De lengte van een C1-boog f:[a,b]→R2 is de integraal van de snelheid:
L=∫ab∥f′(t)∥dt=∫abx′(t)2+y′(t)2dt.
(Motivering: op een klein interval is M(t+h)≈M(t)+hf′(t), zodat de boog dicht bij een veelhoek ligt waarvan de lengten van de segmenten een Riemannsom van ∥f′∥ vormen, Stelling 15.20.) Voor een poolkrommer=r(θ) heeft de snelheid r′u+rvorthogonale componenten, dus is
L=∫θ1θ2r′(θ)2+r(θ)2dθ.
De lengte hangt niet af van de gekozen (monotone, C1-)parametrisering: de substitutie t=φ(s) in de integraal (Stelling 15.15) vermenigvuldigt f′ met φ′ en dt met φ′−1.
Eén boog van de cycloïde (straal R=1), de rollende cirkel bij t=2, en de twee hulplijnen van de weekendopgave: de koorde MC naar het contactpunt staat loodrecht op de kromme, de koorde MT naar de top van de cirkel is rakend.
উদাহরণ
Voorbeeld 24.10(Controle: de cirkel)
Voor f(t)=(Rcost,Rsint) op [0,2π] is ∥f′∥=R, dus L=2πR — de definitie geeft de omtrek terug. Toets op herparametrisering: de afbeeldingg(t)=(Rcos2t,Rsin2t) op [0,π] tekent dezelfde cirkel met dubbele snelheid ∥g′∥=2R, en
∫0π2Rdt=2πR
opnieuw: de halve tijd, de dubbele snelheid, dezelfde lengte — de invariantie die in de definitie werd beloofd, één keer op getallen bekeken. (g over heel [0,2π] laten lopen zou 4πR geven: een kromme die twee keer wordt doorlopen is tweemaal zo lang als reis; de lengte meet het geparametriseerde pad, en eerlijke boekhouding van het interval hoort bij de berekening.) Voor de astroïde (cos3t,sin3t) is ∥f′∥=3∣sintcost∣=23∣sin2t∣, en uit symmetrie L=4∫0π/223sin2tdt=6: een kromme getekend binnen de eenheidscirkel, van lengte6<2π. De weekendopgave meet de beroemdste boog van allemaal.
Coach