isometria কী?

Exemplo 23.16 (Reconhecer uma isometria de relance)

Será $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ortogonal? Colunas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ e $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$; produto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$. Sim — e $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$, logo ela é a rotação $R_\theta$ com $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$ (a “rotação $3$-$4$-$5$”, cujo ângulo não é fração notável alguma de $\pi$). Em contraste, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tem aparência de determinante unitário mas primeira coluna de norma diferente de $1$ ($\frac1{\sqrt2}$): não é ortogonal — determinante $\pm1$ sozinho não certifica nada, as colunas têm de ser verificadas.