23Hydrogéologie

Un nouveau puits pompe $2160\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau par jour dans un calcaire situé à quelques centaines de mètres sous une ferme. Rien ne se produit au puits de la ferme dans un premier temps. Un mois plus tard, le niveau de son eau a baissé de près de $2\,\mathrm{m}$, bien que le puits soit à un kilomètre et que la station de pompage n’y ait jamais prélevé la moindre goutte. Le niveau d’eau autour du nouveau puits n’a pas baissé uniformément : il s’est enfoncé en forme de cône, et ce cône s’est étendu, rapidement, à travers une roche dans laquelle l’eau elle-même se déplace de quelques centimètres par jour. Ce chapitre construit la physique qui prédit ces deux grandeurs, la propagation rapide de la pression et la lente progression de l’eau, à partir d’une seule loi empirique établie en 1856.

Tu sais déjà

La porosité, la perméabilité, le niveau de la nappe, l’eau souterraine, les aquifères, les sources et les puits sont traités dans les manuels du secondaire, avec le temps de résidence de l’eau et l’eau souterraine fossile. La viscosité, la loi de Poiseuille pour l’écoulement dans un tube et l’équation de la diffusion figurent dans les volumes de physique. La fonction d’erreur et les solutions de l’équation de la diffusion qui l’utilisent figurent au chapitre 5. Les collines de Varden, région fictive de la série, avec ses grès, ses calcaires, ses schistes et ses craies, sont la région des exercices depuis les manuels du secondaire.

23.1 Charge hydraulique et loi de Darcy

L’eau souterraine se déplace des points où son énergie mécanique par unité de poids est élevée vers ceux où elle est faible. Comme elle se déplace lentement, son énergie cinétique est négligeable, et cette énergie a deux composantes : la hauteur de l’eau et sa pression.

Définition 23.1 (Charge hydraulique ; gradient hydraulique)

La charge hydraulique en un point du sol saturé est

$$h = z + \frac{p}{\rho g} ,$$

la somme de la charge de position $z$ du point au-dessus d’un niveau de référence et de la charge de pression $p/(\rho g)$, $p$ étant la pression de l’eau au-dessus de la pression atmosphérique. C’est l’altitude à laquelle l’eau monte dans un tube, un piézomètre, ouvert seulement en ce point. Le gradient hydraulique est $\nabla h$ ; sa valeur entre deux points distants de $L$ le long de l’écoulement est $\Delta h/L$.

En 1856, Henry Darcy, ingénieur français, a mesuré l’écoulement de l’eau à travers des colonnes de sable et l’a trouvé proportionnel à la perte de charge par unité de longueur. L’écoulement est laminaire : l’eau suit des lignes de courant distinctes.

Théorème 23.2 (Loi de Darcy)

Dans un milieu poreux saturé, le volume d’eau traversant une unité d’aire par unité de temps est

$$\vec q = -K\,\nabla h ,$$

où $K$ dépend du milieu et du fluide. Dans un milieu dont les pores sont des tubes droits et parallèles de rayon $a$ occupant une fraction $n$ du volume, la loi de Poiseuille donne cette loi avec

$$K = \frac{k\rho g}{\mu}, \qquad k = \frac{na^2}{8} ,$$

$\mu$ étant la viscosité de l’eau.

Les pores réels ne sont pas des tubes droits ; le théorème montre la forme de la loi et comment elle varie avec les dimensions. Le débit est proportionnel au gradient, au carré de la taille des pores, et inversement à la viscosité : le même sable laisse l’eau traverser plus vite lorsqu’elle est chaude.

Définition 23.3 (Vitesse de Darcy ; conductivité hydraulique ; perméabilité intrinsèque)

La vitesse de Darcy $\vec q$ est le volume d’eau traversant l’unité de surface du milieu, grains et pores ensemble, par unité de temps. La conductivité hydraulique $K$ est le coefficient de la loi de Darcy, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ou $\mathrm{m}/\mathrm{d}$. La perméabilité intrinsèque du milieu est $k = K\mu/(\rho g)$, en $\mathrm{m}^{2}$ : elle ne dépend que du milieu.

La conductivité hydraulique des roches couvre douze ordres de grandeur, ce que peu de grandeurs physiques font. D’après le graphique d’une synthèse classique du sujet, les gammes typiques, en mètres par jour, sont : argile $10^{-7}$ à $10^{-4}$ ; limon et lœss $10^{-3}$ à 2 ; sable limoneux 0.04 à 10 ; sable propre 0.3 à 150 ; gravier 100 à 4000 ; schiste $10^{-8}$ à $10^{-4}$ ; grès $10^{-5}$ à 0.4 ; roches carbonatées $10^{-4}$ lorsqu’elles ne sont que fracturées, à plusieurs milliers lorsqu’elles sont caverneuses ; roches ignées et métamorphiques, en dessous de $10^{-8}$ lorsqu’elles ne sont pas fracturées, à quelques unités lorsqu’elles le sont. La plupart des roches laissent aussi mieux passer l’eau parallèlement à leur stratification que perpendiculairement à celle-ci.

La vitesse de Darcy est un flux à travers toute la surface ; l’eau circule seulement à travers les pores, et plus vite.

Définition 23.4 (Vitesse effective)

La vitesse effective est $\vec v = \vec q/n_e$, la vitesse moyenne de l’eau dans les pores, $n_e$ étant la porosité effective, c’est-à-dire celle des pores connectés par lesquels l’eau circule.

Un sable grossier avec $K = 60\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, un gradient de 1 pour 1000 et une porosité de 0.20 fait circuler son eau à $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ ; une argile avec $K = 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, un gradient de 1 pour 10 et une porosité de 0.50, à $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, soit moins d’un centimètre par an. Les eaux souterraines ne circulent pas dans des rivières souterraines, sauf dans les grottes des calcaires et les tubes de laves. Ce sont des moyennes : là où un polluant se déplace, sa fraction la plus rapide peut aller plusieurs fois plus vite.

23.2 Aquifères

Définition 23.5 (Aquifères à nappe libre et captive ; aquitard)

Un aquifère à nappe libre est un aquifère dont la surface supérieure est le niveau de la nappe. Un aquifère à nappe captive est un aquifère surmonté d’une couche de conductivité bien moindre, si bien que l’eau qu’il contient est sous pression : dans un puits qui l’atteint, l’eau remonte au-dessus du toit de l’aquifère, jusqu’à sa surface piézométrique. Une couche de faible conductivité qui ralentit sans arrêter le passage de l’eau entre aquifères est un aquitard.

Définition 23.6 (Transmissivité ; coefficient d’emmagasinement ; porosité de drainage)

La transmissivité d’un aquifère d’épaisseur $b$ est $T = Kb$, le débit par unité de largeur sous gradient unitaire, en $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. Son coefficient d’emmagasinement (ou coefficient de stockage) $S$ est le volume d’eau libéré par unité de surface de l’aquifère lorsque la charge baisse d’une unité ; il est sans dimension. La porosité de drainage $S_y$ d’une roche est le volume d’eau qui s’en écoule par gravité, par unité de volume, lorsque le niveau de la nappe descend à travers elle.

Les deux types d’aquifères libèrent l’eau de façons différentes. Dans un aquifère à nappe captive, la charge baisse mais les pores restent pleins : l’eau se dilate un peu, et l’aquifère, supportant davantage le poids des roches sus-jacentes, se comprime un peu. La seule dilatation de l’eau libère environ $9 \times 10^{-7}$ mètre cube par mètre cube d’aquifère et par mètre de charge ; avec la compression, le coefficient d’emmagasinement de la plupart des aquifères captifs est compris entre $10^{-5}$ et $10^{-3}$. Dans un aquifère à nappe libre, le niveau de la nappe baisse et les pores situés au-dessus se vident : le coefficient d’emmagasinement vaut la porosité de drainage, environ 0.1 à 0.3, soit cent à dix mille fois plus. Les transmissivités des aquifères exploités vont de moins de $1\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dans les roches fracturées à $100\,000\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ dans les calcaires caverneux et les coulées de lave. Lorsque la charge d’un aquifère captif est rabattue pendant longtemps, les argiles situées dans et autour de lui se drainent et se compactent, et le sol sus-jacent s’affaisse.

23.3 L’équation de l’écoulement souterrain

Théorème 23.7 (Équation de l’écoulement souterrain)

Dans un aquifère captif de transmissivité $T$ et de coefficient d’emmagasinement $S$ constants, avec un écoulement horizontal, la charge $h(x, y, t)$ vérifie

$$S\,\frac{\partial h}{\partial t} = T\nabla^2h + W ,$$

$W$ étant le volume d’eau ajouté par unité de surface et de temps par la recharge ou retiré par pompage (négatif). En écoulement permanent sans sources, $\nabla^2h = 0$.

C’est l’équation de la diffusion des volumes de physique, avec la diffusivité hydraulique $T/S$ à la place de la diffusivité thermique. Pour un calcaire captif de $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ et $S = 2 \times 10^{-4}$, la diffusivité vaut $2.25 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ : une variation de charge se propage sur $1\,\mathrm{km}$ en environ $L^2S/T$, soit une demi-journée. Le même calcaire, à nappe libre, avec $S = 0.2$, mettrait mille fois plus de temps. La pression se propage vite, l’eau se déplace lentement : ce sont les deux nombres de l’ouverture.

Proposition 23.8 (Écoulement radial permanent vers un puits)

Un puits pompe $Q$ dans un aquifère captif de transmissivité $T$, l’écoulement étant permanent et radial. Entre deux distances $r_1 < r_2$ du puits, les rabattements diffèrent de

$$s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi T}\ln\frac{r_2}{r_1} .$$

En deux dimensions, l’écoulement permanent se représente par un réseau d’écoulement.

Définition 23.9 (Réseau d’écoulement)

Un réseau d’écoulement est un tracé de l’écoulement souterrain permanent dans une coupe homogène et isotrope, au moyen de deux familles de courbes : les équipotentielles, lignes de charge égale, et les lignes de courant, que suit l’eau. Les lignes de courant coupent les équipotentielles à angle droit, et dans un réseau d’écoulement elles sont espacées de sorte que les mailles soient des carrés curvilignes.

Méthode 23.10 (Infiltration à partir d’un réseau d’écoulement)

1. Tracer les frontières : une frontière imperméable est une ligne de courant ; le fond d’un plan d’eau, où la charge est fixée, est une équipotentielle.
2. Tracer $N_d$ chutes de charge entre les charges la plus haute et la plus basse, $\Delta h = H/N_d$, et les lignes de courant formant $N_f$ tubes d’écoulement, par essais successifs, jusqu’à ce que chaque maille soit un carré curviligne.
3. Chaque tube transporte $K\Delta h$ par unité de longueur normale à la coupe, la longueur et la largeur du carré s’annulant : le débit total vaut $q = KHN_f/N_d$.

23.4 Essais de pompage

Un écoulement stationnaire vers un puits est rare : un nouvel état stationnaire peut prendre des mois ou des ans, ou ne jamais s’établir. En 1935, Theis, de l’United States Geological Survey, a donné le rabattement autour d’un puits pompé à débit constant en fonction du temps, à partir de quoi un essai de quelques heures ou de quelques jours donne la transmissivité et le coefficient d’emmagasinement de l’aquifère.

Théorème 23.11 (Solution de Theis)

Un puits pénétrant entièrement un aquifère captif infini, homogène, de transmissivité $T$ et de coefficient d’emmagasinement $S$ commence à pomper, à l’instant $t = 0$, à débit constant $Q$. Le rabattement à la distance $r$ vaut

$$s(r, t) = \frac{Q}{4\pi T}\,W(u), \qquad u = \frac{r^2S}{4Tt}, \qquad W(u) = \int_u^\infty\frac{\mathrm e^{-y}}{y}\,\mathrm dy = -\gamma - \ln u + u - \frac{u^2}{2\cdot2!} + \frac{u^3}{3\cdot3!} - \cdots,$$

avec $\gamma = 0.5772$. $W$ est appelée la fonction de puits.

Proposition 23.12 (Approximation de Cooper–Jacob)

Lorsque $u \le 0.05$, le rabattement de Theis est voisin de

$$s = \frac{2.3\,Q}{4\pi T}\log_{10}\frac{2.25\,Tt}{r^2S}~:$$

porté en fonction de $\log_{10}t$, le rabattement est une droite dont la hausse par cycle logarithmique, $\Delta s$, donne $T = 2.3\,Q/(4\pi\Delta s)$, et dont l’intersection avec $s = 0$, en $t_0$, donne $S = 2.25\,Tt_0/r^2$.

Définition 23.13 (Cône de rabattement)

Le cône de rabattement d’un puits pompé est la dépression du niveau de la nappe, ou de la surface piézométrique, autour du puits ; le gradient se raidit en direction du puits, par lequel passe toute l’eau.

Les rabattements obéissant à une équation linéaire, les cônes de plusieurs puits s’additionnent. Dans un aquifère captif, à faible coefficient d’emmagasinement, un cône croît vite et les cônes de puits voisins interfèrent rapidement ; dans un aquifère à nappe libre, qui doit drainer ses pores, le cône croît lentement. Le cône cesse de croître seulement lorsqu’il a capté assez de recharge, ou réduit assez de l’exutoire naturel de l’aquifère vers les rivières et les sources, pour équilibrer le pompage. Les forts prélèvements dans un aquifère captif portent loin : en 1981, environ $277\,000\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ pompés dans l’aquifère crétacé de la plaine côtière atlantique, en Virginie et en Caroline du Nord, avaient creusé des cônes qui se recouvraient sur toute sa surface.

Sur le terrain — Un essai de pompage

Avant un essai de pompage, les hydrogéologues relèvent pendant un certain temps le niveau d’eau dans les puits, afin de connaître la tendance sur laquelle viendra se superposer l’essai. La pompe fonctionne ensuite à débit constant, maintenu stable et mesuré par un compteur placé sur la conduite de refoulement, pendant plusieurs heures à plusieurs jours. Dans chaque puits d’observation, au moins trois si possible à des distances différentes, la profondeur de l’eau sous un point de mesure fixe est lue à des instants connus avec précision, nombreux pendant les premières minutes et plus espacés ensuite : à l’aide d’un ruban d’acier gradué, ou d’une sonde électrique dont l’électrode ferme un circuit au contact de l’eau. Aujourd’hui, un capteur de pression immergé suspendu dans le puits, relié à un enregistreur électronique, enregistre le niveau presque en continu.

23.5 Transport de soluté

Un soluté dissous dans l’eau souterraine est entraîné avec l’eau, à la vitesse effective, et il se disperse au fil de son déplacement : l’eau des pores voisins se déplace à des vitesses différentes et suit des trajets différents, et le soluté diffuse également.

Définition 23.14 (Dispersion hydrodynamique ; dispersivité)

La dispersion hydrodynamique est l’étalement d’un soluté dans une eau souterraine en écoulement, dû aux variations de la vitesse de l’eau d’un pore à l’autre et à la diffusion moléculaire. Le long de l’écoulement, elle se décrit par un coefficient de dispersion $D = \alpha_Lv + D^*$, où $v$ est la vitesse effective, $D^*$ la diffusivité moléculaire effective et $\alpha_L$, une longueur, la dispersivité longitudinale du milieu.

Théorème 23.15 (Équation d’advection–dispersion)

Le long d’un écoulement unidimensionnel de vitesse effective constante $v$, la concentration $C(x, t)$ d’un soluté non réactif obéit à

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2C}{\partial x^2} - v\,\frac{\partial C}{\partial x} .$$

Si la concentration est maintenue à $C_0$ en $x = 0$ à partir de $t = 0$, dans un milieu initialement exempt de soluté,

$$\frac{C}{C_0} = \frac12\left[\operatorname{erfc}\frac{x - vt}{2\sqrt{Dt}} + \mathrm e^{vx/D}\operatorname{erfc}\frac{x + vt}{2\sqrt{Dt}}\right] .$$

Dans le référentiel qui se déplace avec l’eau, $\xi = x - vt$, l’équation est l’équation de diffusion, et le front s’étale comme $\sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_L vt} = \sqrt{2\alpha_Lx}$ : la largeur du front croît comme la racine carrée de la distance parcourue.

Définition 23.16 (Facteur de retard)

Un soluté adsorbé sur les grains, à l’équilibre et en proportion à sa concentration, se déplace plus lentement que l’eau. Son facteur de retard est

$$R = 1 + \frac{\rho_bK_d}{n} ,$$

$\rho_b$ étant la masse volumique apparente sèche du milieu, $n$ sa porosité et $K_d$ le coefficient de distribution, c’est-à-dire la masse adsorbée par unité de masse de solide divisée par la concentration dans l’eau. Le soluté se déplace à $v/R$ et se disperse avec $D/R$.

Les dispersivités sont difficiles à mesurer et, en pratique, on les fixe souvent par des règles empiriques. La plus ancienne prend la dispersivité longitudinale égale au dixième de la longueur du panache. Une compilation de mesures de terrain publiée en 1992 montre que la dispersivité croît avec l’échelle de l’expérience, que les valeurs fiables aux grandes échelles sont peu nombreuses, et qu’à une échelle donnée les valeurs s’étalent sur deux ou trois ordres de grandeur.

23.6 Exercices

Exercice 23.1 ★

Deux piézomètres sont installés côte à côte sur un terrain situé à $120.0\,\mathrm{m}$ au-dessus du datum. Le premier est crépiné à $40\,\mathrm{m}$ de profondeur et son eau se tient $12.5\,\mathrm{m}$ sous le sol ; le second est crépiné à $80\,\mathrm{m}$ de profondeur, son eau se tient $15.0\,\mathrm{m}$ sous le sol. Calculer la charge de position, la charge de pression et la charge hydraulique aux deux crépines. Dans quel sens l’eau circule-t-elle entre elles, et sous quel gradient vertical ?

Solution

Solution de Exercice 23.1.

Premier capteur : $z = 120 - 40 = 80\,\mathrm{m}$, $h = 120 - 12.5 = 107.5\,\mathrm{m}$, charge de pression $107.5 - 80 = 27.5\,\mathrm{m}$. Deuxième capteur : $z = 40\,\mathrm{m}$, $h = 105.0\,\mathrm{m}$, charge de pression $65.0\,\mathrm{m}$. La charge est plus élevée au capteur peu profond, donc l’eau s’écoule vers le bas, sous un gradient $(107.5 - 105.0)/40 = 0.0625$ : les piézomètres se trouvent dans une zone d’alimentation. La pression seule aurait suggéré le contraire.

Exercice 23.2 ★

Une colonne de sable de $50\,\mathrm{cm}$ de long et $10\,\mathrm{cm}$ de diamètre, avec $K = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ et une porosité efficace de 0.35, est parcourue par de l’eau sous une différence de charge de $30\,\mathrm{cm}$. Calculer la vitesse de Darcy, le débit en litres par heure, et la vitesse effective.

Solution

Solution de Exercice 23.2.

$q = K\Delta h/L = 12\times0.30/0.50 = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. La section vaut $\pi\times0.05^2 = 7.85 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$, donc $Q = 0.0565\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, soit $56.5/24 = 2.36\,\mathrm{L}/\mathrm{h}$. La vitesse effective vaut $7.2/0.35 = 20.6\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Exercice 23.3 ★

Un calcaire a $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ pour l’eau à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 999.7\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.306 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). Calculer sa perméabilité intrinsèque, et sa conductivité hydraulique pour l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($\rho = 998.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\mu = 1.002 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$).

Solution

Solution de Exercice 23.3.

$K = 2.5/86400 = 2.894 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $k = K\mu/(\rho g) = 2.894 \times 10^{-5}\times1.306 \times 10^{-3}/(999.7\times9.81) = 3.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{2}$. À $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $K$ est multiplié par $(998.2/1.002 \times 10^{-3})/(999.7/1.306 \times 10^{-3}) = 1.30$ : $K = 3.25\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. La variation tient presque entièrement à la viscosité.

Exercice 23.4 ★

Le calcaire de l’aquifère captif du forage Varden-3 a une épaisseur de $180\,\mathrm{m}$, avec $K = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Calculer sa transmissivité, et le coefficient d’emmagasinement que l’aquifère aurait si seule la dilatation de l’eau, $9 \times 10^{-7}$ par mètre d’aquifère par mètre de charge, libérait de l’eau. Comparer avec $S = 2 \times 10^{-4}$.

Solution

Solution de Exercice 23.4.

$T = 2.5\times180 = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$. La dilatation de l’eau donne $9 \times 10^{-7}\times180 = 1.62 \times 10^{-4}$, soit environ $80\,\%$ de $S = 2 \times 10^{-4}$ ; la compression du calcaire fournit le reste.

Exercice 23.5 ★★

Après une longue période de pompage à $1500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$, les rabattements ont cessé d’évoluer : $2.35\,\mathrm{m}$ dans un puits d’observation situé à $20\,\mathrm{m}$ du puits pompé et $0.82\,\mathrm{m}$ dans un autre situé à $200\,\mathrm{m}$. L’aquifère est captif et épais de $40\,\mathrm{m}$. Calculer sa transmissivité et sa conductivité hydraulique.

Solution

Solution de Exercice 23.5.

D’après la Proposition 23.8, $T = Q\ln(r_2/r_1)/(2\pi(s_1 - s_2)) = 1500\times\ln10/(2\pi\times1.53) = 359\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, et $K = 359/40 = 9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$.

Exercice 23.6 ★★

Un puits pompe $1200\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ dans un aquifère captif de $T = 300\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ et $S = 5 \times 10^{-4}$. Calculer $u$, $W(u)$ (à partir de la série), et le rabattement à $300\,\mathrm{m}$ de distance, après 1 jour puis après 10 jours.

Solution

Solution de Exercice 23.6.

$Q/4\pi T = 1200/(4\pi\times300) = 0.318\,\mathrm{m}$. Après 1 jour, $u = 300^2\times5 \times 10^{-4}/(4\times300\times1) = 0.0375$ et $W = -0.5772 + 3.2834 + 0.0375 - 0.0004 = 2.743$ : $s = 0.873\,\mathrm{m}$. Après 10 jours, $u = 0.003\,75$, $W = -0.5772 + 5.5860 + 0.0038 = 5.013$ : $s = 1.596\,\mathrm{m}$. Un temps dix fois plus long ne donne pas deux fois le rabattement.

Exercice 23.7 ★★

Pour l’essai de Varden-3 ($T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$, $S = 2 \times 10^{-4}$), au bout de combien de minutes la droite de Cooper–Jacob peut-elle être utilisée dans les puits d’observation situés à $60\,\mathrm{m}$ et $500\,\mathrm{m}$ du puits pompé ? Que dit cela de l’emplacement des puits d’observation d’un essai de courte durée ?

Solution

Solution de Exercice 23.7.

$u \le 0.05$ lorsque $t \ge r^2S/(4T\times0.05)$. À $60\,\mathrm{m}$ : $3600\times 2 \times 10^{-4}/90 = 0.008\,\mathrm{d}$, soit $11.5\,\mathrm{min}$. À $500\,\mathrm{m}$ : $0.556\,\mathrm{d}$, $800\,\mathrm{min}$, soit plus de 13 heures. Le temps croît comme $r^2$ : dans un essai d’un ou deux jours, les puits d’observation utilisés pour la droite doivent se trouver à quelques centaines de mètres du puits pompé.

Exercice 23.8 ★★

Deux puits distants de $400\,\mathrm{m}$ dans le calcaire de Varden pompent chacun $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$. Calculer le rabattement après 10 jours à mi-distance entre eux, puis au site du second puits, dû au seul premier puits. Pourquoi le pompage de chaque puits coûte-t-il de l’argent à l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 23.8.

À mi-distance, chaque puits est à $200\,\mathrm{m}$ : $u = 200^2\times2 \times 10^{-4}/(4 \times450\times10) = 4.44 \times 10^{-4}$, $W = 7.142$, $s = 0.382\times 7.142 = 2.728\,\mathrm{m}$ de chaque puits, soit $5.456\,\mathrm{m}$ au total. À $400\,\mathrm{m}$, $u = 1.78 \times 10^{-3}$, $W = 5.757$, $s = 2.199\,\mathrm{m}$. Chaque puits abaisse l’eau de l’autre de $2.2\,\mathrm{m}$ : sa pompe doit remonter l’eau de $2.2\,\mathrm{m}$ de plus, ce qui coûte de l’énergie, et le rabattement qui subsiste avant que la crépine ne se découvre est plus faible.

Exercice 23.9 ★★

Dans le réseau d’écoulement sous le barrage, compter les tubes de courant et les chutes de charge. Avec $K = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$ et $H = 10\,\mathrm{m}$, calculer la perte par infiltration par mètre de barrage, puis sous un barrage long de $300\,\mathrm{m}$.

Solution

Solution de Exercice 23.9.

Quatre lignes de courant entre la base du barrage et le substratum délimitent $N_f = 5$ chenaux ; neuf équipotentielles divisent les $10\,\mathrm{m}$ en $N_d = 10$ chutes. $q = KHN_f/N_d = 5\times10\times5/10 = 25\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ par mètre de barrage, et $7500\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ sous $300\,\mathrm{m}$. Le facteur de forme calculé, 0.512 au lieu de 0.5, donnerait $25.6\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ par mètre.

Exercice 23.10 ★★★

Modéliser un sable propre par des tubes droits de rayon $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ et de porosité de 0.30. Calculer $k$ et $K$ (pour l’eau à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, comme dans l’Exercice 23.3), et comparer avec la fourchette du sable propre. Quelles caractéristiques d’un sable réel le modèle laisse-t-il de côté, et dans quel sens chacune fait-elle varier $K$ ?

Solution

Solution de Exercice 23.10.

$k = na^2/8 = 0.30\times(5 \times 10^{-5})^2/8 = 9.4 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{2}$, et $K = k\rho g/\mu = 9.375 \times 10^{-11}\times998.2\times9.81/1.002 \times 10^{-3} = 9.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, soit $79\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, dans la gamme du sable propre, de 0.3 à $150\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$. Le modèle néglige la tortuosité des trajets, plus longs que les tubes droits (elle abaisse $K$), les gorges entre les pores, plus étroites que les pores (effet à la baisse), les pores en cul-de-sac qui ne transportent aucun débit (à la baisse), et la dispersion des tailles de pores : comme un tube transporte un débit proportionnel à $a^4$, les trajets les plus larges transportent l’essentiel de l’eau, et une dispersion élève $K$ au-dessus de celui de tubes de taille moyenne.

Exercice 23.11 ★★★

(a) Montrer que le rabattement de Cooper–Jacob s’annule en $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Calculer $r_0$ après 30 jours de pompage dans le calcaire de Varden captif, puis pour la même roche à nappe libre, avec $S = 0.2$. (c) Pourquoi le cône d’un aquifère captif peut-il atteindre une limite que l’essai n’était pas censé détecter ?

Solution

Solution de Exercice 23.11.

(a) Le logarithme s’annule lorsque $2.25\,Tt = r^2S$, soit en $r_0 = \sqrt{2.25\,Tt/S}$. (b) Nappe captive puis nappe libre :

$$r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{2 \times 10^{-4}}} = 12.3\,\mathrm{km}, \qquad r_0 = \sqrt{\frac{2.25\times450\times30}{0.2}} = 390\,\mathrm{m},$$

soit $\sqrt{1000} = 31.6$ fois plus petit. (c) La pression se propage avec la diffusivité $T/S$, très grande lorsque $S$ est petit : pendant l’essai, le cône atteint les failles, les affleurements de l’aquifère et des rivières, et le rabattement quitte la droite, ce qui indique à l’hydrogéologue qu’une limite a été atteinte.

Exercice 23.12 ★★★

(a) Pour une longue distance de parcours, la courbe de percée en $x$ est proche d’une loi normale en temps, de moyenne $x/v$ et d’écart type $\sigma_t = \sqrt{2\alpha_Lx}/v$. Le montrer à partir de l’étalement $\sqrt{2Dt}$ du front. (b) À $100\,\mathrm{m}$, avec $v = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, la concentration atteint $16\,\%$ après $152.6$ jours et $84\,\%$ après $247.2$ jours. Estimer $\alpha_L$. (c) Un aquifère sableux a $\rho_b = 1.9\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ et $n = 0.30$ ; un soluté a $K_d = 0.32\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{g}$. Calculer $R$.

Solution

Solution de Exercice 23.12.

(a) Vu depuis le référentiel qui se déplace avec l’eau, le front s’étale avec un écart type $\sigma_x = \sqrt{2Dt} = \sqrt{2\alpha_Lvt}$. Il passe en $x$ vers $t = x/v$, où $\sigma_x = \sqrt{2\alpha_Lx}$ ; à la vitesse $v$, un étalement $\sigma_x$ en distance correspond à un étalement $\sigma_t = \sigma_x/v$ en temps. (b) Les temps à $16\,\%$ et à $84\,\%$ encadrent la moyenne à un écart type de chaque côté : $\sigma_t = (247.2 - 152.6)/2 = 47.3~\text{jours}$. Alors $\alpha_L = v^2\sigma_t^2/(2x) = 0.25\times47.3^2/200 = 2.8\,\mathrm{m}$. (La courbe a été calculée avec $3\,\mathrm{m}$ : l’approximation normale la sous-estime légèrement.) (c) $R = 1 + 1.9\times0.32/0.30 = 3.03$ : le soluté se déplace au tiers de la vitesse de l’eau.

23.7 Problème : essai de pompage à Varden-3

Problème 23.1

Problème du week-end — charges, essai de pompage et transport d’un polluant dans le calcaire captif des collines de Varden

Le puits fictif Varden-3 est foré en (4500, 5000) sur le quadrillage des collines de Varden, à partir d’une cote du terrain de $363.2\,\mathrm{m}$, à travers les argiles jurassiques jusqu’au calcaire jurassique, dont le toit se situe à $282.5\,\mathrm{m}$ et la base à $102.5\,\mathrm{m}$ au-dessus du niveau de la mer ; le puits est ouvert sur toute l’épaisseur du calcaire. Avant l’essai, l’eau y stationne à $45.0\,\mathrm{m}$ sous le sol.

Partie I — L’aquifère et son écoulement naturel.

1. Calculer l’épaisseur des argiles et celle du calcaire au niveau du puits.
2. Calculer la charge dans le calcaire et la pression de charge au toit de celui-ci. Pourquoi le calcaire est-il ici un aquifère captif ?
3. Trois piézomètres ouverts dans le calcaire se trouvent en P1 (4300, 5250), P2 (4850, 5150) et P3 (4550, 4650), avec des charges de 318.96, 317.34 et $317.52\,\mathrm{m}$. En posant $h = ax + by + c$, déterminer $a$ et $b$.
4. Calculer le gradient hydraulique ainsi que l’azimut vers lequel s’écoule l’eau.

Partie II — L’essai de pompage. Le puits est pompé à $2160\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{d}$ pendant deux jours. Dans un puits d’observation situé à $60\,\mathrm{m}$ de distance, les rabattements sont :

$t$ ($\mathrm{min}$)	1	2	3	5	7	10	15	20	30	45	60
$s$ ($\mathrm{m}$)	0.18	0.36	0.48	0.64	0.77	0.88	1.04	1.15	1.30	1.45	1.56
$t$ ($\mathrm{min}$)	90	120	180	240	360	480	720	960	1440	2160	2880
$s$ ($\mathrm{m}$)	1.71	1.82	1.98	2.08	2.24	2.35	2.50	2.61	2.77	2.92	3.03

5. Tracer $s$ en fonction de $\log_{10}t$. Quels premiers points s’écartent de la droite, et pourquoi ?
6. Sur la partie rectiligne, mesurer le rabattement par cycle logarithmique.
7. Calculer la transmissivité.
8. Déterminer le temps $t_0$ auquel la droite coupe le rabattement nul.
9. Calculer le coefficient d’emmagasinement.
10. Vérifier que $u \le 0.05$ pour les points utilisés.
11. Calculer la conductivité hydraulique du calcaire.

Partie III — Le cône. À partir d’ici, prendre $T = 450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ et $S = 2 \times 10^{-4}$.

12. Calculer le rabattement de Theis dans le puits d’observation après 2 jours et le comparer à la mesure.
13. Un puits agricole situé à $1\,\mathrm{km}$ puise dans le même calcaire. Calculer son rabattement après 30 jours de pompage.
14. Calculer la distance $r_0$ de Jacob après 30 jours. Que dit-elle à propos des bords de l’aquifère et de la faille des collines de Varden ?
15. Calculer le volume pompé en 30 jours. Dans un aquifère captif, d’où provient-il ?
16. Comment le rabattement à la ferme se comparerait-il si le calcaire était à nappe libre, avec $S = 0.18$ ?

Partie IV — Un polluant. Une fuite d’un polluant dissous atteint le calcaire à $200\,\mathrm{m}$ du puits. Prendre une porosité efficace de 0.18 et un facteur de retard de 2.5.

17. Avant le pompage, calculer la vitesse de Darcy et la vitesse effective de l’écoulement naturel de la partie I.
18. Combien de temps l’eau mettrait-elle pour parcourir $200\,\mathrm{m}$, et le polluant ?
19. Le puits pompant et la fuite étant en amont de celui-ci, l’écoulement devient radial vers le puits. Montrer que l’eau met $t = \pi n_e b r^2/Q$ pour atteindre le puits depuis une distance $r$, en négligeant l’écoulement naturel, et calculer ce temps pour l’eau et pour le polluant.
20. Avec la règle empirique d’une dispersivité égale au dixième de la distance, estimer l’étalement $\sqrt{2\alpha_Lx}$ du front au puits. Que signifie-t-il pour la première arrivée ?
21. Faut-il poursuivre le pompage ? Donner un argument pour et un contre.
22. Donner la transmissivité de l’aquifère du calcaire de Varden, en mètres carrés par jour, à deux chiffres significatifs près.

Solution

Solution de Problème 23.1.

1. Schiste $363.2 - 282.5 = 80.7\,\mathrm{m}$ ; calcaire $282.5 - 102.5 = 180\,\mathrm{m}$.

2. $h = 363.2 - 45.0 = 318.2\,\mathrm{m}$ ; charge de pression au sommet $318.2 - 282.5 = 35.7\,\mathrm{m}$. L’eau s’élève de $35.7\,\mathrm{m}$ au-dessus du sommet du calcaire, retenue par le schiste : l’aquifère est à nappe captive.

3. À partir de $h_2 - h_1 = 550a - 100b = -1.62$ et $h_3 - h_1 = 250a - 600b = -1.44$ : $a = -2.715 \times 10^{-3}$ et $b = 1.269 \times 10^{-3}$ par mètre.

4. $|\nabla h| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0.0030$. L’eau s’écoule selon $-\nabla h = (2.715 \times 10^{-3}, -1.269 \times 10^{-3})$, vers l’est et au sud : azimut $180{}^{\circ} - \arctan(2.715/1.269) = 115{}^{\circ}$.

5. Les points situés avant environ $10\,\mathrm{min}$ se trouvent au-dessus de la droite : là $u > 0.05$ et la courbe de Theis se situe au-dessus de son approximation logarithmique ($W > -\gamma - \ln u$, comme le montre la figure de la fonction de puits).

6. La meilleure droite passant par les points à partir de $15\,\mathrm{min}$ passe $1.75\,\mathrm{m}$ à $100\,\mathrm{min}$ et $2.63\,\mathrm{m}$ à $1000\,\mathrm{min}$ : $\Delta s = 0.87\,\mathrm{m}$ par cycle logarithmique.

7. $T = 2.3\times2160/(4\pi\times0.872) = 453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$.

8. La droite descend de $0.87\,\mathrm{m}$ par cycle à partir de $1.75\,\mathrm{m}$ à $100\,\mathrm{min}$ : le zéro est atteint $1.75/0.872 = 2.01$ cycles plus tôt, $t_0 = 0.98\,\mathrm{min} = 6.83 \times 10^{-4}\,\mathrm{d}$.

9. $S = 2.25\,Tt_0/r^2 = 2.25\times453\times6.83 \times 10^{-4}/3600 = 1.9 \times 10^{-4}$, dans la gamme des aquifères à nappe captive.

10. À $15\,\mathrm{min}$, $u = 3600\times1.9 \times 10^{-4}/(4\times453 \times0.0104) = 0.036$, et moins par la suite.

11. $K = 453/180 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, un calcaire fracturé.

12. $u = 3600\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times2) = 2.0 \times 10^{-4}$, $W = -0.5772 + 8.5172 + 0.0002 = 7.940$, $s = 0.382\times7.940 = 3.03\,\mathrm{m}$, comme relevé.

13. $u = 10^6\times2 \times 10^{-4}/(4\times450\times30) = 0.0037$, $W = 5.02$, $s = 1.92\,\mathrm{m}$.

14. $r_0 = \sqrt{2.25\times450\times30/(2 \times 10^{-4})} = 12.3\,\mathrm{km}$, plus que la largeur de la région. Le cône de rabattement a atteint les bords du calcaire, ses affleurements et la faille, qui pourraient le mettre au contact de roches moins perméables : l’aquifère infini de Theis ne le décrit plus, et seul l’enregistrement des rabattements dira si une limite alimente le puits ou arrête l’écoulement.

15. $2160\times30 = 64\,800\,\mathrm{m}^{3}$. Ce volume provient de l’emmagasinement : l’eau libérée par la dilatation de l’eau et la compression du calcaire, sur toute la surface du cône. En intégrant $S\,s$ sur le cône restitue $Qt$.

16. $u = 10^6\times0.18/(4\times450\times30) = 3.33$, $W = 0.0086$, $s = 3\,\mathrm{mm}$ : la ferme ne s’en apercevrait pas. Le pompage puiserait dans les pores près du puits au lieu de la pression de l’ensemble de l’aquifère.

17. $q = 2.5\times0.0030 = 0.0075\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$; $v = 0.0075/0.18 = 0.042\,\mathrm{m}/\mathrm{d}$, $15\,\mathrm{m}$ par an.

18. $200/0.0417 = 4800\text{ jours}$, $13.1$ ans ; le polluant, $32.9$ ans.

19. À travers un cylindre de rayon $r$, le débit $Q$ traverse la surface $2\pi rb$ dont les pores représentent la fraction $n_e$ : $\mathrm dr/\mathrm dt = -Q/(2\pi rbn_e)$, et en intégrant $2\pi bn_er\,\mathrm dr = -Q\, \mathrm dt$ de $r$ à 0 donne $t = \pi n_ebr^2/Q$. Ici $\pi\times0.18 \times180\times200^2/2160 = 1885~\text{jours}$, $5.2$ ans pour l’eau et $2.5\times5.2 = 12.9\text{ ans}$ pour le polluant : le puits l’amène plus de deux fois plus tôt.

20. $\alpha_L = 20\,\mathrm{m}$ et $\sqrt{2\times20\times200} = 89\,\mathrm{m}$. La concentration atteint $16\,\%$ de sa valeur finale $89\,\mathrm{m}$ en avance sur le front moyen : ce niveau atteint le puits lorsque le front moyen se trouve encore à $89\,\mathrm{m}$, au bout de $(111/200)^2\times12.9 = 4.0\text{ ans}$, soit un tiers du temps moyen. Les premières traces comptent pour l’eau potable, non la moyenne.

21. Pour : le puits capte le polluant, qui ne peut donc s’étendre plus loin vers l’aval, et l’eau peut être traitée là où elle est pompée. Contre : le pompage attire le polluant vers un puits d’alimentation plus vite qu’il ne le ferait autrement, et l’eau doit être surveillée et traitée pendant des décennies.

22. La transmissivité du calcaire de Varden est $T \approx \textbf{$450\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$}$ ($453\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{d}$ issue de l’essai).