गुणजावली কী?

অন্য নাম: आदर्श · भागफल वलय

परिभाषा 1.25 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · অধ্যায় 1 — समुच्चय और संरचनाएँ

मान लीजिए $A$ एक क्रमविनिमेय वलय है। गुणजावली $I \subseteq A$ एक ऐसा योज्य उपसमूह है कि सभी $a \in A$ , $x \in I$ के लिए $a x \in I$ हो। वलय समाकारिताओं के केंद्रक गुणजावलियाँ होते हैं; $I = A$ यदि और केवल यदि $1 \in I$ , यदि और केवल यदि $I$ में कोई इकाई है। $x$ द्वारा जनित गुणजावली $xA = \{xa\}$ है (एक मुख्य गुणजावली)।

উদাহরণ

उदाहरण 1.27 (बहुपदों का महत्तम समापवर्तक, दो प्रकार से)

$\Q[X]$ में $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ परिकलित कीजिए। यूक्लिड से:

X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 ,

अतः महत्तम समापवर्तक $X - 1$ है, और पीछे प्रतिस्थापन करने से बेज़ू संबंध मिलता है

X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1).

गुणजावलियों से: गुणजावली $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ मुख्य है (प्रमेय 1.26); उसमें $X - 1$ समाहित है (उपर्युक्त प्रदर्शन) और वह स्वयं $(X - 1)\Q[X]$ में समाहित है (दोनों जनक $1$ पर शून्य होते हैं, अतः $X - 1$ के गुणज हैं): इसलिए एकिक जनक $X - 1$ है। समापन दृष्टि: गुणजावली वाली दृष्टि महत्तम समापवर्तक को बिना भाग दिए पहचान लेती है — उभयनिष्ठ मूल गुणजावली का पता दे देते हैं, और यूक्लिड केवल उसकी पुष्टि करता है।

उदाहरण 1.34 (एक मूल्यांकन समाकारिता और उसका केंद्रक)

लीजिए $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ और मूल्यांकन $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ । चूँकि $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

( $P$ के केवल अचर और रैखिक पद बचते हैं)। अतः $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : एक मुख्य गुणजावली, ठीक जैसा प्रमेय 1.26 बताती है, जो केंद्रक में न्यूनतम घात के एकिक $X^2$ से जनित है — यही $A$ का न्यूनतम बहुपद है, अध्याय 3 का नायक। प्रतिबिंब दो-विमीय क्रमविनिमेय बीजगणित $\{aI + bA\}$ है: मूल्यांकन समाकारिताएँ अनंत-विमीय $\R[X]$ को छोटे, परिकलनीय बीजगणितों पर सिकोड़ देती हैं।

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परिभाषा 2.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · অধ্যায় 2 — वलय और अंकगणित

किसी वलय $A$ का आदर्श $I$ एक ऐसा योगात्मक उपसमूह है जिसके लिए $AI \subseteq I$ । भागफल वलय $A/I$ भागफल समूह $(A, +)/I$ है, जिस पर गुणन $(a + I)(b + I) = ab + I$ है: यह सुपरिभाषित है, क्योंकि $a$ को $a + x$ और $b$ को $b + y$ में बदलने पर ( $x, y \in I$ ) $ab$ में $ay + xb + xy \in I$ का परिवर्तन होता है। प्रक्षेप $\pi \colon A \to A/I$ एक आच्छादक वलय समाकारिता है जिसकी अष्टि $I$ है, और वलय समाकारिताओं की अष्टियाँ ठीक आदर्श ही हैं।

উদাহরণ

उदाहरण 2.20 (अद्वितीय गुणनखंडन के बिना एक वलय)

यूक्लिडीय $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD में से कोई भी निहितार्थ तुल्यता नहीं है, और अंतिम की विफलता को एक बार पूरे विस्तार से देखना सार्थक है।

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

में मानक गुणनात्मक है और $N(z) = 1$ तभी और केवल तभी जब $z \in A^\times = \{\pm1\}$ । अब

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

पर विचार कीजिए। चारों गुणनखंड अखंडनीय हैं: उनके मानक $4, 9, 6, 6$ हैं, और कोई उचित गुणनखंडन $z = z_1z_2$ $N(z_1) \in \{2, 3\}$ पर विवश कर देता — परंतु $a^2 + 5b^2$ कभी भी $2$ या $3$ के बराबर नहीं होता ( $b = 0$ से अवर्ग $2, 3$ बचते हैं; $\abs b \geq 1$ से $\geq 5$ मिलता है)। फिर भी $2$ $1 \pm \iu\sqrt5$ में से किसी का भी सहचारी नहीं है (मानक $4 \neq 6$ ): अर्थात् $6$ के अखंडनीय अवयवों में दो सर्वथा भिन्न गुणनखंडन। समतुल्य रूप से, यहाँ अखंडनीय $\neq$ अभाज्य: $2$ गुणनफल $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ को विभाजित करता है पर किसी गुणनखंड को नहीं (फिर मानक देखिए)। इस विफलता की आदर्श-सैद्धांतिक मरम्मत — अवयवों के स्थान पर आदर्शों का गुणनखंडन — बीजीय संख्या सिद्धांत का जन्म है; हमारे स्तर पर यह उदाहरण यह आँकने में सहायक है कि इस अध्याय के यूक्लिडीय वलय $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ वास्तव में कितने विशिष्ट हैं।

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