সব বই

1 Mathématiques du primaire et du collègeশ্রেণি 1–9 অনলাইন 2 Mathématiques du lycéeশ্রেণি 10–12 অনলাইন 3 Mathématiques universitaires — Licence 1স্নাতক প্রথম বর্ষ অনলাইন 4 Mathématiques universitaires — Licence 2স্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ অনলাইন 5 Mathématiques universitaires — Licence 3স্নাতক তৃতীয় বর্ষ অনলাইন

1 Physique du primaire et du collègeশ্রেণি 1–9 অনলাইন 2 Physique du lycéeশ্রেণি 10–12 অনলাইন 3 Physique universitaire — 1re annéeস্নাতক প্রথম বর্ষ অনলাইন 4 Physique universitaire — 2e annéeস্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ অনলাইন 5 Physique universitaire — 3e annéeস্নাতক তৃতীয় বর্ষ অনলাইন

1 La chimie à l’école — Années 1 à 12শ্রেণি 1–12 অনলাইন 2 Chimie universitaire — 1re annéeস্নাতক প্রথম বর্ষ অনলাইন 3 Chimie universitaire — 2e annéeস্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ অনলাইন 4 Chimie universitaire — 3e annéeস্নাতক তৃতীয় বর্ষ অনলাইন

1 Biologie du primaire et du collègeশ্রেণি 1–9 অনলাইন 2 Biologie du lycéeশ্রেণি 10–12 অনলাইন 3 Biologie universitaire — 1re annéeস্নাতক প্রথম বর্ষ অনলাইন 4 Biologie universitaire — 2e annéeস্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ অনলাইন 5 Biologie universitaire — 3e annéeস্নাতক তৃতীয় বর্ষ অনলাইন

1 Sciences de la Terre et de l’Univers du primaire et du collègeশ্রেণি 1–9 অনলাইন 2 Sciences de la Terre et de l’Univers du lycéeশ্রেণি 10–12 অনলাইন 3 Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 1re annéeস্নাতক প্রথম বর্ষ অনলাইন 4 Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 2e annéeস্নাতক দ্বিতীয় বর্ষ অনলাইন 5 Sciences de la Terre et de l’Univers à l’université — 3e annéeস্নাতক তৃতীয় বর্ষ অনলাইন

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsবাজার অনলাইনইংরেজি 2 Markets II: Rates, FX and Creditবাজার অনলাইনইংরেজি 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoবাজার অনলাইনইংরেজি 4 Quantitative Methodsপদ্ধতি অনলাইনইংরেজি 5 Derivatives and Volatilityডেরিভেটিভস অনলাইনইংরেজি 6 Rates, Credit, XVA and Riskসুদহার, ঋণ ও ঝুঁকি অনলাইনইংরেজি 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosগবেষণা অনলাইনইংরেজি 8 Strategies I: Equities and Futuresকৌশল অনলাইনইংরেজি 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksকৌশল অনলাইনইংরেজি 10 Microstructure and Executionএক্সিকিউশন অনলাইনইংরেজি 11 Market Making and High-Frequency Tradingমার্কেট মেকিং অনলাইনইংরেজি 12 Machine Learning for Marketsমেশিন লার্নিং অনলাইনইংরেজি 13 Low-Latency Softwareপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 15 Research, Data and Risk Platformsপ্রযুক্তি অনলাইনইংরেজি 16 The Desk and the Firmপ্রতিষ্ঠান অনলাইনইংরেজি 17 The Industry: Firms, Roles and Careersক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি 20 Interviews III: Codeক্যারিয়ার অনলাইনইংরেজি

সব গেম Math Fuse Word Reactor Atlas Dash

অ্যাপ পরিচিতি

Coach

English Français Español Nederlands Português हिन्दी العربية Bahasa Indonesia 简体中文 বাংলা

সাইন ইন পড়া শুরু করো

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Français সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Mathématiques · পরিভাষা

Longueur d’un arc কী?

অন্য নাম: longueur d'arc

Définition 24.9 Mathématiques universitaires — Licence 1 · অধ্যায় 24 — Courbes planes

La longueur d’un arc $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ est l’intégrale de la vitesse scalaire :

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivation : sur un petit intervalle, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , de sorte que l’arc est proche d’une ligne polygonale dont les longueurs des segments s’additionnent en une somme de Riemann de $\norm{f'}$ , Théorème 15.20.) Pour une courbe en polaires $r = r(\theta)$ , la vitesse $r'\vec u + r\vec v$ a des composantes orthogonales, donc

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longueur ne dépend pas du paramétrage (monotone, $C^1$ ) choisi : la substitution $t = \varphi(s)$ dans l’intégrale (Théorème 15.15) multiplie $f'$ par $\varphi'$ et $\dd t$ par $\varphi'^{-1}$ .

Une arche de la cycloïde (rayon R = 1), le cercle roulant en t = 2, et les deux droites de construction du devoir maison : la corde MC vers le point de contact est normale à la courbe, la corde MT vers le sommet du cercle est tangente. — Une arche de la cycloïde (rayon $R = 1$ ), le cercle roulant en $t = 2$ , et les deux droites de construction du devoir maison : la corde $MC$ vers le point de contact est normale à la courbe, la corde $MT$ vers le sommet du cercle est tangente.

উদাহরণ

Exemple 24.10 (Vérification : le cercle)

Pour $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , donc $L = 2\pi R$ — la définition rend bien la circonférence. Test de reparamétrage : l’application $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ sur $\intcc{0}{\pi}$ décrit le même cercle à vitesse doublée $\norm{g'} = 2R$ , et

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

de nouveau : deux fois moins de temps, deux fois plus vite, même longueur — l’invariance promise dans la définition, constatée une fois sur les nombres. (Faire parcourir $g$ sur tout $\intcc{0}{2\pi}$ donnerait $4\pi R$ : une courbe parcourue deux fois est deux fois plus longue en tant que trajet ; la longueur mesure le chemin paramétré, et une comptabilité honnête de l’intervalle fait partie du calcul.) Pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , et par symétrie $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : une courbe tracée à l’intérieur du cercle unité, de longueur $6 < 2\pi$ . Le devoir maison mesure la plus célèbre des arches.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →