Mathématiques du lycée · Grades 10–12

18Probabilités et variables aléatoires

La probabilité modélise des expériences dont le résultat est incertain : un lancer de dé, une carte tirée, un jeu joué. Ce chapitre met en place le vocabulaire sur des ensembles finis, puis introduit le personnage central de toute la théorie des probabilités : la variable aléatoire et son espérance. Ces notions sont reprises et approfondies dans le Chapitre 33, et les probabilités conditionnelles suivent dans le Chapitre 32.

18.1 Probabilité sur un ensemble fini

Définition 18.1 (Modèle probabiliste)

Une expérience à un nombre fini d’issues est modélisée par son univers $\Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\}$ (l’ensemble des issues) muni d’une probabilité $\P$ attribuant à chaque issue $\omega_i$ un nombre $p_i \geq 0$ , avec $p_1 + \dots + p_n = 1$ . Un événement est une partie $A \subseteq \Omega$ , et

\P(A) = \sum_{\omega_i \in A} p_i .

Lorsque toutes les issues sont équiprobables ( $p_i = \frac1n$ : le modèle uniforme),

\P(A) = \frac{\text{nombre d'issues dans } A} {\text{nombre d'issues dans } \Omega}.

Exemple 18.2

Lancer deux dés distincts : $\Omega$ est l’ensemble des $36$ couples ordonnés $(i, j)$ avec $1 \leq i, j \leq 6$ , tous équiprobables. L’événement $S$ = « la somme est $7$ » contient les $6$ couples $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ , donc $\P(S) = \frac{6}{36} = \frac16$ . L’événement « la somme est $12$ » contient seulement $(6,6)$ : probabilité $\frac{1}{36}$ . Choisir le bon univers — couples ordonnés, pas non ordonnés — est ce qui rend le modèle uniforme applicable.

Proposition 18.3 (Règles de la probabilité)

Pour des événements $A, B \subseteq \Omega$ :

\P(\emptyset) = 0, \qquad \P(\Omega) = 1, \qquad \P(\bar A) = 1 - \P(A),

\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B),

où $\bar A$ est le complémentaire de $A$ (toutes les issues hors de $A$ ). En particulier, $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B)$ lorsque $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ).

Démonstration. L’événement vide ne contient aucune issue (somme vide), et $\Omega$ les contient toutes (somme totale $1$ ). Chaque issue est dans exactement l’un de $A$ , $\bar A$ , donc $\P(A) + \P(\bar A) = 1$ . Pour la réunion : sommer les $p_i$ sur $A$ puis sur $B$ compte deux fois les issues de $A \cap B$ ; soustraire $\P(A \cap B)$ corrige le double comptage. ∎

Exemple 18.4

Dans une classe, $60\,\%$ étudient la musique ( $M$ ), $45\,\%$ font un sport ( $S$ ), et $25\,\%$ font les deux. La proportion qui fait au moins l’un des deux est $\P(M \cup S) = 0.60 + 0.45 - 0.25 = 0.80$ , donc $20\,\%$ ne font ni l’un ni l’autre (complémentaire).

18.2 Variables aléatoires

Définition 18.5 (Variable aléatoire, loi)

Une variable aléatoire sur $\Omega$ est une fonction $X$ attribuant un nombre à chaque issue. Sa loi est le tableau de ses valeurs possibles $x_1, \dots, x_k$ avec leurs probabilités

\P(X = x_i) = \P\bigl(\{\omega : X(\omega) = x_i\}\bigr), \qquad \sum_{i=1}^k \P(X = x_i) = 1 .

Exemple 18.6

Un jeu : payer $2$ euros, lancer un dé équilibré, recevoir la valeur affichée si elle est au moins $5$ , rien sinon. Soit $G$ le gain (reçu moins payé). Les issues $1, 2, 3, 4$ donnent $G = -2$ ; l’issue $5$ donne $G = 3$ ; l’issue $6$ donne $G = 4$ . La loi de $G$ :

$g$	$-2$	$3$	$4$
$\P(G = g)$	$\dfrac46$	$\dfrac16$	$\dfrac16$

Méthode 18.7 (Construire un tableau de loi)

Lister les valeurs possibles de $X$ ; pour chaque valeur, rassembler les issues qui la produisent et additionner leurs probabilités ; vérifier que la ligne des probabilités somme à $1$ .

18.3 Espérance

Définition 18.8 (Espérance)

L’espérance (ou moyenne) de $X$ est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités :

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

Remarque 18.9

$\E(X)$ est ce que serait la moyenne d’un grand nombre de répétitions indépendantes de l’expérience — la version précise de cette affirmation est la loi des grands nombres, prouvée dans le Chapitre 34. Noter l’analogie formelle avec la moyenne d’un jeu de données avec effectifs (Définition 17.1) : les probabilités jouent le rôle des fréquences relatives $\frac{n_i}{n}$ .

Exemple 18.10

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 :

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

En moyenne le joueur perd environ $17$ centimes par partie : le jeu est défavorable. Un jeu est dit équitable lorsque le gain espéré est $0$ .

Proposition 18.11 (Linéarité)

Pour tous réels $a, b$ :

\E(aX + b) = a\,\E(X) + b .

Démonstration. La variable $aX + b$ prend la valeur $a x_i + b$ avec la probabilité $\P(X = x_i)$ , donc

\E(aX + b) = \sum_i \P(X = x_i)(a x_i + b) = a \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + b \underbrace{\sum_i \P(X = x_i)}_{=\,1} = a\,\E(X) + b .

∎

18.4 Variance et écart type

Définition 18.12 (Variance)

La variance de $X$ mesure la dispersion de ses valeurs autour de l’espérance $m = \E(X)$ :

\V(X) = \E\bigl((X - m)^2\bigr) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\,(x_i - m)^2, \qquad \sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .

Proposition 18.13 (Formule de König–Huygens)

\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2 .

Démonstration. Développer $(x_i - m)^2 = x_i^2 - 2m\,x_i + m^2$ dans la somme :

\V(X) = \sum_i \P(X = x_i)\,x_i^2 - 2m \sum_i \P(X = x_i)\,x_i + m^2\sum_i \P(X = x_i) = \E(X^2) - 2m^2 + m^2 ,

qui est $\E(X^2) - m^2$ . C’est la version variable aléatoire de l’identité prouvée pour les jeux de données dans la Proposition 17.7. ∎

Proposition 18.14 (Transformation affine)

$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ et $\sigma(aX + b) = \abs a\,\sigma(X)$ .

Démonstration. Par linéarité, $aX + b$ s’écarte de son espérance $a m + b$ de $(aX + b) - (am + b) = a(X - m)$ : chaque écart est multiplié par $a$ , donc chaque écart au carré par $a^2$ , et leur moyenne pondérée aussi. Le décalage $b$ a disparu — décaler une variable ne change pas sa dispersion. ∎

Exemple 18.15

Pour le jeu de l’Exemple 18.6 : $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , donc

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

La perte de $0.17$ par partie en moyenne s’accompagne de fluctuations de taille typique $2.6$ euros — l’espérance sans l’écart type ne raconte que la moitié de l’histoire.

La loi du gain G de l’, et son espérance (G) = -1/6 (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de probabilité. — La loi du gain $G$ de l’Exemple 18.6, et son espérance $\E(G) = -\frac16$ (en pointillés) : le point d’équilibre des masses de probabilité.

18.5 Exercices

Exercice 18.1 ★

Une carte est tirée d’un jeu standard de $52$ cartes. Calculer la probabilité de tirer : un cœur ; un roi ; un cœur ou un roi ; ni un cœur ni un roi.

Solution

Solution de Exercice 18.1.

Modèle uniforme sur $52$ cartes. Cœurs : $\frac{13}{52} = \frac14$ . Rois : $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ . Cœur ou roi : $\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ (le roi de cœur est compté une fois). Ni l’un ni l’autre : $1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ .

Exercice 18.2 ★

Deux dés équilibrés sont lancés et leur somme $S$ est enregistrée. En utilisant le modèle à $36$ issues de l’Exemple 18.2, calculer $\P(S = 6)$ , $\P(S \geq 10)$ et $\P(S \text{ est pair})$ .

Solution

Solution de Exercice 18.2.

$S = 6$ : les couples $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ , donc $\P(S = 6) = \frac{5}{36}$ .

$S \geq 10$ : trois couples pour $10$ , deux pour $11$ , un pour $12$ : $\P(S \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

$S$ pair : les sommes $2, 4, 6, 8, 10, 12$ ont $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ couples : probabilité $\frac{18}{36} = \frac12$ .

Exercice 18.3 ★

Une variable aléatoire a pour loi

$x$	$-1$	$0$	$2$	$5$
$\P(X=x)$	$0.3$	$0.2$	$0.4$	$p$

Trouver $p$ , puis calculer $\E(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.3.

Les probabilités somment à $1$ : $p = 1 - 0.3 - 0.2 - 0.4 = 0.1$ . Puis

\E(X) = 0.3 \times (-1) + 0.2 \times 0 + 0.4 \times 2 + 0.1 \times 5 = -0.3 + 0.8 + 0.5 = 1 .

Exercice 18.4 ★

$X$ satisfait $\E(X) = 3$ et $\V(X) = 4$ . Donner l’espérance, la variance et l’écart type de $Y = 2X - 5$ .

Solution

Solution de Exercice 18.4.

$\E(Y) = 2 \times 3 - 5 = 1$ ; $\V(Y) = 2^2 \times 4 = 16$ ; $\sigma(Y) = 4$ .

Exercice 18.5 ★★

Une roue de la fortune a $10$ secteurs égaux : $5$ affichent $0$ euro, $3$ affichent $2$ euros, $2$ affichent $5$ euros. Jouer coûte $2$ euros. Donner la loi du gain $G$ (gains moins mise), calculer $\E(G)$ , et décider si le jeu est favorable.

Solution

Solution de Exercice 18.5.

Les gains sont $0$ , $2$ , $5$ euros avec probabilités $0.5$ , $0.3$ , $0.2$ ; en soustrayant la mise de $2$ euros, $G$ prend les valeurs $-2, 0, 3$ :

$g$	$-2$	$0$	$3$
$\P(G=g)$	$0.5$	$0.3$	$0.2$

$\E(G) = -1 + 0 + 0.6 = -0.4$ : le joueur perd $40$ centimes par partie en moyenne — défavorable.

Exercice 18.6 ★★

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues ; deux boules sont tirées sans remise. Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. Construire la loi de $X$ (énumérer les $20$ tirages ordonnés, ou utiliser un arbre), et calculer $\E(X)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.6.

Tirage ordonné : $\P(X = 2) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$ (rouge puis rouge) ; $\P(X = 0) = \frac25 \times \frac14 = \frac{1}{10}$ (bleu puis bleu) ; d’où $\P(X = 1) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$ . Puis

\E(X) = 0 \times \frac1{10} + 1 \times \frac6{10} + 2 \times \frac3{10} = \frac{12}{10} = 1.2 ,

cohérent avec l’intuition : $\frac35$ des deux tirages sont rouges en moyenne.

Exercice 18.7 ★★

Pour la roue de l’Exercice 18.5, calculer $\V(G)$ et $\sigma(G)$ .

Solution

Solution de Exercice 18.7.

$\E(G^2) = 0.5 \times 4 + 0.3 \times 0 + 0.2 \times 9 = 3.8$ , donc par la formule de König–Huygens $\V(G) = 3.8 - (-0.4)^2 = 3.8 - 0.16 = 3.64$ et $\sigma(G) \approx 1.9$ euros.

Exercice 18.8 ★★

Une compagnie d’assurance vend une police pour $80$ euros. Avec probabilité $0.05$ le client réclame $1000$ euros, avec probabilité $0.01$ il réclame $5000$ euros, sinon rien. Soit $B$ le bénéfice de la compagnie sur une police. Donner la loi de $B$ , calculer $\E(B)$ , et interpréter.

Solution

Solution de Exercice 18.8.

Le bénéfice est $80$ moins la réclamation :

$b$	$80$	$-920$	$-4920$
$\P(B=b)$	$0.94$	$0.05$	$0.01$

$\E(B) = 75.2 - 46 - 49.2 = -20$ : à ce prix la compagnie perd $20$ euros par police en moyenne. La prime est trop basse pour les risques couverts (il faudrait qu’elle dépasse $100$ euros pour un bénéfice espéré positif).

Exercice 18.9 ★★

Une question à choix multiples a $4$ réponses, une seule correcte. Une réponse correcte rapporte $+1$ ; pour décourager le hasard, une réponse fausse rapporte $x < 0$ . Un élève répond au hasard. Pour quelle valeur de $x$ le score espéré de l’élève est-il nul ?

Solution

Solution de Exercice 18.9.

Le score aléatoire est $+1$ avec probabilité $\frac14$ et $x$ avec probabilité $\frac34$ :

\E = \frac14 + \frac{3x}{4} = 0 \iff x = -\frac13 .

Avec la pénalité $-\frac13$ , le hasard ne rapporte rien en moyenne.

Exercice 18.10 ★★

Deux pièces équilibrées sont lancées. Anne propose : « si les deux pièces coïncident, je vous paie $1$ euro ; si elles diffèrent, vous me payez $1$ euro. » Calculer le gain espéré de chaque joueur. Le jeu est-il équitable ? Même question avec trois pièces, où Anne paie $2$ euros si les trois coïncident.

Solution

Solution de Exercice 18.10.

Deux pièces : elles coïncident (FF ou PP) avec probabilité $\frac24 \times 2 = \frac12$ . Le gain du joueur est $+1$ ou $-1$ avec probabilités égales : espérance $0$ pour les deux joueurs — le jeu est équitable.

Trois pièces : toutes coïncident (FFF ou PPP) avec probabilité $\frac{2}{8} = \frac14$ . Le joueur reçoit $2$ avec probabilité $\frac14$ et paie $1$ avec probabilité $\frac34$ : $\E = \frac24 - \frac34 = -\frac14$ . Le jeu favorise Anne de $25$ centimes par manche ; il serait équitable si elle payait $3$ euros pour un triple match.

Exercice 18.11 ★★★

Une loterie vend $1000$ billets à $5$ euros chacun. Un billet gagne $2000$ euros, cinq billets gagnent $200$ euros, vingt billets gagnent $25$ euros.

Donner la loi du revenu total de l’organisateur moins les lots, et du gain $G$ d’un seul joueur.
Calculer $\E(G)$ et le profit total espéré de l’organisateur. Vérifier que les deux réponses sont cohérentes.

Solution

Solution de Exercice 18.11.

1. L’organisateur reçoit $1000 \times 5 = 5000$ euros et verse $2000 + 5 \times 200 + 20 \times 25 = 3500$ euros au total : le profit est la constante $1500$ (pas de hasard une fois tous les billets vendus). Le gain $G$ d’un seul joueur (lot moins le billet à $5$ euros) :

$g$	$1995$	$195$	$20$	$-5$
$\P(G=g)$	$\dfrac{1}{1000}$	$\dfrac{5}{1000}$	$\dfrac{20}{1000}$	$\dfrac{974}{1000}$

\E(G) = \frac{1995 + 5 \times 195 + 20 \times 20 - 974 \times 5}{1000} = \frac{1995 + 975 + 400 - 4870}{1000} = -1.5 .

Chaque joueur s’attend à perdre $1.50$ euro ; sur $1000$ joueurs c’est $1500$ euros — exactement le profit de l’organisateur. Les comptes s’équilibrent : ce que les joueurs perdent en moyenne est précisément ce que l’organisateur encaisse.