31Méthodes de terrain et de laboratoire III

Une équipe de géophysiciens passe une semaine dans la vallée des Varden Hills, la région fictive dont le volume de première année a dressé la carte géologique, dans son chapitre consacré aux cartes géologiques. La carte montre un granite affleurant sur les flancs de la vallée, entre les schistes, sous le grès qui repose sur les deux. Là où le granite disparaît sous la couverture, on ignore jusqu’où il s’étend et à quelle profondeur il descend. L’équipe emporte un gravimètre, deux magnétomètres, un câble d’électrodes et un géoradar monté sur un petit chariot. Aucun de ces instruments ne voit une roche : chacun mesure un champ en surface—la pesanteur, le champ magnétique, un potentiel électrique, l’écho d’une impulsion radio—que les roches du sous-sol perturbent. Au terme de la semaine, l’équipe peut dessiner le granite qu’elle n’a jamais vu, dire quelle est la profondeur des alluvions du fond de vallée, et signaler un corps magnétique qu’aucune carte ne montrait.

Ce chapitre suit cette semaine. Il traite chaque méthode tour à tour, comme une mesure assortie de ses corrections, et comme un problème direct portant sur quelques corps dont les champs se calculent exactement ; il expose ensuite comment se cumulent les erreurs d’une campagne et pourquoi un seul type de données fixe rarement un modèle ; il se termine par la campagne de Varden, où les méthodes sont mises en œuvre ensemble.

Tu sais déjà

L’anomalie de pesanteur, les corrections et anomalies à l’air libre et de Bouguer, ainsi que la pesanteur normale, figurent dans le volume de première année, dans son chapitre sur l’isostasie et la gravité ; la boucle de mesure d’un gravimètre relatif est décrite au Chapitre 3. Le champ principal, son inclinaison, la formule du dipôle et le champ géomagnétique international de référence (IGRF) sont traités au Chapitre 4. La résistivité, la loi d’Ohm, la permittivité relative, les ondes électromagnétiques, l’aimantation et la susceptibilité magnétique relèvent des volumes de physique, de même que le théorème de Gauss pour la gravité. Les campagnes de sismique réfraction sont traitées au Chapitre 2 ; le problème direct, le problème inverse et les moindres carrés pondérés sont traités au Chapitre 1 ; la porosité figure dans les manuels du secondaire, et les diagraphies au Chapitre 17. La propagation des incertitudes est traitée dans les volumes de chimie et de mathématiques.

31.1 Campagnes gravimétriques

Les anomalies recherchées par une campagne gravimétrique sont faibles. La pesanteur à l’équateur vaut environ $978\,000\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ; les grandes structures la modifient de plusieurs centaines de milligals, un dôme de sel d’une dizaine, un corps minéralisé d’environ un, et les cibles d’une campagne géotechnique de quelques centièmes. Les géophysiciens mesurent en milligals, ou en unités de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ; une campagne utile doit résoudre des écarts d’une partie sur cent millions de $g$.

Définition 31.1 (Gravimètre relatif ; dérive instrumentale)

Un gravimètre relatif est un instrument qui mesure des écarts de pesanteur entre stations : une masse suspendue à un ressort, maintenue en position nulle par une seconde force réglable. La lecture du cadran de cette force, multipliée par une constante d’étalonnage, donne la pesanteur en milligals à une constante inconnue près. Sa dérive instrumentale est la lente variation de sa lecture en un point fixe, due au fluage du ressort, à la température et aux chocs ; on la mesure en relisant, après quelques heures, une station déjà lue, la station de base.

Un gravimètre de terrain couvre une plage de plusieurs dizaines de milliers de milligals et se lit, au mieux, à environ $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ; la plage doit être recalée après le transport. À cette précision, la hauteur de chaque station compte autant que sa lecture : une erreur de $3.3\,\mathrm{cm}$ sur la hauteur fausse $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, si bien que les positions sont relevées au moyen de récepteurs satellitaires ou d’un niveau, au centimètre près. La station de base est réoccupée toutes les deux heures environ. La marée terrestre, qui peut atteindre $0.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, varie assez lentement sur ces heures pour pouvoir être éliminée avec la dérive.

Méthode 31.2 (Réduction d’une boucle gravimétrique)

Une boucle part et revient à une station de base, lue aux instants $t_0$ et $t_1$.

1. Calculer la vitesse de dérive $(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$ à partir des deux lectures de la station de base ; elle inclut la marée.
2. Retrancher de chaque lecture la dérive accumulée depuis $t_0$, $r - (t - t_0)(r_1 - r_0)/(t_1 - t_0)$, puis retrancher la lecture de base : ce résultat est la pesanteur relative à la station de base.
3. Corriger de la hauteur $\Delta h$ de la station au-dessus de la station de base : ajouter la correction à l’air libre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1} \times\Delta h$ et retrancher la correction de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}\times\Delta h$ (masse volumique $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$), soit ajouter $0.1967\,\Delta h$.
4. Pour une station située à une distance $\Delta y$ au nord de la base, retrancher la variation de la pesanteur normale, $0.811\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{km}^{-1} \times\sin 2\varphi\times\Delta y$.
5. Ajouter la correction de terrain de chaque station.

Le résultat est l’anomalie de Bouguer relative à la base. Le rattachement de la base à une station de pesanteur absolue connue donne l’anomalie elle-même.

La correction de Bouguer traite le terrain compris entre la station et le niveau de référence comme une dalle plane. Dans un relief réel, cette hypothèse est fausse à deux titres : une colline qui s’élève au-dessus de la station tire vers le haut et abaisse la lecture, et une vallée qui s’enfonce sous elle est comptée dans la dalle comme de la roche qui n’est pas là.

Définition 31.3 (Correction de terrain)

La correction de terrain d’une station de pesanteur est l’attraction que les écarts du relief par rapport à la dalle de Bouguer exercent sur elle : les collines au-dessus du niveau de la station, et les vallées au-dessous, comptées avec la masse volumique de la dalle. Les deux abaissent la pesanteur mesurée par rapport à la dalle ; la correction est donc toujours ajoutée.

Elle a été calculée à la main, à l’aide d’un abaque de Hammer et de tables, zone par zone en s’éloignant de la station ; elle l’est aujourd’hui à partir d’un modèle numérique de terrain. Loin des reliefs abrupts, elle dépasse rarement $1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, mais les zones proches de la station sont difficiles à calculer correctement, et la correction n’est guère connue à mieux que $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

31.1.1 Anomalies de corps simples

Le problème direct de la pesanteur est une somme : chaque élément d’un corps de contraste de masse volumique $\Delta\rho$ attire la station selon la loi de Newton, et une campagne mesure la composante verticale de la somme. Quelques corps la donnent sous forme fermée.

Théorème 31.4 (Sphère et cylindre horizontal)

À une distance horizontale $x$ du point situé à la verticale de son centre, une sphère enfouie d’excès de masse $\Delta m$ dont le centre est à la profondeur $z$ donne l’anomalie

$$\Delta g(x) = \frac{G\,\Delta m\,z}{(x^2 + z^2)^{3/2}} ,$$

et l’anomalie tombe à la moitié de son maximum en $x_{1/2} = z\sqrt{2^{2/3} - 1}$, de sorte que $z = 1.305\,x_{1/2}$. Un long cylindre horizontal d’excès de masse $\lambda$ par unité de longueur, dont l’axe est à la profondeur $z$, donne en travers de sa direction

$$\Delta g(x) = \frac{2G\lambda z}{x^2 + z^2} ,$$

et $z = x_{1/2}$.

Un corps qui n’est pas une sphère possède tout de même une demi-largeur, et la règle donne alors la profondeur d’une sphère équivalente, et non celle du corps. La règle est une première estimation, faite avant tout ajustement d’un modèle.

Proposition 31.5 (Cylindre vertical sur son axe)

Un cylindre vertical de rayon $a$ et de contraste de masse volumique $\Delta\rho$, dont le sommet et la base sont aux profondeurs $z_1 < z_2$ sous la station, donne sur son axe

$$\Delta g = 2\pi G\Delta\rho\left[(z_2 - z_1) + \sqrt{z_1^2 + a^2} - \sqrt{z_2^2 + a^2}\right] .$$

Pour $a \to \infty$, c’est la dalle de Bouguer $2\pi G\Delta\rho(z_2 - z_1)$ ; pour un cylindre allant de la surface à une grande profondeur, elle tend vers $2\pi G\Delta\rho\,a$.

Proposition 31.6 (Masse en excès à partir d’une carte gravimétrique)

Quelle que soit la forme d’un corps situé entièrement sous un plan horizontal, sa masse en excès vaut

$$\Delta m = \frac{1}{2\pi G}\iint \Delta g\,\mathrm{d}A ,$$

l’intégrale couvrant l’ensemble du plan.

Le théorème donne la masse, jamais la forme ; et une carte ne couvre qu’une partie du plan, alors que l’anomalie d’un corps profond décroît lentement, si bien que la masse déduite d’une carte est trop faible à moins que ses bords ne soient prolongés par un modèle.

31.1.2 Le granite de Varden

Le modèle du granite établi par les géologues est un corps elliptique situé sous la discordance, large de $760\,\mathrm{m}$ d’est en ouest et de $1120\,\mathrm{m}$ du nord au sud à son contact avec la couverture, et s’élargit vers le bas ; sur les flancs de la vallée, il atteint la surface. Le granite est moins dense que le schiste : les plages de densité publiées vont de $2.50\text{ à }2.81$ et $2.39\text{ à }2.80\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Le modèle du relevé retient $2620\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ pour le granite et $2750\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ pour le schiste, soit un contraste de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et arrête le granite à $1500\,\mathrm{m}$ sous le niveau de la mer, hypothèse faite faute de connaître sa base. Découpé en $5533$ prismes droits dont les attractions ont une forme fermée, le modèle donne l’anomalie de la carte ci-dessus : un minimum fermé de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ au-dessus du centre du granite, dont les isolignes sont allongées du nord au sud, comme le corps.

31.2 Relevés magnétiques

Le champ principal terrestre vaut environ $25\,000\,\mathrm{nT}$ à l’équateur magnétique et environ $70\,000\,\mathrm{nT}$ au voisinage des pôles magnétiques. Les roches qui renferment de la magnétite y ajoutent leur propre champ, induit par le champ principal en proportion de leur susceptibilité, ou rémanent, acquis au moment de leur formation. Une roche magmatique felsique a une susceptibilité inférieure à environ $2 \times 10^{-3}$, une roche mafique entre environ $2 \times 10^{-3}$ et $0.4$ ; sur la même échelle, un pour cent de magnétite en volume donne environ $0.03$.

Définition 31.7 (Anomalie du champ total ; correction diurne ; réduction au pôle)

Soit $\mathbf{F}$ le champ principal au niveau du relevé et $\Delta\mathbf{B}$ le champ des roches aimantées.

• L’anomalie du champ total est l’intensité mesurée diminuée de celle du champ principal, $\Delta T = |\mathbf{F} + \Delta\mathbf{B}| - |\mathbf{F}|$ ; lorsque $|\Delta\mathbf{B}| \ll |\mathbf{F}|$, elle vaut la projection $\Delta\mathbf{B}\cdot\mathbf{F}/|\mathbf{F}|$.
• La correction diurne retire les variations du champ au cours du temps : un magnétomètre placé sur une station de base fixe enregistre le champ pendant toute la durée du relevé, et chaque mesure $T(t)$ de l’instrument mobile est remplacée par $T(t) - T_\mathrm{base}(t)$.
• La réduction au pôle calcule, à partir de l’anomalie mesurée, l’anomalie que ces mêmes roches produiraient si le champ principal était vertical, comme au pôle magnétique ; l’anomalie se trouve alors au-dessus de sa source.

Les variations au cours du temps proviennent de courants de l’ionosphère, situés vers $110\,\mathrm{km}$ d’altitude. En une journée, elles atteignent typiquement $20\text{ à }50\,\mathrm{nT}$, autant que l’anomalie d’une cible de petite taille ; une tempête magnétique peut modifier le champ de plusieurs milliers de nanoteslas. La station de base mesure cette variation, en supposant qu’elle est la même sur l’ensemble du relevé. Le champ principal lui-même, ou le champ des structures plus étendues que le relevé, est retiré à l’aide de l’IGRF, soit une constante, soit une tendance ajustée.

Un magnétomètre à précession de protons mesure la fréquence à laquelle les spins des protons précessent dans le champ, fréquence proportionnelle à ce dernier ; il lit au $1\,\mathrm{nT}$ près et demande plus d’une seconde par mesure. Un magnétomètre à césium pompé optiquement est dix à cent fois plus sensible, avec une lecture au $0.01\,\mathrm{nT}$ près. Les stations doivent être assez rapprochées pour fournir au moins environ trois mesures sur la demi-largeur de l’anomalie la plus étroite recherchée, et plus la source est proche de la surface, plus elles doivent être rapprochées.

Proposition 31.8 (Anomalie d’un dyke mince)

Un dyke vertical d’épaisseur $t$ et de susceptibilité $\kappa$, de direction parallèle au méridien magnétique, dont le sommet est à la profondeur $z$ et qui s’étend loin vers le bas, aimanté par induction dans un champ principal $F$ d’inclinaison $I$, donne en travers de sa direction, si $t \ll z$,

$$\Delta T(x) = \frac{\kappa F t\sin^2 I}{2\pi}\,\frac{z}{x^2 + z^2} ,$$

une anomalie symétrique qui retombe à la moitié de son maximum en $x = \pm z$ : la profondeur du sommet du dyke est égale à la moitié de la largeur totale de l’anomalie à mi-hauteur.

Lorsque le dyke est orienté en travers du méridien, les parties horizontales de l’aimantation et du champ principal se trouvent toutes deux dans le plan du profil, les faces latérales portent des charges, et l’anomalie devient dissymétrique, avec un creux du côté du pôle. La figure ci-dessous la calcule exactement pour un dyke de largeur finie, en additionnant les champs fermés de ses quatre faces chargées. La réduction au pôle ramène une telle anomalie à la forme symétrique d’un champ vertical.

31.3 Méthodes électriques

La résistivité varie dans une plage plus large que toute autre propriété des roches : les roches magmatiques et métamorphiques non altérées se situent entre environ $1000$ et $100\,000\,\Omega\mathrm{m}$, les schistes entre environ $3$ et $30$, les graviers et sables secs entre quelques centaines et dix mille ; l’eau douce se situe entre environ $1.5$ et $130\,\Omega\mathrm{m}$, et l’eau salée en dessous de un. L’eau interstitielle conduit mieux que la plupart des minéraux constitutifs des roches, grâce à ses ions, de sorte que le courant circule surtout dans les pores, et la porosité, la saturation et la salinité de l’eau contrôlent la résistivité d’une roche.

Théorème 31.9 (Source ponctuelle sur un sol homogène)

Un courant $I$ injecté en un point de la surface d’un sol homogène de résistivité $\rho$ produit, à la distance $r$, le potentiel

$$V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r} .$$

Avec deux électrodes d’injection A ($+I$) et B ($-I$) et deux électrodes de potentiel M et N, la différence de potentiel mesurée vaut

$$\Delta V_{MN} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac{1}{AM} - \frac{1}{BM} - \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN}\right) .$$

Définition 31.10 (Résistivité apparente ; dispositif d’électrodes ; sondage électrique vertical ; tomographie de résistivité électrique)

• La résistivité apparente d’une mesure à quatre électrodes vaut $\rho_a = K\,\Delta V_{MN}/I$, avec le facteur géométrique $K = 2\pi/(1/AM - 1/BM - 1/AN + 1/BN)$ : c’est la résistivité du sol homogène qui donnerait la même mesure.
• Un dispositif d’électrodes est une règle qui place les quatre électrodes : le dispositif Wenner les dispose à équidistance, à la distance $a$ les unes des autres, dans l’ordre AMNB ; le dispositif Schlumberger place M et N, distantes de $2l$, au centre d’une ligne AB beaucoup plus longue, de demi-longueur $s$ ; les dispositifs dipôle–dipôle, pôle–dipôle et pôle–pôle séparent la paire de courant de la paire de potentiel, ou envoient une électrode très loin.
• Un sondage électrique vertical élargit un dispositif autour d’un centre fixe et trace $\rho_a$ en fonction de l’écartement, en échelles logarithmiques : plus l’écartement est grand, plus le courant pénètre profondément.
• La tomographie de résistivité électrique dispose de nombreuses électrodes le long d’une ligne, mesure de nombreuses combinaisons à quatre électrodes et les inverse ensemble pour obtenir une coupe de résistivité.

Pour le dispositif Wenner, le facteur vaut $K = 2\pi a$ ; pour le dispositif Schlumberger, $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$, et $\rho_a \approx 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ lorsque $l \ll s$, avec $l$ valant environ un dixième de $s$ en pratique. Un sondage Schlumberger ne déplace que A et B pour la plupart des mesures, le sondage Wenner déplace les quatre électrodes. Le courant est une onde carrée alternée : marche, arrêt, inversion, arrêt, pendant plusieurs secondes chacun, car le sol porte des potentiels spontanés naturels, d’origine électrochimique, qu’un courant continu ne permettrait pas de distinguer. Les petits sondages, avec des électrodes espacées jusqu’à environ $100\,\mathrm{m}$, demandent quelques centaines de milliwatts ; les sondages larges d’un kilomètre utilisent des émetteurs de quelques dizaines de kilowatts.

Au-dessus d’un sol stratifié, la résistivité apparente d’un sondage passe de la résistivité de la couche supérieure, pour de petits écartements, à celle de la couche inférieure, pour de grands écartements. La courbe entre les deux est le problème direct du sondage.

Proposition 31.11 (Sondage au-dessus de couches )

Au-dessus de couches horizontales de résistivités $\rho_1, \dots, \rho_n$ et d’épaisseurs $h_1, \dots, h_{n-1}$, la résistivité apparente Schlumberger à demi-écartement $s$ vaut

$$\rho_a(s) = s^2\int_0^\infty T(\lambda)\,\lambda\,J_1(\lambda s)\,\mathrm{d}\lambda ,$$

où $J_1$ est la fonction de Bessel d’ordre un et la transformée de résistivité $T$ se construit de bas en haut, avec $T_n = \rho_n$ et

$$T_i = \frac{T_{i+1} + \rho_i\tanh(\lambda h_i)}{1 + T_{i+1}\tanh(\lambda h_i)/\rho_i} , \qquad T = T_1 .$$

Pour deux couches, avec $k = (\rho_2 - \rho_1)/(\rho_2 + \rho_1)$,

$$\frac{\rho_a}{\rho_1} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} k^n \left[1 + \left(\frac{2nh_1}{s}\right)^2\right]^{-3/2} ,$$

somme des images de la source dans l’interface et à la surface.

La forme intégrale est admise ; la série à deux couches découle du Théorème 31.9 par la méthode des images, la source étant réfléchie encore et encore, avec un facteur $k$ à chaque fois, dans l’interface et à la surface.

Proposition 31.12 (Une couche conductrice sur un substratum isolant)

Si des couches de conductance longitudinale totale $S = \sum_i h_i/\rho_i$ reposent sur un substratum beaucoup plus résistant, la résistivité apparente Schlumberger pour des écartements très supérieurs à la couverture vaut $\rho_a = s/S$ : une droite de pente un sur le tracé logarithmique, qui donne $S$ mais non les épaisseurs et les résistivités séparément.

Proposition 31.13 (Loi d’Archie)

Une roche propre (exempte d’argile) entièrement saturée d’eau de résistivité $\rho_w$ a pour résistivité

$$\rho = a\,\rho_w\,\phi^{-m} ,$$

où $\phi$ est sa porosité, $a$ un coefficient généralement proche de $1$ et $m$ l’exposant de cimentation, généralement compris entre $1.3$ et $2.8$ lorsque $a = 1$. Le rapport $F = \rho/\rho_w$ est le facteur de formation.

Il s’agit de la loi d’Archie, une relation empirique établie par Archie en 1942 ; elle n’admet pas de démonstration, seulement un domaine de validité. Elle convertit une résistivité en porosité dès lors que la résistivité de l’eau est connue, et l’incertitude sur $m$ est la plus grande source d’erreur du résultat.

31.4 Réfraction sismique et radar sur le terrain

La campagne de sismique réfraction du Chapitre 2 est l’autre moyen qu’a le géophysicien de terrain pour atteindre la profondeur d’une couche : une ligne de géophones, une chute de masse comme source, et les premières arrivées portées en fonction du déport, dont les pentes donnent les vitesses et dont les ordonnées à l’origine donnent les profondeurs des réfracteurs. Sur le fond de la vallée de Varden, elle verrait le toit du granite, plus rapide que tout sédiment qui le recouvre ; elle ne verrait pas une couche plus lente que celle qui la surmonte, l’angle mort de la méthode.

Définition 31.14 (Géoradar ; radargramme)

Le géoradar envoie de courtes impulsions d’ondes radio, de fréquences comprises entre environ $100\,\mathrm{MHz}$ et $1\,\mathrm{GHz}$, de durées de quelques nanosecondes, émises depuis une antenne posée au sol, et enregistre les échos des contrastes de permittivité et de conductivité en dessous. Un radargramme est la représentation des traces enregistrées, placées côte à côte le long du profil, le temps double croissant vers le bas.

Proposition 31.15 (Vitesse radar, réflexion et pénétration)

Dans un sol non magnétique dont la conductivité $\sigma$ est faible devant $\omega\varepsilon$, l’impulsion radar se propage à

$$V = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} ,$$

une interface entre permittivités relatives $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ réfléchit en incidence normale la fraction $R = (\sqrt{\varepsilon_1} - \sqrt{\varepsilon_2})/(\sqrt{\varepsilon_1} + \sqrt{\varepsilon_2})$ de l’amplitude, et celle-ci est divisée par un facteur $\mathrm{e}$ sur la profondeur de peau

$$\delta = \frac{2}{\sigma}\sqrt{\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\mu_0}} \approx 0.0053\,\mathrm{S}\times\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma} .$$

Les vitesses vont de $0.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$ dans l’air à environ $0.15$ dans sable sec, $0.13$ dans le granite et $0.06$ dans le sable ou l’argile saturés, où la permittivité de l’eau domine. La profondeur utile vaut environ trois profondeurs de peau : dans un calcaire de permittivité 6 et de conductivité $1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ la profondeur de peau vaut environ $13\,\mathrm{m}$, dans une argile de permittivité 20 et $10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$ environ $2.4\,\mathrm{m}$. Une couche est visible si elle a au moins un quart de longueur d’onde en épaisseur, si bien que les hautes fréquences donnent des images plus nettes des terrains plus superficiels.

Proposition 31.16 (Hyperbole de diffraction)

Une antenne déplacée le long de la surface, au-dessus d’un petit objet enfoui à $(x_p, d)$, dans un sol de vitesse $V$, enregistre son écho au temps double

$$t(x) = \frac{2}{V}\sqrt{(x - x_p)^2 + d^2} ,$$

une hyperbole de sommet $t_0 = 2d/V$ au-dessus de l’objet. Tout autre point $(x, t)$ de celle-ci donne $V = 2|x - x_p|/\sqrt{t^2 - t_0^2}$, et alors $d = Vt_0/2$.

31.5 Traitement et incertitudes

Toute valeur d’une campagne porte une erreur, et la réduction ajoute les erreurs des corrections à celle de la lecture. Lorsque les erreurs sont indépendantes, leurs variances s’ajoutent.

Méthode 31.17 (Bilan d’erreurs)

1. Lister les sources indépendantes d’erreur de la valeur réduite : la lecture, la position et la hauteur, la masse volumique ou la susceptibilité supposée, le modèle de dérive ou de variation diurne, le terrain.
2. Convertir chacune dans l’unité du résultat, en la multipliant par la dérivée de la réduction par rapport à celle-ci.
3. Additionner les carrés et prendre la racine carrée.
4. Comparer le total à la taille de l’anomalie recherchée : si elle est plus grande, améliorer d’abord le plus grand terme.

Un modèle se juge à sa capacité à reproduire les données, et la mesure doit pondérer chaque donnée par son incertitude.

Définition 31.18 (Écart d’ajustement aux données)

L’écart d’ajustement d’un modèle à $N$ données $d_i$ de écarts-types $\sigma_i$ est

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^N\left(\frac{d_i - d_i^{\,\mathrm{model}}}{\sigma_i}\right)^2 .$$

Un modèle qui explique les données à leurs erreurs près a un $\chi^2$ proche de $N$ ; une valeur bien supérieure signifie que le modèle est faux, une valeur bien inférieure qu’il ajuste le bruit.

Minimiser l’écart d’ajustement revient aux moindres carrés pondérés du Chapitre 1. La difficulté des méthodes potentielles est que beaucoup de modèles atteignent le même écart d’ajustement. Hors d’un corps, sa pesanteur est celle d’une infinité d’autres : toute sphère de même masse excédentaire et de même centre donne la même anomalie, quels que soient son rayon et sa masse volumique ; une carte de pesanteur fixe la masse excédentaire, mais pas la forme ; un sondage sur une couverture conductrice fixe la conductance $S$, mais pas les épaisseurs ; l’anomalie d’un filon mince fixe le produit $\kappa t$, mais pas $\kappa$ et $t$ séparément. Une inversion choisit parmi les modèles équivalents en ajoutant de l’information : une masse volumique mesurée sur des échantillons, une profondeur mesurée dans un forage, une régularité imposée au modèle. Le moyen le plus sûr est d’ajouter une autre méthode, sensible à une autre propriété : la pesanteur voit la masse volumique, le magnétisme la magnétite, la résistivité l’eau, le radar la permittivité, et chacune voit ce que les autres laissent échapper.

31.6 Un projet de cartographie

Sur le terrain — Une semaine dans la vallée

L’équipe de la campagne de Varden répartit sa semaine entre les méthodes. Un membre porte le gravimètre sur une grille de stations espacées de $200\,\mathrm{m}$, le mettant à niveau à chacune, tandis qu’un collègue relève les altitudes avec un récepteur satellite ; toutes les deux heures, ils reviennent à la station de base par le pont. Un magnétomètre reste posé sur une station de base éloignée de la ligne électrique et de la route, et enregistre toute la journée, pendant qu’un second est promené le long des profils. Au fond de la vallée, deux autres déroulent le câble, enfoncent les électrodes en acier dans les alluvions et développent un sondage de quelques mètres à deux cents. Un petit géoradar, tiré sur un chariot, parcourt le fond de la vallée. Le soir, les mesures sont réduites, et les profils du lendemain sont choisis d’après les cartes de la veille.

Exemple 31.19 (La campagne de Varden)

La carte de pesanteur montre une dépression fermée d’environ $-2.3\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, centrée sur le granite, allongée nord–sud : le granite clair se prolonge sous la couverture, et il est le plus long dans cette direction. La dépression s’étend sur environ $1\,\mathrm{km}$ à partir de l’affleurement, de sorte que le corps s’élargit avec la profondeur. Sa demi-largeur donne une première profondeur pour une sphère équivalente ; des modèles à flanc vertical et à base montrent qu’une base située entre un et quelques kilomètres de profondeur explique tout aussi bien le pic, à quelques dixièmes de milligal près, de sorte que la base reste inconnue : c’est la non-unicité de la section précédente. Sur le fond de la vallée, au-dessus du granite, le sondage part de la résistivité d’un gravier sec, plonge là où le courant entre dans les alluvions saturées d’eau et remonte selon une droite de pente un : une couverture conductrice sur un substratum très résistant, le granite, à quelques mètres de profondeur. Le géoradar tiré sur ce même fond montre un écho plat vers $20\,\mathrm{ns}$ : le niveau de la nappe. Quant à la ligne magnétique tracée au travers du flanc ouest du pli, là où la couverture est épaisse et où les schistes du socle se trouvent à deux cents mètres environ de profondeur, elle enregistre une anomalie positive symétrique d’environ $20\,\mathrm{nT}$ qu’aucune carte n’explique : un dyke mafique, riche en magnétite, enfoui sous la couverture ; sa direction le long du méridien magnétique explique que l’anomalie soit symétrique. Les géophysiciens le rapportent comme un dyke de dolérite tronqué par la discordance, que la couverture de la carte dissimule. Le problème du week-end réduit les données de la campagne.

31.7 Exercices

Exercice 31.1 ★

(a) Quelle fraction de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ représente $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ? (b) De combien faut-il élever un gravimètre pour que sa lecture change de $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sous le seul effet de l’air libre ? (c) Sous l’effet conjugué de l’air libre et de Bouguer, avec la masse volumique $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ ?

Solution

Solution de Exercice 31.1.

(a) $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal} = 10^{-7}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, et $10^{-7}/9.81 = 1.0 \times 10^{-8}$ : une partie sur cent millions.

(b) $0.01/0.3086 = 0.032\,\mathrm{m}$, soit environ $3.2\,\mathrm{cm}$.

(c) Ensemble, les deux effets modifient la pesanteur de $0.1967\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$, soit la différence $0.3086 - 0.1119$, donc la hauteur doit varier de $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$.

Exercice 31.2 ★

Une sphère de rayon $50\,\mathrm{m}$ et de contraste de masse volumique $+500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ a son centre à $100\,\mathrm{m}$ de profondeur. Calculer sa masse excédentaire, le pic de son anomalie et la demi-largeur $x_{1/2}$.

Solution

Solution de Exercice 31.2.

$\Delta m = \tfrac43\pi(50\,\mathrm{m})^3\times500\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3} = 2.62 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$. Le pic vaut $G\Delta m/z^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times2.62 \times 10^{8}/10^{4} = 1.75 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, soit $0.175\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. La demi-largeur vaut $x_{1/2} = z/1.305 = 77\,\mathrm{m}$.

Exercice 31.3 ★

Un dispositif de Wenner d’espacement $a = 10\,\mathrm{m}$ injecte $0.1\,\mathrm{A}$ et mesure $0.239\,\mathrm{V}$. (a) Calculer le facteur géométrique et la résistivité apparente. (b) Montrer qu’un dispositif de Schlumberger avec $s = 15\,\mathrm{m}$ et $l = 5\,\mathrm{m}$ a le même facteur géométrique, et expliquer pourquoi.

Solution

Solution de Exercice 31.3.

(a) Avec $AM = MN = NB = a$, $K = 2\pi/(1/a - 1/2a - 1/2a + 1/a) = 2\pi a = 62.83\,\mathrm{m}$, et $\rho_a = 62.83\times0.239/0.1 = 150\,\Omega\mathrm{m}$. (b) $K = \pi(15^2 - 5^2)/(2\times5) = \pi\times 200/10 = 62.83\,\mathrm{m}$. Les électrodes sont alors en $0$, $10$, $20$ et $30\,\mathrm{m}$, dans l’ordre AMNB : c’est le dispositif Wenner d’espacement $10\,\mathrm{m}$.

Exercice 31.4 ★

Le granite a $\varepsilon_r = 5$. (a) Calculer la vitesse du radar. (b) Une fracture se trouve à $10\,\mathrm{m}$ de profondeur : calculer le temps double de son écho. (c) Avec $\sigma = 1\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$, calculer la profondeur de peau et la profondeur utile, soit environ trois profondeurs de peau. (d) Comparer avec une argile humide de $\varepsilon_r = 20$ et $\sigma = 10\,\mathrm{mS}\,\mathrm{m}^{-1}$.

Solution

Solution de Exercice 31.4.

(a) $V = 0.2998/\sqrt5 = 0.134\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. (b) $t = 2\times10/0.134 = 149\,\mathrm{ns}$. (c) $\delta = 0.0053\sqrt5/10^{-3} = 11.9\,\mathrm{m}$, et une profondeur utile d’environ $36\,\mathrm{m}$. (d) Dans l’argile $\delta = 0.0053\sqrt{20}/0.01 = 2.4\,\mathrm{m}$, une profondeur utile d’environ $7\,\mathrm{m}$, et une vitesse de seulement $0.067\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$. Ici, l’approximation reste valable : à $100\,\mathrm{MHz}$, $\omega\varepsilon = 2\pi\times10^{8}\times20\times8.85 \times 10^{-12} = 0.11\,\mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}$, dix fois $\sigma$.

Exercice 31.5 ★★

(a) Établir l’anomalie d’un long cylindre horizontal de rayon $R$ et de contraste de masse volumique $\Delta\rho$, dont l’axe se trouve à la profondeur $z$, à partir de celle d’une masse linéique, et montrer que $z = x_{1/2}$. (b) Un cylindre et une sphère donnent le même pic et la même demi-largeur $x_{1/2} = 100\,\mathrm{m}$. Comparer leurs profondeurs. Quelle interprétation donne le corps le plus profond ?

Solution

Solution de Exercice 31.5.

(a) Le cylindre porte $\lambda = \pi R^2\Delta\rho$ par unité de longueur, et à l’extérieur, son attraction est celle d’une masse linéique sur son axe (théorème de Gauss appliqué à un cylindre coaxial) : $\Delta g = 2G\pi R^2\Delta\rho\,z/(x^2 + z^2)$. La moitié du pic est atteinte lorsque $x^2 + z^2 = 2z^2$, soit $z = x_{1/2}$. (b) La sphère est à $1.305\times100 = 130\,\mathrm{m}$, le cylindre à $100\,\mathrm{m}$ : le même profil, interprété comme une sphère, place le corps $30\,\%$ plus profond. L’anomalie d’une sphère décroît plus vite avec la distance, si bien qu’une sphère doit être plus profonde pour être aussi étendue.

Exercice 31.6 ★★

L’anomalie de Bouguer du modèle du granite de Varden, échantillonnée tous les $100\,\mathrm{m}$ sur une carte de $1120$ points couvrant $3.5\,\mathrm{km} \times 3.2\,\mathrm{km}$, totalise $-438\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Appliquer la Proposition 31.6 pour estimer le déficit de masse. (b) Le déficit de masse du modèle est de $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Quelle fraction la carte restitue-t-elle, et où se trouve le reste ?

Solution

Solution de Exercice 31.6.

(a) Chaque point représente $100\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{m} = 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$, soit $\iint\Delta g\,\mathrm{d}A \approx -438 \times 10^{-5}\times10^{4} = -43.8\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-2}$, et $\Delta m = -43.8/(2\pi\times6.674 \times 10^{-11}) = -1.04 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. (b) $1.04/1.74 = 60\,\%$. Le reste se trouve dans les flancs de l’anomalie, hors de la carte : le granit atteint une profondeur de plus d’un kilomètre, et l’anomalie de sa partie profonde décroît lentement avec la distance. Étendre la carte assez loin, ou recourir à un modèle, permet de la restituer.

Exercice 31.7 ★★

(a) Un dyke mince a son sommet à $30\,\mathrm{m}$ de profondeur. En utilisant la règle de trois mesures par demi-largeur, où la demi-largeur est la largeur totale de l’anomalie à la moitié de son pic, quel espacement de stations lui faut-il ? (b) Même question pour un sommet à $220\,\mathrm{m}$ de profondeur. (c) Pourquoi une seule campagne ne peut-elle pas résoudre à la fois un corps superficiel et un corps profond, sauf si elle est conçue pour le corps superficiel ?

Solution

Solution de Exercice 31.7.

(a) Pour un filon mince, l’anomalie tombe à la moitié de son pic en $x = \pm z$ : sa largeur à mi-hauteur vaut $2z = 60\,\mathrm{m}$, et trois mesures en travers exigent un espacement d’au plus $20\,\mathrm{m}$. (b) $2\times 220/3 = 147\,\mathrm{m}$. (c) L’espacement des stations requis dépend de la profondeur du corps d’intérêt le moins profond : une campagne conçue pour le filon profond, à $150\,\mathrm{m}$, aliaserait l’anomalie du corps superficiel, qui n’est large que de $60\,\mathrm{m}$ ; une campagne conçue pour le corps superficiel voit aussi le filon profond, avec bien plus de mesures qu’il n’en faut.

Exercice 31.8 ★★

Un grès saturé d’une eau de résistivité $8\,\Omega\mathrm{m}$ présente une résistivité de $80\,\Omega\mathrm{m}$. (a) Avec $a = 1$ et $m = 2$, calculer sa porosité. (b) Reprendre avec $m = 1.8$ et $m = 2.2$. Quel terme de la mesure contrôle l’incertitude sur la porosité ?

Solution

Solution de Exercice 31.8.

(a) $F = 80/8 = 10$ et $\phi = F^{-1/m} = 10^{-1/2} = 0.316$. (b) $10^{-1/1.8} = 0.278$ et $10^{-1/2.2} = 0.351$. Une variation de $0.2$ dans $m$ déplace la porosité d’environ quatre points de pourcentage ; les résistivités, mesurées à quelques pour cent près, la déplacent bien moins. Le exposant de cimentation contrôle l’incertitude, et il doit être calibré sur des échantillons de la même roche.

Exercice 31.9 ★★

(a) Calculer les trois premiers termes de la série à deux couches donnée par la Proposition 31.11 pour $s = 2h_1$ et $k = 0.5$ et $k = -0.5$, ainsi que les résistivités apparentes qu’elles donnent. (b) Quelles sont les limites de $\rho_a/\rho_1$ pour $s \ll h_1$ et $s \gg h_1$ ? (c) Quels rapports de résistivités $\rho_2/\rho_1$ correspondent à $k = \pm 0.5$ ?

Solution

Solution de Exercice 31.9.

(a) Pour $s = 2h_1$, $(2nh_1/s)^2 = n^2$, les termes valent $k^n(1 + n^2)^{-3/2}$ : $0.3536k$, $0.0894k^2$, $0.0316k^3$. Pour $k = 0.5$ : $0.1768$, $0.0224$, $0.0040$, et $\rho_a/\rho_1 \approx 1 + 2\times0.2031 = 1.406$ (la somme complète donne $1.409$). Pour $k = -0.5$, les termes alternent en signe, $-0.1768 + 0.0224 - 0.0040$, et $\rho_a/\rho_1 \approx 0.683$ (somme complète $0.685$). (b) Pour $s \ll h_1$, tous les termes s’annulent et $\rho_a \to \rho_1$ ; pour $s \gg h_1$, chaque crochet tend vers 1 et $1 + 2\sum k^n = 1 + 2k/(1 - k) = (1 + k)/(1 - k) = \rho_2/\rho_1$. (c) $\rho_2/\rho_1 = (1 + k)/(1 - k) = 3$ et $1/3$.

Exercice 31.10 ★★★

(a) Établir le facteur géométrique du dispositif de Wenner à partir du Théorème 31.9. (b) Établir celui du dispositif de Schlumberger, et montrer que $\rho_a \to 2\pi s^2(-\mathrm{d}V/ \mathrm{d}r)/I$ lorsque $l/s \to 0$. (c) De combien le facteur approché $\pi s^2/(2l)$ surestime-t-il le facteur exact lorsque $l = s/10$ ?

Solution

Solution de Exercice 31.10.

(a) Dans l’ordre AMNB avec un espacement $a$ : $AM = a$, $BM = 2a$, $AN = 2a$, $BN = a$, donc le crochet vaut $2/a - 1/a = 1/a$ et $K = 2\pi a$. (b) Avec A et B en $\mp s$ et M et N en $\mp l$ : $AM = BN = s - l$, $BM = AN = s + l$, le crochet vaut $2/(s - l) - 2/(s + l) = 4l/(s^2 - l^2)$, et $K = \pi(s^2 - l^2)/(2l)$. Lorsque $l \ll s$, $\Delta V_{MN} \approx 2l\,E$ avec $E = 2(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)$ au centre, le champ des deux électrodes de courant ; alors $\rho_a = K\Delta V/I \to \pi s^2/(2l)\times 4l(-\mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I = 2\pi s^2(- \mathrm{d}V/\mathrm{d}r)/I$. (c) Le rapport entre le facteur approché et le facteur exact est $s^2/(s^2 - l^2) = 1/(1 - 0.01) = 1.010$ : un pour cent.

Exercice 31.11 ★★★

Une station se trouve à $50\,\mathrm{m}$ au-dessus de la station de base. Sa lecture est précise à $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, son altitude à $5\,\mathrm{cm}$ ; la masse volumique du plateau est incertaine de $100\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, la correction de terrain de $0.2\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Établir le bilan d’erreurs de son anomalie de Bouguer. (b) Quel terme domine, et lequel faudrait-il améliorer pour détecter une anomalie de $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ? (c) Quel est le total sans le terme de terrain ?

Solution

Solution de Exercice 31.11.

(a) Lecture : $0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Hauteur : $0.1967\times0.05 = 0.010\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Masse volumique : la correction de Bouguer est $0.04191\,h\,d$ avec $d$ en $\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$, donc $0.04191\times50\times0.1 = 0.210\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Terrain : $0.200\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Total : $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2 + 0.200^2} = 0.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (b) La masse volumique et la correction de terrain dominent, chacune environ vingt fois l’erreur de lecture. Pour détecter $0.1\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, la masse volumique de la dalle doit être mesurée sur des échantillons ou ajustée aux données (la valeur qui reflète le moins la topographie), et la correction de terrain calculée à partir d’un modèle numérique de terrain fin. (c) $\sqrt{0.010^2 + 0.010^2 + 0.210^2} = 0.21\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

Exercice 31.12 ★★★

Cinq mesures de pesanteur le long d’un corps enfoui, en $x = -600$, $-300$, $0$, $300$ et $600\,\mathrm{m}$, valent $-0.69$, $-2.17$, $-4.16$, $-2.10$ et $-0.73\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, chacune avec $\sigma = 0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. (a) Pour des modèles de sphère centrés sous $x = 0$ à des profondeurs de $300$, $400$ et $500\,\mathrm{m}$, choisir la masse qui ajuste la mesure centrale et calculer l’écart d’ajustement $\chi^2$ de chacun. (b) Quel modèle ajuste les données dans leurs erreurs ? (c) Un corps d’une autre forme pourrait-il ajuster aussi bien ? Qu’est-ce qui trancherait ?

Solution

Solution de Exercice 31.12.

(a) La masse qui s’accorde à la lecture centrale est $\Delta m = \Delta g(0)z^2/G = -4.16 \times 10^{-5}z^2/6.674 \times 10^{-11}$ : $-5.61 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ à $300\,\mathrm{m}$, $-9.97 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}$ à $400\,\mathrm{m}$, $-1.56 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$ à $500\,\mathrm{m}$. Les lectures prédites en $x = \pm300$ et $\pm600$ sont $-1.47$ et $-0.37$, $-2.13$ et $-0.71$, $-2.62$ et $-1.09\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Les écarts sont $\chi^2 = 1238$, $3.7$ et $856$. (b) Seul le modèle à $400\,\mathrm{m}$, avec $\chi^2 = 3.7$ pour cinq données, s’inscrit dans les barres d’erreur. (c) Oui : tout corps à symétrie sphérique de même masse et de même centre donne exactement la même anomalie, et d’autres formes peuvent rester dans les erreurs. Une masse volumique mesurée sur des échantillons, un forage ou une autre méthode trancherait.

31.8 Problème : les corps cachés des Varden Hills

Problème 31.1

Problème du week-end — réduction de la campagne Varden

Utiliser $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$, le gradient à l’air libre $0.3086\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ et le facteur de Bouguer $0.1119\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{m}^{-1}$ (masse volumique $2670\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$).

Partie I — Une boucle gravimétrique. Une boucle sur le profil gravimétrique donne (lectures en milligals après étalonnage, altitudes en mètres, temps en heures après 09:00) :

station	base	$3.0\,\mathrm{km}$	$3.5\,\mathrm{km}$	$4.0\,\mathrm{km}$	base
temps	0	0.5	0.9	1.3	2.0
altitude	176.1	149.0	145.5	158.0	176.1
lecture	2846.512	2851.075	2850.497	2849.392	2846.708

1. Calculer la vitesse de dérive de la boucle.
2. Corriger de la dérive les trois lectures aux stations et les exprimer par rapport à la station de base.
3. Appliquer les corrections à l’air libre et de Bouguer pour les différences d’altitude, et donner l’anomalie de Bouguer de chaque station par rapport à la station de base.
4. La dérive de l’instrument seul était de $0.040\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$. Qu’est-ce qui a causé le reste de la variation à la station de base, et pourquoi elle pouvait être éliminée avec la dérive ?
5. Le modèle dont proviennent les lectures donne les trois anomalies par rapport à la station de base : $-0.825$, $-2.131$ et $-0.825\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Calculer les erreurs de la réduction. Les altitudes du tableau sont arrondies à $0.1\,\mathrm{m}$ : quelle erreur cet arrondi peut-il introduire, et explique-t-il les erreurs ?
6. Quelle précision sur l’altitude garde l’anomalie réduite dans $0.01\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ? Pourquoi les manuels de campagne exigent-ils $3.3\,\mathrm{cm}$, une valeur plus serrée ?

Partie II — L’anomalie du granite. Le long du profil, l’anomalie présente son minimum, $-2.293\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, en $x = 3.50\,\mathrm{km}$, et passe par la moitié de cette valeur en $x = 3.048$ et $3.952\,\mathrm{km}$. Le modèle du granite présente un contraste de masse volumique de $-130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, et le sol au centre se situe à $145.5\,\mathrm{m}$ au-dessus du niveau de la mer.

7. Calculer la demi-largeur $x_{1/2}$ et la profondeur du centre de la sphère équivalente.
8. Calculer le déficit de masse de cette sphère, et son rayon pour le contraste de masse volumique du granite. Qu’y a-t-il de surprenant dans ce résultat ?
9. Le centre de masse du modèle se situe à $864\,\mathrm{m}$ sous le sol et son déficit de masse vaut $1.74 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Pourquoi la règle de la demi-largeur donne-t-elle un corps moins profond et moins lourd ?
10. Un cylindre vertical de même section que le granite au niveau de la discordance a un rayon de $461\,\mathrm{m}$. Calculer son anomalie sur l’axe pour un sommet au niveau du sol et un plancher à $1645\,\mathrm{m}$ de profondeur, et pour une profondeur illimitée.
11. Trouver, par essais ou par résolution, la profondeur du plancher pour laquelle ce cylindre donne l’anomalie observée de $-2.29\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.
12. Calculer l’anomalie du cylindre avec son sommet à $6\,\mathrm{m}$ de profondeur (plancher à $1645\,\mathrm{m}$). La gravimétrie permet-elle de dire si le granite atteint la surface sous les alluvions ?

Partie III — Le fond de la vallée. Le sondage Schlumberger effectué sur le fond au-dessus du granite donne (demi-écartement $s$ en mètres, $\rho_a$ en $\Omega\mathrm{m}$) :

$s$	1	2	4	6	10	20	30	40
$\rho_a$	577	526	387	350	449	821	1309	1684

Sur un profil radar le long de ce même fond, une canalisation donne une hyperbole dont le sommet est à $10.7\,\mathrm{ns}$ et le temps est de $17.1\,\mathrm{ns}$ à $1\,\mathrm{m}$ de côté ; un écho plat arrive à $20.0\,\mathrm{ns}$.

13. Pour $s = 20\,\mathrm{m}$, MN mesurait $2\,\mathrm{m}$ de long et le courant $50\,\mathrm{mA}$. Calculer le facteur géométrique et la tension mesurée.
14. Calculer la vitesse radar, la permittivité relative des alluvions et la profondeur de la canalisation.
15. L’écho plat correspond au niveau de la nappe. Quelle est sa profondeur ?
16. Estimer la conductance $S$ des alluvions à partir des lectures aux 20, 30 et $40\,\mathrm{m}$.
17. Les alluvions sèches ont $600\,\Omega\mathrm{m}$ et les alluvions saturées $222\,\Omega\mathrm{m}$. Calculer l’épaisseur des alluvions saturées et la profondeur du sommet du granite. L’estimation est-elle haute ou basse, et pourquoi ?
18. L’eau souterraine a $20\,\Omega\mathrm{m}$. Calculer la porosité des alluvions par la loi d’Archie avec $m = 2$, et l’intervalle pour $m$ entre $1.3$ et $2.8$.

Partie IV — La ligne magnétique. La ligne court vers l’est à partir de $x = 1.70\,\mathrm{km}$, une station tous les $50\,\mathrm{m}$ et toutes les deux minutes ; la station de base a enregistré aux mêmes minutes. Les lectures, moins $48\,000\,\mathrm{nT}$, sont :

$x$ (km)	1.70	1.75	1.80	1.85	1.90	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.20
ligne	3.4	4.8	6.3	8.1	10.3	12.8	15.8	19.2	22.9	26.2	28.0
base	0.0	0.7	1.5	2.2	2.9	3.6	4.3	5.0	5.7	6.4	7.0
$x$ (km)	2.25	2.30	2.35	2.40	2.45	2.50	2.55	2.60	2.65	2.70
ligne	27.7	25.8	23.3	20.9	19.0	17.6	16.6	15.9	15.5	15.2
base	7.6	8.2	8.8	9.4	9.9	10.4	10.9	11.3	11.7	12.1

Le champ principal est $48\,000\,\mathrm{nT}$, incliné à $65{}^{\circ}$.

19. Appliquer la correction diurne et donner l’anomalie corrigée à chaque station.
20. Montrer que, sans la correction, l’anomalie ne descend jamais à la moitié de son maximum du côté est.
21. Localiser le maximum et les deux points où l’anomalie corrigée vaut la moitié du maximum, par interpolation linéaire, et calculer la demi-largeur.
22. L’anomalie est symétrique. Que dit cela de la direction du corps, et quel type de corps la règle de la demi-largeur suppose-t-elle ?
23. Calculer le produit $\kappa t$ de la susceptibilité et de l’épaisseur. Si le filon est une dolérite de susceptibilité $0.03$, quelle est son épaisseur ?
24. Les stations étaient-elles assez rapprochées ?
25. Donner la profondeur du toit du filon enfoui sous le sol, à la dizaine de mètres près, et la comparer à la profondeur de la discordance du modèle géologique de la région, $222\,\mathrm{m}$ en ce point.

Solution

Solution de Problème 31.1.

1. $(2846.708 - 2846.512)/2.0\,\mathrm{h} = 0.098\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$.

2. $2851.075 - 0.098\times0.5 - 2846.512 = 4.514\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ; $2850.497 - 0.088 - 2846.512 = 3.897\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ ; $2849.392 - 0.127 - 2846.512 = 2.753\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

3. Les hauteurs au-dessus de la base sont $-27.1$, $-30.6$ et $-18.1\,\mathrm{m}$ ; en ajoutant $0.1967\,\Delta h$, on obtient les anomalies de Bouguer $-0.817$, $-2.122$ et $-0.808\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Les stations sont plus basses que la base et plus proches du centre de la Terre, donc leurs lectures brutes sont plus élevées ; la correction retire cet effet et laisse un minimum au-dessus du granite.

4. L’écart $0.098 - 0.040 = 0.058\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}\,\mathrm{h}^{-1}$, soit $0.12\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ sur la boucle, est la marée terrestre solide. Sur deux heures, elle varie presque linéairement ; une droite passant par les deux lectures à la base l’élimine avec la dérive.

5. Les erreurs sont $0.008$, $0.009$ et $0.017\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. L’arrondi de chaque hauteur à $0.1\,\mathrm{m}$ peut fausser une différence de hauteur d’au plus $0.1\,\mathrm{m}$, soit $0.020\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ : l’arrondi explique les erreurs, la marée résiduelle après la droite étant inférieure à $0.001\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

6. $0.01/0.1967 = 5.1\,\mathrm{cm}$. Les $3.3\,\mathrm{cm}$ des manuels valent $0.01/0.3086$ : l’anomalie à l’air libre ne dépend pas de la masse volumique choisie pour la correction de Bouguer, et la hauteur doit lui correspondre aussi.

7. $x_{1/2} = (3.952 - 3.048)/2 = 0.452\,\mathrm{km}$, et $z = 1.305 \times452 = 590\,\mathrm{m}$ sous le sol.

8. $\Delta m = \Delta g\,z^2/G = -2.293 \times 10^{-5}\times590^2/ 6.674 \times 10^{-11} = -1.20 \times 10^{11}\,\mathrm{kg}$. Avec $\Delta\rho = -130\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$, son volume est $9.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{3}$ et son rayon $603\,\mathrm{m}$, supérieur à la profondeur de son centre : la sphère dépasserait du sol. Aucune sphère avec le contraste de masse volumique du granite ne convient ; le corps doit atteindre presque la surface.

9. Le granite s’étend de la surface jusqu’à une grande profondeur. Sa partie superficielle, proche des stations, rend le pic étroit, et la règle, qui ne connaît que la largeur, place une sphère unique à une profondeur modérée ; la partie profonde ajoute des flancs larges que la sphère ne possède pas (la figure du profil), et la masse qu’ils contiennent est manquée.

10. $2\pi G\Delta\rho = 2\pi\times6.674 \times 10^{-11}\times(-130) = -5.45 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}^{-2}$. Avec $z_1 = 0$, $z_2 = 1645\,\mathrm{m}$, $a = 461\,\mathrm{m}$ : le crochet vaut $1645 + 461 - 1708.4 = 397.6\,\mathrm{m}$, et $\Delta g = -2.17\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$. Pour une profondeur illimitée, le crochet tend vers $a$, et $\Delta g = -2.51\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$.

11. Le crochet doit valoir $2.29/5.45 \times 10^{-3} = 420\,\mathrm{m}$, ce qu’un plancher vers $2.6\,\mathrm{km}$ donne. Tout plancher entre environ $1.6\,\mathrm{km}$ et une profondeur illimitée ne modifie le pic que de quelques dixièmes de milligal, et un corps légèrement plus large ou plus dense donne le même pic avec un plancher moins profond : le plancher n’est pas résolu.

12. Avec $z_1 = 6\,\mathrm{m}$ : $1639 + 461.0 - 1708.4 = 391.6$, et $\Delta g = -2.14\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$, soit $0.03\,\mathrm{m}\mathrm{Gal}$ de moins que avec le sommet au niveau du sol. C’est en dessous des erreurs de terrain et de masse volumique de la campagne : la gravimétrie ne peut pas dire si le granite atteint la surface sous les alluvions. Le sondage le peut.

13. $K = \pi(20^2 - 1^2)/(2\times1) = 626.7\,\mathrm{m}$, et $\Delta V = \rho_a I/K = 821\times0.050/626.7 = 65.5\,\mathrm{mV}$.

14. $V = 2\times1/\sqrt{17.1^2 - 10.7^2} = 2/13.34 = 0.150\,\mathrm{m}\,\mathrm{ns}^{-1}$, $\varepsilon_r = (0.2998/0.150)^2 = 4.0$, un sable sec ; la canalisation est à $0.150\times10.7/2 = 0.80\,\mathrm{m}$ de profondeur.

15. $0.150\times20.0/2 = 1.50\,\mathrm{m}$.

16. $20/821 = 0.0244$, $30/1309 = 0.0229$, $40/1684 = 0.0238$ : $S \approx 0.0237\,\mathrm{S}$.

17. La couche sèche contribue $1.5/600 = 0.0025\,\mathrm{S}$, la couche saturée $0.0212\,\mathrm{S}$, donc son épaisseur vaut $0.0212\times222 = 4.7\,\mathrm{m}$, et le granite se trouve $1.5 + 4.7 = 6.2\,\mathrm{m}$ sous le plancher. L’estimation est élevée : le granite n’est pas infiniment résistant, si bien qu’à ces écartements $\rho_a$ reste sous la droite $s/S$, et $s/\rho_a$ surestime $S$. (Le modèle de la région comporte $6\,\mathrm{m}$ d’alluvions.)

18. $\phi = (20/222)^{1/2} = 0.30$. Avec $m = 1.3$, $\phi = 0.0901^{1/1.3} = 0.16$ ; avec $m = 2.8$, $\phi = 0.42$.

19. En retranchant la base de la ligne, on obtient, d’ouest en est : 3.4, 4.1, 4.8, 5.9, 7.4, 9.2, 11.5, 14.2, 17.2, 19.8, 21.0, 20.1, 17.6, 14.5, 11.5, 9.1, 7.2, 5.7, 4.6, 3.8 et $3.1\,\mathrm{nT}$.

20. Sans correction, le pic vaut $28.0\,\mathrm{nT}$ à $2.20\,\mathrm{km}$, et sa moitié, $14.0\,\mathrm{nT}$, n’est jamais atteinte à l’est : la ligne se termine à $15.2\,\mathrm{nT}$, car le champ a augmenté de $12\,\mathrm{nT}$ pendant la marche.

21. Le pic vaut $21.0\,\mathrm{nT}$ à $2.20\,\mathrm{km}$ ; sa moitié vaut $10.5\,\mathrm{nT}$. À l’ouest, entre $9.2$ à $1.95$ et $11.5$ à $2.00\,\mathrm{km}$, on a $1.95 + 0.05\times1.3/2.3 = 1.978\,\mathrm{km}$. À l’est, entre $11.5$ à $2.40$ et $9.1$ à $2.45\,\mathrm{km}$, on a $2.40 + 0.05\times1.0/2.4 = 2.421\,\mathrm{km}$. La demi-largeur vaut $(2.421 - 1.978)/2 = 0.221\,\mathrm{km}$.

22. Une anomalie symétrique dans un champ incliné à $65{}^{\circ}$ signifie que seule l’aimantation verticale agit : le corps se dirige selon le méridien magnétique, nord–sud. La règle de la Proposition 31.8 suppose un dyke mince, vertical, bidimensionnel et s’enfonçant loin, aimanté par induction, dont le sommet agit comme une ligne de charge magnétique.

23. $\kappa t = 2\pi z\,\Delta T_\mathrm{max}/(F\sin^2 I) = 2\pi\times 221\times21.0/(48000\times0.8214) = 0.74\,\mathrm{m}$. Avec $\kappa = 0.03$, $t = 25\,\mathrm{m}$. Seul le produit est fixé : un dyke deux fois plus épais avec une susceptibilité moitié donne la même anomalie.

24. L’anomalie a $443\,\mathrm{m}$ de large à mi-hauteur et les stations sont espacées de $50\,\mathrm{m}$ : neuf lectures la couvrent, soit trois fois le minimum de la règle.

25. Le sommet du dyke se trouve à $220\,\mathrm{m}$ sous le sol. La carte géologique place la discordance à $222\,\mathrm{m}$ de profondeur en ce point : le dyke remonte jusqu’à la base de la couverture et s’y arrête, étant plus ancien que le grès triasique qui l’enfouit.