O que é Esperança? — Matemática

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — Português সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

Definição 18.8 Matemática do ensino médio · অধ্যায় 18 — Probabilidade e variáveis aleatórias

A esperança (ou média) de $X$ é a média dos seus valores ponderada pelas probabilidades:

\E(X) = \sum_{i=1}^{k} \P(X = x_i)\; x_i .

উদাহরণ

Exemplo 18.10

Para o jogo do Exemplo 18.6:

\E(G) = \frac46 \times (-2) + \frac16 \times 3 + \frac16 \times 4 = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac16 \approx -0.17 .

Em média, o jogador perde cerca de $17$ centavos por partida: o jogo é desfavorável. Um jogo é dito justo quando o ganho esperado é $0$ .

Exemplo 18.15

Para o jogo do Exemplo 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$ , de modo que

\V(G) = \frac{41}{6} - \left(-\frac16\right)^2 = \frac{41}{6} - \frac{1}{36} = \frac{245}{36} \approx 6.8, \qquad \sigma(G) \approx 2.6 .

A perda média de $0.17$ por partida vem acompanhada de oscilações de tamanho típico $2.6$ euros — a esperança sem o desvio padrão conta apenas metade da história.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

Definição 22.6 Matemática universitária — Graduação 2 · অধ্যায় 22 — Variáveis aleatórias discretas

Uma variável aleatória real $X$ em $(\Omega, \P)$ tem esperança se a família $\bigl(X(\omega)\,\P(\{\omega\})\bigr)_{\omega \in \Omega}$ for somável (Capítulo 7); sua esperança é então

\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega)\,\P(\{\omega\}) .

উদাহরণ

Exemplo 22.10 (Transferência em ação)

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$ , calcule $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — a lei do próprio $\frac1{1+X}$ é desajeitada, mas a transferência nunca a pede:

\E\Bigl(\frac1{1+X}\Bigr) = \sum_{k\geq0}\frac{1}{k+1}\,\eu^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\sum_{k\geq0} \frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{\eu^{-\lambda}}{\lambda}\bigl(\eu^\lambda - 1\bigr) = \frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} .

Duas lições. Computacional: reconhecer uma série exponencial deslocada é todo o trabalho — a transferência reduz esperanças de $f(X)$ a manipulação de séries. Estrutural: o valor ingênuo por substituição seria $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$ , e a resposta verdadeira é maior,

\frac{1 - \eu^{-\lambda}}{\lambda} \geq \frac{1}{1 + \lambda},

exatamente como exige a desigualdade de Jensen para a função convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$ . As esperanças de imagens convexas ficam acima do valor ingênuo por substituição, e a transferência mais uma verificação de séries torna concreta a desigualdade abstrata.

Exemplo 22.12 (Produtos, com e sem independência)

Lance dois dados honestos. Se $Y$ é o segundo dado (independente do primeiro), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$ . Se, em vez disso, $Y = X$ (o “produto” de um dado consigo mesmo),

\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15.17 \neq 12.25 :

mesmas leis marginais nos dois cenários, leis conjuntas diferentes, esperanças de produto diferentes. A moral, digna de ser gravada: $\E(XY)$ é um funcional do par, não das duas marginais — e a diferença $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ é, por König–Huygens, precisamente a variância $\frac{35}{12}$ do dado.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ