2Sismique d’exploration

Un navire de prospection avance lentement en ligne droite en mer, tractant un réseau de canons à air à quelques mètres sous la surface et, derrière lui, des câbles longs de plusieurs kilomètres, garnis d’hydrophones. Dans une campagne décrite à l’autorité de régulation, le réseau contenait $5240$ pouces cubes d’air comprimé, tiré toutes les $8\,\mathrm{s}$ depuis $12\,\mathrm{m}$ sous la surface, et les flûtes à azimut étroit traînées derrière de tels navires enregistrent des déports de 8 à $10\,\mathrm{km}$.

Chaque tir envoie une impulsion sonore dans le fond marin, et chaque interface rocheuse en profondeur renvoie un écho faible. Des semaines de traitement plus tard, un géologue fait défiler une section dans laquelle des chenaux fluviaux enfouis, des blocs de faille basculés et le remplissage en onlap d’un ancien bassin apparaissent comme si le sous-sol avait été mis à nu. La sismologie à l’échelle terrestre du chapitre précédent utilisait les ondes des séismes ; la sismique d’exploration fabrique les siennes, avec des sources dont l’instant et le lieu sont connus avec précision, et les enregistre sur des milliers de voies. Ce chapitre suit les échos depuis le tir jusqu’à la section : campagnes de sismique réfraction, la réflexion d’une ondelette par une colonne stratifiée, la méthode du point milieu commun qui transforme des échos répétés en vitesses et en image propre, la migration, qui replace les réflecteurs à leur place, et la lecture de la section comme stratigraphie.

Tu sais déjà

À une interface entre deux milieux d’impédances acoustiques $Z_1 = \rho_1v_1$ et $Z_2 = \rho_2v_2$, une onde plane en incidence normale est réfléchie avec le coefficient d’amplitude $R = (Z_2 - Z_1)/(Z_2 + Z_1)$ (le volume de physique de deuxième année, sur les ondes aux interfaces). L’onde conique, le temps d’interception et la distance de croisement d’un profil de réfraction sur couches horizontales ont été rencontrés au chapitre sur la Terre stratifiée du volume de première année ; les logs de sondage dans le livre 2 (année 11). La convolution $(f*g)(t) = \int f(\tau)g(t - \tau)\,\mathrm d\tau$ et la transformée de Fourier relèvent des volumes de mathématiques. Le paramètre de rai et le problème inverse linéaire sont ceux du Chapitre 1.

2.1 Campagnes de sismique réfraction

Définition 2.1 (Campagnes de sismique réfraction et réflexion)

Une campagne de sismique réfraction enregistre, le long d’une ligne de récepteurs, les premières arrivées issues d’une source contrôlée, et utilise les ondes coniques qui se propagent au sommet des couches plus rapides pour en déterminer les vitesses et profondeurs. Une campagne de sismique réflexion enregistre l’ensemble du train d’ondes, à des déports le plus souvent inférieurs aux profondeurs d’intérêt, et utilise les ondes réfléchies sous incidence quasi normale par les interfaces pour imager la stratification.

Sur couches horizontales, une onde conique arrive à $t = x/v_2 + t_i$, une droite dont la pente donne la vitesse $v_2$ du réfracteur et dont le temps d’interception $t_i$ donne sa profondeur. Un réfracteur incliné fait pencher la droite : l’onde conique tirée dans le sens du pendage arrive de plus en plus tard, à mesure que le réfracteur s’enfonce, et paraît lente ; tirée à contre-pendage paraît rapide. En tirant dans les deux sens le long de la même ligne, un profil inversé sépare la vitesse du pendage.

Théorème 2.2 (Réfraction sur une interface à pendage)

Une couche de vitesse $v_1$ surmonte un réfracteur plan de vitesse $v_2 > v_1$ incliné d’un angle $\theta$ le long du profil ; $i_c = \arcsin(v_1/v_2)$, et $h$ est la profondeur perpendiculaire du réfracteur sous le tir. Au-delà de la distance critique, l’onde conique arrive à

$$\begin{align*} t &= \frac{x\sin(i_c + \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{tir dans le sens du pendage},\\ t &= \frac{x\sin(i_c - \theta)}{v_1} + \frac{2h\cos i_c}{v_1} &&\text{tir à contre-pendage}. \end{align*}$$

Les vitesses apparentes $v_d = v_1/\sin(i_c + \theta)$ et $v_u = v_1/\sin(i_c - \theta)$ d’un profil inversé donnent

$$i_c = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} + \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right],\qquad \theta = \tfrac12\left[\arcsin\frac{v_1}{v_d} - \arcsin\frac{v_1}{v_u}\right], \qquad v_2 = \frac{v_1}{\sin i_c} .$$

Les deux branches d’un profil inversé doivent donner le même temps entre les deux points de tir, peu importe l’extrémité qui a tiré : le temps réciproque, un contrôle du pointé. Deux situations mettent la méthode en échec. Une couche plus lente que celle qui la surmonte (une inversion de vitesse) ne réfracte aucune onde conique et reste invisible : ses roches sont comptées dans la couche supérieure, et toute profondeur située en dessous est surestimée. Une couche plus rapide que celle qui la surmonte mais trop mince peut ne jamais donner de première arrivée, car l’onde conique de la couche plus profonde et plus rapide la rattrape : une couche cachée. Une campagne de sismique réflexion voit les deux.

2.2 Réflexion à incidence normale

Définition 2.3 (Ondelette sismique, ondelette de Ricker)

Une ondelette sismique est la brève impulsion, longue de quelques dizaines de millisecondes, que la source et le système d’enregistrement envoient dans le sol ; chaque réflecteur en renvoie une copie, à un facteur près. La ondelette de Ricker de fréquence de pic $f$ est l’impulsion à phase nulle

$$w(t) = \left(1 - 2\pi^2f^2t^2\right)e^{-\pi^2f^2t^2},$$

C’est la dérivée seconde d’une gaussienne, à un signe et à un facteur d’échelle près : un pic central et deux lobes latéraux, de moyenne nulle et un spectre d’amplitude qui culmine en $f$.

Définition 2.4 (Série de réflectivité)

La série de réflectivité d’une colonne stratifiée est la suite des coefficients de réflexion en incidence normale $r_k$ de ses interfaces, placés à leurs temps doubles verticaux $\tau_k = \sum_{i \le k} 2h_i/v_i$ : $r(t) = \sum_k r_k\,\delta(t - \tau_k)$.

Proposition 2.5 (Le modèle convolutif)

Si l’on ne conserve que les réflexions primaires (sans multiples), en incidence normale, avec aucune perte de transmission, ni atténuation ni étalement géométrique, et si l’ondelette $w$ ne change pas avec la profondeur, la trace enregistrée est la convolution de l’ondelette avec la série de réflectivité :

$$s(t) = \sum_k r_k\,w(t - \tau_k) = (w*r)(t) .$$

La trace ainsi calculée à partir d’un log de sondage de vitesse et de masse volumique est le sismogramme synthétique du log.

Le sismogramme synthétique permet de caler un forage sur une section sismique : une réflexion sur la section est appariée à l’interface du log qui la produit. La colonne de Varden située sous l’axe du synclinal du problème (le modèle sismique de ce chapitre, avec des vitesses et des masses volumiques choisies dans les fourchettes publiées pour chaque roche)

donne la figure ci-dessous. L’interface craie–argiles ne réfléchit que $2.8\,\%$ de l’amplitude, car la craie et les argiles ont par hasard presque la même impédance ; le sommet du calcaire réfléchit $38\,\%$, la base du calcaire renvoie une impulsion inversée, et le socle une impulsion forte et positive.

Jusqu’à quelle épaisseur une couche peut-elle encore être résolue par les réflexions ? Son sommet et sa base renvoient chacun une ondelette ; lorsqu’elles se recouvrent, elles interfèrent.

Définition 2.6 (Épaisseur d’accord)

L’épaisseur d’accord d’un banc est l’épaisseur à laquelle les réflexions de son sommet et de sa base, de signes opposés, interfèrent le plus constructivement, de sorte que l’amplitude composite soit maximale. Les bancs plus minces ne sont pas résolus : leur sommet et leur base ne peuvent plus être pointés séparément, et l’amplitude décroît proportionnellement à l’épaisseur.

Proposition 2.7 (Règle du quart de longueur d’onde)

Pour une ondelette de période dominante $T$ dans un banc de vitesse $v$, avec des coefficients de réflexion $+R$ à son sommet et $-R$ à sa base, la réflexion composite est maximale lorsque l’épaisseur du banc vaut $b = \lambda/4$, où $\lambda = vT$ ; pour $b \ll \lambda/4$, son amplitude est proportionnelle à $b$.

Une ondelette de Ricker n’est pas un harmonique, et son épaisseur d’accord, lue sur le modèle en biseau de la figure ci-dessous, est un peu plus petite que le quart de la longueur d’onde à la fréquence de pic : $19.5\,\mathrm{m}$ pour $30\,\mathrm{Hz}$ dans une roche de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$. Les données sismiques contiennent rarement beaucoup d’énergie au-delà de quelques dizaines de hertz provenant de profondeurs kilométriques, car les roches absorbent les hautes fréquences ; les bancs d’épaisseur inférieure à environ $20\,\mathrm{m}$ apparaissent comme une réflexion unique.

Latéralement, la résolution est fixée par la largeur du réflecteur qui renvoie l’énergie en phase.

Définition 2.8 (Zone de Fresnel)

La zone de Fresnel (première) d’un réflecteur, pour une source et un récepteur confondus à la hauteur $z$ au-dessus de lui, est le disque du réflecteur autour du point d’incidence normale à partir duquel le trajet aller-retour est plus long que le trajet normal de moins d’une demi-longueur d’onde : ses réflexions arrivent en phase et construisent ensemble la réflexion enregistrée.

Proposition 2.9 (Rayon de la zone de Fresnel)

La première zone de Fresnel a pour rayon $r_F = \sqrt{\lambda z/2 + \lambda^2/16} \approx \sqrt{\lambda z/2}$ pour $\lambda \ll z$.

À une profondeur de $1\,\mathrm{km}$, avec $\lambda = 100\,\mathrm{m}$, la zone de Fresnel fait $225\,\mathrm{m}$ de rayon : les structures plus étroites que cela sont floues, sauf si la migration (ci-dessous) resserre la zone.

2.3 Acquisition et traitement en point milieu commun

Un écho isolé est trop faible pour être distingué du bruit. Les campagnes de sismique réflexion enregistrent donc chaque point du sous-sol un grand nombre de fois, avec différents couples source–récepteur, et en additionnent les enregistrements.

Définition 2.10 (Point milieu commun, ordre de couverture)

Pour une source en $x_s$ et un récepteur en $x_r$ sur une ligne, le point milieu vaut $(x_s + x_r)/2$ et le déport $x = |x_r - x_s|$. On appelle point milieu commun (CMP) l’ensemble des traces, issues de tous les tirs, qui ont le même point milieu ; sur des couches planes, toutes se réfléchissent sur le même point du sous-sol. L’ordre de couverture est le nombre de traces d’une collection. Avec $N$ canaux à l’intervalle $\Delta g$ entre récepteurs et un tir tous les $\Delta s$ le long de la ligne, l’ordre de couverture vaut $N\Delta g/(2\Delta s)$.

Théorème 2.11 (Retard normal)

Dans une couche de vitesse $v$ surmontant un réflecteur plan, au temps double vertical $t_0$, la réflexion enregistrée au déport $x$ arrive en

$$t(x)^2 = t_0^2 + \frac{x^2}{v^2},$$

il s’agit d’une hyperbole dans le plan $(x, t)$. Le retard $\Delta t = t(x) - t_0$ est le retard normal ; pour $x \ll vt_0$, $\Delta t \approx x^2/(2v^2t_0)$.

Sur plusieurs couches, le temps de réflexion n’est plus exactement hyperbolique, mais il l’est presque aux petits déports, avec une vitesse qui est une moyenne pondérée des couches.

Définition 2.12 (Sommation, vitesses quadratiques moyennes et d’intervalle)

La vitesse d’intervalle $v_i$ d’une couche est sa propre vitesse ; avec $\Delta t_i = 2h_i/v_i$ le temps double à travers elle, la vitesse quadratique moyenne jusqu’à la base de la couche $n$ est

$$V_{\text{qm},n} = \left(\frac{\sum_{i\le n}v_i^2\,\Delta t_i}{\sum_{i\le n}\Delta t_i}\right)^{1/2}.$$

La vitesse de sommation d’une réflexion est la vitesse $V$ de l’hyperbole $t^2 = t_0^2 + x^2/V^2$ qui ajuste au mieux ses temps dans une collection CMP.

Proposition 2.13 (Vitesse de sommation aux petits déports)

Sur des couches planes, $t(x)^2 = t_0^2 + x^2/V_{\text{qm}}^2 + O(x^4)$ : aux petits déports, la vitesse de sommation est la vitesse quadratique moyenne.

Théorème 2.14 (Équation de Dix)

Si $V_{n-1}$ et $V_n$ sont les vitesses quadratiques moyennes au sommet et à la base de la couche $n$, aux temps doubles $t_{n-1}$ et $t_n$, la vitesse d’intervalle de la couche est donnée par l’équation de Dix

$$v_n^2 = \frac{V_n^2t_n - V_{n-1}^2t_{n-1}}{t_n - t_{n-1}} ,$$

et son épaisseur est $h_n = v_n(t_n - t_{n-1})/2$.

L’analyse de vitesse parcourt chaque collection à la recherche de l’hyperbole qui ajuste au mieux l’énergie : pour chaque essai $t_0$ et $V$, les traces sont sommées le long de la courbe, et une mesure de cohérence (la semblance) est cartographiée ; l’analyste en retient les maxima, réflecteur par réflecteur, pour construire une fonction de vitesse. La correction de retard normal (NMO) décale chaque échantillon de chaque trace de $t(x)$ à $t_0$, aplanissant les réflexions, puis les traces de chaque collection sont additionnées.

Définition 2.15 (Sommation (sismique))

La sommation est la somme, après la correction de retard normal, des traces d’une collection CMP en une seule trace placée au point milieu. Les traces sommées, côte à côte le long de la ligne, forment la section sommée, image des réflecteurs en temps double.

Proposition 2.16 (Gain d’une sommation)

Si les $N$ traces d’une collection portent le même signal de réflexion et un bruit indépendant de même écart-type $\sigma$, leur moyenne porte le même signal et un bruit d’écart-type $\sigma/\sqrt N$ : la sommation augmente le rapport signal sur bruit d’un facteur $\sqrt N$.

2.4 Migration

Une section sommée montre chaque réflexion sous le point milieu où elle a été enregistrée, au temps qu’elle a mis pour revenir. Pour un réflecteur plan, c’est là qu’elle se trouve. Pour un réflecteur incliné, ce n’est pas le cas : l’écho enregistré en un point de surface provient du point du réflecteur le plus proche de lui, situé vers le haut du pendage, et non à la verticale. Les points comme les extrémités de failles, qui diffusent l’énergie dans toutes les directions, apparaissent sous forme d’hyperboles.

Définition 2.17 (Migration sismique)

La migration sismique est l’étape de traitement qui déplace les réflexions d’une section sismique vers les positions des réflecteurs qui les ont produites : elle restaure les pendages et positions vrais des réflecteurs inclinés réflecteurs et ramène les hyperboles de diffraction des diffuseurs ponctuels sur leurs sommets. Réalisée avec un modèle de vitesses en temps, elle donne une section migrée en temps ; avec un modèle en profondeur, une image en profondeur.

Théorème 2.18 (Pendage sur une section à déport nul)

Dans un milieu de vitesse $v$, un réflecteur plan de pendage $\theta$ dans le plan de la section apparaît sur la section à déport nul, tracée en profondeur $vt/2$ verticalement sous chaque point d’enregistrement, comme une ligne de pendage apparent $\theta_a$ avec

$$\tan\theta_a = \sin\theta .$$

La réflexion enregistrée au point $x$ provient du point du réflecteur situé à une distance $(vt/2)\sin\theta$ vers le haut du pendage, du point situé à la verticale de $x$.

Comme $\tan\theta_a = \sin\theta < \tan\theta$, une section non migrée montre toujours des pendages plus faibles que les vrais, et elle ne peut pas montrer des pendages supérieurs à $45{}^{\circ}$. Un diffuseur ponctuel de profondeur $z$ sous le point $x_0$ renvoie en $x$ le temps à déport nul $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + (x - x_0)^2}$ : une hyperbole dont le sommet se trouve à la verticale du point : c’est la diffraction. La migration sous sa forme la plus simple, la sommation de diffraction, additionne chaque section le long de l’hyperbole de diffraction de chaque diffuseur possible et place la somme au sommet : les réflecteurs, qui sont des lignes continues de diffuseurs, ressortent à leur vraie place, et les diffractions se resserrent en un point.

2.5 Stratigraphie sismique

Une section migrée est une image de la stratification, et on peut la lire comme une stratigraphie : les réflexions suivent les surfaces de stratification, qui sont des lignes de même temps, de sorte que leur géométrie enregistre la façon dont le bassin s’est comblé.

Définition 2.19 (Stratigraphie sismique, faciès sismiques)

La stratigraphie sismique est l’interprétation de la stratigraphie et de l’histoire de remplissage d’un bassin à partir de la géométrie de ses réflexions sismiques. Un faciès sismique est une unité tridimensionnelle de réflexions dont le caractère (continuité, amplitude, fréquence, géométrie interne : parallèle, divergente, sigmoïde, chaotique, en dôme) se distingue de celui de ses voisines et s’interprète comme un milieu de dépôt.

Définition 2.20 (Terminaisons de réflexions)

Une terminaison de réflexion est la fin d’une réflexion contre une autre. Onlap : une réflexion initialement horizontale vient buter contre une surface qui se redresse plus fortement, les couches plus jeunes s’appuyant sur une pente plus ancienne. Downlap : une réflexion inclinée se termine vers l’aval-pendage contre une surface plus douce, les pieds des couches progradantes reposant sur le fond d’un bassin. Toplap : des réflexions inclinées se terminent vers l’amont-pendage contre une surface sus-jacente, avec peu d’érosion, les sommets des couches progradantes rejoignant le niveau de la mer. Troncature d’érosion : des réflexions se terminent vers l’amont-pendage contre une surface sus-jacente qui les coupe, une discordance.

Les terminaisons marquent les surfaces qui bornent des séquences de couches génétiquement liées ; les cartographier à l’échelle d’un bassin et les relier aux variations du niveau marin relatif relève de la stratigraphie séquentielle, objet du Chapitre 16. Une section sismique d’une marge passive montre typiquement des prismes de réflexions progradant vers le large, en downlap sur le plancher profond, coiffés de toplap, et enfouis vers la terre sous des couches en onlap déposées lorsque la mer est remontée.

Sur le terrain — Une campagne marine en flûtes et une équipe à terre

En mer, le navire ne s’arrête jamais : il parcourt ligne après ligne à quelques nœuds, les réseaux de canons à air tirant à intervalles fixes, les flûtes maintenues à profondeur constante par de petites ailes orientables et localisées par positionnement acoustique et satellitaire. Les observateurs de la passerelle surveillent la mer autour du réseau, et la campagne se déroule selon des règles qui fixent les mesures de protection des mammifères marins, la veille à assurer et ce qu’il faut signaler.

À terre, l’équipe déroule des câbles ou des unités d’enregistrement sans fil le long des lignes ; les camions vibreurs avancent en convoi d’un point source au suivant, et un camion d’enregistrement vérifie chaque voie avant chaque balayage. De retour au centre de traitement, les enregistrements sont triés en collections de traces à point milieu commun, les vitesses pointées, les données sommées et migrées, et la section remise aux interprètes.

2.6 Exercices

Exercice 2.1 ★

La craie ($v = 2500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\rho = 2.00\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$) repose sur des schistes argileux ($2300\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.30\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$), qui repose sur du calcaire ($4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $2.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$). Calculer les trois impédances acoustiques et les coefficients de réflexion des deux interfaces. Quelle fraction de l’énergie incidente le sommet du calcaire réfléchit-il ?

Solution

Solution de Exercice 2.1.

$Z = \rho v$ : craie $2000\times2500 = 5.00 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, argile $2300\times2300 = 5.29 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$, calcaire $2600\times4500 = 11.70 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. Craie–argile : $R = (5.29 - 5.00)/(5.29 + 5.00) = 0.29/10.29 = 0.0282$ ; argile–calcaire : $R = (11.70 - 5.29)/(11.70 + 5.29) = 6.41/16.99 = 0.377$. L’énergie réfléchie est $R^2 = 0.142$ : le sommet du calcaire renvoie $14.2\,\%$ de l’énergie incidente, l’interface craie–argile en renvoie moins de $0.1\,\%$.

Exercice 2.2 ★

Un réflecteur plat se trouve à $800\,\mathrm{m}$ sous une couche de $2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer $t_0$, le temps de réflexion à un déport de $1000\,\mathrm{m}$, et le retard normal correspondant ici, puis comparer ce résultat à l’approximation $x^2/(2v^2t_0)$.

Solution

Solution de Exercice 2.2.

$t_0 = 2\times800/2000 = 0.800\,\mathrm{s}$ ; $t = \sqrt{0.800^2 + (1000/2000)^2} = \sqrt{0.89} = 0.9434\,\mathrm{s}$ ; le retard vaut $0.1434\,\mathrm{s}$. Par l’approximation donne $1000^2/(2\times2000^2\times0.800) = 0.1563\,\mathrm{s}$, trop grand de $9\,\%$ : pour un déport supérieur à la profondeur, la relation $x \ll vt_0$ ne est plus vérifiée.

Exercice 2.3 ★

Une flûte compte 240 voies espacées de $12.5\,\mathrm{m}$, et le navire tire tous les $25\,\mathrm{m}$. Calculer l’intervalle des points milieux communs et l’ordre de couverture. Quel intervalle de tir donnerait un ordre de couverture de 120 ?

Solution

Solution de Exercice 2.3.

Les points milieux se déplacent de la moitié de l’intervalle entre récepteurs : l’intervalle entre points milieux communs est $12.5/2 = 6.25\,\mathrm{m}$. L’ordre de couverture vaut $240\times12.5/(2\times25) = 60$. Un ordre de couverture de 120 exige un tir tous les $240\times12.5/(2\times120) = 12.5\,\mathrm{m}$.

Exercice 2.4 ★

Pour une fréquence dominante de $30\,\mathrm{Hz}$, calculer la longueur d’onde et le quart de longueur d’onde dans un grès de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et dans un calcaire de $4500\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer le rayon de la première zone de Fresnel d’un réflecteur situé à $1000\,\mathrm{m}$ de profondeur sous des roches de vitesse moyenne $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Solution

Solution de Exercice 2.4.

$\lambda = v/f$ : $100\,\mathrm{m}$ dans le grès, $\lambda/4 = 25\,\mathrm{m}$ ; $150\,\mathrm{m}$ dans le calcaire, $\lambda/4 = 37.5\,\mathrm{m}$. Avec $\lambda = 2800/30 = 93.3\,\mathrm{m}$ et $z = 1000\,\mathrm{m}$, $r_F \approx \sqrt{\lambda z/2} = \sqrt{46\,667} = 216\,\mathrm{m}$ ($217\,\mathrm{m}$ en ajoutant le terme $\lambda^2/16$).

Exercice 2.5 ★★

Deux réflexions ont $t_0 = 0.500\,\mathrm{s}$ et une vitesse quadratique moyenne de $2400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, et $t_0 = 0.700\,\mathrm{s}$ avec une vitesse de $2800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer la vitesse d’intervalle et l’épaisseur de la couche comprise entre elles.

Solution

Solution de Exercice 2.5.

Équation de Dix : $v^2 = (2800^2\times0.700 - 2400^2\times0.500)/0.200 = (5\,488\,000 - 2\,880\,000)/0.200 = 1.304 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$, donc $v = 3611\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La couche est traversée en $0.100\,\mathrm{s}$ dans un sens : $h = 3611\times0.100 = 361\,\mathrm{m}$.

Exercice 2.6 ★★

Un réflecteur plan a un pendage $\varphi$ dans le plan d’une ligne à points milieux communs, dans une couche de vitesse $v$. (a) Montrer que $t(x)^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$, où $t_0$ est le temps à déport nul au point milieu. (Indice : utiliser le symétrique du point milieu par rapport au réflecteur.) (b) En déduire la vitesse de sommation, et la calculer pour $v = 2000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\varphi = 12{}^{\circ}$.

Solution

Solution de Exercice 2.6.

(a) Soit $d$ la distance du point milieu M au réflecteur, de sorte que $t_0 = 2d/v$. Le rai réfléchi de la source S au récepteur G est aussi long que la droite reliant G à l’image S$'$ de S par rapport au réflecteur. Plaçons M à l’origine, la droite suivant le pendage ; S$'$ se trouve à la distance $2d_S$ de S le long de la normale, avec $d_S = d - (x/2)\sin\varphi$. Le carré de S$'$G vaut $x^2 + 4d_S^2 + 4d_Sx\sin\varphi = x^2 + 4d^2 - x^2\sin^2\varphi$, tous les termes en $dx$ s’annulant, donc $v^2t^2 = 4d^2 + x^2\cos^2\varphi$ et $t^2 = t_0^2 + x^2\cos^2\varphi/v^2$. (b) La collection de traces suit une hyperbole de vitesse $V = v/\cos\varphi = 2000/\cos12{}^{\circ} = 2045\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : un pendage rend la vitesse de sommation trop élevée, ici de $2.2\,\%$.

Exercice 2.7 ★★

Une collection de traces à point milieu commun, d’ordre de couverture 60, présente un bruit indépendant, de même variance, sur chaque trace. De quel facteur la sommation élève-t-elle le rapport signal sur bruit ? De quel facteur faut-il augmenter l’ordre de couverture pour le doubler à nouveau ?

Solution

Solution de Exercice 2.7.

Par $\sqrt{60} = 7.75$. Doubler le rapport signal sur bruit exige quatre fois autant de traces : un ordre de couverture de 240.

Exercice 2.8 ★★

Sur une section en temps à déport nul, dans une roche de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, une réflexion remonte de $0.40\,\mathrm{s}$ de temps double par kilomètre le long de la ligne. Convertir cette pente en pendage apparent, puis calculer le pendage réel du réflecteur.

Solution

Solution de Exercice 2.8.

La profondeur tracée $vt/2$ varie de $1.5\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}\times0.40\,\mathrm{s} = 0.60\,\mathrm{km}$ par kilomètre : $\tan\theta_a = 0.60$, $\theta_a = 31.0{}^{\circ}$. Par le théorème du déport nul $\sin\theta = 0.60$ : $\theta = 36.9{}^{\circ}$.

Exercice 2.9 ★★

Convoluer la série de réflectivité $r = (0, 0.3, 0, -0.2, 0)$ avec l’ondelette à trois échantillons $w = (-0.5, 1, -0.5)$, échantillon par échantillon. Où sont situées les deux réflexions, et se recouvrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 2.9.

Chaque pic place une copie de $w$ centrée sur lui : $0.3\,w$ sur les échantillons 0–2 donne $(-0.15, 0.3, -0.15)$, et $-0.2\,w$ sur les échantillons 2–4 donne $(0.1, -0.2, 0.1)$. Leur somme vaut $(0, -0.15, 0.3, -0.05, -0.2, 0.1, 0)$, écrite de l’échantillon précédant la série jusqu’à celui qui la suit. Les réflexions culminent aux échantillons 1 et 3, avec leurs vrais signes ; elles se superposent à l’échantillon 2, où $-0.15 + 0.1 = -0.05$ : une légère interférence, mais deux pics distincts.

Exercice 2.10 ★★★

Un profil de réfraction inversé sur une couche de $1800\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ donne une vitesse apparente dans le sens du pendage de $2900\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et une vitesse apparente à contre-pendage de $4400\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer l’angle critique, le pendage et la vitesse du réfracteur. Comparer la vitesse du réfracteur à la moyenne harmonique des deux vitesses apparentes.

Solution

Solution de Exercice 2.10.

$\arcsin(1800/2900) = 38.37{}^{\circ}$ et $\arcsin(1800/4400) = 24.15{}^{\circ}$, donc $i_c = (38.37 + 24.15)/2 = 31.26{}^{\circ}$ et $\theta = (38.37 - 24.15)/2 = 7.11{}^{\circ}$ ; $v_2 = 1800/\sin31.26{}^{\circ} = 3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La moyenne harmonique $2\times2900\times4400/(2900 + 4400) = 3496\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ est supérieure de $0.8\,\%$ ; multipliée par $\cos\theta = 0.9923$, elle donne $3469\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, l’approximation usuelle pour les faibles pendages $v_2 \approx \cos\theta\,2v_dv_u/(v_d + v_u)$.

Exercice 2.11 ★★★

Dans la Proposition 2.7, une couche présente des coefficients de réflexion $+R$ et $-R$. (a) Montrer que, pour $\Delta t \ll T$, le signal composé est environ $R\,\Delta t\,w'(t)$, c’est-à-dire la dérivée temporelle de l’ondelette pondérée par l’épaisseur en temps double de la couche. (b) Expliquer pourquoi une couche mince peut malgré tout être détectée sans être résolue, et comment son épaisseur pourrait être estimée à partir de son amplitude. (c) Deux couches de même roche, de 5 et $10\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, sont imagées avec la même ondelette : quel est le rapport de leurs amplitudes ?

Solution

Solution de Exercice 2.11.

(a) Le signal composite vaut $R[w(t) - w(t - \Delta t)] \approx R\,\Delta t\,w'(t)$ par le développement de Taylor au premier ordre. (b) Son amplitude est proportionnelle à $\Delta t$, donc un banc plus mince que l’épaisseur d’accord renvoie encore un signal, de forme $w'$, mais son toit et sa base ne peuvent être pointés comme deux événements : il est détecté, mais non résolu. Si $R$ et l’ondelette sont connus, par exemple grâce à un forage, l’amplitude donne $\Delta t$ et donc l’épaisseur. (c) L’amplitude est proportionnelle à l’épaisseur : le rapport vaut $5/10 = 1/2$.

Exercice 2.12 ★★★

Un diffuseur ponctuel se trouve à $600\,\mathrm{m}$ sous la ligne, dans une roche de $3000\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (a) Écrire le temps à déport nul de sa diffraction en fonction de la distance horizontale $x$ au point situé à son aplomb, et le calculer pour $x = 0$ et $300\,\mathrm{m}$. (b) Montrer que la diffraction est une hyperbole de la forme du retard normal avec la vitesse $v/2$, et expliquer pourquoi une diffraction est toujours plus courbée qu’une réflexion de même temps au sommet. (c) Que fait la migration de cette diffraction ?

Solution

Solution de Exercice 2.12.

(a) $t(x) = (2/v)\sqrt{z^2 + x^2}$ : $t(0) = 2\times600/3000 = 0.400\,\mathrm{s}$ et $t(300) = (2/3000)\sqrt{600^2 + 300^2} = 0.4472\,\mathrm{s}$. (b) $t^2 = t_0^2 + x^2/(v/2)^2$, la forme NMO avec la vitesse $v/2$. Une réflexion de même temps au sommet sur une section à déport nul, ne montrerait aucun retard ; comparée à une hyperbole NMO de même $t_0$ dans une collection, le retard de la $x^2/(2(v/2)^2t_0)$ est quatre fois plus grand, car le temps dépend deux fois de la distance au diffuseur deux fois, à l’aller et au retour. (c) La migration somme la section le long de cette hyperbole et place l’énergie à son sommet : la diffraction se réduit à un point en $x = 0$, $z = 600\,\mathrm{m}$.

2.7 Problème : une ligne sismique à travers les collines de Varden

Problème 2.1

Problème du week-end — réfraction, analyse des vitesses, conversion en profondeur et migration le long de la coupe A–B des collines de Varden

Une ligne sismique est tirée le long de la coupe A–B des collines de Varden, la région couverte par les cartes géologiques des volumes précédents. Ses distances $s$ sont comptées à partir de A le long de la ligne. La couverture, du sommet vers la base, est constituée de craie, de schistes argileux ($100\,\mathrm{m}$), de calcaire ($180\,\mathrm{m}$) et de grès ($120\,\mathrm{m}$), reposant en discordance sur un socle schisteux ; elle est plissée en un anticlinal et un synclinal et recoupée par une faille normale.

Partie I — Un dispositif de réfraction sur le flanc ouest. Un dispositif de $1200\,\mathrm{m}$ est déployé entre les points de tir O ($s = 300\,\mathrm{m}$) et E ($s = 1500\,\mathrm{m}$), sur un terrain considéré comme horizontal. La craie et les schistes situés au-dessus du calcaire sont traités comme une seule couche de vitesse $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Les temps des ondes coniques relevés sur les enregistrements sont, de O vers E, $425.2\,\mathrm{ms}$ à $800\,\mathrm{m}$ et $486.1\,\mathrm{ms}$ à $1200\,\mathrm{m}$ ; de E vers O, $372.4\,\mathrm{ms}$ à $800\,\mathrm{m}$ et $486.1\,\mathrm{ms}$ à $1200\,\mathrm{m}$.

1. Calculer les deux vitesses apparentes. Quel tir est situé en amont du pendage ?
2. Calculer l’angle critique et le pendage du réfracteur.
3. Calculer la vitesse du réfracteur. De quelle roche s’agit-il ?
4. Calculer les temps d’interception et les profondeurs perpendiculaires du réfracteur sous O et sous E.
5. Convertir ces profondeurs en profondeurs verticales, puis vérifier le pendage à partir des deux profondeurs.
6. Les schistes sous la craie sont plus lents que la craie. Comment le dispositif de réfraction les interprète-t-il, et comment biaise-t-il les profondeurs ?

Partie II — Analyse de vitesse au CMP S. Plus à l’est, le CMP S se situe sur l’axe du synclinal, dans le compartiment abaissé de la faille, là où les couches sont considérées comme horizontales. Quatre réflexions sont pointées à déport nul et à $600\,\mathrm{m}$ :

réflexion	1	2	3	4
$t_0$ ($\mathrm{s}$)	0.4878	0.5748	0.6548	0.7348
$t(600\,\mathrm{m})$ ($\mathrm{s}$)	0.5437	0.6240	0.6887	0.7648

7. Calculer la vitesse NMO $V = x/\sqrt{t^2 - t_0^2}$ des réflexions 1 et 2. Pourquoi la seconde est-elle plus petite que la première ?
8. Calculer cette vitesse pour les réflexions 3 et 4.
9. En prenant ces valeurs pour des vitesses quadratiques moyennes, calculer la vitesse d’intervalle de chaque couche par l’équation de Dix.
10. Identifier les couches à partir de leurs vitesses, et nommer les quatre interfaces réflectrices.
11. La réflexion 1 est la plus faible sur les enregistrements. Pourquoi ?
12. Pourquoi les vitesses ont-elles été mesurées seulement sur les déports allant jusqu’à $600\,\mathrm{m}$ alors que le dispositif atteint $2\,\mathrm{km}$ ?

Partie III — Conversion en profondeur et résolution.

13. Calculer le temps double passé dans chaque couche, puis son épaisseur.
14. Calculer la profondeur de chaque interface réflectrice sous le sol. Comparer les épaisseurs des schistes, du calcaire et du grès avec les valeurs données plus haut.
15. Calculer la vitesse moyenne du sol jusqu’au socle, et expliquer pourquoi la vitesse NMO de la réflexion 4 surestimerait la profondeur si on l’utilisait à la place.
16. L’ondelette sismique de la campagne culmine à $30\,\mathrm{Hz}$. Calculer la longueur d’onde dans les schistes et leur épaisseur d’accord, à la fois par la règle du quart de longueur d’onde et par $b = v/(5.2f)$ pour une ondelette de Ricker. Les schistes sont-ils résolus ? À quelle fréquence mettrait-on les schistes en accord selon la règle du quart de longueur d’onde ?
17. Calculer le rayon de la première zone de Fresnel sur le socle, en prenant $\lambda$ à partir de la vitesse NMO de la réflexion 4.

Partie IV — Migration et faille.

18. Près de la faille, la coupure du calcaire produit une diffraction dont le sommet est à $0.550\,\mathrm{s}$ ; à $200\,\mathrm{m}$ du sommet, le long de la ligne elle se trouve à $0.5732\,\mathrm{s}$. Écrire le temps de diffraction à déport nul et en déduire la vitesse moyenne au-dessus de la coupure.
19. Calculer la profondeur de la coupure sous le sol.
20. Sur le flanc est, la réflexion du sommet du calcaire de la section sommée remonte vers l’anticlinal de $0.167\,\mathrm{s}$ de temps double par kilomètre, sous des roches de vitesse moyenne $2.48\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer son pendage apparent et son pendage réel.
21. Une réflexion sur ce flanc est enregistrée à $t = 0.655\,\mathrm{s}$. De combien, et dans quel sens, la migration la déplace-t-elle ?
22. À travers la faille, la réflexion du sommet du socle saute de $0.160\,\mathrm{s}$ ; le compartiment abaissé porte l’épaisseur supplémentaire de craie. Calculer le rejet vertical.
23. Donner la profondeur de la discordance du socle sous le CMP S, à partir des vitesses d’intervalle de la partie II.

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. Depuis O, $400/(486.1 - 425.2) = 400/0.0609 = 6568\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; depuis E, $400/(486.1 - 372.4) = 400/0.1137 = 3518\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. L’onde conique issue de O semble rapide : O est l’extrémité aval-pendage, et ses tirs remontent le pendage ; le réfracteur s’élève de O vers E.

2. $\arcsin(2400/3518) = 43.02{}^{\circ}$, $\arcsin(2400/6568) = 21.43{}^{\circ}$ : $i_c = 32.22{}^{\circ}$, $\theta = 10.79{}^{\circ}$.

3. $v_2 = 2400/\sin32.22{}^{\circ} = 4501\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : dans la plage du calcaire, le sommet du calcaire jurassique.

4. Les temps d’interception valent $t - x/v_{\text{app}}$ à $1200\,\mathrm{m}$ : $t_{i,W} = 0.4861 - 1200/6568 = 0.3034\,\mathrm{s}$ et $t_{i,E} = 0.4861 - 1200/3518 = 0.1450\,\mathrm{s}$. Avec $\cos i_c = 0.8460$, $h = v_1t_i/(2\cos i_c)$ : $h_W = 2400\times0.3034/1.692 = 430.4\,\mathrm{m}$ et $h_E = 205.7\,\mathrm{m}$.

5. En divisant par $\cos\theta = 0.9823$ : $438.1\,\mathrm{m}$ sous O et $209.4\,\mathrm{m}$ sous E. Alors $(438.1 - 209.4)/1200 = 0.1906 = \tan10.79{}^{\circ}$, le pendage de la question 2.

6. Le schiste ne renvoie aucune onde conique : il est invisible, et la campagne le compte avec la craie. Ici $v_1 = 2.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ était donnée comme la moyenne des deux ; si la vitesse de l’onde directe dans la craie, $2.50\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, avait été utilisée pour toute la couverture, chaque profondeur serait sortie trop grande.

7. $V = 600/\sqrt{0.5437^2 - 0.4878^2} = 600/0.2401 = 2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $V = 600/\sqrt{0.6240^2 - 0.5748^2} = 2471\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La seconde moyenne la craie avec le schiste, plus lent, situé dessous : la moyenne baisse.

8. $2811\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $2829\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. Couche 1 : $2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Couche 2 : $v^2 = (2471^2\times0.5748 - 2499^2\times0.4878)/0.0870$, $v = 2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Couche 3 : $v^2 = (2811^2\times0.6548 - 2471^2\times0.5748)/0.0800$, $v = 4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Couche 4 : $v^2 = (2829^2\times0.7348 - 2811^2\times0.6548)/0.0800$, $v = 2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

10. Craie ($2499\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), schiste ($2308\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), calcaire ($4561\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), grès ($2972\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$), chacun dans sa plage publiée. Les réflexions sont l’interface craie–schiste, le sommet du calcaire, l’interface calcaire–grès et la discordance au sommet du socle schisteux.

11. La craie et le schiste ont presque la même impédance : $R = 0.028$ (exercice 1), contre 0.38 pour le sommet du calcaire.

12. L’hyperbole de vitesse $V_{\text{rms}}$ ne tient qu’au second ordre en déport ; pour des déports de $2\,\mathrm{km}$, soit le double de la profondeur du réflecteur le plus profond, les temps s’en écartent, et une hyperbole ajustée sur tout le dispositif donnerait de fausses vitesses, et des intervalles de Dix encore pires. Les grands déports étirent aussi les ondelettes après correction.

13. Temps doubles dans les couches : $0.4878\,\mathrm{s}$, $0.0870\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$, $0.0800\,\mathrm{s}$. Épaisseurs $v\,\Delta t/2$ : $609.5\,\mathrm{m}$, $100.4\,\mathrm{m}$, $182.4\,\mathrm{m}$, $118.9\,\mathrm{m}$.

14. Profondeurs sous le sol : $609.5\,\mathrm{m}$, $709.9\,\mathrm{m}$, $892.3\,\mathrm{m}$, $1011.2\,\mathrm{m}$. Le schiste, le calcaire et le grès sortent à moins de $0.4\,\mathrm{m}$, $2.4\,\mathrm{m}$ et $1.1\,\mathrm{m}$ de leurs épaisseurs, l’erreur croissant dans le calcaire rapide et mince, où une petite erreur de temps coûte le plus.

15. $\bar v = 2\times1011.2/0.7348 = 2752\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La vitesse quadratique moyenne pondère chaque couche par $v^2$ et n’est jamais inférieure à la moyenne pondérée par le temps : $2829\times0.7348/2 = 1039\,\mathrm{m}$, soit $28\,\mathrm{m}$ de trop en profondeur.

16. $\lambda = 2308/30 = 76.9\,\mathrm{m}$, $\lambda/4 = 19.2\,\mathrm{m}$ ; l’estimation de Ricker donne $2308/(5.2\times30) = 14.8\,\mathrm{m}$. Le schiste fait $100\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, soit cinq fois son épaisseur d’accord : son sommet et sa base sont résolus. Il s’accorderait, selon la règle du quart de longueur d’onde, à $f = v/(4b) = 2308/400 = 5.77\,\mathrm{Hz}$.

17. $\lambda = 2829/30 = 94.3\,\mathrm{m}$, $z = 1011\,\mathrm{m}$ : $r_F \approx \sqrt{94.3\times1011/2} = 218\,\mathrm{m}$ ($220\,\mathrm{m}$ avec le terme $\lambda^2/16$).

18. $t(x)^2 = t_0^2 + (2x/v)^2$, donc $v = 2x/\sqrt{t^2 - t_0^2} = 400/\sqrt{0.5732^2 - 0.550^2} = 400/0.1614 = 2478\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$.

19. $z = vt_0/2 = 2478\times0.550/2 = 681\,\mathrm{m}$.

20. La profondeur tracée $vt/2$ varie de $1.24\times0.167 = 0.207$ par unité de longueur : $\theta_a = \arctan0.207 = 11.70{}^{\circ}$. Le vrai pendage vérifie $\sin\theta = 0.207$ : $\theta = 11.95{}^{\circ}$, le pendage du flanc.

21. $d = 2480\times0.655/2 = 812\,\mathrm{m}$ ; la migration déplace la réflexion de $d\sin\theta = 812\times0.207 = 168\,\mathrm{m}$ vers le haut du pendage, en direction de la crête de l’anticlinal, et la fait remonter de $812\,\mathrm{m}$ à $d\cos\theta = 795\,\mathrm{m}$.

22. $2500\times0.160/2 = 200\,\mathrm{m}$.

23. D’après les questions 13 et 14, la discordance de socle se trouve $1011\,\mathrm{m}$ sous le sol au point milieu commun S.