Wiskunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

43Omtrek, oppervlakte, volume

Hoe lang is het hek, hoe groot is het veld, hoeveel water past in de tank? Drie verschillende vragen, drie verschillende grootheden — omtrek, oppervlakte, volume — elk met zijn eigen eenheden. Ze verwarren is de meest voorkomende fout in de meetkunde; dit hoofdstuk zet ze definitief recht.

43.1 Lengten en omtrek

Definitie 43.1 (Omtrek)

De omtrek van een figuur is de totale lengte van haar rand. Hij wordt gemeten in lengte-eenheden: millimeters (mm), centimeters (cm), meters (m), kilometers (km), met

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Voorbeeld 43.2

Een rechthoek met lengte $L$ en breedte $w$ heeft omtrek

P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).

Voor een rechthoek van $7$ cm bij $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Een vierkant met zijde $c$ heeft omtrek $4c$ .

Propositie 43.3 (Omtrek van een cirkel)

De omtrek (of cirkelomtrek) van een cirkel met straal $r$ is

P = 2 \pi r ,

waarbij $\pi \approx 3.14$ hetzelfde getal is voor elke cirkel.

Bewijs. Toegegeven op dit niveau. ∎

Voorbeeld 43.4

Een ronde vijver heeft straal $5$ m. Zijn rand meet $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Houd de exacte waarde $10\pi$ zo lang mogelijk; rond pas op het einde af.

43.2 Oppervlakten

Definitie 43.5 (Oppervlakte)

De oppervlakte van een figuur meet de oppervlakte die ze bedekt: hoeveel eenheidsvierkanten erin passen. Eenheden: cm $^2$ (een vierkant met zijde $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Let op:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— één vierkante meter is een vierkant van $100$ cm bij $100$ cm, dus elke stap van de eenhedenladder is $100$ waard, niet $10$ .

De oppervlakte van een rechthoek: 7 kolommen van 4 eenheidsvierkanten elk, dus 7 × 4 = 28 vierkanten in totaal. Daarom is oppervlakte = lengte × breedte. — De oppervlakte van een rechthoek: $7$ kolommen van $4$ eenheidsvierkanten elk, dus $7 \times 4 = 28$ vierkanten in totaal. Daarom is oppervlakte $=$ lengte $\times$ breedte.

Propositie 43.6 (Basisformules voor oppervlakte)

figuur	oppervlakte
rechthoek ( $L \times w$ )	$A = L \times w$
vierkant (zijde $c$ )	$A = c^2$
[4pt] rechthoekige driehoek (benen $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] cirkelschijf (straal $r$ )	$A = \pi r^2$

Bewijs voor de rechthoekige driehoek. Twee kopieën van een rechthoekige driehoek met benen $a$ en $b$ , aan elkaar geplakt langs de schuine zijde, vormen een rechthoek $a \times b$ . Dus de oppervlakte van de driehoek is de helft van die van de rechthoek: $\frac{ab}{2}$ . (De rechthoekformule is het tellen van eenheidsvierkanten hierboven; de schijfformule is toegegeven, zie Hoofdstuk 53.) ∎

Een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek: vandaar de formule a× b/2. — Een rechthoekige driehoek is de helft van een rechthoek: vandaar de formule $\frac{a\times b}{2}$ .

Voorbeeld 43.7 (Samengestelde figuren)

Een L-vormige kamer is een rechthoek van $6$ m $\times$ $4$ m met een vierkante hoek van $2$ m $\times$ $2$ m weggenomen. Haar oppervlakte, stap voor stap:

volle rechthoek: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
weggenomen vierkant: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
resterende oppervlakte: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Haar omtrek is niet $20$ iets: rond de L lopen meet de rand nog altijd $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — de twee sneden van de hoek vervangen twee gelijke stukken muur. Hetzelfde getal bij toeval, maar vierkante meters voor de ene, meters voor de andere!

Opmerking 43.8 (Zelfde omtrek, verschillende oppervlakten)

Twee figuren kunnen dezelfde omtrek en heel verschillende oppervlakten hebben: een vierkant $5 \times 5$ en een rechthoek $9 \times 1$ hebben beide omtrek $20$ , maar oppervlakten $25$ en $9$ . Omtrek en oppervlakte zijn echt onafhankelijke grootheden.

43.3 Volumes

Definitie 43.9 (Volume)

Het volume van een lichaam meet de ruimte die het vult: hoeveel eenheidskubussen erin passen. Eenheden: cm $^3$ , m $^3$ , … met $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (elke stap van de ladder is $1000$ waard). Voor vloeistoffen gebruikt men ook de liter:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Propositie 43.10 (Volume van een balk)

Een rechthoekige balk (een rechthoekig prisma) met lengte $L$ , breedte $w$ en hoogte $h$ heeft volume

V = L \times w \times h .

Bewijs. De onderste laag bevat $L \times w$ eenheidskubussen (Definitie 43.5-plaatje, met kubussen), en er zijn $h$ zulke lagen. ∎

Een balk gevuld met eenheidskubussen: 4 × 2 kubussen per laag, twee lagen. — Een balk gevuld met eenheidskubussen: $4 \times 2$ kubussen per laag, twee lagen.

Voorbeeld 43.11

Een aquarium meet $60$ cm bij $30$ cm bij $40$ cm (hoogte). Volume:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Stap voor stap voor de omrekening: $1000$ cm $^3$ maken één liter, en $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Oefeningen

Oefening 43.1 ★

Reken om: $3.5$ m naar cm; $420$ mm naar cm; $0.8$ km naar m; $25\,000$ m naar km.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Oefening 43.2 ★

Bereken de omtrek van: een rechthoek $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; een vierkant met zijde $6.2$ cm; een driehoek met zijden $5$ cm, $7$ cm en $9$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.2.

Rechthoek: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Vierkant: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Driehoek: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Oefening 43.3 ★

Een ronde renbaan heeft straal $50$ m. Hoe lang is één ronde (exacte waarde met $\pi$ , daarna afgerond op de meter)? Hoeveel rondes maken minstens $2$ km?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.3.

Eén ronde: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Voor $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , dus $7$ volle rondes zijn nodig ( $6$ rondes maken slechts ongeveer $1\,885$ m).

Oefening 43.4 ★

Bereken de oppervlakte van: een rechthoek $9$ cm $\times$ $4$ cm; een vierkant met zijde $7$ m; een rechthoekige driehoek met benen $6$ cm en $10$ cm; een cirkelschijf met straal $3$ cm (exacte waarde, daarna afgerond op de cm $^2$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.4.

Rechthoek: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Vierkant: $7^2 = 49$ m $^2$ . Rechthoekige driehoek: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Schijf: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Oefening 43.5 ★

Reken om: $3$ m $^2$ naar cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ naar m $^2$ ; $2.5$ L naar cm $^3$ ; $4\,500$ L naar m $^3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Oefening 43.6 ★

Een rechthoekig veld is $120$ m lang en $85$ m breed. Hoeveel meter hek is nodig om het af te sluiten? Wat is zijn oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.6.

Hek (omtrek): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Oppervlakte: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Oefening 43.7 ★

Bereken het volume van een balk $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, en van een kubus met ribbe $3$ cm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.7.

Balk: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Kubus: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Oefening 43.8 ★

Teken twee verschillende rechthoeken met omtrek $16$ cm, en bereken hun oppervlakten. Welke van je rechthoeken heeft de grotere oppervlakte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.8.

Omtrek $16$ cm betekent lengte $+$ breedte $= 8$ cm. Bijvoorbeeld $6 \times 2$ (oppervlakte $12$ cm $^2$ ) en $5 \times 3$ (oppervlakte $15$ cm $^2$ ) — of het vierkant $4 \times 4$ (oppervlakte $16$ cm $^2$ ). Hoe dichter bij een vierkant, hoe groter de oppervlakte.

Oefening 43.9 ★★

Een T-vormige figuur bestaat uit een horizontale rechthoek $10 \times 2$ bovenop een verticale $2 \times 6$ (maten in cm). Bereken zijn oppervlakte, daarna zijn omtrek (loop zorgvuldig rond de rand en tel elke rand op).

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.9.

Oppervlakte: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Omtrek (steel gecentreerd onder de balk): rondlopend,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(bovenkant; rechteruiteinde van de balk; onderkant rechts; rechterkant van de steel; onderkant van de steel; linkerkant van de steel; onderkant links; linkeruiteinde van de balk).

Oefening 43.10 ★★

Een zwembad is een rechthoekige bak van $25$ m lang, $10$ m breed en $2$ m diep.

Hoeveel kubieke meters water houdt het als het vol is?
Hoeveel liters is dat?
Het bad wordt gevuld met $50\,000$ L per uur. Hoe lang duurt het vullen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ uur.

Oefening 43.11 ★★

Een tuin is een vierkant met zijde $20$ m met daarin een ronde vijver van straal $3$ m. Welke oppervlakte gras is er (exacte waarde, daarna afgerond op de m $^2$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.11.

Tuin: $20^2 = 400$ m $^2$ . Vijver: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Gras: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Oefening 43.12 ★★★

Een chocoladereep meet $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. De fabrikant verdubbelt alle drie de afmetingen.

Met hoeveel wordt het volume vermenigvuldigd? Controleer door beide volumes te berekenen.
De prijs wordt met $4$ vermenigvuldigd. Is de grote reep een betere deal dan de kleine?

Oplossing

Oplossing van Oefening 43.12.

1. Kleine reep: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Grote reep: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . Het volume wordt vermenigvuldigd met $720 \div 90 = 8$ — elke van de drie afmetingen verdubbelen vermenigvuldigt het volume met $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Acht keer de chocolade voor vier keer de prijs: ja, de grote reep is tweemaal zo voordelig per gram.