Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

43Périmètre, aire, volume

Quelle longueur a la clôture, quelle taille a le champ, combien d’eau tient dans le réservoir ? Trois questions différentes, trois quantités différentes — périmètre, aire, volume — chacune avec ses propres unités. Les confondre est l’erreur la plus courante en géométrie ; ce chapitre les démêle pour de bon.

43.1 Longueurs et périmètre

Définition 43.1 (Périmètre)

Le périmètre d’une figure est la longueur totale de son bord. Il se mesure en unités de longueur : millimètres (mm), centimètres (cm), mètres (m), kilomètres (km), avec

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Exemple 43.2

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ a pour périmètre

P = L + \ell + L + \ell = 2 \times (L + \ell).

Pour un rectangle de $7$ cm sur $4$ cm : $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Un carré de côté $c$ a pour périmètre $4c$ .

Proposition 43.3 (Circonférence d’un cercle)

Le périmètre (ou circonférence) d’un cercle de rayon $r$ est

P = 2 \pi r ,

où $\pi \approx 3.14$ est le même nombre pour tout cercle.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 43.4

Un étang circulaire a un rayon de $5$ m. Son bord mesure $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Garder la valeur exacte $10\pi$ aussi longtemps que possible ; n’arrondir qu’à la fin.

43.2 Aires

Définition 43.5 (Aire)

L’aire d’une figure mesure la surface qu’elle couvre : combien de carreaux unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm $^2$ (un carré de côté $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Attention :

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm, donc chaque pas de l’échelle des unités vaut $100$ , et non $10$ .

L’aire d’un rectangle : 7 colonnes de 4 carreaux unitaires chacune, donc 7 × 4 = 28 carreaux en tout. C’est pourquoi aire = longueur × largeur. — L’aire d’un rectangle : $7$ colonnes de $4$ carreaux unitaires chacune, donc $7 \times 4 = 28$ carreaux en tout. C’est pourquoi aire $=$ longueur $\times$ largeur.

Proposition 43.6 (Formules d’aire de base)

figure	aire
rectangle ( $L \times \ell$ )	$A = L \times \ell$
carré (côté $c$ )	$A = c^2$
[4pt] triangle rectangle (côtés $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] disque (rayon $r$ )	$A = \pi r^2$

Démonstration pour le triangle rectangle. Deux copies d’un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ , collées le long de l’hypoténuse, forment un rectangle $a \times b$ . Donc l’aire du triangle est la moitié de celle du rectangle : $\frac{ab}{2}$ . (La formule du rectangle est le comptage de carreaux unitaires ci-dessus ; la formule du disque est admise, voir Chapitre 53.) ∎

Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : d’où la formule a× b/2. — Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : d’où la formule $\frac{a\times b}{2}$ .

Exemple 43.7 (Figures composées)

Une pièce en L est un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin carré $2$ m $\times$ $2$ m enlevé. Son aire, étape par étape :

rectangle complet : $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
carré enlevé : $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
aire restante : $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Son périmètre n’est pas $20$ de quoi que ce soit : en parcourant le L, le bord mesure encore $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — les deux coupes du coin remplacent deux morceaux de mur égaux. Même nombre par coïncidence, mais mètres carrés pour l’un, mètres pour l’autre !

Remarque 43.8 (Même périmètre, aires différentes)

Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes : un carré $5 \times 5$ et un rectangle $9 \times 1$ ont tous deux un périmètre de $20$ , mais des aires de $25$ et $9$ . Périmètre et aire sont vraiment des quantités indépendantes.

43.3 Volumes

Définition 43.9 (Volume)

Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il remplit : combien de cubes unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm $^3$ , m $^3$ , … avec $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (chaque pas de l’échelle vaut $1000$ ). Pour les liquides, on utilise aussi le litre :

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposition 43.10 (Volume d’un pavé)

Un pavé (un prisme droit à base rectangulaire) de longueur $L$ , de largeur $\ell$ et de hauteur $h$ a pour volume

V = L \times \ell \times h .

Démonstration. La couche du bas contient $L \times \ell$ cubes unitaires (image de Définition 43.5, avec des cubes), et il y a $h$ telles couches. ∎

Un pavé rempli de cubes unitaires : 4 × 2 cubes par couche, deux couches. — Un pavé rempli de cubes unitaires : $4 \times 2$ cubes par couche, deux couches.

Exemple 43.11

Un aquarium mesure $60$ cm sur $30$ cm sur $40$ cm (hauteur). Volume :

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Étape par étape pour la conversion : $1000$ cm $^3$ font un litre, et $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Exercices

Exercice 43.1 ★

Convertir : $3.5$ m en cm ; $420$ mm en cm ; $0.8$ km en m ; $25\,000$ m en km.

Solution

Solution de Exercice 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm ; $420$ mm $= 42$ cm ; $0.8$ km $= 800$ m ; $25\,000$ m $= 25$ km.

Exercice 43.2 ★

Calculer le périmètre de : un rectangle $8$ cm $\times$ $3.5$ cm ; un carré de côté $6.2$ cm ; un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm.

Solution

Solution de Exercice 43.2.

Rectangle : $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Carré : $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triangle : $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Exercice 43.3 ★

Une piste de course circulaire a un rayon de $50$ m. Quelle longueur a un tour (valeur exacte avec $\pi$ , puis arrondie au mètre) ? Combien de tours font au moins $2$ km ?

Solution

Solution de Exercice 43.3.

Un tour : $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Pour $2$ km $= 2000$ m : $2000 \div 314 \approx 6.4$ , donc $7$ tours complets sont nécessaires ( $6$ tours ne font qu’environ $1\,885$ m).

Exercice 43.4 ★

Calculer l’aire de : un rectangle $9$ cm $\times$ $4$ cm ; un carré de côté $7$ m ; un triangle rectangle de côtés $6$ cm et $10$ cm ; un disque de rayon $3$ cm (valeur exacte, puis arrondie au cm $^2$ ).

Solution

Solution de Exercice 43.4.

Rectangle : $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Carré : $7^2 = 49$ m $^2$ . Triangle rectangle : $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Disque : $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Exercice 43.5 ★

Convertir : $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ en m $^2$ ; $2.5$ L en cm $^3$ ; $4\,500$ L en m $^3$ .

Solution

Solution de Exercice 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Exercice 43.6 ★

Un champ rectangulaire mesure $120$ m de long et $85$ m de large. Combien de mètres de clôture faut-il pour l’entourer ? Quelle est son aire ?

Solution

Solution de Exercice 43.6.

Clôture (périmètre) : $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Aire : $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Exercice 43.7 ★

Calculer le volume d’un pavé $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, et d’un cube d’arête $3$ cm.

Solution

Solution de Exercice 43.7.

Pavé : $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Cube : $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Exercice 43.8 ★

Dessiner deux rectangles différents de périmètre $16$ cm, et calculer leurs aires. Lequel de vos rectangles a la plus grande aire ?

Solution

Solution de Exercice 43.8.

Périmètre $16$ cm signifie longueur $+$ largeur $= 8$ cm. Par exemple $6 \times 2$ (aire $12$ cm $^2$ ) et $5 \times 3$ (aire $15$ cm $^2$ ) — ou le carré $4 \times 4$ (aire $16$ cm $^2$ ). Plus on se rapproche d’un carré, plus l’aire est grande.

Exercice 43.9 ★★

Une figure en T est faite d’un rectangle horizontal $10 \times 2$ sur un vertical $2 \times 6$ (mesures en cm). Calculer son aire, puis son périmètre (parcourir le bord soigneusement, en additionnant chaque arête).

Solution

Solution de Exercice 43.9.

Aire : $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Périmètre (tige centrée sous la barre) : en parcourant le bord,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(haut ; extrémité droite de la barre ; dessous droit ; droite de la tige ; bas de la tige ; gauche de la tige ; dessous gauche ; extrémité gauche de la barre).

Exercice 43.10 ★★

Une piscine est un pavé de $25$ m de long, $10$ m de large et $2$ m de profond.

Combien de mètres cubes d’eau tient-elle quand elle est pleine ?
Combien de litres cela fait-il ?
La piscine est remplie à $50\,000$ L par heure. Combien de temps dure le remplissage ?

Solution

Solution de Exercice 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ heures.

Exercice 43.11 ★★

Un jardin est un carré de côté $20$ m contenant un étang circulaire de rayon $3$ m. Quelle aire de gazon y a-t-il (valeur exacte, puis arrondie au m $^2$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 43.11.

Jardin : $20^2 = 400$ m $^2$ . Étang : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Gazon : $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Exercice 43.12 ★★★

Une tablette de chocolat mesure $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. Le fabricant double les trois dimensions.

Par combien le volume est-il multiplié ? Vérifier en calculant les deux volumes.
Le prix est multiplié par $4$ . La grande tablette est-elle une meilleure affaire que la petite ?

Solution

Solution de Exercice 43.12.

1. Petite tablette : $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Grande : $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . Le volume est multiplié par $720 \div 90 = 8$ — doubler chacune des trois dimensions multiplie le volume par $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Huit fois le chocolat pour quatre fois le prix : oui, la grande tablette est deux fois plus avantageuse au gramme.

43.5 Problème : la clôture de la reine Didon

Problème 43.1

Devoir maison — avec une longueur de clôture fixée, quelle forme enferme le plus de terrain ? Le carré bat tous les rectangles, le cercle bat le carré, et un mur de grange change tout

La légende raconte que la reine Didon, débarquant sur la côte d’Afrique, se vit accorder « autant de terre qu’une peau de bœuf peut en entourer » — elle découpa donc la peau en une seule lanière immensément longue et fine, et enferma assez de terrain pour fonder la ville de Carthage. Son problème devient le nôtre : un fermier possède exactement $20$ m de clôture. Exercice 43.8 a montré que deux enclos de même périmètre peuvent avoir des aires différentes ; ce problème cherche le meilleur enclos — et découvre que la réponse change du tout au tout lorsqu’un mur de grange offre un côté gratuit.

Partie I — Vingt mètres de clôture.

L’enclos doit être un rectangle utilisant les $20$ m de clôture. Vérifier qu’un enclos $1 \times 9$ et un enclos $2 \times 8$ conviennent tous deux, et calculer leurs aires.
Expliquer pourquoi la longueur et la largeur de tout enclos convenable ont pour somme $10$ m. Dresser ensuite le tableau complet des enclos à côtés entiers (de $1 \times 9$ à $5 \times 5$ ) avec leurs aires. Lequel est le meilleur ?
Vaut-il la peine d’essayer des côtés décimaux ? Calculer les aires de l’enclos $4.5 \times 5.5$ et de l’enclos $4.9 \times 5.1$ , et les comparer au carré $5 \times 5$ . Que conjecture-t-on ?
La question 2 a transformé le problème de clôture en une pure question sur les nombres : parmi tous les couples de nombres de somme $10$ , lequel a le plus grand produit ? Y répondre à l’aide du tableau, et énoncer la règle générale que l’on observe.
Voici pourquoi s’écarter du carré fait toujours perdre, avec des ciseaux plutôt qu’avec de l’algèbre : partir de l’enclos $5 \times 5$ et le transformer en l’enclos $6 \times 4$ en retirant une bande et en en recollant une autre. Quelle bande est retirée, laquelle est ajoutée, et pourquoi l’échange fait-il perdre exactement un mètre carré ? Expliquer pourquoi une étape de plus (vers $7 \times 3$ ) fait perdre davantage encore.

Partie II — La grange, et le cercle.

L’enclos est maintenant adossé au long mur d’une grange : le mur remplace une longueur de l’enclos, et les $20$ m de clôture ne couvrent que les trois autres côtés. Dresser le tableau des enclos à côtés entiers (largeur $w$ , longueur $L$ le long du mur, $w + L + w = 20$ ) et de leurs aires. Quel enclos l’emporte à présent — et est-ce un carré ?
Expliquer le gagnant à l’aide d’un miroir (Chapitre 42) : construire le symétrique de l’enclos par rapport au mur de la grange et considérer l’enclos doublé. Quelle longueur de clôture l’enclos doublé utilise-t-il, quel enclos doublé est le meilleur d’après la partie I, et qu’est-ce que cela fait de l’enclos initial ?
Didon n’a pas construit un rectangle. Courber les $20$ m de clôture en un cercle : avec $\pi \approx 3.14$ , calculer son rayon (au cm près), puis son aire (au m $^2$ près) (Proposition 43.3, Proposition 43.6). Comparer avec le carré $5 \times 5$ .
Le problème inverse : on veut un enclos d’aire exactement $36$ m $^2$ , avec le moins de clôture possible. Comparer les rectangles $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ et $6 \times 6$ : quels périmètres ? Quelle forme est la moins coûteuse, et en quoi cette question est-elle l’image dans le miroir de la partie I ?
En une phrase : pourquoi les boîtes de conserve, les tuyaux et les citernes sont-ils si souvent ronds ?

Partie III — Périmètre et aire sont deux étrangers.

Trouver un rectangle dont le périmètre dépasse $100$ m mais dont l’aire est inférieure à $1$ m $^2$ . (Très long et très fin. Les décimaux sont autorisés.)
Vrai ou faux : « de deux figures, celle qui a le plus grand périmètre a la plus grande aire ». Donner un contre-exemple tiré de ce problème.
Prendre le rectangle $6 \times 4$ et découper une encoche carrée $1 \times 1$ au milieu d’un grand côté (l’encoche s’ouvre vers l’extérieur, comme une dent manquante). Calculer l’aire et le périmètre de la figure encochée, et comparer les deux à la figure de départ. Qu’est-il arrivé à chacun ?
Les cartographes connaissent un fait étrange : plus la carte est détaillée, plus le littoral est long — chaque zoom révèle de nouvelles petites encoches, et la question 13 montre ce que fait chaque encoche. Expliquer en une ou deux phrases pourquoi « la longueur de la côte de Bretagne » est un nombre glissant, alors que « l’aire de la Bretagne » ne l’est pas.
L’examen du fermier. Avec $36$ m de clôture et le mur de la grange à disposition, trouver le meilleur enclos rectangulaire (utiliser le miroir de la question 7), donner son aire, et la comparer à celle du meilleur enclos construit avec $36$ m en plein champ. Combien le mur de la grange rapporte-t-il au fermier ?

Solution

Solution de Problème 43.1.

1. $1 \times 9$ : périmètre $2 \times (1 + 9) = 20$ m, aire $9$ m $^2$ . $2 \times 8$ : périmètre $2 \times 10 = 20$ m, aire $16$ m $^2$ .

2. Le périmètre vaut deux fois (longueur $+$ largeur) (Exemple 43.2), donc longueur $+$ largeur $= 20 \div 2 = 10$ m. Le tableau :

enclos	$1 \times 9$	$2 \times 8$	$3 \times 7$	$4 \times 6$	$5 \times 5$
aire (m $^2$ )	$9$	$16$	$21$	$24$	$25$

Le carré $5 \times 5$ est le meilleur.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ et $4.9 \times 5.1 = 24.99$ : de plus en plus proche de $25$ , mais toujours en dessous. Conjecture : le carré bat tous les rectangles de périmètre $20$ , côtés décimaux compris.

4. D’après le tableau : le produit de deux nombres de somme $10$ est le plus grand quand les deux nombres sont égaux ( $5$ et $5$ ). Règle générale : à somme fixée, le produit est le plus grand pour des parts égales — plus le couple est déséquilibré, plus le produit est petit.

5. Partir du carré $5 \times 5$ et retirer la rangée du haut — une bande de $5$ carreaux — ce qui laisse un enclos $5 \times 4$ ; puis recoller une colonne de $4$ carreaux à une extrémité, ce qui donne l’enclos $6 \times 4$ . Cinq carreaux ont été enlevés et quatre seulement sont revenus : la bande ajoutée se pose le long du côté $4$ , plus court que le côté $5$ que couvrait la bande retirée. Perte nette : un mètre carré ( $25 \to 24$ ). L’étape suivante, de $6 \times 4$ à $7 \times 3$ , échange une rangée de $6$ contre une colonne de $3$ et perd trois de plus ( $24 \to 21$ ) : plus l’enclos s’éloigne du carré, plus longue est la bande qu’il cède et plus courte celle qu’il récupère.

6. Avec $w + L + w = 20$ , c’est-à-dire $L = 20 - 2w$ :

$w$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$L$	$18$	$16$	$14$	$12$	$10$	$8$	$6$
aire	$18$	$32$	$42$	$48$	$50$	$48$	$42$

Le gagnant est $5 \times 10$ , d’aire $50$ m $^2$ — deux fois plus long (le long du mur) que large : ce n’est pas un carré.

7. Construire le symétrique de l’enclos par rapport au mur : l’enclos et son image forment un enclos doublé qui utilise la clôture deux fois, soit $40$ m de clôture tout autour (le côté du mur est devenu intérieur). D’après la partie I, le meilleur rectangle de périmètre $40$ est le carré $10 \times 10$ , d’aire $100$ m $^2$ . Le meilleur enclos réel est la moitié de ce meilleur enclos doublé : $10$ m le long du mur, $5$ m de profondeur, aire $50$ m $^2$ — exactement le gagnant du tableau, désormais expliqué.

8. Circonférence $20 = 2 \times \pi \times r$ , donc $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Aire : $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ m $^2$ — confortablement plus que les $25$ m $^2$ du carré. Didon savait ce qu’elle faisait : à longueur de bordure donnée, c’est le cercle qui enferme le plus.

9. Périmètres : $1 \times 36$ : $74$ m ; $2 \times 18$ : $40$ m ; $3 \times 12$ : $30$ m ; $4 \times 9$ : $26$ m ; $6 \times 6$ : $24$ m. Le carré à nouveau — le moins de clôture pour l’aire demandée. C’est la partie I à l’envers : périmètre fixé et aire maximale, ou aire fixée et périmètre minimal, les deux couronnent le carré (et, au-delà de tous les rectangles, le cercle).

10. Une paroi ronde est la bordure la plus courte pour l’espace qu’elle enferme (question 8) : une boîte, un tuyau ou une citerne ronds contiennent donc le plus pour le moins de métal — et la matière, c’est de l’argent.

11. Par exemple $50$ m $\times$ $0.01$ m : périmètre $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, aire $50 \times 0.01 = 0.5$ m $^2$ . Long et fin : des kilomètres de bordure, presque pas de terrain.

12. Faux. L’enclos de la question 11 a un périmètre de $100.02$ m et une aire de $0.5$ m $^2$ , tandis que l’enclos $5 \times 5$ a un périmètre de $20$ m et une aire de $25$ m $^2$ : périmètre plus grand, aire bien plus petite.

13. Aire : il manque un carreau unité, $24 - 1 = 23$ cm $^2$ . Périmètre : en faisant le tour, l’encoche remplace $1$ cm de paroi droite par trois côtés du petit carré, $1 + 1 + 1 = 3$ cm : le périmètre passe de $20$ cm à $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Enlever de la matière a allongé la bordure.

14. Chaque zoom sur une côte réelle révèle de nouvelles baies, de nouveaux rochers et de nouvelles criques — des encoches sur des encoches, et la question 13 montre que chaque encoche allonge la bordure sans presque rien changer à l’aire. La longueur mesurée ne cesse donc de croître avec le niveau de détail (le « paradoxe du littoral »), alors que l’aire mesurée se stabilise : périmètre et aire sont vraiment deux grandeurs indépendantes.

15. Argument du miroir : l’enclos doublé utiliserait $2 \times 36 = 72$ m de clôture, et le meilleur rectangle de périmètre $72$ est le carré $18 \times 18$ . Le meilleur enclos est donc $18$ m le long du mur et $9$ m de profondeur : vérification de la clôture $9 + 18 + 9 = 36$ m, aire $18 \times 9 = 162$ m $^2$ . En plein champ, le meilleur est le carré $9 \times 9$ , d’aire $81$ m $^2$ . Le mur de la grange double exactement le terrain du fermier.

Termes définis dans ce chapitre

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