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Matemáticas · 术语表

什么是 Creciente, decreciente？

又称： función creciente · función decreciente

Definición 3.8 Matemáticas de secundaria · 第 3 章 — Funciones

Sea ff definida en un intervalo II.

  • ff es creciente en II cuando, para todos u,v∈Iu, v \in I, si u<vu < v entonces f(u)≤f(v)f(u) \leq f(v): los resultados crecen con las entradas y la gráfica sube de izquierda a derecha.
  • ff es decreciente en II cuando u<vu < v implica f(u)≥f(v)f(u) \geq f(v): la gráfica baja de izquierda a derecha.

Con desigualdades estrictas f(u)<f(v)f(u) < f(v) (resp. >>) se dice estrictamente creciente (resp. decreciente).

示例

Ejemplo 3.10

Consideremos la función cuya gráfica aparece abajo, en [−2, 4]\intcc{-2}{4}.

Una función definida en [-2, 4], creciente primero y decreciente después.
Una función definida en [−2, 4]\intcc{-2}{4}, creciente primero y decreciente después.

Leyendo la gráfica: ff crece desde f(−2)=−1.5f(-2) = -1.5 hasta su máximo f(1)=3f(1) = 3 y decrece después hasta f(4)=−1.5f(4) = -1.5. Su tabla de variación es

xx−2-21144
ff−1.5-1.5↗\nearrow33↘\searrow−1.5-1.5

Ejemplo 3.11 (Demostrar una variación)

Demostremos que f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1 es estrictamente creciente en R\R. Tomamos u<vu < v cualesquiera y comparamos las imágenes:

f(v)−f(u)=(3v+1)−(3u+1)=3(v−u)>0,f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

porque v−u>0v - u > 0. Luego f(u)<f(v)f(u) < f(v): la función es estrictamente creciente. El mismo cálculo con pendiente negativa, por ejemplo g(x)=−2x+5g(x) = -2x + 5, da g(v)−g(u)=−2(v−u)<0g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0: estrictamente decreciente.

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Definición 11.4 Matemáticas de secundaria · 第 11 章 — Funciones y variación

Sea ff definida en un intervalo II. La función ff es creciente en II si conserva el orden:

para todos u,v∈I:u<v  ⟹  f(u)≤f(v),\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

y decreciente si lo invierte (u<v  ⟹  f(u)≥f(v)u < v \implies f(u) \geq f(v)). Con desigualdades estrictas a la derecha, ff es estrictamente creciente (resp. decreciente). Una función creciente o decreciente en II se dice monótona en II.

示例

Ejemplo 11.10

Estudiemos f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1} en R\R. La función interior u(x)=x2+1u(x) = x^2 + 1 es positiva, decreciente en (−∞, 0]\intoc{-\infty}{0} y creciente en [0, +∞)\intco{0}{+\infty} (un cuadrado desplazado). Por el punto 3, ff tiene la misma variación: decreciente y después creciente, con mínimo f(0)=1f(0) = 1.

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