18Géomorphologie quantitative

Une rivière qui traverse une chaîne en surrection présente une marche dans son profil longitudinal : une cascade, avec une gorge en aval et une vallée plus douce en amont. La marche ne reste pas à l’endroit où elle s’est formée. Elle remonte vers l’amont, de quelques millimètres ou de quelques mètres par an, et sa position est une horloge qui a commencé lorsque le niveau de base de la rivière a été abaissé. Lire cette horloge, ainsi que les taux inscrits dans la forme des collines et des rivières, demande deux lois de conservation et deux lois de transport : l’une pour le sol qui se déplace lentement le long d’une pente, l’autre pour le substratum rocheux qu’une rivière entaille.

Tu sais déjà

L’altération, l’érosion, le dépôt, les formes du relief et l’équilibre entre soulèvement et érosion figurent dans les manuels scolaires, de même que le rebond isostatique et les vallées glaciaires en U. Le taux de dénudation, la contrainte de cisaillement au fond et le paramètre de Shields figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur l’érosion et le transport ; le modèle numérique de terrain dans son chapitre sur les cartes géologiques ; l’isostasie d’Airy dans son chapitre sur l’isostasie et les anomalies de pesanteur. Les nucléides cosmogéniques et les taux d’érosion qui en découlent figurent au chapitre 13, la thermochronologie et la relation âge–altitude au chapitre 10. L’équation de diffusion figure dans les volumes de physique.

18.1 Versants

Sur une colline couverte de sol, celui-ci descend la pente grain à grain : les animaux fouisseurs le projettent, les racines le soulèvent, le gel et l’humectation le gonflent, et chaque perturbation permet à la pesanteur de le déplacer un peu. Moyenné sur des siècles, le flux de sol est proportionnel à la pente.

Définition 18.1 (Diffusion de versant)

La diffusion de versant est le transport lent de sol vers le bas du versant, dont le flux volumique par unité de largeur de pente, $\vec q$, est proportionnel au gradient de la hauteur de surface $z$ : $\vec q = -\kappa\,\nabla z$. Le coefficient $\kappa$, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$, est la diffusivité de versant.

Théorème 18.2 (Diffusion des versants)

Supposons que la roche soit soulevée à un taux $U$ par rapport aux chenaux qui bordent un versant, que le sol et la roche aient la même masse volumique, et que le sol se déplace par diffusion de versant avec $\kappa$ uniforme. Alors la hauteur de surface obéit à

$$\frac{\partial z}{\partial t} = U + \kappa\,\nabla^2 z ,$$

l’équation de diffusion avec terme source.

Une faille ou un littoral découpe un escarpement à un instant donné ; ensuite, l’escarpement ne fait plus que diffuser. Partant d’une marche verticale de demi-hauteur $a$ posée sur une pente régionale $b$, la solution en une dimension est

La forme ne dépend que du produit $\kappa t$ : un profil mesuré donne $\kappa t$, et soit un âge indépendant donne $\kappa$, soit un $\kappa$ connu donne l’âge, un âge morphologique. Les escarpements des régions semi-arides à sols granulaires et à végétation clairsemée donnent un $\kappa$ compris entre $10^{-3}$ et $10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$ ; les montagnes côtières humides et densément végétalisées atteignent environ $5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$.

Lorsqu’une colline a été soulevée et érodée suffisamment longtemps, sa forme cesse de changer : chaque point s’abaisse à la vitesse à laquelle la roche remonte.

Proposition 18.3 (La courbure au sommet mesure le taux d’érosion)

Sur un versant à l’état stationnaire sous l’effet de la diffusion de versant, le taux d’érosion $E$, égal à $U$, vaut

$$E = -\kappa\,\nabla^2 z .$$

En une dimension, le profil est la parabole $z = z_0 - E x^2/(2\kappa)$, avec un relief $E L^2/(2\kappa)$ entre la ligne de partage des eaux et les chenaux situés à une distance $L$.

La courbure, grandeur géométrique mesurée sur un modèle numérique de terrain, se lit donc comme un taux dès que $\kappa$ est connu : plus les sommets sont raides et arrondis de façon marquée, plus le paysage s’érode vite. Le sol lui-même se forme à partir de la roche sous-jacente, à un rythme qui dépend de la quantité de sol qui la recouvre déjà.

Définition 18.4 (Fonction de production du sol)

La fonction de production du sol donne le taux $P$ auquel la roche en place se transforme en sol, en fonction de l’épaisseur de sol $h$ ; on la prend couramment égale à $P = P_0\,e^{-h/h_0}$, où $P_0$ est le taux sur roche nue et $h_0$ une longueur d’une fraction de mètre.

À l’état stationnaire, l’interface sol-roche s’abaisse au rythme de la surface, $P(h) = E$, de sorte que l’épaisseur de sol vaut $h = h_0 \ln(P_0/E)$ : une érosion plus rapide donne un sol plus mince ; là où $E$ dépasse $P_0$, le sol est arraché et la roche nue, limitée par l’altération, affleure. Les taux de production de sol les plus rapides mesurés sont de l’ordre de $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.

La diffusion linéaire ne tient pas sur les pentes raides. Lorsque le gradient approche un seuil, les grains roulent et glissent par à-coups, et de petits glissements de terrain arrachent le sol.

Définition 18.5 (Pente critique du versant)

La pente critique du versant $S_c$ est le gradient pour lequel le flux de sol croît sans limite ; dans une loi de transport non linéaire largement utilisée, $q = \kappa S/[1 - (S/S_c)^2]$.

Les pentes bien plus douces que $S_c$ se comportent comme dans la diffusion linéaire ; les pentes qui s’érodent vite se raidissent vers $S_c$ et deviennent planes, leur gradient étant fixé par le seuil plutôt que par le taux d’érosion.

Sur le terrain — Relevé d’un versant

Une équipe qui étudie une crête recouverte de sol installe un scanner laser terrestre sur un trépied, à quelques dizaines de mètres de la crête. Chaque balayage enregistre des millions de points, c’est-à-dire la distance et la direction de la surface du sol, à travers les trous de l’herbe et des arbustes ; les points de plusieurs stations sont fusionnés en un seul nuage, recalé sur des cibles relevées au récepteur satellitaire, et seuls les derniers retours sont conservés pour retirer la végétation. Le nuage de sol nu est converti en modèle d’élévation à cellules décimétriques, lissé sur quelques mètres, et son laplacien est calculé au niveau de la crête. L’équipe compare ensuite les courbures au sommet de crêtes qui s’érodent à des taux mesurés avec des nucléides cosmogéniques : reportées l’une contre l’autre, les deux grandeurs donnent la diffusivité du versant comme pente d’une droite, conformément à ce que prédit la proposition.

18.2 Incision fluviale

Là où une rivière coule sur le substratum rocheux, elle se creuse en arrachant des blocs, par abrasion sous sa charge de fond et par cavitation. Tous ces processus dépendent de la contrainte de cisaillement que l’écoulement exerce sur son lit, ou de la puissance qu’il y dissipe, et tous deux croissent avec le débit et la pente. Le débit croît avec l’aire drainée, si bien que l’aire tient lieu de débit.

Définition 18.6 (Loi de puissance fluviale)

La loi de puissance fluviale donne le taux d’incision verticale $E$ d’une rivière sur substratum rocheux :

$$E = K A^m S^n ,$$

où $A$ est l’aire drainée en amont du point, $S$ la pente du chenal, $m$ et $n$ des exposants positifs, et $K$ un coefficient d’érodabilité qui regroupe la résistance de la roche, le climat et la largeur du chenal.

Pour les processus qui dépendent de la contrainte de cisaillement ou de la puissance spécifique de l’écoulement, $m/n$ est proche de 0.5. Une étude de chenaux de badlands creusés dans une roche tendre pendant environ 20 ans a révélé des taux d’incision proportionnels à $A^{0.44}S^{0.68}$.

Définition 18.7 (Incision limitée par le détachement et incision limitée par le transport)

L’incision est limitée par le détachement lorsque la rivière peut évacuer plus de sédiments qu’elle n’en reçoit, de sorte que sa vitesse d’abaissement est fixée par la rapidité avec laquelle elle détache le substratum de son lit : la loi de puissance fluviale s’applique. Elle est limitée par le transport lorsque la rivière transporte tous les sédiments qu’elle peut, de sorte que son lit ne s’abaisse qu’à l’endroit où la capacité de transport augmente vers l’aval, au rythme fixé par la divergence du flux sédimentaire.

Une rivière limitée par le transport se comporte à peu près comme un versant : le flux dépend de la pente, et son profil évolue selon une équation de type diffusion qui arrondit toute marche. Une rivière limitée par le détachement conserve une marche nette et la déplace, comme le montre la section suivante. Les rivières de montagne au lit rocheux, couvert d’une mince couche de graviers, sont en général plus proches du premier cas ; celles qui coulent sur un alluvionnement épais relèvent plutôt du second.

Si les roches s’élèvent à un taux uniforme $U$ par rapport à l’exutoire de la rivière, et que $K$, $m$, $n$ sont uniformes, la rivière évolue selon $\partial z/\partial t = U - K A^m S^n$.

Définition 18.8 (Profil de rivière en état stationnaire)

Un profil de rivière est en état stationnaire lorsque son altitude ne change plus dans le temps : en chaque point, l’incision compense le soulèvement des roches par rapport à l’exutoire.

Théorème 18.9 (Profil en état stationnaire sous la loi de puissance fluviale)

Si $U$, $K$, $m$ et $n$ sont uniformes, une rivière limitée par le détachement en état stationnaire possède le gradient

$$S = \left(\frac{U}{K}\right)^{1/n} A^{-m/n} .$$

La pente décroît en puissance de l’aire : le profil est concave vers le haut. Les rivières suivent une telle loi en puissance même lorsque les hypothèses du théorème sont douteuses, deux nombres suffisent donc à résumer un profil.

Définition 18.10 (Indices de raideur et de concavité du chenal)

Lorsque la pente d’une rivière suit $S = k_s A^{-\theta}$, l’exposant $\theta$ est l’indice de concavité et le coefficient $k_s$ est l’indice de raideur du chenal. Pour comparer les rivières, $\theta$ est fixé à une valeur de référence commune $\theta_{\mathrm{ref}}$, et $k_{sn} = S A^{\theta_{\mathrm{ref}}}$ est la raideur normalisée.

D’après le théorème, $\theta = m/n$ et $k_s = (U/K)^{1/n}$ : à érodabilité donnée, une rivière est plus raide là où les roches se soulèvent plus vite. Les cartes de raideur d’une chaîne soulignent donc son soulèvement.

Les pentes sont les dérivées d’altitudes bruitées et sont très dispersées. Intégrer le profil utilise plutôt les altitudes, qui sont mieux mesurées.

Définition 18.11 (Analyse en chi)

L’analyse en chi trace l’altitude des points d’un réseau fluvial en fonction de la coordonnée

$$\chi(x) = \int_{x_b}^{x} \left(\frac{A_0}{A(x')}\right)^{\theta} \mathrm{d}x' ,$$

où $x$ est la distance vers l’amont le long du chenal depuis un point de base $x_b$, $A_0$ une aire de référence et $\theta$ l’indice de concavité ; $\chi$ a la dimension d’une longueur.

Proposition 18.12 (La transformation en chi redresse un profil stationnaire)

Sous les hypothèses du théorème de l’état stationnaire, avec $\theta = m/n$, chaque chenal d’un réseau drainant vers l’altitude de base $z_b$ vérifie

$$z = z_b + \left(\frac{U}{K A_0^{m}}\right)^{1/n} \chi~:$$

tous les chenaux se trouvent sur une même droite de pente $k_s A_0^{-\theta}$ dans le plan $(\chi, z)$.

Un chenal qui s’écarte de la droite n’est pas en état stationnaire, ou traverse une roche d’érodabilité différente, ou a perdu ou capté de l’aire drainée : un affluent qui se place au-dessus de ses voisins à même $\chi$ est en train de perdre de l’aire drainée au profit de ses voisins ; un affluent situé en dessous gagne de l’aire.

18.3 Paysages transitoires

Définition 18.13 (Niveau de base et knickpoint)

Le niveau de base d’un cours d’eau est l’altitude de son exutoire, en dessous de laquelle il ne peut inciser : la mer, un lac ou le tronc dans lequel il se jette. Un knickpoint est un endroit où la pente du profil longitudinal d’un cours d’eau augmente brusquement, passant d’un tronçon raidi à une chute d’eau.

Un knickpoint peut être fixe, lorsque le cours d’eau franchit un substrat plus dur ou un escarpement de faille encore actif, ou mobile, lorsqu’il marque la tête de la réaction du cours d’eau à une modification située en aval : une baisse du niveau de base, un soulèvement plus rapide.

Théorème 18.14 (Les knickpoints comme ondes cinématiques)

Soit $n = 1$, avec $U$, $K$ et $m$ uniformes, et soit $x$ la distance vers l’amont depuis l’exutoire. Alors $z$ vérifie

$$\frac{\partial z}{\partial t} + K A^m \frac{\partial z}{\partial x} = U ,$$

et toute particularité du profil, une marche comprise, se propage vers l’amont à la célérité $c = K A^m$ en conservant sa hauteur. Un knickpoint qui se forme à l’exutoire à $t = 0$ atteint le point $x$ à l’instant

$$t(x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}x'}{K A(x')^m} = \frac{\chi(x)}{K A_0^m},$$

avec $\chi$ calculé pour $\theta = m$. Tous les knickpoints nés dans un réseau au même instant se trouvent donc au même $\chi$, et sur une même courbe de niveau.

La célérité croît avec l’aire drainée : un knickpoint progresse vite dans le tronc et ralentit dans les têtes de bassin. Le temps qu’il met pour traverser tout le réseau jusqu’aux têtes de chenal est le temps de réponse du paysage, de l’ordre du million d’années pour des taux de soulèvement typiques. Lorsque $n \ne 1$ la célérité dépend aussi de la pente, et une marche change de forme : pour $n > 1$, sa face raide devance les tronçons qui l’entourent et reste nette ; pour $n < 1$, elle retarde et s’étale.

Sur le terrain — Une chute d’eau qui remonte vers l’amont

À Niagara, la rivière se jette dans une gorge qu’elle a elle-même creusée. Il y a environ $12\,500$ ans, les chutes se trouvaient au bord de l’escarpement du Niagara ; depuis, à mesure que l’eau usait les roches de l’escarpement et que des blocs se détachaient de la crête, celle-ci a reculé d’environ $11\,\mathrm{km}$ vers l’amont, soit en moyenne un mètre par an, et environ un dixième de cette valeur aujourd’hui. L’érosion est plus lente lorsque la crête forme un long fer à cheval qui disperse l’eau. La gorge est le chemin du knickpoint.

18.4 Érosion glaciaire

Un glacier qui glisse sur son lit (glissement basal, chapitre 24) l’érode par abrasion, les débris retenus dans la glace raclant la roche, et par arrachement de blocs desserrés par des fissures. Ces deux processus croissent avec la vitesse de glissement.

Définition 18.15 (Loi d’érosion glaciaire)

Une loi d’érosion glaciaire donne le taux d’érosion du lit d’un glacier sous la forme $E = K_G\,u_s^{\,l}$, où $u_s$ est la vitesse de glissement, $K_G$ un coefficient et $l$ un exposant.

Les modèles de paysage prennent généralement $l = 1$, avec des valeurs comprises entre 1 et 2 selon les études. Une compilation portant sur 38 glaciers, dont les taux d’érosion s’étendent sur cinq ordres de grandeur, a montré que l’érosion est corrélée à la vitesse de glissement, avec $l = 0.65$ et $K_G = 10^{-4}$ pour $E$ en mètres par an : l’érosion est la plus rapide sous les glaciers tempérés alimentés par une neige abondante, qui glissent vite. La glace étant la plus épaisse et la plus rapide le long de l’axe d’une vallée, le fond s’approfondit davantage que les flancs, et la vallée prend sa forme en U.

Définition 18.16 (Scie circulaire glaciaire)

La scie circulaire glaciaire est la limite imposée à la hauteur d’une chaîne de montagnes par les glaciers : là où la roche s’élève au-dessus de l’altitude à laquelle se forment les glaciers, ceux-ci l’érodent aussi vite qu’elle s’élève, quel que soit le taux de soulèvement, de sorte que les sommets et l’altitude moyenne se regroupent près de cette altitude.

18.5 Tectonique et érosion

Définition 18.17 (État stationnaire topographique)

Un paysage est dans un état stationnaire topographique lorsque son taux d’érosion égale partout le taux de soulèvement des roches, de sorte que ses altitudes ne changent pas alors que la roche le traverse.

Les taux mesurés sur des échelles de temps différentes permettent de tester cet état. Les nucléides cosmogéniques contenus dans le sable des rivières donnent le taux d’érosion moyen d’un bassin pendant le temps nécessaire à l’enlèvement d’une couche de l’ordre de la longueur d’atténuation de leur production, soit environ $55\,\mathrm{cm}$ de roche ; les thermochronomètres et leurs relations âge–altitude donnent la vitesse d’exhumation sur plusieurs millions d’années. Lorsque les deux concordent entre eux et avec le taux de soulèvement, le paysage est vraisemblablement dans un état stationnaire ; lorsque le taux à court terme est plus rapide dans le cours inférieur que dans les zones de source, un knickpoint est en train de migrer. Enlever de la roche décharge aussi la lithosphère, qui se soulève en conséquence.

Définition 18.18 (Rebond isostatique d’érosion)

Le rebond isostatique d’érosion est la remontée de la surface rocheuse d’une région en équilibre isostatique en réponse à la masse enlevée par l’érosion.

Proposition 18.19 (Les sommets s’élèvent à mesure que les vallées s’approfondissent)

Dans l’isostasie d’Airy, avec une croûte de masse volumique $\rho_c$ reposant sur un manteau de masse volumique $\rho_m$, l’enlèvement d’une épaisseur moyenne $\bar e$ de croûte sur une région élève l’ensemble de la région de $(\rho_c/\rho_m)\,\bar e$. Si l’érosion se limite aux vallées, les sommets non érodés remontent de cette quantité, tandis que la surface moyenne ne s’abaisse que de $(1 - \rho_c/\rho_m)\,\bar e$.

La masse volumique moyenne pondérée par l’épaisseur de la croûte du modèle de Terre de référence vaut $2.72\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ et celle du manteau situé sous son Moho $3.38\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$, soit un rapport de 0.80 : pour chaque centaine de mètres de roche érodée, la surface moyenne ne perd que vingt mètres. Une incision profonde d’un vieux plateau peut ainsi en élever les sommets alors même que le plateau s’use.

18.6 Exercices

Exercice 18.1 ★

Un escarpement de rivage de rejet $4\,\mathrm{m}$ ($a = 2\,\mathrm{m}$) se trouve sur une pente lointaine de 0.04, et son gradient maximal vaut désormais 0.30. Calculer $\kappa t$, puis l’âge de l’escarpement avec $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$.

Solution

Solution de Exercice 18.1.

$a/\sqrt{\pi\kappa t} = 0.30 - 0.04 = 0.26$, donc $\kappa t = (2/0.26)^2/\pi = 18.8\,\mathrm{m}^{2}$, et $t = 18.8/(5\times10^{-3}) = 3.8\,\mathrm{ka}$, à un facteur deux près, dans un sens comme dans l’autre, compte tenu de la plage de $\kappa$.

Exercice 18.2 ★

Un levé lidar donne une courbure de sommet de $-0.012\,\mathrm{m}^{-1}$ sur une crête de diffusivité $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$. Calculer son taux d’érosion en $\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, ainsi que le relief entre sa crête et les chenaux situés à $80\,\mathrm{m}$ de distance, en supposant un état stationnaire.

Solution

Solution de Exercice 18.2.

$E = \kappa\,|\nabla^2 z| = 4\times10^{-3}\times0.012 = 4.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $0.048\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$. Relief $E L^2/(2\kappa) = 0.012\times80^2/2 = 38.4\,\mathrm{m}$.

Exercice 18.3 ★

Avec $m = 0.5$, $n = 1$ et $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{an}^{-1}$, calculer le taux d’incision d’une rivière drainant $25\,\mathrm{km}^{2}$ sur une pente de 0.01. Quelles sont les unités de $K$ pour $m$ et $n$ quelconques ?

Solution

Solution de Exercice 18.3.

$E = 2\times10^{-6}\times(25\times10^6)^{0.5}\times0.01 = 2\times10^{-6} \times5000\times0.01 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$. Comme $E$ est en $\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $A^m$ en $\mathrm{m}^{2m}$ et $S$ n’a pas d’unité, $K$ s’exprime en $\mathrm{m}^{1-2m}\,\mathrm{an}^{-1}$ : $\mathrm{an}^{-1}$ pour $m = 0.5$.

Exercice 18.4 ★

Trois rivières présentent des knickpoints : (a) là où un banc de grès recoupe une vallée creusée dans des schistes ; (b) là où une rivière franchit une faille normale active, du mur vers le toit ; (c) dans chacune des rivières d’un bassin, toutes à peu près à la même altitude, à quelques kilomètres en amont d’une côte qui s’est soulevée lors d’un séisme. Lesquelles sont fixes et lesquelles vont migrer ?

Solution

Solution de Exercice 18.4.

(a) Fixe : un lit dur raidit la rivière là où il affleure, et le ressaut reste attaché au lit. (b) Ancré à la faille : tant que la faille joue, la rivière est raidie là où elle la traverse. (c) Mobile : le soulèvement de la côte a abaissé le niveau de base de toutes les rivières à la fois ; les knickpoints migrent vers l’amont et, comme le prédit le théorème de l’onde cinématique pour $n = 1$, elles se situent sur une même courbe de niveau.

Exercice 18.5 ★★

Pour $m = 1$ et $n = 2$, calculer $\theta$ et la pente stationnaire là où $A = 10\,\mathrm{km}^{2}$, avec $U = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ et $K = 10^{-9}$ en mètres et années. De quel facteur l’indice de raideur change-t-il si $U$ double ? Comparer avec $n = 1$.

Solution

Solution de Exercice 18.5.

$\theta = m/n = 0.5$. $S = (U/K)^{1/2}A^{-1/2} = (10^{-4}/10^{-9})^{1/2} \times(10^7)^{-1/2} = 316\times3.16\times10^{-4} = 0.10$. Doubler $U$ multiplie $k_s = (U/K)^{1/n}$ par $\sqrt2 = 1.41$ ; pour $n = 1$ par 2 : plus $n$ est grand, moins la raideur réagit au soulèvement.

Exercice 18.6 ★★

L’aire drainée d’une rivière croît avec la distance $d$ à sa ligne de partage des eaux selon $A = c\,d^{h}$. Montrer que, mesurée vers l’amont depuis son exutoire en $d = L$,

$$\chi(d) = \frac{A_0^{\theta}}{c^{\theta}}\,\frac{L^{p} - d^{p}}{p}, \qquad p = 1 - h\theta ,$$

et la calculer pour $c = 2$ (SI), $h = 1.8$, $\theta = 0.45$, $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $L = 20\,\mathrm{km}$ et $d = 5\,\mathrm{km}$.

Solution

Solution de Exercice 18.6.

Avec $x$ mesuré vers l’amont à partir de l’exutoire, $\mathrm{d}x = -\mathrm{d}d$, donc $\chi(d) = \int_d^L (A_0/c\,d'^{h})^{\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta} c^{-\theta} \int_d^L d'^{-h\theta}\,\mathrm{d}d' = A_0^{\theta}c^{-\theta}(L^p - d^p)/p$. Ici $p = 0.19$, $A_0^{\theta}c^{-\theta} = 10^{2.7}/2^{0.45}$, et $\chi = 2935\,\mathrm{m}$.

Exercice 18.7 ★★

Avec $n = 1$, $m = 0.5$ et $K = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{an}^{-1}$, calculer la célérité d’un knickpoint où $A = 100\,\mathrm{km}^{2}$, en m/ka, et le temps qu’il mettrait pour parcourir $5\,\mathrm{km}$ à cette vitesse. Pourquoi prend-il en réalité plus de temps ?

Solution

Solution de Exercice 18.7.

$c = 2\times10^{-6}\times(10^8)^{0.5} = 0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $20\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$ ; $5\,\mathrm{km}$ à cette vitesse, il faut $250\,\mathrm{ka}$. L’aire, et avec elle la célérité, diminue vers l’amont, donc le knickpoint ralentit en remontant.

Exercice 18.8 ★★

Des vallées de $600\,\mathrm{m}$ de profondeur, occupant en moyenne $40\,\%$ de la surface d’un plateau, y sont entaillées. Avec $\rho_c/\rho_m = 0.80$, calculer l’épaisseur moyenne érodée, le soulèvement des sommets et la variation de l’altitude moyenne.

Solution

Solution de Exercice 18.8.

$\bar e = 0.40\times600 = 240\,\mathrm{m}$ ; les sommets s’élèvent de $0.80\times240 = 192\,\mathrm{m}$ ; la hauteur moyenne baisse de $240 - 192 = 48\,\mathrm{m}$.

Exercice 18.9 ★★

Une fonction de production du sol admet $P_0 = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ et $h_0 = 0.5\,\mathrm{m}$. Calculer l’épaisseur de sol stationnaire pour une érosion de $0.05\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ et de $0.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$. Que se passe-t-il à $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ ?

Solution

Solution de Exercice 18.9.

$h = h_0\ln(P_0/E)$ : $0.5\ln 6 = 0.90\,\mathrm{m}$ et $0.5\ln1.5 = 0.20\,\mathrm{m}$. À $0.4\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, l’érosion dépasse la production la plus rapide, $P_0$ : le sol est décapé et la pente devient de la roche nue, son abaissement est alors limité par l’altération.

Exercice 18.10 ★★★

Une colline en état stationnaire s’érode à $E = 0.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ avec $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$ et la loi non linéaire de la pente critique, en prenant $S_c = 1.2$ pour l’exercice. Montrer que le flux à une distance $x$ de la ligne de partage des eaux vaut $E x$, résoudre pour le gradient, et le calculer à 20, 50, 100 et $200\,\mathrm{m}$. Comparer avec la diffusion linéaire et décrire la forme de la colline.

Solution

Solution de Exercice 18.10.

À l’état stationnaire $\mathrm{d}q/\mathrm{d}x = E$ et $q = 0$ à la ligne de partage, donc $q = E x$. Alors $\kappa S = E x\,(1 - S^2/S_c^2)$, une équation du second degré dont la racine positive est $S = [-\kappa + \sqrt{\kappa^2 + 4E^2x^2/S_c^2}\,]/(2Ex/S_c^2)$. Pour 20, 50, 100 et $200\,\mathrm{m}$ : 0.36, 0.68, 0.89 et 1.03, contre 0.4, 1.0, 2.0 et 4.0 pour une diffusion linéaire ($S = Ex/\kappa$). La colline présente un sommet arrondi, puis des flancs dont la pente tend vers $S_c$ : des versants presque plans, avec un relief bien moindre que la parabole.

Exercice 18.11 ★★★

Montrer que le temps de réponse d’un réseau hydrographique à une variation survenant à son exutoire vaut, pour $n = 1$, $\chi_h/(K A_0^m)$, où $\chi_h$ est la plus grande valeur de $\chi$ en tête de chenal. Le calculer pour la rivière de plateau des figures ($A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$, $m = 0.5$, $K = 10^{-6}\,\mathrm{an}^{-1}$), d’abord pour son tronc seul, dont la tête est à $\chi = 5464\,\mathrm{m}$, puis pour le réseau, dont la tête la plus haute, sur l’affluent 1, est à $\chi = 7237\,\mathrm{m}$.

Solution

Solution de Exercice 18.11.

Par le théorème de l’onde cinématique, la perturbation atteint un point de coordonnée $\chi$ après $\chi/(KA_0^m)$ ; le réseau a entièrement réagi lorsqu’il a atteint la dernière tête de chenal, de plus grand $\chi$. $K A_0^m = 10^{-6}\times 1000 = 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$ : le cours principal répond en $5.46\,\mathrm{Ma}$, le réseau en $7.24\,\mathrm{Ma}$, de l’ordre du million d’années attendu.

Exercice 18.12 ★★★

Dans un réseau où $n = 1$ et $U$ est uniforme, un affluent s’écoule sur une roche deux fois plus érodable que le reste ($2K$) au-dessus de sa confluence, en $\chi_j$. Montrer que sa ligne stationnaire dans le plan $(\chi, z)$ a une pente égale à la moitié de celle du tronc au-dessus de $\chi_j$, et qu’un knickpoint né à l’exutoire atteint, au moment où le knickpoint du tronc se trouve en $\chi_k > \chi_j$, le point de $\chi = \chi_j + 2(\chi_k - \chi_j)$ de cet affluent.

Solution

Solution de Exercice 18.12.

Au-dessus de la confluence, la pente stationnaire de l’affluent est $S = (U/2K)A^{-\theta}$, donc $\mathrm{d}z/\mathrm{d}\chi = (U/2K)A_0^{-\theta}$, la moitié de celle du cours principal. Le knickpoint atteint la confluence lorsque celui du cours principal est en $\chi_j$ ; après un temps supplémentaire $\Delta t$, celui du cours principal est passé en $\chi_k$ avec $\chi_k - \chi_j = K A_0^m\,\Delta t$, tandis que celui de l’affluent, avec une célérité $2KA^m$, est passé en $\chi$ avec $\chi - \chi_j = 2KA_0^m\,\Delta t = 2(\chi_k - \chi_j)$.

18.7 Problème : la chute d’eau de la rivière de Varden

Problème 18.1

Problème du week-end — le profil, la raideur et l’érodabilité d’une rivière de plateau fictive, et l’âge de sa chute d’eau

À l’ouest des collines de Varden, la rivière draine un plateau de schistes avant d’entrer sur la carte par son bord ouest, à une altitude de $170\,\mathrm{m}$. En amont de ce point, son exutoire, le tronc mesure $12\,\mathrm{km}$ de long depuis sa ligne de partage des eaux, avec une aire drainée $A = 4.5\,d^{1.7}$ ($\mathrm{m}^{2}$, $d$ en mètres à partir de la ligne de partage des eaux) et une tête de chenal à $d = 300\,\mathrm{m}$. Prendre comme taux de soulèvement des roches le taux de dénudation du bassin de la rivière de Varden, obtenu à partir de ses charges, dans le volume de première année, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$. Poser $n = 1$ et l’aire de référence $A_0 = 1\,\mathrm{km}^{2}$. Une chute d’eau haute de $25\,\mathrm{m}$ se trouve sur le tronc, à $4.60\,\mathrm{km}$ en amont de l’exutoire. Toutes les valeurs sont fictives.

Partie I — Le profil.

1. Calculer l’aire drainée à l’exutoire et à la tête de chenal.

2. Pentes mesurées sur des tronçons de $200\,\mathrm{m}$, à l’écart de la chute d’eau :

   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	0.388	0.587	0.888	1.345	2.036	3.082
   $S$	0.06641	0.05026	0.04888	0.03322	0.03688	0.02688
   $A$ ($\mathrm{km}^{2}$)	4.665	7.061	10.69	16.18	24.49	37.08
   $S$	0.01921	0.01713	0.01545	0.01419	0.007922	0.007855

   Estimer l’indice de concavité à partir du premier et du dernier point.

3. La pente des moindres carrés de $\log S$ en fonction de $\log A$ vaut $-0.466$. Est-elle compatible avec $\theta = 0.5$ ?
4. Avec $\theta_{\mathrm{ref}} = 0.5$, calculer $k_{sn} = S A^{0.5}$ ($A$ en $\mathrm{m}^{2}$) pour le premier et le dernier point, et dire ce que représente la moyenne géométrique des douze valeurs, $45.1\,\mathrm{m}$.
5. Pourquoi les pentes sont-elles beaucoup plus dispersées que les altitudes ?
6. En utilisant la formule de l’exercice sur le chi, calculer $\chi$ à $d = 9.00\,\mathrm{km}$, en un point situé sous la chute d’eau.

Partie II — Raideur et érodabilité.

7. La rivière se trouve à $193.4\,\mathrm{m}$ pour $d = 9.00\,\mathrm{km}$. Calculer la pente de la courbe en chi sous la chute d’eau et la raideur $k_{sn}$.
8. Quelle estimation de $k_{sn}$ retenir, celle-ci ou celle issue de la méthode pente–aire, et pourquoi ?
9. En supposant un état stationnaire sous la chute d’eau, calculer $K$ à partir du taux de soulèvement.
10. Vérifier que le taux d’incision à l’exutoire, dont la pente vaut 0.00691, est égal au taux de soulèvement.
11. Calculer la célérité d’un knickpoint à l’exutoire et à la chute d’eau, en m/ka.
12. Calculer l’altitude de la tête de chenal sur le profil stationnaire, et le dénivelé du tronc.

Partie III — La chute d’eau.

13. Pourquoi, avec $n = 1$, la chute d’eau a-t-elle conservé la hauteur de la baisse du niveau de base ?
14. Calculer $\chi$ à la chute d’eau.
15. Calculer le temps mis par le knickpoint pour aller de l’exutoire à sa position actuelle.
16. Où se trouvera-t-il d’ici $300\,\mathrm{ka}$ ?
17. L’affluent 3 rejoint le tronc à $2.5\,\mathrm{km}$ en amont de l’exutoire ; il mesure $5\,\mathrm{km}$ de long, avec $A = 1.5\,s^{1.7}$ ($s$ à partir de sa propre ligne de partage des eaux). Où doit se situer sa chute d’eau ?
18. Les affluents 1 et 2 rejoignent le tronc à 8 et $5\,\mathrm{km}$ en amont de l’exutoire. Expliquer pourquoi ils n’ont pas de chute d’eau.

Partie IV — Les versants et l’âge.

19. Un levé lidar en amont de la chute d’eau donne une courbure de sommet de $-0.0086\,\mathrm{m}^{-1}$. Avec $\kappa = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{an}$, calculer le taux d’érosion et le comparer au taux de soulèvement.
20. Les versants mesurent environ $150\,\mathrm{m}$ de long. Comparer leur temps de réponse $L^2/\kappa$ avec l’âge trouvé dans la partie III.
21. Décrire les versants situés sous la chute d’eau aujourd’hui, et dire comment ils évolueront.
22. Le taux de soulèvement est connu à $20\,\%$ près. Donner l’intervalle de valeurs possibles de l’âge.
23. Comment la chute d’eau aurait-elle évolué si $n$ valait 2 ?
24. Donner l’âge de la baisse du niveau de base.

Solution

Solution de Problème 18.1.

1. $4.5\times12000^{1.7} = 3.87 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$, $38.7\,\mathrm{km}^{2}$ ; $4.5\times300^{1.7} = 7.3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, $0.073\,\mathrm{km}^{2}$.

2. $\theta \approx -\log(0.007855/0.06641)/\log(37.08/0.388) = 0.928/1.980 = 0.47$.

3. Oui : avec une dispersion d’environ $10\,\%$ sur douze points, $0.466$ ne diffère pas significativement de 0.5.

4. $0.06641\times\sqrt{388\,000} = 41.4\,\mathrm{m}$ ; $0.007855\times\sqrt{3.708\times10^7} = 47.8\,\mathrm{m}$. La moyenne géométrique, $45.1\,\mathrm{m}$, estime $k_s$ pour $\theta = 0.5$.

5. Une pente est la différence de deux hauteurs, chacune incertaine de quelques décimètres à quelques mètres, divisée par une courte distance ; sur les tronçons à faible pente, l’erreur représente une grande part de la différence. $\chi$ intègre au lieu de dériver.

6. $p = 1 - 1.7\times0.5 = 0.15$ ; $\chi = (1000/\sqrt{4.5})\, (12000^{0.15} - 9000^{0.15})/0.15 = 543.1\,\mathrm{m}$.

7. $(193.4 - 170)/543.1 = 0.0431$ ; $k_{sn} = 0.0431\times A_0^{0.5} = 43.1\,\mathrm{m}$.

8. L’estimation en chi : elle repose sur des hauteurs mesurées sur $3\,\mathrm{km}$ de cours d’eau, et non sur douze pentes bruitées.

9. $K = U/k_{sn} = 4.3\times10^{-5}/43.1 = 1.00 \times 10^{-6}\,\mathrm{an}^{-1}$.

10. $10^{-6}\times\sqrt{3.87\times10^7}\times0.00691 = 4.30 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ : l’exutoire suit le rythme du soulèvement.

11. À l’exutoire $10^{-6}\times6222 = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$ ; à la cascade, $d = 7.40\,\mathrm{km}$, $A = 1.70 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}$ et $4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{ka}$.

12. $170 + 43\times(4.5)^{-0.5}(12000^{0.15} - 300^{0.15})/0.15 = 405\,\mathrm{m}$ : un dénivelé de $235\,\mathrm{m}$.

13. Pour $n = 1$, l’équation est une onde cinématique : les points de part et d’autre de la marche s’élèvent de $U$ par unité de temps, si bien que la marche conserve sa hauteur, soit les $25\,\mathrm{m}$ de la chute.

14. $\chi = (1000/\sqrt{4.5})(12000^{0.15} - 7400^{0.15})/0.15 = 899.4\,\mathrm{m}$.

15. $t = \chi/(KA_0^{0.5}) = 899.4/10^{-3} = 899\,\mathrm{ka}$.

16. Pour $\chi = 899.4 + 300 = 1199\,\mathrm{m}$ : $d^{0.15} = 12000^{0.15} - 1199\times0.15\times\sqrt{4.5}/1000$, $d = 6.25\,\mathrm{km}$, soit $5.75\,\mathrm{km}$ en amont de l’exutoire.

17. Au confluent ($d = 9.5\,\mathrm{km}$), $\chi = 442.8\,\mathrm{m}$ ; la cascade se situe là où le $\chi$ de l’affluent atteint $899.4\,\mathrm{m}$ : $s^{0.15} = 5000^{0.15} - (899.4 - 442.8)\times0.15\times\sqrt{1.5}/1000$, $s = 4.27\,\mathrm{km}$, soit $0.73\,\mathrm{km}$ en amont du confluent.

18. Leurs confluents sont à $\chi = 1954$ et $999\,\mathrm{m}$, au-delà de $899\,\mathrm{m}$ : le knickpoint ne les a pas encore dépassés, si bien que le tronc y est encore à son ancien niveau.

19. $E = 5\times10^{-3}\times0.0086 = 4.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$, $43\,\mathrm{m}/\mathrm{Ma}$ : les collines au-dessus de la cascade s’érodent au taux de soulèvement, en état stationnaire.

20. $150^2/(5\times10^{-3}) = 4.5\,\mathrm{Ma}$, soit cinq fois l’âge de la cascade.

21. Leur pied a été abaissé de $25\,\mathrm{m}$ avec le chenal : leurs parties basses sont désormais trop raides, peut-être en glissement, tandis que leurs crêtes continuent de s’éroder au même taux. Une vague de raidissement remonte chaque versant ; après quelques millions d’années, elles retrouvent la même parabole, abaissée de $25\,\mathrm{m}$.

22. $t = \chi k_{sn}/(U A_0^{0.5})$ varie comme $1/U$ : de $899/1.2 = 749$ à $899/0.8 = 1124\,\mathrm{ka}$.

23. Avec $n = 2$, la célérité croît avec la pente : la face raide se propagerait plus vite que les tronçons voisins et resterait vive, mais sa vitesse et l’âge que l’on en tire différeraient.

24. Le niveau de base de la rivière Varden s’est abaissé il y a $900\,\mathrm{ka}$ ($899\,\mathrm{ka}$ par le calcul).