6Convection mantellique et forces motrices de la tectonique des plaques

La côte du nord de la Suède s’élève hors de la mer d’environ un centimètre par an, dix mille ans après la fonte de la calotte glaciaire qui la recouvrait ; les rivages de la baie d’Hudson s’élèvent aussi vite. Rien ne les soulève, sinon le manteau, qui reflue lentement sous la région que la glace avait enfoncée. La vitesse à laquelle le sol se redresse dépend de la viscosité du manteau, et la même viscosité règle la vitesse de la convection du manteau et le mouvement des plaques. Ce chapitre cherche à comprendre pourquoi le manteau solide convecte malgré tout, à quelle vitesse il doit s’écouler pour évacuer la chaleur de la Terre, quelles forces mettent les plaques en mouvement et ce que le rebond du sol révèle de la viscosité du manteau.

Tu sais déjà

La viscosité, l’écoulement rampant d’un fluide visqueux (les équations de Stokes $\nabla p = \eta\nabla^2\mathbf u$, $\nabla\cdot\mathbf u = 0$), la loi de Stokes pour une sphère, le nombre de Reynolds et la poussée d’Archimède sont traités dans les volumes universitaires de physique. La convection mantellique et le rebond isostatique ont été abordés dans le volume de lycée (niveau 12), la poussée à la dorsale et la traction du panneau plongeant dans sa partie de niveau 11. La couche limite thermique, la lithosphère thermique et l’adiabate du manteau figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur le bilan thermique de la Terre ; les points chauds, les panaches mantelliques et les grandes provinces magmatiques dans son chapitre sur les points chauds. Le modèle de refroidissement du demi-espace figure au Chapitre 5, La flexure de la lithosphère figure au Chapitre 3, la tomographie sismique figure au Chapitre 1.

6.1 Pourquoi le manteau convecte

Le manteau est solide : il transmet les ondes S. Sur des millions d’années, cependant, il flue lentement comme un fluide d’énorme viscosité, et une couche de fluide chauffée par le bas et refroidie par le haut peut rester au repos, la chaleur la traversant par conduction, ou basculer. Une masse de fluide chaud de taille $d$, plus légère que son environnement de $\rho\alpha\,\Delta T$, s’élève à une vitesse de l’ordre de $\rho g\alpha\,\Delta T d^2/\eta$ ; elle perd sa chaleur par diffusion en un temps de l’ordre de $d^2/\kappa$. Si elle peut traverser la couche avant d’avoir refroidi, la couche bascule.

Définition 6.1 (Nombre de Rayleigh)

Pour une couche de fluide d’épaisseur $d$, de masse volumique $\rho$, de coefficient de dilatation thermique $\alpha$, de diffusivité thermique $\kappa$ et de viscosité $\eta$, sous la pesanteur $g$, avec un écart de température $\Delta T$ entre sa base et son sommet, le nombre de Rayleigh est

$$\mathrm{Ra} = \frac{\rho g\alpha\,\Delta T d^3}{\kappa\eta},$$

le rapport du temps de diffusion $d^2/\kappa$ au temps de montée par flottabilité $\eta/(\rho g\alpha\,\Delta Td)$.

Définition 6.2 (Nombre de Rayleigh critique)

Le nombre de Rayleigh critique $\mathrm{Ra}_c$ d’une couche est la valeur du nombre de Rayleigh au-dessus de laquelle une petite perturbation de l’état de repos se développe en convection, et en dessous de laquelle elle s’éteint.

Proposition 6.3 (Déclenchement de la convection)

Pour une couche dont le sommet et la base sont exempts de contrainte de cisaillement et maintenus à des températures, une perturbation de nombre d’onde horizontal $k$ (en unités de $1/d$) croît lorsque $\mathrm{Ra} > (\pi^2 + k^2)^3/k^2$. Le minimum du membre de droite, atteint en $k = \pi/\sqrt2$, donne

$$\mathrm{Ra}_c = \frac{27\pi^4}{4} \approx 657.5,$$

et les premières cellules à apparaître ont une largeur de $2\sqrt2\,d$. Entre des limites rigides, $\mathrm{Ra}_c \approx 1708$.

L’analyse de stabilité linéaire qui la sous-tend, une perturbation des équations de la chaleur et de Stokes autour de l’état conductif, est traitée dans les volumes de physique consacrés à la convection ; l’exercice 11 vérifie le minimum.

La figure ci-dessous montre la couche en convection. Les valeurs du manteau, avec la profondeur de la limite noyau–manteau, $d = 2891\,\mathrm{km}$, la masse volumique moyenne du manteau, $4476\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et $g$ compris entre 9.8 et $10.7\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, tous issus du modèle sismique terrestre PREM ; $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ tirés du modèle de plaque décrit au Chapitre 5 ; $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; et $\eta$ compris entre $10^{21}$ et $10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (voir la Section 6.5), donnent $\mathrm{Ra}$ compris entre $4.9 \times 10^{6}$ et $4.9 \times 10^{7}$, soit environ sept mille à soixante-dix mille fois la valeur critique. Le manteau ne peut pas s’empêcher de convecter.

Le manteau est aussi chauffé de l’intérieur, par la désintégration des éléments radioactifs, et par le bas, par le noyau. Une couche chauffée uniquement de l’intérieur n’a pas de couche limite à sa base : son écoulement est mû par de froides lames qui s’enfoncent depuis le sommet, la remontée étant un retour large et passif. Les panneaux plongeants sont de telles lames, et les panaches ont besoin de la chaleur venue du noyau.

6.2 Couches limites et intensité de la convection

Définition 6.4 (Nombre de Nusselt)

Le nombre de Nusselt d’une couche en convection est le flux de chaleur qui la traverse divisé par le flux que la seule conduction transporterait à travers la même couche, $\mathrm{Nu} = q\,d/(k\,\Delta T)$.

Théorème 6.5 (Loi d’échelle de couche limite de la convection)

Dans une couche en convection à $\mathrm{Ra} \gg \mathrm{Ra}_c$, si chaque couche limite thermique croît jusqu’à ce que son propre nombre de Rayleigh, construit sur son épaisseur $\delta$ et la chute de température $\Delta T/2$ à travers elle, atteigne $\mathrm{Ra}_c$, alors

$$\delta = d\Bigl(\frac{2\mathrm{Ra}_c}{\mathrm{Ra}}\Bigr)^{1/3},\qquad \mathrm{Nu} = \frac12\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{1/3}, \qquad u = \frac\kappa d\Bigl(\frac{\mathrm{Ra}}{2\mathrm{Ra}_c}\Bigr)^{2/3},$$

où $u$ est l’échelle de vitesse de l’écoulement, définie en exigeant que la couche croisse jusqu’à $\delta$ pendant que le fluide traverse la cellule. C’est la loi d’échelle de couche limite de la convection.

Le flux de chaleur ne croît que comme la racine cubique de $\mathrm{Ra}$ : une viscosité cent fois plus faible, moins de cinq fois plus de chaleur. Pour le manteau, où $\mathrm{Ra} = 4.9 \times 10^{7}$, la loi donne $\delta \approx 87\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} \approx 17$, un flux de chaleur de $\mathrm{Nu}\,k\Delta T/d \approx 26\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ avec $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, et $u \approx 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ (figure ci-dessous). La couche limite est aussi épaisse que la plaque océanique du Chapitre 5, $95\,\mathrm{km}$ ; les vitesses quadratiques moyennes des plaques actuelles vont de $1.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ (Amérique du Sud) à $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ (plaque de Cocos), $4.4\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ pour l’ensemble de la lithosphère. Le flux de chaleur moyen de la Terre, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$, vaut trois à quatre fois celui de la loi : la chaleur produite dans le manteau, que laisse de côté une couche chauffée par le bas, et les constantes d’ordre un que la loi ignore pèsent toutes deux. Pour une loi à une seule donnée, les ordres de grandeur sont justes : les plaques sont la couche limite supérieure d’un manteau de $\mathrm{Ra} \sim 10^7$.

6.3 Les forces sur une plaque

Une plaque se déplace à vitesse stationnaire : les forces qui s’exercent sur elle se compensent. Trois la poussent ou la retiennent par ses bords et sa base (figure ci-dessous). La force que le panneau plongeant exerce sur sa plaque, la traction du panneau plongeant, provient de l’excès de densité d’une lame froide dans le manteau plus chaud. La poussée à la dorsale, c’est-à-dire la poussée exercée par la dorsale haute et chaude sur la plaque voisine plus froide, découle du modèle de refroidissement du demi-espace du Chapitre 5.

Proposition 6.6 (Force de poussée à la dorsale)

Dans le modèle de refroidissement du demi-espace, avec une température du manteau $T_m$, une température de surface $T_0$ et une compensation isostatique, la force horizontale par unité de longueur de dorsale que la colonne à la dorsale exerce sur la plaque d’âge $t$, la force de poussée à la dorsale, vaut

$$F_{rp} = g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t\Bigl[1 + \frac{2\rho_m\alpha(T_m - T_0)}{\pi(\rho_m - \rho_w)}\Bigr].$$

La poussée à la dorsale croît linéairement avec l’âge : ce n’est pas une poussée à l’axe mais un gradient de pression réparti sur toute la plaque en refroidissement. Avec les valeurs du Chapitre 5, le crochet vaut 1.04 et $F_{rp} = 3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ à $100\,\mathrm{Ma}$. Dans le modèle de plaque, elle cesse de croître avec la profondeur, vers $2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ (figure ci-dessous). La traction du panneau plongeant est plus grande : un panneau de $95\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, en moyenne plus froid de $(T_m - T_0)/2$ que le manteau, donc plus dense de $\rho_m\alpha(T_m - T_0)/2 \approx 74\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, descendant jusqu’à $670\,\mathrm{km}$, pèse $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ de plus que le manteau qu’il déplace, soit douze fois la poussée à la dorsale. Une grande part de ce poids est absorbée par le manteau visqueux qui résiste à l’enfoncement du panneau, et seule une partie atteint la plaque.

Définition 6.7 (Traînée basale)

traînée basale est la force de cisaillement par unité de surface que le manteau sous une plaque exerce sur la base de celle-ci. Pour une plaque se déplaçant à la vitesse $u$ au-dessus d’une couche d’épaisseur $h$ et de viscosité $\eta$ dont la base est immobile, elle vaut $\eta u/h$, dirigée à l’opposé du mouvement ; elle entraîne la plaque là où le manteau sous-jacent se déplace plus vite qu’elle.

On peut lire quelles forces comptent à partir des plaques elles-mêmes. Le bilan des couples sur chaque plaque, ajusté aux mouvements des plaques, indique que les forces agissant sur le panneau plongeant contrôlent la vitesse des plaques océaniques et sont environ dix fois plus fortes que toutes les autres, et que la résistance à la base est plus grande sous les continents que sous les océans. Les vitesses concordent : les plaques les plus rapides, Cocos à $75\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, Nazca à 70 et le Pacifique à $66\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, sont des plaques océaniques dont les bords plongent dans de longues fosses ; les plus lentes portent de grands continents, Eurasie à 23, Amérique du Nord à 20, Amérique du Sud à $11\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.

6.4 Panaches

Des nappes chaudes qui montent de la base du manteau se rassemblent en colonnes : les panaches mantelliques du volume de première année, avec une grosse tête et une queue fine (figure ci-dessous). Le bombement d’un point chaud, une large élévation du fond marin autour des volcans et en aval de ceux-ci, mesure la quantité de flottabilité qu’apporte son panache.

Définition 6.8 (Flux de flottabilité du panache)

Le flux de flottabilité du panache $B$ est le déficit de masse, par rapport au manteau environnant, qu’un panache transporte vers le haut par unité de temps ; pour un panache de flux volumique $Q_v$ et d’excès de température $\Delta T$, $B = \rho\alpha\,\Delta T\,Q_v$.

Proposition 6.9 (Flux de flottabilité déduit d’un bombement)

Si une plaque se déplaçant à la vitesse $u$ au-dessus d’un panache porte un bombement de section transversale $A$ en travers de la trace, soutenu isostatiquement par le matériau du panache situé en dessous, le flux de flottabilité du panache est

$$B = (\rho_m - \rho_w)\,A\,u .$$

À partir des sections transversales des bombements, les flux de flottabilité des points chauds s’étendent sur un facteur vingt : Hawaï, le plus grand, $8.7\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$ ; Islande $1.4\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$ ; 37 points chauds réunis, environ $50\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$. Chaque kilogramme de flottabilité représente $c_p/\alpha$ joules de chaleur en excès, donc le flux de chaleur vaut $c_pB/\alpha$ ; avec $c_p = k/(\rho_m\kappa) = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, les 37 points chauds transportent environ $1.9\,\mathrm{TW}$, soit $3.7\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ répartis sur la surface terrestre de $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, proche de la $4\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$ publié avec les flux : quelques pour cent de la $47\,\mathrm{TW}$ que perd la Terre. Les panaches sont le partenaire secondaire du bilan thermique ; les plaques transportent le reste.

Une tête de panache est une sphère de manteau flottant qui monte à travers le manteau visqueux : la loi de Stokes vue en physique, $v = 2\Delta\rho\,ga^2/(9\eta)$, donne sa vitesse à l’ordre de grandeur, une fraction de mètre par an pour une tête de quelques centaines de kilomètres de diamètre (exercice 8), de sorte qu’elle traverse le manteau en millions d’années.

6.5 Ajustement isostatique glaciaire et viscosité du manteau

Définition 6.10 (Ajustement isostatique glaciaire, viscosité du manteau)

ajustement isostatique glaciaire (GIA) est la lente déformation de la Terre solide, ainsi que la variation de son champ de gravité et du niveau de la mer, lorsqu’elle revient vers l’équilibre isostatique après une calotte glaciaire croît ou fond. La viscosité du manteau est la viscosité effective $\eta$ qui relie le fluage lent et régulier du manteau aux contraintes qui le mettent en mouvement, sur des durées de plusieurs milliers d’années et davantage.

Lorsqu’une calotte glaciaire fond, la dépression qu’elle laisse se trouve hors d’équilibre isostatique : sous elle, la pression du manteau est plus basse qu’alentour, et le manteau afflue pour relever le fond. Aujourd’hui, la côte du golfe de Botnie se soulève jusqu’à $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, près d’Umeå ; la baie d’Hudson à environ $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, là où la glace était la plus épaisse, tandis que les terres au sud des Grands Lacs s’enfoncent de 1 à $2\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, car le bourrelet que la glace avait soulevé autour d’elle s’affaisse. Sur les côtes, d’anciens rivages se dressent désormais au-dessus de la mer, les plages soulevées de l’encadré de terrain ci-dessous.

Théorème 6.11 (Relaxation d’un demi-espace visqueux)

Une dépression $w(x, t) = w_m(t)\cos(2\pi x/\lambda)$ à la surface d’un demi-espace de viscosité uniforme $\eta$ et de masse volumique $\rho$, laissée sans charge, décroît comme $w_m(t) = w_m(0)e^{-t/\tau}$ avec

$$\tau = \frac{4\pi\eta}{\rho g\lambda} .$$

Définition 6.12 (Temps de relaxation isostatique)

Le temps de relaxation isostatique $\tau$ d’une charge d’échelle horizontale $\lambda$ est le temps au bout duquel son écart à l’équilibre isostatique est divisé par le facteur $e$.

Un demi-espace uniforme relaxe plus vite les larges dépressions que les étroites, et l’écoulement sous une charge de longueur d’onde $\lambda$ décroît avec la profondeur comme $e^{-kz}$, sur une profondeur $\lambda/2\pi$ : une grande calotte glaciaire brasse le manteau en profondeur, un petit lac seulement son sommet. Pour une dépression large de $3000\,\mathrm{km}$ et $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, avec $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\tau = 4.1\,\mathrm{ka}$ (figure ci-dessous) : au bout de dix mille ans, il reste $e^{-2.4} = 9\,\%$ de la dépression, et comme $\dot w = -w/\tau$, un soulèvement de $10\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ signifie qu’il reste environ $40\,\mathrm{m}$ de remontée à venir.

Le manteau réel n’est pas uniforme, et son rebond se lit avec des modèles qui le stratifient et ajoutent une lithosphère élastique, qui soutient les charges étroites par flexion. La première estimation, issue du rebond de Fennoscandie, donne $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et la décroissance du soulèvement à la rivière Angerman, en Suède, et à Richmond Gulf, sur la baie d’Hudson donne une moyenne de 0.65 à $1.1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ depuis la base de la lithosphère jusqu’à environ $1400\,\mathrm{km}$, le manteau supérieur étant environ dix fois moins visqueux que le manteau inférieur. Les inversions des vitesses de soulèvement GNSS de Fennoscandie donnent pour le manteau supérieur des viscosités de $5 \times 10^{20}$ à $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans une étude, et de $3.4 \times 10^{20}$ à $5.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ dans une autre, pour le manteau inférieur, des viscosités de $5 \times 10^{21}$ à $5 \times 10^{22}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, et une lithosphère de 93 à $110\,\mathrm{km}$ d’épaisseur. Les estimations diffèrent d’un facteur deux ou trois, mais elles s’accordent sur l’ordre de grandeur et sur l’augmentation avec la profondeur.

Définition 6.13 (Temps de Maxwell)

Le temps de Maxwell d’un matériau de viscosité $\eta$ et de module de cisaillement $\mu$ est $\tau_M = \eta/\mu$ : des charges appliquées pendant bien moins que $\tau_M$ rencontrent un solide élastique, des charges appliquées pendant bien plus longtemps un fluide visqueux.

Avec $\mu = \rho v_S^2 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$ à $300\,\mathrm{km}$ dans PREM et $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\tau_M = 1.3 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, soit environ quatre cents ans. Une onde sismique, qui ne dure que quelques secondes, traverse un manteau élastique ; une période glaciaire et la convection déforment un fluide. La même roche est l’un et l’autre, selon la durée pendant laquelle elle est sollicitée.

Sur le terrain — Plages soulevées

Sur les côtes de terres jadis englacées, un géomorphologue trouve l’ancien travail de la mer échoué à l’intérieur des terres : cordons de galets arrondis, encoches et plates-formes planes creusées par les vagues, aujourd’hui situées au-dessus de l’atteinte des plus hautes marées actuelles, parfois disposées en escalier sur plusieurs niveaux. Chaque niveau était un rivage lorsque la mer se tenait là ; la terre s’est élevée depuis. Coquilles et bois flottés dans les anciennes plages sont datés au radiocarbone, et les altitudes des niveaux datés, nivelées par rapport à un repère, donnent le soulèvement en fonction du temps. Tracé le long d’une côte, un ancien rivage se révèle incliné, le plus haut là où la glace était la plus épaisse : l’inclinaison dessine la forme du rebond.

6.6 Convection du manteau entier et sa structure profonde

Le manteau convecte-t-il en une seule couche, ou en deux, au-dessus et au-dessous de la discontinuité de $670\,\mathrm{km}$ ? La tomographie (Chapitre 1) apporte une réponse partielle : certains panneaux plongeants s’aplatissent au-dessus de la discontinuité, d’autres plongent à travers elle jusque dans le manteau inférieur, de sorte que de la matière la franchit et que les deux couches ne sont pas isolées l’une de l’autre. L’augmentation de la viscosité avec la profondeur rend l’écoulement du manteau inférieur plus lent, et les panneaux ralentissent et s’épaississent en y pénétrant.

À la base du manteau, la tomographie met en évidence deux vastes régions de faible vitesse des ondes S, sous l’Afrique et sous le Pacifique, appelées grandes provinces à faible vitesse de cisaillement (LLSVP). Elles sont vraisemblablement chimiquement distinctes du manteau situé au-dessus d’elles et plus denses, formant des amas plutôt que des panaches chauds. Les grandes provinces magmatiques et les kimberlites des dernières centaines de millions d’années ont surtout fait éruption au-dessus de leurs bordures, comme si les panaches s’élevaient depuis les bords des amas, là où la couche limite thermique chaude de la base du manteau vient les frôler.

6.7 Exercices

Exercice 6.1 ★

Calculer le nombre de Rayleigh d’une couche du manteau supérieur de $670\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, avec $\rho = 3500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1000\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $\eta = 5 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Combien de fois est-il supérieur au nombre critique, pour des limites à glissement libre ?

Solution

Solution de Exercice 6.1.

$\mathrm{Ra} = 3500\times9.9\times3 \times 10^{-5}\times1000\times(6.7 \times 10^{5})^3/ (10^{-6}\times5 \times 10^{20}) = 6.25 \times 10^{5}$, soit environ 950 fois le nombre de Rayleigh critique de 657.5 : la couche convecte vigoureusement.

Exercice 6.2 ★

Calculer le temps de Maxwell d’un manteau de viscosité $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ et de module de cisaillement $7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, en années. Le manteau répond-il de façon élastique ou visqueuse à la marée terrestre semi-diurne, à la fonte d’une calotte glaciaire et à l’enfoncement d’un panneau plongeant ?

Solution

Solution de Exercice 6.2.

$\tau_M = 10^{21}/7.7 \times 10^{10} = 1.30 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, soit environ $412\,\mathrm{an}$. La marée, qui dure quelques heures, rencontre un manteau élastique ; la fonte d’une calotte glaciaire, sur des milliers d’années, et l’enfoncement d’un panneau plongeant, sur des millions, rencontrent un manteau visqueux.

Exercice 6.3 ★

Avec $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ et $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, calculer le temps de relaxation d’un demi-espace uniforme pour des charges de longueur d’onde 1000 et $3000\,\mathrm{km}$. Laquelle se rétablit le plus vite ?

Solution

Solution de Exercice 6.3.

$\tau = 4\pi\times10^{21}/(3300\times9.8\lambda)$ : $3.89 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ = $12.3\,\mathrm{ka}$ pour $1000\,\mathrm{km}$, et $4.1\,\mathrm{ka}$ pour $3000\,\mathrm{km}$. La charge plus large se rétablit plus vite.

Exercice 6.4 ★

Avec $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_w = 1030\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_m - T_0 = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 0.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $1\,\mathrm{Ma}$ $= 3.156 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$, calculer la force de poussée à la dorsale à $50\,\mathrm{Ma}$. Combien de fois plus petite est-elle que la traction du panneau plongeant de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ ?

Solution

Solution de Exercice 6.4.

$g\rho_m\alpha(T_m - T_0)\kappa t = 9.8\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450 \times0.8 \times 10^{-6}\times50\times3.156 \times 10^{13} = 1.835 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; le facteur entre crochets vaut $1 + 2\times3300\times3.1 \times 10^{-5}\times1450/(\pi\times2270) = 1.0416$, donc $F_{rp} = 1.91 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$, 24 fois plus petite que la traction du panneau plongeant.

Exercice 6.5 ★★

Une masse de manteau de $10\,\mathrm{km}$ de diamètre, plus chaude de $300\,\mathrm{K}$ que son environnement, s’élève à la vitesse $\rho g\alpha\Delta Td^2/\eta$ (prendre $\rho = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\eta = 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$). (a) Calculer son temps de montée sur sa propre taille et son temps de diffusion $d^2/\kappa$, et montrer que leur rapport est son nombre de Rayleigh. (b) Monte-t-elle ou se refroidit-elle d’abord ? (c) Quelle doit être sa taille pour que son nombre de Rayleigh atteigne 657.5 ?

Solution

Solution de Exercice 6.5.

(a) $v = 3300\times9.8\times3 \times 10^{-5}\times300\times(10^{4})^2/10^{21} = 2.91 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; le temps de montée sur $10\,\mathrm{km}$ vaut $d/v = 3.44 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, $10.9\,\mathrm{Ma}$, le temps de diffusion $d^2/\kappa = 10^{14}\,\mathrm{s}$, $3.2\,\mathrm{Ma}$. Leur rapport vaut $(d^2/\kappa)/(d/v) = vd/\kappa = \rho g\alpha\Delta Td^3/(\kappa\eta) = \mathrm{Ra} = 0.29$. (b) Elle se refroidit en premier : les petites masses ne convectent pas. (c) $\mathrm{Ra} \propto d^3$, donc $d = 10\times(657.5/0.291)^{1/3} = 131\,\mathrm{km}$.

Exercice 6.6 ★★

Pour une couche de $2891\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, à $\mathrm{Ra} = 10^{7}$, avec $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$ et $\mathrm{Ra}_c = 657.5$, calculer l’épaisseur de la couche limite, le nombre de Nusselt, l’échelle de vitesse en $\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ et le flux de chaleur.

Solution

Solution de Exercice 6.6.

$2\mathrm{Ra}_c = 1315$ et $\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c = 7604$, dont la racine cubique vaut 19.66. $\delta = 2891/19.66 = 147\,\mathrm{km}$, $\mathrm{Nu} = 19.66/2 = 9.8$, $u = (10^{-6}/2.891 \times 10^{6})\times19.66^2 = 1.34 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.42\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$, et $q = 9.8\times3.1\times1450/2.891 \times 10^{6} = 15\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.

Exercice 6.7 ★★

Un renflement fictif associé à un point chaud a une section transversale de $8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{2}$ à travers la trace, et la plaque au-dessus se déplace à $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$. Avec $\rho_m - \rho_w = 2270\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, calculer son flux de flottabilité, et son flux de chaleur avec $c_p = 1170\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$. Quelle fraction des $46.7\,\mathrm{TW}$ de la Terre représente-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 6.7.

$u = 0.09/3.156 \times 10^{7} = 2.85 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ et $B = 2270\times8 \times 10^{8} \times2.85 \times 10^{-9} = 5.18 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1} = 5.2\,\mathrm{Mg}/\mathrm{s}$, soit environ trois cinquièmes de celui de Hawaï. Le flux de chaleur est $1170\times5178/3.1 \times 10^{-5} = 1.95 \times 10^{11}\,\mathrm{W}$, soit $0.2\,\mathrm{TW}$, ou $0.42\,\%$ de la perte thermique de la Terre.

Exercice 6.8 ★★

Une tête de panache de rayon $400\,\mathrm{km}$, plus légère que le manteau de $30\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, s’élève à travers un manteau de viscosité $10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Avec la loi de Stokes, calculer sa vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{an}$ et le temps nécessaire pour parcourir $2000\,\mathrm{km}$.

Solution

Solution de Exercice 6.8.

$v = 2\times30\times9.8\times(4 \times 10^{5})^2/(9\times10^{21}) = 1.05 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{an}$ ; pour $2000\,\mathrm{km}$, il faut $2 \times 10^{6}/1.05 \times 10^{-8} = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$, soit environ $6\,\mathrm{Ma}$.

Exercice 6.9 ★★

Une région s’est enfoncée de $300\,\mathrm{m}$ lorsque sa glace a fondu, il y a $10\,\mathrm{ka}$, et relaxe avec $\tau = 4.4\,\mathrm{ka}$. Calculer l’enfoncement subsistant aujourd’hui et le taux de soulèvement actuel. Comparer ce résultat au taux de $10.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ mesuré près d’Umeå.

Solution

Solution de Exercice 6.9.

$w = 300e^{-10/4.4} = 30.9\,\mathrm{m}$ et $\dot w = w/\tau = 30.9/4400 = 7.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$, soit les deux tiers du taux mesuré près d’Umeå : un demi-espace homogène de ce $\tau$ est dans le bon ordre de grandeur, mais le rebond réel est plus rapide, ou sa dépression plus profonde.

Exercice 6.10 ★★★

(a) À partir de l’expression de $F_{rp}$ dans la démonstration de la Proposition 6.6, montrer que le premier terme, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2$, est le second terme du crochet. (b) Montrer que $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = 1/4$, en intégrant par parties. (c) Avec les valeurs de l’exercice 4, calculer les deux termes à $100\,\mathrm{Ma}$.

Solution

Solution de Exercice 6.10.

(a) Avec $w = 2\rho_m\alpha\Delta T\sqrt{\kappa t/\pi}/(\rho_m - \rho_w)$,

$$\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = \frac{2g\rho_m^2\alpha^2\Delta T^2\kappa t} {\pi(\rho_m - \rho_w)} = g\rho_m\alpha\Delta T\kappa t\times \frac{2\rho_m\alpha\Delta T}{\pi(\rho_m - \rho_w)} .$$

(b) Par parties, $\int_0^\infty x\operatorname{erfc}x\,\mathrm dx = [\tfrac{x^2}2\operatorname{erfc} x]_0^\infty + \int_0^\infty\tfrac{x^2}2\,\tfrac2{\sqrt\pi}e^{-x^2}\,\mathrm dx = 0 + \tfrac1{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}4 = \tfrac14$. (c) À $100\,\mathrm{Ma}$, $\rho_mg\alpha\int z\theta = 3.67 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ et, avec $w = 3705\,\mathrm{m}$, $\tfrac12(\rho_m - \rho_w)gw^2 = 1.53 \times 10^{11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ : le terme dû à l’eau ne représente que $4\,\%$ de la force.

Exercice 6.11 ★★★

Montrer que $f(k) = (\pi^2 + k^2)^3/k^2$ est minimale pour $k = \pi/\sqrt2$, où elle vaut $27\pi^4/4$. En déduire la largeur d’une paire de cellules de convection au seuil, en unités de $d$, et la largeur d’une seule cellule.

Solution

Solution de Exercice 6.11.

$\ln f = 3\ln(\pi^2 + k^2) - 2\ln k$, dont la dérivée $6k/(\pi^2 + k^2) - 2/k$ s’annule lorsque $3k^2 = \pi^2 + k^2$, $k^2 = \pi^2/2$. Alors $f = (3\pi^2/2)^3/ (\pi^2/2) = 27\pi^4/4$. La longueur d’onde $2\pi/k = 2\sqrt2\,d = 2.83\,d$ couvre une paire de cellules contrarotatives, chacune de largeur $\sqrt2\,d = 1.41\,d$.

Exercice 6.12 ★★★

Une plaque longue de $6000\,\mathrm{km}$ se déplace à $6\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$ au-dessus d’une couche du manteau de $150\,\mathrm{km}$ d’épaisseur, de viscosité $10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, dont la base est immobile. (a) Calculer la traînée basale en $\mathrm{MPa}$ et la force de traînée par unité de longueur de plaque. (b) Comparer avec une poussée à la dorsale de $3.8 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$ et une traction du panneau plongeant de $4.6 \times 10^{13}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) Si un dixième de la traction du panneau plongeant atteint la plaque, à quelle vitesse la traînée équilibre-t-elle les forces motrices ?

Solution

Solution de Exercice 6.12.

(a) $u = 1.90 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\eta u/h = 10^{20}\times1.90 \times 10^{-9}/ 1.5 \times 10^{5} = 1.27\,\mathrm{MPa}$, et sur $6000\,\mathrm{km}$, $7.6 \times 10^{12}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$. (b) Le double de la poussée à la dorsale et le sixième de la traction du panneau plongeant : la traînée basale peut résister à la seule poussée à la dorsale, mais pas au panneau plongeant. (c) $\eta uL/h = 3.8 \times 10^{12} + 4.6 \times 10^{12}$ donne $u = 8.4 \times 10^{12}\times1.5 \times 10^{5}/(6 \times 10^{6}\times10^{20}) = 2.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 6.6\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$, soit la vitesse des plaques océaniques rapides.

6.8 Problème : rebond du lac Ardo

Problème 6.1

Problème du week-end — le rebond du bassin d’un lac fictif, la viscosité du manteau sous celui-ci, et la convection que cette viscosité permet

Le lac Ardo, un lac fictif, remplissait un bassin large de $250\,\mathrm{km}$, barré par une calotte glaciaire, et atteignait $300\,\mathrm{m}$ de profondeur pendant environ cinquante mille ans. Il y a quatorze mille ans, la digue de glace céda et le lac se vida en quelques semaines. Sa plus haute ligne de rivage, horizontale lors de sa formation, est aujourd’hui inclinée ; des rivages datés des petits lacs restés dans le bassin donnent le soulèvement du centre depuis la vidange, par rapport à la bordure, qui a à peine bougé :

durée depuis la vidange (ka)	1	2	4	6	9	14
soulèvement du centre (m)	11.5	21.6	38.0	50.5	64.0	77.2

Prenez $\rho_w = 1000\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $\rho_m = 3300\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.8\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $1\,\mathrm{an}$ $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, et traitez le manteau comme un demi-espace visqueux homogène.

Partie I — La charge.

1. Calculer la pression exercée par le lac sur son fond.
2. Calculer l’enfoncement du fond à l’équilibre isostatique, et dire pourquoi c’est la masse volumique du manteau, et non celle de la croûte, qui y intervient.
3. En assimilant le lac à un disque, calculer la masse de son eau.
4. Expliquer pourquoi la plus haute ligne de rivage est aujourd’hui inclinée, et calculer sa pente moyenne de la bordure au centre, en mètres par kilomètre.
5. On traite l’enfoncement comme un harmonique unique dont la moitié déprimée, de $-\lambda/4$ à $\lambda/4$, couvre le lac. Donner $\lambda$ et $k = 2\pi/\lambda$.
6. Sur quelle profondeur l’écoulement sous une telle charge décroît-il d’un facteur $e$ ?

Partie II — Le temps de relaxation.

7. En supposant que le lac ait atteint l’équilibre, calculer l’enfoncement subsistant à chaque date du tableau.
8. Montrer que, si l’enfoncement décroît exponentiellement, son logarithme décroît linéairement avec le temps.
9. Calculer $\tau$ à partir des dates 1 et $14\,\mathrm{ka}$.
10. Prévoir le soulèvement à $6\,\mathrm{ka}$ avec ce $\tau$ et comparer avec le tableau.
11. Calculer l’enfoncement subsistant aujourd’hui et le taux de soulèvement actuel du centre, en $\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.
12. Quel soulèvement reste-t-il à venir ?
13. Dans combien d’années encore le taux de soulèvement passera-t-il sous $0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$ ?

Partie III — La viscosité.

14. Calculer la viscosité du demi-espace à partir de $\tau$.
15. La comparer aux viscosités du manteau supérieur, comprises entre $3.4 \times 10^{20}$ et $1 \times 10^{21}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ mesurées sous la Fennoscandie. Quelle partie du manteau le rebond du lac Ardo sonde-t-il ?
16. Avec cette viscosité, calculer le temps de relaxation d’une charge de $3000\,\mathrm{km}$ de longueur d’onde. Pourquoi une calotte glaciaire réelle de cette taille relaxerait-elle plus lentement que dans ce modèle ?
17. Que fait une lithosphère élastique, négligée ici, au rebond d’une charge large de seulement $250\,\mathrm{km}$ ?
18. Calculer le temps de Maxwell du manteau avec $\mu = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Pa}$, et dire si un modèle visqueux était justifié.
19. Vérifier l’hypothèse de la question 7 : quelle fraction de l’enfoncement d’équilibre a été atteinte pendant que le lac subsistait ?
20. De combien varierait $\log_{10}\eta$ si l’on prenait $\lambda$ égal à $250\,\mathrm{km}$ ?

Partie IV — Convection. Prenez une couche de manteau supérieur $670\,\mathrm{km}$ de profondeur, avec $\rho = 3700\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, $g = 9.9\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $\alpha = 3.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$, $\Delta T = 1450\,\mathrm{K}$, $\kappa = 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$, $k = 3.1\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ et la viscosité de la partie III.

21. Calculer le nombre de Rayleigh de la couche.
22. De combien de fois le nombre de Rayleigh dépasse-t-il le nombre critique ($\mathrm{Ra}_c = 657.5$) ?
23. Calculer l’épaisseur de la couche limite et le nombre de Nusselt.
24. Calculer l’échelle de vitesse en $\mathrm{cm}/\mathrm{an}$, et la comparer aux vitesses de plaques de 1 à $7.5\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$.
25. Calculer le flux de chaleur, et donner deux raisons pour lesquelles il est inférieur à la valeur moyenne terrestre, $92\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$.
26. Donner la viscosité du manteau supérieur sous le lac Ardo sous forme de $\log_{10}$ de $\eta$ en $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

Solution

Solution de Problème 6.1.

1. $p = 1000\times9.8\times300 = 2.94\,\mathrm{MPa}$.

2. $w = \rho_wh/\rho_m = 300\times1000/3300 = 90.9\,\mathrm{m}$. La croûte s’enfonce en bloc ; ce qui s’écoule de sous la charge, puis revient, est le manteau, donc la colonne est compensée par du manteau déplacé en profondeur.

3. $\pi\times(1.25 \times 10^{5})^2 = 4.91 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{2}$, et l’eau pèse $4.91 \times 10^{10}\times300\times1000 = 1.47 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$.

4. Le rivage s’est formé de niveau, lorsque le fond était le plus enfoncé au centre ; le centre s’est depuis davantage soulevé que le bord, si bien que la ligne remonte vers le centre, de $77.2\,\mathrm{m}$ sur $125\,\mathrm{km}$ : $0.62\,\mathrm{m}/\mathrm{km}$.

5. $\lambda/2 = 250\,\mathrm{km}$, donc $\lambda = 500\,\mathrm{km}$ et $k = 2\pi/5 \times 10^{5} = 1.257 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$.

6. $1/k = \lambda/2\pi = 79.6\,\mathrm{km}$.

7. $w = 90.9 - \text{soulèvement}$ : 79.4, 69.3, 52.9, 40.4, 26.9 et $13.7\,\mathrm{m}$.

8. $w = w_0e^{-t/\tau}$ donne $\ln w = \ln w_0 - t/\tau$, une droite de pente $-1/\tau$.

9. $\tau = (14 - 1)/\ln(79.4/13.7) = 13/1.7571 = 7.40\,\mathrm{ka}$.

10. $w(6) = 79.4\,e^{-5/7.40} = 40.4\,\mathrm{m}$, soit un soulèvement de $50.5\,\mathrm{m}$, comme dans le tableau.

11. $13.7\,\mathrm{m}$ restent ; $\dot w = 13.7/7400 = 1.85\,\mathrm{mm}/\mathrm{an}$.

12. La totalité des $13.7\,\mathrm{m}$, atteinte de plus en plus lentement.

13. Le taux décroît comme $e^{-t/\tau}$ : $t = 7.40\ln(1.85/0.5) = 7.40\times1.309 = 9.7\,\mathrm{ka}$, soit environ 9700 ans de plus.

14. $\tau = 7399\times3.156 \times 10^{7} = 2.335 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, et $\eta = \tau\rho_mg\lambda/(4\pi) = 2.335 \times 10^{11}\times3300\times9.8\times5 \times 10^{5}/ 12.566 = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

15. Juste en dessous de la limite inférieure de la fourchette fennoscandienne. L’écoulement sous une charge de longueur d’onde $500\,\mathrm{km}$ décroît sur $80\,\mathrm{km}$ : le rebond échantillonne le manteau le plus superficiel et le plus faible, sous et en partie dans ce qui est, dans la Terre réelle, la lithosphère.

16. $\tau = 4\pi\times3.0 \times 10^{20}/(3300\times9.8\times3 \times 10^{6}) = 3.9 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 1.2\,\mathrm{ka}$. Sous une charge aussi large, l’écoulement atteint jusqu’à $477\,\mathrm{km}$ et davantage, vers un manteau inférieur dix fois plus visqueux, ce qui le ralentit.

17. Elle porte une partie d’une charge étroite par flexion : la dépression à l’équilibre est moins profonde et plus large que la valeur isostatique de $90.9\,\mathrm{m}$, et une partie du rebond est élastique et immédiat. Un demi-espace visqueux homogène ajusté au soulèvement donne alors une viscosité qui mêle les deux effets.

18. $\tau_M = 3.0 \times 10^{20}/7.7 \times 10^{10} = 3.9 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$, soit environ $124\,\mathrm{an}$, soixante fois plus court que $\tau$ : sur des milliers d’années le manteau se comporte comme un fluide visqueux.

19. $1 - e^{-50/7.40} = 0.9988$ : $99.9\,\%$ de la dépression d’équilibre a été atteinte, et l’hypothèse est vérifiée.

20. $\eta \propto \lambda$ : diviser $\lambda$ par deux divise $\eta$ par deux, et $\log_{10}\eta$ diminue de $\log_{10}2 = 0.30$.

21. $\mathrm{Ra} = 3700\times9.9\times3.1 \times 10^{-5}\times1450\times (6.7 \times 10^{5})^3/(10^{-6}\times3.0 \times 10^{20}) = 1.65 \times 10^{6}$.

22. $1.65 \times 10^{6}/657.5 \approx 2500$ fois la valeur critique.

23. $(\mathrm{Ra}/2\mathrm{Ra}_c)^{1/3} = (1254)^{1/3} = 10.78$ : $\delta = 670/10.78 = 62\,\mathrm{km}$ et $\mathrm{Nu} = 5.4$.

24. $u = (10^{-6}/6.7 \times 10^{5})\times10.78^2 = 1.73 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.55\,\mathrm{cm}/\mathrm{an}$, deux à quatorze fois moins vite que les plaques.

25. $q = 5.4\times3.1\times1450/6.7 \times 10^{5} = 36\,\mathrm{mW}\,\mathrm{m}^{-2}$. La couche néglige la chaleur produite dans le manteau et celle venant du noyau et du manteau inférieur ; et la loi d’échelle abandonne ses constantes d’ordre un, alors que les plaques, qui se refroidissent comme des demi-espaces à partir des dorsales, perdent bien plus de chaleur sur le plancher jeune qu’une couche limite moyenne n’en perdrait.

26. $\eta = 3.0 \times 10^{20}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : $\log_{10}\eta = \textbf{$20.48$}$.