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गणित · 术语表

什么是 स्पर्श रेखा？

परिभाषा 22.2 उच्च माध्यमिक गणित · 第 22 章 — अवकलन और उत्तलता

यदि $f$ $a$ पर अवकलनीय हो, तो बिंदु $(a, f(a))$ पर $f$ के वक्र की स्पर्श रेखा इस समीकरण वाली रेखा है

y = f(a) + f'(a)(x - a).

जैसे-जैसे h घटता है, A = (a, f(a)) और (a+h, f(a+h)) से होकर जाने वाली छेदक रेखा (नारंगी) A पर की स्पर्श रेखा (लाल) की ओर घूमती जाती है: उसकी प्रवणता f(a+h)-f(a)/h f'(a) की ओर जाती है। — जैसे-जैसे $h$ घटता है, $A = (a, f(a))$ और $(a+h, f(a+h))$ से होकर जाने वाली छेदक रेखा (नारंगी) $A$ पर की स्पर्श रेखा (लाल) की ओर घूमती जाती है: उसकी प्रवणता $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ $f'(a)$ की ओर जाती है।

示例

उदाहरण 22.14

$f(x) = x^3$ के लिए $f''(x) = 6x$ : $f$ $\intoc{-\infty}{0}$ पर अवतल और $\intco{0}{+\infty}$ पर उत्तल है, और मूल बिंदु पर उसका नति-परिवर्तन बिंदु है, जहाँ वक्र अपनी स्पर्श रेखा ( $x$ -अक्ष) को पार कर जाता है।

उदाहरण 22.15 (उत्तलता से असमिकाएँ)

चरघातांकी फलन $\R$ पर उत्तल है (उसका द्वितीय अवकलज वही स्वयं है, जो धनात्मक है)। $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा $y = 1 + x$ है, इसलिए

\eu^x \geq 1 + x \quad x \in \R \text{ के लिए} .

ऐसी स्पर्श-रेखा असमिकाएँ उत्तलता की मानक उपज हैं।

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