28Exoplanètes

À l’automne 1994, deux astronomes mesurant les vitesses de 142 étoiles constatent que l’une d’entre elles, 51 Pegasi, se rapprochait de nous et s’éloignait de nous avec une période d’environ quatre jours. La demi-amplitude du mouvement était $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit quatre fois ce que leur spectrographe pouvait détecter. Le compagnon qui entraînait l’étoile dans son mouvement avait au moins la moitié de la masse de Jupiter, sur une orbite de $0.05\,\mathrm{au}$, huit fois plus proche de son étoile que Mercure ne l’est du Soleil. Aucune théorie de formation planétaire n’avait de place pour un tel corps. La découverte, annoncée en octobre 1995, ouvrit un nouveau champ de l’astronomie : trois décennies plus tard, plus de six mille planètes autour d’autres étoiles sont confirmées, quelques-unes ont été observées directement, et l’atmosphère de certaines a été analysée. Ce chapitre montre comment repérer des planètes trop faibles pour être vues, ce qui a été trouvé et comment on lit leurs atmosphères.

Tu sais déjà

L’effet Doppler, la vitesse radiale, les binaires spectroscopiques, les lois de Kepler, le problème à deux corps et son centre de masse, la loi de Planck et la hauteur d’échelle d’une atmosphère isotherme figurent dans les volumes de physique. Une exoplanète et la zone habitable d’une étoile figurent dans les manuels scolaires. Le flux et la luminosité d’une source figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur les télescopes et la photométrie ; la température d’équilibre, dans son chapitre sur la planétologie comparée. La formation planétaire et la ligne des glaces figurent dans le volume de deuxième année. L’échappement de Jeans et l’échappement hydrodynamique et les limites de la zone habitable figurent dans ce volume, dans son chapitre sur les atmosphères planétaires.

28.1 La méthode des vitesses radiales

Une planète ne gravite pas autour de son étoile : les deux corps tournent autour de leur centre de masse commun. L’étoile, bien plus lourde, décrit une petite orbite qui lui est propre, et sa lumière est alternativement décalée vers le rouge et vers le bleu, avec la période de la planète.

Définition 28.1 (Méthode des vitesses radiales ; masse minimale)

La méthode des vitesses radiales détecte une planète par la variation périodique de la vitesse radiale de son étoile, mesurée à partir du décalage Doppler des raies du spectre de l’étoile. Lorsque l’inclinaison $i$ de l’orbite par rapport au plan du ciel est inconnue, elle ne mesure que le produit $m_p\sin i$ de la masse de la planète par le sinus de l’inclinaison, soit la masse minimale de la planète.

Théorème 28.2 (Demi-amplitude de la vitesse radiale)

Une étoile de masse $M_\star$ et une planète de masse $m_p$ sur une orbite circulaire de période $P$ et d’inclinaison $i$, donnent à l’étoile une vitesse radiale $v_r(t) = \gamma + K\cos\bigl(2\pi(t - t_0)/P\bigr)$, avec $\gamma$ la vitesse du centre de masse et la demi-amplitude

$$K = \left(\frac{2\pi G}{P}\right)^{1/3} \frac{m_p\sin i}{(M_\star + m_p)^{2/3}} .$$

Sur une orbite d’excentricité $e$, la courbe n’est plus une sinusoïde, $v_r = \gamma + K\bigl[\cos(\nu + \omega) + e\cos\omega\bigr]$, avec $\nu$ l’anomalie vraie et $\omega$ l’argument du périastre, et $K$ est divisé par $\sqrt{1 - e^2}$.

Puisque la planète est beaucoup plus légère que son étoile, $K$ fixe $m_p\sin i$ dès que la période est mesurée et que la masse de l’étoile est connue par son spectre. Pour 51 Pegasi b, $K = 59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $P = 4.23\,\mathrm{d}$ autour d’une étoile d’une masse solaire donnent $m_p\sin i = 0.47$ masses jupitériennes. Jupiter fait varier la vitesse du Soleil de $12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ sur son orbite de $4331$ jours : un observateur lointain verrait la vitesse du Soleil osciller d’environ $\pm 13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ sur douze ans. La Terre fait varier la vitesse du Soleil de $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. Le spectrographe qui a découvert 51 Pegasi b atteignait $13\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; ses successeurs atteignent environ $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (soit une allure de marche de $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$), et le plus récent est conçu pour environ $10\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$, de quoi détecter une planète de masse terrestre dans la zone habitable d’une étoile de faible masse, où l’orbite de la planète est courte et où l’étoile est peu massive. L’étoile elle-même impose une limite inférieure : les pulsations et les taches de sa surface, entraînées par sa rotation, décalent elles aussi ses raies, et le signal d’une planète doit pouvoir être séparé de ces effets.

28.2 Transits

Si l’orbite est vue presque de côté, la planète passe devant son étoile une fois par orbite et masque une petite partie de son disque.

Définition 28.3 (Méthode des transits ; profondeur de transit ; paramètre d’impact)

La méthode des transits détecte une planète par l’affaiblissement périodique de son étoile lorsque la planète traverse le disque stellaire. La profondeur de transit $\delta$ est la baisse relative du flux de l’étoile pendant le transit. Le paramètre d’impact $b = a\cos i/R_\star$ est la plus petite distance entre les centres de la planète et de l’étoile, vus sur le ciel, exprimée en rayons stellaires $R_\star$, pour une orbite de rayon $a$ et d’inclinaison $i$.

Proposition 28.4 (Profondeur de transit)

Une planète sombre de rayon $R_p$ entièrement devant une étoile d’éclat uniforme donne la profondeur $\delta = (R_p/R_\star)^2$.

Jupiter devant le Soleil réduirait son éclat de $1.06\,\%$, la Terre de $84$ parties par million : la première est à la portée d’un petit télescope, la seconde demande un télescope spatial qui mesure des milliers d’étoiles pendant des années. Le disque stellaire n’est pourtant pas uniforme.

Définition 28.5 (Assombrissement centre-bord)

L’assombrissement centre-bord est la diminution de la luminosité de surface d’une étoile, du centre de son disque à son bord, le « limbe ». Près du bord, la ligne de visée traverse obliquement l’atmosphère de l’étoile et atteint la profondeur optique unité dans des couches plus hautes et plus froides, qui émettent moins. On l’écrit souvent comme une loi quadratique en $\mu = \cos\theta = \sqrt{1 - r^2}$, où $r$ désigne la distance au centre du disque, exprimée en rayons stellaires : $I(\mu)/I(1) = 1 - u_1(1 - \mu) - u_2(1 - \mu)^2$.

Une planète proche du centre d’un disque à assombrissement centre-bord masque une lumière plus vive que la moyenne et creuse davantage le transit ; près du bord, elle masque moins. Le fond de la courbe de lumière est arrondi, et ses bords s’adoucissent. La durée d’un transit porte la géométrie.

Théorème 28.6 (Durée du transit)

Pour une orbite circulaire de période $P$, de rayon $a$ et d’inclinaison $i$, avec $p = R_p/R_\star$ et paramètre d’impact $b$, le temps écoulé entre le premier contact et le dernier vaut

$$T_{14} = \frac{P}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{R_\star}{a}\, \frac{\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}}{\sin i}\right),$$

et le temps entre le deuxième et le troisième contact, lorsque la planète est entièrement à l’intérieur du disque, $T_{23}$, est donné par la même formule, avec $1 - p$ à la place de $1 + p$.

Pour une orbite large, l’arcsinus se réduit à son argument : $T_{14} \approx (P/\pi) (R_\star/a)\sqrt{(1 + p)^2 - b^2}$. Un transit central dure le plus longtemps ; un transit rasant, avec $b$ proche de $1 + p$, est court et en forme de V. La mesure de $T_{14}$ et de $T_{23}$ sur une courbe de lumière donne $b$ et $a/R_\star$, donc l’inclinaison : le transit lève l’indétermination sur $\sin i$ que la vitesse radiale laisse inconnue.

Proposition 28.7 (Probabilité de transit)

Une planète sur une orbite circulaire de rayon $a$, orientée au hasard, transite devant son étoile (avec $b < 1$) avec la probabilité $R_\star/a$.

Un observateur lointain verrait la Terre transiter devant le Soleil avec une probabilité de $0.47\,\%$, Jupiter avec $0.09\,\%$. Un relevé de transits ne voit qu’une petite fraction des planètes autour des étoiles qu’il observe, et surtout les planètes les plus proches de leur étoile.

Chaque méthode, prise isolément, laisse quelque chose de côté. La vitesse radiale donne $m_p\sin i$ ; le transit donne $R_p/R_\star$ et $i$. Ensemble, elles donnent la masse vraie et le rayon, donc la masse volumique moyenne $\bar\rho = 3m_p/4\pi R_p^3$, premier indice sur la composition d’une planète. Les premiers transits, signalés au début de l’an 2000, furent ceux d’une planète déjà connue par la vitesse de son étoile, HD 209458 b. Ses deux transits révélèrent l’assombrissement centre-bord de l’étoile et donnèrent un rayon égal à 1.27 fois celui de Jupiter pour une inclinaison de $87.1{}^{\circ}$. Avec la masse et le rayon des archives, sa masse volumique moyenne vaut $0.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, soit un tiers de celle de l’eau : une géante gazeuse gonflée par la chaleur de son étoile.

Une planète en transit conserve la mesure du temps. Si une seconde planète exerce sur elle une attraction, ses transits surviennent en avance ou en retard selon un motif qui se répète avec l’interaction gravitationnelle.

Définition 28.8 (Variation du temps de transit)

Une variation du temps de transit est l’écart des instants de transit d’une planète par rapport à une suite strictement périodique, causé par l’attraction gravitationnelle d’un autre corps du système ; elle peut révéler, et peser, des planètes qui ne transitent pas elles-mêmes.

Un creux dans une courbe de lumière n’est pas toujours une planète. Un couple d’étoiles en éclipse qui ne fait que frôler, ou un faible couple en éclipse situé derrière la cible dont la lumière est diluée par celle de la cible, peut imiter un transit. Un candidat devient une planète lorsque sa masse est mesurée, par vitesse radiale ou par variations de temps, ou lorsque toutes les autres explications ont été écartées.

28.3 Imagerie et microlentille

Définition 28.9 (Imagerie directe ; coronographe)

L’imagerie directe détecte une planète grâce à sa propre lumière, réfléchie ou émise, séparée sur le ciel de la lumière de son étoile. Un coronographe est un instrument qui bloque la lumière de l’étoile au foyer du télescope, à l’aide d’un masque ou par interférence de la lumière, de sorte que des sources faibles proches de l’étoile puissent être vues.

La difficulté est double. Une orbite de $1\,\mathrm{au}$ vue depuis $10\,\mathrm{pc}$ ne couvre que $0.1{}^{\prime\prime}$, et la planète est de nombreux ordres de grandeur moins lumineuse que son étoile. Les jeunes planètes géantes sont les cibles les plus faciles : encore chaudes de leur formation, elles brillent dans l’infrarouge, où le contraste avec leur étoile est le plus faible. En 2008, des images prises avec deux grands télescopes montrèrent trois planètes autour de l’étoile HR 8799, à des séparations projetées de 24, 38 et $68\,\mathrm{au}$, se déplaçant dans le sens antihoraire d’une année à l’autre ; leur faible luminosité et l’âge du système leur donnent entre 5 et 13 masses de Jupiter. La planète de la photographie ci-dessous se trouve à $0.82{}^{\prime\prime}$ de son étoile ; les coronographes du télescope spatial atteignent un contraste de $1 \times 10^{-5}$ à $1{}^{\prime\prime}$ à $4.4\,\text{µ}\mathrm{m}$.

Une quatrième méthode utilise la gravité comme une lentille. Lorsqu’une étoile passe presque exactement devant une étoile plus lointaine, sa gravité courbe la lumière de l’étoile d’arrière-plan et la rend plus brillante pendant quelques semaines ; une planète de l’étoile qui fait office de lentille ajoute un bref signal.

Définition 28.10 (Microlentille gravitationnelle ; rayon d’Einstein)

La microlentille gravitationnelle désigne l’éclaircissement temporaire d’une étoile d’arrière-plan lorsqu’une étoile de premier plan, la lentille, passe près de la ligne de visée ; les images qu’elle forme sont trop proches pour être résolues. Le rayon d’Einstein est le rayon angulaire $\theta_\mathrm E$ de l’anneau dans lequel une lentille ponctuelle de masse $M$ située à la distance $D_L$ ferait converger une source située à la distance $D_S$ exactement derrière elle :

$$\theta_\mathrm E = \sqrt{\frac{4GM}{c^2}\,\frac{D_S - D_L}{D_L D_S}} .$$

Proposition 28.11 (Grandissement d’une lentille ponctuelle)

Une source située à la distance angulaire $u\,\theta_\mathrm E$ d’une lentille ponctuelle est éclaircie d’un facteur

$$A(u) = \frac{u^2 + 2}{u\sqrt{u^2 + 4}} .$$

Ces deux résultats proviennent de la déviation de la lumière par une masse en relativité générale. Pour une lentille d’une demi-masse solaire située à mi-chemin d’une source distante de $8\,\mathrm{kpc}$, on a $\theta_\mathrm E = 0.71\,\mathrm{mas}$, et l’anneau d’Einstein à la distance de la lentille, a un rayon de $2.9\,\mathrm{au}$. Pour $u = 1$, la source est éclaircie 1.34 fois ; pour $u = 0.1$, dix fois. Une planète proche de l’anneau d’Einstein de son étoile ajoute une courte déviation à la courbe de lumière. La microlentille permet ainsi de détecter des planètes à quelques unités astronomiques de leur étoile, des planètes froides qui échappent aux méthodes des transits et des vitesses radiales, mais chaque événement ne survient qu’une fois et ne se répète jamais. Lors d’un événement de 2003, publié l’année suivante, une déviation d’une durée d’environ sept jours n’a pu être expliquée que par un compagnon dont la masse vaut $0.0039$ fois celle de la lentille : une planète d’environ 1.5 fois la masse de Jupiter, à environ $3\,\mathrm{au}$ de son étoile.

Chaque méthode a ses propres biais, et le catalogue des planètes connues les reflète. Les vitesses radiales favorisent les planètes massives proches de leur étoile ; les transits favorisent les planètes de grande taille proches de leur étoile, et exigent que l’orbite soit vue de profil ; la microlentille détecte les planètes situées à quelques unités astronomiques ; l’imagerie détecte les jeunes géantes à des dizaines ou des centaines d’unités astronomiques de leur étoile. La figure ci-dessous montre le résultat : chaque méthode couvre sa propre région, et les planètes du Système solaire se trouvent pour la plupart dans les lacunes qui les séparent.

Chiffres de 2026

Le 23 octobre 2026, la NASA Exoplanet Archive recensait 6451 exoplanètes confirmées. Par méthode de découverte : 4785 par transits, 1204 par vitesses radiales, 292 par microlentille, 98 par imagerie, 29 par variations du temps de transit (TTV) et le reste par des méthodes plus rares, parmi lesquelles les toutes premières, découvertes en 1992 autour d’un pulsar grâce au chronométrage de ses impulsions. Les premières découvertes par vitesses radiales datent de 1995, par transit de 2002, par microlentille et imagerie à partir de 2004.

28.4 Ce qui a été trouvé

La première surprise fut celle des Jupiter chauds, des planètes géantes sur des orbites de quelques jours. 51 Pegasi b ne peut pas s’être formée si près de son étoile ; elle a dû se former plus loin, peut-être à quelques unités astronomiques, au-delà de la ligne des glaces de son disque, puis migrer vers l’intérieur par son interaction avec le disque, comme la théorie l’avait prédit.

Définition 28.12 (Jupiter chaud ; super-Terre ; sous-Neptune)

Un Jupiter chaud est une planète géante sur une orbite serrée, dont la masse minimale est généralement supérieure à 0.1 masse de Jupiter et dont la période est inférieure à dix jours. Une super-Terre est une planète plus grande que la Terre mais plus petite que la vallée des rayons, soit jusqu’à environ 1.5 à 2 rayons terrestres, et donc probablement rocheuse. Un sous-Neptune est une planète située au-dessus de la vallée des rayons mais plus petite que Neptune, d’environ 2 à 4 rayons terrestres, dont le rayon suppose une enveloppe de gaz légers ou de composés volatils.

Définition 28.13 (Taux d’occurrence)

Le taux d’occurrence d’une classe de planètes est le nombre moyen de telles planètes par étoile, ou la fraction d’étoiles en possédant une, dans un intervalle donné de taille (ou de masse) et de période, une fois les comptages d’un relevé corrigés des planètes qu’il n’a pas pu détecter : celles dont les orbites ne sont pas alignées pour un transit, et celles qui sont trop petites ou trop éloignées pour être vues.

Les Jupiter chauds, très présents dans le catalogue parce qu’ils sont les plus faciles à trouver, sont rares : un relevé par vitesses radiales d’étoiles voisines semblables au Soleil en a trouvé autour de $(1.2 \pm 0.38)\,\%$ des étoiles. Les petites planètes sont courantes. En exploitant les courbes de lumière de $42\,000$ étoiles observées par le télescope spatial Kepler, une étude a trouvé 603 planètes, dont dix de la taille de la Terre (1 à 2 rayons terrestres) recevant entre une et quatre fois l’éclairement solaire terrestre ; une fois corrigé de la probabilité de transit et des planètes que la recherche aurait manquées, $(11 \pm 4)\,\%$ des étoiles semblables au Soleil en abritent une telle planète.

La taille des petites planètes n’est pas répartie uniformément. Parmi les planètes proches de leur étoile mesurées avec précision, celles de 1.5 à 2.0 rayons terrestres sont au moins deux fois plus rares que celles juste un peu plus petites ou juste un peu plus grandes.

Définition 28.14 (Vallée des rayons)

La vallée des rayons est le déficit de planètes de rayons compris entre environ 1.5 et 2.0 rayons terrestres parmi les planètes de périodes inférieures à une centaine de jours ; elle sépare les super-Terres des sous-Neptunes.

La vallée est interprétée comme la trace de l’échappement. Un noyau rocheux formé avec une enveloppe d’hydrogène et d’hélium ne représentant que quelques pour cent de sa masse a un rayon deux fois supérieur à celui du noyau nu. Près d’une jeune étoile active, une telle enveloppe est chauffée puis perdue par échappement hydrodynamique : sous l’effet du rayonnement de haute énergie de l’étoile pendant les cent premiers millions d’années (photoévaporation), ou sous celui de la chaleur du noyau lui-même en refroidissement (perte de masse alimentée par le noyau). Les modèles regroupent les planètes en noyaux nus d’environ 1.3 rayon terrestre et en planètes deux fois plus grandes ; peu en subsistent entre les deux. Les deux mécanismes dépendent différemment de l’étoile, et des planètes autour d’étoiles de types différents pourraient permettre de les distinguer.

Définition 28.15 (Relation masse–rayon)

La relation masse–rayon d’une composition est le rayon d’une planète de cette composition en fonction de sa masse, calculé à partir des équations d’état de ses matériaux en équilibre hydrostatique ; une planète mesurée est comparée aux relations des compositions candidates.

Une planète rocheuse est comprimée par son propre poids, et son rayon croît plus lentement que $M^{1/3}$. Un ajustement sur des modèles de planètes à deux couches construits à partir du modèle sismique terrestre donne $R/R_\oplus = (1.07 - 0.21\,C) (M/M_\oplus)^{1/3.7}$, pour des masses de 1 à 8 masses terrestres et une fraction massique de noyau $C$ de 0 à 0.4 ; ajusté à la Terre, à Vénus et à quelques petites exoplanètes, il donne $C = 0.26 \pm 0.07$. Une planète de fer est plus petite à même masse ; une planète moitié eau, plus grande ; une enveloppe d’hydrogène de seulement deux pour cent de la masse fait d’une planète de cinq masses terrestres une planète de $2.6$ rayons terrestres, à la taille d’un sous-Neptune. La dégénérescence est réelle : un rayon et une masse donnent une seule masse volumique, et plusieurs mélanges de fer, de roche, d’eau et de gaz peuvent la partager. La planète rocheuse Kepler-10 b, de 3.24 masses terrestres et 1.47 rayon terrestre, a une masse volumique moyenne de $5.6\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; la géante gazeuse WASP-39 b, de 89 masses terrestres et 14.3 rayons terrestres, $0.17\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

28.5 Atmosphères

Une planète en transit peut être pesée et mesurée ; on peut aussi la sentir. Pendant un transit, un mince anneau de l’atmosphère de la planète se détache devant l’étoile, et la lumière stellaire le traverse. Aux longueurs d’onde où un gaz de l’atmosphère absorbe, l’anneau est opaque plus haut, et la planète paraît plus grande.

Définition 28.16 (Spectroscopie de transmission ; éclipse secondaire)

La spectroscopie de transmission mesure la profondeur de transit en fonction de la longueur d’onde, afin de détecter les gaz de l’atmosphère que la lumière stellaire traverse au bord de la planète. Une éclipse secondaire est le passage d’une planète derrière son étoile, une demi-orbite après le transit sur une orbite circulaire ; la baisse du flux du système mesure alors la lumière de la face diurne de la planète.

Proposition 28.17 (Signal de transmission)

Une atmosphère de hauteur d’échelle $H \ll R_p$, rendue opaque sur $n$ hauteurs d’échelle supplémentaires à la longueur d’onde d’une bande d’absorption plutôt qu’aux longueurs d’onde voisines, approfondit là le transit de

$$\Delta\delta \approx n\,\frac{2HR_p}{R_\star^2} .$$

La hauteur d’échelle $H = kT/\bar m g$ est grande pour une planète chaude de faible pesanteur, dotée d’un air léger à base d’hydrogène ; elle est petite pour une planète froide et dense, à air lourd. Pour la Terre vue devant le Soleil, avec $H = 8\,\mathrm{km}$, chaque hauteur d’échelle ajoute 0.2 partie par million ; pour une géante gazeuse chaude et gonflée, plusieurs centaines.

Proposition 28.18 (Profondeur de l’éclipse secondaire)

Si la face diurne d’une planète rayonne comme un corps noir à la température $T_d$ et l’étoile comme un corps noir à $T_\star$, l’éclipse secondaire à la longueur d’onde $\lambda$ a pour profondeur

$$\delta_\mathrm{ecl} \approx \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2 \frac{B_\lambda(T_d)}{B_\lambda(T_\star)},$$

avec $B_\lambda$ la loi de Planck, la lumière réfléchie par la planète étant négligée.

L’éclipse est la plus profonde dans l’infrarouge, où la planète froide est la plus brillante par rapport à son étoile : elle donne la température de la face diurne, et une face diurne chaude à côté d’une face nocturne froide révèle une atmosphère mince ou absente, qui ne fait pas circuler la chaleur.

Chiffres de 2023

En 2022, le spectre de transmission de la géante gazeuse WASP-39 b, mesuré entre 3.0 et $5.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ par le télescope spatial James Webb, a montré une bande d’absorption marquée du dioxyde de carbone à $4.3\,\text{µ}\mathrm{m}$, à 26 écarts types, là où la photométrie antérieure n’avait fait qu’entrevoir le gaz : sa première identification nette dans l’atmosphère d’une exoplanète. En 2023, cinq éclipses secondaires de TRAPPIST-1 b, de la taille de la Terre, qui reçoit quatre fois la lumière que reçoit la Terre, venant d’une étoile froide et petite, ont été mesurées à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Elles s’accordent avec une chaleur réémise par la seule face diurne, sans dioxyde de carbone détectable : la planète a peu ou pas d’atmosphère pour transporter la chaleur vers sa face nocturne.

Les planètes rocheuses des zones habitables des petites étoiles sont à portée de ces méthodes, à la limite. Savoir si elles ont conservé leur air face aux processus d’échappement du chapitre précédent est désormais une question observationnelle.

28.6 Exercices

Exercice 28.1 ★

(a) Calculer l’amplitude semi-majeure de la vitesse radiale du Soleil causée par Jupiter (masse $1898 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, période $4331$ jours, excentricité 0.049) et par la Terre (masse $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, période $365.2$ jours, excentricité 0.017). La masse du Soleil est $1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$. (b) Convertir les précisions $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en mètres par seconde, puis comparer.

Solution

Solution de Exercice 28.1.

(a) $K = (2\pi G/P)^{1/3}m_p/\bigl((M_\odot + m_p)^{2/3}\sqrt{1 - e^2}\bigr)$. Jupiter : $P = 3.742 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$, $(2\pi G/P)^{1/3} = 1.039 \times 10^{-6}$ en unités SI, $K = 1.039 \times 10^{-6}\times1.898 \times 10^{27}/(1.990 \times 10^{30})^{2/3}/0.9988 = 12.5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. La Terre : $P = 3.155 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $K = 0.089\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit environ $9\,\mathrm{cm}\,\mathrm{s}^{-1}$. (b) $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.97\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $0.35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 0.097\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Le signal de Jupiter vaut treize fois la première précision ; celui de la Terre reste en deçà même de la seconde, et le bruit propre de l’étoile s’y ajoute.

Exercice 28.2 ★

(a) Calculer les profondeurs de transit de Jupiter (rayon $71\,492\,\mathrm{km}$) et de la Terre (rayon $6378\,\mathrm{km}$) devant le Soleil (rayon $695\,700\,\mathrm{km}$). (b) Calculer la probabilité qu’un observateur placé au hasard voie chacune d’elles transiter, pour des rayons orbitaux de $778.5$ et $149.6\,\mathrm{M}\mathrm{km}$.

Solution

Solution de Exercice 28.2.

(a) $(71492/695700)^2 = 0.0106$, une baisse de $1.06\,\%$ ; $(6378/695700)^2 = 8.4 \times 10^{-5}$, soit 84 parties par million. (b) $R_\star/a$ : pour la Terre $695700/1.496 \times 10^{8} = 4.7 \times 10^{-3}$, soit une chance sur 215 ; pour Jupiter $695700/7.785 \times 10^{8} = 8.9 \times 10^{-4}$, une chance sur 1100.

Exercice 28.3 ★

51 Pegasi b donne à son étoile une amplitude semi-majeure de la vitesse radiale de $59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, avec une période de $4.23\,\mathrm{d}$. En prenant la masse de l’étoile égale à celle du Soleil, calculer la masse minimale de la planète, en masses de Jupiter et en masses terrestres, ainsi que le rayon de son orbite.

Solution

Solution de Exercice 28.3.

$m_p\sin i \approx K M_\odot^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3}$ avec $P = 3.655 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $(P/2\pi G)^{1/3} = 9.55 \times 10^{4}$ en unités SI, donc $m_p \sin i = 59\times(1.9884 \times 10^{30})^{2/3}\times9.55 \times 10^{4} = 8.9 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$, soit 0.47 masse de Jupiter ou 149 masses terrestres (la correction pour $m_p$ dans $M_\star + m_p$ est inférieure à un millième). $a = \bigl(GM_\odot P^2/4\pi^2\bigr)^{1/3} = 7.66 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.051\,\mathrm{au}$.

Exercice 28.4 ★

Une étoile de demi-masse solaire située à $4\,\mathrm{kpc}$ agit comme lentille sur une étoile située à $8\,\mathrm{kpc}$ ($1\,\mathrm{pc} = 3.0857 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$). (a) Calculer son rayon d’Einstein en millisecondes d’arc, ainsi que le rayon de l’anneau d’Einstein, en unités astronomiques, à la distance de la lentille. (b) Calculer l’amplification pour $u = 1$, $0.5$ et $0.1$. (c) Combien de temps la lentille met-elle pour parcourir un rayon d’Einstein si elle se déplace dans la ligne de visée à $200\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.4.

(a) $4GM/c^2 = 4\times6.674 \times 10^{-11}\times9.94 \times 10^{29}/(2.998 \times 10^{8})^2 = 2953\,\mathrm{m}$ ; $(D_S - D_L)/(D_LD_S) = 1/D_S\times(D_S - D_L)/D_L = 1/(8\,\mathrm{kpc}) = 1/2.469 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$. $\theta_\mathrm E = \sqrt{2953/2.469 \times 10^{20}} = 3.46 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 0.71\,\mathrm{mas}$. Au niveau de la lentille, $R_\mathrm E = \theta_\mathrm E D_L = 3.46 \times 10^{-9}\times 1.234 \times 10^{20}\,\mathrm{m} = 4.27 \times 10^{11}\,\mathrm{m} = 2.85\,\mathrm{au}$. (b) $A(1) = 3/\sqrt5 = 1.34$ ; $A(0.5) = 2.25/(0.5\times2.062) = 2.18$ ; $A(0.1) = 2.01/(0.1\times2.002) = 10.0$. (c) $t_\mathrm E = 4.27 \times 10^{11}/2 \times 10^{5} = 2.13 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, soit environ 25 jours : les événements de microlentille durent des semaines.

Exercice 28.5 ★★

Une planète de rapport de rayons $p = 0.12$ orbite autour d’une étoile d’une masse et d’un rayon solaires en $3.0\,\mathrm{d}$. (a) Calculer $a/R_\star$. (b) Calculer $T_{14}$ et $T_{23}$ pour $b = 0$ et pour $b = 0.7$, ainsi que l’inclinaison dans le second cas. (c) En quoi la forme de la courbe de lumière permet-elle de distinguer un transit central d’un transit rasant ?

Solution

Solution de Exercice 28.5.

(a) $a = (GM_\odot P^2/4\pi^2)^{1/3} = 6.09 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ ($0.0407\,\mathrm{au}$), donc $a/R_\star = 8.75$. (b) Avec $P/\pi = 22.9\,\mathrm{h}$, pour $b = 0$ :

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{1.12}{8.75} = 2.94\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{0.88}{8.75} = 2.31\,\mathrm{h}.$$

Pour $b = 0.7$ : $\cos i = 0.7/8.75$, $i = 85.4{}^{\circ}$, $(a/R_\star)\sin i = 8.726$, et

$$T_{14} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{1.2544 - 0.49}}{8.726} = 2.30\,\mathrm{h}, \qquad T_{23} = \frac P\pi\arcsin\frac{\sqrt{0.7744 - 0.49}}{8.726} = 1.40\,\mathrm{h}.$$

(c) L’entrée et la sortie occupent $(T_{14} - T_{23})/T_{14} = 21\,\%$ du transit lorsqu’il est central, $39\,\%$ pour $b = 0.7$ ; un transit rasant, $b \to 1$, n’a pas de fond plat et ressemble à un V.

Exercice 28.6 ★★

À partir des masses et des rayons de l’Exoplanet Archive, calculer les masses volumiques moyennes de TRAPPIST-1 b (1.374 masse terrestre, 1.116 rayon terrestre), Kepler-10 b (3.24, 1.47), WASP-39 b (89.31, 14.34) et HD 209458 b (232.0, 15.58), avec $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$. Lesquelles sont rocheuses, lesquelles sont gazeuses ?

Solution

Solution de Exercice 28.6.

$\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3$, avec $\tfrac43\pi R_\oplus^3 = 1.087 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$ : TRAPPIST-1 b $1.374\times5.97 \times 10^{24}/(1.116^3\times 1.087 \times 10^{21}) = 5.43\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; Kepler-10 b $5.60\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; WASP-39 b $0.167\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ ; HD 209458 b $0.337\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Les deux premières sont aussi denses que la Terre ($5.49\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$ avec les mêmes constantes) et rocheuses ; les deux dernières sont des planètes géantes gazeuses, plus légères que l’eau, WASP-39 b étant huit fois moins dense que Jupiter.

Exercice 28.7 ★★

La vitesse radiale d’une étoile accompagnée d’une planète sur une orbite excentrique varie de $+50.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $-9.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, et la vitesse du centre de masse du système vaut $12.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. En utilisant la forme excentrique du théorème, calculer $K$ et $e\cos\omega$. Pourquoi la moyenne des deux valeurs extrêmes peut-elle différer de $\gamma$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.7.

Les extrema valent $\gamma + K(1 + e\cos\omega)$ et $\gamma - K(1 - e\cos\omega)$. Leur différence vaut $2K = 60.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $K = 30.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; leur moyenne vaut $\gamma + Ke\cos\omega = 20.4\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $Ke\cos\omega = 8.0\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $e\cos\omega = 0.27$. Sur une orbite excentrique, l’étoile reste longtemps près de l’apoastre et traverse rapidement le périastre ; la courbe est donc dissymétrique, et le milieu de ses extrema n’est pas sa moyenne temporelle $\gamma$.

Exercice 28.8 ★★

WASP-39 b a une masse de 89.31 masses terrestres et un rayon de 14.34 rayons terrestres ; son étoile a un rayon de 0.939 rayon solaire. Prendre une température de $1100\,\mathrm{K}$ et une masse moléculaire moyenne de $2.3\,\mathrm{u}$ pour son atmosphère. (a) Calculer sa gravité, sa hauteur d’échelle et sa profondeur de transit. (b) Calculer le signal de transmission d’une hauteur d’échelle, puis celui d’une bande d’absorption haute de deux hauteurs d’échelle, en parties par million.

Solution

Solution de Exercice 28.8.

(a) $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.332 \times 10^{26}/(9.144 \times 10^{7})^2 = 4.26\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ ; $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times1100/(2.3 \times1.661 \times 10^{-27}\times4.26) = 934\,\mathrm{km}$. Avec $R_\star = 6.533 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, la profondeur vaut $(9.144 \times 10^{7}/6.533 \times 10^{8})^2 = 0.0196$. (b) $2HR_p/R_\star^2 = 2\times9.34 \times 10^{5}\times 9.144 \times 10^{7}/(6.533 \times 10^{8})^2 = 4.0 \times 10^{-4}$, soit 400 parties par million ; deux hauteurs d’échelle, 800 : une géante gazeuse de faible gravité est la cible la plus favorable pour la spectroscopie de transmission.

Exercice 28.9 ★★

TRAPPIST-1 b a un rayon de 1.116 rayon terrestre ; son étoile, un rayon de 0.1192 rayon solaire et une température de $2566\,\mathrm{K}$. Calculer la profondeur de son éclipse secondaire à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ pour un côté jour à $400\,\mathrm{K}$, puis à $500\,\mathrm{K}$ ($hc/k = 0.014\,388\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$). Pourquoi une mesure de la profondeur constitue-t-elle un thermomètre ?

Solution

Solution de Exercice 28.9.

$p = 1.116\times6378/(0.1192\times695700) = 0.0858$, $p^2 = 7.37 \times 10^{-3}$. $B_\lambda \propto 1/(e^{hc/\lambda kT} - 1)$ avec $hc/\lambda k = 959\,\mathrm{K}$ à $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ : l’étoile $1/(e^{0.374} - 1) = 2.20$ ; une face diurne à $400\,\mathrm{K}$, $1/(e^{2.40} - 1) = 0.0998$, rapport $0.0453$, profondeur $3.3 \times 10^{-4}$ (334 parties par million) ; à $500\,\mathrm{K}$, $1/(e^{1.92} - 1) = 0.172$, rapport $0.078$, profondeur $5.7 \times 10^{-4}$. Une centaine de kelvins modifie la profondeur de $70\,\%$ : la profondeur mesurée fixe donc étroitement la température de la face diurne, et une face diurne chaude signifie que peu de chaleur est transportée vers la face nocturne.

Exercice 28.10 ★★★

Une naine rouge fictive a une masse de 0.2 masse solaire, un rayon de 0.2 rayon solaire et une luminosité de $0.005$ luminosité solaire. (a) À quelle distance une planète reçoit-elle le flux stellaire terrestre, et quelle est sa période ? (b) Calculer l’amplitude semi-majeure causée par une planète d’une masse terrestre à cette distance, et la comparer à l’effet de la Terre sur le Soleil. (c) Calculer la profondeur de transit d’une planète de la taille de la Terre. Pourquoi de tels astres sont-ils des cibles privilégiées dans la recherche de planètes rocheuses en zone habitable ?

Solution

Solution de Exercice 28.10.

(a) $S \propto L/d^2$, donc $d = \sqrt{0.005}\,\mathrm{au} = 0.0707\,\mathrm{au}$ ; $P = 2\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.33 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 15.4\,\mathrm{d}$. (b) $K = (2\pi G/P)^{1/3}M_\oplus/(0.2M_\odot)^{2/3} = 0.75\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, soit 8.4 fois l’effet de la Terre sur le Soleil : l’étoile légère se déplace davantage, et la courte période y contribue aussi. (c) $(6378/139140)^2 = 2.1 \times 10^{-3}$, soit 25 fois le transit de la Terre devant le Soleil. Les deux signaux sont plus forts, les transits reviennent toutes les deux semaines, et la probabilité de transit $R_\star/a = 0.013$ est trois fois celle de la Terre : les petites étoiles offrent aux planètes rocheuses de leur zone habitable une chance d’être détectées et étudiées.

Exercice 28.11 ★★★

Pour la loi quadratique d’assombrissement centre-bord, montrer que l’intensité moyenne du disque vaut $I(1)(1 - u_1/3 - u_2/6)$. En déduire la profondeur, en unités de $p^2$, d’une petite planète en $r = 0$, $0.5$ et $0.9$ pour $u_1 = 0.40$, $u_2 = 0.25$. Quelle erreur un modèle à disque uniforme commettrait-il sur le rayon d’une planète observée à mi-transit avec $b = 0$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.11.

Avec $r\,dr = -\mu\,d\mu$, l’intensité moyenne vaut $\frac1\pi\int_0^1 I\,2\pi r\,dr = 2\int_0^1 I(\mu)\mu\,d\mu = 2\bigl[\tfrac12 - u_1(\tfrac12 - \tfrac13) - u_2\int_0^1(1 - \mu)^2\mu\,d\mu\bigr]$. La dernière intégrale vaut $\tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac1{12}$, donc la moyenne vaut $1 - u_1/3 - u_2/6$, soit ici $0.825$. Une petite planète masque $\pi p^2 I(\mu)$ sur $\pi\times 0.825$ : profondeur $p^2 I(\mu)/0.825$. En $r = 0$, $I = 1$ : $1.212\,p^2$ ; en $r = 0.5$ ($\mu = 0.866$), $I = 0.942$ : $1.142\,p^2$ ; en $r = 0.9$ ($\mu = 0.436$), $I = 0.695$ : $0.842\,p^2$. Un modèle de disque uniforme lirait $1.212\,p^2$ comme $p^2$ et surestimerait le rayon de $\sqrt{1.212} = 1.10$, $10\,\%$.

Exercice 28.12 ★★★

Une étude a suivi $42\,000$ étoiles semblables au Soleil et y a recherché des planètes de la taille de la Terre recevant de un à quatre fois le flux solaire terrestre, c’est-à-dire sur des orbites de 0.5 à $1\,\mathrm{au}$. (a) Calculer la probabilité de transit à 0.5, 0.7 et $1\,\mathrm{au}$. (b) Si $11\,\%$ des étoiles hébergent une telle planète, à environ $0.7\,\mathrm{au}$, combien transitent ? (c) L’étude en a trouvé dix. Que mesure l’écart, et pourquoi le taux d’occurrence doit-il être corrigé de celui-ci ?

Solution

Solution de Exercice 28.12.

(a) $R_\odot/a$ : $9.3 \times 10^{-3}$ à $0.5\,\mathrm{au}$, $6.6 \times 10^{-3}$ à $0.7\,\mathrm{au}$, $4.7 \times 10^{-3}$ à $1\,\mathrm{au}$. (b) $42000\times0.11\times 6.6 \times 10^{-3} = 31$ planètes transitent. (c) Seul environ un tiers d’entre elles ont été trouvées : les autres donnaient des transits trop peu profonds (84 parties par million pour une Terre) ou trop rares (une ou deux par an) pour émerger du bruit. Cette fraction est l’efficacité de détection ; sans corriger ni celle-ci ni la probabilité de transit, les comptages sous-estimeraient la fréquence de ces planètes d’un facteur d’environ 460.

28.7 Problème : la lampe de Séléné

Problème 28.1

Problème du week-end — pesée, dimensionnement et analyse d’une planète inventée

La lampe de Séléné est une naine K inventée, de masse égale à 0.80 fois celle du Soleil, de rayon 0.76 fois celui du Soleil et de température effective $5000\,\mathrm{K}$. Une étude par la méthode des vitesses radiales établit que sa vitesse varie sinusoïdalement avec une période de $12.0\,\mathrm{d}$ et une semi-amplitude de $2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. Un télescope spatial observe alors des transits de même période, de profondeur $838$ parties par million et de durée totale $T_{14} = 3.23\,\mathrm{h}$. Prendre $M_\odot = 1.9884 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $R_\odot = 695\,700\,\mathrm{km}$, $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, $M_\oplus = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R_\oplus = 6378\,\mathrm{km}$.

Partie I — La vitesse radiale.

1. Calculer le rayon de l’orbite, en mètres et en unités astronomiques, en négligeant la masse de la planète devant celle de l’étoile.
2. Calculer la vitesse orbitale de la planète.
3. Calculer la masse minimale de la planète, en masses terrestres.
4. Calculer le rayon de l’orbite de l’étoile autour du centre de masse, et vérifier qu’il donne la semi-amplitude observée.
5. De combien de fois le signal dépasse-t-il une précision de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, et de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ?
6. Si l’orbite avait $e = 0.2$ avec la même $K$, de combien la masse minimale changerait-elle ?

Partie II — Le transit.

7. Calculer le rapport des rayons $p = R_p/R_\star$.
8. Calculer le rayon de la planète, en kilomètres et en rayons terrestres.
9. Calculer $a/R_\star$.
10. Calculer la durée d’un transit central ($b = 0$).
11. À partir de la valeur observée de $T_{14}$, calculer le paramètre d’impact.
12. Calculer l’inclinaison de l’orbite.
13. Quelle était la probabilité que cette planète transite, vue depuis une direction quelconque ?

Partie III — De quoi est-elle faite ?

14. Calculer la masse réelle de la planète.
15. Calculer sa masse volumique moyenne.
16. Sur la courbe du modèle rocheux de type terrestre, une planète de cette masse aurait un rayon de 1.74 rayons terrestres. Comparer, et dire ce que la planète doit contenir en plus de la roche.
17. Où se situe la planète par rapport à la vallée des rayons ? Est-ce une super-Terre ou une sous-Neptune ?
18. Calculer sa gravité de surface.

Partie IV — Son atmosphère.

19. Calculer la luminosité de l’étoile, en watts et en luminosités solaires.
20. Calculer le flux stellaire que reçoit la planète, par rapport à celui de la Terre. Est-elle dans la zone habitable ?
21. Avec un albédo de Bond de 0.3, calculer sa température d’équilibre.
22. Calculer la hauteur d’échelle d’une atmosphère d’hydrogène et d’hélium (masse moléculaire moyenne $2.3\,\mathrm{u}$) à cette température.
23. Calculer le signal de transmission d’une hauteur d’échelle, et d’une bande d’eau haute de deux hauteurs d’échelle, en parties par million.
24. Calculer de même pour une atmosphère de vapeur ($18\,\mathrm{u}$). Lequel des deux, un télescope spatial de précision d’environ dix parties par million pourrait distinguer d’un spectre plat ?
25. Donner la masse volumique moyenne de la planète, en grammes par centimètre cube, à deux chiffres significatifs.

Solution

Solution de Problème 28.1.

1. $M_\star = 0.80\times1.9884 \times 10^{30} = 1.591 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$, $P = 1.0368 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $a = (GM_\star P^2/4\pi^2)^{1/3} = 1.4245 \times 10^{10}\,\mathrm{m} = 0.0952\,\mathrm{au}$.

2. $v = 2\pi a/P = 86.3\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $m_p\sin i = KM_\star^{2/3}(P/2\pi G)^{1/3} = 2.59\times1.363 \times 10^{20} \times1.352 \times 10^{5} = 4.77 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, $7.99$ masses terrestres.

4. $a_\star = a\,m_p/M_\star = 1.4245 \times 10^{10}\times4.77 \times 10^{25}/ 1.591 \times 10^{30} = 427\,\mathrm{km}$; $2\pi a_\star/P = 2.59\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, la valeur $K$ observée.

5. $2.59$ fois une précision de $1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, 26 fois une précision de $0.1\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ : la planète est à la portée des meilleurs instruments, à peine de la génération précédente.

6. $m_p\sin i \propto K\sqrt{1 - e^2}$ : $\times0.980$, 7.83 masses terrestres, $2\,\%$ de moins.

7. $p = \sqrt{8.38 \times 10^{-4}} = 0.02895$.

8. $R_\star = 0.76\times695\,700\,\mathrm{km} = 528\,700\,\mathrm{km}$; $R_p = 15\,310\,\mathrm{km} = 2.40$ rayons terrestres.

9. $a/R_\star = 1.4245 \times 10^{10}/5.287 \times 10^{8} = 26.94$.

10. $T_{14} = (288\,\mathrm{h}/\pi)\arcsin(1.02895/26.94) = 3.50\,\mathrm{h}$.

11. $\sqrt{(1 + p)^2 - b^2} = (a/R_\star)\sin(\pi T_{14}/P) = 26.94\times \sin(\pi\times3.23/288) = 0.949$ (avec $\sin i \approx 1$) ; $b^2 = 1.0587 - 0.9008 = 0.158$, $b = 0.40$.

12. $\cos i = b\,R_\star/a = 0.40/26.94 = 0.0148$, $i = 89.15{}^{\circ}$.

13. $R_\star/a = 1/26.94 = 0.037$ : une chance sur 27.

14. $\sin i = 0.99989$ : la masse vraie vaut 7.99 masses terrestres, la masse minimale à $1 \times 10^{-4}$ près.

15. $\bar\rho = 4.77 \times 10^{25}/\bigl(\tfrac43\pi(1.531 \times 10^{7})^3\bigr) = 4.77 \times 10^{25}/1.502 \times 10^{22} = 3180\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $3.18\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$.

16. La planète est $2.40/1.74 = 1.38$ fois plus grande qu’une planète rocheuse de sa masse, 2.6 fois son volume. La roche seule ne suffit pas : il lui faut une enveloppe de gaz léger, quelques pour cent de sa masse en hydrogène et en hélium, ou une forte fraction d’eau.

17. À 2.40 rayons terrestres, elle se situe au-dessus de la vallée, dans le pic de 2 à 3 rayons terrestres : une sous-Neptune.

18. $g = Gm_p/R_p^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times4.77 \times 10^{25}/(1.531 \times 10^{7})^2 = 13.6\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$.

19. $L = 4\pi R_\star^2\sigma T^4 = 4\pi(5.287 \times 10^{8})^2\times5.670 \times 10^{-8} \times5000^4 = 1.245 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$, soit 0.325 fois la luminosité solaire.

20. $S/S_\oplus = 0.325/0.0952^2 = 35.9$ : bien en deçà du bord interne de la zone habitable.

21. $L/4\pi a^2 = 4.88 \times 10^{4}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$; $T_\mathrm{eq} = \bigl(4.88 \times 10^{4}\times0.7/(4\sigma)\bigr)^{1/4} = 623\,\mathrm{K}$.

22. $H = kT/\bar m g = 1.381 \times 10^{-23}\times623/(2.3\times1.661 \times 10^{-27} \times13.6) = 166\,\mathrm{km}$.

23. $2HR_p/R_\star^2 = 2\times1.66 \times 10^{5}\times1.531 \times 10^{7}/ (5.287 \times 10^{8})^2 = 1.82 \times 10^{-5}$, 18 parties par million ; une bande de deux hauteurs d’échelle, 36 parties par million.

24. $H$ est $18/2.3 = 7.8$ fois plus petit, $21\,\mathrm{km}$ : 2.3 parties par million par hauteur d’échelle, 4.6 pour la bande. À dix parties par million, l’atmosphère riche en hydrogène montre sa bande d’eau à plus de trois fois le bruit ; une atmosphère de vapeur apparaît plate, comme une atmosphère nuageuse ou une planète sans air.

25. $3.2\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$.