تقايس কী?

مثال 23.16 (التعرّف على تقايس بالنظر)

هل $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ متعامدة؟ الأعمدة: المعياران $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ و $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$؛ والجداء $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$. نعم — و $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$، ومنه فهي الدوران $R_\theta$ مع $\cos\theta = \frac35$ و $\sin\theta = \frac45$ (وهو «دوران $3$-$4$-$5$»، وزاويته ليست كسرًا لافتًا من $\pi$). وعلى النقيض فإن $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ لها مظهر مسلَّم بالمحدد الواحدي لكن عمودها الأول ليس واحديًا ($\frac1{\sqrt2}$): فهي ليست متعامدة — فالمحدد $\pm1$ وحده لا يصادق على شيء، بل يجب التحقق من الأعمدة.