27Atmosphères planétaires et habitabilité

Vénus et la Terre sont presque des jumelles : quasiment la même taille, des masses volumiques moyennes voisines, des orbites voisines. Pourtant Vénus conserve $92\,\mathrm{bar}$ de dioxyde de carbone au-dessus d’une surface à $737\,\mathrm{K}$, et si peu d’eau que, étalée sur sa surface, elle formerait une couche d’à peine un centimètre d’épaisseur. Le spectromètre de masse de la sonde Pioneer Venus, en traversant ses nuages, a mesuré le rapport du deutérium à l’hydrogène dans cette eau : $0.016$, soit cent fois le rapport observé dans les océans terrestres. L’hydrogène léger s’échappe dans l’espace plus facilement que le deutérium lourd ; ce qui reste d’un grand réservoir ayant perdu l’essentiel de son hydrogène s’enrichit en deutérium. Ce rapport est la trace de l’eau que Vénus a possédée, puis perdue. Ce chapitre se demande comment une planète retient son air et son eau, et comment elle les perd.

Tu sais déjà

La hauteur d’échelle, la formule barométrique, la distribution de Maxwell–Boltzmann, la vitesse de libération, le libre parcours moyen et l’effet de serre sont dans les volumes de physique. La zone habitable d’une étoile figure dans les manuels du secondaire. La température d’équilibre et l’albédo de Bond sont dans le volume de première année, dans son chapitre de planétologie comparée ; la profondeur optique, dans son chapitre sur les télescopes et la photométrie ; les gradients de température, dans son chapitre sur la structure de l’atmosphère et de l’océan ; le rayonnement infrarouge sortant (OLR) et la température d’émission, dans son chapitre sur le rayonnement et le transport de chaleur. L’adiabatique humide est dans le volume de deuxième année, dans son chapitre sur la thermodynamique atmosphérique ; la ligne des glaces, dans son chapitre sur la formation planétaire ; le cycle long du carbone et le thermostat de l’altération des silicates, dans son chapitre sur le climat aux échelles géologiques. La distillation de Rayleigh est dans ce volume, dans son chapitre sur les isotopes stables.

27.1 La structure d’une atmosphère

Une atmosphère isotherme de masse moléculaire $m$ à la température $T$ s’amincit avec l’altitude selon $p = p_0\,e^{-z/H}$, avec la hauteur d’échelle $H = kT/mg$. À la surface de la Terre, $H$ vaut environ $8\,\mathrm{km}$ ; à la surface de Titan, où la pesanteur est faible et l’air froid, environ $20\,\mathrm{km}$.

La température, cependant, n’est pas uniforme. Le rayonnement solaire qui atteint le sol le réchauffe ; l’air situé au-dessus, qui absorbe et émet dans l’infrarouge, est réchauffé par le bas. Le seul rayonnement rendrait la basse atmosphère si raide en température qu’elle se renverserait.

Définition 27.1 (Équilibre radiatif–convectif)

Une colonne d’atmosphère est en équilibre radiatif–convectif lorsque, à chaque niveau, le flux net de rayonnement est équilibré, sauf dans une couche inférieure où la convection transporte la chaleur vers le haut et maintient le gradient de température à la valeur adiabatique. La couche inférieure, convective, est la troposphère ; la couche supérieure, en équilibre radiatif, est la stratosphère ; la tropopause est le niveau où elles se rejoignent.

L’atmosphère la plus simple sur laquelle on peut suivre ce raisonnement est grise : elle est transparente au rayonnement solaire et absorbe toutes les longueurs d’onde infrarouges de la même façon, avec une profondeur optique $\tau$ comptée vers le bas à partir du sommet.

Proposition 27.2 (Équilibre radiatif gris)

Dans une atmosphère grise en équilibre radiatif qui émet le flux $F$ vers l’espace, la température à la profondeur optique $\tau$ obéit à

$$\sigma T^4(\tau) = \frac F2\,(1 + D\tau),$$

où $D \approx 1.66$ rend compte des trajets obliques du rayonnement. Le sommet de l’atmosphère se trouve à la température de peau $T_\mathrm{skin} = 2^{-1/4}\,T_e$, où $T_e = (F/\sigma)^{1/4}$ est la température d’émission.

La proposition est admise ; elle découle des équations à deux flux pour les flux montant et descendant. Là où $\tau$ est grand, près du sol, la température radiative varie vite avec $\tau$, et $\tau$ lui-même croît rapidement avec la profondeur parce que le gaz absorbant est le plus dense là : le profil radiatif est plus raide que l’adiabate, et la convection prend le relais. En altitude, $\tau$ est petit et la température tend vers la température de peau. La Terre émet environ $239\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ vers l’espace, avec une température d’émission de $255\,\mathrm{K}$ et une température de peau de $214\,\mathrm{K}$ ; l’atmosphère standard place sa tropopause à $11\,\mathrm{km}$ et à $216.65\,\mathrm{K}$. Le modèle gris, pour sommaire qu’il soit, situe à peu près bien le sommet froid de la troposphère.

Très haut dans l’atmosphère, l’air est si ténu qu’une molécule peut parcourir une grande distance entre deux collisions. Là où elle peut parcourir plus d’une hauteur d’échelle, elle n’appartient plus à un fluide.

Définition 27.3 (Exobase ; exosphère)

L’exobase d’une atmosphère est le niveau auquel le libre parcours moyen de ses particules égale la hauteur d’échelle. Au-dessus, dans l’exosphère, une particule qui se déplace vers le haut a peu de chances d’en rencontrer une autre, et une particule plus rapide que la vitesse de libération locale quitte la planète.

Proposition 27.4 (Condition à l’exobase)

Dans une atmosphère isotherme de particules de section efficace de collision $\sigma_c$, une particule qui se déplace verticalement vers le haut depuis le niveau de densité $n$ échappe à toute collision avec la probabilité $e^{-n\sigma_c H}$. À l’exobase $n\sigma_c H = 1$ : la probabilité vaut $1/e$.

L’exobase se situe à environ $500\,\mathrm{km}$ sur la Terre, à $200\,\mathrm{km}$ sur Vénus et sur Mars, et vers $1500\,\mathrm{km}$ sur Titan, soit plus de la moitié du rayon de la lune.

27.2 Échappement atmosphérique

À l’exobase, les particules conservent la distribution de Maxwell–Boltzmann des vitesses du gaz situé en dessous. La queue de cette distribution contient toujours quelques particules plus rapides que la vitesse de libération.

Définition 27.5 (Échappement de Jeans ; paramètre d’échappement)

L’échappement de Jeans est la perte vers l’espace des particules de la queue de Maxwell–Boltzmann qui se déplacent vers le haut à l’exobase à une vitesse supérieure à la vitesse de libération. Le paramètre d’échappement des particules de masse $m$ à l’exobase, de rayon $r$ et de température $T$, sur une planète de masse $M$, vaut

$$\lambda = \frac{GMm}{kTr} = \frac{v_\mathrm{esc}^2}{u^2}, \qquad u = \sqrt{\frac{2kT}m},$$

c’est le rapport de leur énergie de liaison gravitationnelle à $kT$, et aussi le carré de la vitesse de libération divisée par la vitesse thermique la plus probable $u$.

Théorème 27.6 (Flux de Jeans)

À un exobase de densité $n$, le nombre de particules qui s’échappent par unité de surface et par unité de temps vaut

$$\Phi_\mathrm J = \frac{n\,u}{2\sqrt\pi}\,(1 + \lambda)\,e^{-\lambda}.$$

Le facteur $n u/2\sqrt\pi$ est le flux de toutes les particules qui traversent l’exobase vers le haut ; $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ est la fraction d’entre elles qui s’échappent. Elle décroît exponentiellement avec la masse de la particule, puisque $\lambda \propto m$. À l’exobase terrestre, à $1000\,\mathrm{K}$, l’hydrogène a $\lambda = 7.0$ et s’échappe à un taux de 0.7 % de son flux ascendant ; le deutérium, $\lambda = 14$, à $1.2 \times 10^{-5}$ ; l’hélium, $\lambda = 28$, à $2 \times 10^{-11}$ ; l’oxygène, $\lambda = 111$, pas du tout. À l’exobase de Vénus, plus froide et tout aussi profonde dans le puits de gravité, $\lambda = 22$ même pour l’hydrogène ; sur Mars, $\lambda = 5.4$ ; sur Titan, $\lambda = 1.5$ pour l’hydrogène et 3.0 pour le dihydrogène.

Lorsque $\lambda$ descend à quelques unités, l’image de particules qui s’échappent une à une d’une atmosphère statique ne tient plus : la haute atmosphère se dilate et s’écoule vers l’espace comme un vent. Les modèles placent la transition à $\lambda$ compris entre environ 1.5 et 3.

Définition 27.7 (Échappement hydrodynamique, non thermique et limité par la diffusion)

L’échappement hydrodynamique est la perte d’une haute atmosphère qui s’écoule en bloc, chauffée par le haut, lorsque son paramètre d’échappement est petit ; l’écoulement peut entraîner avec lui des particules plus lourdes. L’échappement non thermique est la perte de particules accélérées par des processus autres que la chaleur : réactions photochimiques qui donnent aux fragments plus que l’énergie d’échappement, ions captés par le champ électrique du vent solaire, pulvérisation par des ions qui frappent la haute atmosphère, et écoulement d’ions le long des lignes du champ magnétique. L’échappement limité par la diffusion est un échappement dont le débit n’est pas fixé à l’exobase mais plus bas, par la vitesse à laquelle le gaz qui s’échappe peut diffuser vers le haut à travers le gaz plus lourd situé au-dessus de l’homopause, niveau au-dessus duquel la diffusion moléculaire, et non la turbulence, commande le mélange.

Proposition 27.8 (Limite de diffusion)

Un gaz léger de rapport de mélange $f$ et de masse moléculaire $m_i$, diffusant à travers un gaz plus lourd de masse moléculaire $m_a$ et de hauteur d’échelle $H_a = kT/m_a g$ avec le paramètre de diffusion binaire $b$, ne peut pas monter plus vite que

$$\Phi_\mathrm{DL} = b\,f\left(\frac1{H_a} - \frac1{H_i}\right) = \frac{b\,f\,(m_a - m_i)\,g}{kT} \approx \frac{b\,f}{H_a}.$$

Pour l’hydrogène moléculaire qui monte à travers le dioxyde de carbone, $b \approx 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $200\,\mathrm{K}$, et avec la pesanteur terrestre la limite vaut $\Phi_\mathrm{DL} \approx 3.0 \times 10^{13}\,f\,(200\,\mathrm{K}/T)^{1/4}$ molécules de $\ce{H2}$ par centimètre carré et par seconde, $f$ comptant tout l’hydrogène comme $\ce{H2}$. Sur la Terre actuelle, l’échappement de l’hydrogène est limité par la diffusion : au minimum solaire, lorsque l’exobase est plus froide et que l’échappement de Jeans est plus lent, l’échappement par échange de charge avec les ions prend le relais, et le total reste à peu près le même. L’apport, et non l’exobase, fixe le débit.

27.3 Vénus et l’effet de serre galopant

Vénus reçoit $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ du Soleil, soit 1.91 fois la part de la Terre. Ses nuages d’acide sulfurique en réfléchissent 77 %, de sorte qu’elle absorbe moins que la Terre ; pourtant sa surface est à $737\,\mathrm{K}$ sous $92\,\mathrm{bar}$ d’une atmosphère composée à 96.5 % de dioxyde de carbone. Elle contient $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ d’eau, contre $1.4 \times 10^{21}\,\mathrm{kg}$ sur la Terre, soit environ 30 parties par million en volume sous les nuages.

Une planète dotée d’un océan est maintenue en équilibre par son rayonnement sortant. Si elle se réchauffe, davantage d’eau s’évapore ; la vapeur d’eau est un gaz à effet de serre, de sorte que le rayonnement sortant croît moins vite que $\sigma T^4$, mais il croît, et le réchauffement s’arrête. Cette croissance a une limite.

Proposition 27.9 (Limite par rayonnement d’une atmosphère humide)

Lorsque la surface d’une planète océanique est assez chaude pour que la vapeur d’eau domine sa haute atmosphère, la température y suit la courbe de saturation de l’eau, et le rayonnement infrarouge vers l’espace provient d’un niveau de pression fixe. Sa température, et le rayonnement sortant, cessent de croître avec la température de surface.

Définition 27.10 (Effet de serre galopant ; limite de l’effet de serre galopant ; effet de serre humide)

La limite de l’effet de serre galopant est le flux de rayonnement infrarouge le plus élevé qu’une planète dotée d’un océan puisse envoyer vers l’espace. Un effet de serre galopant est l’état d’une planète qui absorbe plus de lumière solaire que cette limite : elle ne peut pas équilibrer son bilan avant que tout l’océan ne se soit évaporé et que la surface ne se soit échauffée bien au-delà. Un effet de serre humide est l’état d’une planète, en deçà de l’emballement, dont la surface est assez chaude pour que sa stratosphère contienne un rapport de mélange élevé de vapeur d’eau, que le rayonnement ultraviolet dissocie et dont l’hydrogène s’échappe.

Des modèles simples, comme celui de la proposition, donnent une telle limite ; avec les raies réelles de la vapeur d’eau, un calcul raie par raie sans nuages la place à $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ pour une planète de type terrestre, et les revues en donnent environ $300\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Au-delà d’environ $2000\,\mathrm{K}$, le flux sortant augmente à nouveau, car la basse atmosphère chaude rayonne dans le visible et le proche infrarouge, où l’eau absorbe peu : une planète en effet de serre galopant se stabilise à une température très élevée, une fois que son océan est entièrement passé à l’état de vapeur.

Avec l’albédo d’une atmosphère de vapeur sans nuages, 0.193, une planète de type terrestre autour du Soleil s’emballe lorsqu’elle reçoit 1.06 fois l’ensoleillement terrestre, à $0.97\,\mathrm{au}$. Auparavant, à 1.015 fois l’ensoleillement terrestre et pour une température de surface de $340\,\mathrm{K}$, sa stratosphère devient humide : sur la Terre actuelle, l’eau est piégée par le froid à la tropopause, vers $0.1\,\mathrm{bar}$, mais sur une planète plus chaude le piège froid remonte et laisse passer la vapeur. Lorsque le rapport de mélange de l’eau dans la stratosphère atteint environ $3 \times 10^{-3}$, l’échappement limité par la diffusion retire un océan d’hydrogène en un temps voisin de l’âge de la Terre.

Le deutérium de Vénus mesure ce qui a été perdu. Chaque atome qui s’échappe retire de l’hydrogène et un peu de deutérium du réservoir restant, comme chaque goutte qui pleut retire un peu des isotopes lourds d’un nuage.

Proposition 27.11 (Enrichissement isotopique par échappement)

Soit un réservoir d’eau qui perd de l’hydrogène vers l’espace, chaque atome de deutérium s’échappant avec l’efficacité $\alpha$ par rapport à un atome d’hydrogène ($\alpha < 1$). Lorsque le réservoir est passé de $M_0$ à $M$, son rapport $R = \mathrm{D}/\mathrm{H}$ est passé de $R_0$ à

$$\frac R{R_0} = \left(\frac{M_0}M\right)^{1-\alpha}.$$

Si aucun deutérium ne s’échappait ($\alpha = 0$), un enrichissement centuple signifierait que Vénus a un jour contenu au moins cent fois son eau actuelle. Un échappement qui fractionne moins exige bien davantage : dans l’échappement limité par la diffusion $\alpha \approx 0.8$, et un enrichissement centuple obligerait le réservoir à diminuer d’un facteur $100^5$. Le rapport se lit comme une borne inférieure : au moins quelques dixièmes de pour cent d’un océan terrestre, et les estimations d’un océan primitif de Vénus vont de 4 à $525\,\mathrm{m}$ répartis sur sa surface. Deux réserves demeurent. La plus grande part du fractionnement a pu n’avoir lieu que lors de la perte des dernières bars d’eau, et un apport constant d’eau venue de comètes ou de volcans, perdu aussi vite qu’il arrivait, pourrait produire le même rapport. Vénus perd encore de l’eau : ses ions qui s’échappent sont de l’hydrogène et de l’oxygène dans le rapport de deux pour un, arrachés par un champ électrique cinq fois plus intense que celui de l’ionosphère terrestre, autour d’une planète dépourvue de champ magnétique.

27.4 Mars : une atmosphère ténue et un passé humide

Mars conserve une pression superficielle moyenne de $6.36\,\mathrm{mbar}$, entre 4.0 et $8.7\,\mathrm{mbar}$ selon les saisons, 95 % de dioxyde de carbone, pour une température d’environ $214\,\mathrm{K}$. La pression dépasse à peine la pression du point triple de l’eau, $6.1\,\mathrm{mbar}$ : l’eau liquide ne peut pas subsister à sa surface, où la glace se sublime. Pourtant, les terrains anciens sont entaillés de vallées ramifiées et contiennent des minéraux qui ne se forment qu’en présence d’eau liquide.

Les vallées et les chenaux d’écoulement de Mars supposent, selon les estimations géologiques, une couche d’eau globale de 100 à $1500\,\mathrm{m}$ d’épaisseur, contre 3 à $25\,\mathrm{m}$ dans sa glace et son air aujourd’hui. Une grande partie du reste s’est perdue dans l’espace. L’orbiteur MAVEN a mesuré que le vent solaire arrache du gaz à Mars à raison d’environ $100\,\mathrm{g}$ par seconde, dont les trois quarts par la queue située derrière la planète, là où s’écoule le vent solaire, et un quart dans un panache au-dessus des pôles ; lors des tempêtes solaires de mars 2015, la perte s’est accélérée, et elle a probablement été bien plus rapide lorsque le jeune Soleil était plus actif. Mars perd aussi de l’hydrogène, environ $3 \times 10^{26}$ atomes par seconde en moyenne aujourd’hui : maintenue pendant quatre milliards d’années, cette perte ne représente qu’une couche d’eau globale d’environ $4\,\mathrm{m}$ d’épaisseur.

Le taux n’a pas toujours été celui d’aujourd’hui. L’obliquité de Mars, $25.2{}^{\circ}$ aujourd’hui, a varié entre 0 et $66{}^{\circ}$ au cours des 250 Ma, autour d’une moyenne proche de $35{}^{\circ}$, tandis que celle de la Terre ne varie que d’un peu plus d’un degré. Le mouvement est chaotique et ne peut pas être remonté sur plusieurs milliards d’années ; des cratères elliptiques formés par des impacts rasants, dont l’orientation garde la trace de l’obliquité, suggèrent une moyenne comprise entre environ 10 et $30{}^{\circ}$ au cours des derniers 3.5 Ga environ. À forte obliquité, le pôle d’été se réchauffe, davantage de vapeur d’eau s’élève, et les modèles climatiques font que la perte d’hydrogène est vingt fois plus rapide : sur l’histoire de Mars, cela représente une couche de l’ordre de $80\,\mathrm{m}$.

27.5 Titan : un cycle du méthane

Titan, une lune plus petite que Mars, possède une atmosphère plus épaisse que celle de la Terre : une pression de surface supérieure d’environ 60 %, à $-179{}^{\circ}\mathrm{C}$. L’atmosphère est composée d’environ 95 % d’azote et de 5 % de méthane, et comme la gravité de la lune est faible, elle s’étend dix fois plus haut que celle de la Terre, jusqu’à près de $600\,\mathrm{km}$. Le rayonnement ultraviolet dissocie le méthane et l’azote en haute altitude ; les fragments se recombinent en une brume orangée d’hydrocarbures plus lourds qui masquent la surface à la lumière visible. Sous la brume, le méthane joue le rôle de l’eau : il se condense en nuages, il pleut, creuse des chenaux de rivières et remplit des lacs et des mers de méthane et d’éthane.

Qu’un liquide puisse se trouver à une surface dépend de son diagramme de phases et de la pression et de la température qui y règnent. La surface de Titan se situe juste au-dessus du point triple du méthane, $90.67\,\mathrm{K}$ et $0.117\,\mathrm{bar}$, et en dessous de son point critique : du méthane liquide est possible, et du méthane à 5 % de $1.6\,\mathrm{bar}$ n’est pas loin de la saturation. La surface de Mars se situe près du point triple de l’eau, celle de la Terre bien à l’intérieur de son domaine liquide, et celle de Vénus au-dessus de la température critique de l’eau, $647\,\mathrm{K}$, où aucun liquide ne peut exister.

Titan retient facilement son azote : à son exobase $\lambda = 41$ pour l’azote. Son hydrogène, avec $\lambda$ voisin de 1.5, s’échappe presque librement, et l’échappement de l’hydrogène moléculaire est fixé plus bas par le flux limité traversant l’homopause, comme sur la Terre. Les composés lourds formés à partir du méthane dissocié se déposent à la surface, où ils constituent le sable de vastes champs de dunes.

27.6 Habitabilité planétaire

La zone habitable des manuels scolaires est l’intervalle des distances à une étoile à laquelle une planète semblable à la Terre peut conserver de l’eau liquide à sa surface. Ses bords sont les limites rencontrées dans ce chapitre.

Définition 27.12 (Habitabilité planétaire)

L’habitabilité planétaire d’une planète est sa capacité à conserver de l’eau liquide à sa surface sur des échelles de temps géologiques : elle reçoit un flux stellaire compris dans les limites de la zone habitable, elle retient son atmosphère et son eau face à l’échappement, et un cycle long du carbone régule son climat.

Le bord interne de la zone habitable est fixé par l’effet de serre humide ou par l’effet de serre galopant : une planète de type terrestre autour du Soleil devient humide à $0.99\,\mathrm{au}$ et s’emballe à $0.97\,\mathrm{au}$. Le bord externe est le effet de serre maximal : l’ajout de dioxyde de carbone ne réchauffe une planète que jusqu’à ce que le gaz supplémentaire renvoie vers l’espace davantage de lumière solaire que son effet de serre n’en gagne ; autour du Soleil, cela se produit à $1.70\,\mathrm{au}$, sous environ $8\,\mathrm{bar}$ de dioxyde de carbone. Ce sont des bords conservatifs, calculés sans nuages. Deux bords empiriques sont plus larges : Vénus semble n’avoir eu aucune eau de surface pendant au moins 1 Ga, alors qu’elle recevait 1.76 fois l’ensoleillement actuel de la Terre ($0.75\,\mathrm{au}$) ; Mars a connu de l’eau courante lorsqu’elle recevait 0.32 fois cet ensoleillement, si ses vallées sont vieilles de 3.8 Ga ($1.77\,\mathrm{au}$). Autour d’étoiles plus froides, ces mêmes limites se situent à des flux plus faibles, car leur lumière plus rouge est moins diffusée et davantage absorbée par l’eau et le dioxyde de carbone.

La distance ne suffit pas. Une planète doit retenir son atmosphère : une planète petite ou chaude, dont le paramètre d’échappement est faible, perd son hydrogène et, avec lui, son eau, tandis qu’une planète en effet de serre humide s’assèche par le haut. Il lui faut aussi maintenir son climat stable pendant des milliards d’années, alors que son étoile s’éclaircit : sur la Terre, le thermostat de l’altération des silicates, au cœur du cycle long du carbone, fait baisser le dioxyde de carbone lorsque le climat se réchauffe et le laisse s’accumuler lorsqu’il se refroidit. Sur Vénus, sans tectonique des plaques, le dioxyde de carbone dégazé n’a aucun moyen de retourner dans les roches et s’est accumulé dans l’air ; il en contient aujourd’hui à peu près autant que la Terre en a piégé dans les roches carbonatées. Le fait qu’un champ magnétique protège une atmosphère fait débat : il la met à l’abri du vent solaire dans sa partie haute, mais il ouvre aussi d’autres voies d’échappement, comme l’écoulement d’ions près des pôles, et l’habitabilité d’une planète ne se lit pas dans sa seule position au sein de la zone habitable.

27.7 Exercices

Exercice 27.1 ★

Calculer la hauteur d’échelle $H = RT/Mg$ près de la surface de Vénus ($737\,\mathrm{K}$, dioxyde de carbone de masse molaire $44.01\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g = 8.87\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), de la Terre ($288\,\mathrm{K}$, $28.97\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $9.80\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$), de Mars ($214\,\mathrm{K}$, $43.34\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$) et de Titan ($94\,\mathrm{K}$, $28.0\,\mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $1.35\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$). Quelle atmosphère est la plus étendue, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 27.1.

$H = RT/Mg$ : Vénus $8.314\times737/(0.04401\times8.87) = 15.7\,\mathrm{km}$ ; la Terre $8.314\times288/(0.02897\times9.80) = 8.4\,\mathrm{km}$ ; Mars $8.314\times214/(0.04334\times3.71) = 11.1\,\mathrm{km}$; Titan $8.314\times94/(0.0280\times1.35) = 20.7\,\mathrm{km}$. L’atmosphère de Titan, malgré sa froideur, est la plus étendue : sa gravité est sept fois plus faible que celle de la Terre.

Exercice 27.2 ★

L’exobase de la Terre se situe à $500\,\mathrm{km}$ (rayon $6878\,\mathrm{km}$) ; sa température varie de 800 à $1600\,\mathrm{K}$ au cours du cycle solaire. Prendre la masse de la Terre égale à $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$. Calculer le paramètre d’échappement des atomes d’hydrogène aux deux températures, ainsi que la fraction qui s’échappe $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$. De quel facteur le cycle solaire la modifie-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 27.2.

$\lambda = GMm/kTr = 6.674 \times 10^{-11}\times5.97 \times 10^{24}\times1.674 \times 10^{-27} /(1.381 \times 10^{-23}\,T\times6.878 \times 10^{6})$ : 8.78 à $800\,\mathrm{K}$, 4.39 à $1600\,\mathrm{K}$. Les fractions d’hydrogène qui s’échappent sont $9.78\,e^{-8.78} = 1.5 \times 10^{-3}$ et $5.39\,e^{-4.39} = 6.7 \times 10^{-2}$ : le cycle solaire modifie la fraction d’hydrogène qui s’échappe d’un facteur d’environ 44.

Exercice 27.3 ★

Autour du Soleil, une planète semblable à la Terre devient humide au flux $S_\mathrm{eff} = 1.014$, s’emballe à 1.0512 et atteint l’effet de serre maximal à 0.3438 (flux relatifs à celui de la Terre). (a) Calculer les trois distances, en unités astronomiques. (b) Vénus et Mars reçoivent respectivement 1.91 et 0.43 fois la lumière solaire de la Terre. Les placer.

Solution

Solution de Exercice 27.3.

(a) $d = S_\mathrm{eff}^{-1/2}$ : effet de serre humide $0.993\,\mathrm{au}$, effet de serre galopant $0.975\,\mathrm{au}$, effet de serre maximal $1.705\,\mathrm{au}$. (b) Vénus, à 1.91, reçoit davantage que le flux limite de l’effet de serre galopant et même davantage que la limite empirique de Vénus récente (1.78) : elle se trouve à l’intérieur du bord interne. Mars, à 0.43, se trouve entre 1.014 et 0.3438, à l’intérieur de la zone habitable conservative : sa sécheresse vient de sa petite taille et de la perte de son atmosphère, et non de sa distance.

Exercice 27.4 ★

La pression de vapeur du méthane liquide vaut $\log_{10}(p/\mathrm{bar}) = 3.9895 - 443.028/(T/\mathrm{K} - 0.49)$. (a) La calculer à la surface de Titan, $94.15\,\mathrm{K}$. (b) Le méthane forme 5 % de l’air de Titan à $1.6\,\mathrm{bar}$. Calculer sa pression partielle et son humidité relative. (c) Que suggère le résultat quant à l’évaporation des mers de Titan ?

Solution

Solution de Exercice 27.4.

(a) $\log_{10}p = 3.9895 - 443.028/93.66 = -0.741$, $p = 0.18\,\mathrm{bar}$. (b) $0.05\times1.6 = 0.080\,\mathrm{bar}$, une humidité relative de $0.080/0.18 = 44\,\%$. (c) L’air au-dessus des mers est loin d’être saturé : le méthane s’évapore de celles-ci, comme l’eau le fait des océans terrestres, et l’air humide doit s’élever et se refroidir avant qu’il ne pleuve.

Exercice 27.5 ★★

À l’exobase de la Terre ($1000\,\mathrm{K}$, $\lambda = 7.02$ pour l’hydrogène), calculer le paramètre d’échappement du deutérium, sa vitesse thermique relative à celle de l’hydrogène et le rapport des flux de Jeans par atome, D sur H. L’échappement de Jeans est-il un filtre isotopique puissant ?

Solution

Solution de Exercice 27.5.

$\lambda_\mathrm D = 7.02\times2.014/1.008 = 14.0$. $u_\mathrm D/u_\mathrm H = \sqrt{1.008/2.014} = 0.71$. Rapport par atome $= 0.71\times(15.0\, e^{-14.0})/(8.02\,e^{-7.02}) = 0.71\times1.69 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{-3}$. L’échappement de Jeans laisse presque aucun deutérium s’échapper : c’est un filtre puissant, avec $\alpha \approx 0.001$.

Exercice 27.6 ★★

Le rapport D/H de l’eau de Vénus vaut $0.016$ ; celui de l’eau de mer sur la Terre vaut $1.5575 \times 10^{-4}$. (a) Calculer l’enrichissement. (b) En l’absence totale d’échappement du deutérium, quel est le plus petit inventaire passé d’eau de Vénus, sachant qu’il en reste $6 \times 10^{15}\,\mathrm{kg}$ aujourd’hui ? Quelle profondeur formerait-il réparti sur la surface de la planète, $4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ? (c) Quelle diminution du réservoir exigerait un échappement limité par la diffusion, avec $\alpha = 0.8$ ? Conclure.

Solution

Solution de Exercice 27.6.

(a) $0.016/1.5575 \times 10^{-4} = 103$. (b) Avec $\alpha = 0$, l’enrichissement est $M_0/M$ : $M_0 = 103\times6 \times 10^{15} = 6.2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$, soit $6.2 \times 10^{17}/(1000\times4.60 \times 10^{14}) = 1.3\,\mathrm{m}$ d’eau sur Vénus. (c) $M_0/M = 103^{1/0.2} = 1.2 \times 10^{10}$, un inventaire passé de $7 \times 10^{25}\,\mathrm{kg}$, soit douze fois la masse de la Terre : impossible. Le enrichissement exige un échappement fortement fractionnant (de Jeans ou non thermique), actif au moins pendant la perte des dernières traces d’eau, ou un état stationnaire avec un apport d’eau.

Exercice 27.7 ★★

Mars, de rayon $3389.5\,\mathrm{km}$, perd environ $3 \times 10^{26}$ atomes d’hydrogène par seconde. (a) Si chaque paire d’atomes provient d’une molécule d’eau, quelle couche d’eau globale la perte retire-t-elle en quatre milliards d’années ? (b) Même question à $6 \times 10^{27}$ atomes par seconde, le taux d’une forte obliquité. (c) Comparer avec les $100\,\mathrm{m}$ à $1500\,\mathrm{m}$ qu’exigent les vallées et les chenaux.

Solution

Solution de Exercice 27.7.

(a) En quatre milliards d’années ($1.26 \times 10^{17}$ s), Mars perd $3.8 \times 10^{43}$ atomes, $1.9 \times 10^{43}$ molécules d’eau, $5.7 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}$ ; sur $4\pi(3.3895 \times 10^{6})^2 = 1.44 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, soit une couche $3.9\,\mathrm{m}$ d’épaisseur. (b) Vingt fois plus, $78\,\mathrm{m}$. (c) Même le taux de forte obliquité n’atteint que le bas de la fourchette de 100 à $1500\,\mathrm{m}$ ; le reste s’est enfoui dans la croûte et la glace, ou a été perdu plus vite lorsque le Soleil était jeune.

Exercice 27.8 ★★

(a) Calculer la masse de l’atmosphère de Mars à partir de sa pression moyenne en surface, $636\,\mathrm{Pa}$, de sa gravité, $3.71\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, et de son rayon. (b) Le vent solaire arrache environ $100\,\mathrm{g}$ de gaz par seconde. Quelle masse cela retire-t-il en quatre milliards d’années, et en combien de temps elle retirerait l’atmosphère actuelle ? (c) Pourquoi est-ce une sous-estimation de la perte passée ?

Solution

Solution de Exercice 27.8.

(a) $m = pA/g = 636\times1.44 \times 10^{14}/3.71 = 2.5 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$. (b) $0.1\times1.26 \times 10^{17} = 1.3 \times 10^{16}\,\mathrm{kg}$, soit la moitié de l’atmosphère actuelle ; la totalité en $2.5 \times 10^{16}/0.1 = 2.5 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, $7.8\,\mathrm{Ga}$. (c) Le jeune Soleil était plus actif et ses tempêtes plus fréquentes, et la perte croît pendant les tempêtes ; d’autres voies (hydrogène, pulvérisation, échappement photochimique) ne sont pas pris en compte.

Exercice 27.9 ★★

Une planète de type terrestre, dotée d’une atmosphère de vapeur sans nuages, réfléchit 19.3 % de la lumière solaire qu’elle reçoit ; son rayonnement infrarouge ne peut dépasser $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (a) Au-dessus de quel flux solaire, en watts par mètre carré et rapporté à celui de la Terre, $1361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, s’emballe-t-elle ? (b) Comparer avec Vénus aujourd’hui, $2601\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, et avec une jeune Vénus sous un Soleil à 70 % de sa luminosité actuelle. (c) Pourquoi la conclusion pour la jeune Vénus n’est-elle pas définitive ?

Solution

Solution de Exercice 27.9.

(a) $S(1 - 0.193)/4 = 291$ donne $S = 1442\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, soit 1.06 fois celle de la Terre. (b) Aujourd’hui, Vénus absorberait $0.807\times2601/4 = 525\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ ; une Vénus jeune, $0.7\times2601 = 1821\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ reçu, $367\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ absorbé : les deux dépassent la limite, donc une Vénus jeune sans nuages aurait basculé dès le départ dans l’effet de serre galopant. (c) Les nuages augmentent l’albédo ; des modèles tridimensionnels incluant les nuages ont trouvé une voie vers une Vénus jeune habitable.

Exercice 27.10 ★★★

Une thermosphère modèle d’oxygène atomique est isotherme à $1000\,\mathrm{K}$, avec $n = 1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-3}$ à $200\,\mathrm{km}$ ; prendre $g = 9.21\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ à cette altitude et une section efficace de collision $\sigma_c = 3 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$. (a) Calculer la hauteur d’échelle de l’oxygène. (b) Calculer la densité à l’exobase et la hauteur de l’exobase. (c) La gravité diminue avec l’altitude. Cela déplace-t-il l’exobase vers le haut ou vers le bas ?

Solution

Solution de Exercice 27.10.

(a) $H = kT/mg = 1.381 \times 10^{-23}\times1000/(16\times1.661 \times 10^{-27}\times9.21) = 56\,\mathrm{km}$. (b) $n_\mathrm{exo} = 1/(\sigma_c H) = 1/(3 \times 10^{-19}\times 5.64 \times 10^{4}) = 5.9 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-3}$; $z = 200 + 56.4\ln(1 \times 10^{16}/ 5.9 \times 10^{13}) = 200 + 56.4\times5.13 = 490\,\mathrm{km}$. (c) Une gravité plus faible en altitude fait croître la hauteur d’échelle avec l’altitude, de sorte que la densité décroît plus lentement que prévu : l’exobase s’élève.

Exercice 27.11 ★★★

(a) Supposons que la stratosphère terrestre devienne humide, avec un rapport de mélange de vapeur d’eau de $3 \times 10^{-3}$ (compté comme $\ce{H2}$). Avec la limite de diffusion $3.0 \times 10^{13}\,f$ molécules de $\ce{H2}$ par centimètre carré et par seconde, à $200\,\mathrm{K}$, calculer la perte d’hydrogène de la Terre entière (rayon $6371\,\mathrm{km}$). (b) En combien de temps un océan, soit $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ d’eau, serait-il épuisé ? Comparer avec l’âge de la Terre.

Solution

Solution de Exercice 27.11.

(a) $\Phi = 3.0 \times 10^{13}\times3 \times 10^{-3} = 9 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; sur $4\pi(6.371 \times 10^{6})^2 = 5.10 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $4.6 \times 10^{29}$ molécules de $\ce{H2}$ par seconde. (b) Un océan contient $1.4 \times 10^{24}/18.015\times6.022 \times 10^{23} = 4.7 \times 10^{46}$ molécules d’eau, à raison d’une molécule de $\ce{H2}$ chacune : cela dure $1.0 \times 10^{17}\,\mathrm{s} = 3.2\,\mathrm{Ga}$, comparable à l’âge de la Terre, ce qui explique pourquoi un rapport de mélange de $3 \times 10^{-3}$ marque la limite de l’effet de serre humide.

Exercice 27.12 ★★★

Dans une haute atmosphère de vapeur pure, absorbant comme un gaz gris, avec $\kappa = 0.005\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{kg}^{-1}$, sur une planète de $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ et $D = 1.66$ : (a) calculer la pression $p_1$ du niveau rayonnant ; (b) avec $p_\mathrm{sat}(T) = 611.657\,\mathrm{Pa}\,\exp[(L/R_v)(1/T_t - 1/T)]$, $L = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}$, $R_v = 461.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $T_t = 273.16\,\mathrm{K}$, calculer sa température et la limite de rayonnement. (c) La limite raie par raie est $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. Le $\kappa$ effectif de la vapeur d’eau réelle doit-il être plus grand ou plus petit ?

Solution

Solution de Exercice 27.12.

(a) $p_1 = g/D\kappa = 9.81/(1.66\times0.005) = 1180\,\mathrm{Pa}$. (b) $1/T = 1/273.16 - \ln(1182/611.657)\times461.5/2.5 \times 10^{6}$, $T = 282.5\,\mathrm{K}$, et $\sigma T^4 = 361\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$. (c) La limite réelle est plus basse, donc le niveau de rayonnement est plus froid et à plus basse pression : la vapeur d’eau réelle est plus opaque que ce gaz gris, et son $\kappa$ effectif plus grand.

27.8 Problème : Kepos gardera-t-elle son eau ?

Problème 27.1

Problème du week-end — échappement et habitabilité de la planète océanique inventée

Kepos est une planète inventée de masse $5.2 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ et de rayon $6200\,\mathrm{km}$, pourvue d’océans et d’une atmosphère d’azote et de dioxyde de carbone. Elle orbite à $0.60\,\mathrm{au}$ d’une étoile de luminosité 0.30 fois celle du Soleil et de température effective $4800\,\mathrm{K}$. Son exobase se trouve à $500\,\mathrm{km}$ au-dessus de la surface, à $1400\,\mathrm{K}$, avec $2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ atomes d’hydrogène ; son homopause est à $200\,\mathrm{K}$, où le dioxyde de carbone domine et où l’hydrogène sous toutes ses formes forme un rapport de mélange $f = 1 \times 10^{-3}$, compté comme $\ce{H2}$. Un océan terrestre représente $1.4 \times 10^{24}\,\mathrm{g}$ d’eau.

Partie I — L’exobase.

1. Calculer la pesanteur de surface et la masse volumique moyenne de Kepos.
2. Calculer la vitesse de libération à l’exobase.
3. Calculer la vitesse thermique $u = \sqrt{2kT/m}$ de l’hydrogène, de l’hélium et de l’oxygène atomique à l’exobase.
4. Calculer leurs paramètres d’échappement.
5. Lesquels d’entre eux peuvent s’échapper par échappement de Jeans à un taux significatif ? L’un d’eux approche-t-il du régime hydrodynamique ?
6. Pendant une jeunesse active de son étoile, l’exobase de Kepos a pu atteindre $3000\,\mathrm{K}$. Quel était alors le paramètre d’échappement de l’hydrogène, et que suggère-t-il ?

Partie II — Échappement de Jeans de l’hydrogène.

7. Calculer la fraction d’échappement $(1 + \lambda)e^{-\lambda}$ pour l’hydrogène.
8. Calculer le flux de Jeans de l’hydrogène, par mètre carré et par seconde.
9. Calculer le nombre d’atomes d’hydrogène qui quittent l’ensemble de l’exobase par seconde.
10. Combien d’atomes d’hydrogène contient un océan terrestre ?
11. À ce rythme, en combien de temps Kepos les perdrait-elle ?
12. Calculer le paramètre d’échappement du deutérium et son efficacité d’échappement par rapport à l’hydrogène, par atome.

Partie III — La limite de diffusion.

13. Calculer la hauteur d’échelle du dioxyde de carbone à l’homopause.
14. Le paramètre de diffusion binaire de l’hydrogène dans le dioxyde de carbone est $b = 1.2 \times 10^{19}\,\mathrm{cm}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ à $200\,\mathrm{K}$. Calculer le flux limité par la diffusion de $\ce{H2}$, par mètre carré et par seconde.
15. Vérifier ce résultat par rapport à la limite terrestre, $3.0 \times 10^{13}\,f$ molécules par centimètre carré et par seconde, ajustée à la gravité.
16. Calculer le nombre d’atomes d’hydrogène que la limite de diffusion peut fournir à la haute atmosphère de toute la planète par seconde (en prenant l’aire de la surface).
17. Comparer avec la question 9. Quel processus limite l’échappement, et que devient l’hydrogène de la thermosphère ?
18. Quelle densité d’hydrogène à l’exobase permettrait à l’échappement de Jeans d’emporter tout cet apport ?
19. En combien de temps Kepos perdrait-elle un océan terrestre d’hydrogène au rythme limité par la diffusion ?

Partie IV — Kepos est-elle dans la zone habitable ?

20. Calculer le flux stellaire reçu par Kepos, par rapport à celui de la Terre.
21. Pour une étoile de $4800\,\mathrm{K}$, la limite de l’effet de serre humide se situe à $S_\mathrm{eff} = 0.939$, et la limite maximale de l’effet de serre à 0.290. Calculer les bornes de la zone habitable, en unités astronomiques, et placer Kepos.
22. De quel facteur l’étoile doit-elle gagner en luminosité avant que Kepos n’atteigne le bord intérieur de la zone ?
23. Avec un albédo de 0.3, calculer le rayonnement solaire que Kepos absorbe par mètre carré, et sa température d’équilibre. Comparer avec la limite de l’effet de serre galopant.
24. Si un climat plus chaud rendait humide la stratosphère de Kepos, avec $f = 3 \times 10^{-3}$, combien de temps durerait un océan terrestre ?
25. Donner le temps que met Kepos pour perdre un océan terrestre d’hydrogène par échappement limité par la diffusion avec $f = 1 \times 10^{-3}$, en milliards d’années, à deux chiffres significatifs.

Solution

Solution de Problème 27.1.

1. $g = GM/R^2 = 6.674 \times 10^{-11}\times5.2 \times 10^{24}/(6.2 \times 10^{6})^2 = 9.03\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\bar\rho = M/\tfrac43\pi R^3 = 5210\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

2. $v_\mathrm{esc} = \sqrt{2GM/r} = \sqrt{2\times3.47 \times 10^{14}/6.7 \times 10^{6}} = 10.18\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

3. $u = \sqrt{2kT/m}$ : hydrogène $4.81\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, hélium $2.41\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$, oxygène $1.21\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$.

4. $\lambda = (v_\mathrm{esc}/u)^2$: 4.49, 17.8, 71.2.

5. Seul l’hydrogène : sa fraction échappée vaut 0.06, celle de l’hélium $3.5 \times 10^{-7}$, celle de l’oxygène $9 \times 10^{-30}$. Aucun n’est proche du régime hydrodynamique, $\lambda \approx 1.5$ à 3.

6. $\lambda = 4.49\times1400/3000 = 2.09$ : dans la zone de transition ; l’hydrogène se serait échappé en un flux hydrodynamique, entraînant peut-être des gaz plus lourds.

7. $(1 + 4.49)\,e^{-4.49} = 0.0618$.

8. $n u/2\sqrt\pi = 2 \times 10^{11}\times4806/3.545 = 2.71 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Phi_\mathrm J = 2.71 \times 10^{14}\times0.0618 = 1.68 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

9. $4\pi(6.7 \times 10^{6})^2 = 5.64 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $9.5 \times 10^{27}$ atomes par seconde.

10. $1.4 \times 10^{24}/18.015 = 7.8 \times 10^{22}\,\mathrm{mol}$, $4.68 \times 10^{46}$ molécules, $9.36 \times 10^{46}$ atomes d’hydrogène.

11. $9.36 \times 10^{46}/9.5 \times 10^{27} = 9.9 \times 10^{18}\,\mathrm{s}$, soit environ 310 milliards d’années.

12. $\lambda_\mathrm D = 4.49\times2.014/1.008 = 8.96$ ; fraction échappée $9.96\,e^{-8.96} = 1.28 \times 10^{-3}$ ; efficacité relative $0.707\times 1.28 \times 10^{-3}/0.0618 = 0.015$.

13. $H_a = kT/m_a g = 1.381 \times 10^{-23}\times200/(44.01\times1.661 \times 10^{-27} \times9.03) = 4.18\,\mathrm{km}$.

14. $b = 1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc

$$\Phi_\mathrm{DL} = \frac{b f(m_a - m_i)}{m_a H_a} = \frac{1.2 \times 10^{21}\times1 \times 10^{-3}\times(42.0/44.0)}{4185} = 2.74 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.$$

15. $3.0 \times 10^{13}\times1 \times 10^{-3}\times9.03/9.81 = 2.76 \times 10^{10}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1} = 2.76 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ : le même à 1 % près.

16. $4\pi(6.2 \times 10^{6})^2 = 4.83 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$ ; $1.32 \times 10^{29}$ molécules de $\ce{H2}$, $2.64 \times 10^{29}$ atomes par seconde.

17. La limite de diffusion fournit 28 fois ce que l’exobase laisse échapper à sa densité actuelle. L’hydrogène s’accumule dans la thermosphère jusqu’à ce que le flux de Jeans égale l’apport : à long terme, l’échappement est limité par la diffusion, comme sur la Terre.

18. $2 \times 10^{11}\times28 = 5.6 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$.

19. $4.68 \times 10^{46}/1.32 \times 10^{29} = 3.54 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$, 11.2 milliards d’années.

20. $S = 0.30/0.60^2 = 0.833$.

21. $d = \sqrt{L/S_\mathrm{eff}}$ : bord intérieur $\sqrt{0.30/0.939} = 0.565\,\mathrm{au}$, bord extérieur $\sqrt{0.30/0.290} = 1.02\,\mathrm{au}$. Kepos, à $0.60\,\mathrm{au}$, se trouve à l’intérieur, près du bord intérieur.

22. $0.939/0.833 = 1.13$ : une hausse de 13 % du flux.

23. $0.833\times1361\times0.7/4 = 198\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$, $T_\mathrm{eq} = (198/\sigma)^{1/4} = 243\,\mathrm{K}$ ; bien en dessous de la $291\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}$ limite (calculée pour une étoile de type solaire, mais la marge est large).

24. Trois fois plus rapide : 3.7 milliards d’années.

25. 11 milliards d’années.