Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

43Omtrek, oppervlakte, volume

Hoe lang is het hek, hoe groot is het veld, hoeveel water gaat er in de tank? Drie verschillende vragen, drie verschillende grootheden — omtrek, oppervlakte en volume — elk met haar eigen eenheden. Ze door elkaar halen is de meest gemaakte fout in de meetkunde; dit hoofdstuk zet ze voor eens en altijd op hun plaats.

43.1 Lengtes en omtrek

Definitie 43.1 (Omtrek)

De omtrek van een figuur is de totale lengte van haar rand. Je meet hem in lengte-eenheden: millimeter (mm), centimeter (cm), meter (m), kilometer (km), met

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Voorbeeld 43.2

Een rechthoek met lengte $l$ en breedte $b$ heeft omtrek

P = l + b + l + b = 2 \times (l + b).

Voor een rechthoek van $7$ cm bij $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Een vierkant met zijde $z$ heeft omtrek $4z$ .

Propositie 43.3 (Omtrek van een cirkel)

De omtrek van een cirkel met radius $r$ is

P = 2 \pi r ,

waarbij $\pi \approx 3.14$ voor elke cirkel hetzelfde getal is.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 43.4

Een ronde vijver heeft radius $5$ m. Zijn rand meet $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Houd de precieze waarde $10\pi$ zo lang mogelijk vast; rond pas aan het einde af.

43.2 Oppervlaktes

Definitie 43.5 (Oppervlakte)

De oppervlakte van een figuur meet het oppervlak dat ze bedekt: hoeveel eenheidsvierkantjes er in passen. Eenheden: cm $^2$ (een vierkantje met zijde $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Let op:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— een vierkante meter is een vierkant van $100$ cm bij $100$ cm, dus is elke stap op de maatladder $100$ waard en niet $10$ .

De oppervlakte van een rechthoek: 7 kolommen van elk 4 eenheidsvierkantjes, dus 7 × 4 = 28 vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte = lengte × breedte. — De oppervlakte van een rechthoek: $7$ kolommen van elk $4$ eenheidsvierkantjes, dus $7 \times 4 = 28$ vierkantjes in totaal. Daarom is oppervlakte $=$ lengte $\times$ breedte.

Propositie 43.6 (De basisformules voor oppervlaktes)

figuur	oppervlakte
rechthoek ( $l \times b$ )	$A = l \times b$
vierkant (zijde $z$ )	$A = z^2$
[4pt] rechthoekige driehoek (rechthoekszijden $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] schijf (radius $r$ )	$A = \pi r^2$

Bewijs voor de rechthoekige driehoek. Twee kopieën van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ , langs de schuine zijde aan elkaar geplakt, vormen een rechthoek $a \times b$ . De oppervlakte van de driehoek is dus de helft van die van de rechthoek: $\frac{ab}{2}$ . (De formule voor de rechthoek is het tellen van vierkantjes hierboven; de formule voor de schijf nemen we zonder bewijs aan, zie Hoofdstuk 53.) ∎

Een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek: vandaar de formule a× b/2. — Een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek: vandaar de formule $\frac{a\times b}{2}$ .

Voorbeeld 43.7 (Samengestelde figuren)

Een L-vormige kamer is een rechthoek van $6$ m $\times$ $4$ m met een vierkante hoek van $2$ m $\times$ $2$ m eruit. Haar oppervlakte, stap voor stap:

de volle rechthoek: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
het weggehaalde vierkant: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
wat overblijft: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Haar omtrek is geen $20$ van wat dan ook: als je om de L heen loopt, meet de rand nog steeds $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — de twee sneden in de hoek vervangen twee even lange stukken muur. Bij toeval hetzelfde getal, maar vierkante meters voor het ene en meters voor het andere!

Opmerking 43.8 (Dezelfde omtrek, andere oppervlaktes)

Twee figuren kunnen dezelfde omtrek en heel verschillende oppervlaktes hebben: een vierkant van $5 \times 5$ en een rechthoek van $9 \times 1$ hebben beide omtrek $20$ , maar oppervlaktes $25$ en $9$ . Omtrek en oppervlakte zijn echt onafhankelijke grootheden.

43.3 Volumes

Definitie 43.9 (Volume)

Het volume van een lichaam meet de ruimte die het vult: hoeveel eenheidskubusjes er in passen. Eenheden: cm $^3$ , m $^3$ , … met $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (elke stap op de ladder is $1000$ waard). Voor vloeistoffen gebruikt men ook de liter:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Propositie 43.10 (Volume van een balk)

Een balk met lengte $l$ , breedte $b$ en hoogte $h$ heeft volume

V = l \times b \times h .

Bewijs. De onderste laag bevat $l \times b$ eenheidskubusjes (het plaatje bij Definitie 43.5, met kubusjes), en er zijn $h$ van die lagen. ∎

Een balk gevuld met eenheidskubusjes: 4 × 2 kubusjes per laag, twee lagen. — Een balk gevuld met eenheidskubusjes: $4 \times 2$ kubusjes per laag, twee lagen.

Voorbeeld 43.11

Een aquarium meet $60$ cm bij $30$ cm bij $40$ cm (hoogte). Volume:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Stap voor stap voor de omzetting: $1000$ cm $^3$ maken één liter, en $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Oefeningen

Oefening 43.1 ★

Zet om: $3.5$ m in cm; $420$ mm in cm; $0.8$ km in m; $25\,000$ m in km.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Oefening 43.2 ★

Reken de omtrek uit van: een rechthoek van $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; een vierkant met zijde $6.2$ cm; een driehoek met zijden $5$ cm, $7$ cm en $9$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.2.

Rechthoek: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Vierkant: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Driehoek: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Oefening 43.3 ★

Een ronde atletiekbaan heeft radius $50$ m. Hoe lang is één rondje (precieze waarde met $\pi$ , en daarna afgerond op de meter)? Hoeveel rondjes maken minstens $2$ km?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.3.

Eén rondje: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Voor $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , dus zijn $7$ volle rondjes nodig ( $6$ rondjes maken maar ongeveer $1\,885$ m).

Oefening 43.4 ★

Reken de oppervlakte uit van: een rechthoek van $9$ cm $\times$ $4$ cm; een vierkant met zijde $7$ m; een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $6$ cm en $10$ cm; een schijf met radius $3$ cm (precieze waarde, en daarna afgerond op de cm $^2$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.4.

Rechthoek: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Vierkant: $7^2 = 49$ m $^2$ . Rechthoekige driehoek: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Schijf: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Oefening 43.5 ★

Zet om: $3$ m $^2$ in cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ in m $^2$ ; $2.5$ L in cm $^3$ ; $4\,500$ L in m $^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Oefening 43.6 ★

Een rechthoekig veld is $120$ m lang en $85$ m breed. Hoeveel meter hek is er nodig om het te omheinen? En wat is zijn oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.6.

Hek (de omtrek): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Oppervlakte: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Oefening 43.7 ★

Reken het volume uit van een balk van $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, en van een kubus met ribbe $3$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.7.

Balk: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Oefening 43.8 ★

Teken twee verschillende rechthoeken met omtrek $16$ cm en reken hun oppervlaktes uit. Welke van jouw rechthoeken heeft de grootste oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.8.

Omtrek $16$ cm betekent lengte $+$ breedte $= 8$ cm. Bijvoorbeeld $6 \times 2$ (oppervlakte $12$ cm $^2$ ) en $5 \times 3$ (oppervlakte $15$ cm $^2$ ) — of het vierkant $4 \times 4$ (oppervlakte $16$ cm $^2$ ). Hoe dichter bij een vierkant, hoe groter de oppervlakte.

Oefening 43.9 ★★

Een T-vormige figuur bestaat uit een horizontale rechthoek van $10 \times 2$ boven een verticale van $2 \times 6$ (maten in cm). Reken haar oppervlakte uit, en daarna haar omtrek (loop zorgvuldig langs de rand en tel elke zijde mee).

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.9.

Oppervlakte: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Omtrek (met de poot midden onder de balk): rondlopend krijg je

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(bovenzijde; rechteruiteinde van de balk; onderzijde rechts; rechterkant van de poot; onderkant van de poot; linkerkant van de poot; onderzijde links; linkeruiteinde van de balk).

Oefening 43.10 ★★

Een zwembad is een balk van $25$ m lang, $10$ m breed en $2$ m diep.

Hoeveel kubieke meter water gaat er in als het vol is?
Hoeveel liter is dat?
Het bad wordt gevuld met $50\,000$ L per uur. Hoe lang duurt het vullen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ uur.

Oefening 43.11 ★★

Een tuin is een vierkant met zijde $20$ m met daarin een ronde vijver met radius $3$ m. Hoeveel oppervlakte gras is er (precieze waarde, en daarna afgerond op de m $^2$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.11.

Tuin: $20^2 = 400$ m $^2$ . Vijver: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Gras: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Oefening 43.12 ★★★

Een chocoladereep meet $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. De fabrikant verdubbelt alle drie de afmetingen.

Met hoeveel wordt het volume vermenigvuldigd? Controleer het door beide volumes uit te rekenen.
De prijs wordt met $4$ vermenigvuldigd. Is de grote reep voordeliger dan de kleine?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.12.

1. Kleine reep: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Grote reep: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . Het volume wordt met $720 \div 90 = 8$ vermenigvuldigd — elk van de drie afmetingen verdubbelen vermenigvuldigt het volume met $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Acht keer zoveel chocolade voor vier keer de prijs: ja, de grote reep is per gram twee keer zo voordelig.

43.5 Opgave: het hek van koningin Dido

Probleem 43.1

Weekendopgave — met een vaste lengte hek: welke vorm omsluit het meeste land? Het vierkant verslaat elke rechthoek, de cirkel verslaat het vierkant, en een schuurmuur verandert alles

De legende zegt dat koningin Dido, toen ze op de kust van Afrika landde, “zoveel land kreeg als een ossenhuid kan omsluiten” — waarop zij de huid in één immens lange, dunne strook sneed en genoeg grond omsloot om de stad Carthago te stichten. Haar probleem is nu het jouwe: een boer heeft precies $20$ m hek. Oefening 43.8 liet zien dat twee weides met dezelfde omtrek verschillende oppervlaktes kunnen hebben; in deze opgave zoek je de beste weide — en ontdek je dat het antwoord volledig verandert zodra een schuurmuur een zijde gratis levert.

Deel I — Twintig meter hek.

De weide moet een rechthoek zijn die alle $20$ m hek gebruikt. Ga na dat een weide van $1 \times 9$ en een van $2 \times 8$ beide meedoen, en reken hun oppervlaktes uit.
Leg uit waarom de lengte en de breedte van elke geldige weide samen $10$ m zijn. Maak daarna de volledige tabel van de weides met hele getallen ( $1 \times 9$ tot $5 \times 5$ ) met hun oppervlaktes. Welke is de beste?
Is het de moeite om decimale zijden te proberen? Reken de oppervlaktes van de weide $4.5 \times 5.5$ en van de weide $4.9 \times 5.1$ uit en vergelijk met het vierkant $5 \times 5$ . Wat vermoed je?
Vraag 2 maakte van het hekprobleem een pure getallenvraag: welk paar getallen met som $10$ heeft het grootste product? Antwoord met je tabel, en formuleer de algemene regel die je opmerkt.
Hier is waarom afwijken van het vierkant altijd verliest, met een schaar in plaats van algebra: begin bij de weide $5 \times 5$ en maak er de weide $6 \times 4$ van door een strook weg te halen en een andere terug te plakken. Welke strook gaat eraf, welke komt erbij, en waarom verliest de ruil precies één vierkante meter? Leg uit waarom een volgende stap (naar $7 \times 3$ ) nog meer verliest.

Deel II — De schuur, en de cirkel.

De weide wordt nu tegen een lange schuurmuur gebouwd: de muur vervangt één lange zijde, en de $20$ m hek dekt alleen de andere drie zijden. Maak een tabel van de weides met hele getallen (breedte $b$ , lengte $l$ langs de muur, $b + l + b = 20$ ) en hun oppervlaktes. Welke weide wint nu — en is dat een vierkant?
Verklaar de winnaar met een spiegel (Hoofdstuk 42): spiegel de weide in de schuurmuur en bekijk de verdubbelde weide. Hoeveel hek gebruikt de verdubbelde weide, welke verdubbelde weide is volgens deel I de beste, en wat maakt dat van de oorspronkelijke weide?
Dido bouwde geen rechthoek. Buig de $20$ m hek tot een cirkel: reken met $\pi \approx 3.14$ zijn radius uit (op de cm) en daarna zijn oppervlakte (op de m $^2$ ) (Propositie 43.3, Propositie 43.6). Vergelijk met het vierkant $5 \times 5$ .
Het omgekeerde probleem: er wordt een weide van precies $36$ m $^2$ gevraagd, met zo weinig hek als mogelijk. Vergelijk de rechthoeken $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ en $6 \times 6$ : hun omtrekken? Welke vorm is het goedkoopst, en hoe is deze vraag het spiegelbeeld van deel I?
In één zin: waarom zijn blikjes, buizen en watertanks zo vaak rond?

Deel III — Omtrek en oppervlakte zijn vreemden.

Zoek een rechthoek met een omtrek van meer dan $100$ m en een oppervlakte van minder dan $1$ m $^2$ . (Heel lang en heel dun. Decimalen mogen.)
Waar of niet waar: “van twee figuren heeft die met de grootste omtrek de grootste oppervlakte.” Geef een tegenvoorbeeld uit deze opgave.
Neem de rechthoek $6 \times 4$ en knip midden in een van de lange zijden een vierkante hap van $1 \times 1$ eruit (de hap opent naar buiten, als een ontbrekende tand). Reken de oppervlakte en de omtrek van de gehapte figuur uit, en vergelijk beide met het origineel. Wat is er met elk gebeurd?
Kaartenmakers kennen een vreemd feit: hoe gedetailleerder de kaart, hoe langer een kustlijn meet — elke zoom onthult nieuwe kleine happen, en vraag 13 laat zien wat elke hap doet. Leg in één of twee zinnen uit waarom “de lengte van de kust van Bretagne” een glibberig getal is, en “de oppervlakte van Bretagne” niet.
Het examen van de boer. Zoek met $36$ m hek en de schuurmuur ter beschikking de beste rechthoekige weide (gebruik de spiegel van vraag 7), geef haar oppervlakte, en vergelijk met de beste weide die je met $36$ m in het open veld bouwt. Hoeveel levert de schuurmuur de boer op?

Oplossing

Oplossing van Probleem 43.1.

1. $1 \times 9$ : omtrek $2 \times (1 + 9) = 20$ m, oppervlakte $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : omtrek $2 \times 10 = 20$ m, oppervlakte $16$ m $^2$ .

2. De omtrek is twee keer (lengte $+$ breedte) (Voorbeeld 43.2), dus is lengte $+$ breedte $= 20 \div 2 = 10$ m. De tabel:

weide	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
oppervlakte (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

Het vierkant $5 \times 5$ is de beste.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ en $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : steeds dichter bij $25$ , maar nog altijd eronder. Vermoeden: het vierkant verslaat elke rechthoek met omtrek $20$ , decimale zijden inbegrepen.

4. Uit de tabel: het product van twee getallen met som $10$ is het grootst als de twee getallen gelijk zijn ( $5$ en $5$ ). Algemene regel: bij een vaste som is het product het grootst bij gelijke delen — hoe ongelijker het paar, hoe kleiner het product.

5. Haal van het vierkant $5 \times 5$ de bovenste rij weg — een strook van $5$ vierkantjes — zodat een weide $5 \times 4$ overblijft; plak daarna een kolom van $4$ vierkantjes tegen één uiteinde, wat de weide $6 \times 4$ maakt. Er gingen vijf vierkantjes af en er kwamen er maar vier terug: de toegevoegde strook ligt langs de zijde van $4$ , en die is korter dan de zijde van $5$ waarlangs de weggehaalde strook lag. Netto verlies: één vierkante meter ( $25 \to 24$ ). De volgende stap, van $6 \times 4$ naar $7 \times 3$ , ruilt een rij van $6$ voor een kolom van $3$ en verliest er nog drie ( $24 \to 21$ ): hoe verder de weide van het vierkant af ligt, hoe langer de strook die ze weggeeft en hoe korter die ze terugkrijgt.

6. Met $b + l + b = 20$ , dus $l = 20 - 2b$ :

$b$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$l$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
oppervlakte	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

De winnaar is $5 \times 10$ , met oppervlakte $50$ m $^2$ — twee keer zo lang (langs de muur) als breed: geen vierkant.

7. Spiegel de weide in de muur: de weide met haar spiegelbeeld vormt een verdubbelde weide die het hek twee keer gebruikt, $40$ m hek rondom (de muurzijde ligt nu binnenin). Volgens deel I is de beste rechthoek met omtrek $40$ het vierkant $10 \times 10$ , met oppervlakte $100$ m $^2$ . De beste echte weide is de helft van die beste verdubbelde weide: $10$ m langs de muur, $5$ m diep, oppervlakte $50$ m $^2$ — precies de winnaar uit de tabel, nu verklaard.

8. Omtrek $20 = 2 \times \pi \times r$ , dus $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Oppervlakte: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — ruim meer dan de $25$ m $^2$ van het vierkant. Dido wist wat ze deed: bij een gegeven lengte rand omsluit de cirkel het meest.

9. Omtrekken: $1 \times 36$ : $74$ m; $2 \times 18$ : $40$ m; $3 \times 12$ : $30$ m; $4 \times 9$ : $26$ m; $6 \times 6$ : $24$ m. Opnieuw het vierkant — het minste hek bij de gegeven oppervlakte. Het is deel I achterstevoren: vaste omtrek en grootste oppervlakte, of vaste oppervlakte en kleinste omtrek: beide kronen het vierkant (en, voorbij alle rechthoeken, de cirkel).

10. Een ronde wand is de kortste rand voor de ruimte die hij omsluit (vraag 8), dus houdt een rond blikje, een ronde buis of een ronde tank de meeste inhoud bij het minste metaal — en materiaal is geld.

11. Bijvoorbeeld $50$ m $\times$ $0.01$ m: omtrek $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, oppervlakte $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Lang en dun: kilometers rand, bijna geen land.

12. Niet waar. De weide van vraag 11 heeft omtrek $100.02$ m en oppervlakte $0.5$ m $^2$ , terwijl de weide $5 \times 5$ omtrek $20$ m en oppervlakte $25$ m $^2$ heeft: grotere omtrek, veel kleinere oppervlakte.

13. Oppervlakte: er mist één eenheidsvierkantje, dus $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Omtrek: rondlopend vervangt de hap $1$ cm rechte wand door drie zijden van het kleine vierkantje, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: de omtrek groeit van $20$ cm naar $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Materiaal weghalen heeft de rand verlengd.

14. Elke zoom op een echte kust onthult nieuwe baaien, rotsen en kreken — happen op happen, en vraag 13 laat zien dat elke hap randlengte toevoegt zonder de oppervlakte noemenswaardig te veranderen. De gemeten lengte blijft dus groeien met het detailniveau (“de kustlijnparadox”), terwijl de gemeten oppervlakte zich stabiliseert: omtrek en oppervlakte zijn echt onafhankelijke grootheden.

15. Het spiegelargument: de verdubbelde weide zou $2 \times 36 = 72$ m hek gebruiken, en de beste rechthoek met omtrek $72$ is het vierkant $18 \times 18$ . De beste weide is dus $18$ m langs de muur en $9$ m diep: hekcontrole $9 + 18 + 9 = 36$ m, oppervlakte $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . In het open veld is de beste het vierkant $9 \times 9$ , met oppervlakte $81$ m $^2$ . De schuurmuur verdubbelt precies het land van de boer.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst