13Géochronologie avancée

Un cristal de zircon long d’un dixième de millimètre entretient deux horloges en marche depuis la cristallisation de son granite : l’uranium-238 qui se désintègre en plomb-206 et l’uranium-235 qui se désintègre en plomb-207. Quand les deux horloges concordent, l’âge est hors de doute. Quand elles ne concordent pas, la discordance elle-même peut être datée : le cristal a perdu une partie de son plomb lors d’un événement ultérieur, et les deux horloges, lues conjointement, donnent l’âge du granite et celui de l’événement. Ce chapitre lit plusieurs horloges à la fois, dans l’uranium et le plomb, dans l’argon, dans le néodyme, dans les traces de fission et l’hélium, et dans les rares atomes produits par les rayons cosmiques, et il indique dans quelle mesure chaque âge est digne de confiance.

Tu sais déjà

La désintégration radioactive, l’équation de l’âge, l’isochrone et son rapport initial, la droite des moindres carrés, la désintégration à embranchement, l’âge potassium–argon, la température de fermeture et l’âge de refroidissement figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur la datation radiométrique ; la formule d’érosion stationnaire des nucléides cosmogéniques se trouve dans son chapitre sur l’érosion et le transport. Le réservoir uniforme chondritique, la notation epsilon et le manteau appauvri figurent dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur la géochimie isotopique ; la spectrométrie de masse à thermo-ionisation et la spectrométrie de masse multicollectrice, dans son chapitre sur les méthodes de terrain et de laboratoire. La thermochronologie et la relation âge–altitude sont traitées au Chapitre 10.

13.1 Uranium, plomb et concordia

L’uranium possède deux isotopes à longue durée de vie. L’uranium-238 se désintègre par une chaîne de descendants à courte durée de vie jusqu’au plomb-206 avec $\lambda_{238} = 1.551\,25 \times 10^{-10}\,\mathrm{an}^{-1}$ ; l’uranium-235 se désintègre en plomb-207 avec $\lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\,\mathrm{an}^{-1}$, six fois plus vite. Leur rapport actuel est $^{235}\mathrm{U}/^{238}\mathrm{U} = 0.0072567$, soit $^{238}\mathrm{U}/^{235}\mathrm{U} = 137.8$, le même dans toutes les roches terrestres. Le zircon, $\mathrm{ZrSiO_4}$, incorpore beaucoup d’uranium et presque pas de plomb lors de sa croissance, et il résiste à l’altération et survit au métamorphisme : presque tout son plomb est radiogénique.

Notons $x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{235}\mathrm{U}$ et $y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/{}^{238}\mathrm{U}$ pour les rapports actuels du plomb radiogénique à son élément père. Chacun donne un âge, $t_{206} = \ln(1 + y)/\lambda_{238}$ et $t_{207} = \ln(1 + x)/\lambda_{235}$.

Définition 13.1 (Concordia, discordia, intercepts, diagramme de Tera–Wasserburg)

La concordia est la courbe du plan $(x, y)$ sur lequel les deux âges uranium–plomb sont égaux. La discordia est une droite le long de laquelle s’alignent les analyses discordantes d’une population de cristaux ; ses intersections avec la concordia sont les intercept supérieur (le plus ancien) et le intercept inférieur (le plus jeune). Le diagramme de Tera–Wasserburg représente $X = {}^{238}\mathrm{U}/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$ en fonction de $Y = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/{}^{206}\mathrm{Pb}^*$.

Théorème 13.2 (La concordia)

Un cristal resté clos à l’uranium et au plomb depuis sa formation, il y a un temps $t$, se place en

$$C(t) = \bigl(e^{\lambda_{235}t} - 1,\; e^{\lambda_{238}t} - 1\bigr).$$

Lorsque $t$ croît, la courbe monte de plus en plus lentement par rapport à $x$ : sa pente, $\mathrm dy/\mathrm dx = (\lambda_{238}/\lambda_{235})\,e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t}$, décroît depuis $\lambda_{238}/\lambda_{235} = 0.1575$ à l’origine, donc la concordia est concave vers l’axe des $x$.

Le plomb est un gros ion qui s’insère mal dans le réseau du zircon. Dans les parties d’un cristal endommagées par sa propre radioactivité, le plomb peut en sortir lors d’un événement ultérieur de chauffage ou de circulation de fluides.

Théorème 13.3 (Une perte épisodique de plomb donne une corde)

Un cristal formé il y a un temps $t_1$, qui a perdu il y a un temps $t_2$, une fraction $f$ de son plomb radiogénique, et est resté clos par ailleurs, se place aujourd’hui en

$$(1 - f)\,C(t_1) + f\,C(t_2),$$

sur la corde joignant les points $t_1$ et $t_2$ de la concordia. Les cristaux qui ont perdu des fractions différentes sont alignés sur cette corde, une discordia dont l’intercept supérieur est $t_1$ et l’intercept inférieur est $t_2$.

Les intercepts se trouvent là où $a + b\,x(t) = y(t)$, équation en $t$ qui se résout par la méthode de Newton : avec $g(t) = e^{\lambda_{238}t} - 1 - a - b(e^{\lambda_{235}t} - 1)$ et $g'(t) = \lambda_{238}e^{\lambda_{238}t} - b\lambda_{235}e^{\lambda_{235}t}$, on itère $t \leftarrow t - g/g'$ à partir d’une estimation voisine de chaque intercept. Trois propriétés du résultat comptent en pratique. D’abord, l’intercept supérieur n’est précis que si la discordia recoupe la concordia sous un grand angle. Une discordia jeune, comme sur la figure ci-dessus, court presque le long de la concordia, et une petite variation de sa pente déplace l’intercept très loin. Ensuite, si la perte de plomb est récente, $t_2 = 0$, la discordia passe par l’origine, et chaque cristal a le même rapport $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^*$,

ce qui donne $t_1$ sans l’uranium : l’âge plomb–plomb. Enfin, une droite du diagramme concordia, $x = (y - a)/b$, devient dans les coordonnées de Tera–Wasserburg $Y = (1 - aX)/(137.8\,b)$, à nouveau une droite. Le diagramme de Tera–Wasserburg utilise des rapports mesurés directement, sans qu’il faille calculer l’uranium-235 à partir de l’uranium-238, et un mélange avec du plomb commun, non radiogénique et riche en plomb-207, se place sur une droite qui coupe l’axe $Y$ au rapport du plomb commun.

Les âges uranium–plomb se mesurent de deux façons. Des cristaux isolés ou des fragments, dissous après que les zones endommagées ont été éliminées par une dissolution partielle et que leur plomb et leur uranium ont été séparés, se mesurent par spectrométrie de masse à thermo-ionisation, qui donne les âges les plus précis de la géologie. Des spots de quelques dizaines de micromètres de diamètre se mesurent sur place, à la microsonde ionique ou par ablation laser, de façon moins précise mais zone par zone à travers un cristal qui a crû au cours de plusieurs événements.

Au laboratoire — Le laboratoire de géochronologie

Une datation sur zircon commence avec une roche broyée et se termine dans un laboratoire propre. Les géochronologues séparent les zircons par densité et magnétisme, sélectionnent les cristaux les plus nets au microscope binoculaire et photographient leur zonation. Les cristaux sont partiellement dissous pour éliminer leurs zones endommagées, puis dissous entièrement avec un traceur d’isotopes connus, et l’uranium et le plomb sont séparés sur de minuscules colonnes de résine, dans un air filtré pour écarter le plomb des poussières. Un spectromètre de masse mesure les rapports isotopiques. Les échantillons d’argon suivent un autre chemin : un réacteur, puis une ligne à gaz où un laser chauffe chaque palier et où l’argon est épuré avant le spectromètre.

13.2 Datation argon–argon

La méthode potassium–argon du volume de première année mesure le potassium et l’argon dans deux aliquotes séparées d’un minéral. La méthode argon–argon ne mesure que l’argon, dans une seule aliquote, sous forme de rapports isotopiques. L’échantillon est irradié par des neutrons rapides au cœur d’un réacteur nucléaire, où la réaction $^{39}\mathrm{K}(n,p)^{39}\mathrm{Ar}$ transforme une fraction fixe de son potassium-39 en argon-39, indicateur du potassium. Un minéral d’âge connu, le moniteur, est irradié à côté.

Définition 13.4 (Datation argon–argon, facteur J, spectre d’âges, âge plateau)

Datation $^{40}\mathrm{Ar}/^{39}\mathrm{Ar}$ date un minéral porteur de potassium par le rapport $R = {}^{40}\mathrm{Ar}^*/{}^{39}\mathrm{Ar}_{\mathrm K}$ de son argon-40 radiogénique à l’argon-39 formé à partir de son potassium par irradiation neutronique. Le facteur J d’une irradiation est $J = (e^{\lambda t_m} - 1)/R_m$, déterminé à partir d’un moniteur d’âge connu $t_m$ et d’un rapport mesuré $R_m$, avec $\lambda$ la constante de désintégration totale du potassium-40. Lorsque l’échantillon est dégazé par paliers de température croissante, son spectre d’âges porte l’âge de chaque palier en fonction de la fraction cumulée d’argon-39 libérée. Un âge plateau est la moyenne pondérée de l’âge de paliers consécutifs qui s’accordent dans leurs incertitudes et libèrent une grande part de l’argon-39.

Théorème 13.5 (L’âge argon–argon)

Un échantillon irradié avec un moniteur a l’âge

$$t = \frac1\lambda\ln(1 + JR).$$

Les constantes sont celles de la méthode potassium–argon, $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{an}^{-1}$. Un moniteur courant est une sanidine d’un tuf volcanique daté à $28.201\,\mathrm{Ma}$ ; un rapport du moniteur $R_m = 1.3129$ donne $J = 0.01200$. L’argon atmosphérique, avec $^{40}\mathrm{Ar}/^{36}\mathrm{Ar} = 295.5$, est retranché à l’aide de l’argon-36 mesuré à chaque palier, et l’argon formé par les neutrons à partir du calcium et du potassium lui-même est corrigé grâce à des sels irradiés dans le même conditionnement.

La chauffe par paliers est la force de la méthode. L’échantillon est chauffé dans un four ou par laser, par paliers de température croissante, et chaque palier donne un âge. Si le minéral est resté clos depuis son refroidissement, tous les paliers concordent : le spectre est plat. S’il a perdu de l’argon par la bordure de ses grains, les premiers paliers, qui proviennent de la bordure, sont plus jeunes, et les âges montent en escalier vers un plateau donné par les cœurs. Les critères recommandés pour un plateau sont au moins cinq paliers consécutifs portant plus de $50\,\%$ de l’argon-39, sans tendance entre eux ; les paliers à basse température d’un escalier sont couramment interprétés comme une perte d’argon radiogénique. L’argon en excès, piégé dans un fluide lors de la croissance du minéral, a l’effet inverse : il rend certains paliers trop vieux, souvent le premier et le dernier, dans un spectre en selle. La somme de tous les paliers, l’âge du gaz total, est ce qu’aurait donné un âge potassium–argon : une moyenne qui masque l’histoire.

13.3 Âges modèles du néodyme

Lorsqu’un liquide est extrait du manteau pour former la croûte continentale, le samarium, plus compatible, reste davantage dans le résidu que le néodyme : la nouvelle croûte a un $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$ plus faible que sa source, d’environ 0.13 pour la plupart des roches crustales, contre 0.1966 pour le réservoir chondritique. Son $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ croît alors plus lentement. Une fois formée, une roche crustale tend à conserver son rapport samarium–néodyme, malgré l’érosion, la sédimentation et même la refusion, si bien que son néodyme garde la trace du moment où il a quitté le manteau.

Définition 13.6 (Âge modèle)

L’âge modèle d’une roche dans un système isotopique est le instant où son rapport, extrapolé vers le passé avec son rapport parent–fils actuel, égal à celui d’un réservoir modèle. Pour le néodyme, $T_{\mathrm{CHUR}}$ utilise le réservoir uniforme chondritique et $T_{\mathrm{DM}}$ le manteau appauvri.

Théorème 13.7 (Âge modèle)

Un échantillon de rapports actuels $I_s = {}^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd}$ et $R_s = {}^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd}$, comparé à un réservoir de rapports actuels $I_m$ et $R_m$, admet l’âge modèle

$$T = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{I_s - I_m}{R_s - R_m}\right), \qquad \lambda = \lambda_{147}.$$

Avec $\lambda_{147} = 6.524 \times 10^{-12}\,\mathrm{an}^{-1}$, les réservoirs sont le chondritique, 0.512638 et 0.1966 aujourd’hui, et le manteau appauvri, 0.51315 aujourd’hui, soit environ $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = +10$, ce que donne une évolution close à partir de valeurs chondritiques depuis $4.55\,\mathrm{Ga}$ donne le rapport $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.2137$. Un granite fictif, avec $I_s = 0.511900$ et $R_s = 0.1100$ présente $\varepsilon_{\mathrm{Nd}} = -14.4$ aujourd’hui, $T_{\mathrm{CHUR}} = 1.30\,\mathrm{Ga}$ et $T_{\mathrm{DM}} = 1.84\,\mathrm{Ga}$. La figure ci-dessous donne les deux. L’âge du manteau appauvri est le meilleure estimation, car la croûte est extraite d’un manteau déjà appauvri ; c’est l’âge moyen auquel le néodyme de l’échantillon a quitté le manteau, son âge de résidence crustale. Deux réserves en limitent la portée : la croûte ne doit pas avoir modifié son rapport samarium–néodyme depuis, et une roche formée par mélange de croûte ancienne et de liquides issus d’un manteau récent a un âge modèle intermédiaire dépourvu de sens.

13.4 Datation par traces de fission et hélium

L’uranium-238 se désintègre aussi, très rarement, par fission spontanée : le noyau se scinde en deux fragments qui s’éloignent et laissent une trace de dommages dans le cristal, large d’environ $9\,\mathrm{nm}$ et longue d’environ $23\,\text{µ}\mathrm{m}$ dans l’apatite. Attaquées à l’acide, les traces deviennent visibles au microscope. Elles guérissent lorsque le cristal est chauffé, entre environ 20 et $350\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ selon le minéral ; dans l’apatite, elles se raccourcissent dans la zone de recuit partiel, d’environ 60 à $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, et disparaissent au-dessus.

Définition 13.8 (Datation par traces de fission, recuit des traces)

La datation par traces de fission date un minéral par la densité des traces laissées en lui par la fission spontanée de l’uranium-238, rapportée à sa teneur en uranium. Le recuit des traces est le raccourcissement et la disparition des traces par la réparation du cristal lorsqu’il est chauffé.

Théorème 13.9 (L’âge par traces de fission)

Avec $\lambda_f$ la constante de désintégration de la fission spontanée et $\lambda = \lambda_{238}$ la constante totale, un cristal comportant $N_s$ fissions spontanées par unité de volume et $N$ atomes d’uranium-238 a pour âge

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_f}\,\frac{N_s}{N}\right).$$

En laboratoire, l’uranium est mesuré en provoquant la fission de l’uranium-235 par des neutrons thermiques, et l’âge devient

$$t = \frac1\lambda\ln\left(1 + \lambda\,\zeta\,g\,\rho_d\,\frac{\rho_s}{\rho_i}\right),$$

avec $\rho_s$ et $\rho_i$ les densités de traces spontanées et induites, $\rho_d$ la densité de traces d’un verre dosimètre, $g = 0.5$ un facteur géométrique et $\zeta$ une constante d’étalonnage établie sur des étalons d’âge connu.

La constante de désintégration par fission n’est connue qu’à environ $10\,\%$ près, entre $7.9 \times 10^{-17}$ et $8.7 \times 10^{-17}\,\mathrm{an}^{-1}$, raison pour laquelle la plupart des laboratoires préfèrent l’étalonnage par $\zeta$. La longueur des traces garde la mémoire du parcours thermique. Une roche refroidie rapidement à travers la zone de recuit partiel possède de longues traces de longueurs presque égales ; une roche qui y est restée longtemps présente des traces plus courtes, de longueurs très dispersées, et l’âge par traces de fission est alors un âge mixte, qui ne correspond pas au moment d’un passage à une seule température.

Chaque désintégration alpha émet un noyau d’hélium-4. L’uranium, le thorium et leurs chaînes accumulent l’hélium dans un cristal, qui ne le retient que lorsqu’il est froid.

Définition 13.10 (Datation (U–Th)/He, zone de rétention partielle)

La datation (U–Th)/He date un minéral par l’hélium-4 accumulé à partir des désintégrations alpha de l’uranium, du thorium et de leurs descendants, rapporté à sa teneur en uranium et en thorium. La zone de rétention partielle est l’intervalle de température dans lequel l’hélium produit est en partie conservé et en partie perdu par diffusion.

Théorème 13.11 (Accumulation de l’hélium)

Un cristal fermé à l’hélium pendant un temps $t$ contient

$$\mathrm{He} = 8\,{}^{238}\mathrm U\,(e^{\lambda_{238}t} - 1) + 7\,{}^{235}\mathrm U\,(e^{\lambda_{235}t} - 1) + 6\,{}^{232}\mathrm{Th}\,(e^{\lambda_{232}t} - 1),$$

en atomes, les parents étant mesurés aujourd’hui ; le samarium-147 ajoute un petit terme.

Pour un cristal jeune, $e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t$ et l’âge découle d’une simple division. Une particule alpha parcourt environ $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ avant de s’arrêter, si bien qu’un cristal perd l’hélium formé près de sa surface ; l’âge mesuré est divisé par la fraction retenue $F_T$, qui est plus faible pour les petits grains ($F_T = 0.70$ signifie que $30\,\%$ perdus). L’apatite se ferme à l’hélium vers 50 à $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, le zircon vers 160 à $200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : avec les traces de fission de l’apatite, vers 90 à $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, les chronomètres basse température datent les derniers kilomètres de la remontée d’une roche vers la surface, comme l’a fait le Chapitre 10.

13.5 Nucléides cosmogéniques

Les rayons cosmiques qui frappent l’atmosphère produisent des gerbes de particules secondaires. Les neutrons rapides qui atteignent le sol brisent les noyaux des minéraux des premiers mètres de roche, par spallation : l’oxygène du quartz devient du béryllium-10, le silicium devient de l’aluminium-26. Les muons forment certains nucléides plus profondément et dominent au-dessous d’environ $3\,\mathrm{m}$.

Définition 13.12 (Nucléide cosmogénique, âge d’exposition, taux de production)

Un nucléide cosmogénique est un nucléide formé dans un minéral à la surface ou près de celle-ci par les particules secondaires des rayons cosmiques. Son taux de production $P$ est le nombre d’atomes formés par unité de masse de minéral et par an. L’âge d’exposition d’une surface est le temps écoulé depuis sa première exposition aux rayons cosmiques, déduit de la concentration d’un nucléide cosmogénique.

Le taux de production décroît avec la profondeur selon $P_0e^{-\rho z/\Lambda}$, où la longueur d’atténuation vaut $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$, soit environ $60\,\mathrm{cm}$ de granite de masse volumique $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. À la surface, il croît avec l’altitude, car moins d’air protège la roche, et avec la latitude géomagnétique, car le champ dévie moins de particules près des pôles. Les taux sont donnés pour une référence au niveau de la mer et à haute latitude, puis adaptés à chaque site : un étalonnage donne $P_0 = 4.96\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{an}^{-1}$ de béryllium-10 dans le quartz pour cette référence. Le béryllium-10 a une demi-vie de $1.388\,\mathrm{Ma}$, $\lambda = 4.994 \times 10^{-7}\,\mathrm{an}^{-1}$.

Théorème 13.13 (Exposition avec désintégration et érosion)

Une surface abaissée à la vitesse constante $\varepsilon$, exposée pendant un temps $t$ sans nucléide hérité, porte à sa surface la concentration

$$N(t) = \frac{P_0}{\mu}\bigl(1 - e^{-\mu t}\bigr), \qquad \mu = \lambda + \frac{\rho\varepsilon}{\Lambda}.$$

Sans érosion, $N = (P_0/\lambda)(1 - e^{-\lambda t})$ ; après un long temps, $N = P_0/\mu$, et sans désintégration on retrouve la formule $P_0\Lambda/(\rho\varepsilon)$ du volume de première année.

Sans érosion, la concentration sature à $P_0/\lambda$ au bout de quelques demi-vies : une surface atteint $90\,\%$ de cette valeur après $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Ma}$, et au-delà elle ne peut plus être datée. Avec l’érosion, l’état stationnaire est atteint plus tôt, au bout de quelques fois $1/\mu$, et sa concentration donne $\varepsilon$ ; le taux est moyenné sur le temps $\Lambda/(\rho\varepsilon)$ mis par le grain pour remonter à travers une longueur d’atténuation, soit quelques dizaines de milliers d’années aux taux de quelques dizaines de mètres par million d’années. Les affleurements de substratum rocheux s’érodent à quelques mètres à quelques dizaines de mètres par million d’années ; les bassins fluviaux, mesurés à partir des sables de leurs rivières, plus rapidement.

Deux nucléides de demi-vies différentes datent l’enfouissement. Le béryllium-10 et l’aluminium-26 se forment ensemble dans le quartz selon un rapport fixe ; lorsqu’un grain est enfoui profondément dans une grotte ou sous un épais sédiment, la production cesse, et l’aluminium-26, qui se désintègre plus vite, prend du retard : le rapport des deux décroît avec le temps et date l’enfouissement.

13.6 Statistique d’un âge

Un âge s’accompagne de son incertitude, et un ensemble d’âges de la question de savoir s’ils concordent. Soient $n$ mesures $x_i$ d’une même grandeur, d’écarts types $\sigma_i$. Leur moyenne pondérée vaut $\bar x = \sum w_ix_i/W$, avec $w_i = 1/\sigma_i^2$ et $W = \sum w_i$, et son écart type vaut $1/\sqrt W$.

Définition 13.14 (Moyenne des carrés des écarts pondérés)

La moyenne des carrés des écarts pondérés (MSWD) de $n$ mesures par rapport à un modèle ajusté à $p$ paramètres ajustables est

$$\mathrm{MSWD} = \frac{1}{n - p}\sum_i \frac{(x_i - \hat x_i)^2}{\sigma_i^2},$$

où $\hat x_i$ est la valeur du modèle : $p = 1$ pour une moyenne pondérée, $p = 2$ pour une droite comme une isochrone ou une discordia.

Proposition 13.15 (La MSWD a pour espérance un)

Si les $x_i$ sont indépendants, gaussiens, de moyenne $\mu$ et d’écarts types $\sigma_i$, la MSWD par rapport à leur moyenne pondérée a pour espérance 1.

La MSWD se disperse davantage autour de 1 lorsque le nombre de degrés de liberté est faible, $f = n - p$ : sa limite supérieure à $95\,\%$ vaut environ $1 + 2\sqrt{2/f}$, 2.63 pour $f = 3$ et 2.15 pour $f = 6$. Au-delà de la limite, les mesures se dispersent davantage que ne le permettent leurs incertitudes : les échantillons n’ont pas tous le même âge, ou que le système a été perturbé. Très en dessous de 1, les incertitudes ont été surestimées.

Méthode 13.16 (Ajustement d’une isochrone avec erreurs sur les deux axes)

Lorsque les deux coordonnées portent des erreurs $\sigma_{x,i}$, $\sigma_{y,i}$, corrélées avec le coefficient $r_i$, comme pour les données uranium–plomb et isochrones :

1. partir de la pente $b$ de la droite des moindres carrés ordinaires ;
2. affecter à chaque point le poids $W_i = 1/(\sigma_{y,i}^2 + b^2\sigma_{x,i}^2 - 2br_i\sigma_{x,i}\sigma_{y,i})$, l’inverse de la variance de sa distance à la droite mesurée selon $y$ ;
3. ajuster la droite pondérée avec ces poids, ce qui donne un nouveau $b$, et revenir à l’étape 2 jusqu’à ce que $b$ ne change plus ;
4. calculer la MSWD avec les poids $W_i$ et $n - 2$ degrés de liberté, ainsi que l’incertitude de la pente et de l’ordonnée à l’origine à partir des poids finaux.

Si $\sigma_{x,i} = 0$, les poids ne dépendent pas de $b$, et la méthode se réduit aux moindres carrés pondérés de $y$ sur $x$ utilisés dans le problème.

L’incertitude d’une constante de désintégration est la même pour tous les âges d’un système : elle n’intervient pas lorsqu’on compare des âges d’un même système, mais doit être ajoutée lorsque l’on compare des âges issus de deux systèmes. La constante de désintégration du samarium-147, par exemple, est connue à environ $0.4\,\%$ près ; celles du potassium-40, dont la désintégration est lente et à embranchement, limitent la précision des âges argon.

13.7 Exercices

Exercice 13.1 ★

Un zircon possède $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.04500$ et $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U} = 0.3300$. Calculer ses deux âges uranium–plomb. Est-il concordant ? De quel côté de la concordia se place-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 13.1.

$t_{206} = \ln(1.04500)/\lambda_{238} = 283.8\,\mathrm{Ma}$; $t_{207} = \ln(1.3300)/\lambda_{235} = 289.6\,\mathrm{Ma}$. Les âges diffèrent de $6\,\mathrm{Ma}$ : le zircon est discordant. Son $t_{207}$ est le plus ancien, il se place sous la concordia, du côté de la perte de plomb.

Exercice 13.2 ★

Un moniteur de $28.201\,\mathrm{Ma}$ donne $R_m = 1.3129$. Calculer $J$ avec $\lambda = 5.543 \times 10^{-10}\,\mathrm{an}^{-1}$, puis l’âge d’un échantillon de la même irradiation avec $R = 10.000$ (utiliser $J = 0.01200$).

Solution

Solution de Exercice 13.2.

$J = (e^{5.543\times10^{-10}\times2.8201\times10^7} - 1)/1.3129 = 0.015754/1.3129 = 0.01200$. Puis $t = \ln(1 + 0.01200\times10.000)/\lambda = \ln 1.12/(5.543\times10^{-10}) = 204.5\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 13.3 ★

Une argilite possède $^{143}\mathrm{Nd}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.51180$ et $^{147}\mathrm{Sm}/^{144}\mathrm{Nd} = 0.1200$. Calculer son $T_{\mathrm{CHUR}}$ et son $T_{\mathrm{DM}}$ avec les valeurs du chapitre.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

$T_{\mathrm{CHUR}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.512638)/(0.1200 - 0.1966)\bigr)/\lambda = \ln(1.010940)/\lambda = 1.67\,\mathrm{Ga}$; $T_{\mathrm{DM}} = \ln\bigl(1 + (0.51180 - 0.51315)/(0.1200 - 0.2137)\bigr)/\lambda = \ln(1.014408)/\lambda = 2.19\,\mathrm{Ga}$.

Exercice 13.4 ★

Un bloc de quartz posé sur une moraine du site de référence contient $2.0 \times 10^{5}$ atomes de béryllium-10 par gramme. En supposant l’absence d’érosion et d’héritage, calculer son âge d’exposition sans puis avec décroissance, avec $P_0 = 4.96\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{an}^{-1}$.

Solution

Solution de Exercice 13.4.

Sans décroissance, $t = N/P_0 = 2.0 \times 10^{5}/4.96 = 40.3\,\mathrm{ka}$. Avec décroissance, $t = -\ln(1 - N\lambda/P_0)/\lambda = -\ln(1 - 0.02014)/\lambda = 40.7\,\mathrm{ka}$, soit $1\,\%$ de plus.

Exercice 13.5 ★★

Montrer qu’au voisinage de l’origine la concordia est une droite de pente $\lambda_{238}/\lambda_{235}$, et la calculer. Expliquer pourquoi la discordia des cristaux ayant perdu du plomb très récemment passe par l’origine, et ce que mesure l’âge plomb–plomb de tels cristaux.

Solution

Solution de Exercice 13.5.

Pour les petits $t$, $x \approx \lambda_{235}t$ et $y \approx \lambda_{238}t$, donc $y \approx (\lambda_{238}/\lambda_{235})x$, pente $0.1575$. Si le plomb a été perdu très récemment, $t_2 \approx 0$ et l’intercept inférieur est $C(0)$, soit l’origine. Sur une droite passant par l’origine, $y/x$ est constant, de même que le rapport $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{206}\mathrm{Pb}^* = x/(137.8\,y)$ : chaque cristal donne l’âge plomb–plomb de l’intercept supérieur, soit l’âge de formation.

Exercice 13.6 ★★

Quatre âges par paliers d’un plateau valent $296.4 \pm 0.8$, $295.1 \pm 1.0$, $297.0 \pm 0.9$ et $(295.8 \pm 0.7)\,\mathrm{Ma}$ ($1\sigma$). Calculer leur moyenne pondérée, son écart type et la MSWD. Sont-ils compatibles ?

Solution

Solution de Exercice 13.6.

Poids $1.5625$, $1$, $1.2346$, $2.0408$, $W = 5.838$ ; $\bar x = 296.09\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1/\sqrt W = 0.41\,\mathrm{Ma}$. Les écarts pondérés au carré ont pour somme $2.32$ ; avec $f = 3$, $\mathrm{MSWD} = 0.77$, inférieur à $1 + 2\sqrt{2/3} = 2.63$ : les âges sont compatibles.

Exercice 13.7 ★★

Une apatite possède $\rho_s = 1.20 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$ et $\rho_i = 2.40 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, avec $\rho_d = 1.10 \times 10^{6}\,\mathrm{cm}^{-2}$, $g = 0.5$ et un étalonnage en laboratoire $\zeta = 350\,\mathrm{an}\,\mathrm{cm}^{2}$. Calculer son âge par traces de fission. Quel événement date-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 13.7.

$\lambda\zeta g\rho_d\rho_s/\rho_i = 1.55125\times10^{-10}\times350\times0.5 \times1.10 \times 10^{6}\times0.5 = 0.014931$; $t = \ln(1.014931)/\lambda = 95.5\,\mathrm{Ma}$. Si la roche s’est refroidie vite, elle date son passage dans la zone de recuit partiel de l’apatite, vers 60 à $120\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; si elle s’est refroidie lentement, c’est un âge mixte, et les longueurs de traces doivent trancher.

Exercice 13.8 ★★

Une apatite contient $20\,\mathrm{ppm}$ d’uranium ($99.2742\,\%$ d’uranium-238, $0.7204\,\%$ d’uranium-235 en nombre d’atomes), $40\,\mathrm{ppm}$ de thorium-232 (demi-vie $1.40 \times 10^{10}\,\mathrm{an}$) et $1.0\,\mathrm{nmol}\,\mathrm{g}^{-1}$ d’hélium. Calculer son âge (U–Th)/He avec l’approximation linéaire, puis l’âge corrigé de l’éjection alpha avec $F_T = 0.75$.

Solution

Solution de Exercice 13.8.

Par gramme : uranium $20\times10^{-6}/238.05\times N_A = 5.06 \times 10^{16}$ atomes, dont $5.02 \times 10^{16}$ d’uranium-238 et $3.64 \times 10^{14}$ d’uranium-235 ; thorium $1.038 \times 10^{17}$, $\lambda_{232} = \ln 2/1.40 \times 10^{10} = 4.95 \times 10^{-11}\,\mathrm{an}^{-1}$ ; hélium $10^{-9}N_A = 6.02 \times 10^{14}$. Le taux de production est $8\lambda_{238}{}^{238}\mathrm U + 7\lambda_{235}{}^{235}\mathrm U + 6\lambda_{232}\mathrm{Th} = (6.23 + 0.25 + 3.08)\times10^7 = 9.57 \times 10^{7}\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{an}^{-1}$, et $t = 6.02 \times 10^{14}/9.57 \times 10^{7} = 6.29\,\mathrm{Ma}$. Corrigé : $6.29/0.75 = 8.39\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 13.9 ★★

Pour le béryllium-10 sur le site de référence, calculer la concentration à saturation sans érosion et le temps nécessaire pour atteindre $90\,\%$ de celle-ci. Calculer la concentration stationnaire d’une surface s’érodant à $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ (granite, $2.7\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, $\Lambda = 160\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-2}$).

Solution

Solution de Exercice 13.9.

$P_0/\lambda = 4.96/4.994 \times 10^{-7} = 9.93 \times 10^{6}\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}$, atteinte à $90\,\%$ après $\ln 10/\lambda = 4.6\,\mathrm{Ma}$. Pour $10\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ $= 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{an}^{-1}$ : $\rho\varepsilon/\Lambda = 2.7\times10^{-3}/160 = 1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{an}^{-1}$, $\mu = 1.74 \times 10^{-5}\,\mathrm{an}^{-1}$ et $N = 4.96/1.74 \times 10^{-5} = 2.85 \times 10^{5}\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}$, 35 fois moins.

Exercice 13.10 ★★★

Deux mesures $x_1 \pm \sigma_1$ et $x_2 \pm \sigma_2$ d’un même âge sont combinées. Montrer que leur MSWD par rapport à la moyenne pondérée vaut $(x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, et démontrer directement que son espérance vaut 1 lorsque les deux mesurent le même âge.

Solution

Solution de Exercice 13.10.

Avec $W = w_1 + w_2$, $x_1 - \bar x = w_2(x_1 - x_2)/W$ et $x_2 - \bar x = -w_1(x_1 - x_2)/W$, donc $\sum w_i(x_i - \bar x)^2 = (x_1 - x_2)^2(w_1w_2^2 + w_2w_1^2)/W^2 = (x_1 - x_2)^2w_1w_2/W = (x_1 - x_2)^2/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ ; avec $f = 1$, c’est le MSWD. Si les deux mesurent le même âge, $x_1 - x_2$ a pour moyenne 0 et pour variance $\sigma_1^2 + \sigma_2^2$, donc l’espérance de son carré, divisée par cette variance, vaut 1.

Exercice 13.11 ★★★

Un zircon de $2700\,\mathrm{Ma}$ a perdu du plomb à $500\,\mathrm{Ma}$ et présente aujourd’hui $^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm{U} = 0.300$. Quelle fraction de son plomb a-t-il perdue ? Calculer son $^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm{U}$, ses deux âges uranium–plomb et, par itération, son âge plomb–plomb. Lequel des trois âges a-t-il un sens ?

Solution

Solution de Exercice 13.11.

$C(2700) = (13.283, 0.52019)$, $C(500) = (0.63628, 0.08065)$. $f = (0.52019 - 0.300)/(0.52019 - 0.08065) = 0.501$, soit la moitié de son plomb. $x = 0.499\times13.283 + 0.501\times0.63628 = 6.948$. $t_{206} = 1691\,\mathrm{Ma}$, $t_{207} = 2105\,\mathrm{Ma}$; le rapport $x/(137.8\,y) = 0.1681$ donne par itération un âge plomb–plomb de $2537\,\mathrm{Ma}$. Aucun des trois n’a de sens : ce sont des mélanges des deux événements, et seuls les intercepts les datent. L’âge plomb–plomb constitue un minimum pour la cristallisation.

Exercice 13.12 ★★★

Une surface de substratum sur le site de référence contient $1.0 \times 10^{6}$ atomes de béryllium-10 par gramme. Calculer son âge d’exposition en supposant l’absence d’érosion, puis sa vitesse d’érosion en supposant un état stationnaire. Montrer que chaque couple $(t, \varepsilon)$ compris entre ces deux limites correspond à la mesure, et indiquer quelle seconde mesure permettrait de les départager.

Solution

Solution de Exercice 13.12.

Sans érosion : $t = -\ln(1 - 1.0 \times 10^{6}\times4.994 \times 10^{-7}/4.96)/\lambda = 212\,\mathrm{ka}$. État stationnaire : $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 4.46 \times 10^{-6}\,\mathrm{an}^{-1}$, $\varepsilon = 2.64 \times 10^{-4}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{an}^{-1} = 2.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$. Pour tout $\varepsilon$ inférieur à cette valeur, $N = P_0(1 - e^{-\mu t})/\mu$ fixe un $t$, qui va de $212\,\mathrm{ka}$ à l’infini : une mesure a deux inconnues. Un second nucléide de demi-vie différente, comme l’aluminium-26 dans le même quartz, ou la concentration à la profondeur dans une carotte, les sépare.

13.8 Problème : Zircons du granite de Varden

Problème 13.1

Problème du week-end — la cristallisation, le refroidissement et le décapage d’un granite fictif, lus sur quatre horloges

Le granite des collines de Varden, région fictive de la série, a été décapé avant le Trias, enfoui sous la couverture mésozoïque puis ramené à la surface. Cinq de ses zircons donnent, avec des erreurs d’un écart type sur $y$ (prendre $x$ exact) :

zircon	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
$x = {}^{207}\mathrm{Pb}^*/^{235}\mathrm U$	0.3467	0.3260	0.3027	0.2793	0.2535
$y = {}^{206}\mathrm{Pb}^*/^{238}\mathrm U$	0.04794	0.04505	0.04207	0.03892	0.03553
$\sigma_y$	0.00010	0.00009	0.00008	0.00008	0.00007

Utiliser les constantes du chapitre. Toutes les analyses sont des données d’exercice.

Partie I — Les zircons.

1. Calculer les deux âges uranium–plomb de chaque zircon. Sont-ils concordants ?
2. Pourquoi les âges diminuent-ils de Z1 à Z5, avec $t_{207} > t_{206}$ pour chacun ?
3. Calculer les coordonnées de Tera–Wasserburg de Z1 et Z5.
4. Avec les poids $w_i = 1/\sigma_{y,i}^2$, calculer les moyennes pondérées $\bar x$ et $\bar y$ ainsi que $S_{xx} = \sum w_i(x_i - \bar x)^2$.
5. Calculer la pente $b = \sum w_i(x_i - \bar x)(y_i - \bar y)/S_{xx}$ et l’ordonnée à l’origine $a$ de la discordia.
6. Comparer $b$ à la pente de la concordia au voisinage de $310\,\mathrm{Ma}$. Que annonce cela ?

Partie II — Les intercepts.

7. Trouver l’intercept supérieur par la méthode de Newton à partir de $310\,\mathrm{Ma}$.
8. Trouver l’intercept inférieur à partir de $100\,\mathrm{Ma}$.
9. Calculer les résidus pondérés et le MSWD. L’ajustement est-il acceptable ?
10. L’écart type de la pente vaut $1/\sqrt{S_{xx}}$. Le calculer.
11. Faire pivoter la droite autour de $(\bar x, \bar y)$ jusqu’aux pentes $b \pm 2s_b$ et recalculer l’intercept supérieur pour chacune. Quelle est l’incertitude sur l’âge ?
12. Quelle fraction de son plomb Z1 a-t-il perdue, et Z5 ?

Partie III — La biotite. Une biotite du granite, irradiée avec un moniteur de $28.201\,\mathrm{Ma}$ donnant $R_m = 1.3129$, est dégazée en dix paliers :

palier	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$^{39}\mathrm{Ar}$ ($\%$)	4	6	8	12	14	15	14	12	9	6
$R$	7.225	11.226	13.937	14.891	14.820	14.869	14.918	14.847	14.907	14.804
âge ($\mathrm{Ma}$)		228.0	279.0		295.3	296.2	297.1	295.8	296.9
$\sigma$ ($\mathrm{Ma}$)	0.6	0.9	1.0	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1

13. Calculer $J$ ; l’arrondir à 0.01200.
14. Calculer les âges des paliers 1, 4 et 10.
15. Quels paliers forment un plateau selon les critères du chapitre ?
16. Calculer l’âge plateau, son écart type et son MSWD.
17. Calculer le rapport et l’âge du gaz total. Pourquoi est-il plus jeune que le plateau ?
18. En prenant le granite cristallisé à $700\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et la biotite fermée à $375\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, calculer la vitesse moyenne de refroidissement.
19. Qu’a-t-il pu se passer au niveau de l’intercept inférieur ? Le spectre d’argon est-il compatible avec cela ?

Partie IV — Le décapage. Quatre apatites, échantillonnées sur un versant des collines, donnent des âges (U–Th)/He de 43.1, 46.0, 49.2 et $52.0\,\mathrm{Ma}$ à 310, 370, 430 et $490\,\mathrm{m}$. Le sommet du granite, sur une crête de colline peu pentue en un site où $P_0 = 5.6\,\mathrm{atomes}\,\mathrm{g}^{-1}\,\mathrm{an}^{-1}$, contient $1.64 \times 10^{5}$ atomes de béryllium-10 par gramme de quartz.

20. Calculer la pente de la relation âge–altitude, en mètres par million d’années.
21. Avec une température de fermeture de $65\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, une surface à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et un géotherme de $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{km}^{-1}$, à quelle profondeur l’apatite la plus basse a-t-elle fermé ? Quelle vitesse moyenne de décapage en découle depuis ?
22. Calculer la vitesse d’érosion actuelle à partir du béryllium-10, en supposant un état stationnaire.
23. Quelle vitesse donne la formule du volume de première année, sans décroissance ?
24. Sur quelle durée la vitesse du béryllium-10 est-elle moyennée ? Comparer les trois vitesses.
25. Énoncer l’âge de cristallisation du granite de Varden avec son incertitude.

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. $t_{206}$ / $t_{207}$, en $\mathrm{Ma}$ : Z1 301.9 / 302.2, Z2 284.1 / 286.5, Z3 265.7 / 268.5, Z4 246.1 / 250.1, Z5 225.1 / 229.4. Une erreur de $0.2\,\%$ sur $y$ vaut environ $0.6\,\mathrm{Ma}$ : Z1 est concordant à l’erreur près ; les autres sont discordants, de plus en plus de Z2 à Z5.

2. Les zircons ont perdu une fraction croissante de leur plomb lors d’un événement ultérieur : ils se situent de plus en plus bas sur la corde. La corde se place sous la concordia concave, où $x$ est plus grand pour un $y$ donné : $t_{207} > t_{206}$.

3. Z1 : $X = 1/0.04794 = 20.859$, $Y = 0.3467/(137.8\times0.04794) = 0.05248$. Z5 : $X = 28.145$, $Y = 0.05178$.

4. Poids $1.000$, $1.235$, $1.563$, $1.563$, $2.041$ (en $10^8$) ; $\bar x = 0.29402$, $\bar y = 0.040892$, $S_{xx} = 7.845 \times 10^{5}$.

5. $b = 0.13260$, $a = \bar y - b\bar x = 0.001905$.

6. À $310\,\mathrm{Ma}$, $\mathrm dy/\mathrm dx = 0.1575\, e^{(\lambda_{238} - \lambda_{235})t} = 0.1218$. La discordia n’est que $9\,\%$ plus pentue que la concordia : elle la rencontre sous un petit angle, et l’intercept supérieur sera imprécis.

7. Newton à partir de $310\,\mathrm{Ma}$ : $t = 311.2\,\mathrm{Ma}$.

8. À partir de $100\,\mathrm{Ma}$ : $t = 99.7\,\mathrm{Ma}$.

9. $(y_i - a - bx_i)/\sigma_i = 0.64$, $-0.91$, $0.35$, $-0.24$, $0.17$ ; $\mathrm{MSWD} = 1.435/3 = 0.48$, inférieur à la limite $2.63$ pour $f = 3$ : les zircons s’alignent sur une seule droite.

10. $s_b = 1/\sqrt{7.845 \times 10^{5}} = 0.00113$.

11. Avec $b - 2s_b = 0.13034$, l’intercept supérieur vaut $322.9\,\mathrm{Ma}$ ; avec $b + 2s_b = 0.13485$, $302.6\,\mathrm{Ma}$. L’âge est $311 \pm 10\,\mathrm{Ma}$ à deux écarts-types.

12. $f = (x(311.2) - x_i)/(x(311.2) - x(99.7))$ : Z1 $4.7\,\%$, Z5 $41\,\%$.

13. $J = 0.015754/1.3129 = 0.0119999$, $0.01200$.

14. Étape 1 : $150.0\,\mathrm{Ma}$ ; étape 4 : $296.6\,\mathrm{Ma}$ ; étape 10 : $295.0\,\mathrm{Ma}$.

15. Étapes 4 à 10 : sept étapes consécutives, $82\,\%$ de l’argon-39, sans tendance. Les étapes 1 à 3 montent en escalier.

16. Erreurs égales : la moyenne vaut $2072.9/7 = 296.1\,\mathrm{Ma}$, $\sigma = 1.1/\sqrt7 = 0.42\,\mathrm{Ma}$ ; la somme des écarts au carré vaut $3.83$, $\mathrm{MSWD} = 3.83/(1.21\times6) = 0.53$, inférieur à $2.15$.

17. $\bar R = \sum f_iR_i = 14.270$, $t = 285.2\,\mathrm{Ma}$ : l’argon perdu par les bordures, libéré dans les premières étapes, abaisse la moyenne, comme il abaisserait un âge potassium–argon.

18. $(700 - 375)/(311.2 - 296.1) = 21.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ (avec une large fourchette, puisque l’âge du zircon est connu à $\pm10\,\mathrm{Ma}$).

19. Vers $100\,\mathrm{Ma}$, le granite était enfoui sous sa couverture mésozoïque, et un réchauffement ou une circulation de fluides a fait perdre du plomb aux zircons. La biotite a perdu de l’argon par ses bordures, ce qu’enregistre l’escalier ; sa plus basse étape, $150\,\mathrm{Ma}$, est un mélange d’argon ancien et remis à zéro. Le plateau a résisté : la biotite n’a pas été assez chauffée pour perdre tout son argon.

20. La pente des moindres carrés de la hauteur en fonction de l’âge est $20.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

21. $(65 - 10)/30 = 1.83\,\mathrm{km}$ ; depuis $43.1\,\mathrm{Ma}$, une moyenne de $1830/43.1 = 42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

22. $\rho\varepsilon/\Lambda = P_0/N - \lambda = 3.415 \times 10^{-5} - 0.050 \times 10^{-5} = 3.365 \times 10^{-5}\,\mathrm{an}^{-1}$; $\varepsilon = 3.365 \times 10^{-5}\times 160/2.7 = 1.99 \times 10^{-3}\,\mathrm{cm}\,\mathrm{an}^{-1} = 19.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$.

23. $P_0\Lambda/(\rho N) = 20.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$, $1.5\,\%$ de plus : la désintégration ne joue presque pas à ce rythme.

24. $\Lambda/(\rho\varepsilon) = 160/(2.7\times1.99 \times 10^{-3}) = 30\,\mathrm{ka}$. Le granite s’est soulevé à environ $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ entre 52 et $43\,\mathrm{Ma}$, à $42\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ en moyenne depuis, et s’érode à $20\,\mathrm{m}\,\mathrm{Ma}^{-1}$ aujourd’hui : la mise à nu a été plus rapide à un moment du Cénozoïque.

25. Le granite de Varden a cristallisé il y a $(311 \pm 10)\,\mathrm{Ma}$ (intercept supérieur, à deux écarts-types).