Mathématiques du lycée · Grades 10–12

18Probabilités et variables aléatoires

La probabilité modélise des expériences dont le résultat est incertain : un lancer de dé, une carte tirée, un jeu joué. Ce chapitre met en place le vocabulaire sur des ensembles finis, puis introduit le personnage central de toute la théorie des probabilités : la variable aléatoire et son espérance. Ces notions sont reprises et approfondies dans le Chapitre 33, et les probabilités conditionnelles suivent dans le Chapitre 32.

18.1 Probabilité sur un ensemble fini

Définition 18.1 (Modèle probabiliste)

Une expérience à un nombre fini d’issues est modélisée par son univers $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (l’ensemble des issues) muni d’une probabilité $\P$ attribuant à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$ , avec $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Un événement est une partie $A \subseteq \Omega$ , et

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Lorsque toutes les issues sont équiprobables ( $p_i = \frac1n$ : le modèle uniforme),

\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans } A} {\text{nombre d'issues dans } \Omega}.

Exemple 18.2

Lancer deux dés distincts : $\Omega$ est l’ensemble des $36$ couples ordonnés $(i, j)$ avec $1 \leq i, j \leq 6$ , tous équiprobables. L’événement $S$ = « la somme est $7$ » contient les $6$ couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , donc $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . L’événement « la somme est $12$ » contient seulement $(6,6)$ : probabilité $\frac{1}{36}$ . Choisir le bon univers — couples ordonnés, pas non ordonnés — est ce qui rend le modèle uniforme applicable.

Proposition 18.3 (Règles de la probabilité)

Pour des événements $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

où $\bar A$ est le complémentaire de $A$ (toutes les issues hors de $A$ ). En particulier, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Démonstration. L’événement vide ne contient aucune issue (somme vide), et $\Omega$ les contient toutes (somme totale $1$ ). Chaque issue est dans exactement l’un de $A$ , $\bar A$ , donc $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Pour la réunion : sommer les $p_i$ sur $A$ puis sur $B$ compte deux fois les issues de $A \cap B$ ; soustraire $\P(A \cap B)$ corrige le double comptage. ∎

Exemple 18.4

Dans une classe, $60\,\%$ étudient la musique ( $M$ ), $45\,\%$ font un sport ( $S$ ), et $25\,\%$ font les deux. La proportion qui fait au moins l’un des deux est $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , donc $20\,\%$ ne font ni l’un ni l’autre (complémentaire).

18.2 Variables aléatoires

Définition 18.5 (Variable aléatoire, loi)

Une variable aléatoire sur $\Omega$ est une fonction $X$ attribuant un nombre à chaque issue. Sa loi est le tableau de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ avec leurs probabilités

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Exemple 18.6

Un jeu : payer $2$ euros, lancer un dé équilibré, recevoir la valeur affichée si elle est au moins $5$ , rien sinon. Soit $G$ le gain (reçu moins payé). Les issues $1, 2, 3, 4$ donnent $G = -2$ ; l’issue $5$ donne $G = 3$ ; l’issue $6$ donne $G = 4$ . La loi de $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Méthode 18.7 (Construire un tableau de loi)

Lister les valeurs possibles de $X$ ; pour chaque valeur, rassembler les issues qui la produisent et additionner leurs probabilités ; vérifier que la ligne des probabilités somme à $1$ .

18.3 Espérance

Définition 18.8 (Espérance)

L’espérance (ou moyenne) de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Remarque 18.9

$\E(X)$ est ce que serait la moyenne d’un grand nombre de répétitions indépendantes de l’expérience — la version précise de cette affirmation est la loi des grands nombres, prouvée dans le Chapitre 34. Noter l’analogie formelle avec la moyenne d’un jeu de données avec effectifs (Définition 17.1) : les probabilités jouent le rôle des fréquences relatives $\frac{n_i}{n}$ .

Exemple 18.10

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 :

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

En moyenne le joueur perd environ $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable. Un jeu est dit équitable lorsque le gain espéré est $0$ .

Proposition 18.11 (Linéarité)

Pour tous réels $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Démonstration. La variable $aX + b$ prend la valeur $a x_i + b$ avec la probabilité $\P(X = x_i)$ , donc

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Variance et écart type

Définition 18.12 (Variance)

La variance de $X$ mesure la dispersion de ses valeurs autour de l’espérance $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposition 18.13 (Formule de König–Huygens)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Démonstration. Développer $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dans la somme :

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

qui est $\E(X^2) - m^2$ . C’est la version variable aléatoire de l’identité prouvée pour les jeux de données dans la Proposition 17.7. ∎

Proposition 18.14 (Transformation affine)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ et $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Démonstration. Par linéarité, $aX + b$ s’écarte de son espérance $a m + b$ de $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : chaque écart est multiplié par $a$ , donc chaque écart au carré par $a^2$ , et leur moyenne pondérée aussi. Le décalage $b$ a disparu — décaler une variable ne change pas sa dispersion. ∎

Exemple 18.15

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 : $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , donc

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La perte de $0.17$ par partie en moyenne s’accompagne de fluctuations de taille typique $2.6$ euros — l’espérance sans l’écart type ne raconte que la moitié de l’histoire.

La loi du gain G de l’, et son espérance (G) = -1/6 (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de probabilité. — La loi du gain $G$ de l’Exemple 18.6, et son espérance $\E(G) = -\frac16$ (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de probabilité.

18.5 Exercices

Exercice 18.1 ★

Une carte est tirée d’un jeu standard de $52$ cartes. Calculer la probabilité de tirer : un cœur ; un roi ; un cœur ou un roi ; ni un cœur ni un roi.

Solution

Solution de Exercice 18.1.

Modèle uniforme sur $52$ cartes. Cœurs : $\frac{13}{52} = \frac14$ . Rois : $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Cœur ou roi : $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (le roi de cœur est compté une fois). Ni l’un ni l’autre : $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Exercice 18.2 ★

Deux dés équilibrés sont lancés et leur somme $S$ est enregistrée. En utilisant le modèle à $36$ issues de l’Exemple 18.2, calculer $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ et $\P(S \text{ est pair})$ .

Solution

Solution de Exercice 18.2.

$S = 6$ : les couples $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , donc $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : trois couples pour $10$ , deux pour $11$ , un pour $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ pair : les sommes $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ont $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ couples : probabilité $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Exercice 18.3 ★

Une variable aléatoire a pour loi

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Trouver $p$ , puis calculer $\E(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.3.

Les probabilités somment à $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Puis

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Exercice 18.4 ★

$X$ satisfait $\E(X) = 3$ et $\V(X) = 4$ . Donner l’espérance, la variance et l’écart type de $Y = 2X - 5$ .

Solution

Solution de Exercice 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Exercice 18.5 ★★

Une roue de la fortune a $10$ secteurs égaux : $5$ affichent $0$ euro, $3$ affichent $2$ euros, $2$ affichent $5$ euros. Jouer coûte $2$ euros. Donner la loi du gain $G$ (gains moins mise), calculer $\E(G)$ , et décider si le jeu est favorable.

Solution

Solution de Exercice 18.5.

Les gains sont $0$ , $2$ , $5$ euros avec probabilités $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ ; en soustrayant la mise de $2$ euros, $G$ prend les valeurs $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : le joueur perd $40$ centimes par partie en moyenne — défavorable.

Exercice 18.6 ★★

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues ; deux boules sont tirées sans remise. Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. Construire la loi de $X$ (énumérer les $20$ tirages ordonnés, ou utiliser un arbre), et calculer $\E(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.6.

Tirage ordonné : $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rouge puis rouge) ; $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (bleu puis bleu) ; d’où $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Puis

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

cohérent avec l’intuition : $\frac35$ des deux tirages sont rouges en moyenne.

Exercice 18.7 ★★

Pour la roue de l’Exercice 18.5, calculer $\V(G)$ et $\sigma(G)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , donc par la formule de König–Huygens $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ et $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

Exercice 18.8 ★★

Une compagnie d’assurance vend une police pour $80$ euros. Avec probabilité $0.05$ le client réclame $1000$ euros, avec probabilité $0.01$ il réclame $5000$ euros, sinon rien. Soit $B$ le bénéfice de la compagnie sur une police. Donner la loi de $B$ , calculer $\E(B)$ , et interpréter.

Solution

Solution de Exercice 18.8.

Le bénéfice est $80$ moins la réclamation :

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : à ce prix la compagnie perd $20$ euros par police en moyenne. La prime est trop basse pour les risques couverts (il faudrait qu’elle dépasse $100$ euros pour un bénéfice espéré positif).

Exercice 18.9 ★★

Une question à choix multiples a $4$ réponses, une seule correcte. Une réponse correcte rapporte $+1$ ; pour décourager le hasard, une réponse fausse rapporte $x < 0$ . Un élève répond au hasard. Pour quelle valeur de $x$ le score espéré de l’élève est-il nul ?

Solution

Solution de Exercice 18.9.

Le score aléatoire est $+1$ avec probabilité $\frac14$ et $x$ avec probabilité $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Avec la pénalité $-\frac13$ , le hasard ne rapporte rien en moyenne.

Exercice 18.10 ★★

Deux pièces équilibrées sont lancées. Anne propose : « si les deux pièces coïncident, je vous paie $1$ euro ; si elles diffèrent, vous me payez $1$ euro. » Calculer le gain espéré de chaque joueur. Le jeu est-il équitable ? Même question avec trois pièces, où Anne paie $2$ euros si les trois coïncident.

Solution

Solution de Exercice 18.10.

Deux pièces : elles coïncident (FF ou PP) avec probabilité $\frac24 \times 2 = \frac12$ . Le gain du joueur est $+1$ ou $-1$ avec probabilités égales : espérance $0$ pour les deux joueurs — le jeu est équitable.

Trois pièces : toutes coïncident (FFF ou PPP) avec probabilité $\frac{2}{8} = \frac14$ . Le joueur reçoit $2$ avec probabilité $\frac14$ et paie $1$ avec probabilité $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . Le jeu favorise Anne de $25$ centimes par manche ; il serait équitable si elle payait $3$ euros pour un triple match.

Exercice 18.11 ★★★

Une loterie vend $1000$ billets à $5$ euros chacun. Un billet gagne $2000$ euros, cinq billets gagnent $200$ euros, vingt billets gagnent $25$ euros.

Donner la loi du revenu total de l’organisateur moins les lots, et du gain $G$ d’un seul joueur.
Calculer $\E(G)$ et le profit total espéré de l’organisateur. Vérifier que les deux réponses sont cohérentes.

Solution

Solution de Exercice 18.11.

1. L’organisateur reçoit $1000 \times 5 = 5000$ euros et verse $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros au total : le profit est la constante $1500$ (pas de hasard une fois tous les billets vendus). Le gain $G$ d’un seul joueur (lot moins le billet à $5$ euros) :

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Chaque joueur s’attend à perdre $1.50$ euro ; sur $1000$ joueurs c’est $1500$ euros — exactement le profit de l’organisateur. Les comptes s’équilibrent : ce que les joueurs perdent en moyenne est précisément ce que l’organisateur encaisse.

18.6 Problème : la partie interrompue

Problème 18.1

Devoir du week-end — Pascal, Fermat et le partage équitable d’un pari interrompu : la naissance de l’espérance, la magie de la linéarité, et ce que l’espérance ne voit pas

En 1654, le chevalier de Méré — le même joueur dont les paris aux dés ouvraient le problème de probabilités du volume précédent — posa à Blaise Pascal une question plus profonde : deux joueurs de force égale doivent interrompre leur série au score de $5$ à $3$ , six victoires emportant les $64$ pistoles de l’enjeu. Comment partager équitablement l’enjeu ? Les lettres échangées entre Pascal et Fermat pour y répondre ont fondé la notion au cœur de ce chapitre : l’espérance (Définition 18.8). Vous retrouverez leur réponse par les deux voies, puis rencontrerez le tour de passe-passe de la linéarité et l’unique angle mort de l’espérance.

Partie I — Aisance avec l’espérance.

On lance un dé équilibré ; le gain est de (face $- 3$ ) euros. Dresser le tableau de la loi du gain $G$ (Méthode 18.7) et calculer $\E(G)$ .
Calculer $V(G)$ avec la formule raccourcie (Proposition 18.13) puis $\sigma(G)$ (deux décimales).
Sans dresser de nouveau tableau, donner $\E(2G - 1)$ et $V(2G - 1)$ (Proposition 18.14).
Un stand fait payer $m$ euros pour lancer deux dés et vous verse la somme obtenue en euros. Quel est le prix équitable $m$ ? Le stand fait payer $8$ : quelle est votre perte espérée par partie ?
Un ordinateur portable de $800$ euros a $5\,\%$ de risque de destruction par an. Calculer la prime d’assurance équitable, ainsi que le bénéfice espéré de l’assureur par contrat s’il fait payer $60$ euros.

Partie II — Le partage de l’enjeu. Score $5$ – $3$ , le premier à $6$ emporte les $64$ pistoles, chaque manche étant un lancer de pièce équilibrée.

Deux réponses fausses mais tentantes : partager selon $5 : 3$ (proportionnellement aux manches gagnées), ou tout donner à celui qui mène. Dire en une phrase pour chacune ce qu’elle a d’inéquitable.
La méthode de Fermat : le joueur A a besoin d’ $1$ victoire de plus, B de $3$ ; imaginons que l’on joue exactement $3$ manches supplémentaires quoi qu’il arrive. Énumérer les $8$ issues équiprobables, marquer qui remporte la série dans chacune, et en déduire le partage équitable des $64$ pistoles.
Le point délicat que Fermat a dû défendre : la partie réelle pourrait s’arrêter après une seule manche — pourquoi est-il malgré tout légitime de raisonner sur les $3$ manches imaginaires ?
La méthode de Pascal, à rebours depuis la fin : calculer la part équitable de A aux scores (hypothétiques) $5$ – $5$ , puis $5$ – $4$ , puis $5$ – $3$ , en moyennant chaque fois les deux futurs équiprobables. Comparer avec la question 7.
Même question au score $4$ – $3$ : combien de manches imaginaires, quelles issues donnent la série à B, et quel est le partage équitable ?
Énoncer le principe commun aux deux méthodes — la valeur équitable d’un avenir incertain est son espérance — et nommer deux industries modernes qui vivent entièrement de ce principe (la question 5 en montre une).
Un contrôle de cohérence valable à tout score : expliquer, à l’aide de la linéarité de l’espérance (Proposition 18.11), pourquoi les parts équitables des deux joueurs doivent toujours totaliser exactement les $64$ pistoles.

Partie III — Le tour de passe-passe de la linéarité.

Retrouver $\E(\text{somme de deux dés}) = 7$ en une ligne par la linéarité (Proposition 18.11), sans le tableau à $36$ cases. Pour la variance de la somme, la règle $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ exige que les dés soient indépendants (admis) : la calculer.
La soirée aux chapeaux : $n$ invités jettent leur chapeau en tas et chacun en reprend un au hasard. Soit $X$ le nombre d’invités qui récupèrent leur propre chapeau. Pour un invité fixé, quelle est la probabilité de récupérer son chapeau ? En sommant ces $n$ chances (linéarité !), calculer $\E(X)$ . La réponse devrait vous surprendre : elle ne dépend pas de $n$ .
Vérifier $\E(X) = 1$ par force brute pour $n = 2$ et $n = 3$ (énumérer les $2$ puis les $6$ distributions de chapeaux équiprobables et moyenner les comptages).
Les récupérations des invités sont loin d’être indépendantes (si $n - 1$ invités ont retrouvé leur chapeau, le dernier aussi). Où exactement le calcul de la question 14 n’a-t-il pas eu besoin de l’indépendance ? Énoncer le superpouvoir de la linéarité.

Partie IV — Ce que l’espérance ne voit pas.

Deux tickets à gratter à $5$ euros : le ticket A fait gagner $10$ euros avec la probabilité $\frac12$ ; le ticket B fait gagner $1\,000$ euros avec la probabilité $0.005$ . Vérifier que les deux gains ont la même espérance, puis calculer les deux variances. Quel ticket les gens achètent-ils réellement, et qu’achètent-ils au juste ?
Le jeu de Saint-Pétersbourg : on lance une pièce jusqu’au premier face ; si ce premier face survient au lancer $n$ , on reçoit $2^n$ euros. Calculer la contribution de chaque $n$ à l’espérance, puis l’espérance elle-même. Paieriez-vous $1\,000$ euros pour jouer une seule fois ? Que ce heurt enseigne-t-il sur l’espérance ?
L’assurance vue du côté du client : payer $20$ euros, ou affronter un risque de $1\,\%$ de perdre $1\,000$ ? Comparer les deux espérances, et expliquer pourquoi souscrire l’assurance peut malgré tout être rationnel (sur quoi une famille seule ne peut-elle pas « faire la moyenne » ?).
Pour finir — la biographie de l’espérance, une phrase par chapitre : née en 1654 pour partager un enjeu ; son superpouvoir, la linéarité, qui additionne les espérances sans jamais demander l’indépendance (les chapeaux) ; son angle mort, le risque, que mesure la variance (les tickets, Saint-Pétersbourg, l’assurance) ; et son couronnement l’an prochain, quand la loi des grands nombres expliquera exactement pourquoi la banque finit toujours par gagner.

Solution

Solution de Problème 18.1.

1. $G$ prend les valeurs $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ , chacune avec la probabilité $\frac16$ : $\E(G) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3}{6} = \frac12$ euro.

2. $\E(G^2) = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9}{6} = \frac{19}{6}$ ; $V(G) = \frac{19}{6} - \frac14 = \frac{35}{12} \approx 2.92$ ; $\sigma(G) \approx 1.71$ .

3. $\E(2G - 1) = 2 \times \frac12 - 1 = 0$ ; $V(2G - 1) = 4\,V(G) = \frac{35}{3}$ .

4. $\E(\text{somme}) = 7$ : le prix équitable est de $7$ euros. À $8$ euros, la perte espérée est de $1$ euro par partie.

5. Prime équitable : $0.05 \times 800 = 40$ euros. En faisant payer $60$ : bénéfice espéré de $20$ euros par contrat.

6. Partager selon $5:3$ récompense le passé — alors que l’enjeu appartient à qui gagnera l’avenir, et B peut encore l’emporter. Tout donner à A traite une victoire probable comme certaine — la petite chance de B vaut quelque chose.

7. Manches à jouer : $3$ ; issues (victoire de A ou de B à chaque manche) : AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Le joueur B ne remporte la série qu’en gagnant les trois manches : la seule issue BBB. A remporte la série dans $7$ cas sur $8$ : partage équitable $64 \times \frac78 = 56$ pistoles pour A et $8$ pour B.

8. Jouer les manches supplémentaires, devenues inutiles, ne change la victoire de personne : une fois que A a sa sixième victoire, les manches suivantes ne sont que cérémonie. Mais fixer l’horizon à exactement $3$ manches rend les $8$ issues équiprobables — un dénombrement honnête réclame des histoires de même longueur, et les rallonger ne coûte rien.

9. À $5$ – $5$ : une manche décisive, $32$ pour chacun. À $5$ – $4$ : A obtient $\frac{64 + 32}{2} = 48$ . À $5$ – $3$ : la manche suivante mène soit à $64$ (si A la gagne), soit à la position $5$ – $4$ qui vaut $48$ : la part de A est $\frac{64 + 48}{2} = 56$ — le $56 : 8$ de Fermat, retrouvé en remontant depuis la fin.

10. A a besoin de $2$ victoires, B de $3$ : on joue $4$ manches imaginaires ( $16$ issues). B remporte la série avec $3$ ou $4$ victoires : $4 + 1 = 5$ issues. Partage : B : $64 \times \frac{5}{16} = 20$ ; A : $44$ .

11. La valeur présente équitable d’un gain futur incertain est son espérance — la moyenne pondérée par les probabilités de ce qui peut advenir. L’assurance (question 5) et la finance (valorisation de flux incertains) sont cette phrase transformée en industries ; les casinos aussi, de l’autre côté de la table.

12. L’enjeu finit toujours quelque part : les deux parts sont des variables aléatoires de somme constante égale à $64$ , donc par linéarité $\E_A + \E_B = 64$ — les parts équitables épuisent l’enjeu, à tout score.

13. Par linéarité : $\E(X + Y) = 3.5 + 3.5 = 7$ , sans tableau — et cela reste vrai même pour des dés collés l’un à l’autre. Variance d’un dé : $\E(X^2) - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$ ; pour des dés indépendants, $V(X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ .

14. Chaque invité fixé récupère son propre chapeau avec la probabilité $\frac1n$ (son chapeau est l’un des $n$ ). En sommant sur les $n$ invités : $\E(X) = n \times \frac1n = 1$ — un invité chanceux en moyenne, que la soirée compte deux chapeaux ou deux mille.

15. $n = 2$ : les deux répartitions donnent soit les deux chapeaux bien rendus ( $X = 2$ ), soit l’échange ( $X = 0$ ) : $\E = 1$ . $n = 3$ : les six répartitions donnent $X = 3, 1, 1, 1, 0, 0$ : $\E = \frac{6}{6} = 1$ .

16. Le calcul a additionné les espérances des $n$ indicateurs individuels (« l’invité $i$ a retrouvé son chapeau »), et la linéarité additionne les espérances sans condition — la dépendance ruinerait un produit ou une variance, jamais une somme d’espérances. Voilà le superpouvoir de la linéarité : aucune question d’indépendance n’est posée.

17. Les deux gains : $\E = 0.5 \times 10 - 5 = 0$ et $0.005 \times 1000 - 5 = 0$ . Variances (du gain) : A : $\E(G^2) = 0.5 \times 25 + 0.5 \times 25 = 25$ ; B : $0.005 \times 995^2 + 0.995 \times 25 \approx 4\,975$ ; donc $\sigma_A = 5$ et $\sigma_B \approx 70.5$ . Les gens achètent B : ce qu’ils achètent n’est pas l’espérance (nulle dans les deux cas) mais la dispersion — une petite chance de traîne droite qui change une vie.

18. Le premier face au lancer $n$ a la probabilité $2^{-n}$ et rapporte $2^n$ : chaque $n$ contribue pour $2^{-n} \times 2^n = 1$ à l’espérance, qui vaut donc $1 + 1 + 1 + \dots$ : elle est infinie. Et pourtant personne de sensé ne paie $1\,000$ pour jouer une fois : avec la probabilité $\frac{15}{16}$ , le gain n’excède pas $16$ . L’espérance résume le long terme de paris répétables ; un jeu unique à traîne sauvage ne se valorise pas par sa moyenne.

19. Espérances : s’assurer, $-20$ ; rester à découvert, $-0.01 \times 1000 = -10$ . La stratégie sans assurance gagne en moyenne — pour qui peut absorber la perte et répéter le pari de nombreuses fois. Une famille qui ne survivrait pas au $-1\,000$ n’est pas dans le métier de la moyenne : elle paie $10$ de plus pour effacer la variance. Les assureurs moyennent ; les ménages achètent de la certitude.

20. Née du partage d’un enjeu entre deux joueurs impatients ; dotée du superpouvoir de la linéarité, qui additionne les espoirs sans demander la permission à la dépendance ; aveugle au risque, que la variance — les loteries, le jeu de Saint-Pétersbourg, le contrat de la famille — doit mesurer à sa place ; et couronnée l’an prochain par la loi des grands nombres, qui explique pourquoi les moyennes finissent toujours par encaisser.

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