什么是 घूर्णन संख्या？

परिभाषा 16.6 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · 第 16 章 — समविश्लेषिक फलन

किसी संवृत पथ $\gamma$ और $z \notin \operatorname{im}\gamma$ के लिए सूचकांक है

\operatorname{Ind}_\gamma(z) = \frac1{2\iu\pi} \int_\gamma\frac{\dd w}{w - z} .

यह एक पूर्णांक है: $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ रखने पर फलन $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ का अवकलज (खंडशः) शून्य होता है, अतः वह अचर है; और $t = b$ पर $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$ , इसलिए $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$ । $z$ के फलन के रूप में सूचकांक $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ पर संतत है (प्रभावी अभिसरण), अतः प्रत्येक संबद्ध घटक पर अचर, और अपरिबद्ध घटक पर $0$ (ML: $z \to \infty$ पर समाकल $0$ की ओर जाता है)। वृत्त $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ के लिए: $z \in D(a,r)$ के लिए $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ ( $z = a$ पर परिकलित कीजिए: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; शेष अचरता कर देती है)।

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परिभाषा 21.25 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · 第 21 章 — अवकल रूप और स्टोक्स की प्रमेय

मान लीजिए $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ कोई चिकना संवृत वक्र है। $a$ के परितः उसकी घूर्णन संख्या है

\operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac1{2\pi}\int_\gamma\omega_\theta^a, \qquad \omega_\theta^a = \frac{(x - a_1)\,\dd y - (y - a_2)\,\dd x}{(x - a_1)^2 + (y - a_2)^2} .

示例

उदाहरण 21.14 (कोणीय रूप)

$U = \R^2 \setminus \{0\}$ पर

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

संवृत है (सीधा परिकलन: अभ्यास 21.4) पर यथार्थ नहीं: इकाई वृत्त के अनुदिश उसका समाकल $2\pi \neq 0$ है, जबकि संवृत वक्रों के अनुदिश यथार्थ रूपों के समाकल लुप्त हो जाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 21.28)। स्थानीय रूप से ध्रुवीय कोण के किसी भी चिकने निर्धारण $\theta$ के लिए $\omega_\theta = \dd\theta$ — और यहीं से नाम तथा बाधा दोनों आते हैं: समूचे $U$ पर ऐसा कोई निर्धारण विद्यमान नहीं है। यही एक रूप घूर्णन संख्या (अनुभाग 21.6) को चलाता है और, उसके माध्यम से, अध्याय 17 की अवशेष प्रमेय को भी।

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示例

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