगिए कि बोल्ट्ज़मान अनुपात $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ और प्लांक का $u$ सभी $T$ के लिए एक साथ टिकें: इससे $B_{12} = B_{21}$ व्युत्पन्न कीजिए, और

\frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} .

(ग) व्याख्या कीजिए: तापीय संतुलन स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन का होना क्यों अनिवार्य कर देता है, और उसकी दर उद्दीपित वाली से क्यों तय कर देता है? (घ) वह $\nu^3$ : अभ्यास 13.8 के जीवनकालों से जोड़िए, और यह भी कि एक्स-किरण आवृत्तियों पर लेज़िंग कठिन क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 20.11.

(क) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$ । (ख) $u$ के लिए हल कीजिए: $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$ ; और सभी $T$ के लिए प्लांक के रूप से मिलान $B_{12} = B_{21}$ तथा $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$ थोप देता है। (ग) $A$ के बिना प्लांक के नियम के सामने कोई संतुलन संभव ही नहीं: स्वयं संतुलन माँगता है कि उत्तेजित परमाणु बिना उकसाए क्षय हों, और वह भी उद्दीपित वाली से बँधी किसी दर पर — आइंस्टाइन ने स्वतःस्फूर्त उत्सर्जन की भविष्यवाणी ऊष्मागतिकी से की, क्वांटम यांत्रिकी के उसे व्युत्पन्न करने से एक दशक पहले। (घ) $A \propto \nu^3$ : पराबैंगनी अवस्थाएँ नैनोसेकंडों में क्षय होती हैं (अभ्यास 13.8), अतः छोटी तरंगदैर्घ्यों पर प्रतिलोमन बेतहाशा महँगे पड़ते हैं — यही एक्स-किरण लेज़र की समस्या है।

अभ्यास 20.12 ★★★

हीरा, फ़ोनॉनों का राजमार्ग। किसी विद्युत्रोधी की ऊष्मा चालकता: प्रति आयतन $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ , जहाँ $\ell$ फ़ोनॉन का माध्य मुक्त पथ है। (क) $300\,\mathrm{K}$ पर हीरे के लिए ( $C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$ , अर्थात् आंशिक रूप से जमा हुआ; $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ ): $\kappa$ निकालिए और ताँबे के $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ से तुलिए। (ख) हीरे में $\ell$ इतना लंबा क्यों है (कड़ा, हलका, समस्थानिक रूप से स्वच्छ — फ़ोनॉनों को प्रकीर्ण कौन करता है?)। (ग) समस्थानिक रूप से शुद्ध किया गया हीरा $\kappa$ को लगभग दुगना कर देता है: यह समस्थानिक द्रव्यमान-अव्यवस्था से होते फ़ोनॉन-प्रकीर्णन के बारे में क्या बताता है? (घ) दो उपयोग: इलेक्ट्रॉनिकी में ऊष्मा फैलाने वाली परतें; और कोई हीरा होंठ को ठंडा क्यों लगता है — उस अनुभूति को समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 20.12.

(क) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$ : ताँबे का पाँच गुना। (ख) कड़ा और हलका होने का अर्थ है तेज़ फ़ोनॉन; और कोई शुद्ध, निर्दोष, हलका जालक उन्हें प्रकीर्ण करने को कुछ खास नहीं देता — $\ell$ हज़ारों जालक-नियतांकों तक पहुँच जाता है। (ग) $^{13}$ C परमाणुओं का द्रव्यमान-अंतर तक फ़ोनॉनों को मापनीय रूप से प्रकीर्ण करता है: समस्थानिक अव्यवस्था एक सच्चा प्रतिरोध है, जिसे शुद्धीकरण हटा देता है। (घ) शक्ति-चिपों के नीचे ऊष्मा फैलाने वाली परतें; और होंठ की ऊष्मा इतनी तेज़ी से भाग जाती है कि असली हीरा चौंकाने वाला ठंडा लगता है — जौहरी की स्पर्श-परीक्षा एक फ़ोनॉन-मापन है।

सूक्ष्मतरंगों में पूरा आकाश (NASA/WMAP, सार्वजनिक डोमेन): ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि का 2.7\, K प्लांक विकिरण, मानचित्रित। वह चितकबरापन एक भाग प्रति 105 का है — आकाशगंगाओं के बीज, इस अध्याय की कृष्णिका पर छपे हुए। — सूक्ष्मतरंगों में पूरा आकाश (NASA/WMAP, सार्वजनिक डोमेन): ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि का $2.7\,\mathrm{K}$ प्लांक विकिरण, मानचित्रित। वह चितकबरापन एक भाग प्रति $10^5$ का है — आकाशगंगाओं के बीज, इस अध्याय की कृष्णिका पर छपे हुए।

20.4 समस्या: सबसे पुराना प्रकाश

समस्या 20.1

सप्ताहांत समस्या — ब्रह्मांडीय सूक्ष्मतरंग पृष्ठभूमि पढ़ना

किसी भी मिलीमीटर-तरंग ग्राही को आकाश के किसी भी टुकड़े की ओर मोड़िए, वह वही संकेत बताता है: $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$ पर एक प्लांक वर्णक्रम, जो मनुष्य की बनाई किसी भी भट्ठी से चिकना है। यह ब्रह्मांड के पुनर्योजन (अभ्यास 18.12) की कौंध है, जो ग्यारह सौ गुना खिंच चुकी है, और वह ब्रह्मांड की जनगणना ढोती है। आँकड़े: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$ ; $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$ ; $u = aT^4$ , $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$ ; आज का बैरिऑन घनत्व $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$ ; क्रांतिक घनत्व $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ।

भाग I — वर्णक्रम।

CMB का शिखर (वीन) तरंगदैर्घ्य और प्रति घन सेंटीमीटर उसका फ़ोटॉन घनत्व निकालिए।
उसका ऊर्जा घनत्व $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ में और $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ में निकालिए, तथा क्रांतिक घनत्व में उसका द्रव्यमान-तुल्य अंश भी।
COBE का वर्णक्रम (1990) प्लांक से $10^4$ में कुछ भागों तक मिला — दर्शकों ने उस आलेख पर तालियाँ बजाईं। खाली आकाश से आते किसी पूर्णतः तापीय वर्णक्रम को किसी तप्त सघन अतीत के सिवा और कुछ मानकर समझाना इतना कठिन क्यों है?
उत्सर्जन के समय वही फ़ोटॉन $3000\,\mathrm{K}$ की कृष्णिका बनाते थे: खिंचाव-गुणक $1 + z = T_{\text{तब}}/T_0$ जाँचिए।
ब्रह्मांड ठीक उसी ताप पर पारदर्शी क्यों हो गया (अध्याय 18 का कौन-सा संतुलन बंद हो गया, यह याद कीजिए)?
रात का आकाश अँधेरा है (पुराने खगोल का ओल्बर्स विरोधाभास): वह ठीक किस अर्थ में वस्तुतः चमकीला है — किस तरंगदैर्घ्य और किस ताप पर?

भाग II — जनगणना।

फ़ोटॉन-से-बैरिऑन अनुपात $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ निकालिए।
वह संख्या — प्रति प्रोटॉन लगभग दो अरब फ़ोटॉन — ब्रह्मांड-विज्ञान के मूल आँकड़ों में से एक है: बताइए कि वह पदार्थ–प्रतिपदार्थ असममिति के बारे में क्या नापती है (अभ्यास 18.12 याद कीजिए: फ़ोटॉन अधिकतर विनाश के उत्पाद हैं)।
CMB के ऊर्जा घनत्व की तुलना तारा-प्रकाश के घनत्व ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ , पूरे ब्रह्मांड पर औसत) से कीजिए: ब्रह्मांड में कौन-सा प्रकाश हावी है?
फ़ोटॉनों में CMB उन सबसे भारी है जो तारे कभी चमके हैं: इससे आरंभिक ब्रह्मांड “विकिरण-प्रधान” क्यों हो जाता है, और बाद में किसने कमान सँभाली ( $T^4$ बनाम $T^3$ के मापन, पदार्थ के $a^{-3}$ के सामने)?
पदार्थ–विकिरण समता के युग का आकलन कीजिए: विकिरण-घनत्व $(1+z)^4$ की तरह और पदार्थ $(1+z)^3$ की तरह मापित होते हुए, और आज का अनुपात $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ लेकर, $z_{\text{सम}}$ खोजिए।
न्यूट्रिनो पहले वियुग्मित हुए और ज़रा अधिक ठंडे हुए (वे अभ्यास 18.12 वाले $e^+e^-$ विनाश के पुनर्तापन से चूक गए): पूर्वकथित $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — उसका मान निकालिए, और $1.95\,\mathrm{K}$ के उस न्यूट्रिनो सागर की भविष्यवाणी पर चकित होइए, जिसे अब तक किसी ने सीधे नहीं पकड़ा।

भाग III — विषमदैशिकताएँ।

CMB एक दिशा में $3.4\,\mathrm{mK}$ अधिक गरम और उलटी दिशा में ठंडी है: अध्याय 4 की डॉप्लर भौतिकी से इसकी व्याख्या कीजिए और हमारा वेग निकालिए ( $\Delta T/T = v/c$ )।
वह द्विध्रुव हटा देने पर $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ की लहरें बच रहती हैं (COBE 1992, फिर WMAP, प्लांक): वे $z = 1100$ पर किसका मानचित्र बनाती हैं?
वे $10^{-5}$ घनत्व-बीज बढ़कर आकाशगंगाएँ बने: गुरुत्व अधिघनत्वों को क्यों बढ़ाता है (कौन-सी अस्थिरता), और उस वृद्धि को सचमुच शुरू होने के लिए पदार्थ–विकिरण समता की ज़रूरत क्यों पड़ी?
सबसे प्रबल लहर का आकार (आकाश पर लगभग एक अंश) एक ध्वनिक तरंगदैर्घ्य है — फ़ोटॉन–बैरिऑन प्लाज़्मा में ध्वनि (इस अध्याय की गैस और अध्याय 3 की तरंगें, दोनों!): उसका पैमाना क्या तय करता है (पुनर्योजन से पहले ध्वनि कितनी दूर जाती है)?
उस कोण को ज्ञात भौतिक पैमाने के सामने नापना ब्रह्मांड की ज्यामिति त्रिकोणित कर देता है: परिणाम बताइए (समतल, प्रतिशत की परिशुद्धि तक)।
$2.7\,\mathrm{K}$ का एकध्रुव, $3\,\mathrm{mK}$ का द्विध्रुव, $10^{-5}$ की लहरें: हर एक ने क्या सिखाया, क्रम में रखिए (एक तप्त अतीत; हमारी गति; और हर चीज़ के बीज तथा ज्यामिति)।

भाग IV — विरासत।

पेंज़ियास और विल्सन को यह संकेत 1965 में न हटने वाले ऐंटेना-शोर के रूप में मिला (कबूतरों को भगाने के बाद): $3\,\mathrm{K}$ पर कोई समदैशिक, ऋतु-निरपेक्ष आधिक्य किसी भी स्थानीय या आकाशगंगीय स्रोत से अव्याख्येय क्यों था?
किसी बेसुरे अनुरूप टेलीविज़न के स्थैतिक शोर का लगभग $1\%$ यही संकेत था: एक वाक्य में विचार कीजिए।
CMB आकाशगंगा-गुच्छों से होकर गुज़रती है और तप्त इलेक्ट्रॉन उसे ज़रा ऊँची आवृत्ति की ओर धकेल देते हैं (सुन्याएव–ज़ेल्दोविच प्रभाव): इससे गुच्छ कम आवृत्ति पर छायाओं के रूप में क्यों दिखते हैं, और ऐसी छाया का विशेष गुण क्या है (दूरी से स्वतंत्र)?
आज की अग्रिम पंक्ति CMB के ध्रुवण में आदिम गुरुत्व-तरंगों की छाप खोज रही है: वह खोज इस पुस्तक के कौन-से अध्यायों का विवाह करा देती (अध्याय 6 का ध्रुवण, गुरुत्व की तरंगें)?
अपने शरीर से होकर गुज़रते CMB फ़ोटॉनों का अभिवाह निकालिए (प्रति एकांक क्षेत्रफल $n_\gamma c/4$ , शरीर का अनुप्रस्थ काट $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): महाविस्फोट के कितने अवशेष प्रति सेकंड आपको पार करते हैं?
CMB एक विराम-तंत्र चुन लेती है (वही, जिसमें द्विध्रुव लुप्त हो जाता है): समझाइए कि यह आपेक्षिकता का खंडन क्यों नहीं करता — यह कैसा तंत्र है, जिसे नियम नहीं बल्कि पदार्थ-सामग्री वरीयता देती है?
नामित परिणाम का सार दीजिए: आकाश को भरता $2.725$ केल्विन का प्लांक वक्र — प्रति घन सेंटीमीटर $411$ फ़ोटॉन, प्रति बैरिऑन दो अरब, शिखर $160\,\mathrm{GHz}$ पर — उस तप्त आरंभ की तापीय रसीद है: सांख्यिकीय भौतिकी, ब्रह्मांड-विज्ञान की आधारशिला के रूप में।

हल

हल — समस्या 20.1.

1. $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$ ; $411$ फ़ोटॉन प्रति cm $^3$ । 2. $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ; द्रव्यमान-तुल्य $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : क्रांतिक का लगभग $5\times10^{-5}$ । 3. किसी तापीय वर्णक्रम के लिए उत्सर्जक और विकिरण का संतुलन में आ चुका होना ज़रूरी है — जो अलग-अलग दृष्टि-रेखाओं पर जोड़े गए तारों, धूल या प्लाज़्मा के किसी भी संग्रह के लिए असंभव है; केवल ऐसा ब्रह्मांड ही बैठता है जो स्वयं कभी एक तप्त अपारदर्शी गुहा रहा हो। 4. $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$ । 5. साहा का संतुलन उदासीन परमाणुओं की ओर पार कर गया: मुक्त इलेक्ट्रॉन लुप्त हो गए, थॉमसन प्रकीर्णन रुक गया, और तब से फ़ोटॉन बिना छुए उड़ रहे हैं। 6. मिलीमीटर तरंगदैर्घ्यों पर चमकीला, $2.725\,\mathrm{K}$ पर: ओल्बर्स का आकाश दहक ही रहा है — बस लाल-विस्थापन ने उस दहक को दृश्य से बाहर कर दिया। 7. प्रति बैरिऑन $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ फ़ोटॉन। 8. फ़ोटॉन पदार्थ–प्रतिपदार्थ विनाश की राख हैं; और बैरिऑन वही प्रति अरब एक का आधिक्य हैं जो बच गया: $\eta$ आदिम असममिति नापता है — जो आज भी अव्याख्यात है। 9. $4.2 \times 10^{-14}\,$ , जबकि $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ : वह अवशेष प्रकाश ऊर्जा-घनत्व में उस सब पर भारी है जो तारे कभी उत्सर्जित कर चुके हैं। 10. विकिरण $a^{-4}$ की तरह पतला होता है (संख्या $a^{-3}$ , और हर फ़ोटॉन $a^{-1}$ जितना खिंचा), जबकि पदार्थ $a^{-3}$ की तरह: आरंभ में विकिरण राज करता था; और समता पर पदार्थ ने कमान ली, जिससे संरचना बढ़ सकी। 11. $1 + z_{\text{सम}} \approx 3400$ । 12. $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$ : एक पूर्वकथित ब्रह्मांडीय न्यूट्रिनो पृष्ठभूमि, यानी तापीय भौतिकी का सबसे साहसी बिना भुनाया चेक। 13. $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : अवशेष-तंत्र से होकर सौर मंडल की गति। 14. 380 000 वर्ष की आयु पर ब्रह्मांड की ताप- (और इस तरह घनत्व तथा वेग-) लहरें: बीजों का एक छायाचित्र। 15. अधिक सघन टुकड़े अधिक ज़ोर से खींचते हैं और बढ़ते हैं (गुरुत्वीय अस्थिरता); और समता से पहले विकिरण दाब उन्हें वापस उछाल देता था — वृद्धि ने पदार्थ के राज करने की प्रतीक्षा की। 16. पुनर्योजन तक ध्वनि (फ़ोटॉन–बैरिऑन तरल में $c/\sqrt3$ ) की तय की गई दूरी — अर्थात् ध्वनि-क्षितिज, आकाश में गड़ा हुआ एक ध्वनिक पैमाना। 17. वह कोण किसी समतल ब्रह्मांड की ज्यामिति से लगभग एक प्रतिशत तक मेल खाता है: समांतर रेखाएँ, ब्रह्मांडीय पैमाने पर भी, समांतर ही रहती हैं। 18. एकध्रुव: तप्त आरंभ। द्विध्रुव: हमारे $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । लहरें: संरचना का उद्गम और समष्टि की ज्यामिति — हर दशमलव स्थान एक खोज। 19. वह हर दिशा में बराबर था, दिन-रात, गर्मी-सर्दी, और कबूतरों से मुक्त: कोई स्थानीय, आकाशगंगीय या यांत्रिक चीज़ इतनी समदैशिक नहीं होती — केवल स्वयं आकाश। 20. हर बेसुरे सेट पर एक फुफकार: महाविस्फोट हर समय टेलीविज़न पर था। 21. गुच्छ के तप्त इलेक्ट्रॉन CMB फ़ोटॉनों को कॉम्पटन धक्का देकर ऊँची आवृत्ति की ओर भेजते हैं: संक्रमण से नीचे गुच्छ फ़ोटॉन हटा देता है — एक छायाचित्र, जिसकी गहराई दूरी से स्वतंत्र है, और जिससे सर्वेक्षण किसी भी लाल-विस्थापन पर गुच्छ खोज लेते हैं। 22. आदिम गुरुत्व-तरंगें CMB के ध्रुवण को “B मोडों” में ऐंठ देतीं: आपेक्षिकता की तरंगें, थॉमसन-प्रकीर्ण प्रकाश में पढ़ी गईं — इस पुस्तक के दो धागे एक साथ बँधे हुए। 23. $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$ : महाविस्फोट के लगभग $10^{16}$ फ़ोटॉन प्रति सेकंड आपको पार करते हैं, और आपको पता तक नहीं चलता। 24. वह तंत्र सामग्री ने चुना है (जहाँ विकिरण समदैशिक है), नियमों ने नहीं: आपेक्षिकता केवल नियम-वरीय तंत्रों को मना करती है — CMB से होकर चलना पकड़ा जा सकता है, दिक्-काल से होकर चलना नहीं। 25. हर दृष्टि-रेखा पर $2.725\,\mathrm{K}$ का प्लांक वक्र — प्रति घन सेंटीमीटर $411$ फ़ोटॉन, प्रति बैरिऑन $10^9$ , और $10^{-5}$ पर लहरें: सांख्यिकीय भौतिकी की कृष्णिका, जो ब्रह्मांड-विज्ञान का आधार-दस्तावेज़ बन गई।