Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

43Périmètre, aire, volume

Quelle longueur a la clôture, quelle taille a le champ, combien d’eau tient dans le réservoir ? Trois questions différentes, trois quantités différentes — périmètre, aire, volume — chacune avec ses propres unités. Les confondre est l’erreur la plus courante en géométrie ; ce chapitre les démêle pour de bon.

43.1 Longueurs et périmètre

Définition 43.1 (Périmètre)

Le périmètre d’une figure est la longueur totale de son bord. Il se mesure en unités de longueur : millimètres (mm), centimètres (cm), mètres (m), kilomètres (km), avec

1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad 1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.

Exemple 43.2

Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ a pour périmètre

P = L + \ell + L + \ell = 2 \times (L + \ell).

Pour un rectangle de $7$ cm sur $4$ cm : $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22$ cm. Un carré de côté $c$ a pour périmètre $4c$ .

Proposition 43.3 (Circonférence d’un cercle)

Le périmètre (ou circonférence) d’un cercle de rayon $r$ est

P = 2 \pi r ,

où $\pi \approx 3.14$ est le même nombre pour tout cercle.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 43.4

Un étang circulaire a un rayon de $5$ m. Son bord mesure $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Garder la valeur exacte $10\pi$ aussi longtemps que possible ; n’arrondir qu’à la fin.

43.2 Aires

Définition 43.5 (Aire)

L’aire d’une figure mesure la surface qu’elle couvre : combien de carreaux unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm $^2$ (un carré de côté $1$ cm), m $^2$ , km $^2$ , … Attention :

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— un mètre carré est un carré de $100$ cm sur $100$ cm, donc chaque pas de l’échelle des unités vaut $100$ , et non $10$ .

L’aire d’un rectangle : 7 colonnes de 4 carreaux unitaires chacune, donc 7 × 4 = 28 carreaux en tout. C’est pourquoi aire = longueur × largeur. — L’aire d’un rectangle : $7$ colonnes de $4$ carreaux unitaires chacune, donc $7 \times 4 = 28$ carreaux en tout. C’est pourquoi aire $=$ longueur $\times$ largeur.

Proposition 43.6 (Formules d’aire de base)

figure	aire
rectangle ( $L \times \ell$ )	$A = L \times \ell$
carré (côté $c$ )	$A = c^2$
[4pt] triangle rectangle (côtés $a$ , $b$ )	$A = \dfrac{a \times b}{2}$
[4pt] disque (rayon $r$ )	$A = \pi r^2$

Démonstration pour le triangle rectangle. Deux copies d’un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ , collées le long de l’hypoténuse, forment un rectangle $a \times b$ . Donc l’aire du triangle est la moitié de celle du rectangle : $\frac{ab}{2}$ . (La formule du rectangle est le comptage de carreaux unitaires ci-dessus ; la formule du disque est admise, voir Chapitre 53.) ∎

Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : d’où la formule a× b/2. — Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : d’où la formule $\frac{a\times b}{2}$ .

Exemple 43.7 (Figures composées)

Une pièce en L est un rectangle $6$ m $\times$ $4$ m avec un coin carré $2$ m $\times$ $2$ m enlevé. Son aire, étape par étape :

rectangle complet : $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
carré enlevé : $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
aire restante : $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

Son périmètre n’est pas $20$ de quoi que ce soit : en parcourant le L, le bord mesure encore $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — les deux coupes du coin remplacent deux morceaux de mur égaux. Même nombre par coïncidence, mais mètres carrés pour l’un, mètres pour l’autre !

Remarque 43.8 (Même périmètre, aires différentes)

Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires très différentes : un carré $5 \times 5$ et un rectangle $9 \times 1$ ont tous deux un périmètre de $20$ , mais des aires de $25$ et $9$ . Périmètre et aire sont vraiment des quantités indépendantes.

43.3 Volumes

Définition 43.9 (Volume)

Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il remplit : combien de cubes unitaires tiennent à l’intérieur. Unités : cm $^3$ , m $^3$ , … avec $1$ m $^3 = 1\,000\,000$ cm $^3$ (chaque pas de l’échelle vaut $1000$ ). Pour les liquides, on utilise aussi le litre :

1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3, \qquad 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.

Proposition 43.10 (Volume d’un pavé)

Un pavé (un prisme droit à base rectangulaire) de longueur $L$ , de largeur $\ell$ et de hauteur $h$ a pour volume

V = L \times \ell \times h .

Démonstration. La couche du bas contient $L \times \ell$ cubes unitaires (image de Définition 43.5, avec des cubes), et il y a $h$ telles couches. ∎

Un pavé rempli de cubes unitaires : 4 × 2 cubes par couche, deux couches. — Un pavé rempli de cubes unitaires : $4 \times 2$ cubes par couche, deux couches.

Exemple 43.11

Un aquarium mesure $60$ cm sur $30$ cm sur $40$ cm (hauteur). Volume :

V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}.

Étape par étape pour la conversion : $1000$ cm $^3$ font un litre, et $72\,000 \div 1000 = 72$ .

43.4 Exercices

Exercice 43.1 ★

Convertir : $3.5$ m en cm ; $420$ mm en cm ; $0.8$ km en m ; $25\,000$ m en km.

Solution

Solution de Exercice 43.1.

$3.5$ m $= 350$ cm ; $420$ mm $= 42$ cm ; $0.8$ km $= 800$ m ; $25\,000$ m $= 25$ km.

Exercice 43.2 ★

Calculer le périmètre de : un rectangle $8$ cm $\times$ $3.5$ cm ; un carré de côté $6.2$ cm ; un triangle de côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm.

Solution

Solution de Exercice 43.2.

Rectangle : $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Carré : $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Triangle : $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

Exercice 43.3 ★

Une piste de course circulaire a un rayon de $50$ m. Quelle longueur a un tour (valeur exacte avec $\pi$ , puis arrondie au mètre) ? Combien de tours font au moins $2$ km ?

Solution

Solution de Exercice 43.3.

Un tour : $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Pour $2$ km $= 2000$ m : $2000 \div 314 \approx 6.4$ , donc $7$ tours complets sont nécessaires ( $6$ tours ne font qu’environ $1\,885$ m).

Exercice 43.4 ★

Calculer l’aire de : un rectangle $9$ cm $\times$ $4$ cm ; un carré de côté $7$ m ; un triangle rectangle de côtés $6$ cm et $10$ cm ; un disque de rayon $3$ cm (valeur exacte, puis arrondie au cm $^2$ ).

Solution

Solution de Exercice 43.4.

Rectangle : $9 \times 4 = 36$ cm $^2$ . Carré : $7^2 = 49$ m $^2$ . Triangle rectangle : $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm $^2$ . Disque : $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm $^2$ .

Exercice 43.5 ★

Convertir : $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2$ en m $^2$ ; $2.5$ L en cm $^3$ ; $4\,500$ L en m $^3$ .

Solution

Solution de Exercice 43.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $45\,000$ cm $^2 = 4.5$ m $^2$ ; $2.5$ L $= 2\,500$ cm $^3$ ; $4\,500$ L $= 4.5$ m $^3$ .

Exercice 43.6 ★

Un champ rectangulaire mesure $120$ m de long et $85$ m de large. Combien de mètres de clôture faut-il pour l’entourer ? Quelle est son aire ?

Solution

Solution de Exercice 43.6.

Clôture (périmètre) : $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Aire : $120 \times 85 = 10\,200$ m $^2$ .

Exercice 43.7 ★

Calculer le volume d’un pavé $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, et d’un cube d’arête $3$ cm.

Solution

Solution de Exercice 43.7.

Pavé : $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm $^3$ . Cube : $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm $^3$ .

Exercice 43.8 ★

Dessiner deux rectangles différents de périmètre $16$ cm, et calculer leurs aires. Lequel de vos rectangles a la plus grande aire ?

Solution

Solution de Exercice 43.8.

Périmètre $16$ cm signifie longueur $+$ largeur $= 8$ cm. Par exemple $6 \times 2$ (aire $12$ cm $^2$ ) et $5 \times 3$ (aire $15$ cm $^2$ ) — ou le carré $4 \times 4$ (aire $16$ cm $^2$ ). Plus on se rapproche d’un carré, plus l’aire est grande.

Exercice 43.9 ★★

Une figure en T est faite d’un rectangle horizontal $10 \times 2$ sur un vertical $2 \times 6$ (mesures en cm). Calculer son aire, puis son périmètre (parcourir le bord soigneusement, en additionnant chaque arête).

Solution

Solution de Exercice 43.9.

Aire : $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm $^2$ .

Périmètre (tige centrée sous la barre) : en parcourant le bord,

10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}

(haut ; extrémité droite de la barre ; dessous droit ; droite de la tige ; bas de la tige ; gauche de la tige ; dessous gauche ; extrémité gauche de la barre).

Exercice 43.10 ★★

Une piscine est un pavé de $25$ m de long, $10$ m de large et $2$ m de profond.

Combien de mètres cubes d’eau tient-elle quand elle est pleine ?
Combien de litres cela fait-il ?
La piscine est remplie à $50\,000$ L par heure. Combien de temps dure le remplissage ?

Solution

Solution de Exercice 43.10.

1. $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m $^3$ .

2. $500$ m $^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

3. $500\,000 \div 50\,000 = 10$ heures.

Exercice 43.11 ★★

Un jardin est un carré de côté $20$ m contenant un étang circulaire de rayon $3$ m. Quelle aire de gazon y a-t-il (valeur exacte, puis arrondie au m $^2$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 43.11.

Jardin : $20^2 = 400$ m $^2$ . Étang : $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m $^2$ . Gazon : $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m $^2$ .

Exercice 43.12 ★★★

Une tablette de chocolat mesure $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. Le fabricant double les trois dimensions.

Par combien le volume est-il multiplié ? Vérifier en calculant les deux volumes.
Le prix est multiplié par $4$ . La grande tablette est-elle une meilleure affaire que la petite ?

Solution

Solution de Exercice 43.12.

1. Petite tablette : $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm $^3$ . Grande : $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm $^3$ . Le volume est multiplié par $720 \div 90 = 8$ — doubler chacune des trois dimensions multiplie le volume par $2 \times 2 \times 2 = 8$ .

2. Huit fois le chocolat pour quatre fois le prix : oui, la grande tablette est deux fois plus avantageuse au gramme.