Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

43Perímetro, área e volume

Que comprimento tem a cerca, que tamanho tem o campo, quanta água cabe no tanque? Três perguntas diferentes, três grandezas diferentes — perímetro, área, volume —, cada uma com as suas unidades. Confundi-las é o erro mais comum da geometria; este capítulo põe ordem nisso de uma vez por todas.

43.1 Comprimentos e perímetro

Definição 43.1 (Perímetro)

O perímetro de uma figura é o comprimento total do contorno dela. Ele é medido em unidades de comprimento: milímetros (mm), centímetros (cm), metros (m), quilômetros (km), com

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Exemplo 43.2

Um retângulo de comprimento $L$ e largura $w$ tem perímetro

P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).

Para um retângulo de $7$ cm por $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Um quadrado de lado $c$ tem perímetro $4c$ .

Proposição 43.3 (Comprimento de uma circunferência)

O perímetro (ou comprimento da circunferência) de um círculo de raio $r$ é

P = 2 \pi r ,

em que $\pi \approx 3.14$ é o mesmo número para todos os círculos.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 43.4

Um lago circular tem raio $5$ m. A borda dele mede $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Guarde o valor exato $10\pi$ o máximo possível; arredonde só no fim.

43.2 Áreas

Definição 43.5 (Área)

A área de uma figura mede a superfície que ela cobre: quantos quadrados unitários cabem dentro dela. Unidades: cm $^2$ (um quadrado de lado $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Cuidado:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— um metro quadrado é um quadrado de $100$ cm por $100$ cm, então cada degrau da escada de unidades vale $100$ , e não $10$ .

$A área de um retângulo: 7 colunas de 4 quadrados unitários cada uma, logo 7 × 4 = 28 quadrados ao todo. É por isso que a área é comprimento × largura.$

A área de um retângulo:

7

colunas de

4

quadrados unitários cada uma, logo

7 \times 4 = 28

quadrados ao todo. É por isso que a área é comprimento

\times

largura.

Proposição 43.6 (Fórmulas básicas de área)

figura	área
retângulo ( $L \times w$ )	$A = L \times w$
quadrado (lado $c$ )	$A = c^2$
[4pt] triângulo retângulo (catetos $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] disco (raio $r$ )	$A = \pi r^2$

Demonstração para o triângulo retângulo. Duas cópias de um triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ , coladas pela hipotenusa, formam um retângulo $a \times b$ . Logo a área do triângulo é a metade da do retângulo: $\frac{ab}{2}$ . (A fórmula do retângulo é a contagem de quadrados unitários feita acima; a fórmula do disco é admitida, veja o Capítulo 53.) ∎

Um triângulo retângulo é metade de um retângulo: daí a fórmula a× b/2. — Um triângulo retângulo é metade de um retângulo: daí a fórmula $\frac{a\times b}{2}$ .

Exemplo 43.7 (Figuras compostas)

Um cômodo em forma de L é um retângulo de $6$ m $\times$ $4$ m com um canto quadrado de $2$ m $\times$ $2$ m retirado. A área dele, passo a passo:

retângulo inteiro: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
quadrado retirado: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
área que sobra: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

O perímetro dele não é $20$ de coisa nenhuma: percorrendo o L, o contorno continua medindo $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — os dois cortes do canto substituem dois pedaços iguais de parede. O mesmo número por coincidência, mas metros quadrados num caso e metros no outro!

Observação 43.8 (Mesmo perímetro, áreas diferentes)

Duas figuras podem ter o mesmo perímetro e áreas bem diferentes: um quadrado $5 \times 5$ e um retângulo $9 \times 1$ têm ambos perímetro $20$ , mas áreas $25$ e $9$ . Perímetro e área são grandezas realmente independentes.

43.3 Volumes

Definição 43.9 (Volume)

O volume de um sólido mede o espaço que ele preenche: quantos cubos unitários cabem dentro dele. Unidades: cm $^3$ , m $^3$ , … com $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (cada degrau da escada vale $1000$ ). Para líquidos usa-se também o litro:

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposição 43.10 (Volume de um bloco retangular)

Um bloco retangular (um prisma de base retangular) de comprimento $L$ , largura $w$ e altura $h$ tem volume

V = L \times w \times h .

Demonstração. A camada de baixo contém $L \times w$ cubos unitários (o desenho da Definição 43.5, com cubos), e há $h$ camadas dessas. ∎

Um bloco preenchido com cubos unitários: 4 × 2 cubos por camada, duas camadas. — Um bloco preenchido com cubos unitários: $4 \times 2$ cubos por camada, duas camadas.

Exemplo 43.11

Um aquário mede $60$ cm por $30$ cm por $40$ cm (altura). Volume:

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Passo a passo da conversão: $1000$ cm $^3$ fazem um litro, e $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Exercícios

Exercício 43.1 ★

Converta: $3.5$ m em cm; $420$ mm em cm; $0.8$ km em m; $25\,000$ m em km.

Solução

Solução de Exercício 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

Exercício 43.2 ★

Calcule o perímetro de: um retângulo $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; um quadrado de lado $6.2$ cm; um triângulo de lados $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm.

Solução

Solução de Exercício 43.2.

Retângulo: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Quadrado: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triângulo: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Exercício 43.3 ★

Uma pista de corrida circular tem raio $50$ m. Que comprimento tem uma volta (valor exato com $\pi$ e depois arredondado ao metro)? Quantas voltas fazem pelo menos $2$ km?

Solução

Solução de Exercício 43.3.

Uma volta: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Para $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$ , então são necessárias $7$ voltas completas ( $6$ voltas dão só uns $1\,885$ m).

Exercício 43.4 ★

Calcule a área de: um retângulo $9$ cm $\times$ $4$ cm; um quadrado de lado $7$ m; um triângulo retângulo de catetos $6$ cm e $10$ cm; um disco de raio $3$ cm (valor exato e depois arredondado ao cm $^2$ ).

Solução

Solução de Exercício 43.4.

Retângulo: $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Quadrado: $7^2 = 49$ m $^2$ . Triângulo retângulo: $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Disco: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Exercício 43.5 ★

Converta: $3$ m $^2$ em cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ em m $^2$ ; $2.5$ L em cm $^3$ ; $4\,500$ L em m $^3$ .

Solução

Solução de Exercício 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Exercício 43.6 ★

Um campo retangular tem $120$ m de comprimento e $85$ m de largura. Quantos metros de cerca são necessários para cercá-lo? Qual é a área dele?

Solução

Solução de Exercício 43.6.

Cerca (perímetro): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Área: $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Exercício 43.7 ★

Calcule o volume de um bloco retangular $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm e o de um cubo de aresta $3$ cm.

Solução

Solução de Exercício 43.7.

Bloco: $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Exercício 43.8 ★

Trace dois retângulos diferentes de perímetro $16$ cm e calcule as áreas deles. Qual dos seus retângulos tem a área maior?

Solução

Solução de Exercício 43.8.

Perímetro $16$ cm significa comprimento $+$ largura $= 8$ cm. Por exemplo $6 \times 2$ (área $12$ cm $^2$ ) e $5 \times 3$ (área $15$ cm $^2$ ) — ou o quadrado $4 \times 4$ (área $16$ cm $^2$ ). Quanto mais perto de um quadrado, maior a área.

Exercício 43.9 ★★

Uma figura em forma de T é feita de um retângulo horizontal $10 \times 2$ em cima de um vertical $2 \times 6$ (medidas em cm). Calcule a área dela e depois o perímetro (percorra o contorno com cuidado, somando cada borda).

Solução

Solução de Exercício 43.9.

Área: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Perímetro (haste centrada sob a barra): percorrendo o contorno,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(topo; ponta direita da barra; face de baixo à direita; lado direito da haste; base da haste; lado esquerdo da haste; face de baixo à esquerda; ponta esquerda da barra).

Exercício 43.10 ★★

Uma piscina é um bloco retangular de $25$ m de comprimento, $10$ m de largura e $2$ m de profundidade.

Quantos metros cúbicos de água ela leva quando cheia?
Quantos litros são?
A piscina é enchida a $50\,000$ L por hora. Quanto tempo leva o enchimento?

Solução

Solução de Exercício 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ horas.

Exercício 43.11 ★★

Um jardim é um quadrado de lado $20$ m que contém um lago circular de raio $3$ m. Que área de grama existe ali (valor exato e depois arredondado ao m $^2$ )?

Solução

Solução de Exercício 43.11.

Jardim: $20^2 = 400$ m $^2$ . Lago: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Grama: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Exercício 43.12 ★★★

Uma barra de chocolate mede $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. O fabricante dobra as três dimensões.

Por quanto o volume fica multiplicado? Verifique calculando os dois volumes.
O preço é multiplicado por $4$ . A barra grande vale mais a pena que a pequena?

Solução

Solução de Exercício 43.12.

1. Barra pequena: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Barra grande: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . O volume fica multiplicado por $720 \div 90 = 8$ — dobrar cada uma das três dimensões multiplica o volume por $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Oito vezes mais chocolate por quatro vezes o preço: sim, a barra grande vale duas vezes mais a pena por grama.

43.5 Problema: a cerca da rainha Dido

Problema 43.1

Problema de fim de semana — com um comprimento fixo de cerca, que forma cerca mais terra? O quadrado vence qualquer retângulo, o círculo vence o quadrado, e a parede de um celeiro muda tudo

A lenda conta que a rainha Dido, ao desembarcar na costa da África, recebeu “tanta terra quanto um couro de boi pudesse cercar” — e ela cortou o couro numa tira imensamente longa e fina, cercando chão suficiente para fundar a cidade de Cartago. O problema dela agora é seu: um agricultor tem exatamente $20$ m de cerca. O Exercício 43.8 mostrou que dois currais de mesmo perímetro podem ter áreas diferentes; este problema encontra o melhor curral — e descobre que a resposta muda completamente quando a parede de um celeiro empresta um lado de graça.

Parte I — Vinte metros de cerca.

O curral tem de ser um retângulo usando todos os $20$ m de cerca. Confira que um curral $1 \times 9$ e um $2 \times 8$ servem, e calcule as áreas deles.
Explique por que o comprimento e a largura de todo curral que serve somam $10$ m. Depois monte a tabela completa dos currais de lados inteiros ( $1 \times 9$ até $5 \times 5$ ) com as áreas deles. Qual é o melhor?
Vale a pena testar lados decimais? Calcule as áreas do curral $4.5 \times 5.5$ e do curral $4.9 \times 5.1$ , e compare com o quadrado $5 \times 5$ . O que você conjectura?
A questão 2 transformou o problema da cerca numa questão puramente numérica: entre todos os pares de números que somam $10$ , que par tem o maior produto? Responda a partir da sua tabela e enuncie a regra geral que você observa.
Eis por que afastar-se do quadrado sempre faz perder, com tesoura em vez de álgebra: parta do curral $5 \times 5$ e transforme-o no curral $6 \times 4$ retirando uma faixa e colando outra de volta. Que faixa é retirada, qual é acrescentada, e por que a troca perde exatamente um metro quadrado? Explique por que um passo a mais (até $7 \times 3$ ) perde ainda mais.

Parte II — O celeiro e o círculo.

Agora o curral é construído encostado na parede comprida de um celeiro: a parede substitui um dos comprimentos do curral, e os $20$ m de cerca cobrem apenas os outros três lados. Monte a tabela dos currais de lados inteiros (largura $w$ , comprimento $L$ ao longo da parede, $w + L + w = 20$ ) e as áreas deles. Que curral ganha agora — e ele é um quadrado?
Explique o vencedor com um espelho (Capítulo 42): reflita o curral em relação à parede do celeiro e considere o curral duplicado. Quanta cerca o curral duplicado usa, qual curral duplicado é o melhor segundo a Parte I, e o que isso faz do curral original?
Dido não construiu um retângulo. Dobre os $20$ m de cerca num círculo: usando $\pi \approx 3.14$ , calcule o raio dele (ao centímetro) e depois a área (ao m $^2$ ) (Proposição 43.3, Proposição 43.6). Compare com o quadrado $5 \times 5$ .
O problema inverso: quer-se um curral de área exatamente $36$ m $^2$ , com o mínimo possível de cerca. Compare os retângulos $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ e $6 \times 6$ : perímetros? Que forma é a mais barata, e como esta questão é a imagem espelhada da Parte I?
Em uma frase: por que latas, canos e caixas d’água são tantas vezes redondos?

Parte III — Perímetro e área são estranhos um ao outro.

Encontre um retângulo cujo perímetro passe de $100$ m mas cuja área seja menor que $1$ m $^2$ . (Bem comprido e bem fino. Decimais permitidos.)
Verdadeiro ou falso: “de duas figuras, a de maior perímetro tem maior área”. Dê um contraexemplo tirado deste problema.
Pegue o retângulo $6 \times 4$ e recorte um entalhe quadrado $1 \times 1$ no meio de um dos lados compridos (o entalhe se abre para fora, como um dente que faltasse). Calcule a área e o perímetro da figura entalhada e compare os dois com os do original. O que aconteceu com cada um?
Os cartógrafos conhecem um fato estranho: quanto mais detalhado o mapa, mais comprido um litoral fica — cada ampliação revela novos entalhezinhos, e a questão 13 mostra o que cada entalhe faz. Explique em uma ou duas frases por que “o comprimento do litoral da Bretanha” é um número escorregadio, enquanto “a área da Bretanha” não é.
A prova do agricultor. Com $36$ m de cerca e a parede do celeiro disponível, encontre o melhor curral retangular (use o espelho da questão 7), dê a área dele e compare com o melhor curral construído com $36$ m em campo aberto. Quanto a parede do celeiro rende ao agricultor?

Solução

Solução de Problema 43.1.

1. $1 \times 9$ : perímetro $2 \times (1 + 9) = 20$ m, área $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : perímetro $2 \times 10 = 20$ m, área $16$ m $^2$ .

2. O perímetro é o dobro de (comprimento $+$ largura) (Exemplo 43.2), então comprimento $+$ largura $= 20 \div 2 = 10$ m. A tabela:

curral	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
área (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

O quadrado $5 \times 5$ é o melhor.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ e $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : cada vez mais perto de $25$ , mas ainda abaixo. Conjectura: o quadrado vence todo retângulo de perímetro $20$ , lados decimais incluídos.

4. Pela tabela: o produto de dois números de soma $10$ é maior quando os dois números são iguais ( $5$ e $5$ ). Regra geral: com soma fixa, o produto é maior quando as partes são iguais — quanto mais desigual o par, menor o produto.

5. A partir do quadrado $5 \times 5$ , retire a fileira de cima — uma faixa de $5$ quadrados unitários —, deixando um curral $5 \times 4$ ; depois cole uma coluna de $4$ quadrados unitários numa das pontas, transformando o curral em $6 \times 4$ . Cinco quadrados foram tirados e apenas quatro voltaram: a faixa acrescentada fica ao longo do lado $4$ , que é mais curto que o lado $5$ coberto pela faixa retirada. Perda líquida: um metro quadrado ( $25 \to 24$ ). O passo seguinte, de $6 \times 4$ para $7 \times 3$ , troca uma fileira de $6$ por uma coluna de $3$ e perde mais três ( $24 \to 21$ ): quanto mais longe do quadrado, mais comprida a faixa que o curral entrega e mais curta a que ele recebe.

6. Com $w + L + w = 20$ , isto é, $L = 20 - 2w$ :

$w$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$L$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
área	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

O vencedor é o $5 \times 10$ , de área $50$ m $^2$ — duas vezes mais comprido (ao longo da parede) do que largo: não é um quadrado.

7. Reflita o curral em relação à parede: curral mais imagem espelhada formam um curral duplicado que usa a cerca duas vezes, $40$ m de cerca em toda a volta (o lado da parede agora é interno). Pela Parte I, o melhor retângulo de perímetro $40$ é o quadrado $10 \times 10$ , de área $100$ m $^2$ . O melhor curral de verdade é a metade desse curral duplicado: $10$ m ao longo da parede e $5$ m de profundidade, área $50$ m $^2$ — exatamente o vencedor da tabela, agora explicado.

8. Comprimento $20 = 2 \times \pi \times r$ , então $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Área: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — bem mais que os $25$ m $^2$ do quadrado. Dido sabia o que estava fazendo: para um comprimento dado de contorno, o círculo cerca o máximo.

9. Perímetros: $1 \times 36$ : $74$ m; $2 \times 18$ : $40$ m; $3 \times 12$ : $30$ m; $4 \times 9$ : $26$ m; $6 \times 6$ : $24$ m. De novo o quadrado — menos cerca para a área dada. É a Parte I ao contrário: perímetro fixo com área máxima, ou área fixa com perímetro mínimo: as duas coroam o quadrado (e, além de todos os retângulos, o círculo).

10. Uma parede redonda é o contorno mais curto para o espaço que ela cerca (questão 8), então uma lata, um cano ou uma caixa d’água redonda guarda o máximo de conteúdo com o mínimo de material — e material é dinheiro.

11. Por exemplo $50$ m $\times$ $0.01$ m: perímetro $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, área $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Comprido e fino: quilômetros de contorno e quase nenhuma terra.

12. Falso. O curral da questão 11 tem perímetro $100.02$ m e área $0.5$ m $^2$ , enquanto o curral $5 \times 5$ tem perímetro $20$ m e área $25$ m $^2$ : perímetro maior, área bem menor.

13. Área: falta um quadrado unitário, $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Perímetro: percorrendo o contorno, o entalhe substitui $1$ cm de parede reta por três lados do quadradinho, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: o perímetro cresce de $20$ cm para $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Retirar material alongou o contorno.

14. Cada ampliação sobre um litoral real revela novas baías, rochas e enseadas — entalhes sobre entalhes, e a questão 13 mostra que cada entalhe acrescenta comprimento de contorno sem quase mudar a área. Então o comprimento medido continua crescendo com o nível de detalhe (o “paradoxo do litoral”), enquanto a área medida se estabiliza: perímetro e área são grandezas realmente independentes.

15. Argumento do espelho: o curral duplicado usaria $2 \times 36 = 72$ m de cerca, e o melhor retângulo de perímetro $72$ é o quadrado $18 \times 18$ . Então o melhor curral tem $18$ m ao longo da parede e $9$ m de profundidade: conferência da cerca, $9 + 18 + 9 = 36$ m; área $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . Em campo aberto, o melhor é o quadrado $9 \times 9$ , de área $81$ m $^2$ . A parede do celeiro exatamente dobra a terra do agricultor.