Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

43Perímetro, área y volumen

¿Cuánto mide la valla, cuán grande es el campo, cuánta agua cabe en el depósito? Tres preguntas distintas, tres magnitudes distintas — perímetro, área y volumen —, cada una con sus unidades. Confundirlas es el error más frecuente en geometría; este capítulo las separa de una vez por todas.

43.1 Longitudes y perímetro

Definición 43.1 (Perímetro)

El perímetro de una figura es la longitud total de su borde. Se mide en unidades de longitud: milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m) y kilómetros (km), con

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Ejemplo 43.2

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$ tiene perímetro

P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).

Para un rectángulo de $7$ cm por $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Un cuadrado de lado $c$ tiene perímetro $4c$ .

Proposición 43.3 (Longitud de una circunferencia)

El perímetro (o longitud) de una circunferencia de radio $r$ es

P = 2 \pi r ,

donde $\pi \approx 3.14$ es el mismo número para todas las circunferencias.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 43.4

Un estanque circular tiene radio $5$ m. Su borde mide $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Conserva el valor exacto $10\pi$ todo lo que puedas; redondea solo al final.

43.2 Áreas

Definición 43.5 (Área)

El área de una figura mide la superficie que cubre: cuántos cuadrados unidad caben dentro. Unidades: cm $^2$ (un cuadrado de lado $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Cuidado:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un metro cuadrado es un cuadrado de $100$ cm por $100$ cm, así que cada escalón de la escalera de unidades vale $100$ , no $10$ .

El área de un rectángulo: 7 columnas de 4 cuadrados unidad cada una, o sea, 7 × 4 = 28 cuadrados en total. Por eso área = largo × ancho. — El área de un rectángulo: $7$ columnas de $4$ cuadrados unidad cada una, o sea, $7 \times 4 = 28$ cuadrados en total. Por eso área $=$ largo $\times$ ancho.

Proposición 43.6 (Fórmulas básicas de área)

figura	área
rectángulo ( $L \times a$ )	$A = L \times a$
cuadrado (lado $c$ )	$A = c^2$
[4pt] triángulo rectángulo (catetos $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] disco (radio $r$ )	$A = \pi r^2$

Demostración para el triángulo rectángulo. Dos copias de un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$ , pegadas por la hipotenusa, forman un rectángulo de $a \times b$ . Así que el área del triángulo es la mitad de la del rectángulo: $\frac{ab}{2}$ . (La fórmula del rectángulo es el recuento de cuadrados unidad de arriba; la del disco se admite, véase el Capítulo 53.) ∎

Un triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo: de ahí la fórmula a× b/2. — Un triángulo rectángulo es la mitad de un rectángulo: de ahí la fórmula $\frac{a\times b}{2}$ .

Ejemplo 43.7 (Figuras compuestas)

Una habitación en forma de L es un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m al que se le ha quitado una esquina cuadrada de $2$ m $\times$ $2$ m. Su área, paso a paso:

rectángulo completo: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
cuadrado quitado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
área restante: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Su perímetro no es $20$ de nada: recorriendo la L, el borde sigue midiendo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — los dos cortes de la esquina sustituyen a dos trozos de pared iguales. ¡El mismo número por casualidad, pero metros cuadrados en un caso y metros en el otro!

Observación 43.8 (Mismo perímetro, áreas distintas)

Dos figuras pueden tener el mismo perímetro y áreas muy distintas: un cuadrado de $5 \times 5$ y un rectángulo de $9 \times 1$ tienen los dos perímetro $20$ , pero áreas $25$ y $9$ . El perímetro y el área son magnitudes realmente independientes.

43.3 Volúmenes

Definición 43.9 (Volumen)

El volumen de un cuerpo mide el espacio que ocupa: cuántos cubos unidad caben dentro. Unidades: cm $^3$ , m $^3$ , … con $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (cada escalón de la escalera vale $1000$ ). Para los líquidos se usa además el litro:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposición 43.10 (Volumen de un ortoedro)

Un ortoedro (un prisma rectangular) de largo $L$ , ancho $a$ y altura $h$ tiene volumen

V = L \times w \times h .

Demostración. La capa de abajo contiene $L \times a$ cubos unidad (el dibujo de la Definición 43.5, pero con cubos), y hay $h$ capas así. ∎

Un ortoedro lleno de cubos unidad: 4 × 2 cubos por capa, dos capas. — Un ortoedro lleno de cubos unidad: $4 \times 2$ cubos por capa, dos capas.

Ejemplo 43.11

Un acuario mide $60$ cm por $30$ cm por $40$ cm (de alto). Volumen:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Paso a paso para la conversión: $1000$ cm $^3$ hacen un litro, y $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Ejercicios

Ejercicio 43.1 ★

Convierte: $3.5$ m en cm; $420$ mm en cm; $0.8$ km en m; $25\,000$ m en km.

Solución

Solución de Ejercicio 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Ejercicio 43.2 ★

Calcula el perímetro de: un rectángulo de $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; un cuadrado de lado $6.2$ cm; un triángulo de lados $5$ cm, $7$ cm y $9$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 43.2.

Rectángulo: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Cuadrado: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triángulo: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Ejercicio 43.3 ★

Una pista de atletismo circular tiene radio $50$ m. ¿Cuánto mide una vuelta (valor exacto con $\pi$ y después redondeado al metro)? ¿Cuántas vueltas hacen al menos $2$ km?

Solución

Solución de Ejercicio 43.3.

Una vuelta: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Para $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , así que hacen falta $7$ vueltas completas ( $6$ vueltas solo hacen unos $1\,885$ m).

Ejercicio 43.4 ★

Calcula el área de: un rectángulo de $9$ cm $\times$ $4$ cm; un cuadrado de lado $7$ m; un triángulo rectángulo de catetos $6$ cm y $10$ cm; un disco de radio $3$ cm (valor exacto y después redondeado al cm $^2$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 43.4.

Rectángulo: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Cuadrado: $7^2 = 49$ m $^2$ . Triángulo rectángulo: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Disco: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Ejercicio 43.5 ★

Convierte: $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ en m $^2$ ; $2.5$ L en cm $^3$ ; $4\,500$ L en m $^3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Ejercicio 43.6 ★

Un campo rectangular mide $120$ m de largo y $85$ m de ancho. ¿Cuántos metros de valla hacen falta para cercarlo? ¿Cuál es su área?

Solución

Solución de Ejercicio 43.6.

Valla (perímetro): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Área: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Ejercicio 43.7 ★

Calcula el volumen de un ortoedro de $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm y el de un cubo de arista $3$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 43.7.

Ortoedro: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Ejercicio 43.8 ★

Dibuja dos rectángulos distintos de perímetro $16$ cm y calcula sus áreas. ¿Cuál de tus rectángulos tiene mayor área?

Solución

Solución de Ejercicio 43.8.

Perímetro $16$ cm significa largo $+$ ancho $= 8$ cm. Por ejemplo, $6 \times 2$ (área $12$ cm $^2$ ) y $5 \times 3$ (área $15$ cm $^2$ ) — o el cuadrado $4 \times 4$ (área $16$ cm $^2$ ). Cuanto más se parece a un cuadrado, mayor es el área.

Ejercicio 43.9 ★★

Una figura en forma de T está hecha de un rectángulo horizontal de $10 \times 2$ encima de otro vertical de $2 \times 6$ (medidas en cm). Calcula su área y después su perímetro (recorre el borde con cuidado, sumando todos los tramos).

Solución

Solución de Ejercicio 43.9.

Área: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Perímetro (con el pie centrado bajo la barra): recorriendo el borde,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(arriba; extremo derecho de la barra; parte inferior derecha; lado derecho del pie; base del pie; lado izquierdo del pie; parte inferior izquierda; extremo izquierdo de la barra).

Ejercicio 43.10 ★★

Una piscina es un ortoedro de $25$ m de largo, $10$ m de ancho y $2$ m de profundidad.

¿cuántos metros cúbicos de agua contiene llena?
¿cuántos litros son?
la piscina se llena a $50\,000$ L por hora. ¿Cuánto tarda el llenado?

Solución

Solución de Ejercicio 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ horas.

Ejercicio 43.11 ★★

Un jardín es un cuadrado de lado $20$ m que contiene un estanque circular de radio $3$ m. ¿Qué área de césped hay (valor exacto y después redondeado al m $^2$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 43.11.

Jardín: $20^2 = 400$ m $^2$ . Estanque: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Césped: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Ejercicio 43.12 ★★★

Una tableta de chocolate mide $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. El fabricante duplica las tres dimensiones.

¿por cuánto queda multiplicado el volumen? Compruébalo calculando los dos volúmenes;
el precio se multiplica por $4$ . ¿Sale más a cuenta la tableta grande que la pequeña?

Solución

Solución de Ejercicio 43.12.

1. Tableta pequeña: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Tableta grande: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . El volumen queda multiplicado por $720 \div 90 = 8$ — duplicar cada una de las tres dimensiones multiplica el volumen por $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Ocho veces el chocolate por cuatro veces el precio: sí, la tableta grande sale el doble de bien por gramo.

43.5 Problema: La valla de la reina Dido

Problema 43.1

Problema de fin de semana — con una longitud fija de valla, ¿qué forma encierra más terreno? El cuadrado gana a todos los rectángulos, el círculo gana al cuadrado y la pared de un granero lo cambia todo

Cuenta la leyenda que a la reina Dido, al desembarcar en la costa de África, le concedieron «tanta tierra como pueda encerrar una piel de buey» — así que cortó la piel en una tira larguísima y estrechísima y encerró terreno suficiente para fundar la ciudad de Cartago. Su problema es ahora el tuyo: un granjero tiene exactamente $20$ m de valla. El Ejercicio 43.8 mostró que dos cercados con el mismo perímetro pueden tener áreas distintas; este problema busca el mejor cercado — y descubre que la respuesta cambia por completo cuando la pared de un granero regala un lado.

Parte I — Veinte metros de valla.

el cercado tiene que ser un rectángulo que use los $20$ m de valla. Comprueba que un cercado de $1 \times 9$ y otro de $2 \times 8$ valen, y calcula sus áreas;
explica por qué el largo y el ancho de todo cercado válido suman $10$ m. Después haz la tabla completa de los cercados de lados enteros (de $1 \times 9$ a $5 \times 5$ ) con sus áreas. ¿Cuál es el mejor?
¿merece la pena probar con lados decimales? Calcula las áreas del cercado de $4.5 \times 5.5$ y del de $4.9 \times 5.1$ , y compáralas con el cuadrado de $5 \times 5$ . ¿Qué conjeturas?
la pregunta 2 convirtió el problema de la valla en una pregunta puramente numérica: entre todas las parejas de números que suman $10$ , ¿cuál tiene el producto mayor? Respóndela a partir de tu tabla y enuncia la regla general que observas;
he aquí por qué alejarse del cuadrado siempre pierde, con tijeras en vez de con álgebra: parte del cercado de $5 \times 5$ y conviértelo en el de $6 \times 4$ quitando una tira y pegando otra. ¿Qué tira se quita, cuál se añade y por qué el cambio pierde exactamente un metro cuadrado? Explica por qué un paso más (hasta $7 \times 3$ ) pierde aún más.

Parte II — El granero y el círculo.

ahora el cercado se construye contra la pared larga de un granero: la pared sustituye a uno de los largos del cercado y los $20$ m de valla cubren solo los otros tres lados. Haz una tabla de los cercados de lados enteros (ancho $a$ , largo $L$ pegado a la pared, $a + L + a = 20$ ) y sus áreas. ¿Qué cercado gana ahora y es un cuadrado?
explica el ganador con un espejo (Capítulo 42): refleja el cercado respecto de la pared del granero y considera el cercado doble. ¿Cuánta valla usa el cercado doble, cuál es el mejor cercado doble según la Parte I y en qué convierte eso al cercado original?
Dido no construyó un rectángulo. Dobla los $20$ m de valla formando un círculo: con $\pi \approx 3.14$ , calcula su radio (al cm) y después su área (al m $^2$ ) (Proposición 43.3, Proposición 43.6). Compárala con el cuadrado de $5 \times 5$ ;
el problema inverso: se quiere un cercado de área exactamente $36$ m $^2$ con la menor valla posible. Compara los rectángulos $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ y $6 \times 6$ : ¿perímetros? ¿Qué forma sale más barata y por qué es esta pregunta la imagen especular de la Parte I?
en una frase: ¿por qué son tan a menudo redondos las latas, las tuberías y los depósitos de agua?

Parte III — El perímetro y el área son desconocidos.

halla un rectángulo cuyo perímetro supere los $100$ m pero cuya área sea menor que $1$ m $^2$ . (Muy largo y muy estrecho. Se permiten decimales.)
¿verdadero o falso?: «de dos figuras, la que tiene mayor perímetro tiene mayor área». Da un contraejemplo sacado de este problema;
toma el rectángulo de $6 \times 4$ y recorta una muesca cuadrada de $1 \times 1$ en el medio de uno de los lados largos (la muesca se abre hacia fuera, como un diente que falta). Calcula el área y el perímetro de la figura con muesca y compáralos con los del original. ¿Qué le ha pasado a cada uno?
los cartógrafos conocen un hecho extraño: cuanto más detallado es el mapa, más larga sale la costa — cada ampliación revela muescas nuevas, y la pregunta 13 muestra lo que hace cada muesca. Explica en una o dos frases por qué «la longitud de la costa de Bretaña» es un número escurridizo, mientras que «el área de Bretaña» no lo es;
el examen del granjero. Con $36$ m de valla y la pared del granero disponible, halla el mejor cercado rectangular (usa el espejo de la pregunta 7), da su área y compárala con el mejor cercado construido con $36$ m en campo abierto. ¿Cuánto le gana al granjero la pared del granero?

Solución

Solución de Problema 43.1.

1. $1 \times 9$ : perímetro $2 \times (1 + 9) = 20$ m, área $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : perímetro $2 \times 10 = 20$ m, área $16$ m $^2$ .

2. El perímetro es el doble de (largo $+$ ancho) (Ejemplo 43.2), así que largo $+$ ancho $= 20 \div 2 = 10$ m. La tabla:

cercado	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
área (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

El cuadrado $5 \times 5$ es el mejor.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ y $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : cada vez más cerca de $25$ , pero siempre por debajo. Conjetura: el cuadrado gana a todos los rectángulos de perímetro $20$ , lados decimales incluidos.

4. De la tabla: el producto de dos números que suman $10$ es máximo cuando los dos números son iguales ( $5$ y $5$ ). Regla general: para una suma fija, el producto es máximo con partes iguales — cuanto más desigual es la pareja, menor es el producto.

5. Del cuadrado $5 \times 5$ , quita la fila de arriba — una tira de $5$ cuadrados unidad — y queda un cercado de $5 \times 4$ ; después pega una columna de $4$ cuadrados unidad en un extremo, y el cercado pasa a ser $6 \times 4$ . Se quitaron cinco cuadrados y solo cuatro volvieron: la tira añadida va a lo largo del lado de $4$ , que es más corto que el lado de $5$ que cubría la tira quitada. Pérdida neta: un metro cuadrado ( $25 \to 24$ ). El paso siguiente, de $6 \times 4$ a $7 \times 3$ , cambia una fila de $6$ por una columna de $3$ y pierde tres más ( $24 \to 21$ ): cuanto más lejos está el cercado del cuadrado, más larga es la tira que entrega y más corta la que recibe.

6. Con $a + L + a = 20$ , es decir, $L = 20 - 2a$ :

$w$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$L$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
área	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

El ganador es $5 \times 10$ , de área $50$ m $^2$ — el doble de largo (a lo largo de la pared) que de ancho: no es un cuadrado.

7. Refleja el cercado respecto de la pared: el cercado más su imagen especular forman un cercado doble que usa la valla dos veces, $40$ m de valla alrededor (el lado de la pared queda ahora en el interior). Por la Parte I, el mejor rectángulo de perímetro $40$ es el cuadrado $10 \times 10$ , de área $100$ m $^2$ . El mejor cercado real es la mitad de ese mejor cercado doble: $10$ m a lo largo de la pared y $5$ m de fondo, área $50$ m $^2$ — exactamente el ganador de la tabla, ahora explicado.

8. Longitud $20 = 2 \times \pi \times r$ , así que $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Área: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — holgadamente más que los $25$ m $^2$ del cuadrado. Dido sabía lo que hacía: para una longitud de borde dada, el círculo encierra lo máximo.

9. Perímetros: $1 \times 36$ : $74$ m; $2 \times 18$ : $40$ m; $3 \times 12$ : $30$ m; $4 \times 9$ : $26$ m; $6 \times 6$ : $24$ m. Otra vez el cuadrado — la menor valla para el área dada. Es la Parte I al revés: perímetro fijo y área máxima, o área fija y perímetro mínimo: las dos coronan al cuadrado (y, más allá de todos los rectángulos, al círculo).

10. Una pared redonda es el borde más corto para el espacio que encierra (pregunta 8), así que una lata, una tubería o un depósito redondos contienen lo máximo con el mínimo de metal — el material es dinero.

11. Por ejemplo, $50$ m $\times$ $0.01$ m: perímetro $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m y área $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Largo y estrecho: kilómetros de borde y casi nada de terreno.

12. Falso. El cercado de la pregunta 11 tiene perímetro $100.02$ m y área $0.5$ m $^2$ , mientras que el cercado $5 \times 5$ tiene perímetro $20$ m y área $25$ m $^2$ : mayor perímetro y área mucho menor.

13. Área: falta un cuadrado unidad, $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Perímetro: al recorrer el borde, la muesca sustituye $1$ cm de pared recta por tres lados del cuadradito, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: el perímetro crece de $20$ cm a $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Quitar material alargó el borde.

14. Cada ampliación de una costa real revela bahías, rocas y calas nuevas — muescas sobre muescas —, y la pregunta 13 muestra que cada muesca añade longitud de borde sin apenas cambiar el área. Así que la longitud medida sigue creciendo con el nivel de detalle («la paradoja de la costa»), mientras que el área medida se estabiliza: el perímetro y el área son magnitudes realmente independientes.

15. Argumento del espejo: el cercado doble usaría $2 \times 36 = 72$ m de valla, y el mejor rectángulo de perímetro $72$ es el cuadrado $18 \times 18$ . Así que el mejor cercado es de $18$ m a lo largo de la pared y $9$ m de fondo: comprobación de la valla, $9 + 18 + 9 = 36$ m, y área $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . En campo abierto, el mejor es el cuadrado $9 \times 9$ , de área $81$ m $^2$ . La pared del granero duplica exactamente el terreno del granjero.