def কী?

Ejemplo 21.2 (La derivada, como matriz)

Sea $D(P) = P'$ en $\R_3[X]$. En la base monomial $(1, X, X^2, X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, luego

En la base dividida $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$, cada vector de la base va al anterior ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$) y la matriz se convierte en el desplazamiento puro: unos en la superdiagonal y ceros en el resto. Dos moralejas: la matriz pertenece a la pareja (aplicación, base), no a la aplicación sola; y una buena base vuelve visible la estructura de un vistazo — la forma de desplazamiento muestra al instante que $D^4 = 0$ en $\R_3[X]$, pues cada potencia de la matriz empuja su diagonal de unos un paso más lejos.