7Mécanismes de déformation et zones de cisaillement

En surface, le granite d’une montagne se fracture le long de failles. Vingt kilomètres plus bas, ce même granite coule comme du caramel mou dans une zone de cisaillement large de quelques centaines de mètres, ses feldspaths arrondis en « yeux » et son quartz étiré en rubans. Un cristal peut s’écouler sans se rompre, car il n’est jamais parfait : il se déplace grâce à ses défauts, une rangée d’atomes à la fois, ou par des atomes qui diffusent d’une face d’un grain à l’autre. Ce chapitre suit ces mécanismes depuis le réseau cristallin jusqu’aux lois qu’utilise la géodynamique, aux cartes qui indiquent quel mécanisme l’emporte, et jusqu’aux zones de cisaillement où la roche enregistre son mouvement.

Tu sais déjà

Les défauts ponctuels, la loi d’Arrhénius et l’énergie d’activation sont traités dans les volumes de chimie universitaires ; le coefficient de diffusion dans les volumes de physique. Contrainte et déformation, l’ellipse de déformation, le cisaillement simple et son ellipse ($S_{1,2} = \sqrt{1 + \gamma^2/4} \pm \gamma/2$, grand axe à $\theta'$ de la direction de cisaillement, avec $\tan2\theta' = 2/\gamma$), fluage en loi de puissance avec ses constantes pour le quartzite humide et l’olivine sèche, l’enveloppe de résistance et la transition cassant–ductile figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur contrainte, déformation et rhéologie ; foliation, linéation et la description de la mylonite dans son chapitre sur les failles, les plis et les fabriques. La viscosité effective du manteau figure au Chapitre 6.

7.1 Défauts cristallins

Pour cisailler un cristal parfait, toutes les liaisons traversant un plan réticulaire devraient rompre d’un coup, ce qui demande une contrainte de l’ordre d’un dixième du module de cisaillement, qui dans le manteau vaut environ $8 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ (Chapitre 6) : des milliers de mégapascals. Les cristaux réels cèdent sous des contraintes bien plus faibles, car ils glissent une ligne d’atomes à la fois.

Définition 7.1 (Dislocation)

Une dislocation est un défaut linéaire dans un cristal : la frontière, à l’intérieur du cristal, entre une partie d’un plan réticulaire qui a glissé et une partie qui ne l’a pas. Son vecteur de Burgers $\mathbf b$ est le glissement qu’il transporte, égal à un pas du réseau selon une direction du réseau. Dans une dislocation coin, $\mathbf b$ est perpendiculaire à la ligne, qui est l’arête d’un demi-plan supplémentaire d’atomes ; dans une dislocation vis, elle est parallèle à la ligne. Une dislocation se déplace par glissement sur son plan de glissement, et une dislocation coin quitte ce plan par montée : des atomes ou des lacunes diffusent vers l’arête de son demi-plan ou en partent.

Le réseau s’oppose au glissement d’une dislocation sous une faible contrainte, la contrainte de Peierls, qui dépend de la force et de la direction des liaisons : c’est pourquoi certains systèmes de glissement d’un minéral sont faciles et d’autres difficiles. À mesure que le cristal se déforme, les dislocations se multiplient et s’enchevêtrent ; elles se bloquent mutuellement, et le cristal durcit, à moins qu’elles ne puissent contourner les obstacles par montée ou s’annihiler, ce qui demande une diffusion, donc de la chaleur.

7.2 Mécanismes du fluage

Définition 7.2 (Mécanismes du fluage)

Dans le fluage par dislocations, les cristaux se déforment par glissement des dislocations, la montée les libérant des obstacles. Dans le fluage par diffusion, ils changent de forme par la diffusion d’atomes, à travers le réseau (fluage de Nabarro–Herring) ou le long des joints de grains (fluage de Coble), depuis les faces soumises à la plus forte contrainte normale vers celles soumises à la plus faible. Dans le glissement aux joints de grains où les grains glissent les uns par rapport aux autres le long de leurs joints, les vides étant comblés par diffusion ou par fluage par dislocations. Dans la dissolution sous pression, la matière se dissout dans un film de fluide sur les faces soumises à une forte contrainte et se dépose là où la contrainte est faible, ou bien elle est emportée au loin.

Proposition 7.3 (Dépendance à la taille de grain du fluage par diffusion)

À faible contrainte $\sigma$, une roche de taille de grain $d$ flue par diffusion à la vitesse

$$\dot\varepsilon \approx B_L\frac{D_L\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^2} \quad\text{(à travers le réseau)},\qquad \dot\varepsilon \approx B_B\frac{\delta D_B\Omega}{k_BT}\frac{\sigma}{d^3} \quad\text{(le long des joints)},$$

où $D_L$ et $D_B$ sont les coefficients de diffusion dans le réseau et dans les joints, $\delta$ la largeur d’un joint, $\Omega$ le volume d’un atome, $k_B$ la constante de Boltzmann et $B_L$, $B_B$ des nombres de l’ordre de dix qui dépendent de la forme des grains.

Le fluage par diffusion est linéaire en la contrainte, un véritable écoulement visqueux, et il est rapide dans les roches à grains fins : diviser la taille de grain par deux rend le fluage de Coble huit fois plus rapide (figure ci-dessous). Le fluage par dislocations ne dépend pas de la taille de grain, mais croît avec une forte puissance de la contrainte.

Les cristaux déformés se réparent aussi pendant qu’ils se déforment.

Définition 7.4 (Restauration, sous-grain, recristallisation dynamique)

La restauration est le réarrangement des dislocations, par montée et glissement dévié, en arrangements de plus basse énergie, ainsi que leur annihilation. Des dislocations disposées en parois divisent un grain en sous-grains, parties du grain dont les réseaux sont inclinés de quelques degrés les uns par rapport aux autres. Recristallisation dynamique est le remplacement, pendant la déformation, des grains écrouis par de nouveaux grains contenant moins de dislocations, soit par la rotation des sous-grains jusqu’à ce qu’ils deviennent des grains, soit par la migration des joints de grains dans les voisins les plus déformés.

Définition 7.5 (Orientation cristallographique préférentielle)

Une roche présente une orientation cristallographique préférentielle (OCP) lorsque les réseaux de ses grains ne sont pas orientés au hasard mais se regroupent autour de directions imposées par la déformation ; le fluage par dislocations la produit, en faisant tourner les systèmes de glissement de chaque grain vers l’écoulement.

Une roche à OCP hérite de l’anisotropie de ses cristaux : ses vitesses sismiques, par exemple, dépendent de la direction, ce qui permet à la sismologie de voir la fabrique du manteau profond. Le fluage par diffusion et le glissement aux joints de grains, qui laissent les grains tourner librement, n’en construisent pas.

7.3 Lois de fluage

Définition 7.6 (Loi de fluage, exposant de contrainte, température homologue)

Une loi de fluage donne la vitesse de déformation d’une roche qui se déforme par un seul mécanisme, en fonction de la contrainte différentielle $\sigma$, de la taille de grain $d$, de la température $T$ et de la pression $P$ :

$$\dot\varepsilon = A\,\sigma^nd^{-m}\exp\Bigl(-\frac{E + PV}{RT}\Bigr),$$

avec $A$, $n$, $m$, l’énergie d’activation $E$ et le volume d’activation $V$ mesurés en laboratoire. Le exposant de contrainte est $n$, l’exposant de taille de grain $m$. La température homologue d’un minéral est $T/T_m$, sa température absolue divisée par sa température de fusion absolue.

Dans les lois utilisées ici, le fluage par dislocations a $n$ de 3.5 ou 4 et $m = 0$ ; le fluage par diffusion a $n = 1$ et $m = 2$ ou 3 (voir la Proposition 7.3). Le fluage croît lorsque la température homologue s’approche de 1. La forstérite fond à $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, donc le manteau à $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ se situe à $T/T_m = 0.73$ ; la glace à $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ atteint 0.96, ce qui explique pourquoi les glaciers s’écoulent. Les valeurs de l’olivine utilisées ici sont celles d’une compilation de laboratoire largement employée : olivine sèche en fluage par dislocations, $A = 1.1 \times 10^{5}$, $n = 3.5$, $E = 530\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 14\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; en fluage par diffusion, $A = 10^{9.2}$, $n = 1$, $m = 3$, $E = 375\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $V = 5\,\mathrm{cm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}$ (contrainte en mégapascals, taille de grain en micromètres, temps en secondes) ; le quartzite humide est celui du volume de première année. L’eau affaiblit l’olivine : à une fugacité d’eau d’environ $300\,\mathrm{MPa}$, les agrégats d’olivine fluent cinq à six fois plus vite que les agrégats secs en fluage par dislocations, cinq fois plus vite en fluage par diffusion.

Proposition 7.7 (Viscosité effective)

Une roche obéissant à une loi de fluage $\dot\varepsilon = A'\sigma^n$ à $T$, $P$ et $d$ donnés, a pour viscosité effective

$$\eta_{\mathrm{eff}} = \frac{\sigma}{2\dot\varepsilon} = \tfrac12A'^{-1/n}\,\dot\varepsilon^{(1-n)/n}~:$$

pour $n > 1$, elle diminue à mesure que la roche se déforme plus vite.

Du quartzite humide à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, s’écoulant à $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$, nécessite $65\,\mathrm{MPa}$ et possède une viscosité effective de $3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ; à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $18\,\mathrm{MPa}$ et $9 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : une centaine de degrés divise la résistance par plus de trois (figure ci-dessous). De l’olivine sèche à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $1\,\mathrm{GPa}$ ne nécessite que $3\,\mathrm{MPa}$. Les enveloppes de résistance du volume de première année sont construites précisément à partir de ces lois.

7.4 Cartes des mécanismes de déformation

Plusieurs mécanismes fonctionnent en parallèle, et le plus rapide porte la déformation.

Définition 7.8 (Carte des mécanismes de déformation)

Une carte des mécanismes de déformation d’un minéral ou d’une roche montre, sur des axes de deux des variables contrainte, taille de grain et température, les domaines dans lesquels chaque mécanisme est le plus rapide, avec des courbes d’isovaleur de la vitesse de déformation totale.

Proposition 7.9 (Frontière entre mécanismes)

À $T$ et $P$ donnés, le fluage par dislocations ($A_1$, $n_1$, $E_1$, $V_1$, sans dépendance à la taille de grain) et le fluage par diffusion ($A_2$, $n_2 = 1$, $m$, $E_2$, $V_2$) s’écoulent à la même vitesse pour la contrainte

$$\sigma_b = \biggl(\frac{A_2d^{-m}}{A_1} \exp\frac{(E_1 - E_2) + P(V_1 - V_2)}{RT}\biggr)^{1/(n_1 - 1)} ,$$

de sorte que la frontière est une droite de pente $-m/(n_1 - 1)$ sur des axes logarithmiques de taille de grain et de contrainte ; le fluage par dislocations l’emporte au-dessus.

Pour l’olivine sèche à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $2\,\mathrm{GPa}$, la frontière se situe à $5\,\mathrm{MPa}$ pour une taille de grain de $1\,\mathrm{mm}$ et à $79\,\mathrm{MPa}$ pour $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ (figure ci-dessous). Le manteau à grains fins flue par diffusion, le manteau à gros grains par dislocations ; les données de laboratoire et géophysiques suggèrent que les deux régimes existent dans le manteau supérieur, le manteau chaud et peu profond s’écoulant par fluage par dislocations et le manteau plus froid ou plus profond par fluage par diffusion, et que là où la contrainte augmente et où les grains rétrécissent, le manteau près de la frontière s’affaiblit et la déformation se localise.

La taille de grain que produit la recristallisation dynamique dépend de la contrainte, et c’est ce qui fait des grains une jauge de contrainte.

Définition 7.10 (Paléopiézomètre)

Un paléopiézomètre est un élément d’une roche déformée dont la taille ou la densité est fixée par la contrainte différentielle sous laquelle il s’est formé, étalonné en laboratoire, à partir duquel on peut lire la contrainte d’une déformation passée.

Pour le quartz, des expériences menées à $1.5\,\mathrm{GPa}$ et entre 800 et $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, pour des contraintes d’écoulement comprises entre 34 et $268\,\mathrm{MPa}$, ont donné des grains recristallisés allant de 46 à $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$, ajustés par

sans effet détectable de la température. Une mylonite de quartz dont les grains recristallisés mesurant $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de large se sont déformés sous une contrainte d’environ $62\,\mathrm{MPa}$.

7.5 Zones de cisaillement

Définition 7.11 (Zone de cisaillement, adoucissement par la déformation)

Une zone de cisaillement est une zone tabulaire, comprise entre des parois peu déformées, où la déformation est concentrée et voisine d’un cisaillement simple parallèle à la zone. Une roche subit un adoucissement par la déformation lorsque sa résistance diminue au fur et à mesure qu’elle se déforme.

L’adoucissement par la déformation est ce qui maintient une zone de cisaillement étroite : dès qu’une bande est moins résistante que ses parois, la déformation y reste confinée. La réduction de la taille de grain par recristallisation dynamique, qui peut faire basculer la roche vers le fluage par diffusion, la croissance d’une OPC qui aligne les systèmes de glissement faciles, l’arrivée d’eau et les réactions qui rendent des minéraux faibles, comme les micas, adoucissent toutes la roche. Les mylonites du volume de première année en sont le produit. Dans une zone de cisaillement simple, un marqueur qui traversait la zone à angle droit est dévié dans celle-ci : s’il fait, à l’intérieur de la zone, un angle $\psi$ avec sa direction initiale, le cisaillement vaut $\gamma = \tan\psi$, et le déplacement à travers une zone de largeur $w$ est $\gamma w$.

Définition 7.12 (Indicateurs cinématiques)

Un indicateur cinématique est une structure dont l’asymétrie enregistre le sens de cisaillement, c’est-à-dire le sens dans lequel une paroi d’une zone de cisaillement s’est déplacée par rapport à l’autre, lu dans le plan qui contient la linéation d’étirement et qui est perpendiculaire à la foliation. Une fabrique S–C est un couple de foliations : S, la foliation des grains aplatis, oblique à la zone et tournée vers la direction d’étirement, et C, des bandes de cisaillement parallèles à la zone. Un système de porphyroclaste est un grain résistant entouré de queues de matériau recristallisé : dans un porphyroclaste de type $\sigma$, les queues passent d’un côté de la ligne médiane du clast à l’autre sans la traverser ; dans un porphyroclaste de type $\delta$, entraînées par la rotation du clast, elles la traversent. Un poisson de mica est un grain de mica en forme de losange, incliné par rapport au plan de cisaillement, avec de fines queues qui se décalent comme celles d’un clast de type $\sigma$.

Pris ensemble, quelques indicateurs concordants donnent le sens de cisaillement avec confiance ; un seul peut induire en erreur, car des clasts rétro-tournés et des plis asymétriques d’autres origines existent. La photographie de l’encadré ci-dessous montre des porphyroclastes dans une mylonite.

Au laboratoire — Compresser une roche dans les conditions du manteau

Dans un appareil de déformation à milieu gazeux, un cylindre de roche ou de poudre d’olivine compactée à chaud, long d’un ou deux centimètres, est scellé dans une fine gaine métallique et placé avec ses pistons dans un four, lui-même logé dans une cuve d’acier remplie d’un gaz inerte comprimé qui fixe la pression de confinement, de quelques centaines de mégapascals. Un actionneur entraîne le piston à vitesse constante, ou sous une charge constante, tandis qu’une cellule de charge interne mesure la contrainte exercée sur l’échantillon lui-même, à l’abri des frottements des joints d’étanchéité. L’olivine est déformée ainsi à des températures voisines de $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; en fin d’essai, l’échantillon est trempé, découpé, poli, puis examiné au microscope optique et au microscope électronique, où l’on mesure sa taille de grain, ses sous-grains et ses dislocations.

7.6 Exercices

Exercice 7.1 ★

La forstérite fond à $1890\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et la glace à $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Calculer la température homologue de la forstérite à $1300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et de la glace à $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Lequel flue le plus facilement ?

Solution

Solution de Exercice 7.1.

Forstérite : $1573/2163 = 0.73$ ; glace : $263/273 = 0.96$. La glace est bien plus proche de son point de fusion et flue plus facilement : les glaciers s’écoulent à la surface de la Terre.

Exercice 7.2 ★

Un dyke traversant une zone de cisaillement à angle droit est dévié de $70{}^{\circ}$ à l’intérieur de la zone, et un autre de $80{}^{\circ}$. Calculer les déformations de cisaillement. Pourquoi les grandes déformations sont-elles difficiles à mesurer ainsi ?

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$\gamma = \tan70{}^{\circ} = 2.75$ et $\tan80{}^{\circ} = 5.67$. Près de $90{}^{\circ}$, la tangente varie très vite avec l’angle : une erreur d’un degré sur $\psi = 84{}^{\circ}$ modifie $\gamma$ d’un cinquième.

Exercice 7.3 ★

Avec le paléopiézomètre du quartz, quelle contrainte indique une taille de grain recristallisée de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.3.

$\sigma = (10^{3.56}/10)^{1/1.26} = 363.1^{0.794} = 108\,\mathrm{MPa}$.

Exercice 7.4 ★

Avec la loi de fluage du quartzite humide ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$), calculer la vitesse de déformation à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sous $20\,\mathrm{MPa}$.

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$E/RT = 223000/(8.314\times773.15) = 34.69$, donc $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times20^4\times e^{-34.69} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.6 \times 10^{5}\times 8.6 \times 10^{-16} = 1.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$.

Exercice 7.5 ★★

Calculer la viscosité effective d’un quartzite humide s’écoulant à $10^{-14}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($65.4\,\mathrm{MPa}$) et à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($18.0\,\mathrm{MPa}$). Comparer ces valeurs aux viscosités du manteau étudiées au Chapitre 6.

Solution

Solution de Exercice 7.5.

$\eta = \sigma/(2\dot\varepsilon)$ : $65.4 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 3.3 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $18.0 \times 10^{6}/2 \times 10^{-14} = 9.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : la croûte moyenne à ces températures est à peu près aussi visqueuse que le manteau sous les calottes glaciaires.

Exercice 7.6 ★★

Deux expériences à la même température donnent $10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ sous $100\,\mathrm{MPa}$ et $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$ sous $200\,\mathrm{MPa}$. Calculer l’exposant de contrainte et nommer le mécanisme probable.

Solution

Solution de Exercice 7.6.

$n = \log(1.6 \times 10^{-4}/10^{-5})/\log2 = \log16/\log2 = 4$ : fluage par dislocations, dont l’exposant de contrainte est largement supérieur à 1.

Exercice 7.7 ★★

À même contrainte, un échantillon flue dix fois plus vite à $1100\,\mathrm{K}$ qu’à $1000\,\mathrm{K}$. Calculer l’énergie d’activation.

Solution

Solution de Exercice 7.7.

$\ln10 = (E/R)(1/1000 - 1/1100)$, donc $E = 8.314\times2.3026/9.091 \times 10^{-5} = 211\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

Exercice 7.8 ★★

De quel facteur varie la vitesse de déformation en fluage par diffusion lorsque la taille de grain est divisée par dix, pour le fluage de Nabarro–Herring et pour le fluage de Coble ? Pourquoi le fluage de Coble est-il le plus sensible ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

Nabarro–Herring ($d^{-2}$) : 100 fois plus rapide ; Coble ($d^{-3}$) : 1000 fois. Le long des joints de grains, les atomes qui diffusent empruntent un chemin dont la section, $\delta d$, qui diminue avec la taille du grain, s’ajoute à la distance plus courte et au volume plus petit à déplacer.

Exercice 7.9 ★★

Pour l’olivine sèche à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et $2\,\mathrm{GPa}$, les deux lois de fluage donnent $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\,\sigma^{3.5}$ et $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\,\sigma d^{-3}$ (unités du texte). Calculer la contrainte à la frontière pour $d = 1\,\mathrm{mm}$ et $d = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$, et la pente de la frontière.

Solution

Solution de Exercice 7.9.

$\sigma_b^{2.5} = 3.59 \times 10^{-6}\,d^{-3}/6.54 \times 10^{-17}$ : pour $d = 1000$, $\sigma_b = 54.9^{0.4} = 5.0\,\mathrm{MPa}$ ; pour $d = 100$, $\sigma_b = 54\,900^{0.4} = 79\,\mathrm{MPa}$. La pente vaut $-3/2.5 = -1.2$ : un grain dix fois plus fin augmente la contrainte d’un facteur $10^{1.2} = 16$.

Exercice 7.10 ★★★

En suivant la démonstration de la Proposition 7.3, expliquer pourquoi le chemin par le réseau donne $d^{-2}$ et le chemin par les joints $d^{-3}$, et montrer que la diffusion aux joints l’emporte en dessous de la taille de grain $d^* \approx (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Solution

Solution de Exercice 7.10.

Dans les deux chemins, l’écart de concentration moteur est le même et la distance vaut $d$ ; le volume à déplacer par unité de déformation est $d^3$. Le réseau offre une section $\propto d^2$, donc la vitesse varie comme $d^2/(d\,d^3) = d^{-2}$ ; les joints de grains offrent $\propto\delta d$, donc $\delta d/(d\,d^3) = \delta d^{-3}$. Le rapport des vitesses aux joints et dans le réseau est $(B_B\delta D_B)/(B_LD_Ld)$, supérieur à 1 lorsque $d < (B_B/B_L)\,\delta D_B/D_L$.

Exercice 7.11 ★★★

Pour une loi de fluage avec $n = 3.5$, de quel facteur la viscosité effective diminue-t-elle lorsque la vitesse de déformation est multipliée par dix ? Pourquoi cela favorise-t-il la localisation de la déformation dans les zones de cisaillement ?

Solution

Solution de Exercice 7.11.

$\eta \propto \dot\varepsilon^{(1-n)/n} = \dot\varepsilon^{-2.5/3.5}$ : dix fois plus rapide divise la viscosité par $10^{0.714} = 5.2$. Une bande qui se déforme par hasard plus vite devient plus faible, si bien qu’elle prend une plus grande part de la déformation : elle s’y concentre.

Exercice 7.12 ★★★

Dans l’olivine sèche de l’exercice 9, une zone de cisaillement du manteau sous $10\,\mathrm{MPa}$ se recristallise, passant de grains de $3\,\mathrm{mm}$ à $30\,\text{µ}\mathrm{m}$. Calculer la vitesse de déformation totale avant et après, ainsi que le facteur d’adoucissement. Quel mécanisme porte la déformation dans chaque cas ?

Solution

Solution de Exercice 7.12.

Avant : $\dot\varepsilon_{\mathrm{dis}} = 6.54 \times 10^{-17}\times10^{3.5} = 2.07 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6} \times10/3000^3 = 1.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $2.08 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluage par dislocations. Après : $\dot\varepsilon_{\mathrm{dif}} = 3.59 \times 10^{-6}\times10/30^3 = 1.33 \times 10^{-9}\,\mathrm{s}^{-1}$, fluage par diffusion, $6400$ fois plus rapide sous la même contrainte : la recristallisation a considérablement adouci la zone.

7.7 Problème : la zone de cisaillement de Varden

Problème 7.1

Problème du week-end — la déformation, la contrainte, la vitesse de déformation et l’âge d’une zone de cisaillement fictive

Sous le granite des collines de Varden, région fictive de la série, un forage et une tranchée routière profonde (toutes deux fictives) révèlent une zone de cisaillement ductile de $400\,\mathrm{m}$ de large, formée vers $15\,\mathrm{km}$ de profondeur et à $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. Un dyke de dolérite qui traverse les parois à angle droit forme, à l’intérieur de la zone, un angle de seulement $6{}^{\circ}$ avec les limites de la zone. Son quartz est une mylonite de grains recristallisés de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diamètre (de 15 à $25\,\text{µ}\mathrm{m}$). Prendre le paléopiézomètre du quartz $D = 10^{3.56}\sigma^{-1.26}$, la loi de fluage du quartzite humide ($A = 1.1 \times 10^{-4}$, $n = 4$, $E = 223\,\mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}$), $R = 8.314\,\mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $1\,\mathrm{an}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, et, en cisaillement simple, $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon$.

Partie I — La déformation.

1. Calculer la déflexion $\psi$ du dyke et la déformation de cisaillement.
2. Calculer le déplacement d’une paroi par rapport à l’autre.
3. Calculer les étirements principaux de l’ellipse de déformation et son rapport d’axes.
4. Calculer l’angle du grand axe avec la zone. Que devient la foliation de la zone lorsque $\gamma$ augmente ?
5. Vu d’en haut, le dyke, suivi depuis la paroi sud, s’infléchit vers l’est en entrant dans la zone est–ouest, puis reprend sa direction vers le nord à la paroi nord. Dans quel sens la paroi nord s’est-elle déplacée, et la zone est-elle dextre ou senestre ?
6. Dans quel plan faut-il prélever une lame mince pour lire les indicateurs cinématiques, et dans quel sens doit pencher sa foliation S ?

Partie II — La contrainte.

7. Calculer la contrainte indiquée par les grains de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$.
8. Calculer les contraintes pour des grains de 15 et de $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.
9. La contrainte se situe-t-elle dans la plage de l’étalonnage ?
10. Le paléopiézomètre ne montre aucun effet de la température. Pourquoi cela importe-t-il ici ?
11. Quelle taille de grain une contrainte de $100\,\mathrm{MPa}$ aurait-elle produite ?

Partie III — La vitesse de déformation.

12. Calculer $E/RT$ à $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ et le facteur d’Arrhenius.
13. Calculer la vitesse de déformation du quartz sous la contrainte de la question 7 (prendre $62\,\mathrm{MPa}$).
14. Calculer la vitesse de déformation de cisaillement.
15. Calculer la viscosité effective de la zone et la comparer au manteau supérieur du Chapitre 6.
16. De quels facteurs la vitesse de déformation changerait-elle à 400 et $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, à contrainte identique ?
17. De quel facteur changerait-elle si la contrainte était celle des grains les plus fins, soit $78\,\mathrm{MPa}$ ?

Partie IV — Le temps.

18. Calculer le temps nécessaire pour accumuler la déformation de cisaillement de la question 1, en secondes.
19. Convertir ce temps en ka.
20. Calculer la vitesse moyenne de glissement à travers la zone, en $\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.
21. Comparer ce résultat aux vitesses des limites de plaques, de l’ordre de dizaines de millimètres par an.
22. Si la zone avait porté $20\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, quelles auraient été la vitesse de déformation de cisaillement, la contrainte et la taille des grains recristallisés ?
23. Comment les incertitudes sur la taille de grain et sur l’exposant du paléopiézomètre affectent-elles le temps ?
24. Donner le temps qu’a mis la zone de cisaillement de Varden pour accumuler sa déformation, en ka.

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. Le filon passe de $90{}^{\circ}$ à $6{}^{\circ}$ par rapport à la zone : $\psi = 84{}^{\circ}$ et $\gamma = \tan84{}^{\circ} = 9.51$.

2. $\gamma w = 9.51\times400 = 3804\,\mathrm{m}$, soit environ $3.8\,\mathrm{km}$.

3. $S_1 = \sqrt{1 + 9.51^2/4} + 9.51/2 = 4.859 + 4.755 = 9.614$, $S_2 = 1/S_1 = 0.104$, et $S_1/S_2 = 92.4$.

4. $\tan2\theta' = 2/9.51 = 0.210$, $\theta' = 5.9{}^{\circ}$ : la foliation, proche du grand axe, se rapproche de plus en plus de la zone à mesure que $\gamma$ augmente.

5. Suivi vers le nord, le filon est entraîné vers l’est à l’intérieur de la zone et en ressort plus à l’est : le mur nord s’est déplacé vers l’est par rapport au mur sud. Vu depuis le mur sud, le côté opposé s’est déplacé vers la droite : la zone est dextre.

6. Dans le plan contenant la linéation d’étirement, horizontale ici pour une zone de décrochement, et perpendiculaire à la foliation verticale : une coupe horizontale. Sa foliation S s’incline dans le sens antihoraire par rapport à la zone, vers l’est-nord-est, comme le grand axe de l’ellipse de déformation.

7. $\sigma = (10^{3.56}/20)^{1/1.26} = 181.5^{0.794} = 62\,\mathrm{MPa}$.

8. $242.1^{0.794} = 78\,\mathrm{MPa}$ pour $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ et $145.2^{0.794} = 52\,\mathrm{MPa}$ pour $25\,\text{µ}\mathrm{m}$.

9. Oui : les expériences couvraient de 34 à $268\,\mathrm{MPa}$.

10. La zone s’est déformée à $450\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, bien en dessous des 800 à $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ des expériences ; une relation qui ne dépend pas de la température peut être extrapolée jusqu’à celle-ci, même s’il s’agit toujours d’une extrapolation.

11. $D = 3631/100^{1.26} = 3631/331 = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

12. $E/RT = 223000/(8.314\times723.15) = 37.09$ et $e^{-37.09} = 7.79 \times 10^{-17}$.

13. $\dot\varepsilon = 1.1 \times 10^{-4}\times62^4\times7.79 \times 10^{-17} = 1.1 \times 10^{-4}\times1.478 \times 10^{7}\times7.79 \times 10^{-17} = 1.27 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

14. $\dot\gamma = 2\dot\varepsilon = 2.53 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}^{-1}$.

15. $\eta = 62 \times 10^{6}/(2\times1.27 \times 10^{-13}) = 2.4 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, proche des $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ du manteau supérieur sous le lac Ardo : la zone était aussi faible que le manteau.

16. $e^{-E/RT}$ est multiplié par 0.064 à $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (soit seize fois plus lent) et par 11.0 à $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

17. $(78/62)^4 = 2.5$ fois plus rapide.

18. $t = 9.51/2.53 \times 10^{-13} = 3.75 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$.

19. $3.75 \times 10^{13}/3.156 \times 10^{10} = 1190\,\mathrm{ka}$.

20. $3804\,\mathrm{m}/1.19 \times 10^{6}\,\mathrm{an} = 3.2\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.

21. Dix fois plus lent, voire davantage, que les principales limites de plaques : la zone était un accident mineur, ou l’une de plusieurs structures se partageant le mouvement d’une limite.

22. $\dot\gamma = 0.02/(3.156 \times 10^{7}\times400) = 1.58 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$, 6.2 fois plus rapide ; la contrainte augmente de $6.2^{1/4} = 1.58$, pour atteindre $98\,\mathrm{MPa}$, et les grains seraient de $3631/98^{1.26} = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

23. Le temps varie comme $\sigma^{-4}$ : la seule plage de taille de grains donne $(62/78)^4 = 0.40$ à $(62/52)^4 = 2.0$ fois l’estimation, et l’incertitude de l’exposant $1.26 \pm 0.13$ ainsi que celle des constantes de la loi de fluage l’élargissent encore : le résultat est un ordre de grandeur, non une date.

24. La zone de cisaillement de Varden a mis environ $1190\,\mathrm{ka}$ pour accumuler sa déformation.