20Dynamique atmosphérique

Sur une carte hivernale de la haute troposphère, le courant-jet ne ceinture pas le pôle en un anneau régulier. Il serpente, en quelques grandes ondes autour de l’hémisphère, avec des creux descendant vers les subtropiques et des crêtes vers le pôle, et en surface naissent des dépressions qui croissent pendant quelques jours et meurent sous elles. Les ondes dérivent lentement, parfois à contre-courant du vent qui les porte. Leur nombre, leur vitesse et la croissance des tempêtes situées dessous découlent d’une même grandeur conservée, la vorticité de l’air vue depuis l’espace, et de l’énergie emmagasinée dans le contraste thermique entre les tropiques et les pôles.

Tu sais déjà

La vorticité et la circulation sont dans les volumes de physique. Les ondes de Rossby de la haute troposphère, les creux et les crêtes, le cyclone extratropical et le principe de la prévision numérique du temps sont décrits dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur les systèmes météorologiques. Les cellules de Hadley, de Ferrel et polaires, les courants-jets, les vents d’ouest et le vent de moment cinétique d’un anneau d’air sont dans le volume de première année, dans son chapitre sur la circulation générale de l’atmosphère, et le transport de chaleur vers les pôles, dans son chapitre sur le rayonnement et le transport de chaleur. Le paramètre de Coriolis $f$, le plan $\beta$, le rayon de Rossby et le vent thermique figurent au chapitre 19.

20.1 Vorticité

La vorticité d’un fluide, le rotationnel de sa vitesse, vaut deux fois sa vitesse angulaire locale. Pour l’atmosphère à grande échelle, seule sa composante verticale compte, et la rotation de la Terre y contribue.

Définition 20.1 (Vorticité relative, planétaire et absolue)

Pour une vitesse horizontale $(u, v)$, la vorticité relative est la composante verticale du rotationnel de la vitesse relative au sol, $\zeta = \partial v/\partial x - \partial u/\partial y$, positive pour une rotation antihoraire vue d’en haut. La vorticité planétaire est la composante verticale de la vorticité de la rotation terrestre, $2\Omega\sin\varphi = f$. La vorticité absolue est leur somme, $\zeta + f$.

Dans l’hémisphère Nord, une dépression, où l’air tourne dans le sens antihoraire, a $\zeta > 0$ et est dite cyclonique ; un anticyclone a $\zeta < 0$. Un vent de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tournant sur un cercle de $1000\,\mathrm{km}$ a $\zeta = 2V/R = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ en rotation solide, soit un tiers de $f$ à $45{}^{\circ}$ : la partie planétaire est en général la plus grande.

Théorème 20.2 (Équation de la vorticité barotrope)

Dans un écoulement non visqueux, bidimensionnel et sans divergence horizontale sur un plan $\beta$, la vorticité absolue de chaque particule est conservée :

$$\frac{\mathrm D(\zeta + f)}{\mathrm Dt} = 0 , \qquad\text{soit}\qquad \frac{\partial\zeta}{\partial t} + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} + \beta v = 0 .$$

C’est l’équation de la vorticité barotrope.

La démonstration donne aussi la loi générale, $\mathrm D(\zeta + f)/\mathrm Dt = -(\zeta + f)\delta$ : la convergence accélère la rotation d’une colonne, la divergence la freine, comme une patineuse qui rapproche les bras du corps ou les écarte. Dans une couche dont l’épaisseur varie, la convergence est liée à l’étirement de la colonne, et la grandeur conservée devient un rapport.

Définition 20.3 (Vorticité potentielle)

La vorticité potentielle d’une colonne d’une couche homogène d’épaisseur $h$ est $q = (\zeta + f)/h$. Dans un fluide continûment stratifié, la vorticité potentielle d’Ertel est $q = (\vec\omega_a\cdot \nabla\theta)/\rho$, avec $\vec\omega_a$ le vecteur de vorticité absolue et $\theta$ la température potentielle.

Théorème 20.4 (Conservation de la vorticité potentielle)

Dans une couche homogène, hydrostatique et non visqueuse, d’épaisseur variable $h$ dont la vitesse horizontale ne varie pas avec la hauteur, $\mathrm Dq/\mathrm Dt = 0$ pour $q = (\zeta + f)/h$.

La forme d’Ertel se conserve de la même façon lors d’un écoulement adiabatique et sans frottement d’un fluide stratifié, la distance entre deux surfaces à $\theta$ constant jouant le rôle de $h$. Une colonne d’air franchissant une chaîne de montagnes est comprimée lors de la montée : sa vorticité absolue diminue, elle tourne de façon anticyclonique au-dessus de la crête, puis elle s’étire et tourne cycloniquement sous le vent. La conservation de la vorticité absolue ou potentielle est le mécanisme de rappel des ondes de la section suivante, comme le montre la figure ci-dessous.

20.2 Ondes de Rossby

Le volume de deuxième année décrivait les ondes de Rossby de la haute troposphère. On les explique par l’équation de la vorticité barotrope. Écrivons l’écoulement comme un vent d’ouest uniforme $U$ plus une petite perturbation de fonction de courant $\psi'$, de sorte que $u' = -\partial\psi'/\partial y$, $v' = \partial\psi'/\partial x$ et $\zeta' = \nabla^2\psi'$.

Théorème 20.5 (Dispersion des ondes de Rossby)

De petites perturbations $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$ d’un vent d’ouest uniforme $U$ sur un plan $\beta$ obéissent à la relation de dispersion des ondes de Rossby

$$\omega = Uk - \frac{\beta k}{k^2 + l^2} .$$

Leur vitesse de phase vers l’est est $c = \omega/k = U - \beta/K^2$, avec $K^2 = k^2 + l^2$, et leur vitesse de groupe vers l’est $c_g = \partial\omega/\partial k = U + \beta(k^2 - l^2)/K^4$.

Par rapport à l’air, les ondes se déplacent toujours vers l’ouest, d’autant plus vite qu’elles sont longues. Un vent d’ouest entraîne vers l’est les ondes courtes ; les longues qu’il ne peut pas entraîner, et elles dérivent vers l’ouest, à contre-courant. Entre les deux, une longueur d’onde reste immobile.

Proposition 20.6 (Ondes de Rossby stationnaires)

Dans un vent d’ouest $U > 0$, une onde sans structure méridienne ($l = 0$) est stationnaire lorsque sa longueur d’onde est égale à la longueur d’onde stationnaire de Rossby $\lambda_s = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. Sur le cercle de latitude $\varphi$, cela correspond à un nombre entier d’ondes voisin de $n_s = \sqrt{2\Omega a\cos^3\varphi/U}$.

À $45{}^{\circ}$ N, dans un vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, avec $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, on a $\lambda_s = 6050\,\mathrm{km}$ et $n_s = 4.7$ : quatre ou cinq ondes font le tour de l’hémisphère. Avec le vent zonal moyen de janvier à $300\,\mathrm{hPa}$, d’environ $21\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $45{}^{\circ}$ N, $n_s$ vaut environ quatre de $35{}^{\circ}$ à $55{}^{\circ}$ N, et diminue vers le pôle. La vitesse de groupe d’une onde avec $l = 0$ dépasse sa vitesse de phase de $2\beta/k^2$ : l’énergie court en avant de l’onde, de sorte qu’une perturbation déclenchée en un lieu construit de nouveaux creux et crêtes en aval, quelques jours plus tard et des milliers de kilomètres plus à l’est, tandis que la configuration elle-même bouge à peine. Les chaînes de montagnes et les contrastes de température entre continents et océans forcent des ondes stationnaires de ce type, par l’étirement et la compression de la vorticité potentielle.

20.3 Instabilité barocline

Les ondes de la section précédente sont neutres : elles ne croissent ni ne décroissent. Les tempêtes des latitudes moyennes croissent, et puisent leur énergie dans le contraste de température qu’exprime le vent thermique.

Définition 20.7 (Énergie potentielle disponible)

L’énergie potentielle disponible d’un fluide stratifié est la différence entre son énergie potentielle totale (gravitationnelle et interne) et la plus petite énergie potentielle totale qu’il puisse atteindre par un réarrangement adiabatique de sa masse, c’est-à-dire l’état dans lequel les surfaces de température potentielle constante, ou de densité potentielle constante, sont horizontales.

Un fluide aux isentropes horizontales n’en possède aucune, quelle que soit l’énergie potentielle qu’il renferme ; un fluide dont les isentropes sont inclinées, chaudes et légères d’un côté, froides et denses de l’autre, peut en libérer une partie en les laissant s’affaisser. L’échange de deux particules le montre. Prenons une particule chaude basse du côté de l’équateur et une particule froide haute du côté du pôle, toutes deux sur la même isentrope dans une atmosphère stable dont les isentropes remontent vers le pôle. Les échanger le long de l’isentrope ne change rien. Les échanger le long d’un chemin moins pentu que l’isentrope fait monter la particule chaude vers le pôle et vers le haut, dans un air plus froid qu’elle, et faire descendre la particule froide vers l’équateur, dans un air plus chaud : la chaude monte, la froide descend, le centre de masse s’abaisse, et de l’énergie cinétique est libérée. Les trajets situés dans ce coin compris entre l’horizontale et les isentropes libèrent de l’énergie ; les tourbillons des latitudes moyennes sont de tels échanges, qui transportent la chaleur vers le pôle et vers le haut.

Définition 20.8 (Instabilité barocline)

L’instabilité barocline est l’instabilité d’un écoulement en rotation et stratifié, en équilibre de vent thermique, par laquelle les perturbations croissent en convertissant l’énergie potentielle disponible des isentropes inclinées en leur propre énergie cinétique.

Définition 20.9 (Modèle d’Eady)

Le modèle d’Eady est un fluide de Boussinesq sur un plan $f$ compris entre deux surfaces horizontales rigides en $z = 0$ et $z = H$, avec une fréquence de flottabilité uniforme $N$ et un vent d’ouest qui croît linéairement avec la hauteur, $U = \Lambda z$, en équilibre de vent thermique avec une décroissance uniforme de la température vers le pôle ; ses perturbations obéissent aux équations quasi-géostrophiques.

Théorème 20.10 (Taux de croissance d’Eady)

Dans le modèle d’Eady, les perturbations $\propto \mathrm e^{\mathrm ik(x - ct)}$ avec $\mu = kL_d$, $L_d = NH/f$, croissent exponentiellement lorsque $\mu < \mu_c = 2.40$, au taux

$$\sigma = \frac{f\Lambda}{N}\left[\left(\coth\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right)\left(\frac{\mu}{2} - \tanh\frac{\mu}{2}\right)\right]^{1/2} .$$

La perturbation qui croît le plus vite a $\mu = 1.61$, la longueur d’onde $2\pi L_d/1.61 \approx 3.9\,L_d$, et croît à $\sigma_{\max} = 0.31\,f\Lambda/N$.

Le taux de croissance ne dépend que du cisaillement et de la stratification, à travers $f\Lambda/N$, et la taille privilégiée seulement du rayon de Rossby. Pour la moyenne de janvier à $45{}^{\circ}$ N, le vent augmente de $17.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entre $850\,\mathrm{hPa}$ et $250\,\mathrm{hPa}$, à environ $8.9\,\mathrm{km}$ d’écart dans l’atmosphère standard, soit un cisaillement de $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; avec la stratification moyenne de la troposphère $N = 0.0113\,\mathrm{s}^{-1}$ et $H = 11\,\mathrm{km}$, on a $L_d = 1210\,\mathrm{km}$, la perturbation la plus rapide a une longueur d’onde de $4700\,\mathrm{km}$ et croît d’un facteur $e$ en $2.1$ jours. Les perturbations plus courtes que $3200\,\mathrm{km}$ ne croissent pas du tout. Ce sont là la taille et le temps de croissance des dépressions sur une carte météorologique.

Le cyclone extratropical du volume de deuxième année est la face de surface d’une onde barocline en croissance : son secteur chaud transporte l’air chaud vers les pôles et vers le haut, l’air froid qui le suit glisse vers l’équateur et descend, et le talweg en altitude s’incline vers l’ouest avec la hauteur, comme l’exige la libération de l’énergie potentielle disponible.

20.4 La circulation générale

La circulation générale se décrit en moyennant le long des cercles de latitude, et ce que la moyenne laisse de côté compte autant que ce qu’elle conserve.

Définition 20.11 (Moyenne zonale et tourbillons)

La moyenne zonale d’une grandeur $A$ est sa moyenne le long d’un cercle de latitude, à altitude ou à pression fixée, $[A] = (1/2\pi)\int_0^{2\pi} A\,\mathrm d\lambda$. L’écart $A^* = A - [A]$ est sa partie tourbillonnaire ; un tourbillon de l’atmosphère est tout écart de l’écoulement à sa moyenne zonale : ondes progressives, ondes stationnaires, cyclones et anticyclones.

La moyenne zonale d’un produit se scinde en deux : $[vT] = [v][T] + [v^*T^*]$. Le premier terme est le transport par la circulation méridienne moyenne, les cellules du volume de première année ; le second est le transport par les tourbillons. Aux latitudes moyennes, le vent méridien moyen est faible et le terme tourbillonnaire domine : l’air qui se dirige vers le pôle est plus chaud que celui qui se dirige vers l’équateur à la même latitude, comme sur la figure ci-dessous, et $[v^*T^*] > 0$. Les tourbillons transportent aussi du moment d’ouest, $[u^*v^*]$, depuis les subtropiques vers les latitudes du courant-jet, ce qui explique que le courant-jet et les vents d’ouest au sol sont entretenus contre le frottement. La cellule de Ferrel du volume de première année est la circulation méridienne moyenne que ce transport tourbillonnaire force.

Dans les tropiques, les tourbillons sont faibles et la circulation moyenne transporte la chaleur vers le pôle : la cellule de Hadley. Le volume de première année a établi que l’air quittant l’équateur au repos et conservant son moment cinétique soufflerait à des centaines de mètres par seconde à $40{}^{\circ}$, et laissait en suspens la raison pour laquelle la cellule s’arrête près de $30{}^{\circ}$. Un modèle simple apporte la réponse.

Définition 20.12 (Moment cinétique atmosphérique ; modèle de Held–Hou)

Le moment cinétique atmosphérique par unité de masse autour de l’axe de la Terre est $M = (\Omega a\cos\varphi + u)\,a\cos\varphi$, pour un vent $u$ positif vers l’est à la latitude $\varphi$. Le modèle de Held–Hou de la cellule de Hadley est une circulation axisymétrique et stationnaire d’une atmosphère sèche de Boussinesq d’épaisseur $H$, chauffée par rappel vers une température potentielle d’équilibre radiatif $\theta_E/\theta_0 = 1 + \Delta/3 - \Delta\sin^2\varphi$ ; sa branche supérieure conserve $M$, sa branche inférieure ayant un vent négligeable, et l’écoulement obéit à l’équilibre du vent thermique.

Théorème 20.13 (Étendue de la cellule de Hadley)

Dans la limite des petits angles, la cellule de Held–Hou atteint la latitude

$$\varphi_H = \left(\frac{5\,gH\Delta}{3\,\Omega^2a^2}\right)^{1/2}$$

dans chaque hémisphère, et le vent de sa branche supérieure vaut $u_M = \Omega a\varphi^2$.

La cellule s’arrête là où la température imposée par la conservation du moment cinétique rencontre l’équilibre radiatif ; au-delà, l’atmosphère devrait être plus froide que ne l’impose le rayonnement. Le modèle comporte deux paramètres qui ne sont pas observés directement. Pour $H = 15\,\mathrm{km}$ et $\Delta$ compris entre $1/6$ et $1/3$, choisi à titre d’illustration, $\varphi_H$ vaut $25{}^{\circ}$ à $35{}^{\circ}$. Les cellules observées, lues sur le vent méridien en moyenne zonale, s’arrêtent à $33.3{}^{\circ}$ N et $32.5{}^{\circ}$ S en moyenne annuelle, et les cellules d’hiver, les plus intenses, à $30.8{}^{\circ}$ N en décembre–février et $29.1{}^{\circ}$ S en juin–août. La loi d’échelle est le point clé : une cellule s’élargit avec une troposphère plus épaisse et un contraste de chauffage plus fort, et se resserre sur une planète tournant plus vite. Le vent supérieur du modèle, $u_M = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à son bord pour $\Delta = 1/6$, soit le double du courant-jet observé : les tourbillons évacuent l’excédent.

Histoire des sciences — Des ondes longues à la première prévision numérique du temps

En 1939, C.-G. Rossby et ses collaborateurs, dans le Journal of Marine Research, entreprennent d’interpréter plusieurs phénomènes apparemment indépendants de la météorologie selon un point de vue unique. Motivé par des configurations météorologiques qui remontent le courant contre l’écoulement d’ouest dominant, Rossby établit une théorie linéarisée dans laquelle les perturbations à grande échelle tendent à se déplacer vers l’ouest, et les plus petites vers l’est, par rapport au vent : ce sont les ondes et le $\beta$-plan de ce chapitre. Onze ans plus tard, J. G. Charney, R. Fjørtoft et J. von Neumann intègrent l’équation de la vorticité barotrope numériquement sur l’ordinateur électronique ENIAC : quatre prévisions de 24 heures au niveau $500\,\mathrm{mb}$, sur une grille de $736\,\mathrm{km}$, de 8 degrés de longitude à $45{}^{\circ}$. Le calcul de chaque prévision prend environ 24 heures : ils parviennent, comme ils l’écrivent, tout juste à suivre le temps qui passe.

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

(a) Calculer la vorticité relative d’un tourbillon en rotation solide qui tourne une fois par jour. (b) Calculer la vorticité planétaire à $30{}^{\circ}$ et $60{}^{\circ}$ N ($\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) et comparer.

Solution

Solution de Exercice 20.1.

(a) $\zeta = 2\omega = 2\times2\pi/86\,400 = 1.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $f = 7.29 \times 10^{-5}$ et $1.26 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ : le tourbillon a environ deux fois la vorticité planétaire à $30{}^{\circ}$ N et un peu plus que celle à $60{}^{\circ}$ N.

Exercice 20.2 ★

Une parcelle sans vorticité relative à $30{}^{\circ}$ N se déplace jusqu’à $40{}^{\circ}$ N dans un écoulement sans divergence. Calculer sa vorticité relative à cette latitude. Est-elle cyclonique ou anticyclonique ?

Solution

Solution de Exercice 20.2.

$\zeta = f_{30} - f_{40} = 7.29 \times 10^{-5} - 9.37 \times 10^{-5} = -2.08 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : anticyclonique.

Exercice 20.3 ★

À $45{}^{\circ}$ N, sans vent moyen, calculer la vitesse de phase d’une onde de Rossby de longueur d’onde $5000\,\mathrm{km}$ avec $l = 0$. Dans quel sens se déplace-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 20.3.

$k = 2\pi/(5\times10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$; $c = -\beta/k^2 = -1.62 \times 10^{-11}/1.58 \times 10^{-12} = -10.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : vers l’ouest.

Exercice 20.4 ★

À $60{}^{\circ}$ N, dans un vent d’ouest de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calculer $\beta$, la longueur d’onde stationnaire et le nombre d’ondes stationnaires autour du cercle de latitude ($a = 6371\,\mathrm{km}$).

Solution

Solution de Exercice 20.4.

$\beta = 2\Omega\cos60{}^{\circ}/a = 1.14 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\lambda_s = 2\pi\sqrt{10/1.14 \times 10^{-11}} = 5870\,\mathrm{km}$ ; le cercle, $20\,015\,\mathrm{km}$, contient $n_s = 3.4$ ondes.

Exercice 20.5 ★★

Une colonne d’air de $10\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, sans vorticité relative à $45{}^{\circ}$ N, franchit une chaîne de montagnes qui la comprime à $8\,\mathrm{km}$, puis un bassin où elle atteint $12\,\mathrm{km}$ d’épaisseur. En supposant qu’elle reste près de $45{}^{\circ}$ N, calculer sa vorticité relative au-dessus de la chaîne et au-dessus du bassin. Où les dépressions auront-elles tendance à se former ?

Solution

Solution de Exercice 20.5.

$q = f/h$ se conserve : sur la chaîne, $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, anticyclonique ; sur le bassin, $f(12/10) - f = +2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, cyclonique. Là où les colonnes s’étirent, à l’aval de la chaîne et sur le bassin, une vorticité cyclonique se crée : c’est là que les dépressions ont tendance à se former.

Exercice 20.6 ★★

Pour l’onde à cinq crêtes autour du cercle à $45{}^{\circ}$ N ($l = 0$) dans un vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Combien de temps met l’énergie de l’onde pour parcourir $5000\,\mathrm{km}$ vers l’est, et combien de temps met la configuration ?

Solution

Solution de Exercice 20.6.

$k = 5/(a\cos45{}^{\circ}) = 1.11 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 13.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $c = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_g = 28.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. L’énergie parcourt $5000\,\mathrm{km}$ en $2.1$ jours, la figure d’onde en $31$ jours.

Exercice 20.7 ★★

À $45{}^{\circ}$ N, dans un vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, une onde est confinée entre des latitudes telles que $l = \pi/(6000\,\mathrm{km})$. (a) Calculer son nombre d’onde zonal stationnaire et sa longueur d’onde. (b) Montrer qu’aucune onde stationnaire n’existe pour $l = \pi/(3000\,\mathrm{km})$.

Solution

Solution de Exercice 20.7.

(a) $k^2 = \beta/U - l^2 = 1.079 \times 10^{-12} - 2.74 \times 10^{-13} = 8.05 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{-2}$, $k = 8.97 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $\lambda = 7000\,\mathrm{km}$ et $n = 4.0$, moins d’ondes que pour $l = 0$. (b) $l^2 = 1.097 \times 10^{-12} > \beta/U = 1.079 \times 10^{-12}$ : $k^2$ serait négatif.

Exercice 20.8 ★★

Dans un modèle d’Eady à $45{}^{\circ}$ N, $\Lambda = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $N = 0.012\,\mathrm{s}^{-1}$ et $H = 10\,\mathrm{km}$. Calculer $L_d$, le taux de croissance et le temps d’amplification ($e$-folding) de la perturbation la plus rapide, ainsi que sa longueur d’onde.

Solution

Solution de Exercice 20.8.

$L_d = 0.012\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1164\,\mathrm{km}$; $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2 \times 10^{-3}/0.012 = 5.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit un temps de repliement en $e$ de $2.2$ jours ; longueur d’onde $2\pi\times1164/1.61 = 4540\,\mathrm{km}$.

Exercice 20.9 ★★

Le long d’un cercle de latitude, le vent méridien tourbillonnaire vaut $v^* = V\cos kx$ et le température tourbillonnaire $T^* = T_0\cos(kx - \delta)$, avec $V = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $T_0 = 5\,\mathrm{K}$. Calculer $[v^*T^*]$ pour $\delta = 0$, $60{}^{\circ}$ et $90{}^{\circ}$, puis le flux de chaleur correspondant $\rho c_p[v^*T^*]$ par $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ d’air ($c_p = 1004\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$). Quel arrangement ne transporte aucune chaleur ?

Solution

Solution de Exercice 20.9.

$[v^*T^*] = (VT_0/2)\cos\delta$ : $25\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $12.5\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et 0 ; flux de chaleur $25\,100$, $12\,600$ et $0\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Quand la température est décalée d’un quart de longueur d’onde par rapport au vent, autant d’air chaud part vers le sud que vers le nord : pas de transport.

Exercice 20.10 ★★★

À partir de l’équation de la vorticité barotrope, établir la relation de dispersion des ondes de Rossby dans un vent d’ouest uniforme, et montrer que, par rapport à l’air, toute onde de Rossby se déplace vers l’ouest.

Solution

Solution de Exercice 20.10.

En linéarisant autour de $U$ avec $\zeta' = \nabla^2\psi'$ et $v' = \partial_x\psi'$ : $(\partial_t + U\partial_x)\nabla^2\psi' + \beta\partial_x \psi' = 0$. Avec $\psi' \propto \mathrm e^{\mathrm i(kx + ly - \omega t)}$, $(\omega - Uk)K^2 = -\beta k$, donc $\omega = Uk - \beta k/K^2$. Par rapport à l’air, la vitesse de phase vaut $c - U = -\beta/K^2 < 0$ pour toute onde.

Exercice 20.11 ★★★

Dans le modèle de Held–Hou, prendre $H = 12\,\mathrm{km}$ et $\Delta = 1/4$. Calculer $\varphi_H$, le vent $u_M$ à petit angle au bord et le vent exact de moment cinétique à cet endroit, et comparer avec le courant-jet subtropical de $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la moyenne zonale de janvier.

Solution

Solution de Exercice 20.11.

$\varphi_H = [5\times9.81\times12\,000\times0.25/(3\times(7.292 \times 10^{-5})^2 \times(6.371 \times 10^{6})^2)]^{1/2} = 0.477\,\mathrm{rad}$, $27.3{}^{\circ}$. $u_M = \Omega a\varphi_H^2 = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; exactement, $\Omega a\sin^2 \varphi_H/\cos\varphi_H = 110\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : deux fois et demie le courant-jet observé.

Exercice 20.12 ★★★

Deux couches d’air diffèrent de $10\,\mathrm{K}$ en température potentielle, autour de $300\,\mathrm{K}$ ; leur interface remonte vers le pôle avec la pente $s$ sur une bande large de $4000\,\mathrm{km}$, et $\rho = 0.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Montrer que laisser l’interface s’aplanir libère $\rho g' s^2L^2/24$ par unité de surface, avec $g' = g\,\Delta\theta/\theta$. (b) Calculer cette quantité pour $s = 10^{-3}$ et $2\times10^{-3}$ et la comparer à l’énergie cinétique d’un vent de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ traversant $10\,\mathrm{km}$ du même air.

Solution

Solution de Exercice 20.12.

(a) À travers la bande, l’interface est déplacée de $\eta = sy$, $-L/2 \le y \le L/2$, par rapport à sa position horizontale. Une couche à contraste de densité réduit déplacée de $\eta$ emmagasine $\tfrac12\rho g'\eta^2$ par unité de surface ; moyennée sur la bande, $\langle\eta^2\rangle = s^2L^2/12$. (b) $g' = 0.327$ : $1.5 \times 10^{5}$ et $6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$, contre $\tfrac12\times0.7\times15^2 \times10^4 = 7.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}$ d’énergie cinétique : comparables.

20.6 Problème : L’onde qui resta immobile

Problème 20.1

Problème du week-end — vorticité, ondes de Rossby et croissance d’une onde barocline à $45{}^{\circ}$ N

Un courant d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ traverse les latitudes moyennes d’un continent fictif, le long de $45{}^{\circ}$ N. Prendre $\Omega = 7.292\,115 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$ et $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Toutes les valeurs de l’écoulement sont fictives.

Partie I — Une parcelle déplacée.

1. Une parcelle sans vorticité relative à $45{}^{\circ}$ N est poussée vers $50{}^{\circ}$ N. Calculer $f$ aux deux latitudes ainsi que sa vorticité relative à $50{}^{\circ}$ N, si l’écoulement n’a pas de divergence.
2. Se déplaçant à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, selon quel rayon de courbure elle tourne (prendre $\zeta = -V/R$, toute la vorticité provenant de la courbure) ? Dans quel sens tourne-t-elle ?
3. Si sa colonne se contracte aussi de $10.0\,\mathrm{km}$ à $9.5\,\mathrm{km}$ au cours du déplacement, quelle est sa vorticité relative à $50{}^{\circ}$ N ?
4. Poussée au contraire vers $40{}^{\circ}$ N, sans divergence, quelle vorticité relative acquiert-elle ? Expliquer pourquoi une parcelle écartée de sa latitude oscille autour de cette latitude.

Partie II — Ondes progressives.

5. Calculer $\beta$ à $45{}^{\circ}$ N et la longueur du cercle de latitude.
6. Pour $n = 3$ à 8 ondes faisant le tour du cercle ($l = 0$), calculer la longueur d’onde, la vitesse de phase et la vitesse de groupe dans le vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
7. Quelles ondes se déplacent vers l’ouest, lesquelles vers l’est ? Combien de jours l’onde $n = 5$ met-elle pour parcourir $1000\,\mathrm{km}$ ?
8. Une dorsale à l’ouest du continent s’intensifie. Où, et au bout de combien de temps l’effet de l’onde $n = 6$ atteindra-t-il $5000\,\mathrm{km}$ en aval ?

Partie III — L’onde qui resta immobile.

9. Calculer la longueur d’onde stationnaire et le nombre d’onde stationnaire à $45{}^{\circ}$ N.
10. Calculer le nombre d’onde stationnaire pour des vents d’ouest de 10 et $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Que deviennent les ondes stationnaires lorsque les vents d’ouest se renforcent en hiver ?
11. Calculer le nombre d’onde stationnaire à $35{}^{\circ}$ N et $55{}^{\circ}$ N dans le vent d’ouest de $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
12. Les montagnes de l’ouest du continent s’élèvent de $2\,\mathrm{km}$ dans une troposphère profonde de $10\,\mathrm{km}$. Calculer la vorticité relative d’une colonne qui les traverse sans changer de latitude. Pourquoi les montagnes forcent-elles des ondes stationnaires ?
13. Pourquoi la configuration d’onde forcée par les montagnes ne reste immobile que lorsque sa longueur d’onde est proche de $\lambda_s$ ?

Partie IV — Une tempête se développe.

14. Le vent d’ouest augmente du sol jusqu’à $10\,\mathrm{km}$ d’altitude, de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calculer le cisaillement $\Lambda$ et le gradient de température vers le pôle qu’il implique par le vent thermique, à une température moyenne de $250\,\mathrm{K}$.
15. Avec $N = 0.011\,\mathrm{s}^{-1}$, calculer le nombre de Richardson $N^2/\Lambda^2$. L’écoulement est-il instable à la turbulence de cisaillement à petite échelle ?
16. Calculer le rayon de Rossby $L_d$ pour $H = 10\,\mathrm{km}$.
17. Calculer la longueur d’onde de la perturbation d’Eady la plus rapidement croissante et le nombre de ces ondes faisant le tour du cercle de latitude.
18. Calculer la plus courte longueur d’onde qui croît.
19. Calculer le taux de croissance $\sigma_{\max}$.
20. De quel facteur la perturbation croît-elle en trois jours ?
21. Comparer la longueur d’onde de la tempête en croissance à la longueur d’onde stationnaire de la partie III : laquelle est la plus grande, et qu’implique cela pour le mouvement des tempêtes par rapport aux ondes stationnaires ?
22. Dans quel sens le creux de l’onde en croissance s’incline-t-il avec l’altitude, et pourquoi doit-il le faire ?
23. Donner le temps d’$e$-folding de la perturbation d’Eady la plus rapidement croissante.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. $f_{45} = 1.031 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f_{50} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\zeta = f_{45} - f_{50} = -8.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$.

2. $R = V/|\zeta| = 15/8.6 \times 10^{-6} = 1750\,\mathrm{km}$ ; sens horaire, en revenant vers le sud.

3. $\zeta = f_{45}(9.5/10) - f_{50} = -1.38 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, plus anticyclonique.

4. $\zeta = f_{45} - f_{40} = +9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, cyclonique : elle revient vers le nord. Écartée dans un sens ou dans l’autre, la particule acquiert la vorticité qui la ramène : un effet de rappel, et une oscillation.

5. $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; le cercle a une longueur de $28\,306\,\mathrm{km}$ long.

6. $n = 3$ à 8 : longueurs d’onde 9435, 7076, 5661, 4718, 4044 et $3538\,\mathrm{km}$ ; $c = -21.5$, $-5.5$, 1.9, 5.9, 8.3 et $9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $c_g = 51.5$, 35.5, 28.1, 24.1, 21.7 et $20.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

7. $n = 3$ et 4 se déplacent vers l’ouest, $n \ge 5$ vers l’est. L’onde $n = 5$ met $10^6/1.86 = 5.4 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$, soit $6.2$ jours, à parcourir $1000\,\mathrm{km}$.

8. À l’aval, vers l’est : à $c_g = 24.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, l’énergie parcourt $5000\,\mathrm{km}$ en $2.4$ jours.

9. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{15/1.62 \times 10^{-11}} = 6050\,\mathrm{km}$, $n_s = 4.7$.

10. $n_s = 5.7$ pour $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et 4.1 pour $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : un vent d’ouest plus fort favorise des ondes stationnaires plus longues, donc moins nombreuses autour de l’hémisphère.

11. $n_s = 5.8$ à $35{}^{\circ}$ N et 3.4 à $55{}^{\circ}$ N.

12. $\zeta = f(8/10) - f = -2.06 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ : la compression au-dessus des montagnes rend la colonne anticyclonique, tandis que l’étirement sous le vent la rend cyclonique. Les montagnes imposent au courant une configuration fixe de vorticité, un forçage qui ne se déplace pas.

13. Un forçage fixe produit une réponse stationnaire ; la réponse est la plus forte lorsque la configuration forcée est elle-même une onde libre qui resterait immobile, c’est-à-dire la résonance à $\lambda_s$.

14. $\Lambda = 25/10^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $|\partial T/\partial y| = \Lambda fT/g = 2.5 \times 10^{-3}\times1.031 \times 10^{-4} \times250/9.81 = 6.6\,\mathrm{K}$ par $1000\,\mathrm{km}$.

15. $\mathrm{Ri} = 0.011^2/(2.5 \times 10^{-3})^2 = 19$ : bien au-dessus de 0.25, pas de turbulence de cisaillement.

16. $L_d = 0.011\times10^4/1.031 \times 10^{-4} = 1067\,\mathrm{km}$.

17. $2\pi\times1067/1.61 = 4160\,\mathrm{km}$; $28306/4160 = 6.8$ ondes.

18. $2\pi\times1067/2.40 = 2790\,\mathrm{km}$.

19. $\sigma = 0.31\times1.031 \times 10^{-4}\times2.5 \times 10^{-3}/0.011 = 7.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$, $0.63\,\mathrm{jour}^{-1}$.

20. $\exp(3\times0.627) = 6.6$.

21. La tempête, de $4160\,\mathrm{km}$, est plus courte que la longueur d’onde stationnaire, $6050\,\mathrm{km}$ : en tant qu’onde de Rossby, elle est entraînée vers l’est par le vent d’ouest, et les tempêtes se déplacent vers l’est à travers les ondes longues plus lentes ou immobiles.

22. Vers l’ouest avec l’altitude : ce n’est qu’à cette condition que l’air qui se dirige vers le pôle est plus chaud que celui qui se dirige vers l’équateur, de sorte que la chaleur est transportée vers le pôle et que l’énergie potentielle disponible est libérée.

23. La perturbation la plus rapide croît d’un facteur $e$ tous les $1.6\,\mathrm{jours}$ ($1.59$ jours selon le calcul).